BTVN buổi 3

BÀI TẬP TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH

Các cơng thức tích phân thơng dụng

α+1

x
xα dx = α + 1

ln|x| + C
ax dx =

ax
+C
ln a

Trường hợp a = e,

α = −1

(1)

α = −1

(a > 0, a = 1)

(2)

ex dx = ex + C

sin x dx = − cos x + C

(3)

cos x dx = sin x + C

(4)

dx
= tan x + C
cos2 x
dx
= − cot x + C
sin2 x
dx
= arctan x+
1 + x2
dx
√
= arcsin x + C
1 − x2
dx
1
x
= arctan + C
2
2
x +a
a
a

dx
x
√
= arcsin + C
2
2
a
a −x
√
dx
√
= ln x + x2 ± a2 + C
x 2 ± a2
√
√
x√ 2
a2
x2 ± a2 dx =
x ± a2 ± ln x + x2 ± a2 + C
2
2
√
√
x 2
a2
x
a2 − x2 dx =
a − x2 + arcsin + C
2
2

a
dx
x
= ln tan + C
sin x
2
dx
= ln tan
cos x

x π
+
2 4

+C

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)

tan x dx = − ln|cos x| + C

(16)

cot x dx = ln|sin x| + C

(17)
1


Phương pháp đổi biến
1)

1
dx
1 + ex
√

3)
5)

(x2 − 1) dx

2)

(x4 + 3x2 + 1) arctan

a2 − x 2
dx x > 0
x4

4)

1 + ln x
dx
3 + x ln x

6)

a2

dx
sin x + b2 cos2 x
2

x2 + 1
x
(a, b = 0)

x dx
x8 − 1

Phương pháp tích phân từng phần
1)

x3 + 1 cos x dx

3)

e5x cos 4x dx

5)

ln x +

√

2)

x2 + 1 dx

3x2 + 6x + 5 arctan x dx

4)

sin x ln (tan x) dx

6)

√
arctan x dx

Tích phân phân thức hữu tỉ
1)

x dx
x3 + 1

2)

x3 + 1
dx

x(x − 1)3

3)

x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8
dx
(x2 + 2x + 3)2 (x + 1)

4)

x4 − 3x2 − 3x − 2
dx
x3 − x2 − 2x

6)

dx
(1 + x)(1 + x2 )(1 + x3 )

5)

(x2

dx
+ 1)(x2 + 4)

Một số tích phân có thể hữu tỉ hóa
1)

dx

sin x (2 + cos x − 2 sin x)

2)

3)

2 tan x + 3
dx
sin2 x + 2 cos2 x

4)

5)

√

dx
√
1 − 2x − 4 1 − 2x

6)

7)

dx
4 sin x + 5 cos x + 5

8)

2

cos5 x
dx
sin x
√
√
3
x + x2 + 6 x
dx
√
x 1+ 3x
dx
√
(x − 1) −x2 + 2x + 3
(x − 1)3 dx