(Luận án tiến sĩ) một số nghiên cứu về vành auslender gorenstein không giao hoán luận án PTS toán học62 46 05 01

^

-25 ^^,.3.

/• GlAU
( DUC & D A O T A O
KO

miỊNGDAI HOCTĨNG HOP HANOI

HoDinhDn

C.-I|..rt!i. » ! . M » l . r . „

>. KQl I
^^'. •' S'.rvl:"''*^-*

•••.. V . - ' . '

T\^'J% ik-

J-

M^'ilMP
^-*—«^

MOT SO NGHIÈN CÙU VE VÀNH
AISLANDER-GORENSTEIN KHÒNG GIAO HOAN
Chuvèn nsdnh: Dai sS'và Ly thuyet so'
Ma $0: I J L 0 3

Luàn àn Pho tien si khoa hoc Tồn - Ly

Ngi hng d2n khoa hoc: Gs. Ts Nguyen fiinh Ngoc

Hanoi-1991


M U C

LUIC

CHJdNG O : Phan chuan b l
0.0 Cac ki hiéu.
0,1^ Nhac lai mot so két qua e uà 1y thuyet vành va dai
so dóng diéu.
0.2 N h a e lai mot so k é t c^ u a e u a d ai s o g i a a h t:) a n .
CHlJdNG 1 : vành Auslander - Gorenstein,
va mò dun holonom.

mò dun

thuàn

tuy

1.0
1 . 1 Day phò Roos - Bjork - Isc^lebeck
1.1-0
1-1,1 Xay ddng day phd.
1.1.1.0

1-1.1-1
1-1.1.2
1.1-2 Ménh de (sd hpi tu cua day pho 1 . 1 -i- 2 ) .
1.1-3 B~-lpc cua mot mò dun.
1.1-3-0
,
1.1-4 He qua ( euà Nenh de 1.1.2)
1.1.5 Dinh nghia ( vành Ausi andt^r - Gorenstei n )
1.1-6 Nhan xéti
1 - 2 vành Ausiander ~ Gorenstei n;
1.2.0 Dièu kién Auslander.
1
1-2-0-0
1.2. 1 Nhan ;-;ét1-2.2 Dinh nghla ( vành Ausiander - Gorenstei n )1-2.3 Cac VI du1-2.3-0
;
1-2-3.1
1-2.3.2
1 o T -r

1.2.4 Qui dóc1-2-5 Dinh nphia (so tS(M))
1.2.6 Ménh de ( j (M) + (S(ti) - j..\ ) .
1-2-7 He 1 uan (cua Menti de 1 . 2.6 ) .
1-2-8 He qua ( cua tlé luan 1.2.7 )1.2.9 Nhan xét.
1-2.10 Bò de ( mot bàt dàng thdc cua qrade ) .
1.2-10.0
1.2-10.1
^
^
1.2-11 Ménh de (mot day khóp ngancua B-1oc).
1 - 3 Mó dun thuan tuy (pure modules)J. - 3 - 0

1.3.1 Dinh nghla (mó dun thuan t u y ) .
1.3-2 Vi du>
1-3-3 Nhan xét.
1.3-4 Ménh de (tinh thuan tuy cixa E;;t (M,R)).
1.3.5 He qua (cua Ménh de 1-3-4).
1.3,0 Dinh li (cac diéu kién tddng dddng cua tinh


•

'
'

» i
'
..
•

!
!
•

!

thuan tuy)•
I
1.3.7 He qua ( e uà D i n h 1 i 1 . 3. 6 ) . :
;•
1-3-8 Mot mó tà khàc cua B-lpci
1.3-8.0 Menh de ( B;^ =: F^ , k ~ 0,

^M ^ •
1 , 3 - 8 . 1 D i n h li (E^-lpc c u a m ó d u n cari ) j
1.4 Mị dun holonom ( holonomic modules).
;

1-4.0

I

ì '

1,4.1 Dinh nghia (mị dun holonom)|
Ì,"4-2 Càc vi du1.4.2-0
'.
1.4.2-1
1.4-3 Nhan xét.
!
1.4.4 Nhan xét.
: 1.4.5 Ménh de (ve hàm td M
> Ff r: Ext^(M,R)).
1-4.6 He qua (cua Ménh de 1.4-5)1-4.7 Ménh de (day khdp cac mò dun holonpm)1.4.8 Ménh de (tinh holonom va tinh cyclic).
1.4-8-0 Ménh de (mot ket qua Sta-f-ford)1 . 4. V Ménh de ( t inh hol onom va t i rth thuan tuy ) .
1.4-9,0 Ménh de ( mot két qua eùa Bjork ) .
1.5 vành Ausiander - Gorenstei n gi ao hoàn 1.5.0 Nhac lai ve cac vành Gorenstei ri qioa hoàn1-5.0.0
1,5-0,1
1-5,0,2
;
1-5.0,3
1.5.1 Dinh li < diéu kién can va du de mot vành
gi ao hoàn 1à Ausiander - Gorenstei n ) .

1-5-2 He qua ( cua Dinh li 1.5.1).
1.5.3 Nhan liet.
1.5.4 Dinh 1i ( cac di éu ki én tddng dddng cua
t inh thuan tuy).
1.5.5 Menh de ( ve cac ideal nguyén tó 1ién két )1-5-6 Dinh nghla ( ideal dàng chiéu ) .
1-5.7 He qua ( cua Menh de 1.5.5).
'

CHlJdNG 2 : Vành Auslander—Gorenstein co loc, ideal dac trdng
va mò dun thuan tuy.

;
i

2-0
^
2. 1 Nhac 1 ai ve vành 1pc va mó dun 1pc 2.1.0 Lpc cua vành va mó dun.
2.1.1 Tị pị sinh bdi mot lpc.
2-1-2 vành phan bac lién két vdi mot lpc.
2.1.3 Dinh nghTa* ( lpc tot ) .
2-1-4 Dinh nghTa (1 oc Art i n~Fi;ees , 1 oc Arti n'-F\e£?s yéu)
2. 1.5 Nhan ;;ét.
2- 1-6 Menh _^dé ( tinh chat cua lpc Artin - Rees ) 2.2 Mot day phị cua mó dun 1 oc.
2-2-1 Ménh de ( sd ton tai cua mot day phò ) .
2.2.2 Nhan xét 2.2.3 He qua ( cua Nhan ;:ét 2.2.2 ) .
2-3 vành lpc va tinh Auslander - Gorenstein2.3-0
2-3-1 Menh de ( mot bat dang thuc cua grade ) .
2.3.2 Nhac lai Dinh li F(oos-Bjork (ve sd bào toàn
tinh Ausiander-Gorenstei n cua vành 1 oc)-

'
:
!
i

'

2.3.3 Nhan ;-;ét (ve tinh Ausi ander-Gorenstei n cua
cac vành tồn ttì vi phan quen biét ) .
2-4 Ideal dac trdng cua mò dun thuan tuy.
2.4.0
2-4-1 Dinh ngl~tTa (ideal dac triìng
éa mịl: fdó dun )
2.4.2 KÌ hieu ( tap hdp V(M) ).
2.4.3 Nhac 1 ai Dinh 1 i Kashi wara- Gabbe?r-B jor k ve
dang chi éu cua i deal dac trdng,
2-4-4 Nhan xét]
2.4.5 Dinh nghìa (di éu ki eri Ass~cdc ti éu) .
2.4.6 Menh de (diéu kién can cua tinh thuan tuy)
2-4-6-0
2.4.7 Nhan xétj
2.4.7.0 Cau hai 2.4.8 Ménh de (dièu kién du cua tinh ttUan t u y ) .
2-5 Tap hdp V(M) .
,)
2-5,0
2.5-1 Menh de (mot tinh chat cua cac tap V(M))2-5-2 He qua ( cua Menh de 2.5.1 )f
2.5-3 Nhan xéti
2-5.3.0
t

2.5-4 Dinh nghia ( tap V(M) ) .
2.5.5 Dinh li (tinh chat cua càc tap Ass(grpM))2^5-5-0
2.5-6 Nhan :-:ét,
2.5.6.0 Cau bòi .

CHlJdNG 3: Ma dun hol onom trén
Gorenstein co loc-

vanh

Ausi ander —

3. 0
3.1 VàI'1 h
3.1.0
3-1-1
3-1.2
3.1.3

lpc va tinh ho 1 onam.
Sd tịn tai éa càc mó duri holonom.
Qui ddcMenh dè(diéu kién can ?-: du cua tinh holonom)
So bòi theo ideal ngun tị va cycle.
3-1-3-0 Dinh rìqhi'a (so bịi cua niịt mò dun)3-1,3.1 Ménh de ( so bòi va day khdp ngan )„
3,1-3-2 Dinh nghla ( cycle cua mot mó dun ).
3-1.3-3 Ménh de ( cycle va day khdp ngan ) .
3-1.4 Ménh de ( day hdp thành va cycle ) .
3-1.5 Nhan xét .
i
!

