Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng hay và khó phần 3 copy đã chuyển đổi

Tailieumontoan.com
Bài 101. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) với AB  AC . Tiếp tuyến
tại A của đường tròn ( O ) cắt BC tại T. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O. Giao
điểm của OT với BD là E. Gọi BE cắt AT tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt
OE tại G khác E. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm trên
đường trịn ( O ) .
A

H

O
F

G
I
E

T

C

M

B
K

D

Bài 102. Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) . P là một điểm bất kì trên
cung nhỏ AD của đường trịn ( O ) . Gọi giao điểm của PB, PC với AD lần lượt là M, N.
Đường trung trực của AM cắt AC, BD lần lượt tại E, S và đường trung trực của DN

cắt AC, BC lần lượt tại T và F. Đường thẳng ST cắt PB, PC lần lượt tại U, V. Chứng
minh rằng đường trịn đường kính UV tiếp xúc với đường tròn ( O ) .
X

B

C
S

U

H

T
V

K

O

G

L
F

R

E
A

J

M

N
Q

Z

D

P

Bài 103. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) với P là giao điểm của hai đường
chéo và M là trung điểm của AD. Gọi K, L lần lượt là hình chiếu của P trên AB, CD.
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Gọi S, T lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác KMA và LMD. Chứng
minh rằng KS.BT = CS.LT
C
B

L

K
P

Q

O

S

A

R

T

D

M

Bài 104. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) có đường cao AH. Đường
trịn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi K là trung điểm của AH và L
đối xứng với K qua AD. Chứng minh rằng đường trịn tâm L bán kính LD tiếp xúc với
đường tròn ( O ) .
N
A

T

J

P

E

F

K

L
I

B

R

H

O

C

D

M

Bài 105. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) và P là một điểm bất kì nằm
trong tam giác ABC. Lấy điểm Q bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn ( O ) . Đường
thẳng AP cắt đường tròn ( O ) tại D khác A. Gọi M là trung điểm của AQ. Đường
thẳng QP cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là K. Dựng đường trịn ( I ) đi qua hai
Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An

Tailieumontoan.com
điểm P, K và tiếp xúc với AP. Đường tròn ( I ) cắt AK, AM lần lượt tai điểm thứ hai là
E, F. Gọi R là giao điểm thứ của đường tròn ngoại tiếp giác KPD với đường thẳng MP.
Chứng minh rằng KEP = KFP = KRD .
A
K

E
P

R

F

M
O

B

C

Q
D

Bài 106. Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường trịn ( O ) có đường cao
AH. Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi E là trung điểm
của AH, tia DE cắt đường trog ( O ) tại F. Gọi L là tâm đường tròn bàng tiếp góc F của
tam giác FBC. Chứng minh rằng ba điểm F, D, L thẳng hàng.
A

P

J

M

G T
F
X
E
I K

Q

N

O
B

UD H

C

S

V

L

Bài 107. Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) và ngoại tiếp

đường tròn ( I ) . Đường tròn ( I ) tiếp xúc với BC tại D. Gọi E và F là giao điểm của BI,
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
CI với đường tròn ( O ) . Gọi M là trung điểm của EF. Lấy P và Q trên đường trung
trực của ID sao cho MP song song với BI và MQ song song với CI. Đường trung trực
của PQ cắt IM tại G. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ tiếp xúc
với đường tròn ( O ) .
G

K

N

A

E

M
F
I O
P

Q

J
B

C

D

Bài 108. Cho tam giác ABC không cân có đường trịn nội tiếp ( O ) tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, F, E. Gọi H và G lần lượt đối xứng với F và E qua
điểm O. Giả sử đường thẳng HG cắt đường thẳng BC tại P. Vẽ đường kính DK của
đường tròn ( O ) . Gọi I là trung điểm của BC. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BO,
CO với EF. Đường thẳng PO cắt BN và CM lần lượt tại U và V. Chứng minh rằng O là
trung điểm của UV.
A

K

X

Y
M

F
NE

Q

V
O

U

G
H

P

B

J
D

I

T

C

Bài 109. Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn ( O ) . Gọi D, E, F lần lượt là
tiếp điểm của đường tròn ( O ) với BC, AB, AC. Gọi H, I, J lần lượt là trung điểm của
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
EF, CE, BF. Gọi G là giao điểm PQ và EF. Gọi BK và CL là các đường cao của tam giác
ABC. Chứng minh rằng GO song song với BC.
A

K

M

F

H
N

E
G

P

I

L

K
O
J
Q

B

D

C

Bài 110. Cho tam giác ABC khơng cân và đường trịn nội tiếp ( O ) tiếp xúc với AB,
BC, CA lần lượt tại E, D, F. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của DE và DF. Gọi P và Q
lần lượt là trung điểm của IE và JF. Giao điểm của PQ với JB và IC lần lượt ta S, T.

