Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng hay và khó phần 2 copy đã chuyển đổi

Tailieumontoan.com
Bài 51. Cho ta giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) . Quay tam giác ABC một góc

900 quanh O ta thu được tam giác A1 B1C1 . Tính diện tích phần chung của hai tam
giác ABC và A1 B1C1
Bài 52. Cho tứ giác lồi nội tiếp ABCD có đường trịn nội tiếp tâm I. Gọi O là giao điểm
của AC và BD. Chứng minh rằng

AO AI 2
.
=
CO CI 2

Bài 53. Cho tam giác ABC có góc A  90 0 và AC = 2AB . Đường phân giác AD cắt
đường cao BH tại K (D thuộc BC, H thuộc AC). Đường thẳng CK cắt AB tại E. Chứng
minh rằng tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi diện tích của hai tam giác BDE và
HDE bằng nhau.
Bài 54. Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi D, E và F lần
lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AB’C’, BC’A’ và CA’B’. Tính bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF theo độ dài các cạnh của tam giác ABC
A

D
B'

C'

I
F
E

B

A'

C

Bài 55. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O; R ) có các đường cao AD, BE, CF.
Tìm cơng thức liên hệ giữa diện tích tam giác ABC với chu vi tam giác DEF.
Bài 56. Cho tam giác ABC có diện tích S ngoại tiếp đường tròn ( O; r ) . Kẻ ba tiếp tuyến
của đường tròn ( O; r ) gồm tiếp tuyến song song với BC cắt CA, AB lần lượt tại M, N;
tiếp tuyến song song với CA cắt AB, BC lần lượt tại P, Q; tiếp tuyến song song với AB

2
cắt BC, AC lần lượt tại R, S. Chứng minh rằng ta ln có SMNPQRS  S .
3

Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 57. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) và ba đường trung tuyến AM,
BN, CP lần lượt là .. Chứng minh rằng

1
1
1
2
+

+

ma m b m c R
A

A

N

P

P

M

B

N

C

O
P'

B

A'

N'

C

M

A'

Bài 58. Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S và BC = a . Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho

DB
= k . Tính diện tích tam giác có đỉnh là tâm các đường trịn ngoại tiếp các tam
DC

giác ABC, ABC, ACD theo a, k, S.
A
O2
R
N

M

O1

K

O F
Q

C

G

D

P

E

H

B

Bài 59. Cho tam giác ABC có ra ; rb ; rc lần lượt là bán kính đường trịn bàng tiếp các góc
A, B, C. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng ra + rb + rc = 4R + r
Bài 60. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn tâm O. Chứng minh rằng tổng các
bình phương của khoảng cánh từ một điểm bất kì trên đường tròn đến các cạnh của
tam giác đều ABC bằng bình phương đường cao của tam giác đó.
Bài 61. Cho tam giác ABC có m a ,l b ,l c và p theo thứ tự là độ dài đường trung tuyến
hạ từ đỉnh A, độ dài đường phân giác trong hạ tứ đỉnh B, C và nửa chu vi của tam
giác. Chứng minh rằng ma + l b + lc  p 3
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 62. Cho tam giác nhọn ABC có ha , h b , h c và l a ,l b ,l c tương ứng là các đường cao và
đường phân giác hạ từ đỉnh A, B, C. Gọi r và R lần lượt là bán kính đường trịn nội
tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:

 ha
A  h b
B  h
C r
− sin  c − sin  
 − sin 
2  l b
2  l c
2  4R
 la

Bài 63. Cho hình vng ABCD có cạnh a và hai điểm M, N thay đổi lần lượt trên BC,
CD sao cho góc MAN = 450 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác
AMN.
Bài 64. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  BC . Vẽ nửa đường trịn đường kính AB
trên nửa mặt phẳng chứa CD có bờ là đường thẳng AB. Gọi M là điểm bất kì trên nửa
đường tròn ( M  A, B ) . Các đường thẳng MA và MB cắt CD lần lượt tại P và Q. Các
đường thẳng MC, MD cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F.
Xác định ví trí của M để PQ + EF có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
A

E

B

F

N
M

D

Q

C

P

Bài 65. Trong các tam giác nội tiếp đường tròn ( O; R ) cho trước, tìm tam giác có chu
vi lớn nhât.
Bài 66. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng:
AB − CD  AC − BD .