3.1.6 Nhan i<ét > Ff.
3- 1.7 Mò dun hol onom va hàm td M
3-1.7-0 Ménh de ( V(M) - V(M) )3.2 Mó dun thc 1óp Berntei n„
3-2-0
3-2.1 Ngoac Poisson va ideal doi hdp.
3.2-1.0
3.2.1-1 Dinh nghTa (ideal doi h d p ) .
3.2-1.2 Vi du .
, 3-2-2 Nhan xét 3-2,3 Nhac lai dinh li Gabber ( ve tinh doi hdp
eùa da tap dac trdng ),
3 - 2. '1' Cac ideal r^ g u y e n t o p h a n b a e v à d o i h ó p 3.2,5 Ménh de (mot bat dang thdc cua g r a d e ) .
3.2-6 Dinh nghla ( 1dp B e r n s t e i n ) -

i«M


3.2.7

Dini"^ l i
3^2.7.0

(IKÌĨ d u n

tio 1 onoin

va

dp B e r r i s t e i n )

3 . 2 . 7 . 1 Nhan ; : e t .

3 . 2 . 7 . 2 Nhan x é t .

3-3

3 . 2 . 8 tlé q u a ( e uà D i n h 1 i 3 . 2 . 7 )
3 . 2 . 9 Nhan x é t .
3 - 2 - 1 0 L i e ri h e v ó i ^: e t q u a e: u a E. s s e n .
F'hép
vi
mò
dia
phudng
boa,
1 dp
Bernstein
va t i n h dang c h i é u .
|.
3 , 3 - 0 F'hép v i mò d i a p h d d n g l i ị a .
3-3.0.0
•
3 - 3 . 0 , 1 N f 1 a e l a i (^ i n h l i e ù a E sii s e n ( v à i \ 11 v i
m ò d i a |::) h i.i d n g t:: u a m ò t v a n h 1 g e ) .
3 - 3 - 0 - 2 N h a c l a i d i n h 1 i e ù a E s s e r i v mò d u n
v i mò d i a p t t d d n g ) .
3 - 3 , 0 . 3 Qu i \\óc .
'
3 . 3 , 0 . 4 D i n h l i ( m o t d à r i g c à u e d ^;id ) .
3 - 3 - 1 Da t a p d a c t r LÌ n g e ù a mò d u n v i in ó dia
p h d d r"i g ,
3-3-1-0

3-3-1.1 Ménh de ( d a t a p d a e:; t r u n g e:: ù a m d d u n
vi mò dia phddng).
,
|
3-3-2 Nhan ;<ét.
3-3.3 Qui ddc.
3.3-4 Dinh 1i(dia phddng hóa va 1dp Bernstein)
3-3-5 Nhan xét,
3-3,6 Ménh de (dia phddng hóa va t inh dàng chi éu).
3.4 Vi mị dia phddng hóa, tinh Ausiander-Gorenstein va
t inh thuan tuy3-4-0
3-4.1 Dinh li (mot tinh chat eùa vành dia phddng)
3-4.1,0 Nhan xét.
e.4.2 He qua ( cua d inh 1i 3- 4. 1 )„
3-4-3 Li èn he gi uà u va
3.4-3-0
3 . 4 - 3 - 1 Ménh d e ( m o t d i é u kièkT d ù d e
p
^.>
3 - 4- 4 D i n h 1 i ( Sd b à o t o à r i t i n h h o l o n o m )
3 , 4 - 5 D i n hi l i ( S u hàa t o à n t i n h t h u a n t u y ) 3 . 4 . 5 . 0 Bo d e .
T - v à r i h , t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n .. k i d i e h i n r i q u i
3 . 5 - 1 Dinh nghi'a ( T - vành ) .
3 . 5 - 2 vi du3 . o- 3 Dinh 1 i ( s d
bào
toàn
t irth
Ausi a n d e r v à r 11" i ) .
G o r" e n s t e i f » c u a e a e "I "

3.5.4 He qua ( eùa dinh li 3.5-3 ).
3.5.5 Dia phddng hóa T - vành.
j:, 5,6 Dinh nghìa ( i deal dac trdng )
3,5-7' Dinh nghTa(ki di chinh qui theo rìchìa dai so)
3-5-8 Dinh nghìa (diéu kién cuc tiéu dai vdi Ass)
3-5-9 Dia phddng hóa the^j mot ideal ngun tị3-5-10 Dia phddng hóa va tinh Ausiander-Gorenstein
3-5.11 Dinh li (dia p ti i.ì d n g ti ò a va k 1 di e h \ n ti qui )
3-5.12 Dinh 1i(Mò dun thuan tuy va kx di chinh qui)
TAI LIEU THAM KHAO-


Mci o A L J -

bàt dàu td càc còng tr m h
Ly thuyet Vànfi toàn td vi phan
Malgr^ange CMAL 613 va Matauura [MA 61 "J, da mó ra mot hddng
nghién cdu mdi cho ly thuyet phddng t r m h dao liam i- iéng,
dac b i e t là càc phddng t r" ì n h v ci i ti e so ha r i g so. Y. t L( d n g ;•
mot he phddng tr inh tuyér^ t inh nhd mot mòdun 1 à quen
thuòc
chàng han trong h inh hpe dai so, tuy nhi én vi èc vi éc dai so
hóa càc he vi phan thành nhdng mịdun trén càc vành nào dị
eh 1 mdi ;•; t h i en trong nhdng nàm t>(.)- 61 . Theo hddng do, indi
he ptiddng tr ì nh dao ham r i éng ddde h i éu 1 à mot ; ( bó ) mỊdun
trén mot (bó) vành tồn td vi phan thichi hdp„
Nhdng dóng góp dau tién cua D- Qui 11en , H-Kon atsu, I. NBernstein va M. Kashi wara trong nhidnq nàm 60 va dàu 70 da
dat mot ed sd vdng chàc cho 1y thuyet va khàng dinh hi éu
qua cua vi éc àp dung nhi éu phddng phàp
khàc nhau cua dai so

vào e a e b ài t oan p h ddng t r ì n h dao h àm r i én g .
Noi mot cach ngan gpn, 1y thuyet D-módun righi én ' cdu cac bó
vành toàn td vi phan trén mot da tap (giài tich, dai so) va
càc bó mịdun trén chung (ve mat dia nhddng , ta e: ò thè coi
ehung là càc vành va mịdun thịng thddng). Càc
vành tồn td
ed bàn nhat là : dai so Weyl A„ (K) , càc bó
va E^
trén
mot da tap X. Trong nhi éu trddng hdp , cà e 11 nh chat
dia
phddnq cua bó lìói 1 én hau hét nhdng
tinh chat cua bo do,
cho nèn ta 1udn luon co the nghién cdu cac stalk cua càc bó
vành va mịdun nói trén. Theo cach dị nhi éu ly thuyet
khàc
nhau dung nhdng còng cu cua 1y thuyet
van h , d ai so dịng
diéu, dai so giao hồn ... co the dddc
xa y ddn g de nghién
cdu càc Viing toàn td nói trén ve mat dai s ị.
I

/

Chung ta bay mị ta qua cac vanh tồri td vi phan vda nèu.
Chufìg 1 à ngn xt phat cua càc bài tồn vd a là dng dung
cua càcz righi én cdu ly thuyet- Cho k là trddng co dac so 0
(thddng là C ) , khi dị An(K) là vành càc tồn td vi phan vdi
he so trén vành da thdc kCx^ ^ . . . ,x^ 3. Cho Xà 1 mot da tap

ph de . Dy 1 a bó vành tồn td vi phan trén X si nh bdi
bó D^
càc hàm chinh h inh va dai so Li e càc trddng vectd trén X.
F- 1 à bó vành càe mam toan td vi mó-dia phddnq trén phan thd
dịi ti ép ;;uc T**X. Ngoài ra^ trong nhi éu trddn g hdp, càc dai
so bao U ^g) ( g -dai so Li e hdu han ehièu ) eCinq x u a t h i e n
trong càc vành tồn td vi phan nào dị
ixem
LMAC - RGB 8 7 ,
eh. 8 ) . Ti^ chd y ràng càc vành này deu Noether va co loc.
I - N. Bernstein là ngddi dau ti én nghi én cdu mot
àch co
hé^thòng dai so Weyl A ( O Trong nhdng nàm o9-72, b àng
nhdng còng cu tddng doi sd cap, òng da thiet 1ap dddc nh dng
tinh chat ed bàn nhat cua vành này nhd sd ton tai
cua càc
phddng trình hàm cho thàc trién chinh hình cua hàm
, d ành
già so.chiéu ^ cua da tap dac trdng cua càc he vi p
han
(bàt dàng thi'ìc Bernstein)^, sd ton tai cua mot 1 óp càc mị
dun
hịlịnóm ^.. . Chi sau^nhdng cịng trình éa Bernstein mot
phài Niiat n d i
trong nhdnqj nàm dau cua thap ky 70 , trddng
bat
lén vdi càc còng trình cua H. Komatsu , M. Sato , M .
Kashiwara5
va T. Kawai. Trong so do dàu tién phài ke dén

ém


so cua cac he
luan an cua Kasniuara ve càc nghién cdu dai
vi phan CKASH 71] va bài bào cua Sato - Kashi wara - Kawai
ve 1y thuyet siéu hàm va toàn tu già vi phan CSA-KASH-KAW 73 3
Di^ém ^dàng chu y là, khàc vdi càc phddng phàp tddng dòi
co dién cua Bernstein, càc
tàc già nói trén da
hình thdc
hóa khà thành cịng càc khài niem QÌ^^i tich sang càc ^ khài
niem dai so, nhd dò àp dung dddc nhdng
két qua sau sac eùa
dai so hi én dai nhd 1y thuyet giài ky d i cua
H. Hi ronaka.
Vdi cịng trình
vdà ké , càc
tàc già
da
dda
ra ,
mot quan diém mdi 'vi mò dia phddng"
ve càc he vi phan, qua
dò dat dddc nhdng két qua quan trpng nhd tinh ^dịil hdp éa,
da tap dac trdng hoac càc dinh ly càu truc tóng ì qt ...|
{ xem tSCHA 8511 ) . Td dò cho dén nay, ly thuyet vành tồn
td vi phan co mot vai tró quan trpng trong nhiéu n'gành tồn
hpe khàc nhd hình hoc dai so , 1y thuyet ky dii » dai so Lii
va cà ly thuyet tich phan Feynman.

