(Luận văn thạc sĩ) tính chính quy trên biên cho toán tử ∂ trên các miền q giả lồi luận văn ths toán học 604601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————————–

Nguyễn Ngọc Khanh

Tính chính quy trên biên cho tốn tử ∂¯
trên các miền Q−giả lồi

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Ngọc Khanh

Tính chính quy trên biên của tốn tử ∂¯
trên các miền Q−giả lồi

Chun ngành:Tốn giải tích
Mã số:60460102

LUẬN VẶN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Thạc Dũng

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn tới thầy giáo hướng dẫn là TS.
Nguyễn Thạc Dũng. Thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện về
nhiều mặt để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, các cô đã và đang cơng
tác tại khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội,
những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu
trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức để thực hiện
luận văn này.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, cổ vũ động viên
tôi trong học tập và cuộc sống.
Xin chúc mọi người sức khỏe, đạt được nhiều thành công trong công tác,
học tập cũng như nghiên cứu khoa học.

1


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

LỜI MỞ ĐẦU

3

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Một số khái niệm cơ bản trong đa tạp phức . . . . . . . . . . .

6

1.2

Một số tính chất cơ bản của tốn tử ∂¯ . . . . . . . . . . . . . .

10

¯ =f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình ∂u

15

Miền Q−giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.1
1.3

2 Tính chính quy cho tốn tử ∂¯

23

2.1

Tính chính quy địa phương cho ∂¯ trên biên . . . . . . . . . . .

23

2.2

Ước lượng tiên nghiệm có trọng trên biên cách xa 0 . . . . . .

27

2.3

Tính chính quy toàn cục cho ∂¯ trên biên . . . . . . . . . . . . .

30

Tài liệu tham khảo

33

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

33


LỜI MỞ ĐẦU

Tốn tử ∂¯ và phương trình
¯ = f,
∂u

(1)

trong đó u, f lần lượt là các dạng vi phân kiểu (k − 1, 0) và kiểu (k, 0) (với
¯ = 0) là một trong những khái niệm và đối tượng cơ bản nhất trong
k ∈ N, ∂f

giải tích phức nhiều biến. Việc nghiên cứu toán tử ∂¯, và giải phương trình ∂¯
liên quan mật thiết đến bài tốn tồn tại các hàm chỉnh hình, bài tốn thác
triển chỉnh hình, thác triển các dạng vi phân, xấp xỉ các dạng vi phân. Ngồi
ra việc giải phương trình ∂¯ cịn có nhiều ứng dụng trong hình học đại số,
hình học phức và nghiên cứu các tập kỳ dị, tập giải tích trong giải tích phức
nhiều biến. Trong hướng nghiên cứu về ch ny, chỳng ta khụng th khụng
nhc n Hăormander với phương pháp L2 nổi tiếng (xem [7, 8]). Với phng
phỏp ny, Hăormander ó a ra li gii trn vn cho bài tốn ∂¯ cũng như
khảo sát tính chính quy ca nghim. Trờn thc t, Hăormander ó ch ra rng
mi nghiêm phương trình ∂¯ trên một miền Ω bị chặn đều là trơn, với dữ liệu
¯ cho (1) được Kohn thực hiện
f trơn. Bài toán tồn tại nghiệm trong C ∞ (Ω)

trong [7]. Giả sử Ω xác định bởi ρ < 0 với ρ là hàm trên thỏa mãn |∂ρ| = 1
trên ∂Ω, T C ∂Ω là phân thớ tiếp xúc phức trên ∂Ω, và xác định dạng Levi
L∂Ω (z) := (∂z2i ,z¯j ρ(z))|T C ∂Ω .

Khi đó, Ω được gọi là giả lồi nếu L∂Ω (z) ≥ 0 với mọi z ∈ ∂Ω. Kết quả của
¯ của (1.3) cho các dạng
Kohn đã chứng minh rằng giải nghiệm thuộc C ∞ (Ω)

bậc k ≥ 1 là tương đương với tính giả lồi của Ω và giải nghiệm địa phương
trên biên sẽ tương đương với tính giả lồi địa phương. Kể từ sau cơng trình
3


MC LC

ca Hăormander v Kohn, nhiu dng m rng khỏc nhau, cũng như nhiều
ứng dụng khác nhau của bài toán ∂¯ được chỉ ra và được nghiên cứu. Đặc biệt
trong số rất nhiều các nghiên cứu đó, Baracco và Zampieri đã nghiên cứu bài
tốn chính quy cho nghiệm địa phương và tồn cục cho phương trình ∂¯ trên
các miền Q-giả lồi. Điều đặc biệt đáng lưu ý là điều kiện về tính Q-giả lồi là
yếu hơn tính giả lồi, và do vậy như các tác giả trên đã chỉ ra rng, trỏi vi kt
qu ca Hăormander, chỳng ta khụng th chứng minh được rằng mọi nghiệm
của bài toán ∂¯ là chính quy mà chỉ có thể tồn tại các nghiệm chính quy riêng
lẻ.
Nội dung chính của khóa luận này là để tìm hiểu các kết quả trong bài
báo của Baracco và Zampieri đã nói ở trên. Tồn bộ khóa luận tập trung để
đọc hiểu và trình bày lại các kết quả trong bài báo này. Với mục tiêu như vậy,
khóa luận được chia làm hai chương.
Trong chương một, chúng tôi trình bày lại một vài kiến thức cơ bản trong
giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt, chúng tơi giới thiệu tốn tử ∂¯ và các tính
chất quan trọng của chúng. Một vài phân tích về phương trình (1) cũng được
chúng tôi nhấn mạnh. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm về tính Q−
giả lồi, đặc biệt ta có miền giả lồi trùng với miền 0−giả lồi. Đây là khái niệm
trọng tâm trong bài báo của Baracco và Zampieri.
Trong chương hai, sử dụng khái niệm miền Q-giả lồi, chúng tôi chứng minh
¯ k−1
được rằng nếu Ω ⊂⊂ Cn là miền Q− giả lồi thì có một nghiệm u ∈ C ∞ (Ω)

¯ k , k ≥ q + 1, và tương tự miền Q−giả lồi
của (1) với giả thiết mọi f ∈ C ∞ (Ω)

địa phương sẽ kéo theo nghiệm địa phương trên biên. Kỹ thuật chứng minh
chủ yếu cho khẳng định này là L2 −ước lượng để sử dụng giả thiết của miền
Q−giả lồi. Bên cạnh việc chứng minh sự tồn tại nghiệm, trong chương hai

này, chúng tôi sẽ chỉ ra tính chính quy tồn cục trên biên. Giả sử rằng ϕ hội
tụ tới (t + c)|z|2 trên các tập con compact trong Ω khi t đủ lớn. Khi đó, ta
có mọi ước lượng hội tụ tới ước lượng tiên nghiệm sau sẽ thỏa mãn điều kiện
¯ Neumann
∂−
1
t
2

u

2
(t+c)|z|2 ≤

¯
∂u

2
(t+c)|z|2

4

+

∂¯∗ u

2
(t+c)|z|2

.


