PTVP cấp 2

Phương trình vi phân cấp II
I.

Phương trình khuyết

1. F ( x, y '' ) = 0
a, x = ( y '') + y ''+ 1

b, x = ( y '') + ( y '') + 1

2

3

c, y '' =

2

1
x

d, y '' = arctan x

2. F ( x, y ', y '') = 0
a, (1 + x 2 ) y ''+ ( y ') + 1 = 0

b, y '' = y '+ x

2

c, y '' =

y'
+x
x

d, 2 xy ''− 6 y '+ x 2 = 0 y (1) = 0, y ' (1) = 1

e, y ''−

1
y ' = x ( x − 1) y ( 2 ) = 1, y ' ( 2 ) = −1
x −1

f, 1 − x 2 y ''− xy ' = 2 y ( 0 ) = 0, y ' ( 0 ) = 0

(

)

3. F ( y , y ', y '') = 0
a, 2 yy '' = ( y ') + 1
2

d, 2 yy '' = y 2 + ( y ' )

II.

b, ( y ') + 2 yy '' = 0

c, yy ''+ 1 = ( y ' )

e, y ''+ ( y ') = 2e − y

f, ( y ' ) − 2 yy '' = 0

2

2

2

2

2

Phương trình vi phân tuyến tính cấp II

1. Thuần nhất
a, x 2 y ''+ xy '− y = 0 ( y1 = x )

b, ( 2 x + 1) y ''+ 4 xy '− 4 y = 0 ( y1 = x )

(

c, xy ''− ( 2 x + 1) y '+ ( x + 1) y = 0 y1 = e x

)

(

)

d, y ''− 2 1 + tan 2 x y = 0 ( y1 = tan x )

e, ( x 2 + 2 x ) y ''− 2 (1 + x ) y '+ 2 y = 0 ( y1 = x + 1)
2. Không thuần nhất – phương pháp lagrange
a, y ''− y ' =

2− x x
e ( y1 = 1)
x3




c, x 2 (1 + x ) y '' = 2 y  y1 = 1 +

e, y ''+ 3 y '+ 2 y =

b, x 2 y ''+ xy '− y = x 2 ( y1 = x )
1

x

1
y1 = e− x )
(
e +1
x

3. Không thuần nhất dạng đặc biệt

(

d, y ''+ y 'tan x − y cos 2 x = 0 y1 = esin x

)

f, y ''tan x + y ' ( tan 2 x − 2 ) + 2 y cot x = 0 ( y1 = sin x )


3.1.

y ''+ py '+ qy = e x Pn ( x )

a, y ''+ 3 y '− 4 y = x

b, y ''− y = 4 ( x + 1) e x

c, y ''− 2 y '− 8 y = ( 5 x + y ) e − x

d, y ''+ 3 y '− 4 y = xe − x + e −4 x

e, y ''− y = 2e x − x

f, y ''− 2 y − 3 y = x 1 + e3 x

3.2.

2

(

)

y ''+ py '+ qy = Qm ( x ) cos x + Pn ( x ) sin  x

a, y ''+ y = cos x

b, y ''+ y = x sin x

c, y ''+ 4 y = 2sin 2 x − 3cos 2 x

d, y ''− 3 y '+ 2 y = x cos x

e, y ''− 4 y '− 8 y = sin 2 x

f, y ''+ 2 y '+ 2 y = x sin x + 2 x cos x

3.3.

y ''+ py '+ qy = e x ( Qm ( x ) cos x + Pn ( x ) sin  x )

a, y ''+ y = e x x cos x

b, y ''+ y = xe x ( cos x + 2sin x )

c, y ''+ 2 y '+ 2 y = e x cos x

d, y ''+ 2 y '+ 2 y = e x ( cos x + 2sin x )

e, y ''+ 4 y = e x ( sin 2 x + cos 2 x )

f, y ''+ 9 y = e x ( sin x + cos x )

4. Euler
a, x 2 y + 2 xy '− 6 y = 0
d, y ''−

y' y 2
+
=
x x2 x

b, x 2 y ''− 9 xy '+ 21 y = 0

c, x 2 y ''+ xy '+ y = x

e, x 2 y ''− 2 xy '+ 2 y = 3 x 2

f, x 2 y ''+ xy '+ y = x

III.
Hệ phương trình vi phân
1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

 y ' = y + 2z
a, 
 z ' = 4 y + 3z
x ' = 2x + y

( t is variable )
 y ' = 3x + 4 y

d, 

y' = y − z
 z ' = y + 3z

 y ' = y − 5z
b, 
z ' = 2 y − z

c, 

x ' = x − 3y
 y ' = 3x + y

f, 

e, 

 y ' = y + 5z
 z ' = − y − 3z

e,