(Luận văn thạc sĩ) Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG

VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN PHÂN TÍCH
ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG

VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN PHÂN TÍCH
ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Đoàn Trung Cƣờng

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục

Danh sách ký hiệu

iii

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Phân tích bất khả quy của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Thuật toán chia đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy

11

2.1

Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Trường hợp đa thức thu gọn P(X) khơng có nghiệm trong F p . . .

24

2.4

Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chương 3. Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử

28

3.1

Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

Thuật tốn Yun phân tích khơng bình phương . . . . . . . . . . .

32

3.2.1

Phân tích khơng bình phương . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2.2

Thuật toán Yun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Phân tích nhân tử của đa thức trên trường hữu hạn F p . . . . . . .

38

3.3.1

Thuật toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3.2

Phân tích tách bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3.3

Phân tích đồng bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Phân tích bất khả quy trên Z[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3

3.4


ii
3.4.1

Chặn cho hệ số của các ước trong vành đa thức nguyên . .

44

3.4.2

Phân tích bất khả quy mod pe . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.4.3

Thuật toán Zassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55


iii

Danh sách ký hiệu
Z

vành các số nguyên

Q

trường các số hữu tỷ

Fp

trường có p phần tử

K[X]

vành đa thức với hệ số trên trường K

P(X)

đa thức một biến X

deg P(X)

bậc của đa thức P(X)

mod p

modulo p

a |b

a không là ước của b

gcd(P(X), Q(X))

ước chung lớn nhất của hai đa thức P(X) và Q(X)


1

Mở đầu
Đa thức là một khái niệm cơ sở của toán học. Một mặt đa thức là đối tượng nghiên
cứu của đại số, một mặt chúng xuất hiện trong tất cả các lĩnh vực của toán học
cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Các bài toán về đa thức xuất hiện cả trong
tốn phổ thơng cũng như tốn cao cấp. Trong tốn phổ thơng, những bài tốn về
đa thức thường là những bài tốn khó, hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi,
kể cả các kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia và Olympic Toán Quốc tế.
Khi xét đa thức, một vấn đề được người ta quan tâm là tính bất khả quy và rộng
hơn là phân tích của đa thức đó thành tích các đa thức bất khả quy. Tính chất này
cũng tương tự như của các số nguyên là tính chất nguyên tố và phân tích thành tích
các số nguyên tố. Các câu hỏi về tính bất khả quy và phân tích bất khả quy của
đa thức nói chung là khó trả lời hơn nhiều. Do vậy, việc hệ thống lại một số tiêu
chuẩn về đa thức bất khả quy và nghiên cứu một số thuật tốn phân tích đa thức
một biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử là cần thiết. Với lý do như vậy, chúng
tôi chọn đề tài “Về một số thuật tốn phân tích đa thức một biến thành nhân tử”.
Khác với các số ngun, một thuật tốn để phân tích một đa thức nguyên thành
tích các đa thức nguyên bất khả quy là không hiển nhiên. Nếu xét đa thức với hệ
số trên một trường hữu hạn thì việc phân tích sẽ khả thi hơn, vì chỉ có hữu hạn đa
thức có bậc nhỏ hơn bậc của một đa thức cho trước. Với các đa thức hệ số nguyên,
những thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu quả (về mặt tính tốn)
đều đưa đa thức về xét trên trường hữu hạn, sau đó nâng phân tích tìm được lên lại
vành các số nguyên.

Trong luận văn này, chúng tơi trình bày một số thuật tốn phân tích một đa thức
thành tích các nhân tử bất khả quy, trong đó xét các trường hợp đa thức nguyên,


2
đa thức có hệ số trên một trường hữu hạn F p . Nội dung chính của luận văn là trình
bày chi tiết những kết quả chọn lọc trong một số tài liệu về tiêu chuẩn đa thức bất
khả quy thông qua thu gọn mod p (reduction mod p) và các thuật tốn phân tích
đa thức một biến thành nhân tử bất khả quy như thuật toán Kronecker, thuật toán
Yun, thuật tốn Zassenhaus.
Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi trình bày các kiến thức
cơ sở chuẩn bị cho các chương sau như định lý phân tích đa thức thành nhân tử, bổ
đề Gauss, thuật toán chia đa thức và thuật tốn tìm ước chung lớn nhất của hai đa
thức.
Chương 2. Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy. Chúng tơi trình bày việc xét tính
chất bất khả quy của một đa thức ngun thơng qua thu gọn mod p với p là một
số nguyên tố. Kết quả chính được trình bày là tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein
và các mở rộng của nó. Các tiêu chuẩn này được trình bày rất ngắn gọn thơng qua
thu gọn mod p.
Chương 3. Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử. Trong chương này
chúng tơi trình bày thuật tốn Kronecker để phân tích một đa thức nguyên thành
nhân tử. Đây là thuật toán đầu tiên để phân tích đa thức ngun, tuy nhiên chỉ có ý
nghĩa lý thuyết do về mặt tính tốn thì rất khơng hiệu quả.
Tiếp theo chúng tơi trình bày thuật tốn Yun để phân tích một đa thức thành
các ước khơng chứa bình phương. Thuật tốn tiếp theo chúng tơi trình bày là phân
tích các đa thức với hệ số trên trường hữu hạn thành nhân tử. Ý tưởng của các thuật
tốn này được sử dụng trong thuật tốn Zassenhaus, trình bày trong phần cuối cùng
của Chương 3, để phân tích một đa thức nguyên thành tích các đa thức nguyên bất
khả quy. Ý tưởng của thuật toán này là chuyển việc xét đa thức nguyên về xét trên

