Chuyên đề số phức luyện thi THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (745.45 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

SỐ PHỨC LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Các kiến thức cơ bản về số phức

• Tập hợp số phức: 

• Số phức (dạng đại số) : z a bi= + ( ,a b∈ ), a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i =2 –1).

• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = ). 0

• z là số ảo ⇔ phần thực củaz bằng 0 (a = ). 0

• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

 Hai số phức bằng nhau

Cho số phức z1= +a b i và . z2 = +c d i . .

Khi đó 1 2 . .

=


= ⇔ + = + ⇔ 

=


a c
z z a b i c d i

b d (phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau)

2. Các phép toán về số phức

 Phép cộng hai số phức

Cho số phức z1= +a b i và . z2 = +c d i . .
Khi đó z1+z2 =

(

a+b i.

) (

+ +c d i.

) (

= a+ +c

) (

b+d i

)

. .

 Phép trừ hai số phức

(

) (

)

1− 2 = + . − + . = − + − . .

z z a b i c d i a c b d i

 Phép nhân hai số phức

(

) (

)

1. 2 = + . . + . = − + + . .

z z a b i c d i ac bd ad bc i

k.z=k.(a+bi)=ka+kbi

 Phép chia hai số phức

(

) (

)

1 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

. . .

. .

.
.

+ − + + − + −

= = = = = +

+ + + +

a b i c d i ac bd bc ad i

z z z z z ac bd bc ad

i

z z z z c d c d c d c d

 Mô đun của số phức z là: 2 2

z = a +b .

• . ′z z = z z ′ • ′ = ′

z
z

z z

• z − z′ ≤ +z z′ ≤ +z z′ • z − z′ ≤ −z z′ ≤ +z z′

 Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z a bi= + là z = −a bi .

• z =z; z+ = +z′ z z′; z− = − .z′ z z′; z z′=z z. ;′   =  ;
′ ′
 

z z
z z

2 2

. = +

z z a b

3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Cho cấp số nhân có cơng bội q , số hạng đầu u . 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đặt Sn = +u1 u2+ + , khi đó ... un

(

)

(

)

1 1

1
1

n

u q

S q

q

−

= ≠

− .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Thực hiện các phép tốn.
 Tìm phần thực,phần ảo.
 Số phức liên hợp .

 Tính mơ đun của số phức.

 Phương trình bậc nhất theo z ( và liên hợp của z).
 Hỏi tổng hợp về các khác niệm.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020 Cho hai số phức z1= − và 3 i z2 = − + . Phần ảo của số 1 i

phức z z là 1 2

A. 4 . B. 4i . C. − . 1 D. − . i

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn xác định phần ảo của một số phức.

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

+ Số phức z= +a bi a b

(

, ∈ 

)

có phần thực là a và phần ảo là b .

+ Cho hai số phức z= +a bi a b

(

, ∈ 

)

và z'= +c di c d

(

, ∈ 

)

, khi đó:

(

)(

) (

)

zz = a+bi c+di = ac bd− + ad+bc i.

3. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính tích của hai số phức z z . 1 2

B2: Xác định phần ảo của số phức z z . 1 2

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Ta có: z z1 2=

(

3−i

)(

− + = − + + +1 i

) (

3 1

) (

3 1

)

i= − +2 4i.

Phần ảo của số phức z z là 4 . 1 2

Bài tập tương tự và phát triển 1:

 Mức độ 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

A. 2. B.−2. C. 2i. D.−2i.

Lời giải

Chọn B

1 2 2 3 4 5 2 2

z= +z z = + − − = − − . i i i

Vậy phần thực của số phức là 2− .

Câu 2. Số phức liên hợp của số phức z= − là2 3i

A. z= +3 2i. B. z= − . 3 2i C. z= + .2 3i D. z= − + . 2 3i

Lời giải 
Chọn C

Số phức liên hợp của số phức z= − là 2 3i z= + . 2 3i

Câu 3. Phần ảo của số phức z= − + bằng7 6i

A.− .6 B. 6i . C. 6 . D. − . 6i

Lời giải

Chọn C

Cho số phức z a bi= + với ,a b∈  . Khi đó phần thực của số phức z là a và phần ảo của số
phức z là b .

Ta có z= − + . Do đó phần ảo của số phức 7 6i z là 6 .
Câu 4. Môđun của số phức z= − bằng 5 2i

A. 29 . B. 3 . C. 7 . D. 29 .

Lời giải

Chọn A

Ta có 2

( )

5 2 5 2 29

z = − i = + − = .

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z= − + có tọa độ là 4 5i

A.

(

−4;5

)

. B.

(

− − .4; 5

)

C.

(

4; 5− .

)

D.

(

5; 4− .

)

Lời giải

Chọn A

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z= − + có tọa độ là 4 5i

(

−4;5

)

Câu 6. Số phức z= −3 2i có tổng của phần thực và phần ảo là

A. − . 2 B. − .1 C. 3 . D. −2i.

Lời giải

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Theo định nghĩa số phức, phần ảo của số phức là −2, phần thực là 3 nên tổng của phần thực và
phần ảo là 1− .

Câu 7. Cho số phức z1 = + và 1 i z2 = − . Tìm phần ảo số phức liên hợp của số phức 2 3i w= + là? z1 z2

A. 2i. B. 2 . C. −2i. D. 2 .

Lời giải

Chọn D

Vì: z1= + và 1 i z2 = − nên 2 3i w= +z1 z2 ⇔ = +w

(

1 2

) (

+ −1 3

)

i= −3 2i ⇔ = +w 3 2i.

phần ảo số phức liên hợp của số phức w= + là 2.z1 z2

Câu 8. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z.

A. Phần thực là−4và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4− i .

C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4. D. Phần thực là−4và phần ảo là 3i .

Lời giải

Chọn C

Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức = +z x yi được biểu diễn bởi điểm M x y( ; ).

Điểm M trong hệ trục Oxy có hồnh độ x=3 và tung độ y= −4.
Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4.

Câu 9. Cho hai số phức z1= + và 1 2i z2 = − . Ph2 3i ần ảo của số phức w=3z1−2z2 là

A. 1 B. 11 C. 12 D. 12i

Lời giải

Chọn C

Ta có w=3z1−2z2 =3 1 2

(

+ i

) (

−2 2 3− i

)

= − +1 12i.

Vậy phần ảo của số phức w là 12.

Câu 10. Cho hai số phức z1= − và 1 3i z2 = − − . Tìm ph2 5i ần ảo b của số phức z= − . z1 z2

A. b= . 2 B. b= − . 2 C. b= − . 3 D. b= . 3

Lời giải

Chọn D

(

) (

)

1 2 1 3 2 5 3 2

z= −z z = − i − − − i = + . Vậy phần ảo của i z là: 2.

 Mức độ 2

Câu 1. Số phức z 4 3i
i

−

= có phần thực là

O x

y

4
−

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A. 3. B. −3. C. − . 4 D. 4 .

