giải tích 2 tài liệu học tập có hướng dẫn giải

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Tài liệu ôn thi giải tích 2
CHƯƠNG I: CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ
1.1) Chứng minh chuỗi số hội tụ phân kỳ.
*) Chuỗi số dương
1.1.1) Tiêu chuẩn dalambert


Cho chuỗi số dương

U
n 1

n

U n 1
D
n  U
n

lim

Xét

+) Nếu D > 1 chuỗi số phân kỳ
+)Nếu D < 1 chuỗi số hội tụ
1.1.2) Tiêu chuẩn cô-si


Cho chuỗi số dương

U
n 1

Xét

n

c

+)Nếu C > 1 chuỗi số phân kỳ
+)Nếu C < 1 chuỗi số hội tụ
1.1.3) Tiêu chuẩn so sánh
*)Tiêu chuẩn so sánh số 1




Cho 2 dãy số dương

U
n 1

n

và

V

n 1

n

, Nếu

U n  Vn ,  N



No

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG



+)Nếu

U
n 1



n



+) Nếu

V
n 1

V

phân kỳ thì

n

n 1

phân kỳ



n

hội tụ thì

U
n 1

n

hội tụ

**) Tiêu chuẩn so sánh số 2


Cho 2 dãy số dương

U n
n 1



và

V n ,
n 1



Với 0 < K < +  thì 2 chuỗi số

U
n 1

Đặt

Un
K
n  V
n

lim



n

và

V
n 1

n

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

+) Chú ý 1 số các điều đáng nhớ sau.


+) Nếu x  0 thì
Tan(x)

 Sin(x)  x , Ln(1+x)  x , e

x 1

x2
 x , 1- cos(x) 
2

+) Nếu x   thì
Sin(x)  x , Ln(x) 

x

với



 0,

+) Điều kiện cần để chuỗi hội tụ là

e x1  x

lim U n  0
n 

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

*) Chuỗi đan dấu


 (1)

Khi xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu


 (1)
n 1

n 1

n 1

U n ta dùng tiêu chuẩn lepnit, chuỗi

U n hội tụ nếu U n là dãy đơn điệu giảm và lim U n  0
n 

n 1



Ví dụ: Kiểm tra sự hội tụ phân kỳ của các chuỗi số sau.  (1)
n 1

n

n
1  n2 .

Lời giải

n

n

Ta thấy
là dãy đơn điệu giảm, mà lim
2
n  1  n 2
1 n


suy ra chuỗi

 (1)
n 1

n

 0 suy ra theo tiêu chuẩn lepnit

n
1  n 2 hội tụ.

*) Bài Tập
Bài 1: Kiểm tra sự hội tụ phân kỳ của các chuỗi số sau.


( n !) 2
a) 
n 1  2 n  !


1
c) 

2 n 1
n 1 (2 n  1)2


3n.n !
e)  n
n 1 n

 n 1 
b)  

n 1  n  1 


n2

 3n 2  n  2 
d)   2

n 1  4n  n  2 


5n

2n  5n 2
f) 
(*) ngắt bỏ vcl trc
n 1 n ! ln(n)


Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

( 1) n
g) 
n
n 1


n



1

h)  (1) .(e  1   ) (*) chú ý ghạn đặc biệt
n

n 1
n

2.1) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
2.1.1) Tìm miền hội tụ
+)Bước 1
+) Gỉa sử

 = lim
n 

U n 1
( hoặc
Un

Un
 = lim
n 

) thì bán kính hội tụ của chuỗi được tính

như sau

1
  , 0< <+


r0
  
   =0



+)Bước 2
+) Sau khi tìm được bán kính hội tụ theo công thức trên chúng ta phải xét tại 2 điểm,
x=r và x=-r xem có hội tụ hay phân kì tại 2 đầu mút không ( dùng các tiêu chuẩn so
sánh và nhớ điều kiện cần để chuỗi hội tụ )
+)Bước 3

+) Kết luận miền hội tụ dựa vào bước 2 xem tại 2 đầu mút hội tụ tại điểm x=r hay x=-r
để lấy dấu bằng tại đầu mút đó
Ví dụ 1 : Tìm miền hội tụ của chuỗi số sau

 n 1 
X .


