Nhóm abel hổn hợp hạng không xoắn 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
_________________________

Lê Thái Sơn

NHĨM ABEL HỖN HỢP
HẠNG KHƠNG XOẮN 1

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
_________________________

Lê Thái Sơn

NHĨM ABEL HỖN HỢP
HẠNG KHÔNG XOẮN 1
Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM THỊ THU THỦY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Tốn học với đề tài “Nhóm Abel hỗn hợp
hạng khơng xoắn 1” là do cá nhân tôi thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa
học của TS. Phạm Thị Thu Thủy, hồn tồn khơng sao chép của bất cứ ai. Nội dung
của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các bài báo, tạp chí
được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo.
Tơi xin chịu hồn tồn mọi trách nhiệm về luận văn của mình.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm
2020.
Học viên cao học

Lê Thái Sơn


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm TP. Hồ
Chí Minh, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Thu Thủy. Qua đây, tơi xin
được bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người cô của mình. Cảm ơn cơ đã
ln giúp đỡ tận tình trong suốt q trình tơi thực hiện luận văn.
Đồng thời, tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cơ khoa Tốn –
Tin, đặc biệt là các thầy cơ trong tổ Đại số đã tận tình chỉ dạy và trang bị cho tôi những
kiến thức vô cùng quý báu để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Cảm ơn q thầy cơ Phịng sau đại học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tơi
trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn tại trường.
Sau cùng, không thể không nhắc tới các bạn học viên lớp cao học Đại số khóa
27, những người đã cùng tơi học tập, nghiên cứu trong thời gian vừa qua. Sự giúp đỡ,
động viên của các bạn là vô cùng quý báu đối với tôi. Xin chân thành cảm ơn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế. Rất mong nhận được nhưng ý kiến đóng góp của q thầy cơ và các bạn để

tơi có thể hồn thiện luận văn một cách tốt nhất.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm
2020.
Học viên cao học

Lê Thái Sơn


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................................... 3
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM ABEL.............................................. 3
1.2. MỘT SỐ NHÓM ABEL VÀ NHÓM CON ABEL QUAN TRỌNG................5
1.3. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ..................................................................... 8
CHƯƠNG 2. MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN
HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 1.................................................................................. 9
2.1. NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1...................................... 9
2.2. CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG
KHƠNG XOẮN 1.......................................................................................... 10
2.3. BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM ABEL HỖN HỢP THU
GỌN.............................................................................................................. 19
2.4. ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG
XOẮN 1 ĐẾM ĐƯỢC................................................................................... 24
KẾT LUẬN................................................................................................................ 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................... 32

*

Ký hiệu


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
n | a , n | a 

Ý nghĩa
Tập hợp các số tự nhiên.



m,n

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 .

AB
AB

Tập hợp các số nguyên.
Tập hợp các số hữu tỉ.

A
B

a chia hết (không chia hết) cho n .

AB

AB
A
o

Ước chung lớn nhất của hai số nguyên m và n .

A là nhóm con của B .
A là nhóm con thực sự của B .

a 

a1 , a2 ,...

h p * a 

Nhóm thương của A theo nhóm con B .
Nhóm A đẳng cấu với nhóm B .
Tổng trực tiếp của nhóm A và nhóm B .
Cấp của nhóm A .
Cấp của phần tử a .
Nhóm sinh bởi các phần tử a1 , a2 ,...
p-cao độ tổng quát của a .


1

LỜI NĨI ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

Nhóm Abel hỗn hợp là nhóm Abel mà trong đó có chứa các phần tử cấp vô hạn

và các phần tử khác 0 cấp hữu hạn. Nhóm Abel hỗn hợp có thể xem là lớp nhóm tổng
quát nhất trong các nhóm Abel. Một trong những hướng tiếp cận khi nghiên cứu cấu
trúc nhóm Abel hỗn hợp G là xem nó như một mở rộng của phần xoắn T của chính nó
bằng nhóm khơng xoắn
là nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1, khi nhóm thương
hạng 1. Rotman J. [1], Megibben C. [2], Myshkin V.I. [3] đã chứng minh rằng các
nhóm đếm được trong lớp này, các bất biến của nhóm xoắn T cùng với lớp tương
đương ma trận cao độ H(G) tạo thành một hệ bất biến, tạo điều kiện thuận lợi để xem
xét các bài tốn liên quan tới lớp nhóm này.
2.