Chứng minh rằng tam giác TBI và SCJ đồng dạng.
K

A

V
F
S

E
U

Q
T

O

P

J
I

B

D

C

Bài 111. Cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp ( O ) tiếp xúc với AB, BC, CA lần
lượt tại E, D, F. Đường tròn tâm A bán kính AE cắt đường cao AH của tam giác ABC

tại M (M nằm giữa A và H). Đường thẳng OM và DM cắt đường tròn ( A, AE ) lần lượt

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
tại K và N. Gọi giao điểm của MO và BC là I. Chứng minh rằng đường trịn đường
kính AI tiếp xúc với đường tròn ( O ) .

N

A

K
J
E
x

F
O'
M
O

P
B

H
t

D

I

C

Bài 112. Cho tam giác ABC nhọn cố định nội tiếp đường trịn ( O ) . Dựng bên ngồi
tam giác ABC các hình thang ABKL và ACMN sao cho tam giác ABL đồng dạng với
tam giác CAM. Các đường thẳng AN và AL theo thứ tự cắt CM, BL tại E, F. Gọi P là
giao điểm nằm trong tam giác ABC của các đường tròn ngoại tiếp tam giác LME và
NFK. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC đi qua một điểm cố định.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

D

N
L
A

M
K

P

F

O
Q

E

B

C
G

T

Bài 113. Cho tam giác ABC nội tiếp đường
tròn ( O ) . Điểm P thuộc cung BC không chứa
A của đường tròn ( O ) và điểm Q đối xứng

A

N

G

S

với P qua BC. Đường thẳng QB, QC theo thứ
O

tự cắt AC, AB tại E, F. Đường tròn ngoại tiếp

tam giác AEF cắt đường tròn ( O ) tại G khác
A. Đường thẳng AP cắt BC tại G, đường
thẳng GD cắt đường tròn ( O ) tại K khác G.

F

B

Q

E

L

D

C

M
P K

J R

Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng
qua K vng góc với BC cắt AM tại L. Chứng
minh rằng L là điểm chung của hai đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCQ và AEF.
Bài 114. Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O 2 ) tiếp xúc ngoài tại A. BC là một tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn ( O1 ) và ( O 2 ) , với B thuộc ( O1 ) và C thuộc ( O 2 ) . Gọi
M là trung điểm của BC. P, Q theo thứ tự đối xứng với B, C qua O1 ,O 2 . MP theo thứ

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
tự cắt BO 2 và BA tại X, Y. MQ theo thứ tự cắt CO1 và CA tại Z, T. Chứng minh rằng
các tứ giác BZTP và CXYQ nội tiếp đường tròn.
D

B

N

C

M
Z
X

E

T

Y

O1

A
O2

P

F

Q

Bài 115. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) có BC cố định và điểm A di động
sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi J là
trung điểm của AH. Đường phân giác của góc ABH cắt đường phân giác góc ACH
tại L. Chứng minh rằng đường thẳng LJ luôn đi qua một điểm cố định.

A

J

E

L
O
F

B

H

D

C

T

G

Bài 116. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có BC cố định và điểm A di động
sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M,
Nguyễn Công Lợi
Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
N theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác BFD và CDE. Gọi P, Q theo thứ
tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACN. Chứng minh rằng MN
song song với PQ.
Q

A

K

P

E

F

H

I

O
N

M
B

D

C

Bài 117. Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC nội tiếp đường trịn ( O ) có H là trực
tâm và AM là đường trung tuyến. Gọi P là điểm di chuyển trên cung nhỏ AC của
đường tròn ( O ) . Gọi K là trung điểm của AM và L là hình chiếu của M trên AP. Gọi I
là trung điểm của PL. Đường trịn đường kính AH cắt đường tròn ( O ) tại G khác A.
Đường thẳng GI cắt đường tròn ( O ) tại S. Điểm T trên đường thẳng GL sao cho TI
vng góc với KI. Chứng minh rằng ST luôn đi qua một điểmm cố định khi P thay đổi

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

Q
A

E
J

T

L
U

I

S

N

G

P

V

K
F

O
H

B

X

C

M

D

Z

Bài 118. Cho tam giác ABC nhọn nội

A

tiếp đường tròn ( O ) có đường kính

G

AD và H là trực tâm của tam giác

N
E T

ABC. Hai điểm P và Q thuộc tia
phân

giác

góc

BAC

sao

cho

R

F
S

M

P
O

ABP = CBQ và ở trong tam giác

H

K
Q

ABC. Điểm K thuộc đoạn PD sao cho
HK vng góc với AP. Chứng minh

B

C

L

rằng đường trung trực của HK đi
qua hình chiếu của Q trên cạnh BC.

