Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ NHÀN

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI
VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015


1

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự
giúp đõ cho việc thực hiện luận văn này đã đuợc cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã đuợc chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Nguời viết luận văn

Trần Thị Nhàn


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Qua đây,
tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa

học của mình, PGS. TS. Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt
quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các
thầy cơ trong khoa Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm, Đại học
Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác
giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Tốn K21b,
đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được
sự chỉ bảo tận tình của các thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Người viết luận văn

Trần Thi Nhàn


Mục lục

Lòi cam đoan

i

Lòi cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Điều kiện cần Fritz John cho cục tiểu yếu

3

1.1 Các kiến thức bổ trợ...................................................................................... 3
1.1.1. Dưới vi phân suy

rộng.................................................................. 3

1.1.2. Các dưới vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot 7
1.1.3. Dưới vi phân suy rộng chính quy, dưới vi phân suy rộng tối
thiểu.................................................................................................10
1.2 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu.........................................13
2 Điều kiện chính quy và điều kiện tối uu Karush-Kuhn-Tucker

24

2.1 Điều kiện chính quy và điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker .... 24
2.2 Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu...........................................................28
Kết luận............................................................................................................... 30
Tài liệu tham khảo..............................................................................................31


1


2

Sưu tầm và đọc tài liệu từ các sách, tạp chí tốn học trong nước và quốc tế
liên quan đến điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc to. Qua đó, tìm hiểu và
nghiên cứu về vấn đề này.
3. Mục đích của luận văn
Luận văn trình bày các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn
ngữ dưới vi phân suy rộng trong bài báo của D. V. Lưu đăng trong tạp chí ĩoumal
of Optimization Theory and Applications, Vol. 160 (2014), pp. 510-526.
4. Nội dung của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục các tài liệu
tham khảo
Chương 1: Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu
Trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần
Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc
đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm Lipschitz địa phương.
Chương 2: Điều kiện chính quy và điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker
Trình bày các điều kiện chính quy và điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho
bài tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc
tập với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng với
các giả thiết về tính lồi suy rộng, các điều kiện cần tối ưu trở thành các điều kiện
đủ tối ưu.


Chương 1
Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu
Trong chương 1 chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân
suy rộng và điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu của bài tốn tối ưu
đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn
ngữ dưới vi phân suy rộng. Các kết quả trình bày trong chương này được tham
khảo trong [9], [14].

1.1

Các kiến thức bổ trợ

1.1.1. Dưới ví phân suy rộng
Cho f là hàm giá trị thực mở rộng được Xác định trên R n. Nhắc lại rằng đạo
hàm theo phương Dim dưới và trên f và f+ của f tại x 2 Rn theo phương
v 2 Rn được xác định như sau:
f -(x v):=liminf f (x + tv) - f x ;
t#0
t
(f +(x; v) :=límsup f (x + tv) - f x
t#0
Nếu f

+

1:

(x; v) = f ~(x; v), thì giá trị chung đó được gọi là đạo hàm của hàm

f tại x theo phương v và ký hiệu là f 0(x; v). Hàm f gọi là khả vi theo phương
tại x nếu tổn tại đạo hàm theo phương của nó tại x theo mọi phương. Nếu f là
khả vi Fréchet tại x với đạo liàm Fréchet V f (x) thì f0(x; v) = (Vf (x, v)i .


Theo [9] hàm f được gọi là có dưứi vi phân suy rộng trên @*f (x) (hay dưới
@*f (x)) tại x 2 Rn nếu d*f (x) (hay (@f (x)) c Rn) là tập đóng và
f (x; v) < sup «,vi
£eỡf (x)

(8v 2 R),

f + (x v)

(8v 2 Rn

; > £€inf «,v)

ộ.

Một tập đóng @*f (x) c R' được gọi là một dưứi vi phân suy rộng của f tại x
nếu @* f (x) đổng thời là dưứi vi plián suy rộng trên và dưới của f tại x .
Theo [8] hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên
@*f (x) c Rn tại x nếu @*f (x) là tập đóng và
f + (x v)
; < sup «,v)
Ví dụ 1.1.1
&d*f
Cho hàm f : R ! R được xác định
bởi(x)

Íx,

(8v 2 R).