trường F p , sau đó sử dụng thuật tốn trước để phân tích đa thức thành tích các đa
thức bất khả quy trên F p . Cuối cùng, sử dụng một dạng của Bổ đề Hensel để nâng
phân tích này lên trên Z.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái


3
Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của TS. Đồn Trung Cường (Viện Tốn
học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tác giả xin được bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người
đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp
những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể Lớp B, cao học
Tốn khóa 8 (2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo
Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Lê Hồng Phong,
Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học
tập và cơng tác của mình.
Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ và
đại gia đình đã ln động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hồn thành
tốt luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tác giả

Dương Thị Lan Hương

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Mục đích của chương này là nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc
trình bày các kết quả trong các chương sau. Nội dung của chương là chúng tôi nhắc
lại một số định lí về đa thức bất khả quy và phân tích bất khả quy, thuật tốn chia
đa thức, thuật tốn tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. Hầu hết các kết quả
trong chương này được trình bày dựa theo tài liệu [2].

1.1

Phân tích bất khả quy của đa thức

Trong tiết này, chúng ta nhắc lại một số kết quả về đa thức bất khả quy và sự tồn
tại phân tích bất khả quy.
Nhắc lại, một đa thức khác hằng với hệ số trên một trường là bất khả quy nếu
nó khơng phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn. Ví dụ, mọi đa
thức bậc nhất aX + b, với a = 0, đều là bất khả quy.
Tính chất bất khả quy của một đa thức phụ thuộc vào trường hệ số được xét.
Ví dụ, đa thức P(X) = X 2 + 1 là đa thức bất khả quy trong R[X] nhưng là đa thức
khả quy trong C[X] vì P(X) = (X − i)(X + i).
Để xét tính chất bất khả quy của một đa thức, ta hay dùng bổ đề đơn giản sau
để biến đổi đa thức về dạng mà ta có thể áp dụng một số tiêu chuẩn bất khả quy đã
biết.
Bổ đề 1.1.1. Cho đa thức P(X) với hệ số trên một trường K. Với mỗi a ∈ K, đa
thức P(X) là bất khả quy khi và chỉ khi đa thức P(X + a) là bất khả quy.

5
Chứng minh. Trước hết nhận xét rằng deg P(X) = deg P(X + a). Ngồi ra, một
phân tích P(X) = H(X)K(X) tương đương với một phân tích P(X + a) = H(X +
a)K(X + a). Vì vậy P(X) là khả quy khi và chỉ khi P(X + a) là khả quy.
Hai đa thức P(X), Q(X) được gọi là liên hợp nếu P(X) = λ Q(X) với một hằng
số λ = 0 nào đó.
Định lí 1.1.2 (Phân tích thành nhân tử). Giả sử K là một trường. Khi đó mọi đa
thức P(X) ∈ K[X] khác hằng đều có phân tích
P(X) = P1α1 . . . Prαr
với Pi ∈ K[X] là đa thức bất khả quy đôi một không liên hợp, α1 , . . . , αr > 0. Hơn
nữa phân tích này là duy nhất sai khác một thứ tự của các ước bất khả quy.
Với đa thức nguyên, ta cũng định nghĩa một đa thức nguyên khác hằng là bất
khả quy nếu nó khơng phân tích được thành tích hai đa thức có bậc nhỏ hơn.
Với định nghĩa này thì đa thức ngun bất khả quy khơng là một phần tử bất
khả quy trong vành Z[X] như định nghĩa thơng thường. Ví dụ, đa thức ngun
2X + 4 = 2(X + 2) vẫn là đa thức bất khả quy theo định nghĩa trên. Trong toàn bộ
luận văn này ta sẽ sử dụng định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy này.
Một đa thức nguyên cũng là một đa thức hữu tỷ (có hệ số trên trường các số
hữu tỷ Q). Liên hệ giữa tính chất bất khả quy trên Z và trên Q được thể hiện trong
định lý nổi tiếng sau, thường gọi là Bổ đề Gauss.
Định lí 1.1.3 (Bổ đề Gauss). Cho một đa thức nguyên P(X) khác hằng. Giả sử
có phân tích P(X) = G(X)F(X) với G(X), F(X) là các đa thức có hệ số hữu tỷ.
Khi đó tồn tại các đa thức nguyên G∗ (X), F∗ (X) sao cho deg G(X) = deg G∗ (X),
deg F(X) = deg F∗ (X) và P(X) = G∗ (X)F∗ (X). Nói riêng, nếu P(X) là khả quy
trên Q thì nó phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc
thấp hơn.