Lời giải

Chọn B

4 3

3 4

i

z i

i

−

= = − − . Vậy phần thực của z là −3.

Câu 2. Cho hai số phức z1= − và 2 4i z2 = − Ph1 3 .i ần ảo của số phức z1+i z2 bằng

A.5. B.3i. C.−5i. D.−3.

Lời giải

Chọn D

Ta có: z2 = − ⇒1 3i z2 = + ⇒1 3i i z2 =i

(

1 3+ i

)

=3i2+ = − + i 3 i

Suy ra z1+i z2 = − + − + = − − . 2 4i

(

3 i

)

1 3i

Vậy phần ảo của số phức z1+i z2 là−3.

Câu 3. Cho số phức z= −2 5i. Số phức −1

z có phần thực là

A. 7 . B. 5

− . C. 2

29. D. − . 3

Lời giải

Chọn B

(

)(

)

1 1 1 2 5 2 5 2 5

.
2 5 2 5 2 5 29 29 29

− = = = + = + = +

− − +

i i

z i

z i i i

Số phức −1

z có phần thực là 2

29.

Câu 4. Cho số phức . Tìm phần thực của số phức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Phần thực của là .

Câu 5. Cho số phức z 5 3i. Phần thực của số phứcw  1 z

 

z 2 bằng

A.22 . B.− . 22 C.33. D.−33.

(

0, ,

)

z= +a bi ab≠ a b∈  w 12
z

(

2 2

)

2ab

a b

−

(

)

2 2

2
2 2

a b
a b

(

)

2
2 2

b

a +b

(

)

2 2

2
2 2

a b
a b

−
+

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2

2 4

a b abi
w

z a bi a b abi a b a b

− −

= = = =

− +

+ − +

w

(

)

(

)

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

a b a b
a b a b a b

− = −

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lời giải

Chọn A

Ta cóz     5 3i z 5 3i

 

z 2 



5 3i



22530i9i2 1630i.

Suy ra

 

1 1 5 3 16 30 22 33

w  z z     i i  i.

Vậy phần thực của số phứcw  1 z

 

z 2 bằng 22 .

Câu 6. Số phức z thỏa mãn z+2z =12−2i có

A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2i. B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2 .

C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2− . D. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng −2i.

Lời giải

Chọn B

Đặt z= +a bi, ,

(

a b∈ 

)

Ta có: z+2z =12−2i ⇔ + +a bi 2

(

a bi−

)

=12 2− i

3 12 2

a
a bi i

b
=


⇔ − = − ⇔ 
=
 .

Câu 7. Cho số phức z biết 2
1

i
z i

i

= − +

+ . Phần ảo của số phức

z là

A. 5

2. B.

2i . C.

− . D. 5

2i
− .

Lời giải

Chọn A

Ta có 2
1
i
z i
i
= − +
+

( )

( )( )

1
2
1 1
i i
i
i i
−
= − +
+ −
1 1

2
2 2
i i

= − + + 5 1
2 2i
= − .

Suy ra 5 1
2 2

z= + i 2 6 5
2

z i

⇒ = + .

Vậy phần ảo của số phức z là 2 5

Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z2.z  6 3i. Tìm phần ảo b của số phức .z

A.b3. B.b 3. C.b3i. D.b2.

Lời giải

ChọnA

Đặt z a bi a b ;







, suy ra z  . a bi

Theo giả thiết, ta có 2





6 3 3 6 3 3 6 2

3 3

a a

a bi a bi i a bi i

b b
   
 
 
          
   
 
  .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 9. Cho hai số phức: z1 = + , 2 3i z2 = − + . Ph1 i ần ảo của số phức w=2z z1 2 bằng

A. 7. B. −5. C. − . 2 D. 5.

Lời giải 
Chọn C

1 2

2 10 2 .

w= z z = − − i

Phần ảo của số phức là 2−

Câu 10. Tìm phần ảo của số phức z= −

(

1 i

) (

2+ +1 i

)

A. 0. B. 2 . C. 4 . D. − . 4

Lời giải

Chọn A

Ta có z= −

(

1 i

) (

2+ +1 i

)

2 = − +2i 2i=0.

Phần thực của số phức là 0.

Câu 11. Cho số phức z 5 3i. Phần thực của số phức

 

w  z z bằng

A.22 . B.− . 22 C.33. D.−33.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 





2 2

5 3 5 3 5 3 25 30 9 16 30

z     i z i z   i   i i   i.

Suy raw  1 z

 

z 2    1 5 3i 16 30i2233i.

Vậy phần thực của số phứcw  1 z

 

z 2 bằng 22 .

Câu 12. Cho hai số phức z1   4 3i



1 i



3 và z2  . Phần thực của số phức 7 i w2z z1 2 bằng

A.9. B.2 . C.18. D.74.

Lời giải

Chọn C

Ta có



2 3







1 4 3 1 3 3 4 3 1 3 3 2 5

z     i i i i        i i i i.

Suy ra z z1. 2  



2 5i



7  i



9 37iz z1. 2 9 37 .i

Do đó w2 9



37i



 18 74i.

Vậy phần thực của số phức w2z z1 2 bằng 18.

Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn



12i z



5 1



i



2. Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số

phức w z iz  bằng

A.2 . B.4 . C.6. D.8.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ChọnD

Ta có

















2 5 1 10 10 1 2

1 2 5 1 4 2 .

1 2 1 2 5

i i i i

i z i z i

i i

 

        

 

Suy ra w   z iz



4 2i

 

i 42i



 2 2i.

Vậy số phức w có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 2 . Suy ra 2222  . 8

 Mức độ 3

Câu 1. Số phức z= + + +

(

1 i

) (

1 i

)

2+ + +...

(

1 i

)

2018 có phần ảo bằng

A. 21009− . 1 B. 21009+ . 1 C. 1 2− 1009. D.

(

1009

)

2 1

− +

Lời giải

Chọn D

Có

( ) ( )

( )

( ) ( )

2018

2 2018 1 1 2018

1 1 ... 1 1 . i 1 1 1

z i i i i i i

i

+ −  

= + + + + + + = + = −  + − 

(

)

(

)

( )

1009 504

2018 2 1009 1009 2 1009

1+i = 1+i  = 2i =2 . i .i=2 i

Suy ra z= −

(

1 i

)

. 2

(

1009i− =1

) (

21009− + +1

) (

1 21009

)

i. Vậy phần ảo của số phức z là 21009+ . 1

Câu 2. Cho số phức z=

(

m+ −1 2i

)(

2m+ + với m là tham số .Tổng các giá trị của m để 3 i

)

zcó phần
thực bằng 5.

A. 5

− . B. 5

2. C.

5. D.

5
− .

