10 chủ đề về mũ và logarit lý thuyết và phương pháp giải bài tập

CHƯƠNG II. MŨ VÀ LOGARIT

Trang 1

toanpt.com


Chủ đề 1: LŨY THỪA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Luỹ thừa vói số mũ nguyên
 Luỹ thừa với số mũ ngun dương.
Cho

và

a∈¡

n∈¥

*

. Khi đó

a n = a1.a4.a2........
4 3a.
n thừ
a số

 Luỹ thừa với sổ mũ ngun âm, luỹ thừa với số mũ 0
Cho

và

a∈¡

n∈¥*

.Khi đó

1 0
; a = 1.
an

a−n =

 Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
 Chú ý:

0

0 và 0
2. Căn bậc

n

Cho số thực
Sơ

a

Khi

Khi
Khi
Khi

−n

( n∈¥ )

.

b

và số ngun dương

được gọi là căn bậc

n
n
n
n

lẻ ;

b∈¡

chẵn và
chẵn;
chẵn;

khơng có nghĩa.

*

n

của số

n > 2.
b

nếu

a n = b.

:Tồn tại duy nhất một căn bậc

b < 0

b=0
b>0

n

thì khơng tồn tại căn bậc

n

chỉ có duy nhất một căn bậc
có 2 căn bậc

n

của số thực

n

b

của số
của số
của số

là
n

b
b
b

là

.
n

b

.
là
n

b và − b

0 =0

.

n

3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực

a>0

và số hữu tỷ

m
r=
n

, trong đó

m ∈ ¢; n ∈ ¥ , n ≥ 2.

.Khi đó

m
n

a = a = n am
r

4. Luỹ thừa vói số mũ vơ tỷ
Giả sử

a

Khi đó

là một số dương và

α

là một số vơ tỷ và

( rn )

là một dãy số hữu tỷ sao cho

n

lim a r = aα .

m →+∞

5. Các tính chất
Cho hai số dương

a; b

Nhóm cơng thức 1

Trang 2

và

m; n ∈ ¡

. Khi đó ta có cơng thức sau.
Nhóm cơng thức 2
toanpt.com

lim rn = α

m →+∞


1.
2.

3.

1.

a m .a n = a m + n
a
1


= a m−n  m = 0 ⇒ n = a −n ÷
n
a

a



(a )

m

2.

m

n

n

m. n

+) Tính chất 1:

n

a n .b n = ( ab ) , n a . n b = n ab

3.

=a

( a)

a = n am =

m

m n

n
n

an  a  n a n a
= ÷ ,
=
.
bn  b  n b
b

0
 a = a
∀a ∈ ¡
 1
 a = a

+) Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):

 a > 1: a m > a n ⇔ m > n

m
n
 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n

+) Tính chất 3(so sánh lũy thừa khác cơ số): Với

a>b>0

thì

am > bm ⇔ m > 0
 m
m
a < b ⇔ m < 0

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức

A=
A.

A=a

( a ) .( a ) . (
3

B.

49
12

A=a

3

4

a

5

) ( a > 0)

C.

133
60

ta được:

A=a

D.

23
12

5

A = a2

Lời giải
Ta có:

3

4

3 4 5
+ +
3 4

5

A = a 3 . 3 a 4 . 4 a 5 = a 2 .a 3 .a 4 = a 2

49

= a 12

Chọn A.
Cách 2 : Các em có thể cho

a=2

và bấm
log 2

(

23 . 3 2 4 . 4 25

)

49
49
=
⇒ A = a 12
12

(tại sao

lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé )
Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức

1
3 6

1
2

ta được:

A = b .b . b ( b > 0 )
A.

A=b

B.

2

C.
A= b

3

A=b

Lời giải
Ta có:

1

1

1

1 1 1
+ +
3 6

A = b 2 .b 3 .b 6 = b 2

Trang 3

=b

toanpt.com

D.
3

b2

( Các em có thể cho

và bấm máy

b=2

1
3

).

1
3 6

log 2 2 .2 . 2 = 1 ⇒ A = b

Chọn C.
Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức

ta được:
3

a. a
6
a

A=
A.

B.

A = a2

A=a

2

( a > 0)
C.

5
6

A=a

D.

5
6

A=a

Lời giải
Ta có:

1

2

1 2 1
+ +
a. 3 a 2 a 2 .a 3
2 3 6
=
=
a
= a.
1
6
a
6
a

A=

Chọn D.
Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức

A = a. a. a
3

A.

B.

A = a2

12

4

A=a

5

ta được:

( a > 0)
C.

5
6

A=a

D.

2
3

A=a

Lời giải
Ta có:

1

1

1 1 5
+ +
4 12

5

A = a 3 .a 4 .a 12 = a 3

= a.

Chọn D.
Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức

A= a
A.
A=a

B.

2+ 2 3

A=a

1+ 3 3

. a

2+ 3 6

. a

5+ 3

( a > 0)

C.

2+ 3

A=a

ta được:

3+ 3

D.

A = a1+

3

Lời giải
Ta có:
A=a

1+ 3
2

.a

2+ 3
3

.a

1+ 3
6

=a

1+ 3 2 + 3 5 + 3
+
+
2
3
6

= aa

2+ 3

.

Chọn B.
Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức
π 3

A=a . a
A.

A=a

2π + 3
2

B.

A=a

2π + 3
3

π

6 ( a > 0)

ta được:

C.

A=a

5π + 3
3

Lời giải
Ta có:
A = aπ . 3 aπ 6 = aπ . 3 a π .a

Chọn D.
Trang 4

π +3
4π + 3
6
= a3 3 a π +3 = a π .a 3 = a 3 .
2

toanpt.com

D.