6
Chứng minh. Viết F(X) = aF1 (X) và G(X) = bG1 (X) trong đó a, b ∈ Q và F1 (X),
G1 (X) ∈ Z[X] là các đa thức nguyên mà hệ số có ước chung lớn nhất bằng 1
(thường gọi là các đa thức nguyên bản). Rõ ràng P(X) = abF1 (X)G1 (X) ∈ Z[X].
Ta chứng minh ab ∈ Z. Thật vậy, giả sử ab ∈
/ Z. Khi đó, ab = r/s với r/s là phân
số tối giản và s > 1. Viết
F1 (X)G1 (X) = an X n + . . . + a1 X + a0 .
Vì F1 (X)G1 (X) là nguyên bản nên gcd(an , an−1 , . . . , a0 ) = 1. Vì P(X) ∈ Z[X] nên
ta có
ra1 ra0
ran
,...,
,
∈ Z.
s
s s
Suy ra s là ước chung của an , . . . , a1 , a0 . Điều này là vô lý. Vậy ab ∈ Z. Đặt F∗ (X) =
abF1 (X) và G∗ (X) = G1 (X). Khi đó, P(X) = F∗ (X)G∗ (X) với F∗ (X) và G∗ (X) có
hệ số nguyên, deg F(X) = deg F∗ (X) và deg G( X) = deg G∗ (X).
Như vậy với một đa thức nguyên thì tính chất bất khả quy trên Z và trên Q là
tương đương.
Tương tự như định lý phân tích duy nhất của các đa thức với hệ số trên một
trường, ta có định lý phân tích cho đa thức ngun. Nhắc lại là một đa thức nguyên
được gọi là đa thức nguyên bản (primitive) nếu các hệ số của đa thức đó có ước
chung lớn nhất là 1.
Định lí 1.1.4 (Phân tích thành nhân tử). Mọi đa thức nguyên khác hằng đều có
phân tích duy nhất
P(X) = λ P1α1 . . . Prαr ,
trong đó λ ∈ Z, P1 , . . . , Pr là các đa thức nguyên bản bất khả quy đôi một không

liên hợp và α1 , . . . , αr > 0. Hơn nữa, một phân tích như vậy là duy nhất sai khác
thứ tự của các nhân tử bất khả quy.


7

1.2

Thuật tốn chia đa thức

Trong các tính tốn trên các đa thức, thuật tốn chia Euclid đóng vai trị then chốt.
Từ thuật toán này người ta dẫn đến các thuật tốn cơ bản khác như tìm ước chung
lớn nhất, tìm bội chung nhỏ nhất, ... Trong các thuật toán phân tích đa thức thành
nhân tử mà ta xét ở phần sau, thuật tốn chia đa thức và tìm ước chung nhỏ nhất
thường xuyên được dùng. Trong tiết này ta nhắc lại thuật tốn này. Trong các tiết
sau ta sẽ khơng nhắc lại mà sử dụng như một thuật toán cơ sở đã biết.
Giả sử K là một trường. Cho F(X), G(X) là hai đa thức với hệ số trên K, trong
đó G(X) = 0. Khi đó ln tồn tại duy nhất hai đa thức Q(X) và R(X) sao cho
F(X) = G(X)Q(X) + R(X),
trong đó deg R(X) < deg G(X).
Để tìm các đa thức thương Q(X) và dư R(X) ta thực hiện như sau: Nếu F(X) =
0 hoặc deg F(X) < deg G(X) thì ta chọn Q(X) = 0 và R(X) = F(X). Giả sử F(X) =
0 và deg F(X) ≥ deg G(X). Đặt deg F(x) = n và deg G(X) = m. Giả sử am , bm lần
lượt là hệ số cao nhất của F(X), G(X). Vì K là trường nên tồn tại phần tử b−1
m ∈K
−1 n−m . Đặt F (X) = F(X) − G(X)H(X).
sao cho bm b−1
1
m = 1. Chọn H(X) = am bm x

Khi đó F1 (X) = 0 hoặc deg F1 (X) < deg F(X). Nếu F1 (X) = 0 hoặc deg F1 (X) <
deg G(X) thì dư của phép chia là R(X) = F1 (X) và thương là Q(X) = H(X).
Nếu F1 (X) = 0 và deg F1 (X) ≥ deg G(X) thì ta tiếp tục làm tương tự đối với cặp
đa thức F1 (X) và G(X) và ta được đa thức F2 (X) và H1 (X) thỏa mãn F2 (X) =
F1 (X) − G(X)H(X), trong đó F2 (X) = 0 hoặc deg F2 (X) < deg F1 (X). Cứ tiếp tục
quá trình này, ta thu được dãy F1 (X), F2 (X), . . . , Fk−1 (X) gồm các đa thức khác 0
với bậc giảm dần. Các bậc này không thể giảm mãi nên q trình phải dừng tại
một bước k nào đó, khi mà Fk (X) là đa thức đầu tiên hoặc bằng 0 hoặc có bậc bé
hơn bậc của G(X).
Thuật tốn trên được gọi là thuật toán chia Eulid. Các bước của thuật toán cụ
thể là