(1-1)

khi x 2 Q \ [0; +1[,
x4 — 4x3 + 4x2;

khi x 2 Q \ ]—i;0],
0;
trong các trường hợp khác,

trong đó Q là tập các số hữu tỷ. Khi đó
I v, khi v > 0,
f (0; v) = p “
: 0, khi v < 0,
+

>"

f_(0; v) = 0 (8v 2 R).
Tập {0; 1} là dưtì vi phân suy rộng bán chính quy trên của f tại x, cho nên
nó cũng là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x. Tập {0} là dưới vi phân suy
rộng dưới của f tại x.
Theo [9], nếu xảy ra đẳng thức trong (1.1) thì d*f (x) được gọi là dưới vi
phân suy rộng chính quy trên. Với một hàm Lipschitz địa phương, dưới vi phân


Clarke và dưới vi phân Michel-Penot là những dưới vi phân suy rộng của
f

tại

x (xem [9]). Hơn nữa với một hàm Lipschitz địa phương chính quỵ trong
theo
nghĩa Clarke [4], dưới vi phân Clarke là một dưới vi phân suy rộng chính
quy
trên (xem [7]). Chú ý rằng, nếu hàm f có một dưới vi phân suy rộng chính

quy
trên tại x thì nó cũng là dưtì vi phân suy rộng bán chính quy trên tại x, và
do
đó nó được là dưới vi phân suy rộng trên tại x.

Ví dụ 1.1.2
Ta xét hàm f : R ! R được xác định bởi:
I x2|cos£I,
f (x) = : 0 1 xl
x

khi x = 0,
khi x = 0.

Ta có f + (0; v) = f_ (0; v) = 0, (8v 2 R). Dưới vi phân Clarke và MichilePenot của f tại x = 0 tương ứng là [—%; %] và {0}. Các tập {0}, [—%; %] và
■{ %; %} là các dưứi vi plián suy rộng của f tại x. Tập {0} là dưới vi phân suy
rộng chính quy trên của f tại x.
Theo [16] một hàm giá trị thực mở rộng f xác địnli trên tập Q Q Rn được
gọi là tựa lồi tại x 2 Q tlieơ Q nếu với mỗi x 2 Q,
f (x)

< f (x) )8t 2 ]0,1[;

f (tx

■ (1 - t)x) < f (x).

f được gọi là tựa lồi trên Q nếu f là tựa lồi tại mỗi x 2 Q. f gọi là tựa tuyến
tính tại x 2 Q tlicơ Q nếu ±f là tựa lồi tại x theo Q.
Trong [20] Yang chỉ ra rằng, nếu f là liên tục, tựa lồi và có một dưới vi phân

suy rộng dưới lồi trên một tập lồi Q thì với mỗi x, y 2 Q,
f (x) < f (y) ) ;<“> 2 @.f(y),

lim (e<“>,x - y) < 0.
n!<x>

Nếu f có một dưtì vi phân suy rộng chính quy trên tại x thì ta có mệnh đề sau
đây.
Mệnh đề 1.1.1
Giả sử f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên @*f (x) tại x và f tựa lồi


tại X 2 Q theo tập lồi Q. Khi đó,
Vx 2 Q; f(x)

< f(x) ) v< 2 @*f (x), «, x - x < 0.

Chứng minh
Vì f là tựa lồi tại X tlico Q, với mỗi X 2 Q thỏa mãn f (x) < f (x), ta có
f+(X; X — x) < 0.
Do tính chính quỵ trên của dưới vi phân suy rộng @*f (x), với mỗi X 2 Q thỏa
mãn f (x) < f (x), ta có
sup (£, X — xi = f +(X; X — x) < 0.
■' */(x)
Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

□

Theo [20], hàm thực mở rộng f có một dưtì vi phân suy rộng dưới lồi @*f (x)
trên Q được gọi là giả lồi tiệm cận dưới trên Q nếu với mỗi X, y 2 Q,

'.(n) 2 @.f (x),
nu

lim D(n), y - x) > 0 ) f (y) > f (x).

Hàm giá trị thực mở rộng f có một dưtì vi phân suy rộng @*f (x) tại X được gọi
là giả lồi tiệm cận tại X tlico Q nếu, với mỗi X 2 Q ta có
3^(n) 2 conv@*f(x), lim (£(n),x — x) > 0 ) f (x) > f (x).
nu \
/
trong đó conv kí hiệu bao lồi
Ví dụ 1.1.3
Cho f, g : R ! R
{X, khi X < 0,
1X, khi X > 0,
Íx, khi X 2 Q,
2x,

khi X 2 (R\Q) \ ]—!, 0]

2X,

khi X 2 (R\Q) \ [0,1[.