Bài 67. Cho tam giác ABC và đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh
AB, BC, CA lần lượt tại F, D, E. Gọi M là giao điểm của BC với đường phân giác trong
của góc BIC và N là giao điểm của EF với đường phân giác trong của góc EDF .
Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 68. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC. Đường tròn ( O ) tiếp
xúc với các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự tại F, E, D. Đường phân giác trong của góc
BOC cắt BC tại I và AI cắt EF tại K. Chứng minh rằng KD 

1
4DE.DE − EF2

2

Bài 69. Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b ngoại tiếp đường trịn
tâm I bán kính r. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là tiếp điểm của đường tròn I với các cạnh
BC, CA, AB. Các tia AI, AI, CI cắt đường tròn tâm I lần lượt tại A’, B’, C’. Đặt
Ai Bi = c i , B1C1 = a1 , C1A1 = b1 với i = 1, 2 . Chứng minh rằng

a 32 b22 c 32 216r 6
, dấu

abc
a12 b12 c12

đẳng thức xẩy ra khi nào?
A

A2
B1

C1

I
C2

B2
B

A1

C

Bài 70. Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp tuyên với (O) song
song với cá cạnh của ram giác ABC với sáu điểm M, N, P, Q, R, S sao cho

M,S  AB; N,P  AC; Q,R  BC . Gọi l1 , l 2 , l 3 lần lượt là các đường phân giác trong
xuất phất từ đỉnh A, B, C của các tam giác AMN, BSR, CPQ. Gọi p là nửa chu vi của
tam giác ABC. Chứng minh rằng

1 1 1 81
+ + 
l12 l 22 l 23 p2
A
l1
M

N

P
S

O
l3

l2
B

Nguyễn Công Lợi

R

Q

C

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 71. Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c . Gọi O và R lần lượt là tâm và bán
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi Ia ; I b ; I c lần lượt là tâm đường tròn
bàng tiếp các góc ở A, B, C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng:

OIa
OI b
OI c
1
1

+
+

2R ( a + b )( a + c ) ( b + c )( a + b ) ( c + a )( b + c ) 4r

Bài 72. Cho đường trịn tâm O bán kính R và dây cung BC(với BC  R ). Điểm A di
động trên cung lớn BC và điểm D di động trên cung nhỏ BC. Xác định vị trí của A và
D để

1
1

1
đạt giá trị nhỏ nhất.
+
+
DA DB DC

Bài 73. Cho đường tròn (O; R) và một điểm I nằm bên trong đường trịn. Gọi AC và
BD là hai dây cung bất kì đi qua I. Xác định vị trí của AC và BD để

AB.AD + BC.CD
AB.BC + DA.CD

đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Bài 74. Cho đường tròn ( O ) và điểm P cố định nằm trong đường trịn ( O ) (P khơng
trùng với O). Hai dây cung AC và BD thay đổi của đường tròn ( O ) vng góc với
nhau tại P. Tìm vị trí của các dây cung AC và BD sao cho diện tích tứ giác ABCD có
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 75. Cho đường tròn ( O ) và điểm P cố định nằm trong đường tròn ( O ) (P không
trùng với O). Hai dây cung AC và BD thay đổi của đường trịn ( O ) vng góc với
nhau tại P. Tìm vị trí của các dây cung AC và BD sao cho chu vi tứ giác ABCD có giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 76. Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b,AB = c . Gọi r và ra ,rb ,rc lần lượt là bán
kính đường trong nội tiếp và bấn kính đường trong bàng tiếp các góc A, B, C của tam
giác ABC. Chứng minh rằng

abc a 3 b 3 c 3
 +
+ .
r
ra rb rc

Bài 77. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và ngoại tiếp đường trịn có bán
kính r. Gọi O1 ,R 1 ; O 2 ,R 2 ; O 3 ,R 3 theo thứ tự là tâm và bán kính của đường trịn tiếp
xúc ngồi với đường tròn (O) đồng thời tiếp xúc với AB, AC; BC, BA; CA, CB tương
ứng. Chứng minh rằng R 1 + R 2 + R 3  12r
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 78. Cho tam giác ABC khơng cân có AD và BE là đường phân giác. Chứng minh

A−B
rằng góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB và DE không vượt qua

3

.