8
F1 (X) = F(X) − G(X)H(X),
F2 (X) = F1 (X) − G(X)H1 (X),

deg F(X) > deg F1 (X) ≥ deg G(X)
deg F1 (X) > deg F2 (X) ≥ deg G(X)

...
Fk−1 (X) = Fk−2 (X) − G(X)Hk−2 (X), deg Fk−2 (X) > deg Fk−1 (X) ≥ deg G(X)
Fk (X) = Fk−1 (X) − G(X)Hk−1 (X), với Fk (X) = 0 hoặc deg Fk (X) < deg G(X).
Cộng từng vế với vế các đẳng thức đó lại ta được
F(X) = G(X) H(X) + H1 (X) + . . . + Hk−1 (X) + Fk (X).
Đặt Q(X) = H(X) + H1 (X) + . . . + Hk−1 (X) và R(X) = Fk (X) ta có kết quả.
Ví dụ 1.2.1. Trên trường Q, ta xét F(X) = −2X 3 − 14X 2 + 4X − 3 và G(X) =
−2X 2 + 2X − 1. Ta thực hiện phép chia F(X) cho G(X) như sau:
F1 (X) = F(X) − XG(X) = −16X 2 + 5X − 3.
F2 (X) = F1 (X) − 8G(X) = −11X + 5.

Thuật tốn dừng lại ở đây vì deg F2 (X) = 1 < 2 = deg G(X). Do đó
F(X) = (X + 8)G(X) − 11X + 5.
Vậy, thương của phép chia là Q(X) = X + 8 và dư là R(X) = −11X + 5.
Chú ý 1.2.2. Với các đa thức nguyên không phải lúc nào ta cũng chia được hai đa
thức cho nhau. Ví dụ khơng thể chia P(X) = X 1 + 1 cho đa thức Q(X) = 2X + 4 để
nhận được các đa thức thương Q(X) và đa thức dư R(X) cũng là đa thức nguyên.
Tuy nhiên, nếu hệ số bậc cao nhất của Q(X) bằng 1 hoặc −1 thì ta vẫn sử dụng
được thuật tốn Euclid như ở trên để tìm thương và dư khi chia một đa thức cho
Q(X).
Tiếp theo ta xét thuật tốn tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. Nhắc lại là
trên một trường K, ước chung lớn nhất của hai đa thức F, G = 0 là đa thức R có bậc
lớn nhất sao cho R chia hết F, G. Nếu R là ước chung lớn nhất của F, G thì λ R, với


9
λ = 0 ∈ K, cũng là ước chung lớn nhất. Do đó ước chung lớn nhất của hai đa thức
là không duy nhất. Tuy nhiên, ước chung lớn nhất với hệ số bậc cao nhất bằng 1
(đa thức monic) là duy nhất và thường được ký hiệu là gcd(F(X), G(X)).
Để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức, ta có định lý sau đây.
Định lí 1.2.3 (Thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn nhất). Giả sử F(X), G(X) là
hai đa thức với hệ số trên một trường K và G(X) = 0. Khi đó tồn tại số tự nhiên k
và các đa thức Ri (X), Qi (X) ∈ K[X] sao cho
F(X) = G(X)Q0 (X) + R0 (X), R0 (X) = 0, deg R0 (X) < deg G(X);
G(X) = R0 (X)Q1 (X) + R1 (X), R1 (X) = 0, deg R1 (X) < deg R0 (X);
R0 (X) = R1 (X)Q2 (X) + R2 (X), R2 (X) = 0, deg R2 (X) < deg R1 (X);
...
Rk−2 (X) = Rk−1 (X)Qk (X) + Rk (X), Rk (X) = 0, deg Rk (X) < deg Rk−1 (X);
Rk−1 (X) = Rk (X)Qk+1 (X).
Hơn nữa đa thức dư cuối cùng Rk (X) = 0 là một ước chung lớn nhất của F(X) và
G(X).

Để chứng minh định lý trên, ta nêu ra không chứng minh một kết quả dưới
dạng bổ đề như sau:
Bổ đề 1.2.4. Giả sử F(X) = G(X)Q(X) + R(X) trong đó hoặc R(X) = 0 hoặc
R(X) = và deg R(X) < deg G(x). Khi đó mỗi ước chung lớn nhất của F(X) và
G(X) là một ước chung lớn nhất của G(X) và R(X).
Chứng minh Định lý 1.2.3. Chia F(X) cho G(X) ta được thương Q0 (X) và dư
R0 (X). Nếu R0 = 0 thì chia G(X) cho R0 (X) ta được thương Q1 (X) và dư R1 (X).
Nếu R1 (X) = 0 thì chia R0 (X) cho R1 (X) ta được thương Q2 (X) và dư là R2 (X).
Cứ tiếp tục quá trình trên, quá trình này phải dừng lại sau một số hữu hạn bước vì
dãy giảm các số tự nhiên
deg G(X) > deg R0 (X) deg R1 (X) > · · ·