MỤC LỤC

Để chứng minh các kết quả này, trước tiên, trên miền Q−giả lồi, chúng tơi có
¯ ∂¯∗ ) trong L2 (Ω) với trọng e−ϕ , trong đó ϕ là hàm Q−đa điều
ước lượng cho (∂,

hòa dưới trên Ω. Điểm mấu chốt nhất trong kỹ thuật chứng minh là ước lượng
L2 để sử dụng giả thiết Q−giả lồi. Khó khăn lớn nhất trong kỹ thuật chứng

minh là việc chúng ta phải làm việc trên các hệ tọa độ địa phương tự do (có
cơ sở trực chuẩn gồm các dạng vi phân trực giao với hệ số biến thiên) chứ
không phải làm việc trên các hệ tọa độ chuẩn tắc dz1 , dz2 , . . . dzn như thông
thường. Tuy nhiên, việc đưa vào các hệ tọa độ tự do như vậy lại có tác dụng
rất lớn để áp dụng các tính chất của miền Q-giả lồi.
Do thời gian làm luận văn có hạn và hiểu biết cịn hạn hẹp nên mặc dù có
nhiều cố gắng để hồn thành luận văn này nhưng trong q trình làm khơng
thể trách khỏi mắc phải những sai sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự
đóng góp q báu từ phía người đọc để luận văn được hồn chỉnh hơn. Mọi
đóng góp ý kiến xin gửi về e-mail:
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm cơ bản trong đa tạp phức

Chúng tôi sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản trong đa tạp phức dựa theo
Chương 1 trong cuốn [5]. Trong phần này, chúng tôi sẽ nêu các khái niệm về
đa tạp phức, không gian tiếp xúc phức và toán tử ∂¯.
Trước tiên, chúng ta đến với định nghĩa đa tạp phức
Định nghĩa 1.1. Cho M là đa tạp topo với hệ tọa độ địa phương là {(Uα , ϕα )}α∈Λ ,
ở đây ϕα (Uα ) = Vα là mở trong Cn . Khi đó, M được gọi là đa tạp phức có số
chiều n nếu ánh xạ chuyển fβα := ϕβ ◦ ϕ−1
α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) là hàm
chỉnh hình với mọi α, β .
Ví dụ 1.2.

1. Ví dụ đơn giản nhất cho đa tạp phức chính là Cn , với ánh

xạ chuyển là ánh xạ đồng nhất.
2. Ví dụ tiêu biểu khác cho đa tạp phức là không gian xạ ảnh CPn được
định nghĩa như sau. Xét quan hệ tương đương ∼ trên tập Cn+1 \ {0}, hai
điểm x, y trong Cn+1 \ {0} được gọi là có quan hệ ∼ nếu tồn tại một số
phức λ khác 0 sao cho x = λy . Khi đó CPn := C \ {0}/ ∼.
Ta sẽ chỉ ta ánh xạ chuyển cho đa tạp CPn . Xét phủ mở {Uj } với Uj =
{[x1 : · · · : xj : · · · : xn+1 ] : xj = 0} trong đó x = [x1 : x2 : · · · : xn+1 ] ∈ CPn .

6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta định nghĩa ϕj : Uj → Cn xác định bởi
ϕj ([x1 : · · · : xj : · · · : xn+1 ]) = (x1 /xj , · · · , xj−1 /xj , xj+1 /xj , · · · , xn+1 /xj ).

Do đó, nếu Ui ∩ Uj = ∅ thì ánh xạ chuyển fij (y) = ϕi ◦ ϕ−1
j (y) xác định
bởi
fij (y) =

yj−1 1 yj
yi−1 yi+1
yn
y1
,··· ,
,
,··· ,
, , ,··· ,
yi
yi
yi
yi yi yi
yi

.

Chúng ta sẽ giới thiệu về không gian tiếp xúc phức. Chú ý rằng, nếu chúng
ta hiểu Cn như là R2n , từ đó đồng nhất khơng gian tiếp xúc phức như không

gian tiếp xúc thực Tp (R2n ) thì khơng gian này chỉ là khơng gian vecto trên
trường số thực. Do đó, để khơng gian này là khơng gian vecto trên trường
số phức thì chúng ta cần giới thiệu thêm một khái niệm mới. Đó là cấu trúc
phức J . Chúng tơi sẽ trình bày chi tiết khái niệm này như sau.
Cho Cn đồng nhất với R2n qua ánh xạ (z1 , · · · , zn ) → (x1 , y1 , · · · , xn , yn ).
Tại mỗi điểm p ∈ Cn , không gian tiếp xúc Tp (Cn ) xác định bởi
∂
∂x1

Tp (Cn ) = span

,
p

∂
∂y1

,··· ,
p

∂
∂xn

,
p

∂
∂yn

.

p

Định nghĩa ánh xạ J : Tp (Cn ) → Tp (Cn ) là R−tuyến tính xác định bởi
J

∂
∂xj

=
p

∂
∂yj

, J
p

∂
∂yj

=−
p

∂
∂xj

, j = 1, · · · , n.
p

Ở đây, với n = 1 ta có thể hiểu J chính là phép quay 90 độ, ma trận của ánh

xạ tuyến tính này có dạng chéo khối tạo bởi các ma trận của phép quay 90
độ. Rõ ràng, J 2 = −1, và J được gọi là cấu trúc phức của Cn .
Từ định nghĩa của cấu trúc phức J , ta có thể định nghĩa CTp (Cn ) =
Tp (Cn ) ⊗R C. Khi đó ta có thể định nghĩa mở rộng J là C−tuyến tính từ

CTp (Cn ) vào CTp (Cn ) với J(x ⊗ α) := (Jx) ⊗ α, J 2 = −1, và giá trị riêng của J
là i và −i. Ký hiệu T 1,0 (Cn ) và Tp0,1 (Cn ) là các không gian riêng ứng với giá
trị riêng i và −i của ánh xạ tuyến tính J . Khi đó, rõ ràng Tp0,1 (Cn ) = Tp1,0 (Cn )

