Chuyên Đề Cung Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Có Lời Giải Và Đáp Án - Tài Liệu Toán - Thư Viện Học Liệu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (833.37 KB, 59 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC

LƯỢNG GIÁC

Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường trịn định
hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để
thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình
lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Cơng Phá Tốn 2. Ngồi ra, kiến thức
chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.



§1. Cung và góc lượng giác

A. Lý thuyết

1. Đơn vị đo góc và cung trịn
a. Độ

Đường trịn bán kính R có độ dài 2 R và có số đo 360° chia đường trịn thành

360 phần, 1 phần có độ dài 2

360 180

R R

 



  và có số đo 1 (góc ở tâm chắn cung

180

R


 ).

Vậy cung 1 có độ dài

180

R



; cung a có độ dài
180

a R
.

b.Radian

- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).
- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là
1 rad)

Nhận xét:

+ Cung độ dài R có số đo 1 rad.

+ Đường trịn có độ dài 2 R có số đo 2 rad.

ủ 
đề

6
ủ 
đề

6

STUDY TIP
Diện tích:

Chu vi:

STUDY TIP

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ Cung có số độ dài l có số đo 1

R

  rad.

+ Cung có số đo  rad có độ dài l.R

c. Liên hệ giữ độ và rad

360 2 (số đo đường trịn bán kính R)

180 

   rad 1 rad 180 57 17 '45''




   

1 0,0175

180 rad rad



  

Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:

Độ 30 45 60 90 120 135 150 180

Rad

6


4


3


 2

 3

 5

6




Ví dụ 1: Một đường trịn có bán kính R10cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ

dài là 5cm.

A. 1 B. 3 C. 2 D. 0,5

Lời giải

Theo cơng thức tính độ dài cung trịn l ta có: 5 0,5





10 rad

l
R

   

Đáp án D.

Ví dụ 2: Cho đường tròn



O R;



ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso
cung của đường trịn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:

A. 360 và 2 B. 360 và  C. 1080




và 6 D. 1080 và 6

Lời giải
ABCDEF là lục giác đều  360 60

AOB 

   

OA OB  AOB đều  AB OA R   Chu vi ABCDEF là 6R

 Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad

STUDY TIP
Khi viết góc theo đơn vị
radian ta khơng viết chữ
rad sau số đo góc đó.
Ví dụ: thay cho rad

STUDY TIP

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

6 rad 6.180 1080

 

 

 

Đáp án C.
2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng

a. Đường tròn định hướng

- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là
dương, chiều ngược lại là chiều âm.

- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ
là chiều âm.

b. Cung lượng giác

- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo
một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung

lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu ABÐ

c. Góc lượng giác

- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc
lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.

Kí hiệu



OA OB,



- Số đo góc lượng giác



OA OB,



là số đo của cung lượng giác ABÐ .

- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn ABÐ . Nếu OM quay theo chiều dương từ

OA tới OB tạo ra góc  thì cung ABÐ có số đo là k2



k 



.
Kí hiệu: sđ ABÐ .

Vậy:

Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB  k2



k 



Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB k2



k 



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O
bán kính R 1, cắt Ox tại A



1;0



và A ' 1;0





; cắt Oy tại B



0,1



và B' 0,1





.
Ta lấy A là điểm gốc của đường trịn đó.

e. Biểu diện cung lượng giác trên đường trịn lượng giác

- Để biểu diễn cung  , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
sđ AMÐ .

+ Nếu  2 



360



, ta chọn điểm M sao cho AOM  (theo chiều

dương).

+ Nếu  2, ta viết    k2 và ta chọn điểm M sao cho AOM  .

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc

đường tròn sao cho 

AOM  (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo AMÐ có thể

là giá trị nào sau đây?

A. 5

6


B.

6


C. 13

6



D. 11

6



Lời giải

Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và AOM  30 nên đây là góc tính theo chiều âm

AOM 

  theo chiều dương là 2 2





6 k k



       





11
2

6 k k



     

 sđ 11 2





AM   k  k 

Vì k   nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với k 2).

Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): ; 10

3 3

 

    ;

5 7

;

3 3

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A.  và  B.  và  C.  và  D.  và 

Lời giải

3


   điểm cuối là M1.

10 4

3 3

 

      điểm cuối là M3.

3 3

 

     điểm cuối là M1.

3 3

 

      điểm cuối là M4

Đáp án B
Ví dụ 3: Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của  là:

A. 7

4 k



 B. 7

4 k





 C. 7 2

4 k





 D. 7 2

4 k





Lời giải

Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là





7
2

4 k k




   .

Đáp án D.

Ví dụ 4: Cho góc lượng giác



OA OB;



có số đo bằng
12



. Trong các số sau, số
nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác



OA OB;



A. 13

12


B. 25

12



C. 49

12


D. 19

12


Lời giải

+ 13

12 12

 



  ; 49 4

12 12

 



  ;

+ 25 2

12 12

 




  ; 19 7

12 12

 



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đáp án C.

B. Các dạng toán điển hình

Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm trịn đến hàng phần nghìn).

A. 2,443 B. 1,222 C. 2,943 D. 1,412

Lời giải

Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian





70 70





1, 222





180 rad 180 rad rad

a

a       

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ Radian:
- Sau đó ấn:

Đáp án B.

Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: 5

6rad.

A. 47 44 '47 '' B. 37 33'37 '' C. 150 D. 30
Lời giải

Cách 1: Dùng công thức: .180 5 5 180

6 6

rad = rad=

a a

 

   

  

   

   

Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.

Nhập biểu thức 5.180

6 vào máy tính, sau đó ấn ta được kết quả là A.

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:

- Chuyển sang chế độ:
Sau đó ẩn:

Đáp án A.
Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho AOM 150. Tính

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A. 5



(đvdt) B. 5

6


(đvdt) C. 5

9


(đvdt) D. 5

12


(đvdt)

Lời giải

Diện tích hình trịn lượng giác là: 2

S R  (đvdt)

 150 150 360 ( )

360 150 360 210 360

AM k

AOM k

AM k

sđ

k
sđ



   



   



         





Ð
Ð

+ 150 150 5

360 12

tp

M

s Ađ    S    


+ 210 210 7

360 12

tp

M

s Ađ    S    


+ sđ AMÐ 360 hoặc 360 5

s AMđ     S 

(đvdt)

Đáp án D.

Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm M M M M1; 2; 3; 4 sao cho ngũ

giác AM M M M1 2 3 4 là ngũ giác đều, sđ AM3
Ð

là:

A. 27 B. 144 C. 60 D. 120

Lời giải

Vì AM M M M1 2 3 4 là ngũ giác đều nên

    

1 1 2 2 3 3 4 4

360
72
5

AOM M OM M OM M OM M OA   

sđ   

3 4

3 AOM AOM4 3 144

M M

A    OM  

Nếu M M M M1, 2, 3, 4 sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án khơng đổi.

Đáp án B.

Ví dụ 5: Trên đường trịn lượng giác, số tập hợp n điểm M M1, 2,...,Mn thỏa mãn

n điểm đó tạo thành một đa giác đều là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số

Lời giải

Để M M1 2...Mn là đa giác đều thì

STUDY TIP
 Tập hợp n điểm tạo

thành 1 đa giác đều trên
đường tròn lượng giác là
tập hợp các điểm M thỏa

STUDY TIP

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

    

1 2 2 3 3 4 1 1

... n n n

M OM M OM M OM M OM M OM

n





     

 Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn:





AM k k

n

sđ     

Vì  là góc bất kì nên có vơ số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D.
Ví dụ 6: Trên đường trịn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AMÐ có số đo

8,18

 . Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy?

A. I B. II C. III D. IV

Lời giải

Ta có: 8,182, 6  3  8,18 2,5

4 8,18 1,5 4

   

     

 M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm  và 3

2


)

Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AMÐ có số đo  . Với

k   ta có:

+ M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi 2 2

k    k 

+ M nằm trong góc phần tư thứ hai khi 2 2

2 k k



   

   

+ M nằm trong góc phần tư thứ ba khi 2 3 2

k  k

      

+ M nằm trong góc phần tư thứ tư khi 3 2 2 2

2 k k



   

   

Đáp án C.

Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM Ð  . Gọi

M là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

có số đo 



   



. Khi đó số đo của cung lượng giác

1
AMÐ là:

A. 2 k2 B. 2k2 C.  2k2 D.   2k2

Lời giải

Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M1 đối xứng với M

qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.
Gọi giao điểm của d với

 

O là D y 



D 0



Vì M1 đối xứng với M qua d  sđ AM sđDM1

Ð Ð

Ta có: MDÐ AD AMÐ  Ð  sđMDÐ    s DMđ Ð 1  

Lại có : AM1 AD DM 1 sđ AM1 



 



2 

Ð Ð Ð Ð

1 2 2

đ AM

s   k 

   

Đây là trường hợp với 0 90 ,  có giá trị dương. Những trường hợp khác

chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên

Đáp án A.

Ví dụ 8: Chọn điểm A



1;0



làm điểm đầu cung lượng giác trên đường trịn lượng

giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo 27

4


A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất

B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai

C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba

D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư

Lời giải

sđ 27 6 3  3

4 4 4

AM        AOM  

M

 là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.

Đáp án B.
Ví dụ 9: Một đường trịn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường trịn có số

STUDY TIP
Với đối xứng với M qua

d. d cắt tại D tung độ

không âm) và ; sđ
Thì số sđ

STUDY TIP

Với đối xứng với M qua

d. d cắt tại D tung độ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

đo
16



(tính gần đúng đến hàng phần trăm).

A. 3,92 B. 3,93 C. 24,67 D. 24,68

Lời giải

Cung có số đo 1 rad có độ dài là R20cm

Cung có số đo
16



rad có độ dài là: 3,93

16R cm



 .

Đáp án B.
Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác. Khẳng

định nào dưới đây là sai?

A. Điểm biểu diễn cung  và cung   đối xứng qua trục tung

B. Điểm biểu diễn cung  và cung  đối xứng nhau qua gốc tọa độ

C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất

D. Cung  và cung a k 2



k 



có cùng điểm biểu diễn
Lời giải

Điểm biểu diễn của cung  và cung  đối xứng nhau qua trục hồnh.

Đáp án B.

Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ



;



5 2
2

Ox Ou   m  và sđ



;







Ox Ov  n  m n  . Chọn khẳng định đúng.

A. Ou và Ov đối xứng
B. Ou và Ov vng góc

C. Ou và Ov trùng nhau

D. Ou và Ov tạo với nhau một góc

4


Lời giải

Ta có: sđ



;



5 2 2 2



1 2



2 2 2

Ox Ou   m     m    m  với m  

Vậy n m 1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 268

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M sao cho 2 2
5

AM   k 

. Khi
đó diện tích hình quạt OAM là:

A.

5


B. 2

5


C.

2
5


D. Khơng xác định.

Câu 2: Trên đường trịn lượng giác, cho 3; 1

2 2

M  

 

. Khi đó số đo cung AMÐ

là:

A. 2

3 k



 B. 2

3 k




 

C. 2

6 k




 D. 2

6 k




 

Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn 3 2

5 k




 . Khi đó gọi

', ''

M M lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi AMÐ '  k2;





'' 2 0 , 2

AM   k     

. Giá trị   là:

A. 2 B.
5


 C. 9

5


D. 7

5


Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn 7 2
5

AM   k 

điểm N thỏa mãn 13 2

AN  k 

. Gọi M' là điểm đối xứng của M qua ON.