10
không thể kéo dài vô hạn. Từ Bổ đề 1.2.4 ta suy ra ước chung lớn nhất của F(X)
và G(X) là Rk (X).
Ví dụ 1.2.5. Để tìm ước chung lớn nhất của các đa thức X 6 − 1, X 4 − 1 và X 3 −
3X + 2, trước hết ta tìm ước chung lớn nhất của X 6 − 1 và X 4 − 1. Ta có
X 6 − 1 = X 2 (X 4 − 1) + X 2 − 1,
X 4 − 1 = (X 2 + 1)(X 2 − 1)
Theo thuật toán Eucid, ước chung lớn nhất của X 6 − 1 và X 4 − 1 là X 2 − 1. Ta tiếp
tục tìm ước chung lớn nhất của X 2 − 1 và X 3 − 3X + 2. Ta có
X 3 − 3X + 2 = (X 2 − 1)X − 2X + 2,
X 2 − 1 = (−2X + 2) −

X 1
.
−
2 2

Do đó −2X + 2 là một ước chung lớn nhất của X 2 − 1 và X 3 − 3X + 2. Vì thế
−2X + 2 là một ước chung lớn nhất của X 3 − 3X + 2, X 4 − 1 và X 6 − 1.


11

Chương 2

Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy
Kiểm tra tính chất bất khả quy là một phần của bài tốn phân tích một đa thức
thành nhân tử. Mục đích của chương này là trình bày chi tiết những kết quả chọn
lọc trong một số tài liệu về tiêu chuẩn đa thức bất khả quy thông qua thu gọn mod
p, tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein và một số mở rộng có minh họa bằng các ví
dụ.

2.1

Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy

Một trong những cách kiểm tra tính bất khả quy của một đa thức nguyên khá hữu
hiệu là sử dụng thu gọn mod p, với p là một số nguyên tố. Nghĩa là thay cho việc
kiểm tra trực tiếp với đa thức nguyên P(X), ta kiểm tra trước hết cho đa thức thu
gọn P(X) modulo một số nguyên tố p nào đó. Phương pháp kiểm tra này dựa trên
nhận xét sau.
Bổ đề 2.1.1. Cho một đa thức nguyên bản P(X) và một số nguyên tố p. Giả sử p
không là ước của hệ số bậc cao nhất của P(X). Nếu P(X) là khả quy trên Z thì đa
thức tương ứng P(X) là khả quy trên trên trường F p .
Chứng minh. Giả sử
P(X) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ,
với deg P = n. Đa thức tương ứng của P(X) trên F p là

P(X) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 .


12
Theo giả thiết, P(X) được phân tích thành
P(X) = H(X)K(X),

với 0 < deg H(X), deg K(X) < n.

Do đó, xét mod p, trên trường F p ta có
P(X) = H(X)K(X),
nên P(X) phân tích được thành tích hai đa thức.
Vì p | an nên a¯n = 0 trong F p do đó deg P(X) = n. Ngồi ra, do deg H(X) ≥
deg H(X), deg K(X) ≥ deg K(X) mà
deg H(X) + deg K(X) = deg P(X) = deg P(X) = deg H(X) + deg K(X),
nên deg H(X) = deg H(X) < n, deg K(X) = deg K(X) < n.
Vậy đa thức P(X) khả quy trên trường F p .
Như vậy để xét tính bất khả quy của một đa thức nguyên, ta có thể trước hết xét
tính chất bất khả quy của đa thức thu gọn tương ứng mod p với p là một số nguyên
tố thích hợp. Việc xét tính chất bất khả quy của một đa thức trên một trường hữu
hạn có nhiều thuận lợi. Ví dụ, trên F p chỉ có hữu hạn đa thức có bậc nhỏ hơn số
n cho trước. Trong trường hợp đa thức có bậc nhỏ, ta có thể kiểm tra tính bất khả
quy thơng qua việc tìm nghiệm đa thức như sau.
Bổ đề 2.1.2. Cho một đa thức nguyên P(X) có bậc deg P(X) ≤ 3 và một số nguyên
tố p. Khi đó P(X) là bất khả quy trên F p khi và chỉ khi P(X) có một nghiệm trong
F p.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử đa thức P(X) có dạng
P(X) = a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0

với a3 = 0.

Theo giả thiết thì đa thức P(X) khả quy trên F p . Suy ra P(X) = H(X)K(X) với 0 <
deg H(X), deg K(X) < 3 và deg H(X) + deg K(X) = 3. Do đó, hoặc deg H(X) = 1,
hoặc deg K(X) = 1.


