Phương pháp giải hệ đối xứng loại 1- Phạm Thành Luân

79
Bài 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Dạng :
f(x,y) 0
(I)
g(x,y) 0
=
⎧
⎨
=
⎩
với
f(x,y) f(y,x)=
và
g(x,y) g(y,x)=

2. Cách giải: Đưa hệ (I) về hệ :
F(S,P) 0
(II)
G(S,P) 0
=
⎧
⎨
=
⎩
với S = x + y , P = xy
Giải hệ (II)
S,P⇒

và x,y là nghiệm của phương trình :
2
tStP0−+=

Điều kiện để (I) có nghiệm là hệ (II) có nghiệm thỏa:
2
S4P0
− ≥
.
II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình :
22
xyxy7
xyxy5
⎧
++=
⎪
⎨
++ =
⎪
⎩

Giải
Đặt s = x + y, p = xy, ta có:
Hệ
22
s4
sp7 ss120
p9

sp5 p5s
⎧⎧
=−
⎧
−= +− =
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
=
+= =−
⎪⎪
⎩
⎩⎩

(loại vì không thỏa
2
s4p0− ≥
)
s3 x1 x2
p2 y2 y1
===
⎧⎧⎧
∨⇔∨
⎨⎨⎨
===
⎩⎩⎩
vậy nghiệm (1, 2), (2, 1).

80
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình :
22
22
11
xy 5
xy
11
xy 9
xy
⎧
++ + =
⎪
⎪
⎨
⎪
+ ++=
⎪
⎩

(ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997)
Giải
Đặt
22
2
22
2
1
1
xu2
ux

xx
11
vy y v 2
y
y
⎧
⎧
+ =−
=+
⎪
⎪
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
= ++=−
⎪⎪
⎩
⎩

Hệ
22 2
uv5 uv5
uv5
uv 6
uv13 (uv)2uv13
+= +=
⎧⎧
+ =
⎧

⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
=
+= + − =
⎪⎪
⎩
⎩⎩

u,v
⇒
là nghiệm của phương trình :
2
560α −α+ =
u2 u3
3x2
v3 v2
= =
⎧⎧
⇔α= ∨ = ⇒ ∨
⎨⎨
= =
⎩⎩

* u = 2, v = 3:
1
x1 x1
x2
x
35 35

1
yy
y3
22
y
⎧
==
+=
⎧⎧
⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔ ∨
⎨⎨⎨
+−
==
⎪⎪⎪
+=
⎩⎩
⎪
⎩

* u = 3, v = 2:
1
x1
x3
35
x
x
2
35

1
y
y2
y1
2
y
⎧
=
+=
⎧⎧
−
⎪
⎪⎪⎪=
⇔⇔ ∨
⎨⎨⎨
−
=
⎪⎪⎪
+=
=
⎩⎩
⎪
⎩

⇒
nghiệm hệ:
35 35
1, ; 1,
22
⎛⎞⎛⎞

−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

35 35
,1 ; ,1
22
⎛⎞⎛⎞
+−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠


81
Ví dụ 3:
Tìm các giá trò của a để hệ sau đây có đúng 2 nghiệm.
22
2
xy2(1a)
(x y) 4
⎧
+= +
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

(ĐH Y Dược TPHCM năm 1998).
Giải
Ta có:
22 2
22
x y 2(1 a) (x y) 2xy 2(1 a)
(x y) 4 (x y) 4
⎧⎧
+=+ + − =+
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+= +=
⎪⎪
⎩⎩

xy 1 a xy 1 a

xy2 xy 2
=− =−
⎧⎧
⇔∨
⎨⎨
+= +=−
⎩⎩

Điều kiện hệ có nghiệm là:
(x y)h2 4xy 0 4 4(1 a) 0 a 0+−≥⇔−−≥⇔≥

x,y⇒

là nghiệm của phương trình :
2
21a0α−α+− = hoặc
2
21a0α+α+− =

Có cùng biệt số: ' 1 (1 a) a∆= − − =
Và có 4 nghiệm khác nhau:
1a,'1aα= ± α =− ± khi a > 0
Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0.
xy1,⇒α=== 'xy 1α===−.
Tóm lại hệ có đúng hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0.
Ví dụ 4:

Giải hệ phương trình :
22
22
1
(x y) 1 5
xy
1
(x y ) 1 49
xy
⎧
⎛⎞
++=
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎪

⎨
⎛⎞
⎪
++=
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩

(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999).
Giải
Hệ
2
2
11
xy5
xy
11
xy53
xy
⎧
⎛⎞
⎛⎞
+++=
⎪
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

⎪
⇔
⎨
⎛⎞
⎪
⎛⎞
+++=
⎜⎟
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎝⎠
⎩
Đặt
1
xu
x
1
yv
y
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪
⎩

82
22 2
uv5 uv5
uv5
uv 14
uv53 (uv)2uv53
+= +=
⎧⎧
+ =
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
= −
+= + − =
⎪⎪
⎩
⎩⎩

u,v⇒ là nghiệm phương trình:
2
u7 u 2
x5x140
v2v7
= =−
⎧⎧
−−=⇔ ∨
⎨⎨
= −=

⎩⎩

Với
1
x7
745 745
x
xx
;
22
1
y2
y1 y1
y
⎧
+=
⎧⎧
+−
⎪
⎪⎪=⎪=
⇒
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
+=−
=− =−
⎩⎩
⎪
⎩

Với

1
x1 x1
x2
x
;
745 745
1
yy
y7
22
y
⎧
=− =−
+=−
⎧⎧
⎪
⎪⎪⎪
⇒
⎨⎨⎨
+−
==
⎪⎪⎪
+=
⎩⎩
⎪
⎩

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2.1. Cho hệ phương trình:
222

xy2a1
xya2a3
+= −
⎧
⎪
⎨
+ =+−
⎪
⎩

Đònh a để hệ có nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất.

2.2. Cho hệ phương trình:
(x 1)(y 1) m 4
xy(x y) 3m
+ +=+
⎧
⎨
+=
⎩

1. Đònh m để hệ có nghiệm
2. Đònh m để hệ có 4 nghiệm phân biệt
2.3. Cho hệ phương trình:
22
xyyxa1
xy yx a
+ +=+
⎧
⎪

⎨
+=
⎪
⎩

Đònh a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y >
0.
2.4. Cho hệ phương trình:
22
xyxya
xy xy 3a 8
++ =
⎧
⎪
⎨
+ =−
⎪
⎩

a. Giải hệ với
7
a
2
=
b. Với giá trò nào của a thì hệ có nghiệm.

83
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt.

2.1. Đặt

sxy
pxy
=+
⎧
⎨
=
⎩
Hệ
22 2
22
s2a1 s2a1
s2pa2a3 2p3a6a4
s4p s4p
=− =−
⎧⎧
⎪⎪
⇔−=+−⇔ =−+
⎨⎨
⎪⎪
≥≥
⎩⎩

2
s2a1
2p 3a 6a 4
22
2a2
22
⎧
⎪

=−
⎪
⎪
⇔=−+
⎨
⎪
⎪
−≤≤+
⎪
⎩

Đặt
2
3a
f(a) 3a 2,
2
=−+
f'(a) 3a 3,=− f'(a) 0 a 1=⇔=
Bảng biến thiên:

Từ Bảng biến thiên
Min
2
f(a) a 2
2
⇒⇔=−

2.2.
1. Hệ
xyxym3

xy(x y) 3m
++ = +
⎧
⇔
⎨
+=
⎩
Đặt S = x + y, P = xy
SPm3
PS 3m
+ =+
⎧
⇔
⎨
=
⎩

s⇒
và p là nghiệm của phương trình:
2
(m 3)x 3m 0α− + + =

2
Sm S3
(m 3) 0
P3 Pm
==
⎧⎧
∆= − ≥ ⇒ ∨
⎨⎨

==
⎩⎩

*
Sm
P3
=
⎧
⎨
=
⎩
thì x và y là nghiệm phương trình:
2
tmt30− +=

Phương trình có nghiệm
2
1
m120 m 23m23⇔∆ = − ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥


84
*
S3
Pm
=
⎧
⎨
=
⎩

thì x và y là nghiệm phương trình:
2
t3tm0− +=

Phương trình có nghiệm
2
9
94m0 m .
4
⇔ ∆=− ≥ ⇔ ≤
Tóm lại hệ có nghiệm
9
m23m23m
4
⇔ ≤− ∨≥ ∨≤

2. Để hệ có 4 nghiệm phân biệt
1
2
0
m23
0
∆>
⎧
⇔⇔<−
⎨
∆>
⎩

2.3. Hệ
SPa1 Sa S1

SP a P 1 P a
+=+ = =
⎧⎧⎧
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
===
⎩⎩⎩

* Với
Sa
P1
=
⎧
⎨
=
⎩
Điều kiện x > 0, y > 0 là:
2
S0
P0 a2
S40
⎧
>
⎪
>⇔≥
⎨
⎪

−≥
⎩

* Với
S1
Pa
=
⎧
⎨
=
⎩
Điều kiện x > 0, y > 0 là:
2
S0
1
P0 0a
4
S4P0
⎧
>
⎪
>⇔<≤
⎨
⎪
−≥
⎩

Đáp số:
1
a20a

4
≥∨<≤

2.4.
22
xyxya
SPa
SP 3a 8
xy xy 3a 8
++ =
⎧
+=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
= −
+=−
⎪
⎩
⎩
với
Sxy
Pxy
= +
⎧
⎨
=
⎩

a.
S1
(loại)
5
7
P
SP
7
2
2
a:
5
2
5
SP
S
(nhận)
2
2
P1
⎡
=
⎧
⎪
⎢
⎨
⎧
⎢
=
+=

⎪
⎪
⎢
⎪⎩
=⇔
⎨
⎢
⎧
⎪
⎢
=
=
⎪
⎪
⎢
⎩
⎨
⎢
⎪
=
⎢
⎩
⎣

x, y là nghiệm phương trình:
2
51
10 2x
22
α −α+=⇔α=∨=

85
x2 1
x

2
1
y
y2
2
=
⎧⎧
=
⎪⎪
⇒∨
⎨⎨
=
⎪⎪
=
⎩⎩

b.
SP a
SP 3a 8
+=
⎧
⎨
=−
⎩
thì s, p là 2 nghiệm của phương trình:

2
a3a80 (1)α−α+ − =

Phương trình có nghiệm
2
a4(3a8)0 a4a8⇔∆= − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥

Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm:
2
1
aa12a32
,
2
−−+
α=

2
2
a a 12a 32
2
+−+
α=

. Chọn
2
aa12a32
S,
2
−−+
=

2
a a 12a 32
P
2
+−+
=

thì hệ sẽ có nghiệm
2
s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)⇔− ≥⇔− −≥+ − −

. Chọn
2
aa12a32
S,
2
+−+
=
2
aa12a32
P
2
−−+
=

thì hệ có nghiệm
2
s4p (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (3)⇔≥ ⇔− −≥−+ − −

Từ (2) và (3)
(a 2)(a 8) a 4 (a 4)(a 8) (4)⇒− −≥−+ − −

Vì
a2
(a 2)(a 8) 0
a8
≤
⎡
−−≥⇔
⎢
≥
⎣
thì (4) thỏa.
Khi
(
]
a2,4∈ thì (a 2)(a 8) 0−−<
22 2
(4) (a2)(a8) (a4)(a4)(a8)⇔− − ≤+ − −

2
13 3 33 13 3 33
4a 13a 8 0 a
88
−+
⇔−−≤⇔ ≤≤

Kết hợp với các điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm khi
13 3 33

a
8
+
≤ hay a 8≥ .