Lời giải

Chọn A

(

)(

)

(

)

1 2 2 3 2 5 5 3 5

z= m+ − i m+ +i ⇔z= m + m+ + − m− i.
Ta có phần thực của số phức z là 2m2+5m+ 5

Để z có phần thực bằng 5 thì 2

2 5 5 5 5

m
m m

m

=



+ + = ⇔

 = −


Vậy tổng các giá trị của m là 5
2
− .

Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn

(

z+2i

)

( )

z+ là s2 ố thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của z là một đường trịn, tâm của đường trịn đó có tọa độ là

A.

(

1; 1−

)

. B.

( )

1;1 . C.

(

−1;1

)

. D.

(

− − . 1; 1

)

Lời giải

Chọn D

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ Ta có

(

z+2i

)

( )

z+2 =

(

x+ +yi 2i

)(

x− +yi 2

)

=x+

(

y+2

) (

i   x+2

)

−yi

(

) (

)(

)

x x y y x y xy i

= + + + + + + −  .

(

z+2i

)

( )

z+ là s2 ố thuần ảo ⇔x x

(

+ +2

) (

y y+2

)

=0 ⇔

(

x+1

) (

2+ y+1

)

2 =2.

+ Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I

(

− − . 1; 1

)

Câu 4. Môđun của số phức z thỏa mãn z− = và 1 5 17

( )

z+ −z 5 .z z= b0 ằng

A. 53 . B. 34 . C. 29 và 13 . D. 29 .

Lời giải

Chọn B

Đặt z= +a bi a b R

(

; ∈

)

Ta có

( )

1 5

17 5 . 0

z

z z z z

 − =


+ − =


(

)

(

)

2 2
2 2
1 25

17.2 5 0

a b

a a b

 − + =

⇔ 
− + =


(

)

(

)

2 2
2 2

2 24 0

17.2 5 0

a b a
a a b

 + − − =

⇔ 

− + =


(

)

(

)

2 2
2 2

5 2 24 0

17.2 5 0

a b a

a a b

  + − − =
  
⇔ 
− + =


(

)

(

2 2

)

34 5 2 24 0

5 17.2

a a

a b a

+ − − =


⇔ 

+ =

 2 2

5
34
a
a b
=

⇔ 
+ =


Suy ra z = a2+b2 = 34.

Câu 5. Xét các số phức z thỏa mãn

(

z−4i z

)(

)

là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của z là một đường trịn. Tìm tọa độ tâm của đường trịn đó.

A.

(

− −1; 2 .

)

B.

(

−1; 2 .

)

C.

( )

1; 2 . D.

(

1; 2 . −

)

Lời giải

Chọn B

Gọi z= +x yi x y

(

, ∈  .

)

Ta có

(

z−4i

)

( )

z+2 =x+

(

y−4

) (

i   x+2

)

−yi = x x

(

) (

+y y− +4

) (

x+2

)(

y−4

)

i−xyi.

Theo u cầu bài tốn ta có x x

(

+ +2

) (

y y− = ⇔4

)

0 x2+y2+2x−4y= . 0

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường trịn có tâm I

(

−1; 2 ,

)

R= 5.

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn





2 1





7 8
1

i

i z i

i



   

 . Kí hiệu , a b lần lượt là phần thực và
phần ảo của số phức w  z 1 i. Tính Pa2b2.

A.13. B.5. C.25. D.7.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chọn C

Ta có





2 1





7 8





7 8 2 1





1 1

i i

i z i i z i

i i
 
        
  .

















4 7 2
4 7

2 4 7 3 2

2 2 2

i i
i

i z i z i

i i i

 



        

   .

Suy ra 1 4 3 4 16 9 25.

a

w z i i P

b

 


          


Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn z2.z  6 3i. Tìm phần ảo b của số phức .z

A.b3. B.b 3. C.b3i. D.b2.

Lời giải

ChọnA

Đặt z a bi a b ;







, suy ra z   . a bi

Theo giả thiết, ta có 2





6 3 3 6 3 3 6 2

3 3

a a

a bi a bi i a bi i

b b
   
 
 
          
   
 
  .

Vậy phần ảo b của số phức z là 3.

Câu 8. Cho số phức z a bi a b ;



 thỏa mãn



iz2



z  Tính 1 i



. Sab.

A.S 4. B.S4. C.S2. D.S 2.

Lời giải

ChọnA

Đặt z a bi a b ;



 , suy ra z a bi



  .

Ta có iz2



z  1 i



i a



bi



2



a      bi 1 i



b ai 2a   2



2b 2



i

2 2 2 2 2

b a a b a

S ab
a b a b b

       
  
  
      
       
  
  

Câu 9. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z. 10



zz



và z có phần ảo bằng ba lần phần thực?

A.0. B.1. C.2 . D.3.

Lời giải

ChọnC

Đặt z a bi a b ;



 , suy ra



z  a bi.

Từ z z. 10



zz



 



a bi a



bi



10



abi

 

 a bi



a2b2 20 .a

 

Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b3a.

 

Từ

 

1 và

 

2 , ta có

2 2
2
20
6
3
a
a b a

b
b a
  
   
 
 
   

 hoặc

0
a
b
 

 
 .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 10. Cho số phức z a bi a b ;



 thỏa





1i z



2z  3 2 .i Tính P a b.

A. 1

P . B.P . 1 C.P  . 1 D. 1

P  .

Lời giải 
ChọnC

Đặt z a bi a b ;



 , suy ra



z  a bi.

Từ



1i z



2z  3 2i  



1 i a



bi



2



abi



  3 2i



 



2 2

3 3 2 1.

3 3 3

a
a b

a b i a b i P a b

a b
b
 

  
 
 
            
 
  


 Mức độ 4

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi

( )

H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức

z thỏa mãn

z

và 16

z có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn

[ ]

0;1 . Tính diện tích S của

( )

H

A. S =32 6

(

−π

)

. B. S =16 4

(

−π

)

. C. 256. D. 64π .

Lời giải

Chọn A

Giả sử z= +x yi x y

(

, ∈ 

)

Ta có:

16 16 16

z x y
i

= + ; 16

z

x yi

− 2 2 2 2

16x 16y
i
x y x y

= +

+ + .

Vì
16

z

và 16

z có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn

[ ]

0;1 nên

2 2
2 2
0 1
16

0 1
16
16
0 1
16
0 1
x
y
x
x y
y
x y
 ≤ ≤


 ≤ ≤


 ≤ ≤
+


 ≤ ≤
+

2 2
2 2
0 16
0 16
0 16

0 16
x
y

x x y
y x y

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Suy ra

( )

H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vng cạnh 16 và hai hình trịn

( )

C1 có tâm

( )

1 8; 0

I , bán kính R1= và 8

( )

C2 có tâm I2

( )

0;8 , bán kính R2 = . 8

Gọi S′ là diện tích của đường trịn

( )

C2 .

Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: 1 2 1 2 1. .82 1.8.8

4 OEJ 4 2

S =  S′−S =  π − 

   .

