Tuyển tập bài toán hình học trong đề thi vào 10 chính thức

TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ
THI VÀO 10 CHÍNH THỨC
PHẦN 1: CÁC BÀI TỐN HÌNH TRONG KỲ THI
VÀO 10 NĂM HỌC 2017 – 2018
MỤC LỤC
Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018)....................................4
Câu 2. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2017-2018)..............................9
Câu 3. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2017-2018)............................10
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018)............................14
Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018)..............................15
Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018)..............................18
Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)........................20
Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018).........................21
Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018).........................22
Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018)............................23
Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018)...............................25
Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018).......................27
Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018)..........................31
Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018).........................34
Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018).........................34
Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Bình Thuận năm 2017-2018)........................36
Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018).........................38
Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)...........................40
Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)...........................41
Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018).............................43
Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)..........................47

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018).........................48
Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018).............................49
Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018)................52
Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018)................53
Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018).........................54
Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018).........................56
Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Đồng Nai năm 2017-2018)............................57
Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018)................................61
Câu 30. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018)..............................63
Câu 31. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh năm 2017-2018)..............................66
Câu 32. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018)..........................67
Câu 33. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018)............................70
Câu 34. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2017-2018)..............................73
Câu 35. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2017-2018)...........................74
Câu 36. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2017-2018).........................76
Câu 37. (Tuyển sinh tỉnh Hịa Bình năm 2017-2018)............................79
Câu 38. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018)......................80
Câu 39. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018)......................81
Câu 40. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018)...........................83
Câu 41. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018)............................85
Câu 42. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2017-2018).........................86

Câu 43. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2017-2018).........................89
Câu 44. (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2017-2018).........................89
Câu 45. (Tuyển sinh tỉnh Kom Tum năm 2017-2018)............................90
Câu 46. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2017-2018).............................92
Câu 47. (Tuyển sinh tỉnh Lao Cai năm 2017-2018)..............................94
Câu 48. (Tuyển sinh tỉnh Lao Cai năm 2017-2018)...............................95
Câu 49. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2017-2018)............................96

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
Câu 50. (Tuyển sinh tỉnh yên bái năm 2017-2018)...............................99
Câu 51. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2017-2018)............................101
Câu 52. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2017-2018).........................103
Câu 53. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2017-2018)...........................105
Câu 54. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình 2017 – 2018 )..............................107
Câu 55. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2017-2018)......................109
Câu 56. (Tuyển sinh tỉnh Phú Thọ năm 2017-2018)............................110
Câu 57. (Tuyển sinh tỉnh Phú Yên năm 2017-2018)............................113
Câu 58. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi năm 2017-2018).....................115
Câu 59. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2017-2018).....................117
Câu 50. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2017-2018)......................120
Câu 51. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2011 – 2012).....................122
Câu 52. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2013 – 2014).....................124

Câu 53. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2017 – 2018)........................126
Câu 54. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2017 – 2018)........................127
Câu 55. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2017 – 2018)........................127
Câu 56. (Tuyển sinh huyện Bình Chánh – TP HCM năm 2018 – 2019) 128
Câu 57. (Tuyển sinh huyện Củ Chi – TP HCM năm 2018 – 2019)........130
Câu 58. (Tuyển sinh huyện Bình Tân – TP HCM năm 2018 – 2019).....131
Câu 59. (Tuyển sinh huyện Bình Tân – TP HCM năm 2018 – 2019).....132
Câu 60. (Tuyển sinh huyện Bình Tân – TP HCM năm 2018 – 2019).....133

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018)
Cho đường tròn

 O  ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M

và N lần

lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai
dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh AB và
BC lần lượt tại các điểm H và K .

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

1) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn.
2
2) Chứng minh NB  NK .NM .

