(Luận văn thạc sĩ) về bất đẳng thức bất định heisenberg cho toán tử tích phân fourier không unitar

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CÙ THỊ THU MINH

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH
HEISENBERG CHO TỐN TỬ TÍCH PHÂN
FOURIER KHƠNG UNITAR

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CÙ THỊ THU MINH

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH
HEISENBERG CHO TỐN TỬ TÍCH PHÂN
FOURIER KHƠNG UNITAR

Chun ngành:

Tốn giải tích

Mã số:

60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2017


2

Mục lục
Lời nói đầu

3

1 Biến đổi tích phân Fourier
1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến đổi Fourier như là chuỗi . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Những tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . .

5
5
7
14

2 Bất đẳng thức bất định Heisenberg
2.1 Hàm Hermite . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nguyên lí bất định của biến đổi Fourier
2.2.1 Nguyên lý bất định Heisenberg
2.2.2 Ứng dụng trong cơ học lượng tử

2.2.3 Ứng dụng trong vật lý . . . . .
2.3 Nguyên lý bất định Heisenberg. . . . . .

22
22
30
30
31
33
34

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42


3

Mở đầu
"Sự ngẫu nhiên và mờ ảo cai trị thế giới các nguyên tử. Tôi không
thể miêu tả sự chuyển động của một electron trong một nguyên tử
như tôi đã miêu tả đường đạo của một trái banh mà người ta ném lên
khơng, hay cuộc hành trình của chiếc tàu rẽ nước đại dương. Tôi không

nắm được sự chuyển động của electron vì khơng thể đo ở mỗi thời điểm
cùng một lúc vị trí và vận tốc của nó như tơi có thể làm việc này cho
trái banh hay con tàu. Sự khơng chính xác, hay bất định, khơng thể
trừ khử được cho dù dụng cụ đo đạc có cầu kỳ thế nào đi chăng nữa.
Nó gắn liền với hành động đo. Thí dụ lúc đo vị trí một electron, tơi
phải chiếu sáng nó, khi làm vậy, tơi gởi tới đó những hạt ánh sáng sẽ
gây nhiễu loạn vận tốc của electron đó. Nếu ∆x là sự bất định của
phép đo vị trí x và ∆v là sự bất định của phép đo vận tốc v, thì tích
h
số của chúng sẽ luôn luôn lớn hơn một số rất nhỏ, bằng 2π
trong đó h
−27
là hằng số Planck, h ∼ 6, 63.10
erg giây):
∆x.∆v ≥

h
.
2π

Vậy nếu chúng ta làm giảm sự bất định về vị trí (∆x gần zero) thì
sự bất định sẽ trở nên vô cùng lớn để bù trừ, làm thế nào để cho tích
h
. Tơi khơng thể làm giảm cùng một lúc ∆x và
∆x.∆v ln lớn hơn 2π
∆v."
(Trích- nguồn: Internet)
Nhà vật lý học Đức Werner Heisenberg đã diễn tả sự bất định trong
thế giới nguyên tử chỉ bằng một bất đẳng thức. Nguyên lí bất định
là một nguyên lí quan trọng trong cơ học lượng tử. Trong tốn học,

ngun lí bất định được thể hiện rất đa dạng, phong phú. Trong khn
khổ nghiên cứu em muốn trình bày trong bài luận văn của mình một số
hiểu biết về Bất đẳng thức bất định Heisenberg cho tốn tử tích phân
Fourier khơng unitar.


4

Luận văn gồm hai chương và được sắp xếp như sau. Chương 1 nhắc
lại định nghĩa biến đổi Fourier và biến đổi tích phân Fourier ngược
cùng một số ví dụ. Sau đó là những tính chất cơ bản của biến đổi
Fourier như tính tuyến tính, tính trễ, tính liên hợp phức . . . và một số
định lý, bổ đề quan trọng có sử dụng trong Chương 2. Trong chương
2, luận văn trình bày về nguyên lý bất định Heisenberg , những biến
dạng và biến thể của của nguyên lý. Luận văn nhấn mạnh đến nguyên
lý bất định cho biến đổi tích phân Fourier khơng unitar. Đầu tiên, ta
đề cập đến dịch chuyển của hàm Hermite . Hàm Hermite đóng vai trò
rất quan trọng trong những nghiên cứu các dao động điều hịa trong
cơ học lượng tử, nó là hàm riêng của phép biến đổi T2,1 . Do T2,1 không
phải là tốn tử unitar nên đẳng thức Parseval khơng cịn đúng cho tốn
tử này, thay thế vào đó là đẳng thức dạng Parseval. Tiếp theo, ta đề
cập đến nguyên lý bất định bằng một định lý. Với những đại lượng
được đề cập trong định lý ta tìm hiểu ý nghĩa vật lý và cơ học lượng
tử. Cuối cùng là nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho tốn tử tích
phân Fourier T2,1 . Do T2,1 khơng phải là tốn tử unitar nên việc chứng
minh nguyên lý sẽ phức tạp hơn nhiều so với phép chứng minh tương
tự cho toán tử unitar. Vì thế, luận văn nêu lại đẳng thức Parseval, đẳng
thức dạng Parseval , nó đóng vai trị quan trọng trong quá trình chứng
minh nguyên lý. Một số bổ đề và định lý cũng được đưa ra bổ sung cho
các bước chứng minh. Cách tiếp cận để chứng minh cho nguyên lý này

là sử dụng chuỗi Fourier của hàm số thực.
Để hoàn thành luận văn, tác giả nhận được sự giúp đỡ của thầy cô,
bạn bè, đặc biệt là sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn
Minh Tuấn, cùng các thầy cơ trong Seminar bộ mơn Tốn của trường
Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội. Em xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn và các thầy
cô giáo trong khoa Toán- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự
nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội đã hướng dẫn em hồn thành khóa
học Cao học 2015-2017.
Do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế
nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Rất
mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô
và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!