7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
và Tp1,0 (Cn ) ∩ Tp0,1 (Cn ) = {0}, hơn nữa
Tp1,0 (Cn ) = span
Tp0,1 (Cn ) = span

∂
∂z1
∂
∂ z¯1

,··· ,
p

,··· ,

∂
∂zn
∂

∂ z¯n

,
p

p

trong đó 2(∂/∂zj )p = (∂/∂xj − i∂/∂yj )p , 2(∂/∂ z¯j ) = (∂/∂xj + i∂/∂yj )p với j =
1, · · · , n. Mọi vecto v ∈ Tp1,0 (Cn ) được gọi là vecto kiểu (1, 0) và chúng ta có
v¯ ∈ Tp0,1 (Cn ) là vecto kiểu (0, 1). Không gian Tp1,0 (Cn ) được gọi là không gian

tiếp xúc chỉnh hình tại p.
Gọi CTp∗ (Cn ) là khơng gian đối ngẫu của CTp (Cn ). Bởi tính đối ngẫu, dễ
dàng thấy được
n
CTp∗ (Cn ) = Λp1,0 (Cn ) ⊕ Λ0,1
p (C )
0,1
n
n
ở đây Λ1,0
z1 )p , · · · , (d¯
zn )p }.
p (C ) = span{(dz1 )p , · · · , (dzn )p } và Λp (C ) = span{(d¯

Tương tự, ta có thể xây dựng không gian tiếp xúc phức CTp M trên đa tạp
phức M tại p ∈ M .
Tiếp theo, cho M là đa tạp phức với số chiều phức n, kí hiệu (z1 , · · · , zn )
là hệ tọa độ địa phương trên lân cận mở U quanh p ∈ M , với zj = xj + iyj , j =
1, · · · , n. Cho f là hàm giá trị phức thuộc lớp C 1 (M ). Khi đó, trong lân cận

U ta có thể biểu diễn df như sau
n

df =
j=1

∂f
dxj +
∂xj

n

j=1

∂f
dyj =
∂yj

n

j=1

∂f
dzj +
∂zj

n

j=1

∂f
d¯
zj ,
∂ z¯j

(1.1)

ở đây dzj = dxj + idyj và d¯
zj = dxj − idyj , j = 1, · · · , n.
Khi đó ta sẽ định nghĩa tốn tử ∂ và ∂¯ là các toán tử xác định bởi
n

∂f :=
j=1

∂f
¯ :=
dzj , ∂f
∂zj

n

j=1

∂f
d¯
zj .
∂ z¯j

Theo (1.1), ta có thể viết

¯
df = ∂f + ∂f.

Điều này có nghĩa là df có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của dạng vi
¯ kiểu (0, 1). Sau này, đôi khi để thuận
phân ∂f kiểu (1, 0) và dạng vi phân ∂f

8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
tiện ta còn gọi dạng vi phân kiểu (1, 0) là (1, 0)-dạng vi phân, còn dạng vi
phân kiểu (0, 1) là (0, 1)-dạng vi phân.
¯ = 0.
Hiển nhiên, ta có f chỉnh hình nếu và chỉ nếu ∂f

Bây giờ, ta sẽ mở rộng định nghĩa toán tử ∂ và ∂¯ lên các dạng vi phân bậc
cao hơn. Cụ thể, cho f là (p, q)-dạng vi phân trên U , tức là
fIJ dz I ∧ d¯
zJ ,

f=
|I|=p,|J|=q

ở đây I = (i1 , · · · , ip ) và J = (j1 , · · · , jq ) là các đa chỉ số độ dài p và q tương
ứng, dz I = dzi1 ∧ · · · ∧ dzip , d¯
z J = d¯
zj1 ∧ · · · d¯
zjq .
Đạo hàm ngoài df của f sẽ được định nghĩa bởi

¯
dfIJ ∧ dz i ∧ d¯
z J = ∂f + ∂f

df =
I,J

ở đây, ∂f =

I,J

¯ =
∂fIJ ∧ dz I ∧ d¯
z J và ∂f

I,J

¯ IJ ∧ dz I ∧ d¯
∂f
z J là các dạng vi

phân kiểu (p + 1, q) và (p, q + 1) tương ứng.
Do d = ∂ + ∂¯, ta thấy rằng mọi dạng vi phân trơn f kiểu (p, q) trên M sẽ
thỏa mãn
¯
¯ = ∂ 2 f + (∂ ∂¯ + ∂∂)f
¯
0 = d2 f = (∂ + ∂)(∂
+ ∂)f
+ ∂¯2 f,

đồng nhất hai vế ta được
¯ = 0, ∂¯2 = 0.
∂ 2 = 0, ∂ ∂¯ + ∂∂

Từ phương trình ∂¯2 = 0, ta có dãy phức dây chuyền sau
∂¯

∂¯

∂¯

∂¯

0 → Λp,0 (M ) −
→ Λp,1 (M ) −
→ ··· −
→ Λp,n−1 (M ) −
→ Λp,n (M ) → 0,

với 0 ≤ p ≤ n. Ký hiệu ∂¯p,q = ∂¯ : Λp,q (M ) → Λp,q+1 (M ). Khi đó, Im(∂¯p,q ) ⊂
¯ = f , chúng ta
Ker(∂¯p,q+1 ). Do đó, để giải phương trình khơng thuần nhất ∂u
¯ = 0.
luôn cần phải giả thiết rằng ∂f

9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.2

Một số tính chất cơ bản của tốn tử ∂¯

Trong phần này, chúng tơi trình bày một số tính chất của tốn tử ∂¯ dựa theo
Chương 2 trong cuốn [1].
Cho H 1 và H 2 là các khơng gian Hilbert. Ta kí hiệu tích vơ hướng của H 1
bởi x, y

1

với x, y ∈ H 1 và tích vơ hướng của H 2 bởi x, y

2

với x, y ∈ H 2 . Cho

D ⊂ H 1 là một tập con trù mật của H 1 và cho T : D → H 2 là một tốn tử

tuyến tính. Kí hiệu: D = DT , T (D) = RT .
Định nghĩa 1.3. Cho T : D → H 2 là một tốn tử tuyến tính. Định nghĩa
GT = {(x, T x)|x ∈ DT } ⊂ H 1 × H 2 .

Ta nói rằng T là một tốn tử đóng nếu đồ thị của nó GT là một khơng gian
con đóng của H 1 × H 2 .
Định nghĩa 1.4. Cho y ∈ H 2 . Ta nói rằng y ∈ DT ∗ nếu tồn tại một hằng số
c = c(y) > 0 sao cho
| T x, y 2 | ≤ c||x||1

với ∀x ∈ DT .
Từ định nghĩa, ta có thể chứng minh được DT ∗ là một không gian con của
H 2.