1

Dén cuoi nhdng nàm 70, da co thém nhiéu tac già tham già
nghién cdu ly thuyet D-mòdun , trong ^sò dò co the ké
là
T. Oshima (Nhat), J, E. Bjork (Thuy Dién), va dac biét
trddng phài Phàp vdi P. Schapi^ra, F. F'ham, Z. Mebkhout, 0.
Gabber ... Tat nhién khòng the khòng nhac dén nhdng két qua
cua càc ngành toàn hpe khàc co ành hdong 1dn dén ly thuyet
D-mịdun trong dị co càc cịng trình éa V. P.
Maslov,
Hormander, „.. trong phddng trình dao hàm riéng, éa
A. Grothendj. eck, J, P. Serre, R. Hartshorne, J, T, Sta-f-f ord
... trong dai so , cua L. Schwartz, M. Sato ... trong ly
thuyet hàm suy róng, va éa nhiéu tàc già khàc.
Xuat phat td giài tich va sd dung phddng phàp cua dai
so ,
bau hét càc bai toan cua 1y thuyet vành tồn td vi phan
dèu nàm gida ranh gi eùa hai llnh vuc này . Tuy nhién, do
ràng
sd sàng sua va tinh khài qt cua minh, co thè nói
y
ngịn ngd va còng cu dai so da bau nhd Kuyén st càc
tồn Cauchy trong
tddng éa 1y thuyet. Chàng han, bài
cach nhìn éa ly thuyet
phddng trình dao hàm riéng dddi
D~-mịdun , là gidi han ngddc
(inverse limit) éa mot ho

co
mịdun nào dó^. Qua do , Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia
dién dddc dién dat bang sd tddng dddng eùa hai pham
trù
(Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia - Kashiwara, xem
CBCHA 8511)
Mot thi du khàc , ta co thè Ket dai so Weyl r^„ (k ) theo
mot quan diém thuàn tuy ly thuyet vành nhd mot k-dai so sinh
bdi 2n phan td K, , . . - ,K„ ,y, , - . . , y^ vdi quan he
LK-, ,Kj 1
» 0 , Ly. ,y. ] == 0 , Cx; ,^,^3 - 1,
va ^nhd thè mot he vi phan vdi he so da thdc
(trén k) dddc
hi éu 1 a mot k-khòng gi an vectd cùng vdi
mot tàc dịng
éa
càc phan td K-^ ^y^^ ,v-v.
vi nhdng 1i do trén, mot hddng td nhi én éa 1y
thuyet
D-mịdun là khài qt càc tinh chat éa càc vành tồrì th cu
thè thành mot 1 óp vành trdu tddng de nqhién CLÌU bang dai
so . Nh i éu tàc già da quan tam dén
hddng này nhd J. E.
Bjcjrk, 0. Gabber, A. van den Essen, . . , Mot nghién cdu nhd
(dai so) cho mot
thè bao gịm vièc^xay ddng mot ly thuyet
lóp vành mang rihdng dac trdng éa càc vành tồn td
, nhdng
mot
linh vuc àp dung

dịng thdi dù tịng c|t de co dilóc
là bay tìm nhdng
rpng rai , Theo hdóng do, viéc dau tién
dac di ém chung éa càc vành tồn td quen bi et .


Nhd da thày, càc vành Art(k), càc stalk eùa càc bó D^ ,
Ex déu Noether (hai phia) va co lpc- Ngồi
ra
, ^ chung
Lièu co chiéu dịng dièu hdu han ^. Theo mot ^quan diém nào
dò, càc tinh chat vda nèu co thè xem là dù de xày ddng
mot
mị hình éa mot Idp càc vành toàn td nhd J. E. Bjork dà làm
trong tBJO BSÌ va CBJO 87]|
J. E- Bjork , khi nghién cdu Idp vành Noether nhd trén,
dà chù y dén mot bat bién
quan trpng trong pham trù mòdun
tddng dng - Bàt bi én dò gàn cho mòi mòdun M mot so ngun
khịng àm j sao. cho càc mịdun Eiìt ^ (M,F\) déu tri et tiéu
vdi k
j va EMt^(M,R) 5^ 0 - Day là mot thay thè tòt trong
trddng hdp h:hóng giao hồn éa khài niem grade ,(hay dịi
chiéu) cua mot mịdun trong Dai so gi ao hồn - Dai 1 ddrig này,
theo mot nghTa nào dò, co thè dùng de dành già kich thddc
éa mot mịdun ve mat dịng dièu , va dà dddc xét
dèn
trong
CFOS - GFTII -- REI 75] . Trong bài bào này , càc tàc già
dà • de ngh j. mot dinh ngh3^a

cho
càc vành Gorenstei n
"khòng giao hồn' , trong dị co aiịt diéu kién qpi
là Diéu
ki èn Ausiander . Tuy nhién , J- E. Bjork
1à ngdoi dàu ti én
;ìét dèn Idp vành này mot càch co he thòng va ;;ày ddng mot
ly thuyet ve càc vành * Gorenstein khịng giao hồn
'- Tat
nhi èn 1y thuyet eùa Bjork hddng tdi càc àp dung trong
càc
vành toàn til vi phan, nèn ngồi tinh Gorenstein, mot
khào
sàt tddng dịi ky ve càc ' vành Noether
co lpc
' cùng da
dddc thdc hièn, Bac biét , ly thuyet éa Bjork dda trén sd
tịn tai va fiòi tu cua nhiéu day phò dòi dòng diéu trddc
dò
dà dddc khào sàt trong CRD 733 va [ISCH 693Ly thuyet cua J, E. Bjork ve càc vành Gorenstein khịng giao
hồn (trong 1uan àn gpi 1à càc vành Ausiander-Gorenstei n)
ngan gpn nhd sau, Cho
va varih Noether co lpc co thè nói
vdi
chiéu nói
Jia hdu han
vành R Noethier trai va phài
inj-dim R ~ K < =-« (già thiét này yéu hdn ql.dim R < »<> ) .
Vdi mdi R -mddun M , tòn tai^ mot day phò ma sd bang E^
là E;i t^ (ELKt^(M, R) ,R) - Day pho này mang nhiéu thòng tin ve

mòdun M ,dàc biét nò chdng minh sd tịn tai éa bat
bien
khịng am j(M) :- min ^ k
grade nói d trén : dị 1à so ngun
( E;;t^ (M,FO v^ 0 } . R dddc gpi là mot vành Gorenstein neu :
mòdun con N
vdi mpi R -mòdun M, mpi so nguyén k ^ 0 , mpi
eùa Ext^(M,R) , ta déu eó j(M) ^ k - ( Diéu kién này do
F( là vành Gorenstein, day
Auslander dda ra dau tién )- Khi
pho này bòi tu,va nhiéu két luan bò ich dddc rùt ra td dóChàntj han, mpi mịdun M déu co mot lpc M^^ e, , , e M^ :::: M, trong
do mòi thddng M; /M^^^ déu thuòc mot 1 dp mòdun dac bi et, qpi
1 à càc mòdun thuàn tù>^ (pure modul es) - Cac
mòdun này dddc
dac trdng bdi tinh chat :tat cà càc mòdun con dèu co cùng
(
:
:
:
: h*. )
mot grade. Bac biét, Idp càc mịdun grade CLIC dai
dddc gpi là càc mòdun hòlònòm - Khi trén vành R dddc trang
bi mot lpc FR , chung ta quan tam dén ành hddng cua tinh
Gorenstein eùa vành phan bac
1ién két
grR dén t inh
Gorenstei n eùa bàn thàn vành R , Khi 1pc FR 1à Arti rv Rees,
J - E, Roos va J - E Bjork dà eh LÌ n g min h r~ a n g né u g r H 1 à
vành giao
Gorenstein thì R cCing co tinh chat dị . Do mpi

hồn chinh quy déu Gorenstein ta suy ra rang càc vành A < k ) ,
, dèu là vành Gorenstein- Diéu này cho!thày ly
càc stalk
thuyet dang de cap dén da dàp óng dddc mot dai bịi
dat ra
tùi dàu là nị phài bao gom càc
vành tồn tu vi phan
quen
biét-Nhd vay mpi tinh chat vành va mòdun dà thiét
1ap déu


