Phep the Luong Giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.14 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phép thế lượng giác

R.Alekseev, L.Kurlianchik (Kvant 2/1995)

Ta xét bài toán sau: “Giữa 7 số thực bất kỳ ln tìm được 2 số x và y sao cho 
.

3
1
1

0 





xy
y
x

”. Gọi các số đã cho là a1, a2, …, a7. Với mỗi số thực a, tồn tại số  thuộc
khoảng (-/2, /2) sao cho a = tg(). Giả sử a1 = tg(1), a2 = tg(2), …, a7 = tg(7). Trong 7
số 1, 2, …, 7 tồn tại hai số có hiệu khơng vượt quá /6 (bạn thử nghĩ xem tại sao?). Giả
sử hai số này là  và , trong đó  > . Khi đó

.
3
1
6
)

(
)
(
)
(
1

)
(
)
(

0    




   




tg
tg

Như vậy các số x = tg() và y = tg() là các số cần tìm.

Lời giải của bài tốn trở nên hiển nhiên sau khi ta chọn được một phép thế lượng giác thích
hợp. Bản chất của phép thế lượng giác nằm ở chỗ các biến số có mặt trong bài toán được xét
như giá trị của các hàm lượng giác nào đó. Trong đó các hàm số lượng giác cần được chọn
để biểu thức thu được càng gọn càng tốt. Bài viết này nói về các phép thế lượng giác.

Nếu như x2 + y2 = 1

Nếu như trong bài tốn có điều kiện x2 + y2 = 1 thì phép thế x = sin, y = cos trong nhiều
trường hợp sẽ tỏ ra hiệu quả.

Bài tốn 1. Giải hệ phương trình












1
)
1
2
(
4

2
2
2

y
xy

y
x

Ta đặt x = sin, y = cos với 0   < thì ta được sin4 = 1. Nghĩa là 4 = /2 + k2 với k 
= 0, 1, 2, 3. Từ đó có thể dễ dàng tìm ra đáp số cuối cùng

.
2

2
2
,
2

2
2












  













 















 














  

Các bạn có thể thấy phép thế này « giải quyết » bài tốn nhanh gọn như thế nào, trong khi đó
các cách giải bài tốn khơng sử dụng phép thế lượng giác phức tạp hơn nhiều.

Bài tập

1. Các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Hỏi ad + bc 
bằng bao nhiêu?

2. Trong số tất cả các nghiệm của hệ x2 + y2 = 4, z2 + t2 = 9, xt + yz = 6 hãy tìm nghiệm sao 
cho tổng x + z đạt giá trị lớn nhất.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ta chứng minh rằng nếu như x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 thì
tồn tại các góc , ,  sao cho x = tg(/2), y =

tg(/2), z = tg(/2) và  +  +  = . Thật vậy, đặt x = tg(/2), y = tg(/2), (- < ,  <).

Vì

y
x

xy
z




1 (chú ý là x + y  0) nên 







 







2
2
2

cotg  tg   

z . Bây giờ chỉ cần đặt 

=  - ( + ).

Bài toán 2. Giải hệ phương trình









































1
5
1
4
1
3

zx
yz
xy

z
z
y

y
x

x

Vì

)
1

(
5
)
1
(
4
)
1
(

3 2   2   z2 
z
y

y
x

x

nên x, y, z có cùng dấu, ngoài ra, nếu (x, y, z) là nghiệm
của hệ thì (-x, -y, -z) cũng là nghiệm. Như vậy ta chỉ cần đi tìm các nghiệm dương. Đặt x = 
tg(/2), y = tg(/2), z = tg(/2) ( 0 < , ,  <,  +  +  = ), ta được

5
sin
4

sin
3

sin  



 .