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác
4) Gọi P ,�
MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường

kính ND của đường tròn

O 

. Chứng minh ba điểm D, E , K thẳng

hàng.
Lời giải:

a)Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng thuộc một đường trịn.
O
Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của   (giả thiết)

�
� sd �
AM  sd MB
�
��
ANM  BCM
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tứ giác CNKI ta có:

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
�  ICK
�
�
�
INK
(vì ANM  BCM )

� CNKI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một

cạnh dưới hai góc bằng nhau)
� C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn.
2
b)Chứng minh NB  NK .NM .

O
Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của   (giả thiết)

�  sd NC
�

� sd BN
�  NBC
�
� BMN
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét VBMN và VKBN ta có:
�
- BNM là góc chung.
�
�
�
�
- BMN  NBK (vì BMN  NBC )
�VBMN : VKBN  g-g 

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
�

NB NM

NK

NB � NB 2  NK .NM .

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

+ Chứng minh BHIK là hình bình hành.
Gọi J là giao điểm của AN và BC .
�
�
Ta có: sd AM  sd MB (cmt)
�
��
ACM  BCM
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

� CM là phân giác của �
ACB
� CI là phân giác trong của VCAJ
�

IA CA

IJ CJ

(1)

�
�
Ta có: sd AM  sd MB (cmt)
�
��

ANM  BNM
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

� NM là phân giác của �
ANB .

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

� NH là phân giác trong của VNAB
�

HA NA

HB NB

(2)

�
�
Ta có: sd BN  sd NC
�  CAN
�

� BAN
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét VCAJ và VNAB ta có:
�
�
AB )
- ACJ  ANB (hai góc nội tiếp cùng chắn �
�
�
- BAN  CAJ (cmt)
�VCAJ : VNAB  g-g 
�

CA CJ
CA NA

�

NA NB
CJ NB

(3)

IA HA

Từ (1), (2), (3) suy ra IJ HB
� HI P BJ (định lí Thales đảo) hay HI P BK

(4)

Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI P BH

(5)

Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành.
+ Chứng minh BH  BK .
Ta có : VKBN : VBMN (cmt)

�

BK
BN
BM .BN

� BK 
BM MN
MN

Chứng minh tương tự câu b) ta có:

(6)

VHMB : VBMN  g-g 

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2

TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
�

BH BM
BM .BN

� BH 
BN MN
MN

(7)

Từ (6) và (7) suy ra BH  BK
Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi.
d)Gọi P , Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác
MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường

kính ND của đường tròn

 O  . Chứng minh ba điểm

D, E, K

thẳng hàng.

�
�

Ta có: NBK  BMK (cmt)

� BN là tiếp tuyến tại B của  P 
� BN  BP
o
�
Mà BN  BD (vì DBN  90 : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

nên B , P , D thằng hàng.

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
Ta có: VPBK cân tại P ( PB  PK )
�  180o  2 �
�
� BPK
PBK



(8)



�
�
�
�NB  NC sd NB  sd NC
�
OB  OC
�
� ON là đường trung trực của đoạn BC
Ta có: �

� DB  DC ( D thuộc đường thẳng ON )
�VDBC cân tại D
�  180o  2 �
�
� BDC
DBC

(9)

�
�
Từ (8) và (9) suy ra BPK  BDC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên PK P DC � PK P DQ

(10)

Chứng minh tương tự ta có: C , Q , D thẳng hàng và QK P DP (11)
Từ (10) và (11) suy ra DPKQ là hình bình hành

Mà E là trung điểm của đường chéo PQ nên E cũng là trung điểm
của đường chéo DK
� D , E , K thẳng hàng.

Câu 2. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2017-2018)
Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A ) đến trường (điểm B )
phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho
biết đoạn thẳng AB dài 762 m, góc A bằng 6�và góc B bằng 4�.