àp dung dddc vào càc trddng hdp cu thè eùa A ( k ) , D
va
E
cua
mot
dai so Li e hdu han chi é u ) .
(va cà càc
dai so bao
Ti èp
dèn , vdi
già thiet
grR
gi ao
hoàn
ta
Ket
càc
i deal dac tr dng va

da tap
dac trdng
éa mot
nió d u n , dac
co
bi et khi mó dun dị 1à thn tuy hoac bịiịnịm. Chàng h a n ,
thè chdnq minh ràng mpi mòdun thuàn tuy déu co
da
tap
dac
chdng
trdng dàng chiéu (kèt qua rìày dau tién dddc Kashiwara
dò
dddc
mi nh cho trddng hdp vành vi mò - dia phddng , sau
dai sd
bao) . Ngồi
ra,
« Babber ctidng mi nh cho trddng h d ^
càc khào sàt ve vành lpc cùng dàn dén viee
nghién
cdu
càc
thanh
khài
vành Rees tddng dng va Bjork dà khài quàt chung
niem
T-vành ( ;:em CBJO 8 7 , Part i n , TEK 8 B ] ) . Vdi
ky
chdng

minh
mdi
eó
thuat riày, chang h a n , Eijork dà cho mot
phan t ò n g quàt h d n cua D i n ^i 1 y Gabber' ve ti ri h d ó i , h d p
e:: ù a
'
da tap dac trdng .
Nhdng

két qua vùa

nèu co mot so dng dung

vao cac

v^nh

toan

Xet
dai sd
Neyl A ^(C) vài già
sd
tu 'vi phan nhd sau
Khi dị
vanh
dia
philc3rtg | CI;•; , F'' J
P, £ CLx3 -: ceM • » • " ? '- „ ]

diéu
A„(C)
là
niòt
vành
l!à mot A n (C)-mòdun . Sd dunq
là
Auslander - Gorenstein ta co the chdng minti ràng C [ K , P 3
niòt mòdun bịi óndm (day 1 à mot d inh 1 i cua 1. I-J. Be^nstei n ) ddng
càc
b-tiàm
(con
gpi
là
da
tliùc
Td d ò , co thè xày
Bernstein - Sato) dòi vdi mpi da thdc
P € CLK]
cho trcBày
gi d
cho
X
là
mot
da tap phdc n cìii èu va gi à sd Fi:
cà
hai
trddng
hdp,

là mot stalk éa bó D hoac
E - ìrong
, nhd
dị
trén R
déu co càc lpc de cho gì - dim (grR) -- 2n
ciu-ing mi nh dddc dàng thdc
j (M) -^ d (M)
2n,
vdi
mpi
Rra
dddc
bat
dang
thdc
Bernstein
mòdun MTd
day
suy
M
là
d(M) ^ n (d(M) ki hieu chiéu Gelfand - K i r r i l o v ) . Nèu
chdng
mi nh
ddde
hoac
M
mot mòdun sao cho d(m) = n + 1 , ta
( khàc 0 ) hoac

M/f(M)
1à
chda mot mòdun con hòlònòm
hòlònòm vdi mpi ddn cau -f : M
> M.
Nhd ta co thè thay dddc^
ly thuyet eùa
Bjork
ve
càc
vành
Auslander- - Gorenstei n theo
mị
t a
d
tr- éri 1 à
mpt
hiL.Ìóng
nghi én cdu vanh - 1y thuyet co dòng ed td càc
van
de
1i én
quan
den
dai
so
Weyl
A„(k) , càc vành
Dj^ , E^ , U(g) . - Ly thuyet cua
Bjork

dà
;;àc
1 ap
mot
pham vi nghi én cdu
khà rpng rai dòng thdi
cùng manq nhii éu dac
trdng
éa
càc
vành tồn t e , va bddc dàu dà thi et 1ap dupe càc co sd éa nóTàt nhi én bàn than 1y thuyet cùng eó su 1y thù ri éng cua nò ,
nhd là mot van dà eùa ly thuyet càc vành két hdp
, va
càc
t::èl: qua trình bay trén day
ngồi
nhdng
àp
durig vào
càc
D-mịdun , ec-n co mot y nghìa nhat
dinh
ve
mat
ly
thuyet
vành - Tuy n h i é n , theo chung tòi con n h i é u van
de
co
1ién

chat che dén càc trình bay trén ma Bjork chdai chda
de
cap
dèn hoac chda khào sàt day^ dù. Chung tịi néu
ra
sau
day ,
ddói dang
cau h ó i , mot so van de khà ed bàn , va
chung
dà
1à dòng 1 de cho càc nghi én cdu eùa 1uan àn
này
.
( Trong
e: a e

p h à t; b i è u

s a u , F( k i h i e u

mot

v a n ti A u s 1 a ri ci e r • - G o r e ri s t e i n ) ,

l.Khào sàt tinh A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n trong càc Idp vành quen
thuòc
(càc vành gi ao h o à n , vành ma t r a n , vành n h ó m , PI-vanti
.--)càc
khào

sàt này se cho ta thém nhiéu thi du ve càc
A u s i a n d e r Gorenstei n .
vành
2.Nghién cdu cac B- lpc trén cac R-mò d u n . Mot trong nhdng
chat ed bàn nhat eùa vành A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n 1à sd
t inh

4


..W4. ^v_j L-utcì iHLJu u d / p n o , g p i 1 a d a y p h ò R u o s - B j o r k ~ I s c h e b e e k
V d i ' m ị i m ó (iJ u ri hi, d a y p hi ò n à y c o
E ^ --: E ; i t ^ ( E x t ^ ( M, R ) , R )va
b o i t u v e c h i n h Nò d u n M- Dac b i e t , La c o m o t 1 oc

i

M^ e M^ e , . .

e H^ :^ M ,

t r " o ri g dò ^ là c h i é u nói x a e ù a va n h E< ( B -1 g e ) . C a u h à i d d a y
là bay k h a o sàt
s a u h ó n n i.l a càc B ~ 1 p e 3. T ì (lì e: a e li dac: t r" d n g càc mò d u n dac t:) i e t ( m ò d u n t h u a n t u y ,
mò dun ho lo nòm . - - ) - Vdi già thiét R dddc loc sao cho vành
p hi a n bac lién I-:: è t
grR là v à n hi g i a o hi o à ri, t a h a y m ò t a e a e
1 d p m ó d u ri nói trén qua càc dịi t d d ri g " h i n hi i i p e '' h d n ri hi il
ideal dac t r~ il n g , da tap dac t r u n g , t a p e: a e ideal n g u y e n t ó
1i én két''I. N 9 hi i è n e il u Idp càc lpc tòt trén (n ò t m ò d u n e \ 11;:) t r" u d e .

C h a fi g lì a n càc: ideal dac t r d n g , càc i tJ e a 1 1 i e ri k et - - . d i.l d e
dinh n'ghi'a thịng qua ềe ìge
tịt trén mot mị dun M, nhdng
r • ị t e LI e e hi ù n g k hi ò n g p hi u t h u ò e v à o 1 p e d d d e e hi c) n . X e t e a e
ideal
I p M ;- A n n grp M e grF<, càc t a p
A p M :- A s s grp M
e
S p e e ( g r" F( ) , nói e hi u n g p h LI thi u o c v a o l p c t ò Iv. F. C' h LI n g t a hi a y

khào sàt sd phu thuòc này.
mò d u n h o l o n ò m . V e m a t g i à i t i c h ,
l^hh i Un cdu s à u h d n cac
mot h e h o 1 ị nịm 1 à m o t b ó c o h e r e n t v ó i d a t a p d a c t r c ì n g
L a g r a n g c d ^ n ( d ò i h d p v a c o c h i é u e de t i é u ) u Cau hc)i d d a y l à
b a y 1 i é n h e k h à i n i em n à y v d i k h à i n i em h o 1 ó n ò m d d d c d i nhi
mò d u n
n g l"ì i a m ị t e à e hi " t h u à n 11 j y d a i s o ' t v o n g p hi a m t r ù eàe
t r é n mot vanh A u s i a n d e r - G e r e n s t e i n «
6 - L i é n h e v d i p h é p v i ma d i a p h L Ì d r ì g hcja ( m i c r o - 1 o c a l i i r a t i o r i )
X é t v à n h 1 p c F( v d i 1 p c
FR ~ { R^ , n e 2 J .
Mot
vi
du t i éu
b i è u v e c à c 1 oc ( k h ò n g r d i r a c ) n à y l à 1 p c t h e o b a c e ù a t o à n
t LÌ t r è n e a e e a n hi ( s t a 1 h: ) e ù a ềe b ó Ej^ . M o t 1 y t hi u y è t d a y d ù
v e p h é p v i mị d i a p h L Ì d n g b o a ( g i à i t i c h )
d a dLÌdc
xày

dLÌng
b d i KaBh i t-jar" a , K a w a i v a 0 s h i i ma - L y t hi LIy è t
d a j.
s o t: d d r i g drig
( a l g e b r a i e (di cr' a - - l o c a l i z a t i o n ) d a d L Ì d c t r i n h b a y t r o n g
CES
Bòa~}.
ChLtng t a b a y n g h i é n CLÌU s d t L Ì d n g q u a n g Ì L Ì à t i n h
thuan
t u y v a t i n h h o l o nòm q u a p h é p d i a phLÌdng h o à d a i s o n à y -