 2n  1 
n 1


n

n

Lời giải

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

n 1 1
 n 1 
n
lim
Xét lim

=
=
suy ra R= 2


n 
n  2n  1
2
 2n  1 
n

 2n  2 
 n  1    2n  2 
Xét tại X=2 ta có chuỗi trở thành  2 . 
 mà lim
 = 


n  2n  1
 2n  1  n 1  2n  1 


n 1
 0 suy ra tại X=2 chuỗi phân kì
n

n



n

n

Tương tự với X=-2 chuỗi số cũng phân kì
Suy ra miền hội tụ X 

 2, 2 

2.2.2) Tính tổng của chuỗi số
*) Dùng khai triển maclaurin để tính ( các dạng bài kiểu này thường có giai thừa trong
chuỗi )

n  1 n 1
Ví dụ1. Tìm MHT và tính tổng của chuỗi  n .x
n 1 2 .n !


Lời giải
MHT sinh viên tự giải tương tự ví dụ trên
Tính tổng

n  1 n 1  n  1  x 
n  1 n 1
.x =2  n 1 .x =2 
. 

n
2
.

n
!
2
.
n
!
n
!
2
n 1
n 1
n 1




1
1  x 
  
A=2  
n!   2 
n 1  ( n  1)!


n 1

x 2  1  x 
= 
 
2 n 1 (n  1)!  2 

n 1

n 1

=A


1  x
- x
 
n 1 ( n)!  2 

n

n

x
t
t
x 2 2x
2
e

.
e

x
.
e

A=
vì (
).
n!
2

*)Dùng đạo hàm hoặc tích phân để tính tổng

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

x 2 n 5
Ví dụ 2 Tìm MHT và tính tổng của chuỗi số sau  2 n
n 1 3 .  2n  1


Lời giải

x 2 n 5
x 2 n 1
4
4
Ta có S(x)=  2 n
= x . 2 n
= x .F(x)
n 1 3 .  2n  1

n 1 3 .  2n  1


x 2 n 1
Xét F(x) =  2 n
n 1 3 .  2n  1


 

x 2 n 1

2n
F(x)’ =  
 n 1 3 .  2n  1 

  x 2 n
2n
F(x)’ =  
n 1 3

/


 1
x 



2

   9 
n

1
 
 1 x


9



n

2

9
3 4 3 x
=
x ln
2
9

x
2
3 x
0









x

x .
4

= S(x)

3 4 3 x
x ln
2
3 x

Vậy S(x) =



1 n
.x
Ví dụ 3 Tìm MHT và tính tổng của chuỗi số sau 
n
1
Lời giải

1
1 n  n 1

n 1
x
dx
.
x

dx   ln 1  x
.
x

=
=

Ta có 
1

x
n
n 1
n 1 0
1
0
0



x

x

x

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Chú ý ta có thể biến đổi linh hoạt phép tích phân và đạo hàm để đưa về các tổng dễ tính
hơn để thực hiện .
Bài tập Tìm MHT và tính tổng các chuỗi số sau.

2n 1.x n
a) 
n!
n 0


x n .(n  1)
d) 
2n 1
n 0



x n .(n  1)
e) 
2n.n
n 0

xn
b)  n
n  0 2 .( n  1)!







xn
n
c) 
n 0 2

f)

x n 1
g)  n
n  0 2 .n !

x n .(n  1)
h) 
n!
n 0





 (n  1).3 .x
n

n

n 0



************************

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

CHƯƠNG II : CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
I)Cực trị không có điều kiện (99% thi cuối kì )
Gỉa sử cho hàm số F(x,y) , Tìm cực trị của hàm F(x,y)
 F / ( x)  0