5

Chương 1
Biến đổi tích phân Fourier
1.1

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1 ([13]). Biến đổi Fourier và biến đổi tích phân Fourier
ngược được định nghĩa bởi các công thức dưới đây:
(Ff ) (x) :=

1
d

2

(2π)
1
F−1 f (x) :=
d
(2π) 2

f (y)e−ixy dy

(1.1)

f (y)eixy dy

(1.2)

Rd

Rd

Hàm số f được gọi là hàm gốc, Ff được gọi là hàm ảnh. Trong mục
này ta sẽ chứng minh rằng với một giả thiết cho trước , hoặc nếu F xác
định trong không gian hàm L1 Rd hoặc L2 Rd , hai biến đổi Fourier
F, F−1 thực sự tạo thành một cặp xuôi-ngược. Nghĩa là nếu gọi cái này
là biến đổi khởi đầu thì cái kia sẽ là biến đổi ngược (Ta chấp nhận cụm
từ biến đổi ngược dành cho F−1 ).
Với mỗi x = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ Rd , kí hiệu
−x = (−x1 , −x2 , . . . , −xd ),
và
f (x) = f (−x)

cho những hàm xác định trên Rd .
Dễ dàng thấy rằng, f ∈ L1 (Rd ) khi và chỉ khi f ∈ L1 (Rd ). Hơn nữa,
Ff (x) = F−1 f (x),

(1.3)

(F f ) (x) = F−1 f (x).

(1.4)


6

Đơi khi ta dùng kí hiệu
(Ff )( x) := f (x).
Trong những trường hợp phức hợp, ta dùng kí hiệu sau
(f g)∧ (x) := (Ff g)(x),
Nghĩa là , (f g)∧ (x) là biến đổi Fourier của hàm số tích f g.
Ví dụ 1.1. Với mỗi số dương a, xét hàm số
2

f (y) = e−a|y|
xác định trên Rd , trong đó

y12 + y22 + · · · + yd2 .

|y| :=

Đây là một trường hợp đặc biệt của hàm Gauss.
Ta dễ nhận thấy f ∈ L1 (Rd ). Hơn nữa,

|x|2
1
(Ff ) (x) = √ e− 4a
2a

1
Bằng cách chọn a = , x = 0 ta được đẳng thức quen thuộc
2
+∞
2

e−x dx =

√

π

−∞

Khi đó chúng ta thấy Ff ∈ L1 (Rd ). Trong trường hợp này f ∈ L1 (Rd )
và f ∈ L1 (Rd )
Khi a > 0 ta thấy f ∈ Lp (Rd ) và f ∈ Lp (Rd ) với mọi p ≥ 1.
Ví dụ 1.2. Xét hàm số
h(y) =

e−y ,
0,

nếu y ≥ 0
nếu y < 0

xác định trên R, ta có
(Fh) (x) = √

1
.
2π(1 + ix)


7

Hơn nữa,
1
1
1
1
.
|(Fh) (x)| = √
= √ .√
2π 1 + ix
2π 1 + x2
Từ đó suy ra
Fh ∈
/ L1 (R).

Trong trường hợp này mặc dù h ∈ L1 (R) nhưng Fh ∈
/ L1 (R).
Ví dụ 1.3. Cho hai số bất kì a, b ∈ R thỏa mãn a < b. Xét hàm số
(f0 )(y) =

1,

nếu a ≤ y ≤ b

0,

nếu y ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞).

Như vậy hàm f0 xác định trên R. tại điểm x=0 ta có
1
(Ff0 ) (0) = √
2π

−ixy

e
R

1
f0 (y)dy = √
2π

b
a

b−a
dy = √ .
2π

Tại những điểm x = 0 ta có

1
(Ff0 ) (0) = √
2π

−ixy

e
R

1
f0 (y)dy = √
2π

b

e−ixy dy =

a

e−iax − e−ibx
√
.
2πix

Vậy,
 −iax
e
− e−ibx



 √
,x = 0
2πix
(Ff0 )(x) =
b−a


 √ , nếu x = 0.
2π

Chú ý: Hàm ảnh của f0 là Ff0 liên tục tại mọi điểm. Tuy nhiên
F f0 ∈
/ L1 (R).

1.2

Biến đổi Fourier như là chuỗi Fourier trên khoảng
vô hạn

Trong phần này ta ngầm hiểu các hàm đang xét thỏa mãn tất cả các
giả thiết để lập luận đúng. Trọng tâm của phần trình bày là ý tưởng,
vì thế ta xét trường hợp một chiều. Giả sử hàm f xác định trên R. Ta
nói rằng hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng [−T, T ] nếu


8

• f khả tích tuyệt đối trên khoảng [−T, T ].
• f có số lượng hữu hạn các điểm gián đoạn loại một và khơng có
điểm gián đoạn loại hai trong khoảng [−T, T ].

• f có số lượng hữu hạn các điểm cựu đại và cực tiểu thuộc khoảng
[−T, T ].
Theo định lý Fourier, nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong
khoảng [−T, T ] thì f có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi Fourier
phức
+∞

f (x) =

cn exp(i
n=−∞

nπ
x),
T

(1.5)

ở đây
+T

1
cn =
2T

f (t) exp(−i
−T

nπ
t)dt.