Từ định lý hàm số sin bây giờ suy ra , ,  là các góc của tam giác có độ dài các cạnh tương 
ứng là 3, 4, 5. Tam giác này là tam giác vuông có  = /2, sin = 3/5, sin = 4/5. Vì thế 
tg(/2) = 1/3, tg(/2) = 1/2, tg(/2) = 1. Như vậy đáp số của bài toán là

.
1
,
2
1
,
3
1
,
1
,
2
1
,
3
1





















Bài tập

3. Giải hệ phương trình




















2
2

1
1
1

2
1

z
z
y

y
x

x

zx
yz
xy

4. Các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
.

1
1

1
)
1
(

)
1
(
2
)
1
(

)

1
(
2
)
1
(

)
1
(
2

2
2

z
z
y

y
x

x
z

z
z
y

y
y
x

x
x















Bất đẳng thức

Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ sử dụng phép thế lượng giác để chứng minh một số dạng bất
đẳng thức

Bài toán 3. a, b, c, d là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức

)
)(

(a d b c

cd

ab    

Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
1
.

. 






 a d

d
c
b

c
c

b
b
d
a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đặt 2 2 

sin
,

sin 




 b c

b
d

a
a

(0 < ,  </2). Khi đó bất đẳng thức có thể đưa về dạng 
sin sin + cos cos  1, hay là cos( - )  1.

Như các bạn thấy ở đây phép thế lượng giác đã giúp chúng ta phá được các dấu căn thức và
đưa về dạng đơn giản hơn. Trong ví dụ dưới đây chúng ta cũng sử dụng phép thế lượng giác
để đưa bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn.

Bài toán 4. Cho a, b, c là các số dương, trong đó c là số nhỏ nhất trong chúng. Chứng minh 
các bất đẳng thức

ab
c

b
c
a
c

b
c
a

ab
b
c
a
c

2
)
)(
(
)
)(

(      












Viết lại bất đẳng thức dưới dạng

2
1

1
1

1  





































b
c
a

c
b

c
a

c
b

c
a
c

Đặt )

4
,
0
(
,
2
sin
,

sin      



b
c
a

c

, bất đẳng thức trở thành

sin2 + sin2  (sin+cos)(sin+cos) + (cos-sin)(cos-sin)  2
hay

2sin( + )cos( - )  2cos( - )  2.

Chúng ta cũng lưu ý rằng vế phải của bất đẳng thức này

ab
c

b
c
a
c

b
c

a )( ) ( )( ) 2

(      

là một hệ quả đơn giản của bài toán 3.

Bài tập 5. Cho a, b, c là các số dương, trong đó c là số nhỏ nhất. Chứng minh các bất đẳng 
thức

ab
c

b
c
c
a
c
ab
b

c
a
c








 ( ) ( )

Phương trình

Phép thế lượng giác cịn có thể được dùng để giải phương trình. Ta xem xét hai ví dụ.
Bài tốn 5. Giải phương trình

x
x

x 4 3

1 2  3 

Đặt x = cos, 0    . Ta được sin = cos3, hay cos3 - cos(/2-) = 0. Từ đó
2sin(/4 - 2)sin(+/4) = 0.

Từ đó  = /8 hoặc 5/8 hoặc 3/4.

Vì .

2
2
4

3
cos
,
2

2
2
2

)
4
/
5
cos(
1
8

5
cos
,
2

2
2

)
4
/
cos(
1
8

cos              nên

tập hợp


















2
2
,
2

2
2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

.
12
35
1

2 




x
x
x

Chú ý rằng x > 1. Đặt x = 1/sin, 0 <  < /2. Phương trình có thể viết lại thành

35
cos

1
sin






Đặt sin + cos = t thì 1 + 2sincos = t2, suy ra sincos = (t2-1)/2. Thay vào ta được

7
/
5
5

/
7
0

35
24

35
12
35
1

2 2

2         

 t t t t

t
t

Vì t = sin + cos > 0 nên ta loại nghiệm thứ hai. Xét t = 7/5 thì từ đây ta tính được
sin.cos = 12/25. Như vậy sin, cos là nghiệm của phương trình

X2 – (7/5)X + 12/25 = 0

Từ đây ta tính được sin = 3/5 hoặc sin = 4/5. Tương ứng ta được nghiệm của phương
trình là x = 5/3 và x = 5/4.

Bài tập 6. Giải phương trình 
.
1
2
2

|
|

1 2





x
x

Hệ phương trình

Phép thế lượng giác thường có ích trong phép giải các hệ phương trình hốn vị vịng quanh.
Ta xem xét một ví dụ như vậy

Bài tốn 7. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?