A=a

4π + 3
3


(Cách ra đề này nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO )
Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức

A.

A = a 3−

A=(a

B.

)

2 3+ 2 2

A = a 3− 2

2

ta được:
1− 2

.a

.a

−4 − 2

C.

( a > 0)
D.

A = a 3+

2

2

A = a 2−2

2

Lời giải
Ta có:
A = a 6+ 4 2 .a1− 2 .a −4−

= a 6+ 4

2

2 +1− 2 − 4 − 2

=a

3−2 2

.

Chọn B.
Ví dụ 8: Đơn giản biểu thức

A=
A.

B.

1
A=a−
a

(

4+ 4 2

a

−a

2 2

) .a

ta được:
−1− 2 2

C.

1
A = a2 −
a

.

1
A= a−
a

D.

A = a2 − a

Lời giải
Ta có:
A=

(

a

4+ 4 2

−a

2 2

) .a

−1− 2 2

 4+ 4
= a 2



2

−a

2 2

 −1−2
.a
÷
÷


2

=a

2 + 2 2 −1− 2 2

−a

2 2

1
−1
a
−
a
=
a
−
.
−1− 2 2
a

Chọn A.
Ví dụ 9: Đơn giản biểu thức

ta được:

A = 3 a3
A.

A=a

5
6

B.

A=a

1
a3
2
a
C.

5
18

A=a

D.

5
9

5

A = a 16

Lời giải
Ta có:

A = 3 a3

1
3 3 3 − 12 3
−1 3 5
5
3
3 a 3 a −2 .a
a
=
= a a = a.a
= a =a
2
a
2
6
6
18

Đương nhiên bài tốn này ta có thể cho



 5
1
5
log 2  3 2 3 2 23 ÷ = ⇒ A = a

÷ 18
2
18



a=2

và bấm

.

Chọn B.
Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức

b b 
2
A = 1 − 2
+ ÷
:  a − b b
÷
a a 

1
2

A.

A = a−b

Trang 5

B.

A=a

C.

1

1
A=
a

toanpt.com

ta được:

2


÷
÷


( a; b > 0 )
D.

A = a+b


Lời giải
Ta có:

2


b
A =  1 −
÷ :




(

a− b

2

)

2

  a− b

= 
÷ :
a ÷



)

(

1
a − b2 = .
a

Chọn C.
Với bài tốn này các em vẫn có thể sử dụng CASIO bằng cách cho
Thay

a = 4; b = 9

ta được

a = 4; b = 9

và thử đáp án.

1
A= .
4

Chọn C.
Ví dụ 11: Đơn giản biểu thức
−2

ab .

A=
A.

11
6

A = a .b

3

B.

−1
3

11
6

A = a .b

(

ab

2

ta được:

)

( a; b > 0 )

ab 2

C.

−1
3

5
6

A = a .b

D.

−1
3

5
6

A = a .b

1
3

Lời giải
Ta có:
A=

(

ab−2 . ab2

)

3
2

2
2 3

( ab )

3

=

ab−2 .a2 .b3
2
3

4

3

=

5

5

a2 .b

a2 .b

2
3

a .b

4
3

=

a .b

2
3

4
3

−1

11

= a16 .b 3

a .b

Chọn A
Ví dụ 12: Đơn giản biểu thức

 a5 
A =  5−2 ÷
b
÷


A.

B.

3+ 2 5

A= a

3+ 2 5

A= a

ta được:

5+ 2

.

a−2− 5
b−1

( a;b > 0)

C.

3+ 5

A= a

2

.b

D.
2

.b

a3+

5

Lời giải

Ta có:

(a )
5

A=

(b )
5− 2

5+ 2

.
5+ 2

b
2+ 5

a

=

a5+ 2 5 .b
2+ 5

ba
.

= a3+

5

Chọn D
Ví dụ 13: Đơn giản biểu thức:
A=

A.

A = ab

B.

1
3

b+ b

a

A = ab
3

1
3

6

a+ 6 b

ta được:

a

( a;b > 0)
C.

A = ab
6

Lời giải
Trang 6

toanpt.com

D.

A= 6 a− 6 b


Ta có:

1 1
1
 1

a3 .b3  a6 + b6 ÷
a .b + b .a

 = 3 ab
A=
=

1
1
1
1
a6 + b6
a6 + b6
1
3

1
2

1
3

1
2

Chọn B
Ví dụ 14: Đơn giản biểu thức

1
3

7
3

1
3

4
3

a −a

A=

B.

A = a+ b

3
2

1
2

−1
2

b −b

−

a −a

A.

ta được:

−1
2

( a;b > 0)

b +b

C.

A = a− b

A = a + b+ 2

D.

A = a− b+ 2

Lời giải
Ta có:

1

A=

(

a3 1− a2
1
3

a ( 1− a)

)−

−1

(

b 2 1− b2
−1
2

b

( b + 1)

) = 1+ a −

( 1− b) = a + b

Chọn A
Ví dụ 15: Đơn giản biểu thức:

−1
2

5
2

−1

2

1
2

a +a

A=

+

a +a

A.

A = a2 + b

B.

1
4

9
4

5

1

ta được:

b −b

b4 − b4

C.

A = a2 + a − b

A = a2 − a − b

D.