T

(1.6)

Đặc biệt nếu f ∈ C 1 ([−T, T ]) thì chuỗi Fourier xác định bởi vế phải
của (1.5) hội tụ tuyệt đối và đều đến f.
Có thể nói rằng, điều kiện Dirichlet ở trên là đủ để chuỗi Fourier
hội tụ. Thực ra, điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ đã là mối quan
tâm của nhiều nhà toán học lớn trong thời gian dài. Năm 1922, Andrey
Kolmogorov đã cho một ví dụ về hàm khả tích Lebesgue nhưng chuỗi
Fourier của nó lại phân kỳ hầu khắp nơi. Sau đó, ơng lại cho một ví dụ
về hàm khả tích có chuỗi Fourier phân kỳ tại mọi điểm . Đến nay, có
rất nhiều kết quả đề cập đến tính hội tụ của chuỗi Fourier, từ một điều
kiện đủ là f khả vi tại x dến một kết quả hết sức tinh tế của Lennart
Carleson rằng nếu f ∈ L2 ([0, T ]) thì chuỗi của nó hội tụ hầu khắp nơi;
cụ thể, hai định lý dưới đây là các phiên bản khác nhau được chứng
minh bởi Carleson cho đối tượng thuộc L2 vào năm 1966, và được Hunt
mở rộng cho các đối tượng thuộc Lp (p > 1) vào năn 1968.
Định lý 1.1 ([13], Định lý Carleson-Hunt). Giả sử f là hàm số xác
định trên đoạn hữu hạn [0, T ] và Lp - khả tích với p > 1. Ký hiệu f (n)
là hệ số Fourier của f. Khi đó
f (n)einx = f (x)

lim

N →∞

|n| N

với x ∈ [0, T ] hầu khắp nơi.

9

Định lý 1.2 ([13], Định lý Carleson-Hunt). Giả sử f ∈ Lp (R) với p > 1
và f có biến đổi Fourier f (ξ). Khi đó
1
lim √
R→∞
2π

f (ξ)eixξ dξ = f (x)
|ξ| R

với x ∈ R hầu khắp nơi.
Nhận xét 1. Trong công thức (1.5), f được biểu diễn bởi một tổng
nπ
và biên độ phức cn . Biểu diễn này hiển
các dao động với tần số
T
2T
nhiên là tuần hoàn với chu kỳ
trong khoảng [−T, T ] này. Tuy thế,
n
vế phải của (1.5) không biểu thị hàm f tại những điểm ngoài khoảng
[−T, T ], trừ khi f vốn đã tuần hoàn với chu kỳ 2T .
Trong trường hợp tổng quát (khi mà f có thể khơng thỏa mãn điều
kiện để chuỗi Fourier hội tụ), ta viết
+∞
nπ

cn e(i T x) .

f (x) ∼

(1.7)

n=−∞

Ta nói rằng (1.7) là một biểu diễn (hình thức) của hàm f xác định
trên đoạn hữu hạn [−T, T ].
Ta sẽ thấy ngay dưới đây những vấn đề trên khoảng hữu hạn dẫn đến lý
thuyết chuỗi Fourier, và những vấn đề trên khoảng vô hạn (−∞, +∞)
dẫn đến tích phân Fourier.
Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên ở đây là: với những hàm xác
định trên R thì sao? Nói cách khác, tìm một biểu diễn nào đó của hàm
xác định trên R (khơng nhất thiết tuần hoàn).
Rõ ràng, một biểu diễn với tổng tương tự như (1.5) có lẽ khơng phù
hợp nữa vì trong tổng đó đại lượng
nπ

e(i T x)
chỉ có nghĩa khi T là hữu hạn.
Ý tưởng chính ở đây là, cho T → ∞ và ta sẽ tìm một biểu diễn
tương ứng cho các hàm số xác định trên khoảng vô hạn R ( khơng nhất
thiết tuần hồn).
Tạm thời ta ký hiệu
+T

f (T, ω) =

−T

f (x)e−iωx dx, ω ∈ R.

(1.8)


10

Nhờ đó, hệ số cn trong (1.5) được viết dưới dạng
cn =

1
nπ
f (T,
).
2T
T

Công thức (1.5) trở thành
1
f (x) =
2T
=

+∞

f (T, ωn ) exp(iωn x)
n=−∞
+∞

1
π
f (T, ωn ) exp(iωn x) ,
2π n=−∞
T

(1.9)

trong đó

nπ
.
T
Vế phải của (1.9) là tổng Darboux của tích phân với khoảng chia trục
thực là
π
∆ωn = ωn+1 − ωn = .
T
Bây giờ ta cho T → ∞ trong (1.9) và định nghĩa
ωn =

f (x)e−iωx dx, ω ∈ R.

f (ω) = lim f (T, ω) =
T →∞

(1.10)

R

(Ở đây chúng ta chưa xét tính chặt chẽ của các phép tốn lấy giới hạn
và tích phân).
Bây giờ, trong (1.5) ta cho T → ∞ và thay f (T, ωn ) bởi f (ωn ) ta được
f (x) ∼

1
2π

f (t)e−iωt dt eiωx dω.
R

(1.11)

R

Dường như ta đã có điều mong muốn. Thực vậy, cặp các công thức
(1.10) và (1.11) là minh chứng cho một phiên bản mới (tương tự chuỗi
Fourier) cho hàm xác định trên R (khơng nhất thiết phải tuần hồn).
Chúng ta hiểu điều này như sau:
• Với điều kiện thích hợp áp đặt lên hàm f xác định trên R, biểu
thức (1.10) xác định một hàm số mới là f gọi là biến đổi Fourier
của f ; (tương ứng với hàm xác định trên khoảng hữu hạn: biểu
thức (1.6)) cho ta xác định một dãy vô hạn {cn } gọi là các hệ số
Fourier).