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
a) Tính chiều cao h của con dốc.
b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ trung bình
lên dốc là 4 km/h và tốc độ trung bình xuống dốc là 19 km/h .
Lời giải
a) Xét các tam giác AHC và BHC vng tại H , ta có :
tan A 

CH
CH
� AH 
AH
tan A .

tan B 

CH
CH
� BH 
BH
tan B

Suy ra:

AB  AH  BH 

CH
CH
1 �
tan A  tan B
�1

 CH . �

� CH .
tan A tan B
tan A.tan B
�tan A tan B �

AB.tan A.tan B 762.tan 6�
.tan 4�

�32m

tan A  tan B
tan 6� tan 4�
.
CH
CH
sin A 
� AC 
�306,1m  0,3061km
AC
sin A
b) Ta có:
CH
CH
sin B 
� BC 
�458, 7m  0, 4587km
BC
sin B
t , t AC , tCB
� CH 

Gọi

(giờ) lần lượt là khoảng thời gian An đi từ A đến B , A

đến C và C đến B .
t  t AC  tCB 

AC CB


�0,1h  6
4
19
phút.

Khi đó:
Vậy An đến trường vào lúc 6 giờ 6 phút.

Câu 3. (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2017-2018)
Cho tam giác ABC vng tại A . Đường trịn tâm O đường kính AB
cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I gọi H là hình chiếu
vng góc của A lên OC ; AH cắt BC tại M
�
�
a) Chứng minh: Tứ giác ACDH là nội tiếp và CHD  ABC .

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
b) Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và
�
HM là tia phân giác của góc BHD
.
c) Gọi K là trung điểm của BD chứng minh: MD.BC  MB.CD và

MB.MD  MK .MC.
d) Gọi E là giao điểm của AM và OK ; J là giao điểm của IM và

 O  ( J khác

I ).
Chứng Minh: Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm

trên

 O .
Lời giải

�
a) Ta có AHC  90�( AH  OC ).
�
ADB  90�

( góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn đường kính AB ).
Vậy � AHDC nội tiếp đường
trịn đường kính AC .
�  CHD
�
� DAC
 1

( góc nội tiếp

cùng chắn cung CD ).
1
� �
DAC
ABC 
�
2 sđ AID  2  .
Mặt khác

( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ).
Từ

�  ABC
�
 1 ;  2  � CHD
.

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
b) Ta có AHO : CAO ( g-g) vậy
Mà OA  OB vì AB

�

AO HO

CO AO .

O
đường kính đường trịn tâm   . Vậy

�

OB HO

CO OB .

Xét OHB và OBC có:
�  BOC
�
�
HOB
( chung góc O )
OB HO

CO OB

� OHB : OBC ( c-g-c).
�
�
Ta có: CDA  CHD ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường

tròn ngoại tiếp tứ giác ACDH ).

�  DAC
�
DBA
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung của

đường tròn tâm O ).
�
�
�
Mặt khác OHB : OBC � OHB  CBO  DBA .
�
�
�
�
�
�
Vậy � OHB  DHC mà OHB  BHM  DHC  DHM  90�( AH  OC ).
�
�
�
� BHM
 DHM
� HM là đường phân giác của góc BHD
.

c) Xét tam giác BHD :
HB MB
�

 *

�
Vì HM là phân giác của BHD HD MD
.

Mặt khác HM  HC � HC là đường phân giác ngoài tam giác BHD .
�

HB CB

 **
HD CD

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
CB

MB

*
** � CD  MD � CB.MD  CD.MB
Từ   và  
.
O

Gọi Q là giao điểm của AM với   vì AH  OC � CQ là tiếp tuyến
�  90�
O � CQO
của của  
.

Vậy năm điểm C ; O; A ; K ;Q nội tiếp một đường trịn đường kính CO .
O � MB.MD  MA.MQ  3
Bốn điêm B ; A ; D ;Q cùng thuộc  
.

Năm điểm C ; O; A ; K ;Q cùng thuộc một đường tròn

 O  � MC.MK  MA.MQ  4  .
Từ

 3 và  4  � MB.MD  MC.MK .