+) B1 Xét hpt 

/
 F (y)  0

(*) tìm các nghiệm của hệ pt trên

Giả sử hpt (*) có nghiệm x1, x2 và y1, y2 tương ứng  A(x1,y1) , B(x2,y2)

 F / / (x) F / / (xy) 

+) B2 Xét ma trận sau C=  / /
//
 F (yx) F (y) 
//
//
//
//
tính Det C= F (x).F (y)  F (xy).F (yx) . Xét với từng điểm A(x1,y1) hoặc
B(x2,y2)
//
//
//
//
Đặt F (x).F (y)  F (xy).F (yx) =D

 F // (x)  0 ham so dat cuc tieu
-)Nếu D >0 suy ra hàm số đạt cực trị  //
 F (x)  0 ham so dat cuc dai
-)Nếu D<0 suy ra hàm số không tồn tại cực trị
+)B3 Kết luận tồn tại cực trị tại điểm nào và F cực trị
2
2
Ví dụ) f ( x, y)  x  2 y  2 xy  4 x  6 y

Lời giải

 f / ( x)  0
2 x  2 y  4  0
 x  7
Xét  /
 

4 y  2 x  6  0
 y5
 f (y)  0
Suy ra A(-7,5)

 f / / (x)
Xét ma trận B=  / /
 f (yx)

f / / (xy)   2 2 
=

f / / (y)   2 4 

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

DetB= 2.4-2.2= 4>0 mà lại có F// = 2>0
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại A (-7,5) và f ct =27

Vậy …………..

II)Cực trị có điều kiện (99% không thi cuối kì )
Gỉa sử F(x,y) với điều kiện G(x,y) =a
+)B1 Xét phương trình larange Q(x,y,  ) = F(x,y) +  .( G(x,y) –a )
 Q / (x)  0
 /
+)B2 Xét hpt  Q (y)  0 suy ra nghiệm của hpt trên xong làm tương tự như cực trị
Q / ( )  0


không điều kiện các bước sau.
Ví dụ 2

f ( x, y)  x  2 y  1

với điều kiện

x2  y 2  5

Lời giải
Xét pt larange

g( x, y)  x  2 y  1  .( x2 +y2 -5)

 g / ( x)  0
 /
 g (y)  0
Xét hpt
 g / ( )  0





 1  2 x  0

 2  2 y  0
 x2  y 2  5  0


 f // x
1
Xét với   , ta có A(-1,-2) xét ma trận  / /
2
 f yx




x 1

y 2

1
  

2

f / / xy   1 0 
 =


f // y   0 1 

Có Det = 1 >0 và f//x =1>0 suy ra tại A(-1,-2) tồn tại cực tiểu

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Làm tương tự với trường hợp   

1
rồi kết luận
2

Bài tập Tìm cực trị của các hàm số sau
a) f ( x, y)  x  4 y  2 xy  6 x  6 y
2

2

e) f ( x, y)  x  2 xy  4 y  2 y
3

2

b) f ( x, y)   x  2 y  2 xy  4 x  6 y

2
2
f) f ( x, y)  7  12 x  6 y với x  (y  1)  5

c) f ( x, y)  x  3x  2 x . y  y  2 y

y2 2
g) f ( x, y)  x  y  z với x   z  1
2

2

2

4

2

2

2

2

d) f ( x, y)  3 y  x y  x  2x. y  2x
3

2

2

************************

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

CHƯƠNG II : Tích phân bội
I) Tích phân kép
1) Dạng 1 Tính trực tiếp.
giả sử tính

 f ( x, y)dxdy

trên miền D

a xb


Suy ra D
và
 y 2( x)  y  y1( x)
Ví dụ Tính tích phân

 (x  y x

2

b

y1( x )

 f ( x, y )dxdy = a dx y 2(x ) f ( x, y)dy

)dxdy với D miền giới hạn bởi y=1 và y=x2

D

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

 1  x  1
Suy ra miền D  2
.Vậy
x  y  1

1

 (x  y x

2

)dxdy =

D

 dx  ( x  y  x

1

2

)dy

x2

1

1

2
y
2
2
D (x  y x )dxdy = 1 dx.( xy  2  x y)