Thật vậy, dễ thấy DT ∗ ⊂ H 2 và
| T x, αy1 + βy2 2 | = | T x, αy1

2

+ T x, βy2 2 |

≤ |α T x, y1 2 | + |β T x, y2 2 |
≤ c1 |α|

x

1

+c2 |β|

≤ (c1 |α| + c2 |β|)

x

x

1

1 = c3

x

1

.

Điều này dẫn đến αy1 + βy2 ∈ DT ∗ . Do vậy DT ∗ là một không gian con của
H 2.

Bổ đề 1.5. Với mỗi y ∈ DT ∗ tồn tại duy nhất z ∈ H 1 sao cho
x, z

1

= T x, y

10

2


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với ∀x ∈ DT . Đặt z = T ∗ y , khi đó T ∗ : DT ∗ → H 1 là một toán tử tuyến tính và
thỏa mãn
x, T ∗ y

1

= T x, y

(1.2)

2

với ∀x ∈ DT , y ∈ DT ∗ .
Chứng minh. Với y ∈ DT ∗ , x ∈ DT , định nghĩa ϕ(x) = T x, y 2 . Do đó ϕ bị
chặn.
Khi đó ϕ là một phiến hàm tuyến tính trên DT và thỏa mãn
|ϕ(x)| ≤ c

x

1

với c là hằng số.
Vì DT là trù mật trong H 1 , với mỗi x ∈ H 1 , ∃xv ∈ DT sao cho xv → x. Ta
có
|ϕ(xv ) − ϕ(xµ )| ≤ c

xv − xµ → 0

(v, µ → ∞).

Do đó {ϕ(xv )} hội tụ. Nếu ta định nghĩa ϕ(x) = lim ϕ(xv ) thì ϕ là một
v→∞

phiến hàm tuyến tính bị chặn trên H 1 . Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn tại
duy nhất z ∈ H 1 sao cho
ϕ(x) = x, z

1

với ∀x ∈ H 1 . Do đó, ta có
x, z

1

= T x, y 2 , x ∈ DT , y ∈ DT ∗ .

Tiếp theo, ta chứng minh rằng T ∗ là tuyến tính.
Thật vậy, với y1 , y2 ∈ DT ∗ và x ∈ DT , ta có
x, T ∗ (y1 + y2 )

1

= T x, y1 + y2

2

= x, T ∗ y1

1

+ x, T ∗ y2

1

= x, T ∗ y1 + T ∗ y2 1 .

Vì DT là trù mật trong H 1 , ta có T ∗ (y1 + y2 ) = T ∗ y1 + T ∗ y2 . Tương tự, ta

có T ∗ (αy) = αT ∗ y với α ∈ C, y ∈ DT ∗ .
Vậy T ∗ là một tốn tử tuyến tính.

Trong tài liệu tham khảo [8] (độc giả cũng có thể xem [1]), tác giả đã chỉ
ra rằng các tốn tử tuyến tính T và T ∗ có các tính chất sau.
11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.6 ([8, 1]). Cho các không gian Hilbert H 1 và H 2 .
1. Giả sử D là một tập con trù mật trong H 1 và T : D → H 2 là một tốn
tử tuyến tính, đóng. Cho F là một khơng gian con đóng của H 2 và cho
F ⊃ RT . Khi đó các khẳng định sau là tương đương

(a) F = RT .
(b) Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho
||y||2 ≤ c||T ∗ y||1

với mỗi y ∈ F ∩ DT ∗ .
2. Nếu T : DT → H 2 là một tốn tử tuyến tính, đóng thì KerT là một khơng
gian con đóng. Hơn nữa, ta có
(RT )⊥ = KerT ∗ ,

RT ∗ = (KerT )⊥ .

3. Nếu T là một tốn tử tuyến tính, đóng, và xác định trù mật, thì khi đó
T ∗ : DT ∗ → H 1 cũng là một toán tử tuyến tính, đóng, và xác định trù

mật .
Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả của lý thuyết hàm nêu trên

cho toán tử ∂¯ và chứng minh một vài tính chất của tốn tử vi phân đặc biệt
này. Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng một vài định nghĩa về các khơng gian
hàm.
Định nghĩa 1.7.

1. Ta kí hiệu D(p,q) (Ω) là tập tất cả C ∞ các dạng vi phân

kiểu (p, q) khả vi vô hạn trong Ω với giá là tập con compact của Ω. Hơn
nữa, ta đặt D(Ω) = D(0,0) (Ω).
2. Cho Ω ⊂ Cn là tập mở và ϕ ∈ C ∞ (Ω) là hàm giá trị thực. Kí hiệu
L2 (Ω, ϕ) là khơng gian các hàm L2 −khả tích với độ đo e−ϕ dV với dV là

độ đo trong Cn . Kí hiệu L2(p,q) (Ω, ϕ) là không gian tất cả các (p, q)−dạng
vi phân f trên Ω sao cho các hệ số của f thuộc L2 (Ω, ϕ).
12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Cho f là (p, q)−dạng vi phân trên Ω, khi đó ta có thể biểu diễn
fαβ dz α ∧ d¯
zβ

f=
|α|=p,|β|=q

trong đó

là tổng theo các đa chỉ số tăng chặt. Hơn nữa, đặt
|f |2 =

|fα,β |2 .
α,β

Khi đó, f ∈ L2(p,q) (Ω, ϕ) nghĩa là
|f |2 e−ϕ dV < ∞.

2
ϕ :=

f

Ω

Cho g ∈ C 1 (Ω). Định nghĩa toán tử δj như sau
δj g = eϕ

∂
∂
∂ϕ
(ge−ϕ ) =
−g
.
∂zj
∂zj
∂zj

Bổ đề 1.8. Cho Ω là một tập mở bị chặn trong Cn với biên lớp C 1 và ρ là
một hàm xác định của Ω,
1
¯

fI,J dz I d¯
z J ∈ C(p,q)
(Ω),

f=
I,J

1
¯
uI,K dz I d¯
z K ∈ C(p,q−1)
(Ω).

u=
I,K

Ta có
n

¯ =
∂u
I,|K|=q−1 j=1
n

∂uI,K
d¯
zj ∧ dz I ∧ d¯
zK
∂ z¯j

(−1)p

=
I,K j=1

∂uI,K I
dz ∧ d¯
zj ∧ d¯
zK .
∂ z¯j

Khi đó theo định nghĩa tích vơ hướng ta có
n

¯ f =(−1)p
∂u,
I,K j=1

Ω

∂uI,K
fI,jK e−ϕ dV
∂ z¯j
n

uI,K δj fI,jK e−ϕ dV

p−1

=(−1)