Khi đó một dưới vi phân suy rộng của f tại 0 là d*f (0) = {2; 1} và f là giả
lồi tiệm cận tại 0 theo Q = R Một dưtì vi phân suy rộng dưới của g tại 0 là
@*g(0) = { 2; 2 } và g là giả lồi tiệm cận dưới tại 0 theo Q = R.
Cho K là một nón lồi đóng trong Rn và
K* := 8 2 Rn : <e, x> > 0; 8X 2 Kg

là nón cực khơng âm của K. Cho f : Q c R n ! Rm và nlni' vậy f =
(fi,...; fm). Giả sử fk có một dưtì vi phân suy rộng @*fk (X) tại X. Hàm f được
gọi là giả lồi K - tiệm cận vỏ hướng tại X theo Q nếu với mỗi A 2 K*, hàm
XT f là giả lồi tiệm cận tại X trên Q.
Các nón tiếp tuyến Bouligand và Clarke của tập C c Rn tại một điểm X 2 C
được định nghĩa tương ứng bởi
K(C; X) := fv 2 Rn : 9 vn ! v, 9 tn # 0 sao cho X + tnvn 2 C; 8ng ;
T(C; X) := fv 2 Rn : 8 xn 2 C;Xn ! X; 8 tn # 0 ; 9 vn ! V
sao cho xn + tnvn 2 C; 8ng .
Nón các phương đạt được của C tại X 2 C là:
A(C; X) = n v 2 Rn : 95 > 0; 97 : [0; ỗ] ! Rn sao cho
7 (0) = X;7 (t) 2 C; 8t 2 ]0;ỗ] ;7 '(0) = lim 7 ;' ^7 (o) = v^ .
Nón pháp tuyến Clarke của C tại X là
N(C;X) = 8 2 Rn : «; v> < 0 8 v 2 T(C;X)g .
Chú ý rằng các nón T (C; X) và N(C; X) là khơng rỗng, đóng và lồi; N(C; X) =
—T*(C;X) và T(C;X) c K(C; X). Trong trường hợp C lồi thì T(C; X) =
K (C; X).

1.1.2.

Các dưới ví phân Clarke-Rockaíellar, Clarke, Míchel-Penot

Sau đây ta sẽ thấy rằng các dưới vi phân Clarke-Rockaíellar, Clarke, MichelPenot,...đều là dưới vi phân suy rộng.


Cho hàm f : Rn ! R là I1ŨU hạn tại điểm x 2 X Nếu f là nửa liên tục
dưới tại x thì dưtì đạo hàm trên Clarke - Rockafellar của f tại x tlico v được
xác định bởi:
f" (x, v) = limsup inf [f (x0 + tv0) — f (x0)] /t,
x' !f x v'!v

t#0
trong đó x0 ! fx nghĩa là x' ! x và f (xf) ! f (x) .
Nếu f là nửa liên tục trên tại x thì dưới đạo hàm dưới Clarke-Rockafellar của
f tại x tlico v được xác định bởi
f# (x, v) = lim inf sup [f (x0 + tv0) — f (x0)] /t.
x
' ! fx
■
Nếu f là lièn tục tại x thì x0 ! f x trong các địnli ngliĩa trên trở thành x 0 ! x.
Dưới gradient suy rộng trên và dưới của f tại x được cho bởi

Nếu f" (x, 0) >
mỗi v 2 Rn,

@"f (x) =

{x* 2 X* : (x*, vi < f"

(x, v);8v

2 X} ;

d#f (x) =

{x* 2 X* : (x*, vi > f#

(x, v);8v

2 X} .

1 thì @" f (x) là tập con kliỏngrỗng, lồi, đóng của Rn và với
f" (x,v) =

sup
(x*,vi .
x*2 @"f(x)

Tương tự, nếu f# (x, 0) < 1 thì @#f (x) là tập con khơng rỗng, lồi, đóng của
Rn và với mỗi v 2 Rn,
f

# (x’v)

hx

x*2 @#J(x)

*’vi.