1

/

1
x

2

3 4
1
3
2
(
x

x

x

x

)dx
=
2
2
1

= Bấm máy tính
Bài tập Tính tích phân của các tích phân sau trên miền D
a)

 x

2

y.dxdy với D là giới hạn y=0, y=2x, x=2

D

b)

 xy.dxdy với D là giới hạn y=x-4 , y2=2x
D

c)

 (x

2

 2 xy  3 y).dxdy với D là miền giới hạn bởi x=1, x=0, y=x và x2+y2=2

D

2)Dạng 2 Tính bằng phương pháp đổi biến
2.1) Đổi biến dạng 1
Ở dạng bài này chúng ta để ý các đặc điểm của miền D có điểm giống nhau để đặt ẩn
mới dễ tính hơn .
Ví dụ 1. Tính tích phân

 (x  3 y).dxdy với D là miền giới hạn bởi x=-y, y=D

x+3,y=2x-1 và y=2x+1
Lời giải
Cách 1 : làm như dạng 1 vẽ hình và chia miền r tính bình thường.

Cách 2: sử dụng pp đổi biến
Chúng ta dễ quan sát miền D đề bài cho có thể biến đổi về

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

 x y 0
 x y 3

B1 D   2 x  y  1 dễ thấy nếu đặt

2 x  y  1

 x y u

(*) thì
2 x  y  v

0u 3

1  v  1

B2 Rút các biến x và y theo các biến mới u và v bằng cách giải hệ pt (*)

u v


 x  3

 y  2u  v

3
 x/u
B3 Xét ma trận J   /
x v

y /u 
1 1
=3
/  Tính DetJ=
yv
2 1

B4 Thay x và y rút được ở b2 vào tích phân đề bài yêu cầu
3
1
5u  7v
5u  7v
)dv
).dudv =3.  du  (
Suy ra A=  ( x  3 y ).dxdy = DetJ .  (
3
3
0
1
D
D

3

A=3. 
0

10u
du =-45
3

Ví dụ 2. Tính tích phân

 (x  3 y).dxdy với miền D là 4 đỉnh của 1 tứ giác
D

A(1,0),B(3,1) ,C(2,3) và D(0,2)
Lời giải
B1 Chúng ta viết các pt đường thẳng AB,BC,CD,DA
B2 Làm như B1 ở ví dụ 1 đặt ẩn phụ r làm tương tự ví dụ 1
*) Chú ý ở dạng bài này chúng ta hoàn toàn có thể làm theo pp dạng 1 nhưng phải chia
nhỏ các miền để tính rất mất thời gian và trong lúc tính toán dễ sai nên sử dụng phương
pháp đổi biến dạng 1 là 1 cách nhanh chóng tính ra kết quả .
Bài tập Sử dụng đổi biến dạng 1 tính các tích phân sau
Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

a)

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

 x y.dxdy với miền D là giới hạn bởi 1  x  2 y  2, 0  x-y  3
D

b)

 dxdy với miền D là giới hạn bởi xy=2, xy=4, y=x và y=4x
D

c)

 (x

2

 2 xy  1)dxdy với miền D là giới hạn x+y=3, y=5-x, y=2x và y=4x

D

d)


D

x2  y 2
dxdy với miền D xác định bởi x  y  1
x2  y 2  4

2.2) Đổi biến dạng 2 ( đổi biến tọa độ cực)

+)Đặc điểm nhận dạng miền D thường cho dưới dạng 1 pt đường tròn và 1 hoặc nhiều
điều kiện khác
+)Phương pháp giải
Gỉa sử Tính

 f ( x, y)dxdy

trên miền D

D

r ( )1  r  r2 ( )
 x  r cos 

+)B1 Đặt
dựa vào điều kiện đề bài suy ra 
miền tính
y

r
sin

 1    2

tích phân mới D1

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

+)B2 với cách đặt như trên ta luôn có DetJ=r
Hoặc tính DetJ tương tự như đổi biến dạng 1 bằng ma trận sau
 r/x
J  /
r
 y