Khi đó số đo AMÐ ' là:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây khơng thuộc đường trịn
lượng giác?

A. M



1;0



B. 5; 2 11

7 7

M  

 

C. 3 4;
5 5

M  

  D.

1 2

;
2 2

M 

 

 

Câu 6: Tính số đo của góc hình học uOv, biết góc lượng giác



Ou Ov;



có đo
bằng 1945.

A.145 B. 45 C. 145 D. 235

Câu 7: Tính số đo của góc hình học uOv, biết góc lượng giác



Ou Ov;



có đo

bằng 2550.

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Góc lượng giác



Ou Ov;



có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu

và tia cuối với nó có số đo dương

B. Góc lượng giác



Ou Ov;



có số đo dương thì mọi góc lượng giác



Ou Ov;



có số đo âm

C. Hai góc hình học uOv u Ov ; ' ' bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác



Ou Ov;



và



Ou Ov'; '



sai khác nhau bội nguyên 2

D. Số đo



;



Ou Ov   và số đo



'; '



13
6

Ou Ov   thì uOv u Ov  ' '

Câu 9: Cho đường trịn bán kính R2m. Khi đó độ dài cung có số đo 30 là:

A.

3m



B. 2

3 m



C.

6m



D. 5

6 m



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 11: Góc 120 có số đo bằng radian là:

A. 2

3


 B.

3


 C. 5

6


 D.

6



Câu 12: Đổi số đo 68
5


rad thành số đo độ ta được:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

§2. Giá trị lượng giác của một cung.

Cơng thức lượng giác

A. Lý thuyết và các dạng tốn điển hình

I. Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác

1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung AM có sđ AM  (cịn viết AM 

). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x y



;



;

x OH y OK

   .

Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α: sin  sin  y OK

+ Hoành độ x của M là cosin của góc α: cos cos  x OH

+ Với cos 0, tỉ số sin

cos


 gọi là tang của góc α:

sin

tan tan

cos


 



 

+ Với sin 0, tỉ số cos

sin


 gọi là cotang của góc α:

cos

cot cot

sin


 



 

- sin ,cos , tan , cot    gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

2. Hệ quả

a. sin ,cos  xác định với   , ta có:





sin k2 sin    k





cos  k2 cos    k

b. Vì  1 OK  1; 1 OH 1 nên ta có:
1 sin 1

  

1 cos 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

c. Với   m mà  1 m1 đều tồn tại  và  sao cho sin m và
cos m

d. tan xác định với





2 k k



 

    

cot xác định với  k



k 



e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng

AM  trên đường trịn lượng giác

Góc phần tư
Giá trị

lượng giác

I
0;

2


 

 

 

II
;
2




 

 

 

III
3
;

2



 

 

 

IV
3

; 2
2




 

 

 

cos    +

sin + +  

tan +  + 

cot +  + 

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

 0

6


4


3


 2

 3

 5

6




sin 0 1

2
2

2 1

3
2

2
2

2 0

cos 1 3

2
2

2 0

1
2

 2

 3

 1

tan 0 1

3 1 3 | |  3 1

1
3

 0

cot | | 3 1 1

3 0

1
3

 1  3 | |

4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang
a. Ý nghĩa hình học của tang

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Trục t At' gọi là trục tang.

b. Ý nghĩa hình học của cotang

Kẻ tiếp tuyến s Bs' của đường tròn lượng giác tại B.
Gọi S OM s Bs' . Khi đó cot BS.

Chú ý: tan



k



tan 



k 











cot k cot  k 

Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức Psinx với x 420 .
A. 3

2 B.

3
2

 C. 1

2 D.

1
2


Lời giải

Ta có 420 7 2

3 3

 



   

sin 420 sin 2 sin

3 3 2

P       

 

Đáp án A.

Ví dụ 2: Giá trị của cot81
4


là:

A. 2

2 B. 1 C.

2
2

 D. 1

Lời giải

Ta có: cot81 cot 20 cot 1

4 4 4

  



 

    

  .

Đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức Psinx x với x 390 là:

A. 390,5 B. 389,5 C. 13 1

6 2



 D. 13 1

6 2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Lời giải

Ta có: 390 13



  (rad)

13 13 13 13 1 13

sin sin sin 2 sin

6 6 6 6 6 6 2 6

P x x                

  .

Đáp án C.

Ví dụ 4: Cho 0

2



  . Tìm số khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(1) sin .cos  0

(2) tan 3 .sin 0

2


 

 

 

 

 

(3) tan



 3 .cot





3



1

(4) cos3 0

(5) sin 2 0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Vì 0

2



   điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất

sin 0;cos 0 sin .cos  0

      (1) đúng.

3 3

2 2 2

  

  

      (góc phần tư thứ ba)

3 3

tan 0 tan .sin 0

2 2

 

  

   

         

    (2) sai.





sin

tan 3 tan

cos


  



  





cos

cot 3 cot

sin


  



  









tan  3 .cot  3 1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

0 0 3

2 2

 

 

     (góc phần tư thứ I, II và III)

Ở góc phần tư thứ I, cos 3  0 (4) sai.

0 2   (góc phần tư thứ I, II)  sin 2  0 (5) đúng.

Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng.

Đáp án C.
II. Hệ thức lượng giác cơ bản

1. tan sin ,

cos 2 k k

 

  



 

     

 



2. cot cos





sin k k



  



   

3. sin2 cos2 1

   

4. 2 2

1 tan ,

cos 2 k k



  



 

      

 



5. 2





1 cot ,

sin k k

  



    

6. tan .cot 1

k

     

 

7. cot 1

tan 2

k

 



 

   

 

Ví dụ 1: Cho sin 4
5

  và 3

2


   . Giá trị của cos là:

A. 3

5 B.

3
5


C. 3

 D. 9

Lời giải

Ta có

2 2 2 2 4

sin cos 1 cos 1 sin 1

           

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3
cos

9 5

cos

3
25

cos

5








   

 



. Vì 3 cos 3

2 5



      .

Đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tan 2. Khi đó giá trị sin .cos  gần nhất với giá trị nào sau
đây?

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2

Lời giải

tan 2 1 tan 1 4 5

cos

 





      

2 1 2 2 4 4

cos sin 1 cos 1

5 5 5

  

       

Mặt khác ta thấy tan 2 sin

cos





  nên sin ,cos  trái dấu

4 2

sin .cos

25 5

  

   .

Đáp án B.

Ví dụ 3: Giá trị sin6x cos6x

 bằng giá trị nào sau đây?

A. 2 2

1 2sin .cos x x B. sin4xcos4xsin .cos2 x 2x

C. 6 6

1 1

tan x1 cot x1 D.

2 2

1 3sin .cos x x

Lời giải









6 6 2 2 2 2 2 2 2 2

sin xcos x sin xcos x  3sin .cosx x sin xcos x  1 3sin .cosx x

Hay sin6xcos6x



sin2 xcos2 x

 

sin4x sin .cos2x 2xcos4x



4 4 2 2

sin x cos x sin .cosx x

  



sin2x cos2x



2 2sin .cos2 x 2x sin .cos2x 2x 1 3sin .cos2x 2x

      .

STUDY TIP
+) sin6x cos6x



2 2

1 3sin xcos x

 

+) sin4x cos4x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Đáp án D.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2
2

1 sin .cos

cos
cos

a a

P a

a



  .

A. 0 B. 2 C. 1 D. 1

Lời giải

Ta có:

2 2

2
2

1 sin .cos

cos
cos

a a

P a

a



  (ĐK: cosa 0)

2 2 2 2

2
2

sin cos sin .cos

cos
cos

a a a a

a
a

 

 

2 2 2

sin

1 sin cos tan 0

cos

a

a a a a

a

       thỏa mãn cosa 0

Dấu “=” xảy ra  sina 0 cosa 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Đáp án A.

Ví dụ 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x?

A. sin2x 2 cos2x



B. 2 sin



6xcos6x



 3 sin



4xcos4x



C. tan2x cot2 x 1

 

D. 2

1
2

sin x


Lời giải

+ sin2 x 2cos2x sin2x cos2x cos2x 1 cos2x

      (loại)

+ 2 sin



6 xcos6x



 3 sin



4xcos4x





2 2





2 2



2 1 3sin .cosx x 3 1 2sin .cosx x 1

     (thỏa mãn).

Đáp án B.
STUDY TIP

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

III. Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt
1. Cung đối nhau ( và  )





sin   sin tan







 tan





cos  cos cot







 cot

2. Cung bù nhau ( và   )





sin  a sin tan



 



 tan





cos    cos cot



 



 cot

3. Cung phụ nhau ( và

2




 )

sin cos

2


 

 

 

 

  tan 2 cot



 

 

 

 

 

cos sin

2


 

 

 

 

  cot 2 tan



 

 

 

 

 

4. Cung hơn kém

2


( và
2




 )

sin cos

2


 

 

 

 

  tan 2 cot



 

 

 

 

 

cos sin

2


 

 

 

 

  cot 2 tan



 

 

 

 

 

5. Cung hơn kém  ( và   )





sin  sin tan







tan





cos   cos cot



 



cot

STUDY TIP
Cos - đối

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ 1: Giá trị cos29
3



là:

A. 3

2 B.

2 C.

3
2


D. 1

2


Lời giải

29 30 1

cos cos cos 10 cos cos

3 3 3 3 3 3 2

     



     

         

     

Đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tan 2. Giá trị của cot 3

2



 



 

  là:

A. 1

2 B. 2 C.

2


D. 2

Lời giải

Ta có: tan  2 tan







2





cot cot tan 2

2 2

 

    

   

          

   

Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn , ta được góc

, sau đó tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình

1
3
tan

Ans 

 



 

 

ta được
kết quả như trên (để chế độ Radian).

Đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức: B tan10 .tan 20 .tan 30 ...tan 80    là:

A. 1 B. 1 C. 8 D. 8

Lời giải

tan10 .tan 20 .tan 30 ...tan 80 cot 80 .cot 70 .cot 60 ...cot10

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>



 



tan10 .cot10 tan 20 .cot 20 ... tan 80 .cot 80 1.1....1. 1

B

         

Mặt khác B 0 do tan10 , tan 20 , tan 30 ,..., tan 80    đều lớn hơn 0 B1

Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho ABC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai?

A. sinBsin



A C



B. cos



B C



 cos



A2C



C. cos 3 sin 2

A B C

A

  

 D. tan 2 cot3

2 2

A B  C C



Lời giải

Vì A B C   nên sinBsin



A C



Vì A B C   nên



A2C

 

 B C



  cos



B C



 cos



A2C



Vì 3 sin 3

2 2 2

A B C  A B C

       

   

  (phụ chéo)

sin sin 2

A B C A B C

A

    

 

Vậy C sai.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

IV. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng





cos a b cos cosa b sin sina b tan





tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b



 







cos a b cos cosa bsin sina b tan





tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b



 







sin a b sin cosa bcos sina b cot





cot cot 1

cot cot

a b

a b

b a



 







sin a b sin cosa b cos sina b cot





cot cot 1

cot cot

a b

a b

b a



 



Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức sin

3 4

A  

  là:

A. 6 2

4


B. 6 2

4


C. 6 2

 

D. 6 2

 

Lời giải

3 2 1 2 6 2

sin sin cos cos sin . .