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì
f" (x; v) = fo (x, v); f# (x; v) = fo (x, v);
trong đó,
fo (x, v) = lim sup [f (x0 + tv) — f (x0)] /t,
x
!0 x
fo (x, v) = liminf [f (x0 + tv) - f (x0)] /t.
x
' t!ox

là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của f tại X theo phương
V. Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bơi
d° f (x) = {x* 2 X* : (x» < f0 (x,v), 8v 2 Xg .
Hơn nữa,
f0 (x,v)= max (x*,v),
fo (x,v) = min (x*,v).
7
x*2 ỡ°/(x) '
x2 ớ°/(x) '

7

Do đó, nếu f là Lipschitz địa phương tại X thì @of (x) là dưới vi phân suy rộng
của f tại X, bởi vì
f

■ (x,v) < f0 (x,v) , f + (x,v) > f0 (x,v) .

với mỗi V 2 X.
Tương tự, nếu f là Lipschitz địa phương tại X thì đạo hàm theo phương trên và
dưới Michel — Penot của f tại X tương ứng được cho bơi
f} (X, V) = sup lim sup A 1 [f (x + Az + Av) — f (x + Az)] ,
zeX Aị0
f} (X, V) = inf lim inf A-1 [f (X + Az + AV) — f (X + Az)] .
z2X Aị0
Khi đó dưới vi phân Michel — Penot được xác định bởi
d}f (x) := {x* 2 Rn : f} (x, V) > (x*, vi , 8v 2 Rn} .
Đạo hàm theo phương trên và dưới Michel — Penot f} (x,.) và f} (x,.) là dưới
tuyến tính, hữu hạn, @}f (x) là compact lồi
f} x v

< ’ >=x.emf) hx’’vi ,

f}(x v)

’ =».e*mn(x) <x’,v>.

Do đó, @}f (x) cũng là một dưứi vi phân suy rộng của f tại X, bơi vì
f_ (x, V) < f} (x, V) và f+ (x, V) > f} (x, V) NỚi mỗi V 2 Rn.
Ví dụ 1.1.4
Định nghĩa f : R2 ! R xác định bởi
f (x,

y) = Ix| - |y|.


Khi đó
@-f (0) = {(1,-1) , (-1, 1)} .
là một dưới vi phân suy rộng của f tại 0. Ta có
@}f (0) = @of (0)=co({(1,1) , (-1, 1) , (1,-1) , (-1,-1)}) .
Chú ý rằng
co(@f (0)) c @}f (0) = @of (0) .
1.1.3.

Dưới ví phân suy rộng chính quy, dưới vi phân suy rộng tối thiểu

Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy dưới vi phân suy rộng trên và dưới khơng duy
nhất. Vì vậy trong phần này chúng ta sẽ trình bày các điều kiện về tính duy nhất
và tối thiểu của dưới vi phân suy rộng trên hoặc dưới. Trước tiên ta trình bày
khái niệm dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới.

Hàm f : Rn ! R được gọi là có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên
@* f (x) c Rn tại X nếu @* f (x) là tập đóng và với mỗi v 2 Rn,
f+ (x,v) = sup (x*,v} .
x*2d *f (x)
Tương tự, hàm f được gọi là có một dưới vi phân suy rộng chính quy dưới
@*f (x) c Rn tại X nếu @*f (x) là tập đóng và với mỗi v 2 Rn.
f

" (x,v) =,Jf > hx*,vi •
x*2ơt f (x)

Rõ ràng, mỗi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại X là một
dưới vi phân suy rộng của f tại X.
Trong mệnh đề sau chúng ta sẽ trình bày mối liên hệ giữa tính khả vi và tính
chính quy.
Mệnh đề 1.1.2
Hàm f : Rn ! R là khả vi Gâteaux tại Xo nểù và chỉ nếu f là khả vi theo
phương tại xo và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và chính quy


dưới, tại x0.