/x 

 / y 

+)B3 Suy ra

 f ( x, y)dxdy = DetJ . f (r,  )drd
D1

D

Ví dụ 1 Tính tích phân

 x.

x 2  y 2 dxdy với miền D là hình tròn x2  y 2  4

D

Lời giải

 x  r cos 

Đặt  y  r sin 
Ta có DetJ = r để xác định cận tích phân chúng ta vẽ miền D trên
hệ trục tọa độ , ta có D là miền hình tròn

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Từ cách đặt, thay x và y lần lượt vào phương trình của miền D ta có

 r cos     r sin  
2

2

2
2
 4  r 2  cos     sin     4  r 2  4



Mà r không âm và góc chạy trên toàn hình tròn nên suy ra

 0r 2
2

2

A   x x 2  y 2 dxdy  DetJ . r cos .  r cos    (r sin  )
0    2
D
D
1

2

A

2

 d  r
0

Ví dụ 2

0



3

cos  dr 

2



0

2
 r4
 2
d .  cos   / 0  4  cos  d  0
 4

0

1  x 2  y 2 dxdy với D là miền x2  y 2  x

D

2

1
1

1 1
1
x    y2 
2
2

Ta biến đổi miền D lại thành x  2 x.   y  = 
2
4
2 4
4

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

 1
 r / x  / x   cos  r sin  
 x   r cos 
Đặt  2
ta phải tính Det J với J   /
=

/ 
 
 y  r sin 
 r y  y   sin  r cos  

Suy ra DetJ = r , tương tự ví dụ 1 ta có  chạy trên toàn miền hình tròn và r không âm
1

 0r 
nên suy ra 
2
0    2
A   1  x 2  y 2 dxdy   1  rdrd 
D

D1

2

1
2

0

0

 d 

1  rdr

2
2
A  2 .  

6 
3

Bài tập
2
2 3
2
2
a)  ( x  y ) dxdy với D là x  y  1
D

b)

 x2  y 2  1
(
x

y
)
dxdy
với
D
là


D

c)



y0



4  x 2  y 2 dxdy với D là x2  y 2  2 y



2
2

4  x 2  y 2 dxdy với D là  x  y  6 x

D

d)

D



y0

3)Tích phân bội 3( tích phân 3 lớp)
+)3.1 Công thức tính trong hệ tọa độ đề các
Nếu f ( x, y, z) liên tục trong miền V cho bởi hệ phương trình sau

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

a xb


 y1 ( x)  y  y2 ( x) (V) thì
 z ( x, y )  z  z ( x , y )
2
 1

b

 f ( x, y, z)dxdydz   dx 
D

a

z2( x , y )

y 2( x )

y1 ( x )

dy



dz (*)

z1( x , y )

Từ công thức (*) ta có thể viết lại như sau
z1 ( x , y )

 f ( x, y, z)dxdydz   dzdy 
D

D1

f ( x, y, z )dz trong đó D1 là hình chiếu của miền V

z1 ( x , y )

xuống hệ trục 0yz .
Ví dụ1 Tính tích phân

dxdydz

 (1  x  y  z)

3

trong đó V là miền giới hạn bởi x=0,

V

y=0,z=0,x+y=1 và x+y-z=0
Lời giải
 0  x 1
x y
1
1 x
dxdydz
dz

  dx  dy 
Ta viết lại miền V  0  y  1  x suy ra A  
3
(1  x  y  z )

(1  x  y  z )3
V
0
0
0
0  z  x  y

1

1 x

x y

0

0

0

A   dx  dy
1

1 x

x y

0

0

0

A   dx  dy

1 x

1 x

1
A   dx 
2 0 0
1

A



1 x

x y


0

d (1  x  y  z )
(1  x  y  z )3

1 x

d (1  x  y  z ) 1

1
  dx  dy.
/ x y
2 0
3
(1  x  y  z )
2 0 0
1  x  y  z 
1

1 x

1
1
1
dx  dy.
/ x  y   dx 
2 0

2 0 0
2 0 0
1  x  y  z 
1

A



1

dz
 dx  dy
(1  x  y  z )3 0
o

1



dy
dy


2
2 
 (1  2 x  2 y ) (1  x  y ) 