A = − ( a + b)

Lời giải
Ta có:

−1

A=

(

a 2 1+ a3
−1
2

a

( 1+ a)

1

)+ (

b4 1− b2
1
4

) =a

+ 1 b2 − 1 2
−
= a − a + 1− ( b + 1) = a2 − a − b
a+ 1 b− 1
3

b ( b − 1)

Chọn C
Ví dụ 16: Đơn giản biểu thức



a + 3 b  a + b − 3 ab ÷

 a;b > 0; a ≠ b
A=
(

)
2
2
 3

3
3
3
3
a − b  a + b + ab ÷



(

3

(

A.

a+ b
A=
a− b

B.

a− b
A=
a+ b

)

2
3

)

C.

A=1

Lời giải

Trang 7

ta được

2
3

toanpt.com

D.

1

1

a3 + b3

A=
a− b


Ta có:

2
 2

a + 3 b  a3 + b3 − 3 ab ÷

=
A=
2
2


3
a − 3 b  a3 + b3 + 3 ab ÷



(

)

3

(

)

( a ) + ( b)
( a ) − ( b)
3

3

3

3

3

3

3

3

a+ b
a− b

=

Chọn A
Ví dụ 17: Cho
A.

.Tính giá trị biểu thức

2x = 3
A = 4x + 3.2− x − 1
B.

A=8

C.

A= 9

D.

A = 11

A = 17

Lời giải
Ta có

( )

A = 2x

2

+

3
− 1 = 9 + 1− 1 = 9
2x

Chọn B
Ví dụ 18: Cho

A.

3x = 2

. Tính giá trị của biểu thức

2x−1

 1
A = 32x−1. ÷
 3
B.

A = 39

C.

A = 25

+ 9x+1
D.

81
A=
2

A=

45
2

Lời giải
Ta có :
A = 3x+1.

1
2x+1

3

( )

+ 9x.9 = 3− x+ 2 + 9. 3x

2

9
+ 9. 3x
x
3

( )

=

2

=

81
2

Chọn C
Ví dụ 19: Biết rằng

A.

2 =5
x

. Tính giá trị của biểu thức

B.

28
A=
5

2x

x

 3  2 
A =  ÷ .
+ 4− x+ 2
÷

 2  3 
C.

31
A=
3

D.

A=6

A=

141
25

Lời giải
Ta có:

x

 3
A=  ÷
 2

x

x

16

16 141
 4  16  3 4 
. ÷ + x =  . ÷ +
= 2x +
=
2
25 25
4  2 3
 3
2x

( )

Chọn D
Ví dụ 20: Cho
A.

2 = a; 3 = b
x

x

A = a + ab + b
3

2

B.

. Hãy biểu diễn

A = 24 + 6 + 9
x

A = a b + ab + b
2 2

2

C.

x

theo a và b.

A = ab + ab + a

Lời giải
Trang 8

x

toanpt.com

3

2

D.

A = a3 + ab + b2


Ta có:

A = ( 23.3) + ( 2.3) + ( 32 ) = 23x.3x + 2x.3x + 32x = a3b + ab + b2
x

x

x

Chọn A
Ví dụ 21: Cho

A.

(

)

. hãy tính giá trị của biểu thức

x

2+1 = 3

A=

B.

A = 18

C.

A=0

(

)

2 −1

2x

(

+ 3+ 2 2

D.

82
A=
9

A=

)

x

28
9

Lời giải
Ta có:

(

)(

)

2+1

Do đó
A= 


(

(

) (

2 − 1 = 1; 3+ 2 2 =

)

−1 2x

2+1 


+


(

)

x

2+1  =

2

)

2+1

(

2

)

2+1

−2x

+

(

)

2+1

2x

= 3−2 + 32 =

82
9

Chọn C
Ví dụ 22: Cho
A.

5 =4
x

hãy tính giá trị của biểu thức

x

T = 25x − 52− x + 52
B.

T = 14

C.

47
T=
4

T = 118

D.

T=6

Lời giải
Ta có:

( )

T = 5x

2

−

25
25
47
+ 5x = 16 −
+ 2=

x
4
4
5

Chọn B
Ví dụ 23: Cho
A.

a = 2x ;b = 5x

B.

T = ab( a + b)

. Hãy biểu diễn

T = 20x + 50x
C.

ab
T=
a+ b

theo a và b

T = a2 + ab2

D.

T = ab + a2b

Lời giải
Ta có:

T = ( 22.5) + ( 52.2) = 22x.5x + 52x.2x = a2b + ab2 = ab( a + b)
x

x

Chọn A
Ví dụ 24: Cho

− 3

a

A.

− 2

và

>a

B.

1> a > b > 0

a >b

x

x

. Khẳng định nào sau đây là đúng
C.

1> b > a > 0

a> b> 1

Lời giải
Ta có:

− 3< − 2

Trang 9

nên

a−

3

> a− 2 ⇔ 0 < a < 1

toanpt.com

D.

b> a> 1


Mặt khác

do vậy

a > b ⇔ a> b
x

x

1> a > b > 0

Chọn A
Ví dụ 25: Cho

( a − 1)
A.

−3
4

−4
5

> ( a − 1)
B.

a;b > 1

và

. Khẳng định nào sau đây là đúng
b > b
3

3

2

C.

0 < a < 2;b > 1

D.

0 < a < 2;b < 1

a > 2; b > 1

Lời giải
Ta có:

−3 −4
>
4
5

nên

−3

−4

( a − 1) 4 > ( a − 1) 5

Mặt khác

3
2

⇔ a − 1> 1⇔ a > 2

2
3

b > b ⇔ b > b ⇔ b> 1
3

3

Do đó

2

a > 2; b > 1

Chọn D
Ví dụ 26: Khẳng định nào dưới đây là đúng

A.