L u a n à n " M o t s o n g h i é n CLIU v e
vành
Auslander Gorenstein
khịng g i a o hồn"
nhàm
phàt
triérì
ly thuyet
nói t r é n éa
Bjork
theo
hdcing
giài
quy e t
ềe
van de
1 - 6 VLU-<
néu.
T r é n t i n h t h a n d ò ,'^ c h ù d e n g h i é n c d u c u a 1 u a n à n 1 à càc

vành
Ausiander-Gorenstein,
vành
Noether
c o 1 p c ^ p h é p v i mó d i a
p h d d n g h c j à , v a Lìng d u n g c à c l y t h u y e t
này de n g h i é n cdu càc
h e h o l o n ò m v a h e t h u a n t u y . DĨrig (:4Ĩ|:J
cua
chung t ị i
l:.r o n q
1 u a n a fi t) a o g ò di n hi LÌ fi g k e t c:| u a t r i n hi ti à y d LI d i d a y .
( C à e v à n hi
A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n dddc g p i t a t l à vành A - G ) -

1. Dinh fighia cua vành A-G khịng g i a o hồn do
J„
E.
Bjork
d d a r" a ( 1 9 8 7 ) e: ó i t f i h i è u 1 i è ri q u a ri t d i càc
v à n hi
B o r" e n s t e i n
q u e n b i è t t r o n g D a i s ò g i a o hi o à n . V a fi d e t d
n hi i è n
dat
r a
1 à t i n h A--G t r o n g t r d d n g h d p g i a o h o à n
va
t ifih
Gorenstei n

t h ò n g t h L Ì d n g 1 i é n h e v d i n h a u nhLÌ t h è r ì à o . C h i ù n g t ò i d a
e l i 5.
r a t r o n g 1 u à f i à n r à n g m o t v à r i h i g i a o h(::)àn FA' l à A G k h i v a c h i ì


khi F: 1 à vành Gorenstein va co
chiéu
Krull
hdu
hanDiéu này dac biét hiLÌu ich trong càc khiào sàt tièp theo ve
vành A~G co lpc vdi vành phan bac lién két giao hoàn. Cùng
td két qua này, suy ra ràng mot R -(iiòdun hdu han sinh M là
thuàn tuy khi va chi khi mpi ideal ngun tị éa Ass(M)
dèu co cùng mot dò eao h - grade (M) - Mot he qua dàriq nói
éa tinh chat trén là vdi H - móduri M bat kì ta co phan
tich
* I
Ass(M) -- U A5s(EKt^(EKt^(M,R) ,R) ,
i
trong dò thành phan t h d k d v e p h i a i chi i g o d i ntiLUig
i deal
dò cao bàriq k ( 0 •-! k <: K = i n j - d i m R ) ( e a u b o i 1 ) .
2 . Cho mòdun M t r é n
vanh
dò day phò
Roos - Eijork
tréf» M mot l o c
(B-loc)

^X^

v a g i à t h i e t FA
Ischi eh eck
bòi

e

M.

1à v a n h
t u
Và

A-G.
càm

ed

Khi
sinh

M

M^ / M ^ . ^ l a t h u à r i t ù y , L p c n a y
lién
t r o r i g qo mịi thiddng
guari
t
h
u

à
n
t
L
i
y
h
o
a
c
t
i
n
h
h
o
l
o
n
o
m
.
C
h
u
n
g
t
c
j

i
d
à
dac trLÌrig
dén I t i n h
M
duida l p c n à y nbcì s a u
la mddun con 1 dri n h a t
so
trp, g
iDU
càc mòdun con cua M co grade khdng vLÌdt c^ua | H - k .
dung
dièu này , chung tòi xét dèn t inh chat ki éu A r t i n - F ^ e e s "
é a
N e M
B-lpc va chdng minh rang vói m n i
'^k
trnnq

da

N„ e N, e:

- N (\ M,
N„

la

B-1 oc

cua

mò d u r i

N

(càu

boi

2)

3- M. K cishi wara (eho trLidnq hdp vanh vi md dia phìLÌcing) v
Gabber (cho tru!dng hdp dai so bao éa dai so Li e) dà e hiLÌfig
minh ra ng da tap d ac trdng éa (noi diịdun 1 à rdòt tap d à n g
chiéu - J- E. Bjor ^. nhan xét ràng diéu dò van dùng d ị i
voi càc vành A-G. d day, trong tay mot hièu biét k h à
day dù ve càc vành A-G va vành 1pc, chung
tòi
dà cho m o t
chLUK^ m inh gpn, r 6 cho khàng dinh dò . Luan àn cùng dà d d a
r a d i f1 hinghla cua mot mị dun thóa man
t i è LI
dièu kién
edc
dịi vdi càc ideal ngun tó lién két, va chLÌnq minh ràncj d a y
cùng là (dot di éu k ieri can éa tinh thn tùy, cho diót 1 cip
càc F< - mò dun. Id d ò ,, r
k..

èi=.
t- hdp
Dinh
1 i Kashi wara
vvdi
di
Dinh
Gabber ~ Bjork mot d i è u k i è n c a n v a dLi c h o t i n h
tuy
thuàri
dLÌdc thi iét 1ap (cà u b ò i 3 ) 4. Ta biét néu ideal (càn) I(X) cua da tap dai
X e k
so
phan tich "ngun tị
I (X) ::: p^ n . . - 0 p^ , vdi
là cac
ideal figuyén té tron g vành da thcìc A kE!;;^ , . . - ,x^ 3 ,thì
h) àf 1 t ti ari X
d LId e p hni atich thành càc thành phan bat khà
qui
tLÌdng LÌng
X ™ X^ U- . . U Xj , vdi
I (X;_ ) - pi^
(k - trtidng

dac so 0 ) . vi ly do dị^ trong nhiéu trLk^ng hdp nQdhi
ta
dịng fìbàt da tap X v di tap { p, ,, - . , PJJ C Spee (A) . Dei
vói
trLicìng hdp ềe mị du n trén mot vành tồn td, ta cùng 1àm nhd

thè- FU^y gid già thi et trén vànhi Fi; eùa chung ta eó mot lpc
sao cho grFc là vành Noether giao hc^àn va M là idòt Fi; - mò
d u ri hi LÌ u hi a n sinh- uNé F là mot lpc t ò t t. r" è ri i '1 t a g pi J ( 1^1 )
:-: v'^ Ann gr^ M là ideal dac trdng va V(ii) :~ tap càc
ddc
ngun tị éa J ( M ) .
Ideal
dac trdng ^ (va do dò tap V(M))
khòng phu thucpc va o viéc chpn lpc tòt F. Tuy nhién ta con
co ềe ideal va tap hdp sau, nói chung phu thuòc thdc sd vào


1 pc
ApM
ApM
càc

F : ideal
1inh hóa td
IpM : - Ann grp M e grR, tap hdp
:~ Ass grp M
5pec(grR). Do nhLÌng khào sàt ci trén, tap
e Spee(grR) co ly do de dddc dac biét chù y. Thòng qua
tap hdp L^^M : = E;V(M)

Kèt qua l à
• t h i èn ' eùa

d day

chung
c à c t a p hi d p
V(M)

(càu boi

U
k

V(Li, (M) )
tịi
/\^h
Aj-M

dành
t r on g

e

Spee (qrR)

già
CILÌOC
' khoàng
bao
hi àm t h y.\e s a u

bién

V(M)

4)

p. Sau khi i di ri hi righi a 1 dp Ber n st e i ri cac mòcl un t r èri
mot
vành
A-G 1 p c , chung tịi tìm dLldc mot
di éu
ki èn
dù " d e
cho
1dp này va 1dp càc mòdun holonom
trùng
nhau. Cu : t h é .
hai
Idp này trùng nhau khi lpc eùa vành
R
tboa
(nàn , m o t
di èu
kién lién quan dèn vièc nàng càc ideal éa vành ^R
bdi
ành
thè
nói ràng day là mot di èn g i à i h ì n h
>ta symbol chinh. CÓ
hpe
cho
t inh
holonomTd két qua này