Chứng minh
Nếu f là Idia vi Gátcaiix tại x0 thì nó khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux
{f 0 (x0)} và là một dưtì vi phân suy rộng chính quỵ trên và dưới của f tại x 0.
Ngược lại, nếu f klia vi tlico phương tại x0 và nếu @* f (x0) là một dưới vi phân
suy rộng chính quy trên và dưới thì với mỗi v 2 Rn.
f

0 (x0,v) = f■ (x0,v) =

x*2ơ* f (x)

inf

hx ; vi

*

= f+ (x0,v) = sup (x*,v} .
x*2@*f (x)
Do đó @*f (x0) là tập một phân tử và vì vậy f klia vi Gátcaiix tại x0.
□
Ta nói rằng @* f (x) là duứi vi plián suy rộng tối thiểu (trên/dưới) của f tại x
nếu khơng tổn tại một tập đóng C (x) trong Rn sao cho C (x) c @*f (x) ;
C (x) = @*f (x) và C (x) là một dưtì vi phân suy rộng (trên/dưới) của f tại x.
Ký hiệu tập các điểm cực biên của dưới vi phân suy rộng @*f (x) của f tại
x là Ext (@*f (x)).
Mệnh đề 1.1.3
Giả sử rằng f : Rn ! R có một dưới vi phân suy rộng chính quy compăc trên
(dưới) d*f (x) tại x. Khi đó Ext (co (d*f (x))) là dưới vi phân suy rộng chính
quy trên (dưới) tối thiểu duy nhất của f tại x.
Chứng minh
Cho A c Rn có một dưtì vi phân suy rộng chính quy trên của f tại x. Khi đó,
với mỗi v 2 Rn,
f + (x,v)=

sup hx*,v) = sup (x*,v).

Nên A là tập con đóng và bị chặn của Rn với
co (d*f (x)) = co (A).

Khi đó,
Ext (co (@* f (x))) = Ext (co (A)).


Chúng ta chỉ ra rằng
Ext(co(@*f (x))) c A.
Thật vậy hiển nhiên ta có
Ext (co (A)) c Ext (A).
Do đó,
Ext (co (@*f (x))) = Ext (co (A)) c Ext (A) c A.
Bưi vì A là tập đóng, ta có
Ext (co (@*f (x))) c A.
Mặt khác bởi vì, @*f (x) là một dưới vi phân suy rộng chính quy compăc trên,
cho nên Ext (co (@*f (x))) cũng là dưới vi phân suy rộng chính quy compăc
trên của f tại x. Do đó, Ext (co (@*f (x))) là dưới vi phân suy rộng chính quy
tối thiểu trên duy nhất của f tại X. Cliúng minh tương tự cho trường hợp f có
dưới vi phân suy rộng chính quy dưới.
□
Ta nói hàm f liữn liạn và liên tục tại x là cliínli quy trên tại x nếu với mỗi
V 2 R.
f+ (X;V ) = f" (x,v) .
Tương tự hàm f là chính quy dưới tại X nếu với mỗi V 2 Rn,
f

■ (x.v) = f# (x.v).

Chú ý rằng, nếu f : Rn ! R là Lipschitz địa phương trên Rn và nếu với mỗi
V 2 Rn, f+ (.. v) [f_ (.. v)] là nửa liên tục trên [dưới], thì với mỗi X 2 Rn và
V 2 R.
f+ (x. v) = fo (x. v) = f" (x. v) [f - (x. v) = f (x. V ) = f# (x. v)] .

cho nên, f là cliínli quy trịn [dưới] tại x (xem [6]).
Nếu f" (x. 0) > —1 và nếu f là cliínli quy trên tại x thì @"f (x) khác rỗng,
lồi, đóng của Rn và với mỗi V 2 R'.
f+ (x.v) = f" (x.v) = sup hx*.vi .
x*2d " f (x)


Do đó, @"f (x) là một dưtì vi phân suy rộng chính quỵ trên của f tại X. Tương
tự, nếu f # (X; 0) < 1 và f cliínli quy dưới tại X thì @#f (x) khác rỗng, lồi, đóng
của Rn và với mỗi v 2 Rn;
f (X; v) = f# (X; v) = inf hx*; vi.
x*2ơ #f (x)
Cho nên @#f (x) là dưtì vi phân suy rộng chính quy dưới của f tại X.
Nếu f : Rn ! R là Lipschitz địa phương trên R n và cliínli quy trên tại X, thì
với mỗi v E Rn;
f+ (X; v) = f" (X; v) = fo (X; v ) =

max hx* ; vi .
x*2Ỡ°f (x)

Do đó, Ext (@of (x)) là dưới vi phân suy rộng chính quy tối thiểu trên duy nhất
của f tại X. Chú ý rằng, nếu f là lồi thì Ext (@f (X)) là dưới vi phân suy rộng
chính quy tối thiểu trên duy nhất của f tại X, trong đó
@f (x) := fx* 2 X* : f (y) - f (x) > (x*,y - x) ; 8y 2 Rng
là dưới vi phân lồi của f tại X.