Mục đích của đề tài
Nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả quan trọng về nhóm Abel

hỗn hợp hạng không xoắn 1.
3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Một số tính chất cơ bản liên quan tới tính chia hết, cao độ trong lý thuyết

nhóm Abel.
- Các bất biến của nhóm Abel xoắn.
- Ma trận cao độ của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1.
- Cấu trúc của nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1 đếm được.
4.

Bố cục của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham

khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.


2

Trong chương này, các khái niệm cơ bản về nhóm Abel, một số lớp nhóm Abel
quan trọng đã được trình bày sơ lược. Thêm vào đó là một số khái niệm về tự số và
quan hệ thứ tự trên tập hợp.
Chương 2: Ma trận cao độ và cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1.
Đây là nội dung chính của luận văn bao gồm 4 phần.
Phần 2.1 trình bày định nghĩa, tính chất và một số khái niệm liên quan của nhóm
Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1.
Phần 2.2 giới thiệu về cao độ và ma trận cao độ của nhóm Abel hỗn hợp hạng
khơng xoắn 1.
Phần 2.3 trình bày khái niệm bất biến Ulm-Kaplansky của một nhóm Abel hỗn
hợp thu gọn.
Phần 2.4 tập trung chứng minh định lý về cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng
khơng xoắn 1 đếm được.


3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM

Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp A  cùng với phép tốn hai ngơi

nhóm

nếu:
y  z

với mọi x , y , z  A .
(2) Tồn tại
phần tử

1


(3) Mọi phần 
tử x
A



x

A sao cho x  0  0  x  x với x  A.
mọi
x nghĩa là
đều có phần tử đối, ký hiệu là
có



x

0

Nếu phép tốn “+” có tính giao hốn, có nghĩa là
thì A được gọi là nhóm Abel.
Trong luận văn này, mọi nhóm ta xét đều là nhóm Abel. Vì vậy để đơn giản,
thay vì ghi “nhóm Abel” ta sẽ chỉ ghi “nhóm”.
Định nghĩa 1.1.2. Cho A là một nhóm. Tập con G  của
của A nếu x  y G với mọi x , y G .
Định nghĩa 1.1.3.
a  A , đặt a  G  a  x | x G, khi đó

a  G    b  G   a  b  G với b  A là một nhóm, gọi là nhóm thương của
Định nghĩa 1.1.4.
tổng trực tiếp của
Mệnh đề 1.1.5. Nhóm A là tổng trực tiếp của hai nhóm con
với mỗi a  A , có và chỉ có một cách biểu diễn
Định nghĩa 1.1.6. Cho A và B là các nhóm. Ta có các định nghĩa sau:



4

(1)
f

Một ánh xạ

f từ A đến B được gọi là một đồng cấu nhóm nếu

  f  y   f x  y  với mọi

x , y  A . Nếu A  B thì f được gọi là tự đồng cấu

x A .
của

(2) Nếu một đồng cấu là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu.
(3) Nếu một đồng cấu là tồn ánh thì nó được gọi là toàn cấu.
(4) Một đồng cấu được gọi là đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là tồn
cấu.
(5)

Nếu có một đẳng cấu từ A đến B thì ta nói A và B đẳng cấu với nhau.

Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một nhóm và phần tử x  A. Cấp của phần tử x ký hiệu
là o x , là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho nx  0 .
Nếu không tồn tại số nguyên

o x   .

dương như vậy thì ta nói cấp của x là vô cùng và ký hiệu
Cấp của một nhóm A là lực lượng của tập hợp A, ký hiệu là

A .