3
3
3

4
3

x
x
z

z
z
y

y
y
x

Ta viết lại hệ dưới dạng










x
x
z

z
z
y

y
y
x

3
4

3
3
3

Ta chứng minh rằng tất cả các số x, y, z theo trị tuyệt đối không vượt quá 1. Thật vậy, giả sử
x là số lớn nhất trong các số này và x > 1 thì ta có z = 4x3 – 3x > x. Ta đi đến mâu thuẫn.
Nếu giả sử x là số nhỏ nhất và x < - 1 thì ta cũng có z = 4x3 – 3x < x, cũng mâu thuẫn. Như
vậy -1  x, y, z  1 và ta có thể thực hiện phép thế x = cos (0    ). Khi đó z = cos3, y
= cos9, x = cos27. Bây giờ rõ ràng rằng số nghiệm của hệ phương trình ban đầu bằng số
nghiệm của phương trình cos = cos27 trên [0, ]. Dễ dàng thấy rằng số nghiệm này đúng
bằng 27 :

.
13
,...,
2
,
1
,
14
;

,...,
2
,
1
,
0
,

13   

 k k  k k



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>










,
2

2
2
2

x
x
z
z

z
z
y
y

y
y
x
x

Các dãy truy hồi

Cuối cùng ta đi đến phần cuối và cũng là phần có nội dung sâu sắc nhất trong cuộc tham

quan của chúng ta đến các phép thế lượng giác. Ta xem xét hai bài tốn khó mà có thể đưa
về các dãy truy hồi. Lời giải các hệ thức truy hồi này thu được nhờ vào các phép thế lượng
giác.

Bài toán 8. a1, a2, …, an là các số thực sao cho a1
2

+ a2
2

+ … + an
2

= 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an.

Ta xét các số C sao cho bất đẳng thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an  C(a1
2

+ a2
2

+ … + an
2

) đúng
với mọi số thực a1, a2, …, an. Số C nhỏ nhất trong các số như vậy sẽ là đáp số cần tìm. Thứ
nhất, số C cần tìm khơng vượt q 1, vì

+ a2
2

+ … + an
2

– (a1a2 + a2a3 + … + an-1an) = (1/2)(a1
2

+ (a1-a2)
2

+ … + (an-1-an)
2

+
an

2
)  0.

Ta biến đổi biểu thức C(a1
2

+ a2
2

+ … + an

) – (a1a2 + a2a3 + … + an-1an) bằng cách liên tiếp
tách bình phương đúng. Ta thu được biểu thức có dạng

2
2

1
1

1
2

3
2
2
2
2

2
1
1
1

2
1
...

1
2

n
n
n

n
n

n a p a

p
a

p
a
p
a

p
a

p  







































Dễ thấy p1 = C và

k
k

p
C
p

4
1

1  

 với mọi k = 1, 2, …, n-1. Biểu thức thu được không âm

với mọi a1, a2, …, an khi và chỉ khi tất cả các số p1, p2, …, pn khơng âm. Như vậy bài tốn
đưa về việc tìm số C sao cho tất cả các số hạng của dãy số p1, p2, …, pn đều khơng âm.
Vì 0 < C  1 nên ta có thể đặt C = cos, trong đó 0   < /2. Khi đó











2
sin
2

3
sin
2

sin
2

sin
2
sin
cos
2
cos

1
cos
4
cos
4

1
cos

2 




p
Tiếp theo









3
sin
2

4
sin
3

sin
2

2
sin
3
sin
cos
2
3
sin

2
sin
cos

3 




p .

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được rằng




k
k
pk

sin
2

)
1

sin( 

 k = 1, 2, …, n.

Như vậy p1, p2, …, pn không âm khi và chỉ khi sin, sin2, …, sin(n+1) không âm. Như
vậy

1
0





n



 và giá trị C cần tìm bằng

1
cos


n


.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1
,
1
,...,

1
,
1
,

1
2

3
1
2
1

n
n
n

x
x
x
x
x
x
x
x






 còn B là số lớn nhất trong các số này. Chứng minh rằng
giá trị lớn nhất của A bằng giá trị nhỏ nhất của B và hãy tìm giá trị này.