11

• Tiếp theo, chúng ta khảo sát hàm f xác định bởi (1.10) đó và thấy

rằng: với một số điều kiện áp đặt lên hàm f thì nó lại được xác
định (khôi phục) thông qua vế phải của (1.11) (theo một nghĩa
nhất định, chẳng hạn theo L1 - hoặc L2 - chuẩn); tương ứng với
hàm xác định trên khoảng hữu hạn, hàm f có thể biểu thị thơng
qua các hệ số {cn } như công thức (1.5).
Như vậy, biến đổi Fourier cho hàm xác định trên khoảng vô hạn thực
sự là một phiên bản khác của chuỗi Fourier.
Nhận xét 2. Ta cũng lập luận rằng biến đổi Fourier là một phiên
bản của chuỗi Fourier từ góc độ của lý thuyết truyền sóng liên tục. Cụ
thể, trong số những hàm xác định trên tồn trục số thì những hàm tuần
hồn với chu kỳ hữu hạn mới có thể ( với các điều kiện bổ sung) biểu
diễn bằng một tổng hữu hạn của những hàm cosine và sine. Biến đổi
Fourier là một giải pháp cho cho vấn đề về khả năng biểu diễn những
hàm khơng tuần hồn, nói một cách tốn học là chu kỳ được kéo dài
đến vô hạn. Về mặt ứng dụng, có thể khơi phục biên độ của sóng trong
khai triển chuỗi Fourier bằng tích phân nhờ các tính chất của cosine
và sine. Trong nhiều trường hợp, người ta dùng công thức Euler
eiθ = cos θ + i sin θ
để biểu thị chuỗi Fourier dưới dạng các sóng cơ bản eθ .
Trong trường hợp này, chu kỳ của sóng là 2π. Do cách biểu thị dưới
dạng phức, các hệ số trong chuỗi Fourier có thể là những số phức. Biểu
thị dạng phức của chuỗi Fourier này cũng cho ta cả hai đại lượng là
biên độ của sóng và pha (góc ban đầu) của sóng. Nói nơm na, tần số là
số đo số lượng đường tròn trong một giây. Hơn nữa, mũ phức chứa cả
tần số âm: nếu θ biểu thị thời gian có đơn vị giây, thì sóng eiθ và e−iθ
đều có đồ thị là đường trịn đơn vị, nhưng chiều biến thiên của hai đồ
thị này ngược nhau khi θ biến thiên trong khoảng [0, 2π]. Vậy là, eiθ và
e−iθ biểu thị hai tần số khác nhau. Do vậy, biến đổi Fourier của chúng
cũng biểu thị các tần số khác nhau.
Bằng phép đồng dạng ta có thể xét hàm sóng với chu kỳ bất kỳ

khác. Bởi vậy, ta ấn định chu kỳ bằng 1 bằng cách xét hàm số e±imθ ,
thay vì hàm số e±iθ . Do vậy, nhân Fourier e±imθ biểu thị dao động chu
kỳ T = 2π
m . Lúc này, để thuận tiện trong các tính toán hệ số ta xét biến
đổi Fourier được xác định bởi công thức sau
(Ff )(x) =

e−2πixy f (y)dy.
Rd

(1.12)


12

Để minh họa cho mối liên hệ giữa chuỗi Fourier và biến đổi Fourier, ta
xét trường hợp hàm f có giá compact.
Chúng ta có thể xác định được tất cả các hệ số Fourier của hững
hàm có giá compact, nghĩa là xác định được chuỗi Fourier. Cụ thể, giả
sử T là số thực dương đủ lớn sao cho khoảng − T2 , T2 vẫn chứa giá
(support) của f . Khi đó, hệ số Fourier được tính bởi cơng thức
T /2

f (x)e−2πi(n/T )x dx.

cn =

(1.13)

−T /2

So sánh cn với định nghĩa biến đổi Fourier vừa nêu ta suy ra
cn = f (n/T )
do f bằng khơng ở ngồi khoảng − T2 , T2 .
Như vậy, hệ số Fourier của hàm số tại những điểm chia với khoảng
mức là 1/T . Khi T tăng dần và tiến tới vô cùng, các hệ số Fourier đều
có biểu thị gần với biến đổi Fourier của hàm f . Với điều kiện thích hợp
của hàm f , tổng Fourier bằng giá trị hàm:
1
f (x) =
T

+∞

+∞
2πi(n/T )x

f (n/T )e
n=−∞

f (ξn )e2πiξn x ∆ξ,

=
n=−∞

ở đây ta ký hiệu
ξn = n/T, ∆ξ = (n + 1)/T − nT = 1/T.
Ta thấy
+∞

f (ξn )e2πiξn x ∆ξ
n=−∞

lại là tổng Riemann (Darboux) trong định nghĩa tích phân. Cho T →
∞, tổng này hội tụ tới giá trị tích phân của biến đổi Fourier ngược.
Với một vài điều kiện thích hợp của f , lập luận trên là chính xác.
Theo cơng thức (1.13), hệ số cn có thể được hiểu như là số lượng các
sóng biểu thị trong chuỗi Fourier của f . Tương tự như thế , biến đổi
Fourier của f được hiểu như là một hàm số đo từng tần số riêng biệt
trong hàm sóng, và ta có thể tổ hợp lại những sóng này bằng lấy tích
phân để khơi phục hàm sóng ban đầu.
Định lý 1.3 ([13]). Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong
mọi khoảng hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên R thì tích phân Fourier
(1.11) hội tụ đến hàm
1
[f (x + 0) + f (x − 0)]
2


13

tại mọi điểm x ∈ R. Nói cách khác,
1
1
[f (x + 0) + f (x − 0)] =
2
2π R

f (t)e−iωt dt eiωx dω,

(1.14)