Bài 79. Cho tam giác ABC và đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB,
BC, CA lần lượt tại E, D, F. Đường trong bàng tiếp tâm Q tiếp xúc với BC, AB, AC lần
lượt tại K, H, P. Đường thẳng EF cắt các tia BO và CO lần lượt tại M và N. Đường
thẳng HP cắt các tia BQ và CQ lần lượt tại R và S. Chứng minh rằng DMN = KRS
và

SP SR RH
.
=
=

AB BC CA

Bài 80. Cho đường tròn ( O; R ) nội tiếp hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E, F, G, H
theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn ( O; R ) với các cạnh AB, BC, CD, DA. Trên
cạnh CD lấy điểm M nằm giữa hai điểm D và C sao cho chân đường vng góc kẻ từ
M đến DO là điểm K nằm ngoài đường tròn ( O; R ) . Đường thẳng HK cắt đường tròn

( O; R ) tại điểm thứ hai là T. Tính tỷ số

EB
4R
khi biết AB =
;BC = 3R và chứng minh
EA
3

rằng MT = MG .
Bài 81. Cho tam giác ABC có B, C cố định và điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC
nhọn không cân. Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu của D
trên AC, AB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt
AO và BC theo thứ tự tại M và N. Các tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp
tam giác AEF cắt nhau tại T. Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN
ln đi qua một điểm cố định và T luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

A

K
O
E
M

F
N

D

I B

C

J
P

T

G

Q

Bài 82. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD. Lấy điểm P bất kỳ trên đoạn thẳng
AD. Các điểm K, L thuộc đường thẳng BC sao cho AK vng góc với AC và AL
vng góc với AB. Trên các đoạn thẳng PB, PC lấy lần lượt các điểm N, M sao cho

KM = KA; LN = LA . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MND luôn

thuộc một đường thẳng cố định khi P di động trên đoạn thẳng AP.
R

T
A
S
P
M

N
E
K

B

I
D Q

F
C

L

Bài 83. Cho đường trịn ( O ) có đường kính AB cố định. Lấy C là một điểm di động
trên đường tròn ( O ) sao cho BC  AC . Vẽ CH vng góc với AB tại H. Gọi E và F lần
lượt là hình chiếu của H trên CB và CA. Gọi U, L, Q lần lượt tâm đường tròn bàng

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An

Tailieumontoan.com
tiếp đỉnh H của các tam giác AHE, BHF, HEF. Chứng minh rằng C là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác QUL.
Q

S

C
Z

D

M
P
U

I X

E
A

K J
Y G
H

L
F

T
O

B

N

Bài 84. Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình thang nội tiếp đường trong tâm O. Hai
đường chéo AC và BD cắt nhau tại H. Gọi giao điểm của AB và CD, AD và BC lần
lượt là E, F. Chứng minh rằng H và hai trực tâm H3 ; H 4 của hai tam giác FAB, FCD
cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 85. Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình thang nội tiếp đường trong tâm O. Hai
đường chéo AC và BD cắt nhau tại H. Gọi giao điểm của AB và CD, AD và BC lần
lượt là E, F. Chứng minh rằng F và hai trực tâm H1 ; H2 của hai tam giác HAB, HCD
cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 86. Cho đường trịn ( O ) với dây BC khơng phải là đường kính. Gọi I là trung
điểm của BC và điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi ( I1 ) là đường tròn qua I tiếp
xúc với AB tại B và ( I 2 ) là đường tròn qua I tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn

(I )
1

và ( I 2 ) cắt nhau tại D khác I. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác

ADI đi qua một điểm cố định khác I.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An

Tailieumontoan.com

A
E
F
O

K
J

M

I

C

B
I1
D

I2

T

Bài 87. Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Một đường
thẳng cắt đường tròn ( O1 ) tại hai điểm phân biệt A, B và tiếp xúc với đường tròn

( O ) tại X (B nằm giữa A và X). Đường thẳng XT cắt đường tròn ( O )
1

2

tại S khác T và

C là một điểm trên cung TS. Cho CY là tiếp tuyến với đường tròn ( O 2 ) sao cho các
đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau. Gọi I là giao điểm của đường thẳng XY và SC.
Chứng minh rằng SA = SI

X
B

O1

O2

T
I

A

C

Y

S

Bài 88. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) và ngoại tiếp đường tròn ( I ) .
Gọi P là điểm chính giữa cung BC khơng chứa A của đường tròn ( O ) . Gọi J là điểm
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
đối xứng với I qua O. Tiếp tuyến tại I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt BC
tại M. Gọi H là hình chiếu của M trên OI, D là trung điểm của BC và K là giao
điểmthứ hai của ID với đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH. Chứng minh rằng ba
điểm A, H, K thẳng hàng.
Q
A

K
T

H

O

I
M

B

J
C

D

F

N
P

Bài 89. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối khơng
song song. Gọi M, N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, AD và
BC. Gọi P, Q, S, T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp góc
MAN và MBN , MBN và MCN , MCN và MDN , MDN và MAN . Giả sử bốn điểm

P, Q, S, T đôi một phân biệt. Gọi I là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm P, Q, S. Gọi
E là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, I thẳng
hàng.