, suy
ra
tinh
holonom éa mot loat càc mịdun dia phddng vi mo
a u b o i 5) cua
6- Chung tịi chLÌng minh sd bao toan cua tinh A - G
vanh
voi
già
R qua càc phép dia pbtldng hóa vi (nị . Chin h xàc,
thiét R co mot lpc Artin-Rees va grR là vành A - G g i a o h o à n ,
chung tòi chdng minh dddc mpi vành vi mò - d i a p h i L Ì d n g
E R
déu 1à vành A-G
d i éu
này
va
vdi p e Bpec(grR). Bu dun g
c a c k é t q u a n o i d 2^
phép
dia
, chung tòi chting minh r à n q
p h L l d n g h ó a t i ị t mó d u n t h u à n t ù y gid
nquyen
t inh
thn
tuy
éa
mị d u r i d ị - N g o à i r a , n è u c h i d i a
phLÌdng

càc
hóa t h e o
ideal
ngun
tị
cua
tap
V(M)
,
ta
1 Liịn
thu
1 udrì
dLÌdc c à c
mị d u n
t h u ị c 1 d p B e r n s t e i n (ma t he o
5trén ,
d
dLÌdi nhcUig d i è u k i é n n a o d ị , 1 à e à e
mó
dun
h o l onom) NhLÌ
v a y chung t ị i dà khào s à t tLÌdng d ị i day
dù
ành
hddng
éa
p h é p d i a p h L i d n g h ó a v i mị d ị i v d i c à c t i n h e h à t v à n h
va
mò

dun dàng quan tam _ t i n h
A-G, t inh thuan
tùyt inh
hiol onom
(càu bòi
6)-

V d i . ^ n h d n g n o i d u n g n é u t r è r i , l u a n à ri fi g cj à i m o t e h d d ri g 0 d e
c h u à n b i , gòm e o 3 c h c ì d n g - Cac c à u b o i
1 i<2 d d d e x&t dèn d
tòi
c h d d n g 1 ; t r o n g chLidng 2 c h u n g
et e à e e a u bòi 3 ?/. 4 ; va
chLÌdng
dành cho càc cau hói 5?<ịNói dung ềe chddng
t h e n o i van tat nhLÌ sau(Trong ềe trình bay s a u , " vành"
dLÌdc hi ed
1a
vanh kèt h d p , co ddn VI
va
cae mo dun neu

khịng nói

khàc di dèu là mị dun trai

)

ChLÌdng
1

nghién
cdu
tịng
quan
ve
ềc
vanh
Ausiander-Gorenstein va càc mị dun éa chung, dac b i e t
là
càc (Tiò dun thuàn tùy va mò dun hịlịnịm- Càc dinh n g h i ' a va
ềe tinh chat ed bàn phan 1 dn dà co d LBJG 8711,
e il uri g
tòi
chi cài
tién mot so va dda ra ềe
vi du v e
vành
Ausiander-Gorenstein. Dac biét, sd tịn tai (va bịi t u
trong
trddng hdp vành Ausiander - Gorenstein) éa day p hi ò m a r i g
tèn Roos - pjork - Isehebeck là ed sa cho nhiéu e h d f i g (fi i fi hi
Bau này, dLÌdc khào sàt tddng doi ky. Ri éng trcjnq 4;- 1 . 5 , c h i ù n g
tòi chLÌnq mi nh mot
di éu k i èn can va dù de (11 d t V a fi hi
gi ao hoàn 1à Ausiander- Gorenstein (Dinh li 1.5.1)
Ké t
qua


nay cho t h à y t è n

gpi
nguyén t h ù y
' vành
Gorenstein '
eùa
B j o r k 1 à chLÌa
th ich
dàng ,
va
chung
tịi
dà
(jpi
cac
vanh
này
1à
A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n , t h e o CEK 8811 ) .
NhiLÌ
1 à mot hié
qua, chung t ị i suy
ra
mot d i n h 1 y p h a n t i c h c h o
tap
Ass M t r é n
mot
vành
Auslander - Gc^renstein
giao
h o à n eó c h i é u K r u l l hLÌu h a n ( D i n h l i 1 . 5 . 7 ) .

i
ChLÌdng 2 n g h i é n CLÌU c à c v à n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i ri c o 1 pc
va
càc mò d u n 1 pc t L Ì d n g LÌng. C h u n g t ò i
gi di
t h i éu
khài
n i ém
l p c A r t i r i - R e e s t r é n mot v à n h R v a k h à o s à t s u l i é n
he
giLÌa
vành R va vành grR- Dinh l y
eùa
Fi;oos
va
Bjork
(dinh
ly
2 - 3 - 2 ) v e si.ì
t r u y é n t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n tLÌ
grR
BC\ng
R v a d à n g t b c ì c j (M) ~ j ( g r M ) l à cc3 b à n c h o càc k è t
qua
sau
TLÌ
mot
dinh
li
éa

K a s h i war" a
,
Gabber
va
Bjork ,
B j o r k , c h u n g t ị i t ì m dcìpc (iiịt d i é u k i é n c à n v a d ù d e mot
(nò
d u n 1 à t h u à n t ù y t h ò n g q u a i d e a l dac t r c ì n g v a i d e a l 1 i é n k é t
t r o n g c à c Menh d e 2 . 4 - 3 , 2 - 4 - 6 , v a 2 - 4 - 8 . Dac b i è t
luan
àn
d à dda ra d i u i h n g h ì a c u a mot mei duri t h ó a mari d i é u
k i èn
cdc
t i é u d ò i vd:. i d e a l n g u y é n t ò
lién
két
( D i n h ngh'L'a 2 - 4 - 5 ) Trorìg
$ 2-5
chùng
tịi
nghién
cdu
càc
tap
con
éa
Spee (grFi;)
va
càc

ideal
éa
grR
dinh
nghTa
trén
mot mị duri M t h e o càc l p c t ò t :
ApM
;~
A s s g r p M ',
IpM
: ™Ann g r p M. V d i s d dLÌa ra d i n h n g h i a c u a
tap
V(M)
(dinh
r i g h i a 2 - 5 - 4 / , chiùng t ò i d à d a n h g i à , t r o n g mot e h LÌng mdc n à o
d ó , s L Ì p h u t h u ò c e ù a M v à o làp càc l p c t ò t F ( d i n h l y 2 - 5 - 5 ) .
T r o n g chLÌdng 3 , cbLing t ò i n g h i é n eu'u s d l i é n q u a n g i c ì a
ềe
v à n h l p c , mòdun h ò l ò n ò m , mòdun t h i u à f i t ù y , p h é p v i mò
dia
p hi d d n g hi o a , v a ^: hi a i n i è m (n ị d u ri v d i kì d i c h i n hi c:| u i . -$• 3 - 1
ehiLÌng mi fih (tiịt s o t i n h c h a t éa mịdun hidl óriịm
1 i én
he
vdi
v à n h 1 p c . Dac b i e t , chLing t ò i cìdc 1 LÌdng mot
chiari
trén
cho

càc d a y h(5p t b l - i n h éa mot mịdun h ò l ònòid t h e o " e y c l e
"
eùa
fio ( Menh d e 3 - 1 - 4 ) . Cac
mịdun
"
thic
Idp
JJiiernstein
"
dLÌdc k h à o s a t d
:t 3 - 2 v a mot d i é u k i è n d e chio
1 cip
này
va
1 c)p ềe mịdun h ị l ị n ị m t r ù n g n h a u ( D i n h l i
3 . 2 . 7 ).
Tièp
t f i e o , k h à i n i e m v i mò - d i a p h d d n g hc^a dLÌdc g i d i t h i è u , nhicì
t r ì n h b a y t r p n g CES 8 6 a 3 .
Chùng
tói
chiLÌng
(ninh
sd
bào
t o à n c u a nhi i è u t i n h c h a t v à n h v a mòd u n q u a phi èp
dia
p h LÌdng
h ó a n à y ( Càe D i n h l i

3 - 4 - 1 , 3 . 4 - 4 , 3 - 4 . 5 ).
Cuòi c ù n g ,
nièdi
T - v à n h nhLÌ dcide d i n h n g h ì a
chùng t ị i
khào
sàt
khài
t r o n g CBJO 8 7 3 v a c à c 1 d p mò d u n
vdi
k1
d i eh i n h q u i t h e o
n g h l a d a i s o (;iem t E B Bob 3 ) v a c h d n g (ni nh
su
bào
tồn
éa
t i n h k ì d i c h i n h q u i q u a mot s o
phép
dia
phLÌdnq
hóa
càc
3' v à n h n à y Dè
cho
hgudi
dpc
t i é n t h a m k h à o mot s o k é t q u a ( r à i
ràe)
tìì

ly
t h u y e t v à n h , d a i s o g i a o h o à n , d a i sci d ó n g d i é u ,
...
v a dcìde d ù n g k h à t h t ì d n g ^ x u y è n t r o n g
luan
à n , chùng t ò i
bat
d a u b a fi g m ị t e h LÌ d n g e h u a f i b i ( e: hi LÌ d n g 0 )
n hi a e
lai
càe
^:; é t
c:jùa d ị - Trcjng ehLÌc3rig n à y , e h ù f i g t ị i eL(rig
t r ì nhi
bay
fihdng
q u y LÌĨc v e
t h u a t ngd va ky h i e u sé dùng t r o n g l u a n àn-

hidcL^ng
dan
nhi i e t
t ì nh
va
L u à n àn ddde h o à n t h à n h CILÌCÌÌ s d
n g h i é m k h à c ^ e ù a Gs- N g u y é n D Ì n h N g p c - Càc b à i g i à n g
va
càc
b u o i s e m i n a r e ù a Gs- J - E, B j o r k t a i V i é n D a i h p e
Btockholm

v a n h d n g t h i à o l u a n v d i E. K. E k s t r o m da eung c a p c h o t à c g i à
n h i é u y t d d n g va tei l i è u q u i b a u - Gs. Huynh Mùi va T r u n g t a m
CAMICE d à d à n h c h o t à c g i à n h i é u s u d u à i
trong
thói
gian


chuàn bl luan àn- Tàc^già chàn thành eain dn cac giao sd, ban
hpe va trung tàm da ke trén day, va tat ea nhdng ngddi da
giùp tàc già hoàn thành luan àn này-

#-"


Ghilịng 0:

PHÀN CHUAN BL

§ 0.0

càc thuat ngù va ki hléu dùng trong luan àn.
Chimg tol sé dùng càc qui Uóc sau:
" Vành " dUdc hléu là vành két hóp, co dòn vi, khàc

0,

va

dong càu vành chuyén phan tiJ dòn vi thành phan til dịn vi- Moi mó

dim dé\i unital

, tiic phan tii dòn vi cua vành

tàc

dong

dòng

nhàt lén mò dun ddKl hléu

" e "(hoac " ^ ") diing de' chi bao

hàm

thiic

thùc

31/ , va A £1 B, chàng han, co nghià là A e B ìioac A == B.
Cho trc vành R, pham trù càc

R-modun

trai

phài) dUdc kl hieu là R~mod (tddng ùng, mod-R).