Ω

I,K j=1
n

p

+ (−1)

uI,K
∂Ω I,K

13

fI,jK
j=1

∂ρ −ϕ dS
e
.
∂zj
|dρ|


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh bổ đề trong trường hợp p = 0, q = 1.
Tức là, ta cần chứng minh
n

Ω

j=1

n

∂u ¯ −ϕ
fj e dV = −
∂ z¯j

n

uδj fj e

−ϕ

dV +

j=1

Ω

u
∂Ω

fj
j=1

∂ρ −ϕ dS
e

.
∂zj
|dρ|

Từ định lý Green ta nhận được
∂u
dV =
∂xj
|Ω

u

∂ρ
dV =
∂xj

∂Ω

u

∂u dS
.
∂xj |dρ|

∂Ω

¯ thì ta thu được
Nếu w là một hàm lớp C 1 trong Ω
dS
∂ρ

uwe
¯ −ϕ
=
∂ z¯j
|dρ|

∂
(uwe
¯ −ϕ )dV
∂ z¯j
Ω

∂Ω

∂u −ϕ
we
¯
dV +
∂ z¯j

=

Ω

Ω

∂u −ϕ
we
¯
dV +

∂ z¯j

=
Ω

∂ϕ
∂ w¯ −ϕ
e − e−ϕ w¯
dV
∂ z¯j
∂ z¯j

u
Ω

∂u −ϕ
we
¯
dV +
∂ z¯j

=

∂(we
¯ −ϕ )
dV
∂ z¯j

u

Ω

uδj we−ϕ dV.
Ω

Từ đó, ta thu được
∂u −ϕ
we
¯
dV = −
∂ z¯j
Ω

dS
∂ρ
uwe
¯ −ϕ
.
∂ z¯j
|dρ|

uδj we−ϕ dV +
Ω

∂Ω

Đặt w = fj và lấy tổng theo j , ta nhận được
n

j=1 Ω

∂u ¯ −ϕ
fj e dV = −
∂ z¯j

n

n

uδj fj e

−ϕ

dV +

j=1 Ω

j=1 ∂Ω

∂ρ ¯ −ϕ dS
ufj e
.
∂ z¯j
|dρ|

Thay u bằng uI,K và fj bằng fI,jK , ta nhận được
n

j=1 Ω

∂uI,K ¯ −ϕ
fI,jK e dV = −
∂ z¯j

n

n
−ϕ

uI,K δj fI,jK e
j=1 Ω

dV +
j=1 ∂Ω

14

∂ρ
¯ e−ϕ dS .
uI,K fI,jK
∂ z¯j
|dρ|


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Lấy tổng theo I, K , ta thu được
n

¯ f = (−1)
∂u,

∂uI,K
fI,jK e−ϕ dV
∂ z¯j

p
I,K j=1

Ω

n

= (−1)

uI,K δj fI,jK e−ϕ dV

p−1
I,K j=1

Ω

n
p

+ (−1)

j=1

∂Ω I,K

Cho f =
∂ρ
n
j=1 fI,jK ∂ z
¯j

I,J

fI,jK

uI,K

∂ρ −ϕ dS
e
.
∂zj
|dρ|

¯ , ta nói rằng f ∈ Def(∂¯∗ ) nếu
fI,J dz I ∧ d¯
z J ∈ C 1 (p, q)(Ω)

= 0 trên ∂Ω với mọi đa chỉ số I và K .

Định nghĩa

n

¯∗

p−1

δj fI,jK dz I ∧ d¯
zK .

∂ f = (−1)

I,K j=1

Với f ∈ Def(∂¯∗ ) và từ Bổ đề 1.8, ta có
n

uI,K δj fI,jK e−ϕ dV

¯ f =(−1)p−1
∂u,
Ω

I,K j=1
n

+ (−1)

p

fI,jK

uI,K
j=1

∂Ω I,K

∂ρ −ϕ dS
e
∂zj
|dρ|

n

=(−1)

uI,K δj fI,jK e−ϕ dV

p−1
Ω

I,K j=1

= u, ∂¯∗ f .

Toán tử ∂¯∗ xác định như trên gọi là toán tử liên hợp của tốn tử ∂¯.

1.2.1

¯ =f
Phương trình ∂u

Trong mục này, chúng ta xét bài tốn tồn tại nghiệm chính quy của phương
trình Cauchy-Riemann khơng thuần nhất với biên trơn của miền bị chặn
Ω ⊂⊂ Cn . Kí hiệu khơng gian các (0, k)-dạng vi phân với các hệ số trơn trong

15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
¯ bởi C ∞ (Ω)
¯ k , k ≥ 0. Giả sử z0 là một điểm trên biên ∂Ω, không gian các
Ω
¯ k . Khi
mầm của các (0, k)-dạng vi phân trơn tại z0 được ký hiệu bởi Cz∞0 (Ω)

đó, phương trình của chúng ta xét có dạng


∂u
¯ =f

.

(1.3)


¯ =0
∂f
Trong luận văn này, chúng ta quan tâm tới bài tốn về tính chính quy của
nghiệm trên biên trong cả hai cách đặt: toàn cục và địa phương. Nói một cách
¯ k (hoặc
cụ thể, nếu bài toán trên được xét dưới điều kiện k ≥ 1 và f ∈ C ∞ (Ω)
¯ k−1 ) không?.
¯ k ) thì (1.3) có nghiệm u ∈ C ∞ (Ω)

¯ k−1 (hoặc u ∈ Cz∞ (Ω)
f ∈ Cz∞0 (Ω)
0

Trước tiên, chúng ta đi tìm một nghiệm của phương trình (1.3). Nhận xét
rằng, do Ker∂¯ là một khơng gian con đóng, mọi dạng vi phân u kiểu (0, k) đều
¯ ⊥.
có thể phân tích dưới dạng u = u1 + u2 , trong đó u1 ∈ Ker∂¯ và u2 ∈ (Ker∂)

Từ Tính chất 1.6, chúng ta hi vọng sẽ tìm được nghiệm u ∈ R∂¯∗ . Mặt khác vì
∂¯∗ ◦ ∂¯∗ = 0, để tìm một nghiệm của phương trình (1.3), chúng ta chỉ cần xét

hệ


¯ =f

∂u



¯∗

∂ u=0




∂f
¯ =0

,

ở đây ∂¯∗ là toán tử L2 −liên hợp của ∂¯.
Từ hệ phương trình trên, ta nhận thấy nghiệm u thỏa mãn
¯ = ∂¯∗ f.
u := (∂¯∂¯∗ + ∂¯∗ ∂)u