3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4

      

 

     

 

 

Đáp án A.

Ví dụ 2: Cho cos 1
3

  . Khi đó giá trị biểu thức sin cos

4 4

B      

   

là:

A. 2

3 B.

2
3


C. 2 2 1

3  3 D.

2 2 1

3 3




Lời giải

sin sin cos cos sin

4 4 4

  

  

 

  

 

 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

cos cos cos sin sin

4 4 4

  

  

 

  

 

 

Khi đó sin cos sin cos sin cos 0 1. 2 2

4 4 4 4 3 3

B            

    .

Đáp án B.

Ví dụ 3: Biểu thức Asin 3 cos không thể nhận giá trị nào sau đây?

A. 1 B. 3 C. 2 3 D. 2

Lời giải

1 3

sin 3 cos 2 sin . cos .

2 2

A        

 

2 sin .cos cos .sin 2sin

3 3 3

  

  

   

  

   

   

2 A 2

    (  )

Đáp án C.

Ví dụ 4: Cho ABC, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng?

A. sin cos cos sin sin

2 2 2 2 2

A B C B C

 

B.





2 2

tan tan

1 tan tan

A B

A B C

A B



 



C. cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

D. sin2 sin2 sin2 2sin sin sin

2 2 2 2 2 2

A B C A B C

  

Lời giải

+ sin cos cos cos cos sin sin

2 2 2 2 2 2 2 2

A  A  B C  B C B c

      

   









2 2

tan tan

1 tan tan

A B

A B A B

A B



  



STUDY TIP

Công thức biến đổi:

sin cos

a b 

2 2

2 2 sin

a
a b

a b 


  




2 2 cos

b

a b 




 



2 2 cos sin

a b  

 



sin cos 



(với cos 2a 2

a b

 

 ;

2 2
sin b

a b

 

 )

 

2 2.sin

a b  

  

STUDY TIP
Ta có thể thử A, B, C là
bộ ba số bất kì thỏa mãn

A B C   và A B C, ,

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>













tan A B tan  A B tan A B tanC

     

+ cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A

Có cot cot





cot





1 cot cot

cot cot

A B

C A B A B

A B

 

     







cot cotA B cotC cotA cotB cot cotA B 1 cot cotA B

     

Vậy D sai.

Đáp án D.
2. Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

2 2 2 2

cos 2acos a sin a2cos a1 1 2sin  a

2 tan

tan 2

1 tan

a
a

a




cot 1

cot 2

2cot

a
a

a




Hệ quả:

* Công thức hạ bậc: * Công thức nhân ba:

1 cos 2
sin

2
1 cos 2
cos

2
1 cos 2
tan

1 cos 2
1 cos 2
cot

1 cos 2

a
a

a
a
a

a
















3
3

3
2

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

3tan tan

tan 3

1 3tan

x x x

x x

x

 






* Công thức chia đôi (tính theo tan
2

a

):
Đặt

2
2

2 2 2

2 1 cos 1 2

tan tan ; cos ;sin

2 1 1 cos 1 1

a t a t t

t a t a a

t a t t

 

      

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ 1: Cho sin 5; 3

13 2



     . Khi đó giá trị biểu thức

sin 2 cos 2 tan 2 gần nhất với giá trị nào?

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2

Lời giải

Vì sin 5;

   thuộc góc phần tư thứ III nên cos 0.

Vậy cos 1 522 12 tan 5

13 13 12

      

Có:





2 tan

sin 2 cos 2 tan 2 2sin cos 1 2sin 1,508

1 tan


     



    

 .

Đáp án D.

Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A cos .cos 2 .cos 4 ...cos 2x x x nx

 ta được kết quả là:

A. sin

sin

nx

n x B.

1
1

sin 2
2 sin

n
n

x
x



 C.









sin 2

2 sin

n x



 D.

cos 2n x

Lời giải

Có .sin sin .cos .cos 2 ...cos 2 1sin 2 .cos 2 ...cos 2

n n

A x x x x x x x x

2 2

1 1

sin 2 cos 2 ...cos 2 sin 2 cos 2

2 2

n n n

n

x x x x x

 

1
1

sin 2
2 sin

n
n

x
A

x




 

Đáp án B.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Ví dụ 3: Cho cot

14 a



 . Khi đó giá trị biểu thức sin2 sin4 sin6

7 7 7

K      

là:

A. a B.

a

C.



 







2 2

3
2

4 1 3 1

a a a

a

 

 D.







 



3
2

2 2

4 1 3 1

a

a a a



 

Lời giải

Ta có:

2 2

2 1

1 2 6 1

tan sin sin ;cos

1 1

14 7 1 1 7 7 1 1

a a

a a a

a a

     

      

 









2
2
2

4 1

sin 2sin cos

7 7 7 1

a a
a

   

  



4 3

sin sin 3sin 4sin

7 7 7 7

   

  

3 2

4 6

sin sin 4sin 4sin 4sin 1 sin

7 7 7 7 7 7

      

       

 

2 2

4sin .cos 2sin cos

7 7 7 7

   

 

Khi đó:











 







2 2 2 2 2

2 2 3

2 2

4 1 4 1 3 1

2 2 2 1

sin 2cos 1 .

7 7 1 1 1

a a a a a a a

K

a

a a

        

    



   

Đáp án C.
3. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

2 2

a b a b

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

cos cos 2sin sin

2 2

a b a b

a a   tan tan sin





cos cos

a b

a b



 

sin sin 2sin cos

2 2

a b a b

a b   cot cot sin





sin sin

a b

a b



 

sin sin 2cos sin

2 2

a b a b

a b   cot cot sin





sin sin

b a

a b



 

4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng









sin cos sin sin

a b  a b  a b 









sin sin cos cos

a b  a b  a b 









cos cos cos cos

a b  a b  a b 

Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức sin sin 3 sin 5

cos cos3 cos5

a a a

A

a a a

 



  là:

A. sin 3a B. cos 3a C. tan 3a D. 1 tan 3a

Lời giải









sin sin 5 sin 3

sin sin 3 sin 5

cos cos3 cos5 cos cos5 cos3

a a a

A

a a a a a a

 

 

   









sin 3 2cos 2 1

2sin 3 cos 2 sin 3

tan 3

2cos 3 cos 2 cos3 cos 3 2cos 2 1

a a

a a a

a

a a a a a




  

  .

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x?

A. cos cos 2 cos 4

3 3

x x   x 

   

B. sin sin 2 sin 4

3 3

x x   x  

   

C. cos2 cos2 2 cos2 4

3 3

x x   x 

   

D. sin2 sin2 2 sin2 4

3 3

x x   x 

   

Lời giải

+) sin sin 2 sin 4

3 3

x x  x 

   

4 2

sin sin sin

3 3

x x   x  

       

   

2 2 2

2sin cos sin

3 3 3

x   x 

   

       

   

2 2

sin 2cos 1 0

3 3

x  

   

      

   

+) cos2 cos2 2 cos2 4

3 3

x x   x  

   

4 8

cos 2 1 cos 2 1

cos 2 1 3 3

2 2 2

x x

x

 

   

   

   

    

  

3 1 8 4

cos 2 cos 2 cos 2

2 2 3 3

3 1 4 4 4 3

2cos 2 cos cos 2

2 2 3 3 3 2

x x x

x x

 

  

    

         

   

 

    

          

   

 

+) cos cos 2 cos 4

3 3

x x  x  

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2 2 2

2cos cos cos 0

3 3 3

x   x 

   

       

   

Đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị của tổng









1 1 1

...

cos cos 2 cos 2 cos3 cos cos 1

S

a a a a na n a

   



 

  khi 1

a
n




 là:

A.

1
cos

n






B.

1
cos

n




C. 1 cos

n


 

 D. 1 cosn


 

Lời giải

Ta có:





















sin 1

sin 2 sin 3 2

.sin ...

cos .cos 2 cos 2 .cos3 cos cos 1

n a na

a a a a

S a

a a a a na n a

 

 

   

   



 

 









tan 2a tana tan 3a tan 2a ... tana n 1 tan na

       





tan n 1 a tana tan tana tana

     

tan 1 1

sin cos cos

a
S

a a

n



  

   



</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

B. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 268
Câu 1: Cho phương trình:

cos 2 4cos

3 6 2

x   x

   

   

   

    .

Nếu đặt cos

t   x

  phương trình đã cho trở thành

phương trình nào dưới đây?

A. 2

4t  8t 3 0 B. 4t2 8t 3 0
C. 2

4t 8t 5 0 D. 4t2 8t 5 0
Câu 2: Với tan 2

  , giá trị biểu thức:

2 2

3 sin 2 cos

3 cos 2 sin

A  

 




 là:

A. 3 2 2

2 3 2



 B.

3 2 2

2 3 2



 

C. 3 2 2

2 3 2



 D.

3 2 2

2 3 2




Câu 3: Cho tan  3, giá trị biểu thức:

2 3

3 3

sin cos cos

cos sin

A   

 




 là

A. 0 B. 3 1

1 3 3


 C.

3 1
1 3 3


 D. 1

Câu 4: Tính cot tan

cot tan

A  

 




 với

3 1
cos

   .

A.1 3 B.1 3 C. 2

1 3 D.

1 3

Câu 5: Cho 5sin12 cos 13. Khi đó giá trị
tan là:

A. 5

12 B.

13 C.

13 D.

13
12

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn

cos sin 1

cos 2

x a x

A

x

 



 có giá trị lớn nhất là 1?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 7: Cho

6


   . Tính giá trị:

















2 2

cos cos sin sin

sin cos sin cos

P    

   

  



   .

A. P  2 3 B. P  2 3

C. P  3 2 D. P  3 2

Câu 8: Rút gọn biểu thức:

4sin sin sin

3 3

A x   x  x

    ta được kết quả

bằng:

A.  sin x B. sin 3x C. sin x D.
sin 3x



Câu 9: Tính sin 2x2 biết:

2 2 2 2

1 1 1 1

tan xcot xsin xcos x 

A. 4

9 B.

9 C.

9 D.

16
9

Câu 10: Tổng:

2018

1 1 1 1

...

sin sin 2 sin 4 sin 2

S

a a a a

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

A. tan tan 22018
2

a

 B. cot cot 22018

a



C. tan tan 2018

a

 D. cot cot 2018

a



Câu 11: Thu gọn biểu thức:





cos cos3 cos5 ... cos 2 1

S      n  với

k

  

A. sin 2

2sin

n

 B.

sin
sin

n



C. cos 2

2cos

n

 D.

cos
cos

n



Câu 12: Cho sin 2



a b



5sinb.

