Tổng hợp các pp giải pt vô tỉ

Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Qua quỏ trỡnh ging dy v hc tp trong trng ph thụng, tụi thy phng trỡnh vụ t l mng
kin thc hay v khú. Tt nhiờn cha cú ai cú th a ra mt phng phỏp gii tt c cỏc phng
trỡnh vụ t. Quỏ trỡnh ging dy, tụi thy hc sinh thng lỳng tỳng khi ng trc mt bi toỏn v
phng trỡnh vụ t. Lỳng tỳng trong la chn cỏch gii l mt lớ do. Vỡ vy, qua kinh nghim lm
toỏn tụi mun a ra mt tng hp v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vụ t( tt nhiờn l da trờn
kinh nghim ca bn thõn)
Trong ti liu tụi s trỡnh by t cỏc phng phỏp n gin thng dựng cho n cỏc phng phỏp
khụng mu mc, ớt khi s dng. Hi vng ti liu cú th giỳp cho cỏc em hc sinh chun b thi i
hc, cỏc em luyn thi hc sinh gii v cỏc bn ng nghờp tham kho ging dy tt hn.
Do ti liu ra mt ln u nờn khụng th trỏnh khi sai xút, mong c s gúp ý ca tt c cỏc bn.
CHNG I: CC DNG C BN V PHNG PHP BIN I TNG NG
1. Phng trỡnh dng:
( ) ( )f x g x=
(1)
gii phng trỡnh dng (1) thụng thng ta gii bng phộp bin i tng ng sau:
(1)
2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x




=

(2)
Nhiu bn hc sinh khi gii phng trỡnh dng ny vn thy thiu iu kin. Cỏc bn s

t cõu hi ti sao cú biu thc
( )f x
m khụng thy xut hin iu kin
( ) 0f x
. Xin
tha vi cỏc bn rng h (2) ó bao gm iu kin
( ) 0f x
, bi vỡ:
2
( ) ( ) 0f x g x=
Cũn nu cỏc bn thc hin cỏch gii nh sau:
K:
( ) 0f x
v (1)
2
( ) ( )f x g x =
(2)
Xin tha vi cỏc bn cỏch bin i ny vn cha ỳng. Bi vỡ cỏc bn mc dự ó t iu
kin cho
( )f x
nhng phộp bin i trờn khụng phi l phộp bin i tng, nờn sau khi
gii cỏc bn phi th li cỏc giỏ tr ca x ó tỡm c phng trỡnh (2) loi b cỏc
nghim ngoi lai.
Vớ d1: Gii phng trỡnh:
2 4x x =

Cỏch gii ỳng:
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2 2
4 0 4

2 ( 4) 9 18 0
x x
x x x x




= + =

4
6
3, 6
x
x
x x


=

= =

. Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
6x =
Cỏch gii cha ỳng:
K:
2 0 2x x
. Vi iu kin ú phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
2 ( 4)x x =

2
9 18 0 3, 6x x x x + = = =
rừ rng c hai nghim ny u tho món
iu kin. Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim
3, 6x x= =
!??? Sai lm õu?
Xin tha, sai lm ngay phộp bin i u tiờn. Phộp bỡnh phng hai v ca phng trỡnh
ó cho ch l phộp bin i h qu, khụng phi phộp bin i tng ng. Do vy vic th
li hai giỏ tr ny l cn thit.
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Nh vy trong mt phng trỡnh cha cn bc chn, khi gii, khụng phi lỳc no ta cng cn
t iu kin biu thc di du cn khụng õm.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
16 17 8 23x x+ =
( H An ninh khi D - 1997)
Gii:
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
8 23 0
16 17 (8 23)
x
x x



+ =

2
23
8
64 384 512 0
x
x x






+ =


4x =
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
4x
=
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
2
1 1x x = +
( H Hu khi A 1999)
Gii:
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
2 2
1 0
( 1) 1

x
x x




= +



3
1
1
( 2 1) 0
x
x
x x x










=

2

1
1
( 1)( 1) 0
x
x
x x x x










+ =


1
1 5
2
x
x
=




+

=


2. Phng trỡnh dng:
( ) ( )f x g x=
(2)
gii phng trỡnh dng (2) ta chn trong hai bt phng trỡnh:
( ) 0f x
v
( ) 0g x
( gi
s l
( ) 0f x
d gii hn) a (2) v dng tng ng sau:
( ) ( )f x g x=

( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x




=

(3)
n õy li cú mt cõu hi t ra, ú l h (3) cú m bo cho
( )g x
cú ngha cha? Cõu

tr li xin dnh cho bn c.
Ta xột vớ d sau:
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
2
7 5 3 10x x x+ + = +
(3)
Gii:
Phng trỡnh (3) tng vi:
2
3 10 0
7 5 3 10
x
x x x
+


+ + = +


2
10
3
4 5 0
x
x x

+ =

10
3
1, 5
x
x x






= =


1x
=
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
1x =
Li bỡnh: i vi phng trỡnh (3) ta chn bt phng trỡnh
3 10 0x
+
vỡ bt phng trỡnh
ny d tỡm tp nghim hn bt phng trỡnh:
2
7 5 0x x+ +
!???
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:

3 2
3 2 2x x x+ =
(4)
Gii:
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
(4)
3 2
2 0
3 2 2
x
x x x




+ =




3 2
2
3 0
x
x x x



+ + =

2
2
( 3 1) 0
x
x x x



+ + =

H ny vụ nghim
Vy phng trỡnh ó cho l vụ nghim
3. Phng trỡnh dng:
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
Thụng thng trc khi gii phng trỡnh ny, hc sinh thng t iu kin phng
trỡnh cú ngha l:
( ) 0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
h x

. Tuy nhiờn nu s dng phộp bin i tng ng ta s thy
khụng cn dựng n k:
( ) 0h x
. Tht vy, phng trỡnh ó cho tng ng vi:
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) (*)
f x
g x
f x g x f x g x h x






+ + =

(*) chng t
( ) 0h x
. Ta xột vớ d sau:
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
3 2 1 3 2x x x+ =
( HV bỏo chớ Tp. HCM, nm 2000)
Gii:
Vit li phng trỡnh ó cho di dng:
3 2 2 1 3x x x + = +

3 2 0
2 1 0
3 2 2 1 2 (2 1)(3 2) 3
x
x
x x x x x






+ + = +


2
3
3 2 (2 1)(3 2)
x
x x x






=

(1)
2

2
3
3
2
2 5 7 0
x
x
x x









+ =


(2)
2
3
3
2
7
1,
2
x
x

x x









= =



1x =
Li bỡnh 1: Ti sao ta cn chuyn v trc khi thc hin phộp bỡnh phng hai v ca
phng trỡnh? Bi vỡ khi ú hai v ca phng trỡnh mi khụng õm, v khi ú mi cú th
thc hin c phộp bin i tng ng, cũn nu bn bỡnh phng ngay t phng trỡnh
u thỡ thc cht ú ch l phộp bin i h qu, sau khi thc hin phộp bin i ny ta cn
th li cỏc giỏ tr ca x va tỡm c.
Li bỡnh 2: Nhiu bn khi thc hin phộp bin i t (1) sang (2) thng quờn mt t iu
kin
3
2
x
. Cỏc bn cn chỳ ý, khi gii mt phng trỡnh vụ t cú th xut hin nhiu dng
khỏc nhau khi bin i, ng vi mi dng ú ta cn nm c thc hin cỏc phộp bin
i hp lớ
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
2 2

2 8 6 1 2 2x x x x+ + + = +
( H Bỏch khoa HN, nm 2002)
Gii:
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
2
2 2 2 2 2
2 8 6 0
1 0
2 8 6 1 2 (2 8 6)( 1) 4 8 4
x x
x
x x x x x x x x

+ +





+ + + + + + = + +



2 3 2
3
1
1

1
1 2 (2 8 6)( 1)
x
x
x
x
x x x x



















= + +

2 2 2
3
1
1
1( 1 2 2 8 6) 0 (*)
x
x
x
x x x x





=









+ + =

(*)
2 2
1

1 2 2 8 6 (**)
x
x x x
=



= + +


Gii(**) ta c:
25
1;
7
x x= =
Vy phng trỡnh cú ba nghim:
1x =
;
25
1;
7
x x= =
Li bỡnh: Nhiu bn bin i nh sau:
K:
2
2
2 6 8 0
1 0
x x
x

