HH 8 chuyen de tu giac hinh thang day du ly thuyet phuong phap va giai chi tiet

PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Chủ đề 2: Hình thang
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hình thang
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình

thang

ABCD:

AB // CD

Cạnh đáy:
Cạnh bên:
Đường cao:

AB, CD
AD, BC
AH

Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau.
Nhận xét:
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên
bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên
song song và bằng nhau
2. Hình thang vng
Định nghĩa: Hình thang vng là hình thang có một cạnh bên vng góc
với hai đáy.

3. Dấu hiện nhận biết hình thang, hình thang vng
+ Một tứ giác có hai cạnh song song là hình thang.
+ Hình thang có một góc vng là hình thang vng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Dạng 1: Tính các góc của một hình thang
Bài tập mẫu 1: Cho hình thang ABCD có (AB//CD) có và . Tính các
góc của hình thang?

Hướng dẫn giải

Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) Trang số 23


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

ABCD là hình thang, AB//CD
µ = 1800 (Hai góc kề cạnh bên bù nhau)
+ µA + D
µ = 200 . Suy ra: µA = 1000 và D
µ = 800
và µA − D
µ +C
µ = 1800 (Hai góc kề cạnh bên bù nhau); B
µ = 2C
µ
Mặt khác: B
µ = 600 và B
µ = 1200 .
Suy ra: C

Bài tập mẫu 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Tính số đo.
Hướng dẫn giải:
ABCD hình thang, AB//CD
µA + D
µ = 1800 − µA
µ = 1800 − 1300 = 500
D
µ +C
µ = 1800 ⇒ B
µ = 1800 − C
µ
B
µ = 1800 − 700 = 1100
B

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang
vng
Bài tập mẫu 3: Cho tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác
của góc A. Chứng minh ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải
Xét ∆ABC : AB = BC (giả thuyết). Suy ra: ∆ABC cân tại B
·
·
Từ đây suy ra: BAC
= BCA
·
· D (AD phân giác ).
BAC
= CA

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 24


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

·
· D
Suy ra: BCA
= CA

Suy ra: BC // AD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc
cạnh BC sao cho , N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:
a. cân

b. Tứ giác là hình thang vng.
Hướng dẫn giải

a. Chứng minh ∆AMB cân:
1
2

Ta có AM = BC .

M thuộc cạnh BC.

Suy ra:M là trung điểm của cạnh BC.
⇒ AM = MB = MC =

BC
2

Suy ra: ∆AMB cân tại M
b. Chứng minh tứ giác MNAC là hình thang vuông:
Trong ∆AMB : AN = NB (giả thiết)
MN ⊥ AB
Suy ra:
AC ⊥ AB ( ∆ABC vuông tại A)
·
⇒ MN // AC và CAN
= 900
Suy ra: tứ giác MNAC là hình thang vng.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) Trang số 25


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ơ vng
(hình vẽ). Quan sát rồi đốn nhận xem các tứ giác đó là hình gì,
sau đó dùng thước và eke để kiểm tra lại dự đốn đó.

Hướng dẫn giải:
¼ = BDA
·
Tứ giác ABCD là hình thang ( vì BDC
).
· EF = 900 và G

· EF = 900 ).
Tứ giác EFGH là hình thang vng ( H
Bài tập mẫu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân
giác của góc A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC. Cho biết AD
= 7cm, chứng minh rằng một trong hai đáy của hình thang có độ
dài nhỏ hơn 4cm.
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải : Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm
ta có thể xét tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn
8cm. Khi đó tồn tại một đáy có độ dài nhỏ hơn 4cm.
* Trình bày lời giải
Gọi N là giao điểm của tia AM v tia DC.
ả =N
à (so le trong).
Ta cú AB // CD nờn A
2
ả =A
ả nờn A
ả =N
à ∆DAN cân tại D .
Mặt khác, A
1
2
1
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 26


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Vì vậy: DA = DN.

(1)
¶ =D
¶
Xét ∆DAN có D
1
2

Nên DM đồng thời là đường trung
tuyến: MA = MN.
Nên: ∆ABM = ∆NCM (g.c.g)
Do đó: AB = CN.
Ta có : DC + AB = DC + CN = DN = DA = 7cm. Vậy AB + CD < 8cm.
Vậy một trong hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ hơn 4cm.
Bài tập mẫu 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB =
2cm, CD = 5cm,
Hướng dẫn giải
a. Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài.
Vẽ AE // BC (E ∈ CD).
·
µ = 40o , EC = AB =
Ta được: AED
=C

2cm và DE = DC – EC = 5 – 2 =
3cm.
- ∆ADE dựng được ngay (g.c.g).
- Điểm C thoả mãn hai điều kiện:
C nằm trên tia DE và C cách D là
5cm.