5

1.2. MỘT SỐ NHĨM VÀ NHĨM CON

QUAN TRỌNG

Nhóm xoắn, nhóm khơng xoắn, nhóm hỗn hợp

Mệnh đề 1.2.1. Cho T là tập hợp tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của
nhóm
đó T là nhóm con của
A và được gọi là nhóm con xoắn của A .

A,

khi

Định nghĩa 1.2.2.

(1) Nếu mọi

phầ tử của nhóm A đều có cấp hữu hạn thì A

được gọi là

tử khác 0 của A đều có cấp  thì A được

gọi là nhóm

nhóm xoắn. Nếu mọi n
phần
khơng xoắn.

(2) Nhóm hỗn hợp A là nhóm mà trong đó có chứa các phần tử cấp vơ
hạn
và các phần tử khác 0 có cấp hữu hạn.
Định nghĩa 1.2.3.
(1)

Cho số ng

cấp là lũy thừa của một số nguyên tố p thì A được gọi là một p-nhóm.

(2) Tập hợp các

p là nhóm con của A và được gọi là thành phần p-nguyên sơ của A .
Định lý 1.2.4. Trong một nhóm A , nhóm con xoắn của A là tổng trực tiếp của các
thành phần nguyên sơ trong A .
Định nghĩa 1.2.5. Cho A là một nhóm và U
họ các nhóm con của A chứa U
nhóm con của A sinh ra bởi U
U được gọi là nhóm con hữu hạn sinh của
Nhóm cylic


6

nếu nó được sinh ra bởi một phần tử

Nhóm

. Nếu nhóm x là nhóm có cấp m

có nghĩa là

x A,

m

thì

được gọi là cấp của phần tử x .
Định lý 1.2.6. [4] Mỗi nhóm hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm
cyclic cấp vơ hạn và các nhóm cyclic cấp hữu hạn.
Mệnh đề 1.2.7. Mỗi nhóm cyclic vơ hạn đều đẳng cấu với

.

Nhóm chia được
Định nghĩa 1.2.8. Cho A là nhóm. Ta có các định nghĩa sau:
(1) Phần tử x  A được gọi là chia được cho số nguyên
dương
nếu tồn tại y  A sao cho x  my .
(2)

m trong A

Nếu mọi phần tử của A đều chia được cho mọi số nguyên dương thì A

gọi là nhóm chia được. Nếu mọi phần tử của A đều chia được cho mọi lũy thừa dương
của số ngun tố p thì ta nói A là nhóm p-chia được.
(3)

Một nhóm được gọi là nhóm thu gọn nếu nó khơng có nhóm con chia

được khơng tầm thường.
Mệnh đề 1.2.9. Cho A là nhóm và p là số nguyên tố cho trước. Các khẳng định sau là
tương đương:
(1) A là nhóm p-chia được.
(2
)

pA  A .

Mệnh đề 1.2.10.
p khi và chỉ khi

Mệnh đề 1.2.11. Nhóm con xoắn T  A của một nhóm
được. Nhóm thương

A

T  A cũng là nhóm chia được.


7

Định lý 1.2.12. [5, 21.2] Cho A là nhóm và D là một nhóm con chia được của A .
đó A  D C với C là một nhóm con của A . Hơn nữa C có thể được chọn để

Khi
chứ
a

một nhóm con B bất kỳ của A với D  B  0 .
Định lý 1.2.13. [5, 21.3] Mỗi nhóm A đều là tổng trực tiếp của một nhóm con chia
được và một nhóm thu gọn. Hơn nữa nhóm con chia được này là nhóm con chia được
lớn nhất của A và chứa mọi nhóm con chia được của A .


8

1.3.

QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ

Cho tập hợp X  . Nếu trên

X xây dựng được quan hệ thứ tự " " thì X

được gọi là tập được sắp. Cho  X ,  là tập được sắp, ta nói X là tập được sắp tồn
phầ nếu với mọi x , y  X ta có x  y hoặc y  x .
n

Định lý 1.3.1. (Bổ đề Zorn) Nếu một tập được sắp thứ tự X khác rỗng nào đó có tính
chất mọi tập con sắp thứ tự tồn phần đều có chặn trên thuộc
một phần tử tối đại.
Hơn nữa, nếu mọi tập con khác rỗng của tập được sắp tồn phần X đều có
phần tử nhỏ nhất thì ta nói
Cho  X ,  và Y ,  là hai tập được sắp tốt. Ánh xạ
xạ tăng ngặt nếu thỏa điều kiện với mọi x1 , x2  X
xạ f : X  Y được gọi là ánh xạ đồng dạng nếu
tồn tại ánh xạ đồng dạng

nhau.
Dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp tốt là quan hệ
tương đương. Do đó lớp các tập được sắp tốt sẽ được chia thành các lớp tương đương
đôi một không giao nhau theo quan hệ đồng dạng.
Định nghĩa 1.3.2. Mỗi lớp tương đương các tập được sắp tốt đồng dạng được gọi là
một tự số.
Các tự số hữu hạn chính là các số tự nhiên và tự số vô hạn đầu tiên là tự số
được đại diện bởi tập số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường, ký hiệu là  .
Mọi tự số  đều có tự số liền kế phía sau nó là  1. Tuy nhiên khơng phải tự số nào
cũng có tự số liền kề phía trước. Những tự số như vậy được gọi là tự số giới hạn, ví dụ
như  là tự số giới hạn.


9

CHƯƠNG 2: MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC
CỦA NHÓM HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 1
2.1.

NHĨM HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 1

Định nghĩa 2.1.1. Cho A là một nhóm và S là tập con khác rỗng của A . Tập S được
gọi là hệ độc lập tuyến tính trong
mi  ; s
i

, ta suy ra m s
i i
S

A nếu

với mọi i


1,
n

S
và từ điều kiện
0


 0n

mi si

với

i1

. Nếu S không độc lập tuyến tính thì ta

nói nó phụ thuộc tuyến tính.
Hệ độc lập tuyến tính S của nhóm
nếu S a phụ thuộc tuyến tính với mọi

A được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại
a A.


Cho A là một nhóm. Hạng khơng xoắn của nhóm A là lực lượng của hệ độc
lập tuyến tính tối đại trong A mà mỗi phần tử của hệ đó đều có cấp vơ hạn.
Đặc biệt nhóm hỗn hợp A có hạng khơng xoắn 1 khi và chỉ khi hai phần tử bất
kỳ có cấp vơ hạn của nó phụ thuộc tuyến tính với nhau. Có nghĩa là với hai phần tử bất
kỳ có cấp vô hạn x, y , tồn tại hai số nguyên m, n khác 0 sao cho mx  ny  0 . Từ đó,
ta dễ dàng suy ra được mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.2. Nhóm con hỗn hợp của một nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn 1 cũng là
một nhóm hạng không xoắn 1.


10

2.2.

CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM HỖN HỢP HẠNG

KHÔNG XOẮN 1
Định nghĩa 2.2.1. Cho


p

A với  là một tự số bất kỳ được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

p

Dễ thấy nếu tự số  
Định nghĩa 2.2.2. Cho số nguyên tố

A là nhóm hỗn hợp, tự số  nhỏ nhất sao

.

 1

cho p
Có thể chứng minh được mọi nhóm A đều có p-độ dài, khi đó
mọi 



p

với

:

 . Ta ký hiệu
p A 

Dễ dàng nhận thấy p  A 

p

A.

pA.


Mệnh đề 2.2.3. p-độ dài của nhóm p-chia được bằng
Chứng minh.

đó

A có p-độ dài bằng 0.
Nếu A là một nhóm p-chia được
Do
Ap

Với G là nhóm con của A


p


Định nghĩa 2.2.4. Cho
Ta định nghĩa p-cao độ của

Nếu a  p
Với phần tử a  A \
Nhận xét: Định nghĩa trên đúng vì p-cao độ của một phần tử
và duy nhất. Thật vậy, ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: a  p
Trường hợp 2: Tồn tại tự số
Khi đó:
p
ap

Giả sử  là tự số giới hạn, khi đó

với mọi
ap








.