 1 1
 1 x
dy
dy
1
1

 


 /0
2

2 
 (1  2 x  2 y ) (1  x  y )  2 0  2(1  2 x  2 y) 1  x  y 

1
 1 x 1
1 
1
1
1
1


 / 0  (ln 2  ln 3  )

2 0  2(1  2 x  2 y ) 1  x  y 
2
4
3

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

x0


Ví dụ 2 Tính tích phân sau  xdxdydz với V  

y0
V
 x2  y 2  z  4


Lời giải
 0 x2

Ta viết lại miền V  0  y  4  x 2
 x2  y 2  z  4

2

Suy ra B   xdxdydz   dx
V

B

0

4 x2



4

dy

0



xdz tính tương tự ví dụ 1

x2  y 2

64
15

+)3.2 Công thức trong tọa độ trụ
a) Tọa độ trụ : Tọa độ M(x,y,z)  0xyz là bộ 3 số sắp theo thứ tự (r,  , z) trong đó (r,  )
là tọa độ cực M’(x,y) , hình chiếu của M lên mặt phẳng 0xy vậy với mọi điểm của
không gian ta có r  0, 0    2 , -  z  

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Phương pháp giải
 x  r cos 

Đặt  y  r sin  (*) ta cũng phải tính DetJ thông thường nếu đặt như (*) thì DetJ=r
 zz


Suy ra

 f ( x, y, z)dxdydz   f (rcos  , rsin  , z) drd  dz


V

Thông thường 

1    2


được xác định bằng hpt sau  r1 ( )  r  r 2( )
 z (r ,  )  z  z (r ,  )
2
1

Ví dụ Tính tích phân


V

 z0
 2
2
2
( x 2  y 2 )dxdydz với V là  z 2  x 2  y
x y 4
 z  0

Lời giải
Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......

link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

 z 2  x2  y 2
suy ra
2
2
x y 4

Ta có 

z2  4  z  2

Chiếu miền V xuống mặt phẳng 0xy ta được đường tròn x2 + y2 = 4
 x  r cos 

Đặt  y  r sin  suy ra
 zz


 0 z2

0    2 và DetJ = r
 0r 2

2

2

2

0

0

0

2
2
Ta có C   ( x  y )dxdydz  DetJ . dz  d   r cos    (r sin  ) 
2

2

V

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

2
C  DetJ . dz  d   r cos    (r sin  )2    dz  d  r 3dr



Tính tích phân như bình thường suy ra kết quả
Chú ý với tính tích phân bằng phương pháp đổi biến nhớ phải có DetJ
Bài tập ôn chương 3
a)

 x ( x  y)dxdy với D là miền giới hạn bởi
2

y  x 2 , x=y 2

D

b)

 ( x  2 y  1)dxdy với D là miền giới hạn bởi x

2

 y 2  2 x, x2  y 2  2 y

D

 y2  x

 y2  5 x

2

y

c)  ( x  2 y  1)dxdy với D là miền giới hạn bởi  x 2 
3
D

x2

 y  2

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

x, y  0

 x2  y 2  4

(
x

y

z
)
dxdydz
d) 
với D là miền giới hạn bởi  z 2  1  x 2  y 2

V

z0
 z  x 2  y 2
(
x

y

z
)
dxdydz

e) 
với D là miền giới hạn bởi 
2
2
 z  x  y
V

************************
CHƯƠNG 4 Tích phân đường, mặt
I) Tích phân đường
1) Tích phân đường loại 1
+) Công thức tính
-TH1) Giả sử AB cho bởi phương trình y=y(x) và a  x  b và hàm số f(x,y) liên tục
trên AB , khi đó