Khi đó giá trị 2 tan





tan

a b
a


là:

A. 1 B. 3

3 C. 3 D. 3

Câu 13: Giả sử sin6 x cos6 x a bcos 4x

   với

a b  . Khi đó tổng a b bằng:
A. 3

8 B.

8 C. 1 D.

3
4

Câu 14: Nếu tan và tan là 2 nghiệm của phương

trình x2 px q 0

   và cot và cot là 2 nghiệm

của phương trình 2

x  rx s  thì r s. bằng:

A. pq B. 1

pq C. 2

p

q D. 2

q
p
Câu 15: Cho ABC. Tìm GTLN của biểu thức:

cos cos cos

A A B C

A. 1 B. 3

2 C. 2 D.

3
2

Câu 17: Cho ABC có

2
2

tan sin

B B

C  C . Khi đó xác

định dạng của ABC. Chọn câu trả lời đúng nhất.

A. ABC vuông B. ABC cân

C. ABC đều D. A và B đều đúng

Câu 18: Cho ABC có

cos cos sin

b c a

B C  C . Khi đó

ABC

 là:

A. tam giác vuông B. tam giác cân

C. tam giác nhọn D. tam giác tù

Câu 19: Cho ABC có:





sin sin 1

tan tan

cos cos 2

A B



 

 .

Khi đó ABC là:

A. tam giác vuông B. tam giác cân

C. tam giác nhọn D. tam giác tù

Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức Asinx 5 lần lượt là a, b. Khi đó tích a.b
là:

A. 24 B. 24 C. 0 D. 25

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

tan cot 1

A x x là:

A. 2 B. 4 C. 3 D. 1

Câu 22: Biểu thức y3sinx4 cosx đạt giá trị nhỏ

nhất khi sinx a ,cosx b . Khi đó a, b là nghiệm của
phương trình:

A. 2 7 12 0

5 25

t

t    B. 2 7 12 0

5 25

t

t   

C. 2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của Acos 2x 3 sin 2x1. Khi đó giá trị

M m là:

A. 4 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

sin sin 3

A x x là:

A. 11

4 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

cos 4cos 3

A x x là:

A. 1 B. 3 C. 0 D. 8

Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức Asin2 x 3sinx 2 . Khi đó tổng

M m là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 27: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn

2 2

9 4

x y

  .

Khi đó minP x 2y1 bằng:

A. 3 1 B.1 3 C. 4 D. 3
Câu 28: Nếu tan và tan là hai nghiệm của

phương trình x2 px q 0

   (q 1) thì tan







bằng

A.

p

q  B. 1

p
q



 C.

2
1

p
q

 D.

2
1

p
q




Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 5
sin

y x

x

 

gần với giá trị nào sau đây?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 30: Tập giá trị của hàm số cos 1
2cos

y x

x

  là:

A. 0;1
2

 

 

  B.



0;



C. 1;
2

 




  D. 0; 2 1

  

 

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị m để biểu thức

 

sin2 sin

f x  x m x m có giá trị nhỏ nhất là 5?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 32: Biểu thức sin3

A  bằng:

A. cos4
5



B. cos
5


C. 1 cos

5


 D. cos

5



Câu 33: Biểu thức A cos15 bằng:

A. 6 2

4


B. 6 2

4


C. 3 2

 D. 3 2

2


Câu 34: Cho cos15 t. Khi đó biểu thức

5 7

sin .sin

12 12

 

là:

A. t 1 t2

 B. t2

C. t 4 1 D. t 1 t2

 

Câu 35: Biểu thức Asin 5



  a



bằng:

A. sin a B. cos a

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Câu 36: Cho tan 3 và

2


 

  . Khi đó ta có:

A. cos 3 10
10

 

B. cos 10

 

C. sin 3 10

 

D. Khơng xác định góc 

Câu 37: Cho cotx 2. Khi đó giá trị biểu thức:

4 4

sin cos

x x

A

x x




 là:

A. 11

 B. 7

 C. 17

 D. 3

7


Câu 38: Rút gọn biểu thức:





cos 7 3sin cos sin

2 2

A   x    x   x x

   

ta được kết quả là:

A. 5cos x B. 3sin x

C. 2cos x D. 2sinx 4cosx

Câu 39: Rút gọn biểu thức:

6 6

3cos

sin cos

cot 1

x

A x x

x

  

 ta được kết quả là:

A. 0 B. 1 C. 1 D. cos x

Câu 40: Nếu sin 1
3

  và

2


 

  thì tan bằng:

A. 1

 B. 8

9 C.

2
4

 D. 2

Câu 41: Nếu sin 1
3

  và 0

2



  thì cos bằng:

A. 3

2 B.

9 C.

2 2

3 D.

1
3

Câu 42: Giá trị biểu thức cot 3 tan

2cot tan

G  

 





 khi

2
cos

  là:

A. 4

3 B.

4
3

 C. 19

13 D.

19
13


Câu 43: Giá trị biểu thức

3 3

8cos 2sin cos

2cos sin

a a a

A

a a

 




khi tana 2 là:

A. 3

 B. 3

2 C.

3
2

 D. 3

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m để:



sin6 cos6



sin4 cos4 12sin2 cos2

P m       

không phụ thuộc vào  ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 45: Cho 2 2 2 2

16 1 16 1

sin xcos xtan xcot x  (

x 

  ). Khi đó giá trị tan 5

x 

 



 

  là:

A. 79

 B. 79

3 C. 13 D. 13

Câu 46: Biểu thức





4 4 2

sin cos cos

2 1 cos

x x x

A

x

 



 được

rút gọn thành A cos2



 . Khi đó góc  bằng:

A. 2 B.

3


C.

4


D.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 47: Cho sin cos 1
2

a a với

2 a



  . Giá trị

của tan 2a là:

A. 3

 B. 3

7 C.

3
7

 D. 3

Câu 48: Tính giá trị biểu thức P sin4a cos4a

  biết

2
sin 2

a  .
A. 1

3 B. 1 C.

7 D.

7
9

Câu 49: Giá trị của biểu thức cos15 .cos 45 .cos 75  

là:

A. 2

10 B.

4 C.

2 D.

2
8

Câu 50: Giá trị A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60

là:

A. 4sin10

3


B. 8cos 20

3


C. 4 3

3 D. 4

Câu 51: cos10 là nghiệm của phương trình nào sau
đây?

A. x3 3x2 2 0

   B. x3 x1 0
C. 3

4x  3x 3 0 D.8x3 6x 3 0
Câu 52: Thu gọn biểu thức sin sin 3 sin 5

cos cos3 cos5

a a a

A

a a a

 



 

ta được:

A. sin 3a B. cos3a

C. tan 3a D.1 tan 3a

Câu 53: Giá trị của biểu thức:

2 2 2 2

cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180

A          là:

A. 9 B. 8 C. 1 D. 0

Câu 54: Giá trị của biểu thức:

cos 20 cos 40 ... cos160 cos180

A          là:

A. 0 B. 1 C. 9 D. 8

Câu 55: Giá trị biểu thức:

A. cos .cos 2 ...cos

2 1 2 1 2 1

n
A

n n n

  



   với n 2018

là:

A. 1

4036 B. 2018

2 C.

2 D.

1
2018

Câu 56: ABC có 2

B C   và

1 3

sin cos

B C   . Khi đó giá trị B C là:

A.

6


B.

3


C.

3


 D.

6



Câu 57: ABC có sin 2cos cos

sin 2cos cos

B A C

C B C




 . Khi đó

ABC

 là tam giác nào sau đây?

A. tam giác cân B. tam giác vuông

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III

Xem đáp án chi tiết tại trang 274

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các
cung có số đo:

(I)
7


(II) 15
7



(III) 27

7



(IV) 20

7


Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

A. Chỉ I, II B. Chỉ I, II, III

C. Chỉ I, II, IV D. Cả I, II, III, IV

Câu 2: Một đường trịn có bán kính 20cm. Độ dài
cung trịn có góc ở tâm bằng 150° là:

A. 25

3


B. 50



C. 70

3


D. Đáp án khác

Câu 3: Một cung thuộc đường tròn, cung đó có số đo
3

7


và dài 3 . Khi đó đường kính đường trịn đó là:

A. 7 B. 14 C. 7 D.14

Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là
20cm. Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là
không đổi và bằng 18km/h. Trong một thời gian bao
nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần
nhất.

A. 0,01 (s) B. 0,02 (s) C. 0,1 (s) D. 0,2 (s)

Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm. Khi đó số đo
của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp
đường trịn đó là:

A. 2π B. 3 3 C. 3

2 D.

3
3


Câu 6: Đổi số đo 5
3



sang đo độ ta được:

A. 300° B. 600° C. 150° D. 120°

Câu 7: Số đo radian của góc 15° là:

A.

6


B.

12


C.

15


D.

18


Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo



Ox Oz;



25
thì hai tia Ox và Oz:

A. vng góc với nhau B. trùng nhau

C. đối nhau D. tạo với nhau góc

4


Câu 9: Trên đường trịn định hướng gốc A cố định có
bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ 

6 5

AM  k ?

A. 10 B. 12 C. 6 D. 5

Câu 10: Trong khoảng thời gian là 5 giờ thì kim giây

của đồng hồ quay được một góc có số đo là:

A. 6480000° B. 3240000°

C. 108000° B. 54000°

Câu 11: Trên đường trịn lượng giác (gốc A) cho tam

giác vng ABC (vng tại A). Cho sđ  2

AM  k 
(k  ). Khi đó số đo cung AC có thể nhận giá trị nào?

A. 5

6


B. 7

6


 C. 5

6


 D. 11

6



Câu 12: Trên đường trịn lượng giác (gốc A) có bao
nhiêu điểm M thỏa mãn sđ 

k

AM   (k  )?

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Câu 13: Góc lượng giác



Ou Ov;



có số đo góc là
25

7


thì số đo góc hình học uOv là:

A. 11

7


B. 3

7


C. 3

7


 D. 4

7


Câu 14: Góc lượng giác



Ou Ov;



có số đo góc là
3230° thì số đo góc hình học



uOv



là:

A. 10° B. 170° C. 190° D. 120°

Câu 15: Xét góc lượng giác



OA OM;



 trong đó

;

M Ox Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để

tan ,cot  cùng dấu?

A. I và III B. I và IV

C. II và IV D. Cả I, II, III và IV

Câu 16: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
sai?

A. Với 3 tia Ou, Ov, Ow ta có sđ



Ou Ov;



+ sđ



Ov Ow;



= sđ



Ou Ow;



k2 (k  )

B. Với 3 tia Ou, Ov, Ox ta có: sđ



Ou Ov;



= sđ



Ox Ov;



- sđ



Ox Ou,



k2



k 



C. Với M là điểm trên đường tròn lượng giác



M Ox Oy ,



thì với AM  ta có sin ,cos  cùng

dấu  M thuộc góc phần tư thứ I và III.

D. Với mọi góc α làm cho tan xác định thì nó cũng

làm cho cot xác định

Câu 17: Cho điểm M thuộc đường trịn lượng giác với

AM  . Khi đó có bao nhiêu điểm N với AN 

thỏa mãn cos cos. (N không trùng với M)

A. 0 B. 1

C. 2 D. Chưa đủ dữ kiện

Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng
giác gốc A cho sđ AM   k2 ; k . Xác định vị

trí của M biết sin 1 cos2

    và

cos  1 sin  .