(Utóng ùng,

Trong

luan

àn

này chù yéu chùng ta quan tàm dén càc mo dun hùu han slnhì^ chi' can éa ideal I trong vành
{ r t R Ir"" € R vói n nào do } va

giao hodn

R,

tue

ht-1 , vói I?^R . ki' hieu

tap
do

cao (height) cua ideal I.
§ 0.1 Nhàc lai mot so k§t qua cua ly thuyet vành két hịp.
0.1.0 Trong tlét này R kl hléu mot vành co dinh.
nhac lai khài niem dia pMóng

Chùng

hóa (trong vanii khịng

giao

va mot so tinh chat cua ideal Jacobson éa vanii R. Chi
the' tlm ị [MAC-ROB 861, [LAM 763.

10

tịi

sé

hồn)

tièt

co


0.1.1 vành va mo dun dia phifdng hòa.
0.1.1-0 Cho tap dóng nhàn tinh S e R ( x *-: S, y ^S ^ xy ^ S ).
Mot vanh cdc thilóng

(ben trai)

vói mot dóng càu vành
1) t|)(s) ^d

cua R theo S là mot vành Q

cùng

cp : R — > S thóa man

nghich

trong Q vói mpi s € S ;

il) moi phàn tu q e Q déu co dang

q = (p(s)~^(p(r), vói

s t S va r t R nào dò;
ili) V r € R, cp(r) = 0 khi va chi khi a s e S de sr = 0.
Vành Q nhd vùa nói, néu tịn tal, là duy nhàt (sai kém mot
dàng càu).
0.1.1.1 càc diéu kién Ore. Gol càc diéu kién

sau dịi

vói tap

dong nhàn tinh S là càc dieu kien Ore ben trai:
1) V r ^ R, V s € S, 3r*€ R, s'eS sao cho s'r - r*s (nói
càch khàc Sr f\ Rs ^ 0);
li) V r e R, sr = 0 (tuóng Uhg rt = 0) vói s (tifong ùng, t)
nào dò €S khi va chi khi 3 s'ddòng ùrig, t') è S sao cho rs'=0
(tdóng ùng, l'r = 0 ) .
(Chù y l'ang ii) thdc ra là tràl-phài dòi xùng).

Cac diéu

klen Ore ben phài cùng dUóc dinh nghla tttóng td-

0.1-1.2 DINH LÌ. Vành càc tMóng ben trai cita R theo S

toh

tai

ìihi va chi' M'd S thóa man cdc dieii kién Ore ben trai ^

Kl hièu vành nói ị dinh 11 trén là S"''R- Tal nhièn cùng co
dinh 11' tdóng' td cho vành càc thdòng ben phài cua R theo

S. kl'

hléu RS".^ Néu cà S"''R va RS"'' cùng tòn tal, ta co S~''R ^ RS"]

11


0.1.2

Ideal Jacobson-

0-1.2.0

Kl hieu ideal Jacobson eùa R là Rad(R). Ta co Rad(R)

n { càc ideal trai cdc dai } ^ n ^ ^^c ideal phài cUc

dai

n { càc ideal cdc dai }.

,

>

^

0.1.2.1 DINH LI. Rad(R) là ideal lón nhàt cua R sao cho 1~r Mia
nghich vói moi r t Rad(R) ^
0-1.2.2 BÓ DE (Nakayama). Neu 0 -/ M là mot R-modun hùu han sinh
vd I ^ Rad(R) là mot ideal cua R , ta co IM / M ^
§ 0.2 Nliàc lai mot so két qua cua dal so dòng diéu.
0.2.0

Trong tiet này chùng tòi nhac lai mot

so

kèt

qua

lién

qjan dén Ext, chiéu dòng diéu, chicu noi xa, va day pho (chù yèù
day phò sinh bòi mot song phùc).

0.2.1 Ext và chiéu dịng dléù.
0.2-1.0 vói mpi R-mị dun trai N, Ext^(_,N) ddịc

dinh

nghià

là

hàm til ddn xudt thù n cua hàm tu Hom"(__,N) tu R-mod vào 2-mod.
Néu M € R~mod và già su
0 < — M < — PQ<

P^...

là mot giài thùc xa ành éa M. Khi do Ext^(M,N)

là

nhóm

dịng

dieu ó' chiéu thù n éa phifc
0 — >

PQ

> P^...

( P :- Hom^(P^,N))

Ta cùng co the xuat phàt tu mot giài thùc nói xa éa mịdun M

và

nhan ddịc cùn,? mot nhóm Abel nhu trén.
Dac bièt, khi N = R và M là mot R-mịdi

12

ti-ài

(tdịng ilng,


phài), càu

trùc song

Ext^(M,R)

mò dun hièn nhlen trén R làm cho càc nhom

tró'thành mot R-modun phài (tdóng ùng, trai). Tu day

trị' di, khi nói tịi càc Ext- mị dun, càu trùc mị dun

ln

ln

dai

cua

hieu là cau trùc vùa neu.
vói mpi day khịp ngan
0

> M»

> M

> M"

> 0

và mpi mò dun N, ta day khóp dai (gpi là

day

Miịp

Ext) :
0—> Ext°(M*',N)—>Ext2(M,N)—>Ext^(M',N)—>Exti(M»\N) --.
K

0-2-1-1

cho

K

n

K

Chiéu noi xa éa mị dun N là so'ngun n lỊn

Ext2(M,N) '/ 0 , VĨI mị dun M nào dị (hoac bang co neu

nay khịng xay ra), kf hléu

chiéu nói xa éa R

sao
dieu

InJ-dlm N-

Dac biet, khi N = R, gpi n là chiéu nói xa éa

va

nhàt

R và

n

là

. Khi R Noether trai và phài, ta eó n = n

dùóc gpi chung là

,

inj.dim R (xem [ZAK 69]).

0.2-1.2 Chiéu dóng dlèìa toan the trai éa R du'òc dinh nghià

là

so' nguyén ( co thè' bang oo )
1 gì.dim R := sup inj-dlm N ,
trong dị N chay khàp càc R-mo dun tz-'àl- Chiéu dịng
the phài

diéu

tồn

r gì.dim R ddịc dinh nghià tng tu.

Khi R Noether trai và phal, ta co

1 gì.dim R = r gì.dim R,

và so' ngun này duoc gpi là ehleu dịng diéu toan the

éa

vành

R, kf hièu gì.dim R.
0.2.2 Day phol
0.2.2.0 ó day chùng tịi dung khài niem day phò^ ( doi dòng dièu)
theo [CAR-EIL 57] (vói moi r>2, vi phan d, éa so bang E

13

eùa day


phò co

song bac (r,1-r))-

0-2.2.1 Cho song phùc A ^ ' ^ gịm càc mị dun trén mot vành

R cho

trddc, vói càc vi phàn d^: A^'^^—> A^"*"''''!, d^: A ^ ' ^ — > A^'^i"^]
Dat

A:= © A^^, vói A":= © ^
n

A^'"^ và vi phàn d:= d, + d^- Ta

p+q=n

^

1

gpi (A,d) là nhóm vi phan phàn bac ùng vói song phùc
trùc song phan bac eùa A sinh ra hai lpc: Zoe thù iihàt
© . © A^'^ và Zoe thù hai
rs^p

q

'

2

A^'^. Càu
F^A : =

F^^A := © . © A^''^.
II

s>^q

p

Hai loc này trén (A,d) sinh ra hai day phò"! E , r>2 } và

, r>2 } tng ùng ddịc gol là day phó' thù ìììiat và

{ E

phị^ thù hai
dièu

éa song phùc

A^:^ Chù y ràng trén mị dun dóng

H(A) ciong hai lpc tng ùng.

Gol

H (A) là mò dun dòng diéu theo vi phàn d

A^'^. Vi phàn d
H

day

eùa song phùc

càm sinh trén H (A) mot vi phàn 6 và ta kf hléu

H (A) la dóng dièu éa H^(A) theo ị . Tng td, ta co mỊ dun

dịììg dièu

HjHjj(A). cà hai mị dun noi tren déu song phàn bac.