R

với mọi x ∈ R.
Từ nay về sau, ta gọi vế phải của (1.14) là tích phân Fourier.
Nếu f liên tục tại điểm x thì f (x + 0) + f (x − 0) = f (x). Khi đó cơng
thức (1.14) trở thành
1
f (x) =
f (t)e−iωt dt eiωx dω.
2π R R
Như vậy, ta nhận được công thức (1.11) trong đó dấu ∼ được thay bởi
=. Nhấn mạnh rằng công thức ngược (1.14) đúng tại từng điểm thuộc
trục số.
Chúng ta sẽ trở lại chủ đề về công thức ngược khi trình bày định lý
ngược của biến đổi Fourier khi hàm f chỉ khả tích Lebesgue trên Rd (
định lý (1.5)).
Định lý tích phân Fourier này được phát biểu đầu tiên trong một
chuyên đề nổi tiếng của Fourier có tiêu đề "La Thèorie Analytique de
la Chaleur " (1882), và ý nghĩa lớn lao của nó được phát hiện bởi các
nhà toán học và vật lý. Thực vậy, định lý này là một trong những kết
quả lớn nhất của giải tích tốn học hiện đại và có những ứng dụng rộng
lớn trong vật lý và kỹ thuật.
Ta xét một vài phiên bản khác của tích phân Fourier.
Trong lý thuyết chuỗi Fourier thực ta biết rằng nếu hàm f thỏa mãn
điều kiện Dini tại mọi điểm thuộc khoảng [−T, T ] thì chuỗi Fourier của
nó hội tụ, nghĩa là
∞

a0
nπ
nπ
1
[f (x + 0) + f (x − 0)] =
+
x + bn sin
x), (1.15)
(an cos
2
2
T
T
n=1
trong đó
T

1
an =
T
1
bn =
T

nπ
tf (t)xdt,
T
−T
T
nπ

sin
tf (t)xdt, n = 1,2,...
T
−T
cos

Thực hiện các phép tính tương tự như chuỗi Fourier phức như trên ta
thu được ba biểu diễn (1.16), (1.17), (1.18) dưới đây:
+∞

f (x) ∼

[A(t) cos xt + B(t) sin xt]dt,
0

(1.16)


14

trong đó
A(t) = π1

+∞
−∞ cos(tu)f (u)du

1
f (x) ∼
π
1

f (x) ∼
π

,B(t) =

+∞

1
π

+∞
−∞ sin(tu)f (u)du;

+∞

du

cos u(v − x)f (v)dv;

(1.17)

sin u(v − x)f (v)dv;

(1.18)

−∞

0
+∞

+∞

du
−∞

0

Các công thức (1.16), (1.17), (1.18) là những phiên bản khác nhau của
tích phân Fourier. Hơn nữa, nếu hàm f là chẵn hoặc lẻ thì ta cịn có
các cơng thức sau:
f (x) ∼
f (x) ∼

2
π
2
π

+∞

+∞

cos xudu
0
+∞

(1.19)

sin uvdv.

(1.20)

+∞

sin xudu
0

cos uvdv;
0

0

Các công thức (1.19), (1.20) được gọi là cơng thức tích phân Fouriercosine và Fourier-sine. Có điều thú vị là hai cơng thức tích phân (1.19),
(1.20) được khám phá một cách độc lập bởi Cauchy khi ông nghiên cứu
sự lan truyền của sóng nước.
Ta tóm tắt lại mục này như sau:
• Đối với những hàm xác định trên khoảng hữu hạn hoặc hàm xác
định trên khoảng vơ hạn và tuần hồn, ta có thể nghiên cứu chúng
bởi cơng cụ chuỗi Fourier.
• Chuỗi Fourier không hội tụ trên khoảng vô hạn, trừ khi hàm đó
tuần hồn và thỏa mãn các điều kiện đủ bổ sung. Đối với những
hàm xác định trên khoảng vô hạn và khơng tuần hồn, ta có thể
nghiên cứu chúng bằng cơng cụ của tích phân Fourier.

1.3

Những tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Tính chất 1.1 (Tính tuyến tính). Nếu f, g ∈ L1 (Rd ) thì
F (αf + βg) = αFf + β Fg

với mọi α, β ∈ C.
Nói cách khác biến đổi Fourier là tốn tử tuyến tính xác định trên khơng
gian Banach L1 (Rd ).


15

Tính chất 1.2 (Tính dịch chuyển, trễ). Đặt
g(y) := e−ihy f (y).
Khi đó
(Ff ) (x + h) = (Fg) (x).
Thật vậy, ta có
(Ff ) (x + h) =

e−i x+h,y f (y)dy
Rd

=
Rd

e−i x,y e−i h,y f (y) dy = (Fg) (x).

Cho α = (α1 , α2 , ..., αd ) là một d-bó thỏa mãn αj = 0 với mọi j=1,2,...,d.
Khi đó ta có thể kí hiệu
α−1 := (

1
1 1
, , ..., ).

α1 α2
αd

Với mỗi x ∈ Rd ta viết
α x := (α1 x1 , α2 x2 , ..., αd xd ) .
Khi đó ta dễ chứng minh các tính chất (1.3),(1.4),(1.5) sau :
Tính chất 1.3 (Tính đồng dạng).
(Ff (α y)) (x) =

1
(Ff ) (α−1 x).
α1 α2 . . . αd

Tính chất 1.4 (Tính liên hợp phức).
F(f )(x) = Ff (−x).