Vậy diện tích S của hình

( )

H là:

2 2 1 2 1

16 .8 2. . .8 .8.8

4 2

S = −π +  π − 

  =256 64− π +32π−64 =192 32− π =32 6

(

−π

)

Câu 2. Cho số phức z= +a bi (a, b là các số thực ) thỏa mãn z z +2z i+ = . Tính giá trị của biểu 0
thức T = + . a b2

A.T =4 3− . 2 B.T = +3 2 2. C.T = −3 2 2. D.T = +4 2 3.

Lời giải

ChọnC

Đặt z= +a bi

(

a b, ∈  , suy ra

)

z = a2 +b2 .

Ta có z z +2z i+ = ⇔0

(

a bi a bi+

)

+ +2

(

a bi+

)

+ = i 0

2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0

a a b a b a b i bi i a a b a b a b i bi i

⇔ + + + + + + = ⇔ + + + + + + =

(

)

2 2

(

2 2

)

2 2 2 2

2 2 2 2

2 0
2 0

2 2 1 0

2 1 0 2 1 0

a a b

a a b a

a a b a b a b b i

b a b b b a b b


 + + = + + =
 
⇔ + + + + + + = ⇔ ⇔
+ + + =
 
  + + + =
2
0
0
2 1
2 1 0

a

b
b

b b b

b
=

=
 
⇔ ⇔ +
= −
+ + =
 
  .

2 1 2 1

2 1

1 2

2 1 1

0 0

b b

b b b

b b
b
b
b
b
+ +
 = −  = −
 
+  
= − ⇔ ⇔ ⇔ = −
+

− ≥ − ≤ <


 



Suy ra 2

3 2 2

T = +a b = − .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 3. Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− −5 3i =5, đồng thời

1 2 8

z −z = . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w= +z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy

là đường trịn có phương trình nào dưới đây?

A.

(

x−10

) (

2+ y−6

)

2 =36. B.

(

x−10

) (

2+ y−6

)

2 =16.

C.

2 2

5 3

2 2

x y

 −  + −  =

   

    . D.

2 2

5 3 9

2 2 4

x y

 −  + −  =

   

    .

Lời giải

Chọn A

Gọi A , B , M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, w. Khi đó A , B thuộc đường tròn

( ) (

) (

)

: 5 3 25

C x− + y− = và AB= z1−z2 =8.

( )

C có tâm I

( )

5;3 và bán kính R=5, gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm

của OM và IT = IA2−TA2 =3.

Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J

(

10; 6

)

và IT là đường trung bình của tam giác

OJM , do đó JM =2IT =6.

Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình

(

x−10

) (

2+ y−6

)

2 =36

Câu 4: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1= − +1 i,

2 1 2

z = + i, z3 = −2 i, z4 = −3i. Gọi S là diện tích tứ giác ABCD. TínhS.

A. 17

S = . B. 19

S = . C. 23

S= . D. 21

S = .

Lời giải

Chọn A

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

O

x
y

A

B

C

D

1 2

1
−

3
−
1
−

(

3; 2

)

AC= − ⇒



AC = , n=

( )

2;3 là véc tơ pháp tuyến của AC, phương trình AC:

(

) (

)

2 x+ +1 3 y− = ⇔1 0 2x+3y− =1 0.

Khoảng cách từ B đến AC là:

(

)

2 3.2 1 7
;

13 13

d B AC = + − = ⇒ 1

(

;

)

. 1. 13. 7 7

2 2 13 2

ABC

S∆ = d B AC AC = = .

Khoảng cách từ D đến AClà:

(

)

0 9 1 10
;

13 13

d D AC = − − = ⇒ 1.

(

;

)

. 1 10. . 13 5

2 2 13

ADC

S∆ = d D AC AC = = .

Vậy 7 5 17

2 2

ABC ADC

S =S∆ +S∆ = + = .

Câu 5: Cho số phức zcó phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn

( )

3
5

1 . 3 20

−

+ − − i = +

z i z i

i . Khi đó mơđun của số phức

2 3

w= + +z z +z có giá trị bằng

bao nhiêu?

A. 25. B. 5. C. 5. D. 1.

Lời giải

Chọn B

Ta có

( )

(

)

3 3

2 3

2−i = 2+i = +8 12i+6i + = +i 2 11 .i

( ) ( ) ( )

5 2 2

( ) ( )

2

1−i = −1 i . 1 −i  = −1 i . −2i = − +4 4 .i

Gọi = +z x yi

Khi đó

( )

3
5

1 . − 3 20

+ − − i = +

z i z i

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

(

4 4 .

) (

)

1 9
⇔ + + − +x yi i x−yi = + i

(

4 4

) (

4 5

)

1 9

⇔ x− x+ y + x+ y i= + i

4 4 1 1

4 5 9 1

− + = =

 

⇔ ⇔ ⇒

+ = =

 

x x y x

x y y z= + 1 i

Suy ra w= + + + +1

(

1 i

) (

1 i

) (

2+ +1 i

)

3 = ⇒5i w =5.

Câu 6: Cho 2z+ −1 3i = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P= − +z 1 3. z+ −1 2i ?

A. 4 2 B. 4 3 C. 2 2 D. 4

Lời giải

Chọn A

Ta có:

( )

2 2

2 1 3 1

; :

2 2 2 2

M z ∈I   x+  +y−  =

    

  .

Gọi A

( ) (

1; 0 ,B −1; 2

)

. Chú ý I A B, , thẳng hàng đồng thời ta có IA=3IB. Ta tìm max
3

MA+ MB.

Ta có: MA2+3MB2 =

(

 MI+IA

) (

2+3  MI+IB

)

(

)

2 2 2 2 2

3 4 3 2 3

MA MB MI IA IB MI IA IB

⇒ + = + + +  + 

2 2 2 2 2

3 4 3 8

MA MB MI IA IB

⇒ + = + + = . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:

(

2 2

)

(

)

3 3 1 3 4 2

MA+ MB≤ MA + MB + = .) Chọn đáp ánA.

Câu 7: Giả sử z , 1 z là hai trong các s2 ố phức thỏa mãn

(

z−6 8

)

(

+z i

)

là số thực. Biết rằng z1−z2 = 4,

giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng

A.5− 21. B. 20 4 21− . C. 20 4 22− . D. 5− 22.

Lời giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

- Giả sử z x yi= + , .

Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z , 1 z . Suy ra 2 AB= z1−z2 = . 4

- Ta có

(

z−6 8

)

(

+z i

)

=

(

x− +6

)

yi  . 8

(

−y

)

−xi =

(

8x+6y−48

)

−

(

x2+y2−6x−8y i

)

Theo giả thiết

(

z−6 8

)

(

+z i

)

là số thực nên ta suy ra x2+y2−6x−8y= . T0 ức là các điểm A ,

B thuộc đường tròn tâm , bán kính R= . 5

- Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa .

Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được 2 2 2

HI =R −HB = ; IM = HI2+HM2 = 22.
Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm , bán kính .

- Ta có , do đó nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Ta có .

- Vậy .

Câu 8: Giả sử z , 1 z là hai trong s2 ố các số phức z thỏa mãn iz+ 2− = và i 1 z1−z2 = . Giá trị lớn 2

nhất của z1 + z2 bằng

A. 4. B. 2 3. C. 3 2. D. 3.

Lời giải

Chọn A

x y∈ 

( )

C I

( )

3; 4

3 0 3 4

MA+ MB= ⇔OA+ OB= OM

     

( )

C′ I

( )

3; 4 r= 22

1 3 2 3 4 4

z + z = OA+ OB = OM = OM z1+3z2 OM

(

OM

)

min =OM0 = OI− = −r 5 22

1 3 2 min 4 0 20 4 22

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

- Ta có iz+ 2− = ⇔i 1 i z i− 2 1− = ⇔ − −1 z 1 i 2 = . 1

- Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I

( )

1; 2 , R= . 1

- Gọi M , N là điểm biểu diễn z , 1 z nên 2 MN= là đường kính. 2

- Dựng hình bình hành OMPN ta có z1+z2 =OP=2 3.

- Ta có

(

z1 + z2

)

2 ≤2

(

z12+ z2 2

)

= z1−z2 2+ z1+z22 =16⇒ z1 + z2 ≤ . 4

- Dấu bằng xảy ra khi z1 = z2 ⇔MN ⊥OI (OMPN là hình thoi).

Câu 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn

4
4

z z
z z

− +

+ + là số thực và z+ +z 2 z− = .z 4

A. 2 B. 4 C. 8 D. 6

Lời giải

Chọn C

Gọi z x yi= + với x y, ∈R.

Nếu y= ⇒0 x = ⇒ = ± . 4 x 4
Nếu y≠0

Vì

4
4

z z
z z

− +

+ + là số thực nên đặt

(

)

(

)

(

)

2
2

1 1 4 1 0

z z

k k z k z k
z z

− + = ⇔ − + + + − =

+ + .

Ta có z2 z z1. 2 c 4 x2 y2 4

a

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vì z+ +z 2 z− = ⇔z 4 x +2 y = . 4

Biểu diễn đường tròn

( )

C :x2+y2 = và đường thẳng 4 x +2 y = trên cùng hệ trục 4 Oxy.
Nhận thấy chúng cắt nhau tại 6 điểm. Vậy có tất cả 8 số phức thoả ycbt.

Câu 10: Cho các số phức z và w thỏa mãn

(

1 2

)

2 3
w

z

i z i

+ = + + . Tìm giá trị lớn nhất của

w 2 3

T = + + i .

A. 4 13 . B. 13 . C. 3 13 . D. 2 13 .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

(

1 2

)

2 3
w

z

i z i

+ = + +

(

) (

2 3

)

z
z z i

⇔ − + − =

Lấy modul hai vế:

(

) (

2 2 3

)

2
w

z
z − + z − =

đặt t z= điều kiện t > . Khi đó phương trình trở thành: 0

(

) (

2 2 3

)

2
w

t
t− + t− =

(

) (

)

2 2

2 2

2 2 3

1 5 16 13 16 13 1 8 1 1

5 13

w 13 13 13

t t t t

t t t t t

− + − − +  

⇒ = = = − + = +  −  ≥

 

w 13

⇒ ≤ .

Khi đó T = w+ +2 3i ≤ w + +2 3i ≤ 13+ 13=2 13.

Dấu bằng xảy ra khi

w 13

13
8

z

 =



=



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài tập tương tự và phát triển 2:

Nhận biết

Câu 1. Cho hai số phức z1  và 3 2i z2 1 i. Phần thực của số phức z1 bằngz2

A. 4 . B. 4i . C. 1. D. i.

Lời giải

Chọn A

Ta có: z1  z2



3 2i

 

   1 i



4 i.
Suy ra phần thực của z1 bằng 4 .z2

Câu 2. Cho hai số phức z1  và 3 i z2 1 4i. Phần ảo của số phức z z 1 2 bằng

A. −11i. B. − .11 C. 7. D. i.

Lời giải

Chọn B

Ta có: z z1 2 



3 i



14i



 7 11i.
Suy ra phần ảo của z z 1 2 bằng 11.

Câu 3. Cho hai số phức z1  và 3 i z2 1 4i. Phần ảo của số phức 1

z
z bằng

A. 1

17. B.

17i. C.

1
17

− . D. 13

17.

Lời giải

Chọn D

Ta có: 1
2

3 1 13

1 4 17 17

z i

i

z i



   

 .

Suy ra phần ảo của 1
2

z

z bằng

13
17.

Câu 4. Cho hai số phức z1  và 5 2i z2 3 4i. Phần thực của số phức z1 bằngz2

A. 2. B. 2i . C. −2. D. 8.

Lời giải 
Chọn A

Ta có: z1  z2



5 2i

 

 3 4i



 2 2i.
Suy ra phần thực của z1 bằng z2 2.

Câu 5. Cho hai số phức z1  và 3 2i z2 1 i. Phần thực của số phức z1 bằngz2

A. 1. B. 4i . C. 4. D. i.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Chọn C

Ta có: z1  z2



3 2i

 

   1 i



4 3i.
Suy ra phần thực của z1 bằng 4 .z2

Câu 6. Cho hai số phức z1  và 1 5i z2 3 i. Phần thực của số phức z1 bằngz2

A. −2. B. 4i . C. 2. D. i.

Lời giải

Chọn A

Ta có: z1  z2



1 5i

 

    3 i



2 4i.
Suy ra phần thực của z1 bằng z2 2.

Câu 7. Cho hai số phức z1   và 3 5i z2 2 4i. Phần ảo của số phức z1 z2 bằng

A. −1. B. − .9 C. 9. D. −9i.

Lời giải

Chọn B

Ta có: z1z2   



3 5i

 

 2 4i



  1 9i.

Suy ra phần ảo của z1 bằng z2 9.

Câu 8. Cho hai số phức z1  và 5 2i z2  2 3i. Phần ảo của số phức z1 bằngz2

A. 3. B. − .5 C. 5. D. 5i.

Lời giải

Chọn C

Ta có: z1z2  



5 2i

 

  2 3i



 3 5i.

Suy ra phần ảo của z1 bằng z2 5.

Câu 9. Cho hai số phức z1  và 5 2i z2  2 3i.Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 z2

bằng

A. 8. B. 5 . C. 3. D. 5i.

Lời giải

Chọn A

Ta có: z1z2  



5 2i

 

  2 3i



 3 5i.

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 z2 bằng 8.

Câu 10. Cho hai số phức z1  và 3 2i z2 5 7i. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 z2

bằng

A. − +2 5i. B. 5 . C. 7. D. 3.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Chọn D

Ta có: z1z2 



3 2i

 

 5 7i



  2 5i.