. Suy ra tồn tại 

p A



ap

nên trường hợp này khơng xảy ra. Vậy
đó    1 và vì    nên từ 1 ta
không là tự số giới hạn, ta đặt
sao cho



có a  p

Dễ thấy, ngồi 
với   , ta được p

Thật vậy,
p



  , ta được p A  p

Vậy p-cao độ của phần tử bất kỳ
Mệnh đề 2.2.5. Cho

Hơn nữa, nếu h p * a   h p * b

\


Chứng minh.


12

và b  p
quát ta có thể xem    . Khi đó

bp

Vì vậy

 1

p

a    . Vì vậy

 1

bp

2

abp

Từ 1 và 2 suy ra

h p * a  b     min h p * a 

Mệnh đề 2.2.6. Cho

A là nhóm hỗn hợp, a  A

.

;

h p * b

là một số nguyên tố. Khi đó:

và p

h

(1
)

h



.

a 

và m , p   1 thì

*

ma .

p   1 thì

khi và chỉ khi a

nhóm con p-chia được của A .

tự nhiên

và chỉ khi k  h p * a .

Chứng minh.

(1)
Đặt


ap A\p

 1

A.


pp

A\


hp


Vậy

h p *  a     h p

*
a.

(2) Đặt   h p a  . Ta có

. Vì

p

và

p

là nhóm, suy ra



*

a

1

Vì

ma  p A \ p 1 A hay h p * ma

p

u, 


A \ p
v

p

1

c

o up Suy ra upa  , mâu thuẫn với
 vm cách chọn

h 1.


p

1



vma
a.

 a.
Vậy


13

(3)Ta sẽ chứng minh


sử a  p A với mọi    . Ta sẽ chứng minh a  p A . Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1:  khơng là tự số giới hạn. Khi đó tồn tại  1 nên từ giả thiết
quy nạp ta có a  p 1 A , suy ra
u, v sao cho o a u  pv  1 . Suy ra o a ua  pva  a . Do đó

Trường hợp 2:  là tự số giới hạn. Khi đó, theo định nghĩa ta có

p

p


Mà theo giả thiết quy nạp a  p A với mọi
Vậy a  p
(4)
nhóm p-chia được nên theo mệnh đề 2.2.3 ta có
a  

hp

.

*

Ngược lại, nếu


Mặt khác
nhóm con p-chia được của

pA

(5)

Đặt

Ngược lại nếu
p k | a khi và chỉ khi k  h p * a .

Vậy
Mệnh đề 2.2.7
số nguyên tố. Nếu
h

*

p

Chứng minh.



a



 min h

p

A.


Đặt h p * a    . Giả sử h p * b   h p * c  . Ta sẽ chứng minh h p * b   .


14
h

Giả sử



hp*

Điều này mâu thuẫn với định

A

0

p

Trường hợp 1: 

c  p 1

độ của a . Vậy

nghĩa pcao

Để chứng minh
ta có b  A  p
trường hợp:

c  nên

a

bc

 1

p

.

bp

. Hiển nhiên

, ta sẽ chứng minh

 A . Ta xét 2
A với mọi



p  A . Từ giả

số giới hạn. Theo định nghĩa ta có p  A 
 

thiết quy nạp ta có

b A.
p


Trường hợp 2:  khơng là tự số giới
 1

ap

A . Suy ra tồn

a  pa '  p b ' c '   pb ' pc ' với
 1

tiếp, ta suy ra b  pb '  p

h

min h p * b  ; h p


*

c

h

b  p A \ p 1 A ,
có
nghĩa
là

Từ kết quả trên ta được

. Vậy

.

Định nghĩa 2.2.8. Cho A là nhóm hỗn hợp. Với số nguyên tố p cho trước. Ta có các
định nghĩa sau:
(1)

Với phần tử a  A , dãy tăng
p

u




a

được gọi là p-chỉ số của a trong A . Lưu ý rằng, đây là dãy tự số tăng nghiêm ngặt cho
đến khi xuất hiện ký hiệu  (nếu có).

(2)Với mỗi phần tử a  A