(x

2

C.

(

+ 1)

2017

)

2+1

> ( x + 1)

x2 +1

2

>

(

2016

)

2 −1

1− x2

B.

( ∀ x ∈ R)

(

) (
5

2 −1 >

)

2 −1

4

D. Cả A và C đều đúng

( ∀ x∈ R)

Lời giải
A sai vifkhi

không thỏa mãn

x= 0

C đúng vì

(
nên

(

)

2 −1

)

2+1

x2 +1

>

1− x2

(

=


(
)

2 −1

)

2+1 

1− x2

−1

1− x2

=

(

)

2+1

x2 −1

( ∀ x∈ R)

Chọn C
Ví dụ 27: Cho

và

( a − 2)
A.

2< a< b< 3

2

( a − 2)

>

B.

3

( a − 1)

2< b< a < 3

− 2

> ( b − 1)

C.

− 2

b> a> 3

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

D.

a> b> 3

Lời giải
Ta có:

( a − 2)
Suy ra

2

>

( a − 2)

3

⇔ ( a − 2)

2

3
3

> ( a − 2) 2 ⇔ 0 < a − 2 < 1  do 2 < ÷
2



.
2< a< 3

Trang 10

toanpt.com


Mặt khác
Do đó

( a − 1)

> ( b − 1)

− 2

⇔ ( a − 1)

− 2

2

< ( b − 1)

2

⇔ a − 1< b − 1 ⇔ a < b

2< a< b< 3

Chọn A
Ví dụ 28: Đơn giản biểu thức

T=
A.

B.

T= 4a

a− b
4

a− b
4

a − ab

ta được:

4

−

4

a− 4 b

C.

T= 4b

T = 4 a+ 4 b

Lời giải
Ta có:

( a ) − ( b)
T=
2

4

4

4

a− b
4

2

4

−

a

(

4

4

a+ 4b

a+ b
4

)=

4

a+ 4 b− 4 a = 4 b

Chọn B

Trang 11

toanpt.com

D.

T=0


CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I. LÝ THUYÉT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Định nghĩa hàm số lũy thừa
+ Hàm sô

, với

y = xa

a∈ R

, được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định
+ Hàm số

y= x

a

+ Hàm sô

y = xa

+ Hàm số

y = xa

, với a nguyên dương, xác định với
, với a nguyên âm hoặc

a= 0

∀ x∈ R

xác định với

∀≠0

.

, với a khơng ngun, có tập xác định là tập các số thực dương.

Lưu ý. Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
Theo định nghĩa, đẳng thức
n

Do đó, hàm số

1
n

1
n

chỉ xảy ra nếu

x= x

không đồng nhất với hàm số

y= x

Chẳng hạn, hàm số
số lũy thừa

1
3

y=

xác định với

y= x

3

x

x> 0

.

y = n x ( n∈ N * )

là hàm số căn bậc ba, xác định với

∀ x∈ R

còn hàm

∀x> 0

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
+ Hàm sô lũy thừa
+ Nếu hàm số

hàm trên J và

y= x

a

u = u( x)

( α ∈ R)

có đạo hàm tại mọi điểm

x> 0

và

nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì

( x ) ' = α .x
α

α −1

y = ua ( x)

cũng có đạo

( u ( x) ) ' = α .u ( x) u'( x)
α

α −1

Chú ý. Ta cần lưu ý hai kết quả sau:
+ Với

∀x> 0

nếu n chẵn, với

∀x≠ 0

nếu n lẻ thì

( x) ' = n
n

n

+ Nếu

Trang 12

u( x)

là hàm số có đạo hàm trên J và

toanpt.com

u( x) > 0

với

1
xn−1

∀ x∈ J

khi n chẵn


u( x) ≠ 0

với

khi n lẻ thì

∀ x∈ J

(

n

)

u( x) ' =

(Với

u'( x)

)

∀ x∈ J

nn un−1 ( x)

4. Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừa
Trong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng
+ Hàm số
+ Hàm số

y = xα
y = xα

+ Đồ thị hàm số

đồng biến trên khoảng

nghịch biến trên khoảng

α

y=x

luôn đi qua điểm

nếu

( 0; +∞ )

( 0; +∞ )

với

y = xα

α ≠0

và với tập xác định là

α >0

nếu

α <0

(1;1)

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số

y = ( x − 3x + 2 )
2

A.

C.

B.

D = [ 1; 2]

D.

D=¡

100

.

D = [ 2; +∞ ) ∪ ( −∞;1]
D = (1; 2)

Lời giải:
Hàm số

với

y = xα

Do đó hàm số

α

nguyên dương, xác định với

y = ( x − 3x + 2 )
2

100

xác định với

∀x ∈ ¡

∀x ∈ ¡

.

.

Chọn C.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số

y = ( x − 8)
3

A.
C.

B.

D = ( 2; +∞ )

D.

D = ( −∞; 2 )

−100

.

D = ¡ \ { 2}
D = ( −2; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )

Lời giải:
Hàm số
Hàm số

y=x

với

α

y = ( x − 8)
3

α

nguyên âm, xác định với

−100

xác định

∀x ≠ 0

x3 − 8 ≠ 0 ⇔ x3 ≠ 8 ⇔ x ≠ 2

Chọn B.

Trang 13

.

toanpt.com

.

( 0; +∞ )


Ví dụ 3 : Tìm tập xác định D của hàm số
A.
C.

y = ( x3 − 8 )

B.

D = ( 2; +∞ )

D.