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 z2 bằng 3.

Thông hiểu

Câu 1. Cho các số phức z= +1 2 ,i w= +2 i. Số phức u=z w. có

A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i. D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.

Lời giải

Chọn A

Ta có: u= +

(

1 2i

)(

2− = + . Vậy số phức u có phần thực là i

)

4 3i 4 và phần ảo là 3.

Câu 2. Cho hai số phức z1= +1 2 ;i z2 = − 2 3i . Xác định phần ảo của số phức z1−2z2

A. 3 . B. − . 3 C. 5 . D. − . 8

Lời giải

Chọn B

(

)

1 2 2 1 2 2 2 3 3 5

z − z = + −i − i = − + i

Do đó phần ảo là 5, chon C

Câu 3. Cho hai số phức z1= −3 4 ;i z2 = −4 i. Số phức = 1

z
z

z có phần thực bằng

A. −13

17 B.

17 C. −

4
i

5 D.

9
25

Lời giải

Chọn B

(

i

)(

i

)

i

i i i

− +

−

= = = = −

− − +

3 4 4

z 3 4 16 13

z 4 (4 )(4 ) 17 17

Phần thực là 16

17.

Câu 4. Cho hai số phức z1 = − +1 3 ,i z2 = − −3 2i. Môđun của của số phức z1− z2

A. 7 B. 29 C. 29 D. 7

Lời giải

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2 2

1 2 1 3 ( 3 2 ) 2 5 1 2 2 5 29

z −z = + − − −i i = + ⇒i z −z = + = .

Câu 5. Cho z1 = +3 i, z2 = − Tính 2 i z1+z z1 2

A. 5 B. 20 C. 10 D. 10

Lời giải

Chọn B

(

)(

)

1 1 2

z +z z = + + +3 i 3 i 2− =i 10 10 0= + i 2 2
1 1 2

z z z 10 0 10

⇒ + = + =

Câu 6. Cho hai số phức z và 1 z 2 là hai nghiệm của phương trình

2 0

z + + =z . Phần thực của số phức

1 2

z  bằngz

A. 2. B. −i. C. −1. D. i.

Lời giải

Chọn C

Theo Vi-et ta có: z1z2 1.

Suy ra phần thực của z1 bằng z2 1.

Câu 7. Cho hai số phức z và 1 z 2 là hai nghiệm của phương trình 2

2 0

z + + =z . Phần ảo của số phức

1 2

z z bằng

A. 2. B. −i. C. 0. D. i.

Lời giải

Chọn C

Theo Vi-et ta có: z z1 22.

Suy ra phần ảo của z z 1 2 bằng 0.

Câu 8. Cho hai số phức z và 1 z 2 là hai nghiệm của phương trình 2

2 5 0

z + z+ = . Biểu thức 2 2

1 2

z z

bằng

A. 6. B. 6i. C. −6. D. 5.

Lời giải

Chọn C

Theo Vi-et ta có: z1z2 2;z z1 25.

Suy ra 2 2





1 2 1 2 2 1 2 6

z z  z z  z z   .

Câu 9. Cho hai số phức z và 1 z 2 là hai nghiệm của phương trình 2

2 5 0

z + z+ = . Biểu thức

1 2

1 1

z z

bằng

A. 5

− . B. 2

5. C.

2
5

− . D. 5

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Chọn C

Theo Vi-et ta có: z1z2 2;z z1 25.

Suy ra 1 2

1 2 1 2

1 1 2

. 5

z z

z z z z



    .

Câu 10. Cho hai số phức z và 1 z 2 là hai nghiệm của phương trình

2 5 0

z + z+ = . Biểu thức z12 z2 2

bằng

A. 10i. B. 2 5 . C. 10. D. 5 2.

Lời giải

Chọn C

Giải phương trình ta có: z1  1 2 ;i z2  1 2i.

Suy ra z12  z225. Vậy z12 z22=10.

Vận dụng

Câu 1. Cho số phức z= −2 3i. Phần ảo của số phức w= +

( ) (

1 i z− −2 i z

)

là

A. −2. B. −5i. C. −5. D. i.

Lời giải

Chọn C

Ta có w= +

(

1 i

)(

2 3− i

) (

− −2 i

)(

2 3− i

)

= − −2 5i.

Vậy phần ảo của số phức w là −5.

Câu 2. Cho số phức thỏa mãn

(

z− +5i 2

)(

i+2

)

=10. Phần thực của số phức z là

A. 2. B. −3i. C. −3. D. 3i.

Lời giải

Chọn A

Ta có

(

)(

)

5 2 2 10 5 2 4 2 5 2 2 3 2 3

z i i z i z i i z i z i

i

− + + = ⇔ − + = ⇔ = − + − ⇔ = + ⇒ = −

Vậy số phức z có phần thực bằng 2.

Câu 3. Phần thực của số phức

(

)

1 3 3 4
1 2

i i
z

i

+ + +

+ là

A. 4. B. 4i. C. −3. D. 3.

Lời giải

Chọn D

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

(

)

1 3 3 4 ( 8 6 ) 3 4 5 10 ( 5 10 )(1 2 ) 15 20

3 4

1 2 1 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5

i i i i i i i i

z i

i i i i i

+ + + − + + + − + − + − +

= = = = = = +

+ + + + − .

Vậy số phức

(

)

1 3 3 4
1 2

i i
z

i

+ + +

+ có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 .

Câu 4. Phần ảo của số phức z thỏa mãn z+2z =12−2i là

A. 4. B. 4i. C. 2i. D. 2.

Lời giải

Chọn D

Đặt z= +a bi, ,

(

a b∈  .

)

Ta có: z+2z =12−2i ⇔ + +a bi 2

(

a bi−

)

=12 2− i 3 12 2 4
2

a
a bi i

b

=


⇔ − = − ⇔ 

=
 .

Vậy phần ảo là 2.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn: (2 3 )− i z+ +(4 i z) = − +(1 3 )i 2. Phần ảo của z là

A. −2. B. 5. C. 2i. D. 5i.

Lời giải

Chọn B

Gọi z= + ⇒ = −a bi z a bi, ta có:

(

)(

) (

)(

)

(

)

(2 3 ) (4 ) (1 3 ) 2 3 4 8 6 3 2 4 3

3 2 4 2

2 5 .

3 5

i z i z i i a bi i a bi i a b a b i i
a b a

z i
a b b

− + + = − + ⇔ − + + + − = − ⇔ + − + = −

+ = = −

 

⇔ ⇔ ⇒ = − +

+ = =

 

Vậy phần ảo là 5.

Câu 6. Cho số phức z có z m m= ;

(

)

. Với z m≠ ; tìm phần thực của số phức 1 .

m z−

A. m . B. 1

m. C.

4m. D.

1
2m.