+ +





2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + = +

1( 2 3 1 2 1) 0x x x x + + + + =
V sau ú gii tip. Cỏch bin i ny cha ỳng. Bi vỡ:
. .A B A B=
ch ỳng khi
, 0A B
Bi tp ỏp dng:
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1.
2
1 1x x+ + =
( H Xõy dng 1998)
2.
2 1 2 1 2x x x x+ + =
( H Quy nhn khi D 2000)
3.
9 5 2 4x x+ = +
(H Quc gia Tp. HCM khi D 1998)
4.
4 3 10 3 2x x =
( HSG Quc gia - 2000)

4. Phng trỡnh dng:
3 3 3
( ) + ( ) ( )f x g x h x=
(1).
i vi dng phng trỡnh ny, khi gii ta dựng phng phỏp th trong.
(1)
3 3 3
( ) ( ) 3 ( ). ( )( ( ) ( )) ( )f x g x f x g x f x g x h x + + + =
(2)
3
( ) ( ) 3 ( ). ( ). ( ) ( )f x g x f x g x h x h x + + =
(3)
Chỳ ý: Phộp th
3 3 3
( ) + ( ) ( )f x g x h x=
khụng phi l hng ng thc, nú ch ỳng khi x l
nghim ca phng trỡnh. Vỡ vy phộp bin i t (2) ra (3) khụng phi l phộp bin i
tng. Phộp th ú c gi l phộp th trong. Do ú sau khi tỡm c nghim ca (3)
nht thit phi th ngc tr li (1).
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
3 3 3
2 1 1 3 1x x x + = +
Gii:
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
3 3
3
2 1 1 3 (2 1)( 1)( 2 1 1) 3 1x x x x x x x + + + = +
2

3 3
3
(2 3 1)( 2 1 1) 1x x x x + + =
(*)
2
3
(2 3 1)(3 1) 1x x x + + =
(**)
3 2
6 7 0x x =

0
7
6
x
x
=




=

Th li hai giỏ tr ny thy ch
7
6
x =
l tho món.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
7

6
x =
Li bỡnh 1: Qua vớ d 1 ta thy phộp bin i t (*) n (**) ch l phộp bin i l h qu,
vỡ vy vic th li cỏc giỏ tr ca x tỡm c l cn thit.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
3 3 3
1 1 5x x x + + =
Gii:
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
3 2
3 3
1 1 3 1( 1 1) 5x x x x x x + + + + + =
3 2
3 3
1( 1 1)x x x x + + =


2
3
( 1)5x x x =

2 2
0
0
5
5( 1)
2
x
x
x x

x
=

=





=
=



Th li thy ba nghim ny u tho món.
Vy phng trỡnh cú ba nghim
5
0;
2
x x= =
Bi tp ỏp dng:
Gii cỏc phng trỡnh:
1.
3 3
34 3 1x x+ =
( H S phm Tp. HCM 1996)
2.
3 3
5 7 5 12 1x x+ =
3.

3 3
9 1 7 1 4x x + + + + =
4.
3 3 3
1 2 2 3x x x + =
5.
3 3
24 5 1x x+ + =
CHNG II: MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T
I. Phng phỏp t n ph
1. S dng n ph a v phng trỡnh bc hai
Dng Phng trỡnh:
2 2
ax ( 0)bx c px qx r ap+ + = + +
v
a p
p q
=
i vi phng trỡnh dng ny ta t:
2
t px qx r= + +
. Chuyn phng trỡnh ó cho v
phng trỡnh bc hai:
2
0At Bt C+ + =
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
2 2
11 11x x+ + =
( H Cnh sỏt nhõn dõn 2000)
Gii:

Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2 2
( 11) 11 42 0x x+ + + =
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
t:
2
11 0t x= + >
, ta c phng trỡnh:
2
7
42 0 6
6
t
t t t
t
=