Nguyễn Công Lợi

D

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 119. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp

A

đường tròn ( O ) có trực tâm H. Đường

P
G

trịn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với các cạnh BC,

Q

L

T

M
E

CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi K là

K

F

S

N

hình chiếu của D trên EF và L là điểm đối

I

O

H

xứng vứi I qua EF. Gọi giao điểm của KH
B

và KI với BC theo thứ tự là U và V.

U

D

C

V

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt

đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai lài G. J

J

là điểm đối xứng với A qua O.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC và đường tròn ngoại tiếp tam
giác KUV tiếp xúc với nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng GJ.
Bài 120. Cho tam giác ABC và hai điểm E, F lần lượt nằm trên cạnh AC, AB sao cho
AE = AF . Gọi D là giao điểm của EF và BC. Gọi K và L theo tứ tự là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác DBF và DCE. Gọi G là điểm đối xứng với D qua KL. Điểm R nằm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF sao cho AG song song với BC. Gọi H là giao
điểm của BE và CF, S là giao điểm của AH và BC. Lấy điểm T thuộc đoạn thẳng GR
sao cho ST vng góc với BC. Gọi M là trung điểm của ST. Chứng minh rằng GS luôn
đi qua điểm cố định khi E và F thay đổi.
Q
A

R
T

G

E
M

K
D

F

B

O

H
C

S

P
L

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 121. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) trong hai điểm đó B, C cố
định và điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Dựng đường tròn ( J ) tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại E, F và tiếp xúc với
đường tròn ( O ) tại K. Đường thẳng qua E vng góc với BI và đường thẳng qua F
vng góc với CI cắt nhau tại P. Chứng minh rằng IP luôn đi qua một điểm cố định
khi A di động trên đường trịn ( O )
N
A
S

L

F

I
E

O
J

T

B G

D

C

K
P

M

Q

Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 122. Cho đường tròn ( O ) và dây AB

N

thuộc đường tròn ( O ) . Đường tròn tâm I
tiếp xúc trong với đường tròn ( O ) tại T

K

B

A

J

P
D
C

và tiếp xúc với AB tại K. Đường kính MN

O

của đường trịn ( O ) vng góc với dây

I
Q
T

AB (Các điểm M, T cùng thuộc một cung
AB). Từ N vẽ các tiếp tuyến NC, ND với

M

đường tròn ( I ) (C, D là các tiếp điểm).
Gọi P là giao điểm của AC và BD, Q là
giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng các điểm P, Q, I, M thẳng hàng.
Bài 123. Tam giác ABC vuông tại A. Gọi
D là điểm đối xứng với B qua A và M là

D

trung điểm CD. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác BDM cắt AC tại điểm E nằm
trong tam giác BCD. Đường tròn ngoại

A

M
K

tiếp tam giác BCE cắt BM tại F khác B .
Gọi I là giao điểm của BE và CF. Gọi K là
giao điểm của BM và DI. Chứng

F
I
J
B

L

E
C

minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác BKC.

G

Bài 124. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi P là điểm nằm trên đoạn EF sao cho DP
vng góc với EF. Tia BP cắt AC tại Y và tia CP cắt AB tại Z. Lấy Q trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác AYZ sao cho AQ vng góc với BC. Chứng minh rằng các điểm I,
P, Q thẳng hàng.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
A

Y

G

T

E
F

S

Z Q P
O
I

B

C

D

H

K

Bài 125. Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Kẻ đường cao
AH của tam giác ABC. Gọi P, Q theo theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Hai
đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn ( O ) tại điểm
K khác A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC. Chứng minh rằng ba điểm
K, H, I thẳng hàng.
A

Q

K

O

P
M

B

C

H
I

Bài 126. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) với I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác. Đường tròn qua C tiếp xúc với AI tại I cắt AC tại E và cắt đường tròn

(O)

tại H (E, H khác C). Đường tròn đi qua B tiếp xúc với AI tại I cắt AB tại F và cắt

đường tròn ( O ) tại G (E, G khác B). Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp tam
giác EIF và GIH tiếp xúc nhau.
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

A

H
E

F

G

M
y
I

x

O

B

C

Bài 127. Cho tam giác ABC có đường có AD. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H
trên AC, AB. Gọi G là giao điểm của EF với BC và H là giao điểm của BE với CF. Gọi
K là hình chiếu của G trên AH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC
và đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tiếp xúc với nhau.
A

P

T
M
E

F
G

H

B
K

Nguyễn Công Lợi

C

D
O

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Bài 128. Cho tam giác nhọn ABC có các
đường cao BE và CF cắt nhau tại D. Gọi

A
L

T, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của
Q

CF, AB, AF, AE. Đường thẳng qua A

P M

vng góc với AB cắt NQ tại L. Đường
thẳng qua F song song với PL cắt NT tại

E

J

R

I
F

R. Chứng minh rằng đường tròn ngoại

V
X

N

G

K

O
D

H

tiếp tam giác NQR tiếp xúc với đường

T
B

trịn đường kính AF.