Trong đó f kí hiệu là liên hợp phức của f.
Tính chất 1.5 (Tính dịch chuyển trong hạt nhân). Đẳng thức sau
đúng với a ∈ Rd bất kỳ cố định:
(F(f (y + a)))(x) = eixa (Ff )(x).
Tính chất 1.6. Giả sử α ∈ Rd là véc tơ d chiều bất kỳ. Khi đó
i) F [f (t − α)] (x) = e−iαx f (x);


16

ii) F eiαt f (t) (x) = f (x − α);
iii) F−1 f (x − α) (t) = eiαx f (t);
iv) F−1 eiαx f (x) (t) = f (t − α);
v) F [cos(x0 t)f (t)] (x) =

1
2

f (x − x0 ) + f (x + x0 ) ;

vi) F [sin(x0 t)f (t)] (x) =

1
2i

f (x − x0 ) − f (x + x0 ) .

Tính chất 1.7. Nếu f1 , f2 ∈ L1 (Rd ) thì:
Rd

(Ff1 ) (y)f2 (y)dy =

Rd

(Ff2 ) (y)f1 (y)dy.

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh biểu thức ở vế trái tồn tại và
có giá trị hữu hạn. Cụ thể, ta có
e−ixy f1 (x)f2 (y) dxdy =
Rd

Rd

|f1 (x)| |f2 (y)| dxdy

Rd

|f1 (x)|dx

=

|f2 (y)|dy

Rd

Rd

= f1

Rd

1

f2

1

< ∞.

Suy ra

Rd

(Ff1 ) (y)f2 (y)dy =

e−iyx f1 (x)f2 (y)dxdy < ∞.
Rd

Rd

Tương tự ta có thể chứng minh biểu thức vế phải tồn tại và có giá trị
hữu hạn. Thật vậy:

Rd

(Ff2 ) (y)f1 (y)dy < ∞.

Áp dụng định lý Fubini ta suy ra đẳng thức trên, vì các vế trái và phải
của đẳng thức đó đều bằng
e−iyx f1 (x)f2 (y)dxdy.
Rd

Rd


17

Tính chất 1.8. Nếu dãy hàm {fn }n≥1 ∈ L1 (Rd ) hội tụ (theo L1 −chuẩn)
đến hàm f , thì dãy hàm ảnh Fourier fn

n≥1

hội tụ đều (hội tụ điểm)

đến hàm ảnh của nó, nghĩa là nếu

fn − f

1

→0

thì
fn (x) → f (x).
Hội tụ trên theo điểm là đều.
Khẳng định tính hội tụ đều của dãy này được suy trực tiếp từ đánh
giá sau: với mọi x ∈ Rd . thì
1

fn (x) − fm (x) ≤

(2π)

d
2

e−ixy . |fn (y) − fm (y)| dy
Rd

= fn − fm

1

→0

khi n, m → ∞.

Tính chất 1.9 (Bổ đề Lebesgue-Riemann). Nếu f khả tích tuyệt đối
trên Rd thì biến đổi Fourier f là hàm liên tục, giới nội và triệt tiêu tại
vô cùng.
Chứng minh. Tính giới nội của ảnh được suy trực tiếp từ bất đẳng
thức:
(Ff ) (x) ≤

1
(2π)

d
2

e−ixy f (y) dy =

1
(2π)

Rd

d
2

Rd

|f (y)|dy = f 1 .

Ta sẽ chứng minh tính liên tục của hàm ảnh và
lim (Ff ) (x) = 0.

|x|→∞

Đầu tiên ta chứng minh cho hàm bậc thang.
Cho hai cặp số thực bất kì (a1 , a2 , ..., ad ) và (b1 , b2 , ..., bd ) thỏa mãn
aj < bj với mọi j = 1, 2, ..., d. Kí hiệu
Bd = x ∈ Rd : xj ∈ [aj , bj ] , j = 1, 2, ..., d

là hình hộp d chiều trong Rd . Xét hàm số
f (y) =

1, nếu y ∈ Bd
0, nếu y ∈
/ Bd .


18

Sử dụng kết quả của Ví dụ 4 ta tính được
(Ff ) (x) =
=

1
(2π)

e−ixy f (y)dy

d
2

Rd

1

−ixy

e

d

(2π) 2

d

1

dy =

d

id (2π) 2

Rd

j=1

e−iaj xj − e−ibj xj
.
xj

Hàm số này liên tục trên Rd và triệt tiêu tại vơ cùng.

Theo tính chất (1.1), biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính. Từ đây
ta suy ra ảnh Fourier của mọi hàm bậc thang cũng là hàm liên tục và
triệt tiêu tại vô cùng.
Cho bất kỳ hàm f ∈ L1 (Rd ). Ta biết tập hợp tất cả các hàm bậc thang
trù mật trong L1 (Rd ) (theo L1 − chuẩn). Vì vậy tồn tại dãy các hàm
bậc thang {fn } sao cho
fn → f theo L1 − chuẩn .
Theo tính chất (1.8), dãy các hàm ảnh fn hội tụ đều tới hàm f . Do đó
hàm giới hạn f liên tục và triệt tiêu tại vơ cùng.
Ta có thể chứng minh bổ đề này một cách ngắn gọn hơn. Thực vậy,
ta giả thiết hàm f trơn, có giá compact trên R. Tích phân từng phần
ta được
f (x)e−ixy dy =

1
1
f (y)e−ixy dy ≤
ix
|x|

|f (y)| dy → 0

khi x → ∞.
Nếu f khả tích tuyệt đối bất kỳ thì nó có thể xấp xỉ ( theo L1 − chuẩn
) bởi hàm trơn có giá compact g sao cho f − g 1 < ε với bất kỳ ε > 0
cho trước. Do đó
lim sup f (x) ≤ lim sup

x→±∞

z→±∞

+ lim sup
z→±∞

(f (y) − g(y)) e−ixy dy

g(y)e−ixy dy ≤ ε + 0 = ε.