1.2 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu
Phần này trình bày các điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương
dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng chính quy trên và bán chính quy trên. Xét
bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) sau:

min f (x);
g (x) < 0;
h (x) = 0;
X 2 C;
trong đó f g, h tng úng là các ánh xạ từ R n vào RE Rm, Rz; C là một tập
con của Rn. Khi đó f = (fi ;...;fr), g = (gb...,gm), h = (hi;...;h), trong đó
fi;...; fr, g1;...; gm h 1;...; h là những hàm giá trị thực mở rộng xác định trên


Rn. Với x, y 2 Rn, ta viết x < y nếu Xi < yi ; (i = 1;...; n). Như vậy g(x) < 0
có nghĩa là gi (x) < 0, (i = 1; ...,m) và h(x) = 0 có nghĩa là hj(x) = 0,
(j = 1; ...;l).Đặt I = {1; ...; m} , J = {1; ...; r} , L = {1; ...; l} . Chú ý ràng
điều kiện cần dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng cho bài toán với ràng
buộc
tập hoặc ràng buộc bất đẳng thức đã được nghiên cứu bởi Dutta-Chandra
[7,8]
và có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức đã được nghiên cứu bởi Luu
[15].
Kí hiệu M là tập chấp nhận được của bài toán (P):

M := {x 2 C : g(x) < 0; h(x) = 0} ;
và
I(x) := {i 2 I : g(x) = 0} ;
H := {x 2 R : h(x) = 0} .
Mở rộng của định lý Ljustemik cổ điển của Jiménez-Novo trong [11] sẽ được
sử dụng để dẫn điều kiện cần tối ưu.
Mệnh đề 1.2.1 [11]
Giả sử rằng
(a) C là tập lồi và x 2 H \ C;
(b) h liên tục trong một lân cận của x và khả vi Fréchet tại x với đạo hàm

Fréchet làVh(x);
(c) Điều kiện chính quy (RC) sau đây đúng:
0 2 X7jVhj(x) + N(C,x) ) 71 = ... = 7/ = 0.
j2L
Khi đó,
A(H \ C; x) = T(H \ C; x) = (ker Vh(x)) \ T(C; x)
= cl [(ker Vh(x)) \ cone(C — x)] ;
trong đó cl kí hiệu bao đóng.


Nhận xét 1.2.1
Nếu C = Rn, h thuộc lớp C1 trong một lân cận của x và Vh 1(x);...; Vhr(x) là
độc lập tuyến tính, thì mệnh đề 1.2.1 trở thành định lý Ljustemik cổ điển. Thật
vậy, khi đó ánh xạ Vh(x) là toàn ánh, T(C; x) = Rn, điều kiện chính quy (RC)
đúng và ta có ker Vh(x) = T(C; x).
Điều kiện (RC) sẽ đuợc minh họa bởi ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.1
Cho h : R3 ! R2 và C c R3 đuợc xác định nhu sau
h :=(hi,h2), (x,ỹ,^) = 0,
h1(x; y; z) = x + 2y + Z;
h2(x,y, z) = 2x + 4y - z,
C:
= {(x;y;z): -1 < x < 0; -1 < y; z < 1}.
Khiđó Vh1(0; 0; 0) = (1; 2; 1) Vh2(0; 0; 0) = (2,4; -1), T (C; 0) = -R+ X
R X R, N (C; 0) = R+ X {0} X {0} và điều kiện (RC) thỏa mãn. Thật vậy nếu
0 2 71Vh1(0) + 72Vh2(0) + N(C; 0);
có nghĩa là
(0; 0; 0) 2 (71 + 272; 271 + 472; 71 - 72) + R X {0} X {0} ;
khi đó ta suy ra 71 = 72 = 0. Do đó, điều kiện (RC) đúng
Nhắc lại rằng điểm x 2 M đuợc gọi là cực tiểu Pareto yếu địa phuơng của

bài toán (P) nếu tổn tại một số ỗ > 0 sao clio kliỏng tổn tại x 2 M \ B (x; ổ)
thỏa mãn
fk (x) < fk (x)
(8k 2 J) ;
trong đó B (x; ỗ) là hình cầnmư bán kính ỗ tâm x.
Giả thiết sau đây là cần thiết để dẫn các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu
yếu.