�  90� 5 
O � IJN
d) Gọi N là giao điểm của CO và  
.

Mà ta có: MI .MJ  MD.MB  MK .MC (chứng minh trên ).
�
�
�
Vậy � MCI : MKJ � MCI  MJK  MEO � MKJE nội tiếp.
�  90� 6 
� EJM

Từ

 5 và  6 

� E ; J ; N thẳng hàng.

Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (C ) tâm O
bán kính R . Hai đường cao AE và BK tam giác ABC cắt nhau tại
H (với E thuộc BC , K thuộc AC ).

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
1. Chứng minh rằng tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường
tròn.
2. Chứng minh CE.CB  CK .CA .
�
�
3. Chứng minh OCA  BAE .

4. Cho B , C cố định và A di động trên (C ) nhưng vẫn thỏa mãn điều
kiện tam giác ABC nhọn; khi đó H thuộc cung trịn (T ) cố định.

Xác định tâm I và bán kính r của đường tròn (T ) , biết R  3 cm .
Lời giải

�
�
1. Xét tứ giác ABEK có AKB  AEB  90�( vì AE  BC , BK  AC ). Hai góc

này cùng chắn cung AB nên tứ giác ABEK nội tiếp được một
đường tròn.
2. Xét hai tam giác vng ACE và BCK , chúng có chung góc C
nên
ACE : BCK

�

CE CA

� CE.CB  CK .CA
CK CB
(dpcm).

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10

2

CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
�  90� 1 �
OCA
AOC
2
3. Tam giác OAC cân tại O nên

ABC nhọn

nên

O

nằm

trong

tam

giác

(1) . Mà tam giác

ABC ,

do

đó

1
1
�
ABC  sd �
AC  �
AOC
2
2
.
1
�  90� �
BAE
ABC  90�
 �
AOC
(2) .
2
Tam giác ABE vuông tại E nên

�
�
Từ (1) và (2) � OCA  BAE (dpcm).

4. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AE với đường trịn (C) . Ta
�
�
�
�
có MBC  MAC ( cùng chắn cung MC ). Mà MAC  HBC ( cùng phụ

�
�
�
�
với ACB ) nên MBC  HBC hay BE là phân giác của HBM
.Tam giác

HBM có BE vừa là đường cao, đường phân giác góc B nên cân

tại B và BE là trung trực của HM . Gọi I là điểm đối xứng với O
qua đường thẳng BC ( O và BC cố định � I cố định). Khi đó tứ
giác HOIM là hình thang cân vì nhận BC là trục đối xứng � IH =
MO = R hay H luôn cách điểm cố định I một khoảng R không

đổi nên H thuộc đường trịn tâm I bán kính R . Do đó r = R = 3
cm.
Câu 5.
(Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018)
Cho ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ), dựng AH vng góc với BC tại
điểm H . Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu vng góc của H
trên AB, AC . Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm D .
Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

đường kính CD . Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CD , cắt
nửa đường tròn trên tại điểm E .
a. Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
�
�
b. Chứng minh EBM  DNH .

c. Chứng minh DM .DN  DB.DC .
d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE . Chứng minh
OE  DE .

Lời giải

a. Vì M , N lần lượt là hình chiếu vng góc của H trên AB , AC
��
AMH  �
ANH  90�.
�
�
Xét tứ giác AMHN có: AMH  ANH  90� 90� 180�.

Do đó tứ giác AMHN nội tiếp đường trịn.
b. Vì EB  CD (gt), AH  CD (vì AH  BC ) � EB // AH .
�  MAH
�
� EBM
(hai góc so le trong)

(1)

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

�
�
Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) � MAH  MNH (hai góc nội tiếp cùng
�
chắn MH
) (2)

�
�
�
�
Từ (1) và (2) suy ta EBM  MNH , hay EBM  DNH .
�
�
c. Ta có: DMB  AMN (hai góc đối đỉnh)

(3)

�
�

Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) � AMN  AHN (hai góc nội tiếp cùng
�
chắn AN ) (4)
�
�
AHC vng tại H có HN  AC (gt) � �
ACH  AHN
(cùng phụ với CHN )
�
�
Hay AHN  DCN (5)
�
�
Từ (3), (4) và (5) suy ra DMB  DCN .
�
�
�
Xét DMB và DCN có: NDC chung; DMB  DCN (cmt)

� DMB ∽ DCN (g.g)

�

DM DB

DC DN � DM .DN  DB.DC .