Ở đây

được gọi là toán tử Kohn-Laplace và là một toán tử elliptic. Giả sử

¯ k , khi đó vế phải của phương trình trên vẫn thuộc C ∞ (Ω)
¯ k . Theo
f ∈ C ∞ (Ω)

tính chính quy của nghiệm của phương trình elliptic, nghiệm u là nghiệm chính
quy bên trong miền Ω. Mặt khác, sự tồn tại nghiệm trong các không gian L2
đã được xem xét một cách trọn vẹn (xem tài liệu [8]). Đặc biệt, sự tương
đương giữa tính giải được của phương trình (1.3) trong khơng gian C ∞ (Ω)k

16


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với k bất kỳ và tính giả lồi của ∂Ω đã được chứng minh bởi Hăormander trong
ti liu tham kho [9].
phc tp hn rt nhiều. Đầu tiên
Tuy nhiên, bài tốn chính quy trên Ω

chúng ta nhận xét rằng, nếu chúng ta cộng vào nghiệm u một nghiệm v bất
¯ = 0, ∂¯∗ v = 0) hoặc cộng vào u một hàm chỉnh hình v bất kỳ
kỳ của hệ (∂v

khi k = 1, chúng ta có thể làm mất tính chính quy của u nếu v khơng chính
quy trên biên ∂Ω. Từ nhận xét này, chúng ta thấy rằng, chúng ta không thể
mong chờ rằng mọi nghiệm đều phải là chính quy mà thay vào đó chúng ta
tìm kiếm từng nghiệm chính quy đơn lẻ, nếu có thể. Một trong những ứng
viên tốt trong số những nghiệm chính quy đơn lẻ như vậy là nghiệm chuẩn
tắc (canonical solution), tức là nghiệm trực giao với Ker∂¯. Kohn đã chỉ ra
rằng tính chính quy của nghiệm canonical sẽ có rất nhiều hệ quả quan trọng
¯ thì ta ln có
đáng chú ý cho bài tốn mapping. Thực tế, cho f ∈ C ∞ (Ω)
¯ , trong đó u là nghiệm
phép chiếu Bergman B(f ) := f − u vẫn thuộc C ∞ (Ω)
¯ = ∂f
¯ với u ⊥ Ker∂ . Nhưng khi đó, theo các kết quả của Bell-Ligocka
của ∂u

trong [3] thì mọi ánh xạ song chỉnh hình trên Ω có thể thác triển trơn lên
¯ . Mặc dù vậy, chúng ta vẫn chưa biết rằng liệu nghiệm canonical có chính
Ω

quy hay khơng (có thể tham khảo ở [2] và [3]). Trong bất kỳ trường hợp nào,
trở ngại cốt yếu nhất luôn đến từ thực tế rằng chúng ta khơng hi vọng tìm
nghiệm chính quy trên một phần nào đó của ∂Ω mà tại đó dạng vi phân f là
chính quy. Chính vì vậy, chúng ta cần phải đi tìm giả thiết nào đó để được
nghiệm chính quy trên biên với giả thiết f trơn mọi nơi.
Xét ví dụ trong bài báo [11], cho miền Ω ⊂ C2 xác định bởi y2 < 0 và
|z| < 1, trong hệ tọa độ z2 = x2 + iy2 , z = (z1 , z2 ). Cho σ là hàm thực trơn thỏa

mãn
σ(z) =



1 nếu |z| <

1
4


0 nếu |z| >

1
2

,

¯
¯
¯
khi đó, f := ∂(σ/z
2 ) thỏa mãn ∂f = 0. Hơn nữa, f := ∂(σ/z2 ) là trơn đến tận

biên trên phần biên của |z| > 1/2 và |z| < 1/4. Tuy nhiên, Kohn chỉ ra rằng
¯ = f là chính quy trên phần biên
khơng có nghiệm nào của phương trình ∂u

17

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
¯ = f,
đó. Thật vậy, giả sử u là một nghiệm chính quy của phương trình ∂u
¯ − σ/z2 ) = 0. Khi đó, u − σ/z2 là hàm chỉnh hình trên Ω nhưng nó
tức là ∂(u

có các đạo hàm riêng bị chặn trên |z| > 1/2 và không bị chặn trên |z| < 1/4.
Điều này là mâu thuẫn với (u − σ/z2 )z2 là hàm chỉnh hình theo biến z1 trên
|z| < 2/3 với mỗi z2 cố định, nên theo nguyên lý cực đại và u là hàm chính

quy nên
sup

|(u − σ/z2 )z2 | =

z1 ∈{|z|<2/3}

|(u − σ/z2 )z2 | =

sup
z1 ∈{|z|=2/3}

sup

|uz2 | < c

z1 ∈{|z|=2/3}

với c không phụ thuộc vào z2 . Do đó, lấy với mọi z2 ∈ Ω ta có (u − σ/z2 )z2 là
bị chặn trên |z| < 2/3.
Từ kết quả của Kohn (xem bài báo [7]) về sự tương đương giữa tính chính
quy địa phương và tồn cục của nghiệm trên miền với tính giả lồi, chúng ta
thấy rằng để có được tính trơn của nghiệm, chúng ta cần phải có một vài điều
kiện hình học lên biên của miền. Điều kiện mà chúng ta sẽ thấy trong luận
văn này đó là tính Q-giả lồi.

1.3

Miền Q−giả lồi

Cho Ω là miền bị chặn trong Cn với biên thuộc lớp C m , m ≥ 4, xác định bởi
ρ < 0, tức là ρ là hàm thuộc lớp C m thỏa mãn ρ = 0 và |∂p| = 1 trên ∂Ω. Cho
T C ∂Ω là phân thớ tiếp xúc phức của ∂Ω, và L∂Ω là dạng Levi của ∂Ω xác định

bởi (∂z2i ,¯zj ρ(z))|T C ∂Ω , z ∈ ∂Ω. Cho Q là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ Q < n.
Định nghĩa 1.9. Chúng ta nói Ω là Q−giả lồi nếu tồn tại một phân thớ vectơ
V p ⊂ T C ∂Ω với hạng p ≤ Q sao cho với mọi phân thớ vectơ V k ⊂ T C ∂Ω với

hạng k ≥ Q + 1, ta có
T race(L∂Ω |V k ) ≥ T race(L∂Ω |V p ).