Tà co H^Hjj(A) = jE^

, H^^H^(A) - ^^E, .

Chùng ta sé quan tàm dè'n trdóng hóp dac biét

sau cua day

phò' vuà trlhh bay

0.2.2.2 MENH DE. Già su

A^*"^ = 0 vói q<0. Khi dị day phị"i^E^}

hịi tu I

14


§0.3 Nliàc lai mot so'ket qua cua dal so giao hoàn.

0.3.0

Trong liét này R ki" hléu mot

vành

hoàn

giao

co' dinh.

Chùng tol sé nhac lai v'e phàn tióh nguyén so ,

Ass,

khài niem

grade và vành Gohen-Uacaulay,

Chi

tièt eó thè'

xem 0

vành Gorenstein.

tAT-MA 69], [MAT 86]. De'cho dòn giàn , ta xem vanh R là

Noether.

0.3.1 Ass và phàn tich nguyén so. Cho M là mot R-mò dun hùu
sinh, Ass(M) là tap càc ideal ngun tị'/i éa

R

sao

cho

han
fi

^

Ann(u) , vói u nào do € R . De" thay vói mot ideal nguyén to' fi ,
fi t Ass(M) o

3 N £ M vói N ^ R/fu

vói mịi fi € Ass(M) , toh tal mò dun con

N(fi) ^

M

và

là

/i-nguyén so (tue i/(N(/i):M) = /i) sao cho
^ ^ Ha^AssCM) ^^^^

(phàn ti'ch nguyén so eùa 0 trong M)

Néu N £ M, ta co Ass(N) £

ra Ass(M)= 0
Supp(M),

«

ASS(M) Ì= ASS(N) U

Ass(M/N)- Ngồi

M = 0 .

support

cua

M,

là

tap

càe

fi f Spec(A) sao cho mị dun dia phùóng hóa M

15

ideal

ngun

/ 0. Ta eó

to

Supp(M)


- { fi £ Spee(R) I fi 3Ann(M) }, là mot

tap dóng

trong

Spec(R)

(vói tị pị Zarlski).
Llèn he glda Ass(M) và Supp(M):

Ass(M) ^ Supp(M)

và

hai

tap này eó chung cac phàn td cuc tiéu, do la cae ideal ngun tị
cdc tléù chùa Ann(M).
Trong trdóng hịp R = © R
là mot mị dun phàn bàc, khi dò
Ass(M) là mot ideal

thuàn

nhàt

là mot vành phàn bac và M = © M
mpi

ideal

ngun

to' fi trong

(homogeneous) và là linh hóa

tu

éa mot phàn tu thuan nhàt : fi = Ann(u) vói u t M^^ nào do.

0.3.2 Grade và vành Cohen-Macaulay.
Cho mò dun hùu han sinh M và I la iript ideal eùa R.

Khi

depth^M là dò dai cuc dal eùa mot day M-ehinli qui trong Inghià grade eùa M là so'nguyén

J(M) :^ depth^^^^

A

do
Dinh

néu M ?^ 0

và = 00 neu M ^ 0. Ta eó
J(M) - ht.Ann(M)
Néu R là vành dia phùóng

vói mpi M^O.
vói Ideal cuc dai n, ta nói

16

R

là


TPfUy:^^'/Ì;.:^-^ ;•..,••-.:^V!èfj.|

vanii Cohen-Macaulay

(C-M) nèu

depth R ^ dim R.

Vành

R

(khịng

nhàt thiét dia phùóng) ddóc gpi là C-M néu moi dia phudng hóa R
déu C-M , m t MaxSpec(R).
I -/ R, ta eó

Khi R là vành C-M, dlml^ ^ n, vói mpi ideal
ht.I + dim (R/I) - n .

vành C-M R, trong dò mot he tham so'nào d o sinh ra mot ideal
bàt kha qui, ddịc gpi là vành Gorenstein. Dièu này
vói:

V mị dun M, V k. ta co

tdịng

ddịng

Khi diiiìR < ^

J(Ext!'(M,R) ) .^ k.
li

R Gorenstein khi và chi khi
ngun tị

inj.dim R

< co

vói

mpi

ideal

p.

17

^••'S;i»c^
iv;...tt.


Chddng

VANH AUST^NDER-GORENSTEIN
MODUN THUAN T!JY

VA MODUN HOLONOM

§1-0 TVong chiidng này chùng tòi nhac lai cac
chat ed ban nhàt lièn quan

dén càc vành Auslander -

Trong pham trù càc mò-dun tren mot vành

cac mó.dun thn tuy ( pui-'e
(holonomic

modules

dinh nghi a vi tinh

modules)

Gorenstein

Auslander-Gorestein,ló^-

và ióp

càc

mị .'^un

,\ co nhiéu tinh chat dàng chù

y

và

khao sat ky. Phàn lc5n càc ket qua trong §§1.1-1.4 deu

holonom
se

co

d^iịc
trong

[BJO 8 7 ] . Rieng trong

§1.3.8, chùng toi mị ta lai càc B-loc qua

grade cua

và

modun

con

chdng

minh

.Artin-Rees " . Trong §1.5 chung toi

tinh

mot

chùng minh

chat

dlé''a

và du de mot vành giao hoàn là Auslander-Gorenstein

"

kieu

kien

theo

nghia

cua [BJO 8 7 ] , tu do co du'dc nhièu 9ieu kien tùdng diióng éa
mị. dun thn tùy và td do' rùt ra mot (5inh li

phàn tich

càn

mot

cho

tap Ass(M) , vói M là modun bàt ky .

§1_1 Day pho Roos-Bjork-Ischebeck.

1.1.0 Cho R là mot vành,khòng nhàt thiét giao hcàn-Moether

trai

và phài. Vdi mpt R-modun Ttrai chàng han) M hùu han sinh, ta xày
P,-q
p
q
ddng mot day phò vdi E^
= Ext ( Ext^ f M, R') , R ) ma diiói nhun
già thiét nào do'' éa vành R, sé hpi tu ve chinh modun M

1-1.1 Xav ddng day pho

Lay mot giai thùc xa anh cua M

> P.

> M

> 0

u
trong do mòi

P, dèu huu han sinh. Dàt

mot phdc hinh gom càc R-modun phai

18

P

- Hom (P^^,R)

ta

co'


,-1
— > A

> A

r

t

'1,-1
> A

(1.1.1.0)

> 'A

t
t

t
t

0

0

'0,-1
> A

A

CAì:

1,0
-> O

lo
A

k-1
Gol

> 0

> 0

k

k+l

- — > A ---> A

:heo

cua song phùc

(A

)

la

..

n

phi/c

du'o'ng

p., q

©
A
p-hq-n

Su: dufng loc thu* nhat cua

A

va dàng càu

P

- P » vo'i moi

mòdun xa anh hùu han sinh P, ta chung minh duWc
0 , neu

k ?^ 0,

M , neu

k = 0

H (A)

(1.1.1.lì

D5i vo'i loc thu' hai cua ( A ) , ta dùdc mot day pho \''di
p,-q
(1.1.1.2)

E

2
p» -q

và vi phan

d

2

p
q
Ext (Ext (M,R),R)
R
R
P+2,-q-1
> E
2

co song bàc (2.-1)

Day phò (1.1.1.2) dudc gpi là day pho Roos-Bòork-Ischebeck.
1-1.2 Menh àé.
(1.1.1.2)

hol

Già
tu

Chung minh:
= 0

k h i p > (i

Do ( 1 . 1 . 1 - 1 ) ,

thiet

inj.dim

R ~ \i

<

co.

khi

do

day

pho'

ve modun M.
,
Ta co

n

p,-q

Ext

fM,R) = 0 k h i n > |i , do do E
,
2

R
h o a c q > p. - tu'c ( 1 . 1 . 3 ) b i c h à n , do dò h S i t u
E =^- E
2
"^
p, -q
E
- 0 vdi

0

p - q ^ 0 va

00

E
co

20

^

grM, t r o n g

do


+

0 — >

(P )

P.

;> P

Y
> (

và càc

Q

Khi do tòn tai càc modun

V

'uy

-->

ir

1

V

—>

0

0

^nP~-

V
> P

> P

V
0

0

y.

3,2-

1 1

V

vi phàn

-- >

0

trong dò mo i cót 1à khóp,trèn mị i dịng
(Q

H (Q

ì -

0

> Q

> Q

^

) là xa anh, và cuòi cùng phùc dòng dièu cam sinh trèn
k

k

k

••*'

> H (Q, )
> H (Q. )
:•• H fP )
moi cot
. . .1.
u.

là khóp ( xem [CAR-EIL 57],[BJO 79],[BJO 87]}

Goi

(Q

) là song phiic dịi ngau cua
A

A

y.

Q

,-

p,-q
f)àt
góc

A

*
=

Q

Q
A

- Q

00

)

A

A

Q

(Q

> 0

Q.

^
và

^,
vièt

p.q
phàn td thù hai nhd sau
19

lai

song

phùc

A )

d