Giả thiết 1.2.1
Tổn tại một chỉ số s 2 J sao cho f s có một dưới vi phân suy rộng trên @* fs (x)
tại x. Vứi mỗi k 2 J; k = s và i 2 I (x), các hàm fk và gi có các dưới vi
phân suy rộng bán chính quy trên @*fk (x) và @*gi (x) tại x; tất cả các hàm
gi (i 2 I (x)) liên tục tại x.
Trên co sở định lý Ljustemik suy rộng của Jiménez-Novo [11], ta chứng minh
điều kiện cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P).
Định lý 1.2.1
Giả sử x là cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P). Giả sử rằng tất cả các giả
thiết của mệnh đề 1.2.1 và giả thiết 1.2.1 đứng. Giả sử các hàm f k (k 2 J) và
gi (i 2 I (x)) Lipschitz địa phương tại x. Khi đố, các hệ sau khơng có nghiệm
v 2 '■■■'.■
sup
(&,v> < 0
£k 2convd*fk (x)

■■/'■ 2 J);

(1.2)

sup

«i,v> < 0 (8i 2 1 (x));
€i2cơnvd* gi(x)

(1.3)

<Vhj (x),v> =0 (8j 2 L);

(1.4)

v 2 T(x; C):

(1.5)

Chứng minh
Ta chỉ ra rằng những điều kiện sau khơng có nghiệm v 2 Rn:
fs“(x; v) < 0;

(1.6)

f+(x; v) < 0 (8k 2 J; k = s);

(1-7)

g+ (x; v) < 0 (8i 2 I(x));

(1.8)

(Vhj(x),v> = 0 (8j 2 L);
v 2 T(x; C).

(1.9)
(1.10)


1
7

Giả sử ngược lại rằng hệ (1.6) - (1.10) có một nghiệm v0 2 Rn.
Khi đó,
v0 2 (kerVh(x)) n T(C; x).
Áp dụng mệnh đề 1.2.1 ta suy ra
(kerVh(x)) n T(C; x) = A(H n C; x).
Do đó, 35 > 0 và 7 : [0, 5] ! Rn sao cho
7 (0) = x, 7 (t) 2 H n C (8t 2 ]0, 5]),
1v7

70 (0) = lim 7 (t) - 7 (0) = vo.
t#0
t

(1-11)

0

Như vậy,
7 (t) 2 C và h (7 (t)) = 0 (8t 2 ]0, 5]).
Từ (1.11) ta suy ra

7 (t)

tt

(1-12)

\ 7 (0) + 33 ! vo và 7 (t) - 7 (0) ! vo khi t # 0,

t

trong đó
! 0 khi t # 0.
t
Vì fs là Lipscliit/ địa phương tại x, nên từ [3, tr.286] ta suy ra
fs (x; v0) = lim inf f (x+tv0) f (x)
- li™
fs(x+t(^(^i.^^í0)+33))-fs(x)
= lim inf —-----7— ,
”------s

f

s

s (7 (tp)) < fs(x).

(1-13)


1
8

f

s (7 (tp)) < fs(x).

(1-13)


1
9

f

s (7 (tp)) < fs(x).

(1-13)


2
0

= lim inf fs(x+(7(t)~x))~fs(x)
',0'
t
f (7(t)) f (x)
= lim inf
~ < 0.
t#0
'
s

s

Vì vậy, với mỗi số tự nhiên p, tổn tại tp 2 0, p
(t)
liminf fs(7
) - fs(x) =
lim fs(7
p!+
t#0
t
1
Do đó, tổn tại số tự nhiên N1 sao cho với mọi p > N1,

f

s (7 (tp)) < fs(x).

(t

p))

- fs

tp

x

<

0.

(1-13)


2
1

Vì fk là Lipscliit/ địa phương tại X, cho nên từ (1.11) với Vk 2 J,k = s ta có
fk (x +1 (: '■
f+ (

+ ^Ỵ) - fk (x)

x; vo) = lim sup —---------------------------- - - -------------------