(1.4)

Chúng ta nói rằng Ω là miền Q−giả lồi tại điểm z0 ∈ ∂Ω nếu (1.4) được
thỏa mãn trong một lân cận nào đó của z0 . Dễ dàng thấy rằng (1.4) là bất biến
dưới phép đổi biến cơ sở trực giao của các trường vecto kiểu (1, 0). Cho một đa
18

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
chỉ số có thứ tự J = (j1 < · · · < jk ) với |J| = k , xét vecto w =(wJ 
). Chúng ta
có thể coi J như là J = jK với |K| = k −1 và viết wjK := sign 


J

 wJ , ở đây



jK



jK

J

 là hoán vị của J với thứ tự là jK . Chúng tôi sử dụng ký hiêu

là kí

hiệu cho tổng trên các đa chỉ số sắp thứ tự và viết (wiK )i = (wiK )i≤n−1 . Trên
khơng gian đối tiếp xúc chỉnh hình, chọn cơ sở trực chuẩn gồm các (0, 1)−dạng
vi phân là w1 , · · · , wn và cơ sở đối ngẫu tương ứng là ∂w1 , · · · , ∂wn . Ký hiệu ma
trận của L∂Ω trong cơ sở ∂w1 , · · · , ∂wn−1 là (ρij )i,j≤n−1 . Khơng mất tổng qt,
ta có thể coi V p = Span{∂w1 , · · · , ∂wp }.

Bổ đề 1.10. Điều kiện (1.4) là tương đương với
ρjj (z)|wJ |2 ≥ 0

ρij (z)wiK w¯jK −
|K|=k−1 ij=1,··· ,n−1

(1.5)

|J|=k j≤p

với mọi dạng vi phân w độ dài k ≥ Q + 1.
Chứng minh. Ký hiệu µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn−1 là các giá trị riêng của L∂Ω . Khi
đó, rõ rằng inf V k T race(L∂Ω |V k ) =

j≤k

µj . Từ đó, với mọi dạng vi phân w độ

dài k , ta có

ρjj |wJ |2 ≥ 

ρij wiK w¯jK −
|K|=k−1 ij=1,··· ,n−1



|J|=k j≤p

ρjj  |w |2 ,

µj −
j≤k

j≤p

(1.6)
với dấu bằng xảy ra khi (ρij ) có dạng chéo và wiK = 0 với mọi i ≥ k + 1. Vì
thế từ (1.4) ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.11.

−
0
1. Với mỗi z ∈ ∂Ω cố định, gọi s+
∂Ω (z), s∂Ω (z), và s∂Ω (z)

lần lượt là số các giá trị riêng dương, âm, và bằng 0 của L∂Ω . Khi đó, một
điều kiện cần để Ω là miền Q−giả lồi là ta có bất đẳng thức q ≥ s−
∂Ω (z)
với mọi z ∈ ∂Ω.
2. Cho {Uj } là một phủ của ∂Ω, với pj < qj and phân thớ V pj trên Uj sao
cho (1.4) thu được trên Uj ∩ ∂Ω, khi đó q = maxj qj .
19


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
3. Vì µn−1−s+∂Ω (z) ≤ 0 < µn−s+∂Ω (z) , ta có Ω là Q−giả lồi theo nghĩa của nhận
+
xét 2 với Q = supz (n − 1 − s+
∂Ω (z)). (Chú ý rằng supz (n − 1 − s∂Ω (z)) =

0
supz (s−
∂Ω (z) + s∂Ω (z)).) Hiểu Q−giả lồi theo nghĩa này chính là theo nghĩa

của Andreotti-Grauert.
4. Chúng ta cũng có µs−∂Ω (z) < 0 ≤ µs−∂Ω (z)+1 . Nếu s−
∂Ω (z) là hằng số trên ∂Ω
thì µs−∂Ω (z)+1 ≥ 0 với mọi z ∈ ∂Ω và vì thế Ω là Q−giả lồi với Q = s−
∂Ω .
Cho λ hằng số dương, xét
ϕ(z) = − log(−ρ(z)) + λ|z|2 ,

z ∈ Ω.

(1.7)

Khi đó, ta kí hiệu Lϕ = (∂z2i ,¯zj , ϕ).
Như trong [1, 8], chúng ta đã biết rằng các miền giả lồi được xấp xỉ bởi
các miền giả lồi chặt. Từ kết quả này, chúng ta mong muốn chứng minh rằng
các miền Q-giả lồi cũng có tính chất xấp xỉ như vậy. Để làm điều này, chúng
ta có định lý sau.
Định lý 1.12. Cho Ω ⊂⊂ Cn là miền Q−giả lồi. Cho z ∈ Ω gần biên ∂Ω, và
cho w = (wJ ) độ dài k ≥ Q + 1. Khi đó, với một sự lựa chọn phù hợp một cơ
sở trực chuẩn gồm các trường vecto kiểu (1, 0) và với λ đủ lớn, ta có Lϕ có
ma trận (ϕij ) thỏa mãn
ϕjj (z)|wJ |2 ≥ λ |w|2

ϕij (z)wiK w¯jK −
|K|=k−1 ij=1,··· ,n

(1.8)

|J|=k j≤p

trong đó, λ là một hằng số phụ thuộc vào λ.
Chứng minh. Chúng ta có cơ sở của (1, 0)−dạng vi phân với hệ số thuộc
C m (m ≥ 2), w = (w1 , · · · , wn−1 ), wn = ∂ρ, và cở sở của (1, 0) trường vecto,
∂ = (∂w1 , · · · , ∂wn−1 ), ∂n = ∂wn , sao cho V p = Span{∂w1 , · · · , ∂wp }. Chúng ta kí

hiệu z → z¯ là phép chiếu trực giao từ lân cận của ∂Ω trong Cn vào ∂Ω. Kí
hiệu c là hằng số có thể thay đổi. Chú ý rằng


|wj (z) − wj (¯
z )| ≤ c|ρ|, ∀j,

|Lϕ (z) − Lϕ (¯
z )| ≤ c|ρ|.
20

(1.9)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Cho (ρij ) là ma trận của (∂zi z¯j ρ)|T C ∂Ω . Khi đó có số phức C và số thực c sao
cho
Lϕ = [|ρ|−2 |wn |2 +2ReC|ρ|−1 w¯ ⊗wn +c|wn |2 ]+

|ρ|−1 (ρij )wi ⊗w¯j +λ|w|2 . (1.10)
ij

Cho A := |ρ|−2 |wn |2 + 2ReC|ρ|−1 w¯ ⊗ wn + c|wn |2 , ta ln có ν thỏa mãn A +
ν|w|2 ≥ 0. Lấy µ1 (¯
z ) ≤ µ2 (¯
z ) ≤ · · · là các giá trị riêng của Lρ (¯
z )|T C ∂Ω , khi đó

(1.10) trở thành






ϕij (z)wiK w¯jK ≥ |ρ|−1 
|K|=k−1 ij=1,··· ,n



µj (¯
z ) + k(λ − ν) − c |w|2 ,

j=1,··· ,k

(1.11)
ở đây, chúng ta đã sử dụng đánh giá (1.9). Mặt khác,
|ρ|−1

ϕjj |wJ |2 ≤
|J|=k j≤p

ρjj (¯
z)

|w|2 .