- Điểm B thoả mãn hai điều kiện: B nằm trên tia Ax // DE (hai tia Ax và
DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD) và B cách A là 2cm.
b. Cách dựng
µ = 70o ; E
µ = 40o.
- Dựng ∆ADE sao cho DE = 3cm; D
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 27


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

- Dựng tia Ax // DE (hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng
bờ AD).
- Trên tia Ax đặt AB = 2cm.
- Trên tia DE đặt DC = 5cm.
- Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng.
c. Chứng minh
Theo cách dựng tứ giác ABCD có AB // CD nên nó là hình thang.
Xét hình thang ABCE có CE = 5 – 3 = 2(cm);
·
·
AB = 2cm nên AB = CE do đó AE // BC ⇒ BCD
= AED
= 40o.
µ = 70o và C
µ = 40o.
Như vậy hình thang ABCD có AB = 2cm; CD = 5cm; D

d. Biện luận: Bài tốn có một nghiệm hình.
Bài tập mẫu 8: Dựng tam giác ABC, biết BC = 5cm và AC – AB =

2cm.
Hướng dẫn giải
a) Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài.
Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho AD = AB.
Khi đó DC = AC – AD = AC – AB = 2cm.
µ = 70o ⇒ ADB
·
·
∆ABD cân, A
= 55o ⇒ BDC
= 125o.
µ = 125o ; CB = 5cm).
- ∆DBC xác định được (CD = 2cm; D

- Điểm A thoả mãn hai điều kiện:
A nằm trên tia CD và A nằm trên đường trung trực của BD.
b) Cách dựng
µ = 125o ; DC = 2cm và CB = 5cm.
- Dựng ∆DBC sao cho D

- Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 28


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

- Nối AB ta được ∆ABC phải dựng.
c) Chứng minh
Ta có: ∆ABC thoả mãn đề bài vì theo
cách dựng, điểm A nằm trên đường

trung trực của BD nên AD = AB.
Do đó AC – AB = AC – AD = DC =
2cm;
·
BC = 5cm và ADB
= 180o − 125o = 55o
·
⇒ BAC
= 180o − 2.55o = 70o.

d) Biện luận : Bài tốn có một nghiệm hình.
Nhận xét: Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có
đoạn thẳng nào như vậy. Ta đã làm xuất hiện đoạn thẳng DC = 2cm
bằng cách trên AC ta đặt AD = AB. Khi đó DC chính là hiệu AC – AB.
Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng
2cm bằng cách trên tia AB ta đặt AE =
AC
Khi đó BE = AE – AB = AC – AB = 2cm.
µ = 70o
∆AEC cân, có A

(

)

µ = 180o − 70o : 2 = 55o.
⇒E

∆BEC xác định được.
Khi đó điểm A thoả mãn hai điều kiện:

A nằm trên tia EB và A nằm trên đường trung trực của EC.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN CĨ ĐÁP ÁN

Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) Trang số 29


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB·
BDC
= 300 . Tính các góc của hình thang.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ
HD ⊥ AC , HE ⊥ AB . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vng.
Bài tập 3: Cho hình thang ABCD

( AB // CD ) . Hai đường phân giác của

góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD+BC=DC.
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AD = 20,
AC = 52 và BC = 29. Tính độ dài AB.
Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của góc A, góc D cắt
nhau tại M. Các tia phân giác của B, góc C cắt nhau tại N. Cho biết
·
AMD
= 90o , chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang;

b) NB ⊥ NC.

Bài tập 6: Cho hình thang ABCD vng tại A và D. Gọi M là trung điểm
của AD. Cho biết MB ⊥ MC.

a. Chứng minh rằng BC = AB + CD;

b. Vẽ MH ⊥ BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.
Bài tập 7: Chứng minh rằng trong một hình thang vng, hiệu các
bình phương của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai
đáy.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
·
Bài tập 1: ABCD hình thang, AB//CD. ⇒ ·ABD = BDC
(so le trong)

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 30


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Do đó : ·ABD = 300
Mặt khác: AB=AD (giả thiết)
⇒ ∆ABD cân tại A.

Suy ra: ·ADB = ·ABD = 300

(

)

·
·
DAB
= 1800 − ·ADB + ·ABD = 1800 − 600 = 1200 ⇒ ·ADB + BDC
= 600.