A. M thuộc góc phần tư thứ I

B. M thuộc góc phần tư thứ II

C. M thuộc góc phần tư thứ I và II

D. M thuộc góc phần tư thứ III

Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm

M sao cho 2





; 3

AM   k  k Z    

.
Xét các mệnh đề sau:

I. cos 0

2



 

 

 

  II. sin 2 0




 

 

 

 

III. cot 0

2



 

 

 

 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc

A với hệ trục tọa độ Oxy. Nếu sđ

AM  k

thì
hồnh độ của điểm M là:

A. 1

2 B.

2 C.

1
2

 D. 1

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức tanx5cotx

là:

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 22: Nếu tan và tan là hai nghiệm của
phương trình x2 px q 0



q0



thì giá trị

















2 2

cos sin .cos sin

P   p    q 

bằng:

A. p B. q C. 1 D. p

q

Câu 23: Giá trị của biểu thức

 

tan

f x

x

 là:

A.  B. \ 0

 

C.



0;



D.



 ;0



Câu 24: Có bao nhiêu cặp giá trị



sin ,cosx x



thỏa
mãn sin2018x cos2017x 1

  .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 25: Giá trị của biểu thức sin 3 cos 2

sin cos 2

x x

A

x x

 



 

là



a b;



. Khi đó tổng a b là:

A. 5 3 B. 5 3 C. 2 D. 2
Câu 26: Có bao nhiêu đẳng thức cho dưới đây là đồng
nhất thức?

1. cos sin 2 sin

x x x 

 

2. cos sin 2 cos

x x x 

 

3. cos sin 2 sin

x x x  

 

4. cos sin 2 sin

x x    x

 

A. 1 B. 2 C. 3 D.4

Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 2

sin 2sin 3

A x x là:

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

Câu 28: Tính









cos cos 120 cos 120 .

M          

A. 0 B. 2 C. 2 D. 1

Câu 29: Đơn giản sin



x y



cosycos



x y



siny ta
được:

A. cos x B. sin x

C. sin cos 2x y D. cos cos 2x y

Câu 30: Cho cos18 cos 78 cos. Giá trị dương

nhỏ nhất của  là:

A. 62 B. 28 C. 32 D. 42

Câu 31: ABC có cos 4;cos 5

5 13

A B . Khi đó

cos C bằng:

A. 16

65


B. 56

65 C.

65 D.

36
65

Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị



tan ;cotx x



thỏa
mãn tanxcotx10.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 33: Cho sin cos 5
4

x x . Khi đó sin cosx x có

giá trị là:

A. 1 B. 9

32 C.

16 D.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Câu 34: cos sin 1
2

x x và 0 x  thì

tan

p q

x  với cặp số nguyên p q là:

A.



4;7



B.



4;7



C.



8;14



D.



8;7



Câu 35: Cho tan cot m. Khi đó giá trị

3 3

cot tan  là:

A. 3

m  m B. m3 3m

C. 3m3 m

 D. 3m3 m

Câu 36: Kết quả rút gọn









sin tan

cot 1

A  




 

 là:

A. 2 B.1 tan 

C. 12

cos  D. 2

1
sin 

Câu 37: Cho cot 3. Khi đó

3 3

3sin 2cos

12sin 4cos

A  

 




 bằng:

A. 1

 B. 5

 C. 3

4 D.

1
4

Câu 38: Cho tancot m với m 2. Khi đó

tan cot bằng:

A. m 2 4 B. 2

m 

C. 2

m

  D.  m2 4

Câu 39: Nếu tan 22rs2

r s

 

 với  là góc nhọn và

r s  thì cos bằng:
A. r

s B.

2 2

r s
r



C. 2rs 2

r s D.

2 2

r s
r s




Câu 46: Giá trị tanxcotx bằng:

A. 2

sin 2x B.

sin 2x C.

cos 2x D.

2
cos 2x

Câu 47: Rút gọn:

1 1 1 1 1 1

cos 0

2 2 2 2 2 2 2

A    x  x

 

ta được:

A. cos
16

x

B. cos
8

x

C. cos
4

x

D. cos
2

x

Câu 48: Trong các hình quạt cùng diện tích S, hình có
chu vi nhỏ nhất là:

A.

S B.

S C. 4 S D.

S

Câu 50: Một dây cuaroa nối 2 bánh xe tâm I và J (như
hình vẽ), bán kính lần lượt là R1 và R2. Biết













8 ; 1 ; 5

IJ  cm R  cm R  cm . Khi đó chiều dài

dây là: (làm trịn đến 2 chữ số thập phân)

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 6

I. Cung và góc lượng giác
Câu 1: Đáp án A

2
5 .

2 5

AOM

S R








  (đvdt).

Câu 2: Đáp án D

Gọi AM   k2



   



Khi đó 3 cos ;

x  

1
sin
2

y  

M

 thuộc góc phần tư thứ IV

0
2




   

6 AM 6 k

 

  

    

Cách khác: Bấm máy tính thử

từng trường hợp với sin, cos các
góc.

Câu 3: Đáp án C

Vì M' đối xứng với M qua Ox

nên

' 2 2

AM  AM k    k 

Ð Ð

,
hay

3 7

' 2 2 2

5 5

AM    k    k 

7
5




  .

M đối xứng với M qua Oy nên

'' 2 2

2 9

5 5

AM BM k    k 

 

  

    

    

Ð Ð

Câu

4: Đáp

án D

Ta đưa về các góc thỏa mãn điều
kiện trong cơng thức tính nhanh.

Theo cơng thức, ta có:  AON'

(NN' là đường kính đường trịn)

12 12

 



    

 7 2 3 108

5 5

AOM  

       

Khi đó AMÐ ' 2    k360

30 108 k360 138 k360

         

Câu 5: Đáp án D



;



2 2 1

M x y  x y 

Thử các trường hợp ta thấy D
khơng thỏa mãn.

Câu 6: Đáp án A

Ta có:





1945 145 5 .360

      

Vì số đo hình học uOv luôn
dương và 0uOv 180 nên

 145

uOv   (giá trị âm hay dương

của góc lượng giá cho ta biết

chiều quay từ Ou đến Ov; cịn

về độ lớn hình học thì bằng 
(với 180 uO 180 và  là

độ lớn của góc nhỏ nhất khi quay
từ Ou đến Ov, nếu  0 thì độ

lớn là  ).

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>



2550 360 .7 30    uOv30

Có thể dùng máy tính để tìm ra
góc cần tìm. Ví dụ như ở trên, ta
nhập vào màn hình biểu thức

2550R360, ấn phím " " ta

được kết quả là 7, R 30, nghĩa

là số dư khi chia 2550 cho 360 là
30, chịn đáp án A. Nếu góc đã
cho âm thì lấy số đối của góc đó
và làm bình thường.

Trường hợp ra số dư R 180 ta

lấy 360 R được kết quả là góc

cần tìm.

Câu 8: Đáp án C
Câu 9: Đáp án A

Chu vi đường tròn là:

 

2R4 m

 Độ dài cung

 

30
4 .

260 3

l   m .

Câu 10: Đáp án C

sin
tan
cos
AM
AM
AM

Ð
Ð

Ð không xác

định

cosAM 0

 

hay hình chiếu
của M là Ox là O. Vậy hình 2 và
hình 4 có tan AMÐ không xác
định.

Câu 11: Đáp án A

120 2

120 .

180rad 3 rad




    .

Câu 12: Đáp án C

68 68

.180 2448 .

5 rad 5



   

II. Giá trị lượng giác của một
cung . Công thức lượng giác

Câu 1: Đáp án A

cos 2 4cos

3 6 2

cos 2 4cos

3 6
5
0
2
1 2cos
6
5
4cos 0
6 2

x x
x x
x

x
 
 


   
   
   
   
   
      
   
 
 
    
 
 
    
 

Đặt cos

t   x

  thì phương

trình trở thành:

2 3 2

2 4 0 4 8 3 0

t  t   t  t 

Câu 2: Đáp án A

Vì cos 0 nên chia cả tử và

mẫu cho cos2

 ta được:

2
2

3 tan 2

3 2 tan

2 3 2 2

2 2 3 2

3
2

A 






 



Cách làm chung: Nhân hoặc chia

cả tử và mẫu với một giá trị phù
hợp để xuất hiện tan ,sin , 

cos ,cot .
Thay số rồi tính.

Câu 3: Đáp án B

2 3
3 3
2 3
3
3 3

3
3

sin cos cos

cos sin

sin cos cos

cos

cos sin

cos

tan 1 3 1

1 tan 1 3 3

A   

 
  

 










 
 
 

Câu 4: Đáp án A









2 2
2
2 2
cot tan
cot tan

cot tan sin cos

cos sin

2cos 1

sin cos

4 2 3

2. 1 1 3

A  

 
   
   
 

 







  


   

Câu 5: Đáp án A









2 2

5sin 12 cos 13

sin cos 1

5sin 13 12cos

5sin 5cos 25

 
 
 
 
 


 

 


 
 







2 2

5sin 13 12cos

13 12sin 25cos 25

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

5sin 13 12cos
12
cos
13
 

 


 



5
sin
5
13 tan
12 12
cos
13








   
 



Cách làm chung: Cho sin ,cosa a

thỏa mãn một đẳng thức nhất
định, khi đó ta kết hợp với

2 2

sin acos a1 ta được hệ

phương trình 2 ẩn sin ,cosa a. Từ
đó tính được sin ,cosa a.

Câu 6: Đáp án C













 

2 2
2
2 2

cos 2 cos sin 1

sin cos 1 2 1

1 2 1

3 2 0 1

A x A x a x

a x x A A

a A A

A A a

   

    

    

   

Để giá trị lớn nhất của A là 1 thì
(1) có một nghiệm bằng 1

3 2 a 0 a 1

      thay

vào

 

1 ta được: 3A2 2A 1 0

  

3 A



   (thỏa mãn)

Vậy a 1

Câu 7: Đáp án B









2 2 cos cos sin sin

sin cos sin cos

P    

   
 












2 2cos
2 2sin
 
 
 

 
2 2cos

6 2 3

2 2sin
6
P



  


Câu 8: Đáp án B

1 2

4sin . cos 2 cos

2 3

2sin cos 2 sin

3sin 4sin sin 3

A x x

x x x


 
   
 
 
  

Câu 9: Đáp án B

Ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

2 2 2

1 1

cot tan 7

cos sin

tan 1 cot 1

1 1
9
cos sin
2 2
9
sin cos
2
9
sin cos
2
sin cos
9
8

sin 2 4sin cos

9
+
x x

x x
x x
x x
x x
x x
x x

x x x

   
   
 
  
 
 
  

Câu 10: Đáp án B

Sử dụng công thức:

2 2

cot cot

sin 2

1 tan 1 1 tan

2 2

2 tan tan 2 tan

2 2 2

x

x
x

x x

x x x

 

 

  

(cơng thức tính theo tan
2
x
)
Khi đó:
2018
2017 2018
2018

1 1 1

sin sin 2 sin 4

1
...

sin 2

cot cot cot cot 2

... cot 2 cot 2

cot cot 2

S

a a a

a
a

a a a

a a
a
a
  
 
   
  
 

Câu 11: Đáp án A





















2 sin 2sin cos 2sin cos3

2sin cos 2 1

sin 2 sin 2 sin 4

sin 4 sin 6

... sin 2 2 sin 2

sin 2
sin 2
2sin
+...+
S
n
n n
n
n
S
    
 
  