Đầu tiên ta xét tình huống

.
1
1
...

1
1

1
2

3
1
2
1

n
n
n

x
x
x
x

x
x
x

x        



Khi đó các số x1, x2, …, xn thoả mãn hệ thức truy hồi

k
k

x
x

x 1  1 1 , k = 1, 2, …, n-1. Hệ

thức tương tự ta đã gặp ở ví dụ trước. Hệ thức này cũng có thể giải bằng phép thế lượng giác.
Đầu tiên ta chứng minh rằng x1 < 2. Thật vậy, nếu x1 ≥ 2 thì ta lần lượt có x2 ≥ 1, x3 ≥ 1, …,
xn ≥ 1 và lúc đó đẳng thức x1 = 1/xn khơng thể xảy ra.

Bây giờ ta có thể đặt x1 = 2cos ( 0 <  < /2). Tương tự như ở bài toán trước, bằng quy
nạp dễ dàng chứng minh được rằng




k
k
xk

sin
)
1
sin( 

 (1 ≤ k ≤ n).

Vì x1 = 1/xn nên từ đây ta có




)
1
sin(

sin
cos





n
n

Từ đây sin(n+2) = 0, tức là .
2



n




Bây giờ ta chứng minh rằng giá trị lớn nhất của A và giá trị nhỏ nhất của B bằng

2
cos
2


n


.
Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức .

2
cos

2 B

n

A 



 

Giả sử tất cả các số

n
n
n

x
x
x
x
x
x
x

x , 1 , 1 ,..., 1 , 1

1
2

3
1
2
1






 đều lớn hơn

2
cos
2


n


.
Trong trường hợp này ta lần lượt có các bất đẳng thức sau

2
sin

2
)

1
(
sin
,...,

2
3
sin

2
4
sin
,

2
2
sin

2
3
sin

3
2











n
n
n
n

x

n
n
x

n
n

x n







Nhưng khi đó

2
cos
2
1




n
xn



. Mâu thuẫn.

Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức

2
cos
2




n

A  . Bất đẳng thức B

n 2 
cos

2 

chứng minh hoàn toàn tương tự.

Bài tập 8. Giả sử a1, a2, …, an là các số thực sao cho a1 = 0, a1
2

+ a2
2

+ … + an
2

= 1. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức (a1-a2)

+ (a2-a3)
2

+ … + (an-1-an)
2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

trường câu hỏi này chỉ có thể là kinh nghiệm cá nhân của bạn, được làm giàu bằng cách giải
các bài toán. Để kết thúc bài viết này chúng tôi đề xuất một số bài tập, có thể coi là “vốn ban
đầu” của các bạn.

Bài tập

9. Cho a > b > 0. Chứng minh bất đẳng thức

a
b
ab
b

a2  2  2  2  .

10. Cho a, b, c, d là các số thực dương, trong đó d là số lớn nhất. Chứng minh rằng
.

)
)(
(
)
)(
(
)
)(

(d b d c b d a d c c d a d b d3 abc

a          

11. Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
.

)
1
)(
1
)(
1
(

4
1

1 2 2 2 2 2 2

z
y

x

xyz
z

z
y

y
x

x












12. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0 ; 1]
8x(1-x2)(1-y2)(1-z2) = 1 ?

13. Giải phương trình

2
2

1
2
1

1x  x   x x

14. Dãy số hn được cho bởi

2
1
1 

h và

2
1

1 2

n
n

h

h     với mỗi n. Chứng minh rằng h1 +
h2 + … + hn < 1,03 với mọi n.

15. Tồn tại hay không tập hợp A gồm 100 số thực thỏa mãn điều kiện : Nếu x thuộc A thì 2x2
– 1 cũng thuộc A.

16. Giả sử

.
1
.
1

|
|
)

,
(

2
2

y
x

y
x
y

x










Chứng minh rằng với mọi a, b, c thực ta có (a, c) ≤ (a, b) + (b, c).

17. Dãy số xn được cho bởi .

2
1

2
,

2 1

1 n

x
x
x

x

n
n

n 






  Chứng minh rằng

a) xn ≠ 0 n ;

</div>

Phep the Luong Giac

Phép thế lượng giác

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về