Ta suy ra điều phải chứng minh.
Cần phải nhấn mạnh bổ đề Riemann-Lebesgue sẽ không cịn đúng
nếu hàm gốc f chỉ khả tích mà khơng khả tích tuyệt đối. Thực vậy,


19

công thức



π
, nếu |x| < a
(Ff )(x) =
2

0, nếu |x| > a.
Các định lý tiếp theo dành cho hàm một biến, nhiều biến; thể hiện rõ
hơn về hàm ảnh của biến đổi Fourier.
Để hiểu rõ về hàm ảnh của biến đổi Fourier ta xét định lý dưới đây.
Định lý 1.4 ([13]). Nếu f ∈ L1 (Rd ) thì Ff là hàm liên tục đều trên

Rd
Chứng minh. Trước hết ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức
|sin x|

|x|

với mọi x ∈ R.
Giả sử f ∈ L1 (Rd ). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
| u, y |

|u| |y| .

Bằng tính tốn tích phân ta được
|(Ff )(x + u) − (Ff )(x)|
=
=
=

1
(2π)
2
(2π)
2

d
2

d
2

2
(2π)

2
d

(2π) 2

≤

1
d

(2π) 2

Rd

Rd

sin
Rd

u, y
. |f (y)| dy
2
u, y
. |f (y)| dy
2

sin

|y|>R

+
≤

e−i x+u,y − e−i x,y . |f (y)| dy

e−i u,y − 1 |f (y)| dy

d

(2π) 2

d
2

2
d
2

sin

u, y
. |f (y)| dy
2

(2π) |y|≤R
u, y
sin
. |f (y)| dy

2
|y|>R
1
+
| u, y | . |f (y)| dy
d
(2π) 2 |y|≤R
u, y
sin
. |f (y)| dy
2
|y|>R


20

1

+

d

(2π) 2

|y|>R

d

|y|>R

|f (y)| dy

d
2

(2π)
u, y
. |f (y)| dy + |u| R f 1 . (1.21)
sin
2

1
d

(2π) 2

|y| . |f (y)| dy

|u| R

+
≤

|y|≤R

(2π)
u, y
sin
. |f (y)| dy
2

1
(2π) 2

d
2

|u|

+
≤

|y|≤R

(2π)
u, y
sin
. |f (y)| dy
2

1

=

|u| . |y| . |f (y)| dy

d
2

|y|>R

|y|≤R

Định lý 1.5 ([13]). Nếu f ∈ L1 (R)d và nếu Ff ∈ L1 (R)d thì
1

f (x) =

(2π)

d
2

(Ff )(y)eixy dy

Rd

(1.22)

với x ∈ Rd hầu khắp nơi .
Chứng minh. Trước hết, đặt
1

f0 (x) :=

(2π)

d
2

Rd

(Ff )(y)eixy dy.

Để chứng minh định lý ta sử dụng đẳng thức
Rd

f (x)(Fg)(x)dx =

Rd

g(y)(Ff )(y)dy

với g ∈ S.
Xét các công thức
f (x) =

1
(2π)

Rd

d
2

Rd

f (x)(Fg)(x)dx =

(Ff )(y)eixy dy,

Rd

g(y)(Ff )(y)dy.

(1.23)
(1.24)

Dùng công thức ngược (1.23) cho (1.24) và Định lý Fubini ta nhận được
1
(2π)

d
2

Rd

f0 (x)(Fg)(x)dx =

1
(2π)

d
2

Rd

f (x)(Fg)(x)dx(g ∈ S). (1.25)

21

Theo công thức F Dyp f (y) (x) = (ix)p (Ff )(x), các hàm Fg phủ kín S
khi g chạy khắp S. Đồng thời, nếu φ ∈ C ∞ (Rd ) và φ có giá compact
thì φ ∈ S. Đặt
h(x) := f0 (x) = f (x).
Từ (1.25) suy ra
h(x)φ(x)dx = 0
Rd

với mọi hàm φ liên tục có giá compact. Do tập các hàm liên tục có
giá compact (và cả tập S nữa ) trù mật trong L1 (R)d , dẫn đến h = 0
trong L1 (R)d , hay f (x) = f0 (x) với hầu khắp nơi x ∈ (R)d . Định lý
được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Nếu f ∈ L1 (R)d và nếu Ff = 0 trong L1 (R)d , thì f = 0
trong L1 (R)d .
Định lý 1.6 ([13]). Với f ∈ L2 (R)d , khi đó biến đổi F được xác định
như sau:
1
(Ff )(x) = l.i.m
e−ixy f (y)dy.
(1.26)
d
R→∞ (2π) 2 |y|≤R
Hơn nữa, nếu (1.26) thỏa mãn thì
f (x) = l.i.m
R→∞

1
(2π)

d
2

e−ixy (Ff )(y)dy,
|y|≤R

với x ∈ R hầu khắp nơi.
Các kết quả chi tiết hơn được thể hiện ở định lý sau đây
Định lý 1.7 ([13]). Ánh xạ thác triển F trong (1.7) có các tính chất
sau:
−1
(i) F và F là những tốn tử unitar trong khơng gian Hilbert L2 (R)d .
(ii) Nếu f ∈ L2 (R)d thì Ff được đặc trưng duy nhất như là một hàm
G ∈ L2 (Rd ) sao cho
G, ψ = f, ψ
với mọi ψ ∈ Cc∞ (Rd ).
(iii) Nếu f ∈ L1 (Rd ) ∩ L2 (Rd ) thì Ff = f hầu khắp nơi.
Như vậy khi nói đến tốn tử tích phân Fourier xác định trong L2 (R)d
ta có thể đồng nhất các ký hiệu F :≡ F, và ký hiệu f vẫn tiếp tục được
sử dụng mà khơng lo ngại có sự nhầm lẫn trong ký hiệu đó.