13
Giả sử deg H(X) = 1, hay H(X) = b1 X +b0 với b1 = 0. Ta có P(X) = b1 X + b0 K(X),
nên đa thức P(X) có nghiệm X = − bb0 .
1

Điều kiện đủ. Giả sử P(X) có một nghiệm trên F p là X = X0 . Khi đó ta có thể viết
P(X) = (X − X0 )Q(X) với 0 < deg Q(X) ≤ 2. Như vậy đa thức P(X) khả quy trên
F p.
Ví dụ 2.1.3. Đa thức
P(X) = X 5 + 7X 2 + 11
là bất khả quy.
Xét thu gọn mod 2, ta có
P(X) = X 5 + X 2 + 1.
¯ = 1,
¯ P(1)
¯ = 1¯ nên P(X) = 0 với mọi X ∈ F2 . Dẫn đến P(X) khơng có
Ta có P(0)
nghiệm trong trường F2 .
Vì P(X) khơng có nghiệm trên F2 nên nếu P(X) khả quy trên F2 thì P(X) phải
có phân tích dạng
P(X) = (X 2 + a1 X + a0 )(X 3 + b2 X 2 + b1 X + b0 )
= X 5 + (b2 + a1 )X 4 + (a0 + a1 b2 + b1 )X 3 + (a0 b2 + b0 + a1 b1 )X 2
+(a0 b1 + a1 b0 )X + a0 b0 .
Suy ra

b2 + a1 = 0

(2.1)

a0 + a1 b2 + b1 = 0

(2.2)

a0 b1 + b0 + a1 b1 = 1

(2.3)

a0 b1 + a1 b0 = 0

(2.4)

a0 b0 = 1

(2.5)

Từ (2.5) suy ra a0 = 1 và b0 = 1, kéo theo
b2 + a1 = 0,

(2.6)


14
1 + a1 b2 + b1 = 0,

(2.7)

b1 + a1 b1 = 0,

(2.8)

b1 + a1 = 0.

(2.9)

Từ (2.8) ta có b1 = 0 hoặc a1 = −1. Với b1 = 0, suy ra b2 + a1 = 0, 1 = 0, a1 = 0.
Điều này là vô lý.
Với a1 = −1, suy ra b2 + a1 = 0, 1 − b2 + 1 = 0, b1 = 1. Hệ này tương đương
với
0 − 1 = 0,

b2 = 0,

b1 = 1,

điều này cũng là là vơ lý. Do đó hệ phương trình (2.1)-(2.5) là vơ nghiệm. Vậy đa
thức P(X) là bất khả quy trên F2 .
Từ Bổ đề 2.1.1 suy ra P(X) là đa thức bất khả quy.
Ví dụ 2.1.4. Với mỗi số nguyên n không là bội của 5, đa thức P(X) = X 5 − X + n
là bất khả quy.
Theo giả thiết 5 | n nên n = 0. Xét thu gọn mod 5 P(X) = X 5 − X + n.
Giả sử P(X) khả quy trên F5 , hay P(X) có phân tích P(X) = H(X)K(X), với
0 < deg H(X) ≤ deg K(X) < 5. Có hai trường hợp xảy ra
deg H(X) = 1,

deg K(X) = 4

(2.10)

deg H(X) = 2,

deg K(X) = 3.

(2.11)

hoặc

Trường hợp 1. Ta có
P(X) = (X + a)Q(X).

(2.12)

Suy ra X = −a là một nghiệm của P(X) trong F5 . Vậy x ∈ 0, 1, 2, 3, 4 , thay vào
P(X) ta được
P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = n = 0.
Vơ lý. Suy ra đa thức P(X) khơng có nghiệm trong F5 .


15
Trường hợp 2. Ta viết
P(X) = (X 2 + a1 X + a0 )(X 3 + b2 X 2 + b1 X + b0 )
= X 5 + (b2 + a1 )X 4 + (b1 + a1 + a1 b2 )X 3
+(b0 + a1 b1 + a0 b2 )X 2 + (a1 b0 + a0 b1 )X + a0 b0
Suy ra
b2 + a1 = 0,

(2.13)

a1 + a1 b2 + b1 = 0,

(2.14)

a0 b2 + b0 + a1 b1 = 0,

(2.15)

a0 b1 + a1 b0 = −1,

(2.16)

a0 b0 = n.

(2.17)

Từ (2.13) suy ra b2 = −a1 thay vào (2.14), (2.15), (2.16), (2.17).
Từ (2.14) suy ra b1 = a1 2 − a0 .
Từ (2.15) suy ra b0 = −a1 3 + 2a0 a1 .
Vậy ta có hệ phương trình


−a1 4 + 3a0 a1 2 − a0 2 = −1

2a0 2 a1 − a1 3 a0 = n.
Theo Định lí Fermat nhỏ trên F5 , ta có a1 5 ≡ a1 . Suy ra a1 = 0 hoặc a1 = 0.
Nếu a1 = 0 thì từ phương trình thứ hai suy ra n = 0 (điều này vơ lý).
Nếu a1 = 0 thì a1 5 = a1 kéo theo a1 4 = 1. Suy ra

3a0 a1 2 − a0 2 = 0.
Giải phương trình này ta được a0 = 0 hoặc là a0 = 3a1 2 . Suy ra n = 0 (vô lý).
Như vậy P(X) bất khả quy trên F5 . Từ Bổ đề 2.1.1 suy ra P(X) là đa thức bất
khả quy.