AB

b

f ( x, y )ds   f ( x, y ( x)) 1   y ' x  dx
2

a

-TH2) Giả sử AB cho bởi phương trình x=x(t ) và y=y(t) với a  t  b và hàm số f(x,y)
liên tục trên AB , khi đó


AB

b

f ( x, y )ds   f ( x(t), y(t)) ( x 't ) 2   y 't  dt
2

a

 r  r ( )
-TH3) Cung AB có phương trình trong tọa độ cực 
1    2


AB

1

f ( x, y )ds   f  r ( ).cos  , r( ).sin   r 2  ( r ' ) 2
1

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

Chú ý



VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

f ( x, y )ds   f ( x, y )ds

AB

BA

Ví dụ 1 Tính tích phân sau  ( x  y )ds với C là biên tam giác với các đỉnh 0(0.0) , A(1,0)
C

, B(0,1)
Lời giải
Ta có miền C được ve trên hệ trục tọa độ như sau

A   ( x  y )ds   ( x  y )ds   ( x  y )ds   ( x  y )ds
C

OA

AB

OB

Phương trình đt OA là y  0, 0  x  1
1

 ( x  y)ds  x
OA

0

1  0dx 

1
2


 x0
(OB) 
0  y  1
Bằng cách tương tự ta có 
 (AB)  y  1  x


0  x  1


Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
1

1
(
x

y

)
ds

y
1

0
dy

Suy ra 
0
2 và
OB

1

 ( x  y)ds  x
AB

1  1dx  2

0

Vậy A  1  2
Ví dụ 2 Tính tích phân sau I   x 2  y 2 ds với L là đường tròn x2  y 2  2x
L

Lời giải
 r  2 cos 


Ta viết lại miền L trong tọa độ cực 

 2    2

Áp dụng công thức ở TH3 ta có
I   x 2  y 2 ds 
L

I


2




2


2




2

(2cos .cos  )2  (2cos .sin  )2 . (2cos  )2  (2cos  )' 

2

(2cos .cos  )2  (2cos .sin  )2 . (2cos  )2  (2cos  )'  

2


2

 4cos   8


2

2
2
Vậy I   x  y ds  8
L

2) Tích phân đường loại 2
+) Gỉa sử 2 hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên cung AB trơ cho bởi phương trình
 x  x(t )
Điểm A tương ứng với giá trị tham số t=tA và Điểm B tương ứng với
 y  y (t )

tham số 

giá trị tham số t=tB . Khi đó
tB

 P(x, y) dx  Q(x, y) dy   (P(x(t), y(t)dt  Q( x(t ), y(t ) dt
AB

tA

Chú ý tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào đường đi của tích phân
Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />

GIẢI TÍCH 2

VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

 P(x, y)dx  Q(x, y)dy    P(x, y)dx  Q(x, y)dy
AB

BA

Ví dụ1 Tính  (2 xy  x 2 )dx  ( x  y 2 dy trong đó C là cung parabol y=1- x2 đi từ điểm
C

A(0,1) đến B(-1,0)
Lời giải
 xt
vì đi từ điểm A đến B suy ra 0  t  1
2
 y  1 t

Đặt 

1

A   (2 xy  x )dx  ( x  y )dy   2t.(1  t 2 )  t 2 dt  t  (1  t 2 ) 2 .(2t )dt  rút gọn r bấm máy
2

2

C

0

tính

A   (2 xy  x 2 )dx  ( x  y 2 )dy 
C

Ví dụ 2 Tính

7
6

x2 y 2
xdy

ydx

1
với
D
là
(E)


9

D

4

Lời giải
 x  3cos t
với 0  t  2
 y  2sin t

Đặt 

Suy ra A   xdy  ydx 
D

2

 (3cos t.2 cos t  2sin t.(3sin t ))dt
0

2

A

 (3cos t.2 cos t  2sin t.(3sin t ))dt  12
0

Vậy A  12
3) Công thức green

Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để được giải đáp thắc mắc các môn học, đồ án ......
link group: />