+ = =

=

Khi ú:
2
11 36 5x x+ = =
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
2 2
2 12 6 2 4 4x x x x+ + = + +
Gii:
t:

2 2 2
1
2 4 4 0 2 12 10
2
t x x x x t= + + > + + = +
.
Khi ú phng trỡnh tr thnh:
2 2
2
1
10 6 12 20 0
10
2
t
t t t t
t
=

+ = + =

=

Vi
2
2 2 0 0; 2t x x x x= + = = =
Vi
2
10 2 48 0 6; 8t x x x x= + = = =
ụi khi cú nhng bi toỏn khụng phi l dng trờn, nhng vn cú th a v phng trỡnh
bc hai c. Cỏi ny ph thuc vo s linh hot trong gii toỏn ca tng ngi. Ta xột vớ d

sau:
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
2 2
2 5 2 2 2 5 6 1x x x x+ + + =
( H S phm Tp. HCM
2000)
Gii:
t:
2
2 5 6 0t x x= +
khi ú:
2 2
2 5 2 8x x t+ + = +
Phng trỡnh tr thnh:
2
8 1 2t t = +

2
1
2
3 4 7 0
t
t t






+ =

1t =
Vi
2 2
1
1 2 5 6 1 2 5 7 0
7
2
x
t x x x x
x
=


= + = + =

=

Hon ton tng t cỏc bn cú th gii cỏc bi tp sau õy:
1.
2 2
3 3 3 6 3x x x x + + + =
( H Thng mi 1998)
2.
2 2 1 1 4x x x+ + + + =
( H Khi D 2005)
3.
2 2
15 2 5 2 15 11x x x x = +

Dng Phng trỡnh:
( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)aP x bQ x c P x Q x abc+ + =
Cỏch gii:
Xột
( ) 0 ( ) 0Q x P x= =
Xột
( ) 0Q x
, chia c hai v ca phng trỡnh cho
( )Q x
v t:
( )
( )
P x
t
Q x
=
, chuyn
phng trỡnh ó cho v dng:
2
0at ct b+ + =
Lu ý: T cỏch t
( )
( )
P x
t
Q x
=

( , ) 0f x t =
(

x
l n) t ú suy ra iu kin ca
t
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
2 3
2 5 1 7 1x x x+ =
(1)
Gii:
K:
1x
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Ta cú: (1)


2 2
2( 1) 3( 1) 7 ( 1)( 1)x x x x x x+ + + = + +
(2)
Vỡ
1x =
khụng phi l nghim ca (2) nờn chia hai v ca (2) cho
1x
ta c:

2 2
1 1
2 3 7
1 1
x x x x
x x

+ + + +
+ =

(3)
t:
2
1
0
1
x x
t
x
+ +
=

2 2
(1 ) 1 0x t x t + + + =
cú:
4 2
6 3
x
t t =
. Nờn cú iu kin ca
t

l:

0
3 2 3
0

x
t
t


+



(4)
Khi ú (3) tr thnh:
2
2 7 3 0t t + =

3
1
2
t
t
=




=

. Kt hp vi iu kin ca
t
ta cú:
3t =

Vi t = 3 ta cú:
2
8 10 0 4 6x x x + = =
tho món iu kin ca
x
.
Vy phng trỡnh cú nghim:
4 6x =
Chỳ ý:
Hon ton bỡnh ng, cỏc bn cú th thc hin phộp chia cho
( )P x
hoc
( ). ( )P x Q x
Cỏc bn cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch t:
( ) ( )P x t Q x=
hoc ngc li
Li bỡnh 1: Mu cht ca bi toỏn l phõn tớch v trỏi ca (1) thnh:
2
2( 1) 3( 1)x x x+ + +
.
Ti sao li cú s phõn tớch nh vy? Nú ph thuc vo v phi ca (1):
3 2
1 ( 1)( 1)x x x x = + +
. Nh vy chc chn s cú s phõn tớch v trỏi thnh
2
( 1) ( 1)a x b x x + + +
v ta tỡm
,a b
bng phng phỏp h s bt nh:
2 2

