Bài tập BĐT đại số 10

Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
§1:BẤT ĐẲNG THỨC
A. LÝ THUYẾT:
I. ĐỊNH NGHĨA :
a > b ⇔ a – b > 0 ⇔ b – a < 0 ⇔ b < a
a ≥ b ⇔ a – b ≥ 0 ⇔ b – a ≤ 0 ⇔ b ≤ a
II. CÁC TÍNH CHẤT:
A. CÁC TÍNH CHẤT KHÔNG TƯƠNG ĐƯƠNG:
1.
a b
a c
b c
>

⇒ >

>

2.
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

Chú ý: Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều. Vd:
4 3

4 10 3 1
10 1
>

⇒ − > −

>

sai.
3.
a b 0
ac bd
c d 0
> >

⇒ >

> >

Chú ý: * Không được chia 2 bất đẳng thức cùng chiều. Vd:
4 3 0
4 3
10 1 0
10 1
> >

⇒ >

> >


sai.
* Không được nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều khi có số âm Vd:
1 3
1.4 ( 3)( 2)
4 2
> −

⇒ > − −

> −

sai.
4.
n n
n n
a b 0 a b
n 2, 3, 4...
a b 0 a b
> > ⇒ >
=
> > ⇒ >

B. CÁC TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG:
1.
a > b a + c > b + c
⇔
cộng 2 vế cho c.
Hệ quả:
a > b ⇔ a – c > b – c
a > b + c ⇔ a – c > b

2. a > b ⇔ ac > bc khi c > 0
nhân 2 vế cho c
a > b ⇔ ac < bc khi c < 0
Hệ quả:
a > b ⇔
a b
khi
c c
>
c > 0
nhân 2 vế cho
1
c
a > b ⇔
a b
khi
c c
<
c < 0
a > b ⇔
1 1
khi
a b
<
ab > 0
Nhân 2 vế cho
1
ab
a > b ⇔
1 1

khi
a b
>
ab < 0
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC:
1. DÙNG ĐỊNH NGHĨA:Để chứng minh : A ≥ B ta chứng minh A – B = (x + y)
2
+ (x – b)
2
+ c
2
... ≥ 0
2. DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
A ≥ B ⇔ A
1
≥ B
1
⇔ A
2
≥ B
2
⇔ A
3
≥ B
3.
nếu A
3
≥ B
3
đúng thì A ≥ B đúng.

B. BÀI TẬP:BT1Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. a
2
+ b
2
≥ 2ab 5. a + b ≤
2 2
2(a b )+
GV:TRẦN KHÁNH LONG-violet.vn/curi307
1
Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.
2.
2
2
1
2 a
a
≥ −
6. a
2
± ab + b
2
≥ 0
3.
2
4
a 1
2
a 1
≤

+
7.
2 2
1 1
4
sin x cos x
+ ≥
4.
2
2
a 2
2
a 1
+
≥
+
8. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca
BT2Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c

2
)
2. (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c) 3.a
4
+ b
4
≥ ab
3
+ a
3
b 4.
3
3 3
a b a b
2 2
 
+ +
≥
 ÷
 
khi a + b ≥ 0
5. a
3
+ b
3
≥ a
2
b + ab

2
khi a ≥ 0, b ≥ 0
§2:BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI:
1. Bất đẳng thức côsi cho 2 số a ≥ 0, b ≥ 0
a b
ab
2
+
≥
dấu “=” xảy ra khi a = b
Các dạng tương đương:
2 ab a b≤ +
hoặc ab ≤
2
a b
2
+
 
 
 
2. Bất đẳng thức côsi cho 3 số a ≥ 0, b ≥ 0, c > 0
3
a b c
abc
3
+ +
≥
dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Các dạng tương đương:

3
3 abc a b c≤ + +
hoặc abc ≤
3
a b c
3
+ +
 
 
 
3. Bất đẳng thức côsi cho n số a1, a2, ..., an ≥ 0
* Với n số a
1
, a
2
, ..., a
n
≥ 0, ta có:

1 2 n
n
1 2 n
a a ... a
a .a ...a
n
+ + +
≥
n
1 1 n 1 2 n
a a ... a n. a .a ... a⇔ + + + ≥

n
1 2 n
1 2 n
a a ... a
a .a ... a .
n
+ +
 
⇔ ≥
 
 
Dấu “=” xãy ra
1 2 n
a a ... a .⇔ = = =
II. Áp dụng bất đẳng thức côsi để tìm GTLN – GTNN:
1. a + b = K const.Ta có: ab ≤
2 2
a b K
2 2
+
   
=
   
   
Vậy Max ab =
2
K
2
 
 

 
khi a = b =
K
2
2. a . b = M const Ta có: a + b ≤ 2
ab 2 M=
Vậy Min (a + b) =
2 M
khi a = b =
M
II/BÀI TẬP:BT1Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1.
a b
2
b c
+ ≥
2.
1 1
(a b) 4
a b
 
+ + ≥
 
 
3.(a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 4.
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
5. (a + b + c)

1 1 1
9
a b c
 
+ + ≥
 
 
BT2Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1. ( 1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 với abc = 1. 2.
1 1 1
1 1 1 8
a b c
   
− − − ≥
   
   
với a + b + c = 1
3.
1 1
1 1 9
a b
  
+ + ≥
  
  
với a + b = 1 4.
2 2
1 1
6
ab

a b
+ ≥
+
với a + b = 1
(đáp án và phần sau của chun đề cập nhật sau)
GV:TRẦN KHÁNH LONG-violet.vn/curi307
2