 
  



 

   
  
   

 

Câu 12: Đáp án D

Ta có:













tan cos

tan cos sin

a b ain a b a

a a b a

 















sin 2 sin

2
1

sin 2 sin

a b b

 
 
 

  
 
 





.6sin 3 2 tan

2 3

1.4sin 2 tan

b a b

a
b



   

Câu 13: Đáp án C

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>









6 6

2 2

2 2 2 2

2 2 2

sin cos

3sin cos sin cos

1 3sin cos 1 sin 2

3 1 cos 4 5 3

1 cos 4 x

4 2 8 8

5 3

;

8 8

x x

x x x x

x x x

x
a b

 
 
   

 
    
 
  

Câu 14: Đáp án C

Theo hệ thức Vi – et ta có:









2 2

tan tan ; tan .tan ;

cot cot ;cot .cot

. cot .cot cot cot

1 1 1

tan .tan tan tan

1 tan tan

tan .tan tan .tan

tan tan
tan .tan
p q
r s
r s
p

q
   
   
   
   
 
   
 
 
  
  
  
 
   
 



 

Câu 15: Đáp án B

Ta có:

















1
sin sin
2
1 1

cos cos
2 2

1 1 1

cos

2 4 2

1
cos

B C

B C B C

B C
B C

   
   
  

Mà 0 B C  

3 3

B C

A B C

 



    
    

Câu 16: Đáp án B









cos cos cos

cos cos .1

cos cos sin sin

A B C

A B

A B A B

 
 
 













2 2
2 2

cos cos .1 sin sin

cos cos
1

cos cos 1

2
1

sin sin cos cos

A B A B

A B

A B A B

  

 
  
 
  

(bất đẳng thức AM GM ) 3

2

Dấu " " xảy ra

cos cos 1

sin sin
A B
A B
 

 








A B  t m

  

Chú ý: Thông thường biểu thức

trong tam giác đạt một giá trị lớn
nhất (hay nhỏ nhất) với 3 góc A,

B, C có vai trị như nhau khi 3 góc

đo bằng nhau.
Ví dụ:



sin sin sin



max 3 3

A B C 

ABC

  đều



tanAtanBtanC



min 3 3

ABC

  đều





max

1
cos .cos .cos

A B C 

ABC

  đều

Câu 17: Đáp án D

2
2

tan sin cos

sin sco sin

sin cos sin

B B C

C C B

B C B

C B C


 
cos sin
cos sin
C B
B C
 

(vì sin ,sinB C 0)

cos .sin cos .sin

sin 2 sin 2

2 2

C C B B

B C

B C

B C

B C B C

B C
A



 
 



 
  

   







 


Suy ra, ABC cân tại A hoặc
ABC

 vuông tại A.

Câu 18: Đáp án A

Hệ thức lượng trong tam giác
vuông:





sin sin sin

2 sin 2 sin ;

2 sin ; 2 sin

a b c

R

A B C

a R A R B C

b R B c R C

  

   

 

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>





















2 sin

2 sin 2 sin

cos cos sin sin

sin

sin sin

cos cos sin sin

sin cos sin cos

cos cos
sin

sin sin

cos cos sin sin

cos cos sin sin 0

cos

R B C

R B R C

B C B C

B C

B C

B C B C

B C C B

B C

B C

B C

B C B C

B C B C


 

  




 

 
 
  







2 2

B C

B C  A 

 

    

ABC

  vuông tại A.

Câu 19: Đáp án B

tan tan

sin cos sin cos

cos cos

sin sin

cos cos

A B

A B B A

A B
A B
A B






Giả thiết sin





2cot

cos cos 2

A B C

A B



 

2sin cos 2cos

2 2 2

cos cos sin

C C C

C

A B

 

sin cos cos

1 cos 2 cos cos

C

A B

C A B

 

  





1 cos A B 2cos cosA B

   





1 cos cos sin sin

cos cos

cos cos sin sin 1

cos

A B A B

A B

A B A B

A B A B

  

  

   

ABC

  cân tại C

Chú ý: Một số hệ thức trong tam

giác cân:





tan tan tan

2 tan tan tan tan

2sin sin
cot
2 sin
sin
2cos

sin
A B

a A b B a b

B C B C

C A B

C
B
A
C

  
 



Câu 20: Đáp án A

Ta có:

1 sin 1 6 sin 5 4

4 sin 5 6

4; 6 24

x x

x

a b ab

       

   

    

Câu 21: Đáp án D

Ta có:

tanxcotx tanx  cotx

(vì tan ,cotx x cùng dấu)

2 tan .cotx x 2

 

(Bđt AM-GM)
Dấu " " xảy ra

tan cot

tan cot 1

tan .cot 1

x x
x x
x x
 

  





Khi đó tan cot 2

tan cot 2

x x
x x
 

  


tan cot 1 3

tan cot 1 1

x x
x x
x x
  

    

   

Dấu " " xảy ra
tanx cotx 1

  

Câu 22: Đáp án A

Gọi góc  thỏa mãn

3 4

cos ;sin .

5 5
   
Khi đó

 









 

2 2
min
2 2

5 sin cos cos sin

5 5

3sin 4cos 5

sin cos 1

5 4cos

sin 1

sin cos 1 2

=5sin

f x x x

x y
x x
f x
x x

x
x
x x
 

 
    
 

 
 

 



 
  


Thế (1) vào (2), giải hệ ta có
nghiệm:
3 4
sin ;cos
5 5
7 12
;
5 25
x x

a b ab

 

 

   

 a, b là nghiệm của phương

trình 2 7 12 0

5 25

t

t   

Cách khác: Áp dụng bđt

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>







 



2 2 2 2

3sin 4cos

3 4 sin cos 25

5 3sin 4cos .

x x
x x
x x

   
    

Dấu " " xảy ra

2 2

sin cos

3 4

sin cos 1

x x
x x



 
  


 

3
sin
5 max
4
cos
5
3
sin
5 min
4
cos
5
x
f x
x
x
f x
x
 

 
 
  
 
 

 


 




 

 

3 4
;
5 5
a b
  

Tổng quát: Hàm số





sin cos ,

y a x b x a b 

ln có y2 a2 b2

 

Dấu " " xảy ra sinx cosx

a b

 

Câu 23: Đáp án B

Ta có:

 

cos 2x 3 sin 2x  1  3 2

Dấu " " xảy ra

sin 2
cos 2
3
x
x
 


2 cos 2 3 sin 2 2

3 cos 2 3 sin 2 1 1

0 cos 2 3 sin 2 1 3

3; 0 3

x x

M m M n

    

    

     

Nhận xét: Với biểu thức trong dấu

giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là
hai số thực khác nhau:

- Nếu a A b ab  ; 0 thì

0 A a nếu a  b hoặc

b  A a nếu a  b .

- Nếu a A b ab  ; 0thì nếu

a  b hoặc 0 A b nếu

a  b.

- Nếu 1 trong 2 số bằng 0, giả sử

a  khi đó 0 A b

Câu 24: Đáp án A

Ta có:

sin sin 3

1 11 11

sin

2 4 4

1 sin 1

x x
x

x
 
 
    
 
   

Dấu " " xảy ra





sin /

x t m

 

Câu 25: Đáp án C

Cách làm sai:





cos 4cos 3

cos 2 1 1

x x

x

 

   

Dấu " " xảy ra  cosx2

(sai)
Cách giải:
Đặt cos x t .

Khi đó A t2 4t 3

  

(với   1 t 1)

Ta có A 



t 2



21 mặt khác,
1 t 1

   nên



t  2



21.

Do đó A 0

Vậy Amin 0

* Cách tính giá trị max, min của

các hàm số bậc 2 ẩn sin x (hoặc

cos x) dạng 2

at bt c

(a0;tsinx hoặc

cos 1) :

t  x t 

- Nếu 1 1

b
a



   :

+ a  0 min của hàm số đạt tại

b
t

a

 , max của hàm số đạt tại

1 trong 2 đầu mút, đầu mút nào
gần với

b
a

 hơn thì hàm số đạt

max tại đó.

+ a  0 max của hàm số đạt tại
2

b
t

a

 , min của hàm số đạt tại 1

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

với
2

b
a

 hơn thì hàm số đạt min

tại đó.

-Nếu 1

b
a



  2 giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất nằm ở 2 đầu mút, đầu
mứt nào làm cho hàm số lớn hơn
thì đạt max, cịn lại là min. Ví dụ
ở câu 15, min của hàm số đạt tại

1
sin

x  , khi đó 1 cách giá trị

2 xa hơn  max của hàm số đạt

tại 1, khi đó maxA 5. Cịn ở

câu 16. 4 2 1

2   , khi đó max,
min của A đạt được khi

min

cosx1;A  0 cosx1
Câu 26: Đáp án D

Xét hàm số y sin2 x 3sinx 2

  

có 1,5 1

b
a

   .

Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất,
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
khi sinx1;sinx1.

Với sinx 1 y4

Với sinx 1 y2

4 y 2 0 y 4

      

4; 0 4

M m M m

     

Câu 27: Đáp án C

Ta có:

2 2
1
3 2
x y
   

 
   

    nên tồn

tại a sao cho: sin
3

x
a  và

cos
2

y
a 

Khi đó P3sina4 cosa1

5 1 P 5 1 4 P 6

         

Vậy minP 4

Dấu " " xảy ra





sin cos

3 4

3sin 4cos 5

3 4

sin ;cos /

5 5

a a

a a t m




 
  

  

Câu 28: Đáp án A

Vì tan , tan  là hai nghiệm của

phương trình x2 px q 0

   nên

theo định lí Viet, ta có

tan tan
tan .tan
p
q
 
 
 









tan tan

tan

1 tan tan 1

p
q
 
 
 

   

 

Câu 29: Đáp án D

ĐKXĐ: sinx 0

 

5 sin 5

sin

sin sin

x

f x x

x x



  





sin 1 4

sin

2 sin 4

sin
b®t AM-GM
x
x
x
x
 



4
2 6
sin
=
x

  (vì 0 sin x1)

Dấu '' '' xảy ra





sinx 1 /t m

 

Tổng quát:

 

sin

a

f x x

x

 

đạt GTNN:

+ a 1 hoặc a 1 thì

 

min sin 1

f x  x 

+ 0a1 thì

 

min 2 sin

f x  a  x a

+  1 a0 thì

 

min 0 sin

f x   xa

Câu 30: Đáp án B

Ta có min y 0





2 1

cos /

x t m

 

cos 0 thì 1

2cos x

  

Hoặc 1

2cos x
   
1
cos
2cos
x
x
   

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

+) Áp dụng câu 25, ta có:

 

2 2 2

min

2
min

1 1 2 2

4 2 4

5 5

4 20 0

m

m m m

f x m m

m

f x m

m m
      
     
   
   
2

4 20 0

m m

    (vô nghiệm)

+) 2

 

min

m

f x

 

sinx 1

  hoặc sinx 1

-Với sinx 1 f x

 

2m1.

Cho 2m  1 5 m2 (không

t/m).

- sinx 1 f x

 

 1 5 (khơng
t/m)

Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn
yêu cầu bài toán.