S

C

Bài 129. Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có D, E, F lần lượt là trung điểm của các

( )

cạnh BC, CA, AB. Gọi ( O ) và O'

theo thứ tự là đường trong ngoại tiếp và đường

tròn Euler của tam giác ABC. Xét P là một điểm nằm trong tam giác DEF và DP, DE,

( )

DF cắt đường tròn O' theo thứ tự tại D' ; E' ; F' . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua
D ' . Xác định tương tự với B' và C' . Chứng minh rằng nếu PO = PO' thì đường tròn

ngoại tiếp tam giác A' B'C' đi qua điểm O.
A

J

S

D'

C'
F

B'

I
H

E
P

A'
O
O' G

F'

E'
B

D

C

.

Bài 130. Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có D, E, F lần lượt là trung điểm của các

( )

cạnh BC, CA, AB. Gọi ( O ) và O'

theo thứ tự là đường trong ngoại tiếp và đường

tròn Euler của tam giác ABC. Xét P là một điểm nằm trong tam giác DEF và DP, DE,
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

( )

DF cắt đường tròn O' theo thứ tự tại D' ; E' ; F' . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua
D ' . Xác định tương tự với B' và C' .Lấy X đối xứng với A ' qua đường thẳng OD. Xác

định tương tự với Y và Z. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và XH, YH, ZH lần lượt
cắt BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng M, N, K thẳng hàng.
A

J

D'

L

M'

E

F

P
H

X

O'

O
A'

M

B

D

C

Bài 131. Cho ta giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) và ( J ) là đường trịn bàng
tiếp góc A của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( J ) với BC,
CA, AB. Gọi L là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính LJ cắt các đường thẳng
DE, DF lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BDK và
đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ( J ) .

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
A

D1
E'
F'

I

O

L

B

D
K

D'

C
E

H

F
X

U

J
Y

U'

V

Z
W

Bài 132. Cho ta giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) và ( J ) là đường trịn bàng
tiếp góc A của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( J ) với BC,
CA, AB. Gọi L là trung điểm của BC. Đường trịn đường kính LJ cắt các đường thẳng
DE, DF lần lượt tại K và H. Giả sử đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại G và
đường thẳng GJ cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi P và Q là các
điểm trên JB, JC sao cho PAB = QAC = 900 . Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng
PM, QN và S là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn ( O ) . Gọi I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng đường thẳng SI cắt đường thẳng AT tại
một điểm thuộc đường trịn ( O ) .

Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An

Tailieumontoan.com
Q

L'
P
S

A

Q'

O
I

P'

D
B

C

S' L

G
E

R

N
F

H'
J

M
A'

T

Bài 133. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) có I là tâm đường trịn nội
tiếp và P là mơt điểm trên cung BC khơng chứa A của đường trịn ( O ) . Các đường
thẳng PB, PC theo thứ tự cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AIB và AIC tại M,
N khác B, C. Các đường thẳng vng góc với MN được kẻ từ M, N cắt đường thẳng
BC theo thứ tự tại Q, R. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR
nằm trên đường thẳng PO.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

T
L
Y
A
S

K

N

E
O

I

M

Z

F
Q

B

X

R

C

J
P

Bài 134. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) . Đường phân giác ngồi của góc
DAB cắt đường phân giác ngồi của góc ABC tại X, đường phân giác ngồi của góc
ABC cắt đường phân giác ngồi của góc BCD tại Y, đường phân giác ngồi của góc

BCD cắt đường phân giác ngồi của góc CDA tại Z, đường phân giác ngồi của góc
CDA cắt đường phân giác ngồi của góc DAB tại T. Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của XZ, YT. Chứng minh rằng tứ giác XYZT nội tiếp đường tròn và XZ vng
góc với YT.
X
A
B
M
T