Lời giải

Chọn B

Gọi Re z

( )

là phần thực của số phức .z

Ta xét:

(

)(

)

1 1 1 1 2

m z m z m z z
m z m z m z m z m z m z m z z mz mz

  − + − − −

+ = + = =

−  −  − − − − + − −

(

)

− − − −  

= = = ⇒  =

−
− −

− −  

2 2 1 Re 1 1

2
2

m z z m z z

m m z m
m m z z

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn:

(

3 2+ i z

) (

+ 2−i

)

2 = +4 i. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z

là

A. 2. B. 3 . C. 1. D. 0 .

Lời giải
Chọn D

Gọi số phức = +z a bi

(

a b, ∈ 

)

Ta có

(

3 2+ i z

) (

+ 2−i

)

2 = +4 i ⇔

(

3 2+ i

)(

a+bi

)

= + −4 i

(

2−i

)

(

)

3 2 2 3 4 3 4

⇔ a− b+ a+ b i= + − +i i ⇔3a−2b+

(

2a+3b i

)

= +1 5i .

3 2 1

2 3 5

− =


⇔  + =


a b
a b

1
=

⇔  =



a

b ⇒ − =a b 0. Vậy hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là 0 .

Câu 8. Cho z z1, 2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 12

z

z ∈  và z z1− 2 =2 3.

Tính mơđun của số phức z1.

A. z =1 5. B. z =1 3. C. z1 =2. D. 1 5 .

z =

Lời giải
Chọn D

Gọi z1 = + ⇒a bi z2 = −a bi a;

(

∈; b∈

)

. Khơng mất tính tổng quát ta gọi b ≥0.

Do z z1− 2 =2 3⇒ 2bi =2 3⇒ =b 3.

Do z z1, 2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z z ∈ 1. 2 , mà

( )

1 1

2 2

2 1 2

z z z

z = z z ∈ ⇒ ∈

Ta có: 13

(

)

(

3 3 2

) (

3 2 3

)

3 2 3 0 20 2 2 1.
3

b

z a bi a ab a b b i a b b a
a b

 =

= + = − + − ∈ ⇔ − = ⇔ ⇒ =

=




Vậy z1 = a2+b2 =2.

Câu 9. Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z1= +a

(

a2−2a+2

)

i (với a là số thực thay đổi) và N

là điểm biểu diễn cho số phức z 2 biết z2− − =2 i z2− + . Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn 6 i

MN

A. 2 5 . B. 6 5

5 . C. 1. D. 5 .

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Chọn B

Giả sử N x y ta có:

( )

;

2x y 8 0

⇔ − − =

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức là đường thẳng .

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy min 6 5
5

MN = .

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A

( )

4;3 và M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

hệ thức

(

2+i z z

)

− −

(

1 2i z

)

= +1 3i . Giá trị nhỏ nhất của đoạn AM bằng

A. 3. B. 4. C. 6. D. 7.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

(

2+i z z

)

− −

(

1 2i z

)

= +1 3i ⇔ z. 2

(

+i z

)

− −

(

1 2i

)

= 10

(

) (

)

(

) (

)

. 2 1 2 10 . 2 1 2 10

z z i z z  z z 

⇔ − + + = ⇔  − + + =

( )

4 2 1

5. 5 10 0 1

z

z z z

z L

 =

⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

 .

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O

( )

0; 0 và có bán kính
1

R= .

Vậy AMmin = OA R− = − = . 5 1 4

Vận dụng cao

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn 2z− = +z m 3

(

m−1

)

i với m là tham số thực. Để tích của phần thực

và phần ảo của z là nhỏ nhất thì m bằng

A. 1

− . B. 1

− . C. 1

2. D.

1
4.

Lời giải

Chọn C

Gọi z= +a bi,

(

a b, ∈ 

)

suy ra 2z− =z 2

(

a bi+

) (

− a bi−

)

= +a 3bi.

(

) (

)

2 2 2 6 2 1 6 1

z − − =i z − + ⇔i x− + y− = x− + y+

⇒

z

2

( )

∆ : 2x y− − =8 0

(

)

(

2 2 2

)

8 2 4 10

(

)

2 6 6 5

5 5 5

a a a a a a

MN d M≥ ∆ = − − + − = − + = − + ≥

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

(

)

(

)

2 1 2 1 1

2 3 1 1 .

1 2 4 4

a m

z z m m i ab m m m m m

b m

  

− = + − ⇔ ⇒ = − = − = −  − ≥ −

= −  



Dấu "=" xảy ra 1.

m

⇔ =

Vậy khi 1
2

m= thì tích của phần thực và phần ảo của z là nhỏ nhất.

Câu 2. Cho số phức z≠1 thỏa mãn z3 = . Biểu thức 1

(

2018

)(

2018

)

1− +z z 1+ −z z bằng

A. 4. B. −3i. C. −3. D. 3i.

Lời giải

Chọn A

Ta có: z3= ⇒1 z2018 =

( )

z3 672.z2 =z2.

(

)

(

)

3 2

1 1 1 0

z = ⇔ z− z + + =z , mà z≠1 nên z2+ + = . z 1 0

Do đó,

(

2018

)(

2018

) (

)(

)

1− +z z 1+ −z z = − +1 z z 1+ −z z

(

)(

2 2

)

1 z z 2z 1 z z 2z

= + + − + + −

(

)

2 .z 2z 4z 4
= − − = = .

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn iz+ − =m i 0 (với m là tham số thực). Để phần thực , phần ảo của số

phức z là độ dài các cạnh của tam giác vng có độ dài cạnh huyền là 2 thì m bằng

A. 4. B. 1. C. − 3. D. 3 .

Lời giải

Chọn D

Ta có: iz m i 0 z m i z mi 1 z 1 mi
i

− +

+ − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + .

Do đó số phức z có phần thực là x=1 và phần ảo là y=m .

Để phần thực, phần ảo của số phức z là độ dài các cạnh của tam giác vng có độ dài cạnh

huyền là 2 thì 2 02 2 2 0 0 3

1 2 3 3

m

m m

m

m m m

> > 

 ⇔ ⇔ ⇔ =

 + =  = 

= ±


   .

Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn 4z− =7 i(1 3 )+ z . Hỏi có bao nghiêu số nguyên dương m không vượt

quá 2020 để phần ảo của số phức m

z luôn khác 0.

A. 506. B. 405. C. 504. D. 505.

Lời giải 
Chọn D

Ta có: 4 7 (1 3 ) (4 3 ) 7 7 7 1 (1 )

4 3 4 3

m m

i i

z i z i z i z z z i z i

i i

+ +

− = + ⇔ − = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇒ = +

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Nhận thấy : 2 3 4 3

(1+i) =2 ; (1i +i) = − +2 2 ; (1i +i) = +(1 i) (1+ = − +i) ( 2 2 )(1i + = − i) 4
Do đó: 4

(1+i) k = −( 4) ;k

4 1

(1+i) k+ = −( 4) (1k +i); trong đó *

k∈  .