D = ( −∞; 2 )

0

D = ¡ \ { 2}
D = ( −2; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )

Lời giải:
Hàm số
Hàm số

với

y = xα

y = ( x − 8)
3

α =0
0

xác định với

xác định

∀x ≠ 0

.

⇔ x3 − 8 ≠ 0 ⇔ x3 ≠ 8 ⇔ x ≠ 2

.

Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số

y = ( x − 6x + 8)
2

A.
C.

B.

D=¡

D.

D = ( 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )

1
100

D = [ 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2]
D = [ 2; 4]

Lời giải:
Hàm số

y = xα

với

α

khơng ngun , có tập xác định là tập số thực dương.

Hàm số

y = ( x 2 − 6 x + 8)

1
100

xác định

x > 4
x2 − 6 x + 8 > 0 ⇔ 
⇒
x < 2

Đáp án C đúng

Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số

A.
C.

y = ( x2 − 6 x + 8)
B.

D=¡

D.

D = ( 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )

2

D = [ 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2]
D = [ 2; 4]

Lời giải:
Hàm số

y = xα

Hàm số

với

α

khơng ngun , có tập xác định là tập số thực dương.

y = ( x − 6 x + 8)
2

xác định
2

x > 4
x2 − 6x + 8 > 0 ⇔ 
⇒
x < 2

Chọn C.

Trang 14

toanpt.com

Đáp án C đúng


Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số
A.

y ' = 40 x ( x + 1)
3

4

B.

9

y = ( x 4 + 1)

10

C.

y ' = 10( x 4 + 1)9

(x
y' =

4

+ 1)

D.

11

(x
y' =

4

+ 1)

11

44 x 3

11

Lời giải:

Ta có

y ' = 10 ( x 4 + 1)

10 −1

.4 x 3 = 40 x 3 ( x 4 + 1)

9

Chọn A.
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số

1

y = ( x 2 − 4 x + 10) 4
A.

y ' = ( x 2 − 4 x + 10 )
C.
y' =

B.

1
4

1

y = ( 2 x − 4 ) ( x 2 − 4 x + 10 ) 4

D.

1
4 ( x 2 − 4 x + 10 )

y' =

3
4

x−2
3

2 ( x 2 − 4 x + 10 ) 4

Lời giải:
Ta có

y' =

1
3
−1
1 2
1
2
4
x
−
4

x
+
10
2
x
−
4
=
x
−
2
x
−
4
x
+
10
) (
)(
(
) (
)4 =
4
2

x−2
2 ( x − 4 x + 10 )
2

3

4

Chọn D.
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số

y = 3x 2 − 2 x + 1
A.
y' =

B.

1
2 3x 2 − 2 x + 1

C.

1

y'=

y' =

3x 2 − 2 x + 1

6x − 2
3x 2 − 2 x + 1

Lời giải:
Ta có

2

1  2

3x − 2 x + 1 =  x 3 −
÷ + > 0, ∀x ∈ ¡
3 3

2

1

⇒ y = ( 3 x 2 − 2 x + 1) 2 ⇒ y ' =

6x − 2
2 3x 2 − 2 x + 1

3x − 1

=

3x 2 − 2 x + 1

Chọn D.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số

A.

y ' = 2 ( x 4 + 1)
Trang 15

1
1+ 2

y = ( x 4 + 1)

2

B.

(x
y'=

4

+ 1)

1+ 2

1+ 2

toanpt.com

D.
y' =

3x − 1
3x 2 − 2 x + 1

C.

y ' = 4 2 x ( x + 1)
3

4

D.

1
1+ 2

1
1
4
1
+
y ' = 3 ( x + 1) 2
4x

Lời giải:
Ta có

y ' = 2 ( x 4 + 1)

2 −1

1

.4 x 3 = 4 2 x 3 ( x 4 + 1) 1+

2

Chọn C.
Câu 10: Cho hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

y=
A.

y' =

4

x2 + 1
x2 + 2

B.

1

y3 ( x2 + 2)

y' =

2

C.

x

2 y3 ( x2 + 2)

y' = −

2

D.

1

y3 ( x2 + 2)

y' = −

2

x

2 y3 ( x2 + 2)

Lời giải:
Ta có

1

1

 x2 + 1  2 

x2 + 1
1 4
>
0,
∀
x
∈
¡
⇒
y
=
 2
÷ = 1 − 2
÷
2
x +2
 x +2
 x +2

1

−

−4

3

 x2 +1  4
1
1 4

1
x
⇒ 1 − 2
.
.2
x
=
 2
÷ .
÷
2
2
4 x +2
x +2
 x + 2  2 ( x2 + 2)
1
−

 x2 + 1 
 2
÷
 x +2

3
4

.

x

2 ( x + 2)
2

2

=

1
x
x
.
=
2
2
3
2
3
y 2 ( x + 2)
2 y ( x2 + 2)

Chọn B.
Câu 11: Cho hàm số
y = 3 ln
A.

(x

2

B.

4 ln ( x + 1)
2

y'=

2

2 x ln ( x + 1)
2

y' =

3 y 2 ( x 2 + 1)

+ 1) + 2

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

C.
y' =

3 y 2 ( x 2 + 1)

4 x ln ( x + 1)
2

3 y 2 ( x 2 + 1)

D.

y'=

Lời giải:
Ta có
ln

(x

2

2

( ( x + 1) + 2 )

+ 1) + 2 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ y = ln

(

1
⇒ y ' = ln 2 ( x 2 + 1) + 2
3
4
.
3

1

( (x
ln

2

Trang 16

2

+ 1) + 2

)

2
3

.