F
I

Y

O
E
D

C
P
N

Z

Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An

Tailieumontoan.com
Bài 135. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có trực tâm H. Lấy điểm D trên
cạnh BC sao cho AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác hạ từ
điểm A của tam giác ABC. Đường thẳng qua D cắt AB, AC tại F, E sao cho D là trung
điểm của EF. Gọi K là trực tâm của tam giác AEF. Chứng minh rằng đường trịn
đường kính AK tiếp xúc với đường tròn ( O ) .
Bài 135. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) có trực tâm H. Lấy điểm D trên
cạnh BC sao cho AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác hạ từ
điểm A của tam giác ABC. Đường thẳng qua D cắt AB, AC tại F, E sao cho D là trung
điểm của EF. Gọi K là trực tâm của tam giác AEF. Chứng minh rằng đường trịn
đường kính AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
A

Q
O
T

y

K

x

E

H

Y
M

L

B

C

DI

X
F

J
P
N

G

Bài 137. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . Các đường cao BE và CF
cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của BC với EF. Đường thẳng vng góc với BC tại
K cắt BE, CF theo thứ tự tại Q, P. Đường thẳng qua H vng góc với EF và cắt BC tại
L. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng qua L vng góc với BC cắt DB,
DC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ
tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác DMN.
Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

A

P

E
O

G

F

H
L

K

B

J

C

M
D

T
Q
N

Bài 138. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I; r ) . Các cạnh AB, AC tiếp xúc với

đường tròn ( I ) theo thứ tự tại F và E. Trên các tia EA, FA lấy lần lượt các điểm K, L
sao cho EK = FL = r . Đường thẳng qua K vng góc với AC cắt đường thẳng qua L
vng góc với AB tại J. Chứng minh rằng đường tròn ( J; JL ) tiếp xúc với đường trịn
đường kính BC.
A

P
K
L

Q

J

X
E

T
M

N

H

F
I

B

D

C

Bài 139. Cho tam giác ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường trịn ( O ) . Lấy điểm M
trên cung nhỏ BC của đường trịn ( O ) sao cho AM khơng vng góc với BC. Gọi T là
giao điểm của AM với đường trung trực của BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
cắt cắt đường tròn ( O ) tại điểm N khác A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là
chân đường phân giác góc BAC của tam giác ABC. Các đường thẳng AI, MI, NI cắt
đường tròn ( O ) theo thứ tự tại D, E, F. Gọi P, Q tương ứng là giao điểm của DF với
AM và DE với AN. Đường tròn qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H khác D,
đường tròn qua Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K khác D. Chứng minh rằng
đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC.
F
A

E

H
Q

I

P

K
B

C

G
N

M
D

.
Bài 140. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) có I là tâm đường trịn nội
tiếp. Các đường thẳng IB, IC cắt đường tròn ( O ) theo thứ tự tại E, F khác B, C. Gọi P
và Q theo thứ tự là giao điểm của DE với AC và DF với AB. Đường tròn đi qua P, I và
tiếp xúc với AI cắt PE tại H khác P. Đường tròn đi qua Q, I và tiếp xúc với AI cắt QF
tại K khác Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IHK tiếp xúc với
đường trịn ( O ) .

Nguyễn Cơng Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
A
E

F

I

P
H

Q

K
C

T

B

D

Bài 141. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) có I là tâm đường trịn nội
tiếp. Các điểm M, N thuộc đường tròn ( O ) sao cho MN song song với BC. Các đường
thẳng IM, IN cắt đường tròn ( O ) theo thứ tự tại E, F khác B, C. Gọi P và Q theo thứ tự
là giao điểm của DE với AN, DF với AM. Đường tròn đi qua P, I và tiếp xúc với AI cắt
PE tại H khác P. Đường tròn đi qua Q, I và tiếp xúc với AI cắt QF tại K khác Q. Chứng
minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IHK tiếp xúc với đường tròn ( O ) .
E
A

F

H

I

Q

P
K

B

C

T
N

M
D

Bài 142. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) có các đường cao AD, BE,
CF. Gọi M, N theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác BFD và CDE. Gọi P,
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Q theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACN. Gọi T là giao
điểm của PM với QN. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TMN tiếp
xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác TPQ.

A

P

Q

K

E

F
I

N

M
D

B

C
T

Bài 143. Cho tam giác ABC có AB  AC và đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với
BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Đường phân giác của góc BAC cắt DE, DF theo
thứ tự tại X và Y. Giả sử S và T là các điểm trên cạnh BC sao cho XSY = XTY = 90 0 .
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
A

L
E
F

I
X

B

S D

T

C

Y

Bài 144. Cho tam giác ABC và các điểm P, Q nằm trong tam giác sao cho ABP = CBQ
và BAQ = CAP . Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC cắt AC, AB
Nguyễn Công Lợi
Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An