4 2 2

(1+i) k+ = −( 4) (1k +i) = −( 4) .2 ;k i

4 3 3

(1+i) k+ = −( 4) (1k +i) = −( 4) ( 2 2 )k − + i

Suy ra phần ảo của số phức m

z bằng 0⇔m chia hết cho 4.

Mà m là số nguyên dương không vượt quá 2020 nên m∈

{

4;8;12;13;16;....; 2016; 2020

}

⇒ có
505 số

Câu 5. Cho hai số phức z , 1 z th2 ỏa mãn các điều kiện z1 = z2 = và 2 z1+2z2 = . Giá trị của 4

1 2

2z −z

là

A. 2. B. 2 6 . C. 6 2. D. 6 .

Lời giải

Chọn B

Giả sử z1= + , ( a , a bi b∈ ); z2 = + , ( c , c di d∈ ).

Theo giả thiết ta có:

1 2

2 4

z
z
z z

 =


=


 + =



(

) (

)

2 2

2 2 16

a b
c d

a c b d

 + =


⇔ + =

 + + + =



( )

(

)

(

)

( )

2 2

2 2 2 2

4 1

4 2

4 4 16 3

a b
c d

a b c d ac bd

 + =



⇔ + =


+ + + + + =



Thay

( )

1 ,

( )

2 vào

( )

3 ta được ac+bd = −1

( )

4 .

Ta có 2z1−z2 =

(

) (

)

2 2

2a c− + 2b d− = 4

(

a2+b2

) (

+ c2+d2

)

−4

(

ac bd+

)

( )

5 .

Thay

( )

1 ,

( )

2 ,

( )

4 vào

( )

5 ta có 2z1−z2 =2 6.

Câu 6. Cho hai số phức z và w khác 0 thoả mãn z+3w =5w và z−2wi = −z 2w−2wi. Phần thực

của số phức z

w bằng

A. 1. B. − . 3 C. −1. D. 3 .

Lời giải
Chọn D

Đặt z a bi,

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

5 3 5

2 2 2

z w z

w w

z wi z w wi z z

i i

w w w w

 + =  + =

 

 ⇔

 

− − −

 =  − = − −

 

 

2 2 2 2

( 3) 25 ( 3) 25 1

.
3
4 4 0

( 2) ( 2) ( 2)

a b a b a

b
a

a b a b

 + + =  + + =  =



⇔ ⇔ ⇔ = ±

− =

+ − = − + −

  



Vậy phần thực của số phức z

w bằng 1

3 2 1

2 3 5

− =


⇔  + =


a b
a b

1
=


⇔  =



a

b ⇒ − =a b 0.

Câu 7. Cho hai số phức thoả mãn , . Gọi , là các điểm biểu diễn cho và

. Biết . Tính .

A. T =18 B. T =24 3 C. T =36 2 D. T =36 3

Lời giải

Chọn D

Ta có

Gọi là điểm biểu diễn của số phức .

Khi đó ta có .

Do và nên đều suy ra và .

Vậy .

Câu 8. Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn

2 1 ( 2 )

z i a

a a i
a

−
=

− −

+ . Trên mặt phẳng tọa độ,

gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và ( 3;4)I − (khi

a thay đổi) là

A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 .

Lời giải

Chọn C

1, 2

z z z1 =6 z2 =2 M N z1

iz MON 60= ° T = z12+9z22

(

)

2 2 2

1 9 2 1 3 2 1 3 2 . 1 3 2

T = z + z = z − iz = z − iz z + iz

P 3iz2

1 3 2 . 1 3 2 .

z − iz z + iz = OM   −OP OM +OP = PM . 2OI =2PM OI.

 60

MON= ° OM =OP=6 ∆MOP PM =6 6. 3 3 3
2

OI = =

2 . 2.6.3 3 36 3

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2 2 2

2 1 ( 2 ) 2 2 2 ( )

1 1 1

z i a z a i z a i

a a i a ai i a i

a a a

− − −

= ⇔ = ⇔ =

− − − + −

+ + +

2 2 2 2

1 1 1

( ; )

1 1 1 1

a a a

z z i M

a i a a a a

⇔ = ⇔ = + ⇒

− + + + +

⇒ M thuộc đường tròn 2 2

( ) :C x +y =1 bán kính R= . Vì ( 3;4)1 I − nằm ngoài ( )C nên để

khoảng cách d giữa hai điểm M và ( 3;4)I − nhỏ nhất thì dmin =IO− = − =R 5 1 4.

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z+ − + − −2 i z 4 7i =6 2. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức P= − +z 1 i . Giá trị của tổng S M m= + là

A. 2 29 3 2

S = + . B. 5 2 2 73

2
+

. C. S =5 2+ 73. D. 73 5 2.

S = +

Lời giải

Chọn B

Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

Giả sử z= +a bi a b, ( , ∈), khi đó ta có: (a+2)2 + −(b 1)2 + (a−4)2+ −(b 7)2 =6 2 (1).

Từ đó ta có: 2 2 2 2 2 2

(a+2) + −(b 1) + (a−4) + −(b 7) ≥ (a− + −1 4 a) + − + −(b 1 7 b) =6 2.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (

[

2)(7

]

)

[ ]

(4 )( 1)

[

]

2; 4 ; 1; 7 2; 4

a b a b b a

a b a

+ − = − − = +

 

 ⇔

 ∈ − ∈  ∈ −

 

  .

Biểu thức 2 2 2

[

]

( 1) ( 1) 2 6 17, 2; 4

P= a− + +b = a + a+ a∈ = −D .

Khảo sát hàm số từ đó tìm được 5 2, 73.
2

= =

m M

Vậy 5 2 73 5 2 2 73

2 2

M + =m + = + .

Câu 10. Cho hai số phức thoả mãn , . Gọi , là các điểm biểu diễn cho và

. Biết . Tính .

A. T =18 B. T =24 3 C. T =36 2 D. T =36 3

Lời giải

Chọn D

1, 2

z z z1 =6 z2 =2 M N z1

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ta có

Gọi là điểm biểu diễn của số phức .

Khi đó ta có .

Do và nên đều suy ra và .

Vậy .

(

)

2 2 2

1 9 2 1 3 2 1 3 2 . 1 3 2

T = z + z = z − iz = z − iz z + iz

P 3iz2

1 3 2 . 1 3 2 .

 60

MON= ° OM =OP=6 ∆MOP PM =6 6. 3 3 3
2

OI = =

2 . 2.6.3 3 36 3

</div>

Chuyên đề số phức luyện thi THPT quốc gia

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Điện thoại (Zalo) 039.373.2038</b>

<b> </b>

<b>CHUYÊN ĐỀ </b>

<b>SỐ PHỨC LUYỆN THI THPT QUỐC GIA </b>

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)(

) (

) (

)

(

)(

) (

) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)

 

(

)

(

)

(