(1.12)

j≤p

Chúng ta định nghĩa λ := (k − p)λ − kν − 2c, và chọn λ đủ lơn để λ > 0. Vậy
từ (1.11) và (1.12), ta thu được (1.8).
Nhận xét 1.13. Chúng ta gọi hàm ϕ thuộc lớp C 2 thỏa mãn (1.8) là Q−đa
điều hòa dưới. Nếu có một hàm ϕ xác định trong lân cận của ∂Ω và tiến đến
vơ cùng ở gần ∂Ω thì sẽ tồn tại một hàm ϕ¯ là Q−đa điều hòa dưới trên Ω sao
cho ϕ¯ ≡ ϕ trên ∂Ω. Do đó, chúng ta có thể giả sử ϕ xác định trên Ω qua cả
−lân cận của ∂Ω và lấy hàm trơn χ bằng 1 tại những điểm có khoảng cách

nhỏ hơn /2 từ ∂Ω và bằng 0 tại những điểm có khoảng cách lớn hơn . Chúng
ta sẽ định nghĩa hàm mở rộng là χϕ + c|z|2 . Dễ dàng thấy rằng, chọn c phù
hợp phụ thuộc vào

để hàm này là Q−đa điều hòa dưới trên Ω. Chú ý rằng

tập {ϕ ≤ a} cho a → ∞ có dạng hệ tăng các tập con compact của Ω, khi đó,
ϕ được gọi là hàm exhaustion cho Ω.

Nhận xét 1.14. Cho z0 ∈ ∂Ω, và giả sử rằng ∂Ω là Q−giả lồi trong hình cầu
B(z0 , σ) với tâm z0 và bán kính σ . Xét ϕ := log(|ρ|−1 + λ|z|2 ) − log(σ 2 − |z − z0 |2 ),

thì ϕ là hàm Q−giả lồi exhaustion trên Ω ∩ B(z0 , σ).
21


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta xét (0, k)−dạng vi phân, cở sở của (1, 0)−dạng vi phân là w1 , · · · , wn ,
ta có thể xem u =

zJ
J uJ d¯

với |J| = k và hệ số trong các không gian như

¯ L2 (Ω), hay L2ϕ (Ω) := {uJ : uJ
C ∞ (Ω),

ϕ=

(

Ω

e−ϕ |uJ |2 dV )1/2 < ∞, ϕ > 0}.

¯ k , L2 (Ω)k , L2 (Ω)k .
Chúng ta sẽ ký hiệu các không gian tương ứng này lần lượt là C ∞ (Ω)
ϕ

Zampieri (xem [13]) đã chứng minh được tính chính quy cho nghiệm địa
phương của phương trình ∂¯ trên các miền Q-giả lồi.

Định lý 1.15. Cho Ω là miền với biên trơn và Q−giả lồi trong lân cận của
¯ = 0, sẽ tồn tại nghiệm
¯ kz sao cho ∂f
z0 . Nếu k ≥ Q + 1 thì với mọi f ∈ C ∞ (Ω)
0
¯ = f.
¯ k−1
thỏa mãn phương trình ∂u
u ∈ C ∞ (Ω)
z0

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh lại định lý này. Ngoài ra,
chúng ta cũng sẽ chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm chính quy toàn
cục trên các miền Q-giả lồi. Để đọc giả tiện theo dõi và đối chiếu, chúng ta
sẽ phát biểu định lý ở đây, phần chứng minh của định lý sẽ được đề cập đến
trong chương tiếp theo.
Định lý 1.16. Cho Ω ⊂⊂ Cn là miền Q−giả lồi với biên trơn. Khi đó, với
¯ = 0 thì tồn tại nghiệm u ∈ C ∞ (Ω)
¯ k với ∂f
¯ k−1
mọi k ≥ Q + 1 và mọi f ∈ C ∞ (Ω)
¯ = f.
thỏa mãn ∂u

22


Chương 2
Tính chính quy cho tốn tử ∂¯
2.1

Tính chính quy địa phương cho ∂¯ trên biên

Cho trước các hàm dương ϕ và ψ , chúng ta xét phức dây chuyền ∂¯
∂¯

∂¯

L2ϕ−2ψ (Ω)k−1 −
→ L2ϕ−ψ (Ω)k −
→ L2ϕ (Ω)k+1 .

(2.1)

Như đã đề cập trong phần lời nói đầu, trước hết, chúng ta nhắc lại rằng điểm
khởi đầu của chúng ta sẽ là các ước lượng L2 của Hormander, có thể tham
khảo trong [9] hoặc [13]. Cho Ω có biên trơn, theo Bổ đề 4.1.3 về tính trù mật
(xem [9]), ta có thể tìm một hàm ψ sao cho các dạng vi phân lớp Cc∞ (Ω) trù
¯ với chuẩn
mật trong C ∞ (Ω)

u

ϕ−ψ

+

∂¯∗ u

ϕ−2ψ

+

¯
∂u

ϕ

. Hơn nữa, từ

[9] ta có với mọi K ⊂⊂ Ω thì có thể chọn ψ thỏa mãn ψ|K ≡ 0. Cho ϕ là mở
rộng lên Ω của − log(−ρ(z) + λ|z|2 ) như trong Nhận xét 1.13, lấy λ là hằng số
trong (1.8), và tập Ka = {z ∈ Ω : ϕ ≤ a}. Chúng ta chọn ψa |Ka ≡ 0 và thay ϕ
bởi ϕ = ϕa + c|z|2 , ở đây ϕa = χa (ϕ), c là hằng phụ thuộc vào đạo hàm thứ
nhất và đạo hàm thứ hai của các hệ số của các dạng wj , và


χa (t) ≡ 0
với t ≤ a;

χ˙ a (t) ≥

3|∂ψ|2 +2(eψ −1)
λ

(2.2)

với t ≥ a.

Với việc chọn ψ và ϕ trên, chúng ta sẽ có ước lượng cơ bản giống trong [9] ở

Bổ đề 4.2.1 với q = 0, và Tính chất 6 trong [13].
23