)

1
−1
3

2

2

(

1
3

2x
4
.2 ln ( x + 1) . 2
= ln 2 ( x 2 + 1) + 2
x +1 3

x ln ( x 2 + 1)
x2 + 1

2

)

−

2
3

2
2
4 1 x ln ( x + 1) 4 x ln ( x + 1)
= . 2.
=
3 y
x2 + 1
3 y 2 ( x 2 + 1)

toanpt.com

.

x ln ( x 2 + 1)
x2 + 1

2ln ( x 2 + 1)

3 y 2 ( x 2 + 1)

2


Chọn C.

Trang 17

toanpt.com


CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.Định nghĩa
Cho 2 số dương a,b với

Như vậy

a ≠1

thỏa mãn đẳng thức

aα = b

được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là

log a b

aα = b ⇒ α = log a b

Ví dụ: Tính biểu thức sau:
log 2 4;log 2 32;log

Để tính biểu thức
Do vậy

aα = b

a = 10

( 4 2 ) ; log

3

27; log 3 9

? Ta đi trả lời câu hỏi a mũ bao nhiêu thì bằng b.

( a ? = b)

Các bạn tính các giá trị còn lại nhé!

log 2 4 = 2, log 2 8 = 3;log 2 4 = 4...

Chú ý: +) Khi

2

là cơ số thập phân ta ký hiệu:

(
được hiểu là
).
log x log x
log10 x

Đọc là Lốc x.
+) Khi

ln e x

a = e ≈ 2,712818

là cơ số tự nhiên ta kí hiệu:

ln x

. Đọc là len x hoặc log nepe của x (

).

2. Các công thức Logarit cần nhớ.
Công thức 1:

Công thức 2:

log a a x = x, (∀x ∈ R;1 ≠ a > 0)

a log a x = x( x > 0;1 ≠ a > 0)

Chứng minh: Ta có:
Cơng thức 3: +)

.

.

log a x = log a x ⇔ x = a log a x

3

log a x + log a y = log a ( xy )

+)

log a x − log a y = log a

x
( x; y > 0;1 ≠ a > 0 )
y

Chứng minh: Ta có:
x = a log a x ; y = a loga y ⇒ xy = a loga x +log a y ⇔ log a ( xy ) = log a a a

log a ( xy ) = log a x + log a y
Công thức 4:

Trang 18

log a b n = n.log a b;

toanpt.com

loga x + log a y

ln x

được hiểu là

.


1
log a n b = log a b(a, b > 0; a ≠ 1)
n
Chứng minh: 1. Ta có:

Chứng minh: 2. Đặt

log a b n = log a ( b.b.b...b ) = log a b + log a b + ... + log a b = n log a

log a n b = y ⇒ b = ( a n ) = a ny ⇔ log a b = log a a ny
y

⇔ log a b = ny = n.log an b ⇔ log an b =
Công thức 5:

1
log a b
n
(Nhớ: giống vecto uuu
r uuur uuur )
AB + BC = AC

log a b.log b c = log a c ( a; b; c > 0; a; b ≠ 1)

Chứng minh: Ta có:
Hệ quả: Khi cho

log a b.log b c = log a b

a=c

log b c

= log a c

( vì

b

logb c

=c

ta có:
log c b.log b c = log c c = 1 ⇔ log c b =

theo công thức 2)

1
log b c

II. VÍ DỤ MINH HỌA
1. CƠNG THỨC VỀ LOGARIT
Ví dụ 1: Trong các số a thoã mãn điều kiện dưới đây. Số nào lớn hơn 1.
A.

log 2 a = −2

B.

log 3 a = π

C.

log 4 a = −1
2

D.

log 3 a = −0,3

Hướng dẫn: Chọn B.

Ta có

log 3 a = π ⇒ a = 3π > 1

Ví dụ 2: Trong các số a thoả mãn điều kiện dưới đây. Số nào nhỏ hơn 1.
A.

log 1 a = −2

B.

log a 5 = 2

C.

D.

log 3 5 = a

log 1 a = 2

3

3

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có

2

log 1
3

 1  1
a=2⇔a=
÷ = <1
 3 3

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức

là
A = log a a a a 3 (1 ≠ a > 0)

A.

4
a=
3

B.

C.

3
a=
4

D.

8

a=
9

a=

9
8

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có
3

5

5

9

9

log a a a a 3 = log a a a.a 2 = log a a a 2 = log a a.a 4 = log a a 4 = log a a 8 =
Trang 19

toanpt.com

9
8


Cách 2: Cho

a=2

. Nhập vào máy tính



log 2  2 2 23 ÷ =



Ví dụ 4: Giá trị của biểu thức

ta được kết quả bằng

9
8

là:
a3
A = log a 4
( 1 ≠ a > 0)
a a

A.

B.

1
A=

4

C.

1
A=
3

D.

1
A=
2

A=

3
4

A=

39
10

Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

3

3 

1

− 1+ ÷
a3
a2
1
2  4
log a 4
= log a
log
a
=
a
1
4
a a
a.a 4

Cách 2: Cho

a=2

nhập vào máy tính

Ví dụ 5: Giá trị của biểu thức

 2 
log 2  4 ÷ =
2 2÷




(

A = log a a

A.

ta được

3

B.

17
A=
5

A=

)

a a ( 1 ≠ a > 0)

3

5

C.

37
A=
10

1
4

là:
D.

21
A=
5

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:

1 1
37
3+ +
 3 12 15 
37
2 5
10
log a (a . a a ) = log a  a .a .a ÷ = log a a
= log a a =
10



3

5

Ví dụ 6: Cho

và
B.