Câu 32: Đáp án B

3 3

sin cos

10 5 2 10 5

    

   

Câu 33: Đáp án A





cos15 cos 45 2cos30 .cos15

cos15 3 cos15

2 6 2

cos15

2 3 1

     

    



   



Ấn máy tính ta cũng có kết quả
tương tự.

Câu 34: Đáp án B

5 7

cos15 cos .sin sin

12 12 12

5 7
sin .sin
12 12
t
t
  
 

   
 

Hoặc ta cũng có thể bấm máy tính
bằng cách tính giá trị của t và gán
vào một biến A trong máy, sau đó
tính biểu thức cần tính ở đề bài và
thử 4 đáp án, đáp án nào có kết
quả trùng với biểu thức cần tính
thì chọn.

Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập
Rồi ấn

Khi đó đã gán cos15 A(để chế

độ tính độ), lần lượt nhập vào
màn hình:

5 7

sin .sin 1

12 12 A A

 

 

5 7

sin .sin

12 12 A

 


…

Khi nào ta được kết quả là 0 thì
đó là đáp án cần tìm.

Câu 35: Đáp án D













sin 5 sin 2.2

sin sin
=
a a
a a
  


   
 

Câu 36: Đáp án D

Với tan 0

2


  

    .

Vậy khơng xác định góc  thỏa
mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37: Đáp án C

Chia cả tử và mẫu cho sin x4 ta

được:

4
4

1 cot 17 17

1 cot 15 15

x
A
x

  
 

Có thể bấm máy tính tìm ra góc

 bằng cách bấm:

Ta được góc  , gán nó

vào giá trị A rồi nhập biểu

thức
4 4
4 4
sin cos
sin cos
A A
A A



được kết quả cần tìm.

Chú ý: sin A4 viết trong máy tính

là



sin A

 



4, tương tự với

4 4

cos A, tan A.

Câu 38: Đáp án D













cos 7 3sin

sin
2

cos 3cos sin sin

cos 3cos 2sin

2sin 4cos

cos

A x x

x x

x x x x

x x x

x x



 
 
     
 
 
   
 
     
  
 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

2
6 6
2
2
2 2
2

2 2 2 2

3cos

sin cos

cot 1

3cos

1 3sin cos

1
sin

1 3sin cos 3sin cos 1

x

A x x

x
x

x x

x

x x x x

  



  

   

Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên
vào máy với x là một góc bất kì,
nếu nhiều gốc ra cùng một kết
quả thì đó là kết quả cần tìm.

Câu 40: Đáp án C

Đối chiếu với
2


 

  thì

sin 0

 có góc  thỏa mãn

2
2

1 cot 9

sin

cot 8 cot 2 2



 

  

   

mà cot 0

2


  

   

cot 2 2

 

1 1 2

tan

cot 2 2 4



   

Câu 41: Đáp án C

2 2 1 8

cos 1 sin 1

9 9

0 cos 0

8 2 2

cos
9 3

 

 

    
   
  

Câu 42: Đáp án C

Nhân cả tử và mẫu của G với

sin .cos  ta có:





2 2
2 2
2
2
cos 3sin

2 cos sin

4 4 15

3 1 cos 19

9 9 9

8 1 cos 8 5 13

9 9 9

G  

 





  
 
  

Câu 43: Đáp án A

Ta có tana 2 cosa0

Chia cả tử và mẫu cho 3

cos a ta
có:
3
2
3
2
3 2

2 3
1
8 2 tan

cos
2

tan
cos

8 2 tan 1 tan

2 2 tan tan

8 16 1 4 3

2 8 8 2

=
=
a
a
A
a
a
a a
a a
 



  
 
  

 

Câu 44: Đáp án B













6 6 4

4 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

sin cos sin

cos 12sin cos

1 3sin cos 1

2sin cos 12sin cos

1 sin cos 3 10

P m
m
m m
  
  
 
   
 
  
 
  
 
   

Để P khơng phụ thuộc vào  thì
10

3 10 0

m   m

Vậy có duy nhất 1 giá trị của m để

P là hằng số  .

Câu 45: Đáp án A

2 2 2 2

2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2

16 1 16 1

sin cos tan cot

16 1
16cot
sin cos
tan 33
16 1
16cot
sin cos

16 tan 1 50

32 2

50
sin cos
16 1
25
sin cos

+

x x x x

x
x x
x
x
x x
x
x x
x x
   
  
 
  
  
  
  

Áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki ta có:









2 2

2 2 2 2

16 1

sin cos

4 1 25

16 1 25

sin cos sin cos

x x

x x x x

 
 
 
 
  
 
   

 

Dấu " " xảy ra

2 2

4 1

sin 4cos

sin x cos x x x

   

Mà

2 2 2

sin xcos x 1 5cos x1

5
cos

x

  (vì 0

2
x 
  )
2 5
sin
5

x  (vì 0

x 

  )

Dùng máy tính ta tìm được góc x.

Khi đó ta có: tan 5 79

4 3
x 
 
 
 
 

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>





2 2 2

sin cos cos 1

2
2 1 cos

1 2

cos cos

2 2

x x x

A
x
 
 
 

   

Thử 4 đáp án chỉ có đáp án C là
thỏa mãn

Câu 47: Đáp án C

2 2
2 2
2
2
2
1
sin cos
2

sin cos 1

sin cos

sin cos 1

cos cos 1

2cos cos 0

4
a a
a a
a a
a a
a a
a a

 


  


 

 
  


 
     
 
   
Vì
2 a


 

Nên  1 cosx 0 sinx1

Ta có:































 



2
2
2
3

2cos cos 0

1 7
cos
4
1 7
cos
4

1 7 1 7

sin tan

4 1 7

2 tan
tan 2

1 tan

2 1 7

8 2 7

1 7 1

8 2 7

2 1 7

4 7

1 7 .

1 7

2 1 7 1 7 12 3

4 7 4 7 7

kh«ng t/m
t/m
a a
a
a
a a
a
a
a
  
 




 



 
   


 



  
   

 




   
  

Câu 48: Đáp án D

4 4

2 2

P sin cos

sin 2
cos 1
2
2 7
9 9

=1-2sin
=1
a a
a
a a
 
 
 

Câu 49: Đáp án D





cos15 .cos 45 .cos 75
2

.cos15 .cos 75
2

2 2 1 2

cos 60 cos90 .

4 4 2 8

  

  

     

Câu 50: Đáp án B



 



cot 30 cot 40 cot 50 cot 60

cot 30 cot 60 cot 40 cot 50

sin 90 sin 90

sin 30 .sin 60 sin 40 .sin 50

A        

       

 

 

   

1 1

cos30 cos90 cos10 cos90

2 2

cos30 cos10

2cos10 .cos 20 8

2. cos 20

cos30 .cos10 3

 
     
 
 
 
  
 

Câu 51: Đáp án D

Ta có:





cos30 cos 3.10

4cos 10 3cos10

  

   

    

cos10

  là 11 nghiệm của

phương trình 8x3 6x 3 0

  

Câu 52: Đáp án C

















sin sin 5 sin 3

cos cos5 cos3

2sin 3 cos 2 sin 3

2cos3 cos 2 cos3

sin 3 2cos 2 1

tan 3

cos3 2cos 2 1

=
=

a a a

A

a a a

a a
a
a a
 


 






</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>





















2 2 2

2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2

cos 10 cos 20 cos 30

cos 180

cos 10 cos 100

cos 20 cos 110

... cos 90 cos 180

sin 100 cos 100

sin 110 cos 110

... sin 180

+...+

    

   
   
    
   
   

 



 cos 1802



1 1 ... 1 9

9 sè h¹ng

 

       

Cách bấm máy: Nhập vào màn

hình biểu thức:





18
2
1
cos 10
x
X




Câu 54: Đáp án B
cos 20 cos 40 ...
cos160 cos180

A     

   













cos 20 cos160

cos 40 cos140

... cos80 cos160 cos180

cos180 1

   

   

      

  

Câu 55: Đáp án B

Ta sử dụng cách thử bằng máy
tính. Thông thường những biểu
thức này thường có cơng thức
tổng qt. Khi đó cơng thức đúng

n

 . Vì vậy có thể thử với

1;2;3;4...
n 
1
2
3
4
1 1
1 ;
2 2
1 1
2 ;
4 2
1 1
3 ;
8 2
1 1
4
16 2
n A
n A
n A
n A
   
   
   
   

 CTTQ là: 1

2n

A 

Vậy với n 2018 thì 20181

A 

Câu 56: Đáp án A

















1 3
sin sin
4
1
sin sin
2
1 3
sin
2 2
1
sin
2 6
B C

B C B C

B C

B C B C 



     
 
    
 
     

(loại TH 5

B C   vì

B C B C   mà C 0 nên

không thỏa mãn)

Câu 57: Đáp án C

Dễ thấy nếu A B C    60 thì

đẳng thức đã cho đúng  loại B

và D.

Xét ABC cân:

+ Tại A B C

  

sin 2cos cos

1 1

sin 2cos cos

cos cos

B A C

C B C

A B A B C



   



    

ABC

  đều.

+ Tại B A C

sin 3cos

sin 2cos cos

B C

C B C

  


Giả sử A C 50  B80 .

Thử máy tính thấy không thỏa
mãn.

Nếu A B C   60 thì thỏa

mãn

ABC

  đều.

+ Tại C A B  VP1

 
sin
1
sin
B
B C
C

     ABC

đều.

Vậy ABCđều.

III. Đề kiểm tra chủ đề 7

Câu 1: Đáp án

15 27

2 ; 2.2 ;

7 7 7 7

20
3
7 7

   
 
 

    
  

(vì 3 khơng có dạng





k  k  nên không thỏa mãn)

Câu 2: Đáp án B

150 50

2.20 .

360 3

l     

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Câu 3: Đáp án B

3 2 . .

2 7

7 2 14

3
7

l R R

R R



 





  

    

Câu 4: Đáp án C

18km h/ 5 /m s500cm s/ .

Chu vi bánh xe là 20 cm , suy ra

thời gian quay hết 1 vong bánh xe
là:

 

0,12569

500 s




Câu 5: Đáp án B

Gọi AH là đường cao  AH đi

qua O

 

O có:

 


2

120 60

s®

BOC BAC BC

BOH

 

  

 

    



2 2. .sin

2. . 3 3

BC BH BO BOH

BO BO R

 

  

3.3 3 3

l R R

    số đo

cung trong là 3 3rad.

Câu 6: Đáp án A

5 5

.180 300

3 3



   

Câu 7: Đáp án B

15 .

180 12




  

Câu 8: Đáp án C





25 2.12  s® Ox Oz; 

 2 tia đối nhau.

Câu 9: Đáp án A

Số điểm M thỏa mãn là:

2 : 10

5


  (điểm)

Câu 10: Đáp án C

Cứ 1 giờ kim giây quay được 60
vòng, vậy 5 giờ quay được

60.5 300 vòng. Sau 5 giờ kim

giây quay được góc:

360 .300 108000  
Câu 11: Đáp án C

Vì ABC vuông tại A

 90

BAC

  

 BC là đường kính

 

O





2
6

2
6
=

AC k

k k



 




   

  

Với 1 5

k   AC 

Câu 12: Đáp án D

Có
2

8
4



  nên có thể xác định 8

điểm M bằng cách trên.