P

I
M
C

S

Q
T
E

B

O
D

Nguyễn Công Lợi

A

N

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

Bài 90. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có AB  AC và I tâm đường tròn
nội tiếp tam giác. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của tia AI với BC, đường tròn ( O ) .
Đường thẳng qua I vng góc với AI cắt BC tại K và KA, KE cắt lại đường tròn ( O )
theo thứ tự tại M, N. Các tia ND, NI cắt lại đường tròn ( O ) lần lượt tại Q, P. Chứng
minh rằng PM = PQ .
P
A

M

Q

O
I

K

B

D
N

C

E

Bài 91. Cho tam giác ABC nhọn có các đường phân giác trong AD, BE, CF cắt nhau tại
O. Chứng minh rẳng nếu bán kính đường trịn nội tiếp các tam giác AOF, BOD, COE
bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 92. Cho tam giác ABC có AB = c; BC = a; CA = b . Chứng minh rằng tam giác ABC
vuông tại B hoặc C khi và chỉ khi một trong các đẳng thức sau đây xẩy ra:
a) tan

A
a
=
2 b+c

b) tan 2

A b−c
=
2 b+c

Bài 93. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là giao điểm ba đường phân giác.
Chứng minh rằng GI song song với BC khi và chỉ khi tan

B
C 1

.tan = .
2
2 3

Bài 94. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác cân DAC,
EAB, FBC sao cho DA = DC, EA = EC, FB = FC và ADC = 2A, AEA = 2B, CFB = 2C .
Gọi M là giao điểm của BD và EF, N là giao điểm của EC và DF, P là giao điểm của FA
và DE. Chứng minh rằng

Nguyễn Công Lợi

BD CE AF
+
+
= 4.
MD NE PF

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 95. Cho ABC nhọn (AB < AC) có AH ⊥ BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu
vng góc của H trên AB và AC. Đường thẳng DE cắt tia CB tại S. Đường thẳng SA
cắt đường trịn đường kính AH tại M. Các đường thẳng BM và AC cắt nhau tại F.
Chứng minh rằng FA.FC + SB.SC = SF2
Bài 96. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi A’, B’, C’ lầ lượt là điểm
chính giữa các cung nhỏ BC; CA; AB của đường tròn (O). Gọi E, Q lần lượt là giao
điểm của B’C’ với AB, AC; M, F lần lượt là giao điểm của A’C’ với BC, AB; P, N lần
lượt là giao điểm của A’B’ với AC, BC. Gọi I là giao điểm của MQ, NE, PF. Chứng
minh rằng SIMN + SIPQ + SIEF  SINP + SIQE + SIMF

Bài 97. Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc ABC, ACB là các góc nhọn.
Xét điểm D di động trên cạnh BC sao cho D khơng trùng với B, C và hình chiếu của A
trên BC. Đường thẳng d vng góc với BC tại D cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại
E và F. Gọi M, N, P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE, CDF.
Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
d đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 98. Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( O ) . Một tiếp tuyến
thay đổi của đường tròn ( O ) cắt HB, HC theo thứ tự tại E, F. Điểm K đối xứng với H
qua EF. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF ln tiếp xúc với một
đường trịn cố định.
T
Q

A

M
U

V
N
H

O
C

B

F
P
E

K

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

Bài 99. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi P là điểm di chuyển trên
cung nhỏ BC của đường tròn ( O ) . Dựng ra ngoài tam giác PBC các điểm E và F sao có
tam giác PCE đồng dạng với tam giác BAO và tam giác PBF đồng dạng với tam giác
CAO. Tiếp tuyến tại P của đường tròn

( O ) cắt

đường tròn ngoại tiếp các tam

giác PCE và PBF theo thứ tự tại M và N khác P. Gọi Q là giao điểm của EM và FN.
Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác QMN ln tiếp xúc một đường tròn
cố định khi P thay đổi.
A

O
X
B

C

F
N

P

M
E
Q

L
K

Bài 100. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn ( O ) có AC và BD cắt nhau tại E. Một
đường tròn qua B, C cắt CD, AB theo thứ tự tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM với
CN. Một đường thẳng qua H cắt AC, BD theo thứ tự tại K, L. Trên BC lấy các điểm Q,
R sao cho KR song song với BM và LQ song song với CN. Gọi P là giao điểm của KR
với QL. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường
trịn ngoại tiếp tam giác EBC.

Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
A
D
E

N

L
S
H

B

X

M
C

Q

Y

Nguyễn Công Lợi

R
P

K
T

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An