Từ B, kẻ BE//AD. Suy ra: AD = BE và AB = DE.
Mà: AB < DC nên điểm E nằm giữa hai điểm C và D.
Mặt khác: BC=AD (giả thiết). Suy ra:

BC=BE ⇒ ∆BEC

cân tại B

·
·
⇒ BCD
= BEC
·
·
Ta có: BEC
= ·ADC (đồng vị) . Do đó: BCD
= 600.
·
·
Ta có: ·ABC + BCD
= 1800 nên ·ABC = 1800 − BCD

= 1800 − 600 = 1200

Bài tập 2: Chứng minh DEMN là hình thang vng.
Ta có: HE ⊥ AB (giả thiết) ⇒ ∆BEH vng tại E
BM = MH (giả thiết)

Suy ra: EM là trung tuyến thuộc
cạnh huyền. Nên: EM=MH
⇒ ∆EMH cân tại M

·
·
Do đó: MEH
(1)
= MHE
·
= 90 ( HE ⊥ AB )
Xét tứ giác ABCD có: HEA
Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) Trang số 31


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

·
HDA
= 900 ( HD ⊥ AC )

·
EAC
= 900 ( ∆ABC vuông tại A).

·
Suy ra: EHD
= 900

Xét hai tam giác vuông AEH và DHE.
AE = DH và EH cạnh chung ⇒ ∆AEH = ∆DHE (cạnh góc vng)
·
Suy ra: DEH
= ·AHE

(2)

·
·
·
Từ (1) và (2), cộng vế theo vế: MEH
+ DEH
= MHE
+ ·AHE
·
·
MED
= MHA
= 900 ( AH ⊥ BC ) ⇒ ME ⊥ ED

Tương tự, ta chứng minh được: ND ⊥ ED
·
Suy ra: ME // ND và MED
= 900 . Do đó: Tứ giác DEMN là hình thang vng.

Bài tập 3: ABCD là hình thang, AB//CD.
·
·
DKA
= KAB

·
·
(so le trong)
CKB
= KBA
·
·
(AK phân giác µA )
DAK
= KAB

·
·
µ )
(BK phân giác B
CBK
= KBA
·
·
 DKA
= DAK
Suy ra: 
. Do đó: ∆ADK cân tại D ⇒ DA = DK
·

·
= KBA
CKB

Từ: ∆BCK cân tại C ⇒ BC = CK
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 32


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Do đó: DC = DK + KC = AD = BC . Vậy DC = AD + BC .
Bài tập 4: Vẽ BH ⊥ CD ta được AB = DH; BH = AD = 20.
Xét ∆BHC vuông tại H có
Hình 2.14
HC2 = BC2 – BH2 = 292 – 202 = 441

Nên : HC = 21.
Xét ∆ADC vuông tại D có

CD2 =

AC2 – AD2 = 522 – 202 = 2304.
Do đó: CD = 48.
Do đó DH = CD – HC = 48 – 21 = 27 ⇒ AB = 27.
Nhận xét: Bài này đã vẽ thêm đường cao BH của hình thang. Đó là
một cách vẽ hình phụ thường dùng khi giải tốn về hình thang.
¶ +D
¶ = 90o ⇒
µ = 90o ⇒ A
Bài tập 5: a. Xét ∆MAD có M

1
1

µ +D
µ
A
= 90o
2

µ +D
µ = 180o ⇒ AB // CD.
⇒A

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
·
·
b. Ta có ABC
+ BCD
= 180o (hai góc kề

với một cạnh bên).

Từ đây suy ra

·
·
ABC
+ BCD
µ +C
µ = 90o.

= 90o hay nói cách khác : B
1
1
2

(

)

µ = 180o − B
µ +C
µ = 180o − 90o = 90o. Vậy NB ⊥ NC.
Xét ∆NBC có N
1
1

Bài tập 6: a. Gọi E là giao điểm của tia BM với tia CD.
Dễ thấy : ∆ABM = ∆DEM (g.c.g) ⇒ AB = DE và MB = ME.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 33


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

∆CBE có CM vừa là đường trung
tuyến vừa là đường cao nên là tam
giác cân
Nên CB = CE
Suy ra: CB = CD + DE
Do đó: CB = CD + AB (vì AB = DE).

b. ∆CBE cân tại C, CM BM

(1)

à =C
ả MH = MD (tớnh chất điểm nằm trên tia phân giác).
⇒C
1
2

∆HCM = ∆DCM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CH = CD ⇒ ∆CHD cân
⇒ CM ⊥ DH.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BM // DH do đó tứ giác MBHD là hình thang.
Bài tập 7: Xét hình thang ABCD vng tại A và D. Giả sử AB ≤ CD.
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AC2 = AD2 + DC2; BD2 = AD2 + AB2.
Suy ra: AC2 – BD2 = (AD2 + DC2) – (AD2 +
AB2).
Do đó AC2 – BD2 = CD2 – AB2.

Xem

và

Đăng

Ký

Kênh:

Youtube.com/XuctuDayToan2k7
để nhận nhiều tài liệu Vip hơn!

ĐẶT BÔ SACH THAM KHAO TOAN 8-NH-2020-2021
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 34


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:

/>9

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) Trang số 35