2 5 1 ( 1) ( 1)x x a x b x x+ = + + +

2 2
2 5 1 ( )x x bx a b x b a + = + + +
3; 2a b = =
Li bỡnh 2: Cỏc bn cú th khụng cn tỡm iu kin ca
t
nh (4) nhng khi ú cỏc phộp
bin i ch l phộp bin i h qu v nht thit phi thay cỏc giỏ tr ca
t
va tỡm c
tỡm
x
. Cũn nu tỡm iu kin ca t nh bi trờn ta khụng cn phi thay giỏ tr:
1
2
t =
ngc
tr li.
Li bỡnh 3: Bng cỏch phõn tớch nh li bỡnh 1 cỏc bn cú th xõy dng nờn cỏc phng
trỡnh ny mt cỏch n gin:
2 2 2 2
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x + + + = + + +
ta c
phng trỡnh:
2 4 2
3 1 1x x x x + = + +
. Rừ rng cỏch gii ca cỏc loi phng trỡnh ny l ging nhau, tuy
nhiờn mc gõy nhiu li khỏc nhau. Cỏi ny tu theo tng i tng hc sinh m ta cú
th chn cỏc mc gõy nhiu khỏc nhau. Nu hc sinh hiu rừ bn cht ca vn thỡ s

gõy nhiu s khụng cú ý ngha gỡ na. Chỳ ý cỏc ng thc sau cú th sỏng to ra cỏc
bi toỏn dng ny:

4 2 4 2 2 2 2
1 ( 2 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x x+ + = + + = + + +

4 2 2
1 ( 2 1)( 2 1)x x x x x+ = + + +

4 2 2
4 1 (2 2 1)(2 2 1)x x x x x+ = + + +
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + = +
(1)
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Gii:
Ta cú (1)
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x + + = + +

2
2 2 2
20 0
1 0
5 14 9 20 25( 1) 10 ( 20)( 1)
x x
x
x x x x x x x x

+


+ + = + + + +



2
5 (2)
2 5 2 5 ( 4)( 5)( 1) (3)
x
x x x x x





+ = + +



(2)
2 2
3( 4) 2( 4 5) 5 ( 4)( 4 5)x x x x x x + + = +
(4)
D thy

4x
=
khụng phi l nghim ca (4)
t
2
4 4 5x t x x+ =
(
0)t >
, Khi ú (3) tr thnh:
2 2 2
1
( 4 5)(3 5 2) 0 3 5 2 0
2
3
t
x x t t t t
t
=


+ = + =

=

Vi
1t
=
ta cú:
2
5 61

4 4 5
2
x x x x

+ = =
. Kt hp vi (2) v (3) ta cú:
5 61
2
x
+
=
Vi
2
3
t =
ta cú:
2
8
4
4 ( 4 5)
7
9
4
x
x x x
x
=


+ =

=

. Kt hp vi (2) v (3) ta cú:
8x
=
Vy phng trỡnh cú hai nghim:
5 61
2
x
+
=
v
8x
=
Chỳ ý: Nu phng trỡnh:
( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)aP x bQ x c P x Q x abc+ + =
tho món:
( ). ( )P x Q x k=
thỡ bi toỏn tr nờn n gin i rt nhiu. Ta xột vớ d sau:
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
8 8
1 2
2
2 1
x x
x x
+
+ =
+

Gii:
t:
8
1
0
2
x
t
x

= >
+
khi ú:
8
2 1
1
x
x t
+
=

. Phng trỡnh tr thnh:
1
2t
t
+ =

1t =
Vi
1

1 1 2
2
t x x x= = + =
tho món phng trỡnh ó cho.
Bi tp ỏp dng:
1. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc:
2
4
3 1 1 2 1x m x x + + =

2. Gii cỏc phng trỡnh:
a.
2 3 3
2( 1) 5 1x x+ = +
b.
2 4
4 2 2 4 1x x x + = +
c.
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x + = + +
Dng Phng trỡnh:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) 0a P x Q x b P x Q x a P x Q x c

+ + + =

(

2 2
0a b+ >
)