(6)

d. EDC nội tiếp đường tròn đường kính CD � EDC vng tại E .

Áp dụng hệ thức lượng trong EDC vuông tại E , EB  CD , ta có:
DE 2  DB.DC . (7)

Từ (6) và (7) suy ra DE  DM .DN
2

�

DE DN

DM DE .
DE

DN


�
Xét DEM và DNE có: EDN chung; DM DE (cmt)

�  DNE
�
� DEM ∽ DNE (c.g.c) � DEM
(2 góc tương ứng).

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2

TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
Xét

 O  có:

�  DNE
�
DEM
và tia EM nằm giữa hai tia ED và EN .

O
Do đó DE là tiếp tuyến của   � DE  OE .

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018)
Cho tam giác ABC , M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài
AM cắt BC tại P , BM cắt AC tại Q , CM cắt AB tại K . Chứng

minh: MA.MB.MC �8MP.MQ.MK .
Lời giải

MH MP
�

�
 BC  H , H �BC  � MH�AH � AH � AP (Hệ quả ĐL
Kẻ MH  BC , AH �

Talet).

1
MH .BC S
MH 2

 MBC
MP S MBC
AH � 1 AH �

.BC S ABC �
AP
S ABC .
2
Lại có
MQ S MAC MK S MAB


BQ
S
CK
S ABC .
ABC
Chứng minh tương tự, ta có
;
MP MQ MK S MBC S MAC S MAB





1

AP
BQ
CK
S
S
S
ABC
ABC
ABC
Suy ra
.

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
Đặt

x

MP y  MQ
MK
z
BQ
AP ;

CK thì x , y , z  0 và x  y  z  1 .
;

Theo đề bài: MA.MB.MC �8MP.MQ.MK

۳

MA MB MC
.
.
MP MQ MK

8

�BQ �
�AP �
�CK
�
� �  1�
�  1�
�  1��8
�MP �
�MK �
�MQ �
�1 �
�1 �
�1 �
�  1�
�  1�
�  1��8

x
y
�
�
�z �
�
�
Hay:
�

1 �1 1 1 � 1 1 1
 �   �    1 �8
xyz �xy yz xz � x y z

�

1
x y z 1 1 1

   �9
xyz
xyz
x y z

�

1
1 1 1 1

   �9

xyz xyz x y z
(do x  y  z  1 )

�

1 1 1
  �9
x y z

�1 1 1 �
�  x  y  z  �   ��9
�x y z �
� 1

x x y
y z z
   1     1 �9
y z x
z x y

�x y
� �y z
� �z x
�
� �   2 � �   2 � �   2 ��0
�
�y x
� �z y
� �x z

 x  y
�
xy

2

 y  z

yz

2

 z  x

zx

2

�0

.

(*)

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2

TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z  0 .

Dấu bằng xảy ra khi

xyz

MP MQ MK 1
1



3 , hay AP BQ CK 3 � M là trọng

tâm ABC .
Vậy MA.MB.MC �8MP.MQ.MK .
Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)
Hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại 2 điểm A, B . Gọi M là trung
điểm của OO ' . Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt
đường tròn (O) và (O ') lần lượt ở C và D .
Chứng minh rằng AC  AD .
Lời giải

K  CD tại K , khi đó ta có IA  IC , KA  KD
Kẻ OI  CD tại I , O�

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ

Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
(tính chất của bán kính vng góc với dây cung thì đi qua trung
điểm của dây cung đó).
K nên tứ giác OIKO�là hình thang.
Ta có: OI // O�
K và M là trung điểm của OO�
Mà OI // MA // O�

� A là trung điểm của IK � IA  KA

Từ đó suy ra AC  AD (đpcm).
Câu 8.

(Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)
�
Cho đường trịn (O ) đường kính AB , cung CD năm cùng phía đối
�
với AB ( D thuộc cung nhỏ BC ). Gọi E là giao điểm của AC và BD

, F là giao điểm của AD và BC .
�
AFB khi số đo cung CD
a. Tính góc �

bằng 80�
�
�
b. Tính số đo cung CD khi góc AEB  55�.

Lời giải

�
�  180�
a. sđ s�CD  80�, s�AB
.

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

�
AFB là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn 2 cung AB, CD nên

ta có:
�
�
CD
180� 80�

�  s�AB  s�
AFB

 130�
2
2
�  55�
b. AEB
.
�
AEB
là góc có đỉnh bên ngồi đường trịn chắn 2 cung AB , CD nên:

�
�
�  s�AB  s�CD � s�CD
�  s��
�  180� 2.55� 70�
AEB
AB  2.AEB
2
.

Câu 9.
(Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ). Đường tròn tâm (O ) đường kính
BC cắt AC , AB lần lượt tại D và E . H là giao điểm của BD và CE

, K là giao điểm của DE và AH , I là giao điểm của AH

và BC ,

M là trung điểm của AH . Chứng minh rằng: MD 2  MK .MI

Lời giải

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Tốn học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018

�
�
Ta có BDC , BEC là các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O nên

�  BEC
�  90�
BDC

Mà BD và CE cắt nhau tại H nên ta suy ra H là trực tâm của tam
giác ABC .
�
Suy ra AIC  90�
�
�

Ta có HDC  HIC  180�nên CDHI là tứ giác nội tiếp đường trịn đường

kính HC .
�
�
Suy ra HID  HCD (góc nội tiếp cùng chắn cung DH của đường trịn

đường kính HC ).
�
�
Hay MID  HCD

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
Tương tự, ta chứng minh được tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn
tâm M
( MA  MD  MH ).
�  MDA
�
�  EAH
�
� MAD
(vì MD  MA ) và EDH

(cùng chắn cung EH của đường tròn tâm M )
�
�
�
�
�
�
�
�
Vậy MDK  ADH  ( MDA  EDH )  90� ( MAD  EAH )  90� EAD  HCD

�  MDK
�
� MID

Xét 2 tam giác MDK và MID có:
�
M
là góc chung,
�  MDK
�
MID

� MDK ∽ MID (g.g)
�

MD MI

� MD 2  MK .MI

MK MD
(đpcm).

Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018)
(O ) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với
Từ điểm M nằm ngồi đường trịn
đường trịn (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AB

(C không trùng với A và B ). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB,

CE vng góc với MA, CF vng góc với MB (D �AB, E �MA,
F �MB ). Gọi I là giao điểm của AC và DE , K là giao điểm của

BC và DF . Chứng minh rằng

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2


TUYỂN TẬP BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO 10
CHÍNH THỨC
PHẦN 1: NĂM HỌC 2017-2018
1) Tứ giác ADCE nội tiếp một đường tròn.
2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng.

�
3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF .
4) Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB .

Lời giải

1)Chứng minh rằng Tứ giác ADCE nội tiếp một đường trịn.
�
�
�
�
Ta có AEC = ADC = 90�� AEC + ADC = 180�do đó, tứ giác ADCE nội

tiếp.
2)Chứng minh rằng Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng.
Chứng minh tương tự tứ giác BDCF nội tiếp.
Do các tứ giác ADCE , BDCF nội tiếp nên

� = F�, A
�=D
�
B
1
1
1
1

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Group: SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS, THPT

2