16
Một mặt phương pháp thu gọn mod p khá hữu hiệu để kiểm tra một số đa thức
có là bất khả quy hay không, một mặt ta cần chú ý rằng phương pháp này không
phải lúc nào cũng áp dụng được, ít nhất là áp dụng trực tiếp. Trong ví dụ sau đây
ta sẽ thấy có đa thức nguyên bất khả quy đồng thời là khả quy trên mọi trường F p .
Ví dụ 2.1.5. Xét đa thức P(X) = X 4 + 1. Dễ dàng chứng minh trực tiếp (bằng định
nghĩa) P(X) là một đa thức nguyên bất khả quy. Xét một số nguyên tố p và ta tìm
hiểu phân tích của P(X) trên F p .
Với p = 2 ta có P(X) = (X + 1)4 .
Với p = 3 thì P(X) = (X 2 + X + 2)(X 2 − X + 2).
Nhận xét là ln có một trong các số −1, 2, −2 là bình phương trong trường
F p , nghĩa là số đó có dạng x2 với một phần tử x ∈ F p nào đó. Thật vậy, ký hiệu
A = {a ∈ F p : a = 0} và B = a2 ∈ F p : a = 0 . Khi đó B ⊆ A là một nhóm con.
Vì a2 = b2 tương đương với a = ±b nên |B| = |A| hoặc |B| =

|A|
2 .

Do đó, A/B có

cấp 1 hoặc 2. Nói riêng, nếu a, b ∈ A \ B thì ab ∈ B. Như vây, nếu −1, 2 khơng là
bình phương thì −2 = (−1) · 2 phải là bình phương. Sử dụng nhận xét này, ta xét
các trường hợp
• Nếu −1 = a2 thì P(X) = (X 2 − a)(X 2 + a).

• Nếu +2 = b2 thì P(X) = (X 2 + bX + 1)(X 2 − bX + 1).
• Nếu −2 = c2 thì P(X) = (X 2 + cX − 1)(X 2 − cX − 1).
Vậy P(X) là đa thức khả quy trên F p với mọi số nguyên tố p.

2.2

Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein

Trong các tiêu chuẩn bất khả quy của một đa thức nguyên, tiêu chuẩn Eisenstein là
một trong những tiêu chuẩn quan trọng nhất. Sử dụng phương pháp thu gọn mod p,
ta có thể chứng minh tiêu chuẩn này khá ngắn gọn. Hơn nữa, phương pháp chứng
minh này cho phép ta có thể mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein ra cho nhiều đa thức
khác.


17
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ trình bày tiêu chuẩn Eisenstein và một số ví
dụ minh họa việc sử dụng tiêu chuẩn này.
Định lí 2.2.1 (Tiêu chuẩn Eisenstein). Cho đa thức nguyên bản
P(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .
Giả sử có một số nguyên tố p sao cho
(1) p là ước của a0 , . . . , an−1 ,
(2) p không là ước của an ,
(3) p2 khơng là ước của a0 .
Khi đó P(X) là một đa thức nguyên bất khả quy.
Chứng minh. Trên trường F p , ta có P(X) = an X n . Giả sử P(X) = H(X)K(X), ta
suy ra H(X)K(X) = an X n . Từ Định lý phân tích nhân tử (Định lý 1.1.2), ta có
H(X) = bh X h ,

h ≤ deg H(X),

K(X) = ck X k ,

k ≤ deg K(X).

Suy ra n = h+k ≤ deg H(X)+deg K(X) = n. Do vậy h = deg H(X), k = deg K(X).
Giả sử h > 0, k > 0 và P(X) = H(X)K(X). Suy ra P(0) = H(0)K(0). Theo giả thiết
.
a0 = P(0) .. p2 , dẫn đến
.
.
H(0) .. p hoặc K(0) .. p.
.
Giả sử H(0) .. p, suy ra H(0) = 0. Vì H(X) = bh X h nên h = 0, do đó H(X) là đa
thức hằng. Vậy đa thức P(X) là bất khả quy trên Z.
Ta xét một vài ví dụ áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein để kiểm tra tính chất bất
khả quy của một đa thức nguyên.
Ví dụ 2.2.2 (Áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn Eisenstein). Các đa thức sau đây là bất
khả quy:


18
(a) P(X) = X 8 − 6X 6 + 9X 4 − 12X 2 + 15. Thật vậy, xét p = 3 ta có 3 là ước của
−6, 9, −12, 15, và 32 không phải là ước của 15. Theo tiêu chuẩn Eisenstein,
đa thức P(X) là bất khả quy trên Z.
(b) P(X) = X n − pq với 0 < p < q là các số nguyên tố. Thật vậy, ta có p là ước
của −pq và p2 khơng phải là ước của −pq. Áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein,
đa thức P(X) là bất khả quy trên Z.
Trong nhiều bài toán, tiêu chuẩn Eisenstein không được áp dụng trực tiếp để
xem xét tính bất khả quy của một đa thức mà ta phải biến đổi đa thức đi một chút

dựa trên Bổ đề 1.1.1 trong chương trước. Ta xét các ví dụ minh họa sau.
Ví dụ 2.2.3. Các đa thức sau là bất khả quy.
(a) P(X) = X 4 + 2X 3 + 2X + 1.
Xét đa thức
P(X + a) = (X + a)4 + 2(X + a)3 + 2(X + a) + 1.
Vậy số hạng tự do của đa thức P(X + a) là a4 + 2a3 + 2a + 1. Ta có
P(X − 1) = (X − 1))4 + 2(X − 1)3 + 2(X − 1) + 1
= X 4 − 2X 3 + 4X − 2.
Xét p = 2. Theo tiêu chuẩn Eisenstein, đa thức P(X − 1) là bất khả quy, do
đó đa thức P(X) cũng bất khả quy (Bổ đề 1.1.1).
(b) P(X) = X p−1 + · · · + X + 1 với p là số nguyên tố lẻ.
Xét đa thức
X p − 1 = (X − 1) X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1
= (X − 1)P(X)

với p là số nguyên tố lẻ.

Trên trường F p ta có
X − 1 P(X) = X p − 1 = X − 1

p


19
hay là P(X) = (X − 1) p−1 . Điều này gợi ý ta đổi biến số
P(X + 1) = [(X + 1) p − 1]/X
= X p−1 +C1p X p−2 + . . . +C pp−2 X + p.
Áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein, ta được đa thức P(X + 1) là bất khả quy, do
đó đa thức P(X) cũng là bất khả quy.
(c) P(X) = X 4 + 3X 3 − X 2 + 2X + 1.

Xét đa thức
P(X + a) = (X + a)4 + 3(X + a)3 − (X + a)2 + 2(X + a) + 1
= X 4 + (4a − 3)X 3 + (6a2 − 9a − 1)X 2 + (4a3 − 9a2 − 2a − 2)
+(a4 + 3a3 − a2 + 2a + 1)
Ta cần tìm một số ngun tố p sao cho nó là ước của các số (4a − 3),
(6a2 − 9a − 1), (4a3 − 9a2 − 2a − 2), (a4 + 3a3 − a2 + 2a + 1). Từ hai số đầu
ta được p | 35, suy ra p = 5 hoặc p = 7. Thử lần lượt, các giá trị a = ±1,
a = ±2 bị loại. Với a = 3, áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein cho đa thức
P(X) = X 4 + 15X 3 + 80X 2 + 185X + 160
với số nguyên tố p = 5, suy ra đa thức P(X) là bất khả quy.
Trong phần tiếp theo ta sẽ xét một số mở rộng của tiêu chuẩn Eisenstein. Trước
hết ta có định nghĩa hữu ích sau đây.
Định nghĩa 2.2.4. Cho các số tự nhiên n ≥ m ≥ 0 và một số nguyên tố p. Giả sử
P(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ,
với các hệ số là các số nguyên a0 , a1 , . . . , an . Ta nói đa thức P(X) có tính chất Em,p
nếu p là ước của a0 , a1 , . . . , am−1 và p không phải là ước của am .


20
Nhận xét 2.2.5. Trong phát biểu tiêu chuẩn Eisenstein thì đa thức P(X) có tính
chất En,p với n = deg P(X).
Bổ đề 2.2.6. Đa thức ngun P(X) có tính chất Em,p khi và chỉ khi trong F p [X],
P(X) = X m P1 (X) với P1 (0) = 0.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử đa thức nguyên P(X) có tính chất Em,p . Từ
định nghĩa ta có
P(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + am X m + pam−1 X m−1 + · · · + pa1 X + pa0 .
Do đó
P(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + am X m ,

am = 0

= X m an X n−m + · · · + am
= X m P1 (X)
với P1 (X) = an X n−m + · · · + am+1 X + am và P1 (0) = am = 0 trong F p .
Điều kiện đủ. Giả sử P(X) = X m P1 (X), P1 (0) = 0. Suy ra có biểu diễn
P(X) = X m P1 (X) + pQ(X)
với Q(X) là một đa thức nào đó. Ta có
P1 (X) = XP2 (X) + bm ,

bm = 0,

Q(X) = X m+1 Q1 (X) + cm X m + · · · + c1 X + c0 .
Suy ra
P(X) = X m (XP2 (X) + bm ) + p(X m+1 Q1 (X) + cm X m + · · · + c1 X + c0 )
= X m+1 (P2 (X) + pQ1 (X)) + (bm + pcm )X m + pcm−1 X m−1
+ · · · + pc1 X + pc0 .
Do đó đa thức P(X) có tính chất Em,p .