Tổng hợp các bài toán khó trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Tổng hợp các bài tốn khó trong đề thi học kì 2 lớp 7
A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7

f  x   ax 3  2bx 2  3cx  4d a  0 

Bài 1: Cho đa thức

với a, b, c, d là các số

nguyên. Chứng minh không thể tồn tại f(7) = 72 và f(3) = 42
Bài 2: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh rằng
đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm
Bài 3: Cho hàm số

f  x   ax 2  bx  c  a ,b ,c  Z  . Biết

f  13; f  0 3; f 13 .

Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 4: Cho đa thức f  x   ax 3  bx 2  cx  d với a là số nguyên dương và f(5) - f(4)
= 2019. Chứng miinh f(7) - f(2) là hợp số
Bài 5: Chứng minh rằng đa thức P  x   x 3  x  5 khơng có nghiệm ngun
2

1  5
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x    
2  4 


2

Bài 7: Tìm n nguyên dương sao cho 2n  3 n  1
Bài 8: Cho đa thức M  x 3  x 2 y  2x 2  xy  y 2  3 y  x  2017 . Tính giá trị của đa
thức M biết x + y - 2 = 0
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 

1
x  2017  x  2

x2  1
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  2
x 1
B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7
Bài 1:
Có f(7) = 343a + 98b + 21c + 4d = 72
f(3) = 27a + 18b + 9c + 4d = 42
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

f(7) - f(3) = 316a + 80b + 12c = 30
Suy ra 4(79a + 20b + 3c) = 30 hay 79a + 20b + 3c =

30
4

Mà a, b, c là các số nguyên nên 79a + 20b + 3c cũng là số nguyên
Vậy không tồn tại các số nguyueen a, b, c, d để đồng thời xảy ra f(7) = 72 và f(3) = 42

Bài 2:
Thay x = 0 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được 0.f(0 + 1) = 2.f(0) hay f(0) = 0
Suy ra x = 0 là một nghiệm của f(x)
Thay x = -2 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được (-2).f(-1) = 0.f(-2) hay f(-1) = 0
Suy ra x = -1 là một nghiệm của f(x)
Bài 3:
Có f(-1) = a - b + c chia hết cho 3
f(0) chia hết cho 3 hay f(0) = c chia hết cho 3
f(1) chia hết cho 3 hay f(1) = a + b + c chia hết cho 3
Có f(1) + f(-1) = a - b + c + a + b + c = 2a + 2c
Mà c chia hết cho 3
Suy ra 2a chia hết cho 3, mà 2 không chia hết cho 3 nên a chia hết cho 3
f(1) = a + b + c chia hết cho 3, mà a và c chia hết cho 3 nên b cũng chia hết cho 3
Bài 4:
f(5) = 125a + 25b + 5c + d và f(4) = 64a + 16b + 4c + d
f(7) = 343a + 49b + 7c + d và f(2) = 8a + 4b + 2c + d
Có f(5) - f(4) = 61a + 9a + c = 2019
Lại có f(7) - f(2) = 335a + 45b + 5c = 5.(61a + 9a + c) = 5.2019
Vậy f(7) - f(2) là hợp số

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bài 5:
Giả sử a là một nghiệm nguyên của P  x   x 3  x  5  P a   a 3  a  5  0
Với a = 0 ta có P(a) = 5 khác 0 nên a = 0 khơng phải là nghiệm của P(x)
Với a khác 0 thì P(a) chia hết cho a (do P(a) = 0 và a là số nguyên khác 0)
Suy ra a 3  a  5 chia hết cho a hay 5 chia hết cho a, a có thể bằng 1, -1, 5 và -5

Với a = 1 thì P(1) = 5 khác 0 nên a = 1 không phải là nghiệm của P(x)
Với a = -1 thì P(-1) = 5 khác 0 nên a = -1 không phải là nghiệm của P(x)
Với a = 5 thì P(5) = 125 khác 0 nên a = 5 không phải là nghiệm của P(x)
Với a = -5 thì P(-5) = -115 khác 0 nên a = -5 không phải là nghiệm của P(x)
Vậy đa thức P(x) khơng có nghiệm ngun
Bài 6:
2

2

1
1 5 5


Có  x    0x   x     x
2
2 4 4


2

1
A   x   
2


2

5   5  25
     x

4   4  16

Dấu “=” xảy ra  x 
Vậy min A 

2

1
2

25
1
x
16
2

Bài 7:
Có 2n  3 n  1   2n  3   n  1  n  1

 n  4 n  1  n  1  5 n  1  n  1 U 5   1; 5 
Ta có bảng
n+1

-5

-1

1

5

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

n

-6

-2

0

4

Mà n là số nguyên dương nên n = 4
Bài 8:

M  x 3  x 2 y  2x 2  xy  y 2  3y  x  2017

  x 3  x 2 y  2x 2    xy  y 2  2 y   x  y  2   2019
 x 2 . x  y  2   y  x  y  2    x  y  2   2019  2019
Bài 9:
Có x  2017  x  2  x  2017  2  x  x  2017  2  x  2019



1
1


x  2017  2  x 2019

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy Max A 

1
x0
2019

Bài 10:

x2  1 x2  1  2
2
B 2

 1 2
2
x 1
x 1
x 1
Có x 2  0x  x 2  1  1x 



2
 2x
x 1
2

2
2


2

x

1

  1 x
x2  1
x2  1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy min B  1  x  0
Tải thêm tài liệu tại:
/>
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188