9
A=
4

y y3 = b

log y

x x x = xa

A.

( với
C.

3
A=
2

x; y > 0; y ≠ 1

). Vậy

15
A=
8

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:

.
3
2

7
8

7
4

x x x = x x = x. x = x ⇒ a =
(Các em có thể bấm

7
8

).
log 2 2 2 2 =

Lại có:

log y y = log y
3

Trang 20

3
2

5
2

5
4

y. y = log y y = log y y =

toanpt.com

5
17
=b⇒ A=
4
8

A = a+b

D.
A=

17

8

bằng


Ví dụ 7: Cho

và
log y

x x 3 x4 = xm
A.

B.

23
A=
12

( với
y

3

y =n

2

C.

7
A=
4

x; y > 0; y ≠ 1

). Vậy

A= m+n

D.

A=3

bằng:

7
3

A=

Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
4

7

13

13

x x 3 x 4 = x x.x 3 = x x 6 = x 6 = x 12 ⇒ m =

13
12

Lại có

log y

3

1

3

Do đó
A= m+n =

5

5

3

y 2 y = log y y 2 . y 2 = log y

y 2 = log y y 6 =

23

12

Ví dụ 8: Thu gọn biểu thức

(

A = a3 a
A.

)

log a b

+

( b)
3

A= a + b
3

ta được:

logb a

( 1 ≠ a; b > 0 )

2

B.

7

5
=n
6

C.

A= a + b

2

3

7

D.

A= a + b

2

2

3

A = 3 a 2 + b7

7

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:

log a b

 3 12 
A =  a .a ÷



logb a

 23 
+ b ÷
 

log a b

 72 
= a ÷
 

logb a

 23 
+ b ÷
 

Ví dụ 9: Thu gọn biểu thức
2

(

A = (a a 3 ) loga b + b b
A.

B.

A = a 5 + b3

)

C.

A = a 3 + b5

7

=b

log b a 2

7
2

2

+a

log a a 2

logb b 3

=b +a

2
3

ta được:

(1 ≠ a; b > 0)
D.

A = a 3 + b3

A = a 5 + b5

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
log a b2



A =  a.a ÷


3
2

5

logb a 2



+  b.b ÷


1
2

log a b2

 
= a ÷
 
5
2

log b a 2

 3
+ b2 ÷
 

= (b 2 ) loga

5
a2

=(a

)

3

2
2 logb b

3

= ( b2 ) 2 + ( a 2 ) 2 = b5 + a 3
Ví dụ 10: Thu gọn biểu thức

(

A = a. a
A.

5
8

A = a +b

4
3

B.

4

5
4

A = a +b

)

4
3

log a b

(

+ b. b
3

C.

(1 ≠ a; b > 0)
4
3

A= a +b

Hướng dẫn: Chọn C.

Trang 21

)

ta được:
logb a

toanpt.com

5
8

D.

4

5

A = a3 + b2


Ta có:
log a b

 
A = a ÷
 
5
4

lob a

 
+ b ÷
 
4
3

=

( b)

5

log a a 4

+a

logb

5
b4

5
4

4
5
4
 
3
8

= b ÷ + a = b + a3
 
1
2

Ví dụ 11: [Trích đề thi THPT QG năm 2017]
Cho

log a b = 2

A.

và

. Tính

log a c = 3
B.

P = 108

P = log a ( b 2 c3 )

C.

P = 13

D.

P = 31

P = 30

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:

P = log a ( b 2 c 3 ) = 2 log a b + 3log a c = 13

Ví dụ 12: Cho
A.

log 3 x = 4log 3 a + 2 log 3 b ( a; b > 0 )
B.

x = 8ab

x = a +b
4

. Khi đó
C.

2

D.

x= a b
2

x = a 4b 2

Hướng dẫn: Chọn D.
log 3 x = 4 log 3 a + 2 log 3 b = log 3 a 4 + log 3 b 2 = log 3 a 4b 2

Do vậy

x = a 4b 2

Ví dụ 13: Cho

log 1 x = log 1 a a + log 1
3

3

A.

3

b
b b

B.

x= a b
4

( a; b > 0 )
C.

x = ab

3

. Khi đó:

4

D.

x= a b

3

4

3 3

x = 4 ab

Hướng dẫn: Chọn A.

log 1 x = log 1 a a + log 1
3

3

Do đó

3

3
4

x = a .b

1
4 4

b
b b

3

= log 1 a 2 + log 1
3

3

log 4 x = 2 log 2 3 a 2 + 3log 2
2
3

x = 6.a .b

−

3

1

= log 1 a 4 + log 1 b 4
3

b2

3

a 3b

Ví dụ 14: Cho

A.

3

b

5
2

B.

4
3

x = a .b

−15
2

1
b2 b

. Khi đó:

( a; b > 0 )
C.

4
3

x = a .b

D.

15
2

x = −10ab

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:

log 4 x = 2 log 2 3 a 2 + 3log 2

Trang 22

1
b2 b

2

−5

4

= 2 log 2 a 3 + 3log 2 b 2 = log 2 a 3 + log 2 b

toanpt.com

−15
2


Do đó

4
3

x = a .b

−15
2

Ví dụ 15: Rút gọ biểu thức

1
a + log 4 2 − log
a

A = log 2
A.

33
A = log 2 a
2

B.

C.