Nhận xét: Số k cứ tăng lên (hoặc

giảm đi) 8 đơn vị thì điểm M
trùng với A (bắt đầu từ k 0, sau
đó đến k 8;k 16;...;





k  i i  ). Vậy sau 8 số k đó,

M lại bắt đầu một chu kì mới

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Câu 13: Đáp án B.



25 3 3

7 7 uOv 7

  



   

Câu 14: Đáp án A



3230 350 8.360

360 350 10

uOv

     

     

Câu 15: Đáp án D

tan .cot    1 0 tan , cot 

cùng dấu trên từng khoảng xác
định.

Câu 16: Đáp án D

Giả sử với   0 sin 0;

cos 1 tan  0 cot
không xác định

Câu 17: Đáp án D

+ Nếu M không trùng với A và A'

 có duy nhất 1 điểm N thỏa
mãn u cầu bài tốn (hình vẽ).
+

Nếu M  A M A' thì khơng

có điểm nào thỏa mãn yêu cầu

Câu 18: Đáp án B

Theo đề bài sin 0;cos 0
 M thuộc góc phần tư thứ II.
Câu 19: Đáp án C

2 2 2

  
     
cos 0
2


 
    

  I đúng

3 3
2
2 2
 
      
sin 0
2


 
    

  II đúng

cos 0 cot 0

2 2

 
 
   
       
   

 III sai

Câu 20: Đáp án C

cos
3
1
cos 2
3 2
4 1
cos 2
3 2

với k chẵn
với k lẻ

x k
n
n


   
 
  
 
 

  

 
  
 
  


Câu 21: Đáp án A

tan 5cot tan 5cot

2 5 tan . 5cot 2 5

x x x x

x x

  

 

(bất đẳng thức AM-GM)

Câu 22: Đáp án C

Vì tan , tan  là hai nghiệm của

phương trình 2

x  px q  nên

theo định lí Viet, ta có

tan tan
tan .tan
p
q
 
 
 









tan tan

tan

1 tan .tan 1

p
q
 
 
 

   
 

























2
2
2
2
2
2
cos

1 .tan .tan

1 tan

1 . .

1 1
1
1
P
p q
p q
p p
p q
q q
p
q
 
   
   
 
  
 
     
   

 
 
   
   

 
  

 









2 2 2

2 2

1 . .

1
1

q p q q p

q p

  

 

 

Câu 23: Đáp án B

 

1 cot

tan

tan 0

f x x

x

x x k

 

 

  

 

 

Với





k

x  k Z thì cotx 0.

Mà tập giá trị của cot x là .

(với cosx 0)

Vậy tập giá trị của

 

tan

f x

x


là \ 0

 

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

2 2016

2018 2

2015

2 2017 2

2018 2017 2 2

0 sin 1 0 sin 1

0 sin sin

1 cos 1

cos cos cos

sin cos sin cos 1

x x

x

x x x

x x x x

    

  

  

   

    

Dấu " " xảy ra khi

2
2017
2
2018

sin 0 sin 0

cos 1 0 cos 1

sin 1
cos 0
cos 0
sin 1
x x
x x
x
x
x
x
    
  
  

  

 

  

  

    


Vậy có 3 cặp



sin ,cosx x



thỏa
mãn.

Câu 25: Đáp án A

Điều kiện xác định: D 

(Vì sinx cosx 2

2 2

1 1 2 2 2 0

      )
Ta có:





























2
2 2
2
2 2
2

sin cos 2 sin 3 cos 2

1 sin 3 cos 2 2

2 1 3

4 8 4

2 1 2 3 3

2 10 2 3 0

0 5 3.

A x A x A x x

A x A x A

A A A A

A A

A A y A

A A
A A
A
    
     
     
  
     
   
   
   

Vậy a b  5 3

Câu 26: Đáp án B

2 sin sin cos ;

2 cos cos sin

2 sin sin cos ;

2 sin cos sin

x x x






 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 

Câu 27: Đáp án B

4 2

sin 0 ;sin 0

sin 2sin 3 3

x x x x

A x x x

   

     

Dấu " " xảy ra





4
2

sin 0

sin 0 t/m

x
x
x
 

   




Câu 28: Đáp án A









cos cos 120

cos 120

M a a

a

   

  

cos cos sin sin120

2
1

cos sin sin120 0

a a a

a a

   

   

Câu 29: Đáp án B













sin cos cos sin

sin sin

x y y x y y

x y y x

  

   

Câu 30: Đáp án D













cos cos18 cos 78

2sin 30 sin 48

sin 48 cos 42

42 360

a

a k k

   
   
   
    

 
    




Vậy giá trị dương nhỏ nhất của 
là42

Câu 31: Đáp án A





2 2

cos cos

cos cos sin sin

20 4 5

1 1

65 5 13

20 3 12 20 36 16

65 5 13 65 65

C A B

A B A B

 
 
   
       
   

   

Câu 32: Đáp án C

tan cot 10

tan ,cot

tan .cot 1

x x
x x
x x
 






là nghiệm của phương trình:

2 5 2 6

10 1 0

5 2 6

t
t t
t
  
    
 


Vậy có 2 cặp giá trị thỏa mãn là



5 2 6;5 2 6 



và



5 2 6;5 2 6 



Câu 33: Đáp án B





2 2 2

sin cos
1

sin cos sin cos

1 25 9

2 16 32

x x

x x x x

 
   
 
 
   
 

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>





2
2 2
1
cos sin
2
1

cos sin cos sin

2
cos sin
1

cos sin
2
3
cos sin
8

x x

x x x x

x x
x x
x x

 


 
 
 

   



 


 
 




 cos ,sinx x là nghiệm của

phương trình:

2 3 0 1 7

2 8 4

t

t     t 

Mà sinx 0

1 7 1 7

sin ;cos

4 4

1 7 8 2 7

tan

1 7

4 7 4 7

3 3
4; 7

x x
x
p q
 
  
 
  


 
 

  

Câu 35: Đáp án B









3 3
3
3
cot tan
cot tan

3tan cot tan cot

3
m m
 
 
   

 
 
 

Câu 36: Đáp án C









2
2
2
2
sin
sin
cos 1
cos 1

sin cos 1

cos cos 1

1
tan 1
cos

A




 
 


 

 
  

 
 
  
  

 
  

Câu 37: Đáp án A

Chia cả tử và mẫu cho sin3

 có:









2 2
2 2
3
3 cot
2
sin sin
12 4cot

3 1 cot 2 cot 1 cot

12 4 cot

30 60 1

12 4.27 4

A

 

  





  


 
 


Câu 38: Đáp án D









2
2
2
2
tan cot

tan cot 4 tan .cot

tan cot 4

m
m
 
   
 

  

 
   

Câu 39: Đáp án D









2 2
2

2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
1 4

1 tan 1

cos 2

2 4

cos
cos

r s
r s h

r s r s r s r s

r s
r s
r s
r s
r s
r s




   

 
   
  

 


  
  

 

 


(vì cos 0 do  nhọn và

r s  )

Câu 40: Đáp án A

4 4
2 2
4 2
2 2
2
4 4
2
1
3sin cos
2

cos 1 sin

2sin sin 0

cos 1 sin

1
sin

2 sin 3cos 1

1
cos
2
x x
x x
x x
x x
x
x x
x

 


  



  

 
  





    
 



Câu 41: Đáp án B





3 3

2 2

sin cos cos sin

1 1

sin 2 cos 2 sin 4

2 4

Q x x x x

x x x x

x x x

 

 

Câu 42: Đáp án A

Với a b , 0 áp dụng bất đẳng
thức Bunhiacopxki ta có:









4 4
2
2 2
sin cos

sin cos 1

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

4 4

sin x cos x 1

a b a b

  


Dấu " " xảy ra

2 2 2 2

sin x cos x sin x cos x

a a a b


  

Khi đó:

















8 8
3 3
2 2

4 2 4 2

4 4
2

4 4
2
2 3
sin cos

sin sin cos cos

1 sin cos

1 1 1

x x

a b

x x x x

a a b b

x x
a b
a b
x x
a b
a b
a b

a b a b


   
     
   
 
   
  
 
   
  
 

 

Câu 43: Đáp án A

Thử với 2 sin 1

n   
2

3 sin sin 3

3 3

2 3

4 sin sin sin

4 4 4

1 2
n
n
 
  
   
   
 

Thử các giá trị n ở trên vào 4 đáp
án, ta có đáp án A thỏa mãn.

Câu 44: Đáp án A

sin sin 2sin cos 2

2sin cos 4 2sin cos 6

sin sin 3 sin sin 5

sin 3 sin 7 sin 5

sin 7
sin 7

sin

x

A x x x x

x x x x

x x x

x
x A
 
 
   
  
  

Câu 45: Đáp án C

Xét biểu thức:













 

2 2

2
2
2

tan .tan 2 tan 2 1 1 tan

tan 2 tan 2 1 tan

2 tan

tan 2 1 tan

1 tan

tan 2 2 tan 1

x x x x

x x x

x
x x
x
x x
 
    
  
  

 

Áp dụng

 

1 ta có:

2
1

tan 2 tan 2 tan 4 tan

2 2 2

... 2 tan 2 tan

2 2

tan 2 tan

2

n
n n
n n
n
n

a a a

S a

a a
a
a


   
  
 

Câu 46: Đáp án A

2 2

sin cos

tan cot

sin .cos

2 2

2sin cos sin 2

x x

x x x



 

 

Câu 47: Đáp án B

2cos

1 1 1 cos 2

cos

2 2 2 2

cos
2

x
x
x
x

  



1 1 1 1
cos
2 2 2 2
1 1

cos cos

2 2 4 8

A x
x x
   
  

Câu 48: Đáp án B

Ta có: 2 2 .

R R  p



 

2R R p p 2 2R 

    

(bđt AM – GM)

2
2
16
p
R 
 
2 2
2
. .

2 2 16

quat

R p

S  R  



   .

Dấu " " xảy ra
2R R  2

   

Câu 49: Đáp án C

2
2
2
.
2 2
2

2 2 2 4 4

quat

R

S R

C R R

R S S

 





 
 
  

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Gọi tiếp tuyến chung của hai
đường tròn là AB, A B' '











A A, ' I R; 1 ; ',B B J R; 2



Từ I kẻ IH BJ  BH R1 1

2 1 4

JH BJ BH R R

     

Có cos 4 1

8 2

JH
BIJ

IJ

  

 60  ' 2 120

BJI BJB BJI

      

Dễ thấy AIA'BIB ' 120 



' sin

8 3
4 3
2

AB AB IH IJ BJH

 

Chiều dài dây là:

 





' '

120 240

8 3 .2 .10

360 360

8 3 36,89 .

ANA BMB

AB A B l l

cm

 



  

 

  

 

  

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58></div>

Chuyên Đề Cung Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Có Lời Giải Và Đáp Án - Tài Liệu Toán - Thư Viện Học Liệu

<b>CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC</b>

<b>LƯỢNG GIÁC</b>



<b>§1. Cung và góc lượng giác</b>





















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





























<sub></sub>

<sub></sub>

































 





<sub></sub>

<sub></sub>















