22

Chương 2
Bất đẳng thức bất định Heisenberg
Xét phép biến đổi tích phân đối xứng cho hàm một biến xác định
trên R
1

(T2,1 f ) (x) := √
(2 cos xy + sin xy) f (y)dy,
(2.1)
2π R
ở đây f là hàm xác định trên R.
Tốn tử T2,1 khơng phải là tốn tử unitar và đẳng thức Parseval khơng
cịn đúng cho tốn tử này. Do đó trong mục này sẽ trình bày những
tính chất cơ bản của phép biến đổi T2,1 và chứng minh bất đẳng thức
bất định cho biến đổi này.

2.1

Hàm Hermite

Hàm Hermite một biến được xác định bởi công thức:
n

Hn (t) = (−1) e

t2
2

d
dt

n
2

e−t ,

Để có được một hệ cơ sở trực chuẩn trong L2 (R), người ta thường chọn
hàm Hermite dưới dạng như sau
Hn (t)
ψn (t) =
√ 1.
(2n n! π) 2
Hàm Hermite đóng vai trị rất quan trọng trong những nghiên cứu các
dao động điều hòa trong cơ học lượng tử. Chúng ta đề cập đến hàm
Hermite là hàm riêng của phép biến đổi T2,1
Định lý 2.1 ([13]). Đẳng thức sau luôn đúng với n ∈ N :
n

T2,1 ψn =

(−1) 2 2ψn ,
(−1)

n−1
2

ψn ,

nếu n = 0, 2

(mod 4)

nếu n = 1, 3

(mod 4).

(2.2)


23

Chứng minh. Ta thấy rằng nếu f ∈ L1 (R) thì T2,1 f là hàm số hồn
tồn xác định trên R. Thực vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có
(22

|2 cos xy + sin xy|

+

12 )(cos2 xy

2

+ sin xy) =

√

5.

Từ đây ta suy ra
1
√
√2π
5
√
2π

|(T2,1 f )(x)|

|2 cos xy + sin xy|.|f (y)|dy
R

|f (y)|dy =

√

5||f ||1 < ∞.

R

Xem L1 (R) như là miền xác định của các phép biến đổi F, F−1 , và T2,1
ta có
T2,1 =

2+i
2 − i −1
F+
F .
2
2

(2.3)

Do
F−1 ψn = (−i)n ψn ,
F−1 ψn = in ψn

với mọi
n∈N
ta thu được đẳng thức
T2,1 ψn =

2−i n
2+i
(−i)n +
i ψn .
2
2

Tính toán hệ số trong vế phải của đẳng thức này ta nhận được
2+i
2−i n
(−i)n +
i =
2
2

n

(−1) 2 2, nếu n = 0, 2 (mod 4)
n−1
(−1) 2 , nếu n = 1, 3 (mod 4)

Từ đây ta suy ra các hệ thức trong (2.1) . Định lý được chứng minh.
Chú ý 2.1.
• Phép biến đổi T2,1 của mỗi hàm Hermite là chính nó nhân với một

hằng số thực là một trong các số sau:{±1, ±2} , trong khi phép
biến đổi Fourier của những hàm này là hàm đó nhân với hằng số
phức thuộc tập hợp{±i, ±1} .


24

• T2,1 khơng phải là tốn tử unitar vì ±2 là các giá trị riêng của nó.
Chúng ta sẽ thấy trong Định lý 2.7 ở phần sau, rằng đẳng thức
Parseval khơng cịn đúng cho tốn tử này. Thay thế vào đó là đẳng
thức dạng Parseval (2.9)
Định lý 2.2 ([13], Bổ đề Riemann-Lebesgue). T2,1 là tốn tử tuyến
tính liên tục từ không gian L1 (R) vào không gian C0 (R). Cụ thể, nếu
f ∈ L1 (R), thì T2,1 f ∈ C0 (R) và
√
T2,1 f ∞
5 f 1.
Chứng minh. Tính liên tục được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của
các tốn tử tích phân Fourier và Fourier ngược và đẳng thức sau
2+i
2 − i −1
T2,1 =
F+
F .
(2.4)
2
2
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức chuẩn. Thực vậy, áp dụng bất đẳng
thức Bunyakovski ta có
√

|2 cos xy + sin xy|
5
với mọi x, y ∈ R. Do đó
T2,1 f

∞

1
= sup |(T2,1 f ) (x)| = sup √
(2 cos xy + sin xy)f (y)dy
2π R
x∈R
x∈R
√
1
5
√
|2 cos xy + sin xy| |f (y)| dy √
|f (y)dy|
2π R
2π R
= f 1.

Định lý được chứng minh.
Sau đây sẽ là một bổ đề được sử dụng trong nhiều phép chứng minh
của chương này.
f (x)
Bổ đề 2.1. Nếu hàm 1+|x|
khả tích tuyệt đối trên R ( nghĩa là f ∈ L1 (R)
), thì đẳng thức sau đúng:

1
1
[f (x + 0) + f (x − 0)] = lim
λ→∞ π
2

+∞

f (t)
−∞

sin λ(x − t)
dt.
x−t

Định lý 2.3 ([13]). T2,1 khả nghịch trong S(R). T2,1 là tốn tử tuyến
tính liên tục và khả nghịch trong không gian Schwartz S. Cụ thể, nếu
g ∈ S, thì
1
1
( cos xy + sin xy)(T2,1 g)(y)dy
g(x) = √
(2.5)
2π R 2
với mọi x ∈ R.