33
A = − log 2 a
2

ta được
a ( a > 0)
8

2

A = 33log 2 a

D.
A=

−1
log 2 a
2

A=

2
log 2 a
3

A=

− 2
4

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
1
a + log 4 2 − log
a

A = log 2

A=

1
2

a = log 2 a + log 22 a −2 − log 1 a 8
8

2

22

1
−33
log 2 a − log 2 a − 16 log 2 a =
log 2 a
2
2

Ví dụ 16: Rút gọn biểu thức
A.

B.

A = log 2 a

A = log 4 a − log 8 a + log16 a 2 (a > 0)

C.

13
A = log 2 a
6

ta được:

3
A = log 2 a
2

D.

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
A = log 4 a − log 8 a + log16 a 2 =

1
1
2
2
log 2 a − log 2 a + log 2 a = log 2 a
2
3
4
3

Ví dụ 17: [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016]:
Cho

log 2 x = 2

. Tính giá trị của biểu thức

A = log 2 x 2 + log 1 x3 + log 4 x
2

A.

B.

A=− 2

A = −2 2

C.

− 2
A=
2

D.

Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có
1
1
2
A = log 2 x 2 + log 1 x 3 + log 4 x = 2 log 2 x − 3log 2 x + log 2 x = − log 2 x = −
2
2
2
2
Vậy
A=

− 2
2

Ví dụ 18: Cho
A.

log x 2 = 3

A=6

. Tính giá trị của biểu thức
B.

1
A=
6

C.

A = log 4 x − 2 log 2 x
−1
A=
6

Hướng dẫn: Chọn C.
Trang 23

toanpt.com

D.

A = −6


Ta có:

log x 2 = 3 ⇒

Mặt khác

1
1
= 3 ⇔ log 2 x =
log 2 x
3

1
−1
−1
A = log 4 x − 2 log 2 x = log 22 x − 2 log 2 x = log 2 x − log 2 x = log 2 x =
2
2
6
1
2

Câu 19: Rút gọn biểu thức

A = log8 x x − log 1 x ( x > 0)
2

ta được:

4

A.

B.

3
A = log 2 x
2

C.

1
A = − log 2 x
2

D.

A = 2 log 2 x

A=

2
log 2 x
3

A=

2
log 2 x
3

Hướng dẫn: Chọn A.

3
1 3
3
A = log 23 x 2 − log 2−2 x 2 = . log 2 x + log 2 x = log 2 x
3 2
2

Ví dụ 20 : Rút gọn biểu thức
A.

B.

3
A = log 2 x
2

ta được:

A = log 3 x.log 2 3 + log 5 x.log 4 5 ( x > 0 )
C.

1
A = − log 2 x
2

D.

A = 2 log 2 x

Hướng dẫn: Chọn A.

Ta có:

1
3
A = log 2 3.log 3 x + log 4 5.log 5 x = log 2 x + log 4 x = log 2 x + log 2 x = log 2 x
2
2

Ví dụ 21: Cho

A.

log 2 x = 3

. Tính giá trị của biểu thức:

4

B.

B= 3

B = log 1 x + log 1 x + log 1 x

B=

8

C.

−13 3
12

16

D.

9 3

−9 3

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:

(

A = 3log 3 x − log 3 x + log 3 x = 3log 3 x = 3 1 + 2

Ví dụ 22: Cho

log 3 x = 1 + 2

. Tính giá trị biểu thức:

)

A = log3 x 3 + log 1 x + log 9 x 2
3

A.

(

A = 2 1+ 2

)

B.

C.

A = 1+ 2

(

A = −2 1 + 2

)

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:

(

A = 3log 3 x − log 3 x + log 3 x = 3log 3 x = 3 1 + 2

Ví dụ 23: Tính giá trị của biểu thức
P = log a
Trang 24

1
.log
b3

b

toanpt.com

)

a 3 ( 1 ≠ a; b > 0 )

D.

(

A = 3 1+ 2

)


A.

B.

−18

C. 18

−1

2

D.

1
2

Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

P = log a b −3 .log 1 a 3 = −3log a b.6 log b a = −18
b2

Ví dụ 24: Tính giá trị của biểu thức
A. 3

P = log a b3 .log b a ( 1 ≠ a, b > 0 )

B. 12

C.

D.

3
4

4
3

Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:

P = log 1 b3 .log 1 a = 6 log a b.log b a = 12
a2

Ví dụ 25: Cho

A.

b2

ln x = 2

. Tính giá trị của biểu thức

B.

T = 21

e2
T = 2 ln ex − ln
+ ln 3.log 3 ex 2
x
C.

T = 12

D.

T = 13

T =7

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:

(

Ví dụ 26: Cho

A.

)

1
7
T = ln(ex) − 2 − ln x + ln ( ex 2 ) = ( 1 + ln x ) − 2 + ln x + 1 + 2 ln x = ln x = 7
2
2

ln x = 3

. Tính giá trị của biểu thức

B.

T = 16

x2

T = 2 ln
+ ln 2.log 2 ( x3 .e 2 )
e
C.

T = 15

D.

27
T=
2

T = 22

Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:

(

Ví dụ 27: Cho

A.

)

T = 2 ln x 2 − ln e + ln ( x 3e 2 ) = 4 ln x − 1 + 3ln x + 2 = 7 ln x + 1 = 22

log a b = 3;log a c = −2
B.

log a x = 16

. Tính giá trị của

log a x = 6

C.

log a x

, biết rằng

log a x = 13

x=

a 2b 3
c5

D.
log a x =

Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

log a x = log a
Trang 25

5

5
= log a a 2 + log a b 3 − log a c 2 = 2 + 3log a b − log a c = 16
2
c5

a 2b 3

toanpt.com

5
2