Đáp án GT3 nhóm 2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích III

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH III
20192
Câu 1.
∞

n3 + 2ln n + 2n
n + log5 n + en

a)
n=1

n → +∞ ⇒
2
⇒ Un < ( )n
e
∞

⇒

lnn << n3 < 2n
log5 n << n < en
∞ 2
mà
( )n HT
n=1 e

Un HT
n=1
∞

Vậy
∞

n=1

n3 + 2ln n + 2n
n + log5 n + en

HT

√
n
e−1
√
n

b)
n=1

1

1
en − 1
n
√
√

n → +∞ ⇒ Un =
∼
n
n
∞
1
HT
Mà
1
2
n
n=1
∞

⇒

Un
n=1
∞

Vậy
n=1

HT
√
n
e−1
√
n

HT

Câu 2.
∞

nxn
4n + 1
n=1
Un
|x|
Xét lim |
|=
n→∞ Un + 1
4
I=

⇒Theo tiêu chuẩn D’Alembert⇒ Để chuỗi HT⇒ ⇔ x ∈ (−4; 4) ⇔
4n .n
+,Với x = 4 ⇒ lim n
= lim n = 0 ⇒
x→∞ 4 + 1
x→∞

∞

n=1

|x|
<1
4

4n .n
PK
4n + 1

4n .n
+,Với x = −4 ⇒ lim (−1)n n
= lim n = 0 ⇒
x→∞
4 + 1 x→∞

∞

n=1

4n .n
PK khi x=-4
4n + 1

Vậy MHT(-4;4).
Câu 3.
y
1
a) dx + (y 3 + lnx)dy = 0 là PTVPTP (Py = Qx = )
x
x
⇒ Pt có n0 là:

Trang 1

Nhóm Giải tích III

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

y

x

P (t; 1)dt +

Q(x; t)dt = C

1

1

y
1
dt + (t3 + lnx)dt = C
1 t
1
⇔ y 4 + 4ylnx = C
b) yy = y (1 + y ) (1)
Đặt y = P (y)
⇒y =P P
yP P = P (1 + P ) (2)
x

⇔

dy
dP
=
1+P
y
⇒ ln|1 + P | = ln|y.C1 | ⇒ y = C1 y − 1
1
1
ln|C1 y − 1| + ln(C2 )
dy =
⇒ x = C1 y−1
C1
⇔ C1 x = ln[(C2 y − 1).C2 ]
⇒ C1 y = C2 eC1 x + 1
+)P=0 ⇒ y = C ⇒∈ họ n0
y = 0 ⇒ là n0 riêng
P+1=0⇒ y = C − x
Vậy pt có n0 : C1 y = C2 eC1 x + 1, y = 0, y = C − x
c)y − 6y + 9y = 3x − 8e3x (1)
Xét pt thuần nhất y − 6y + 9y = 0 (2)
Pt đặc trưng :k 2 − 6k + 9 = 0 ⇔ k = 3
⇒ n0 TQ của (2) là y = (C1 x + C2 )e3x .
Pt: y − 6y + 9y = 3x có n0 riêng là:Y1 = e0t (ax + b) = ax + b
y − 6y + 9y = −8.e3x có n0 riêng là : Y2 = x2 e3x (C + Dx) = Cx2 .e3x
⇒ Y = a + 2Cxe3x + 3Cx2 e3x + 3Cx2 e3x = a + Cxe2x (2 + x)
Y = e3x (3Cx2 + 8Cx + 2C)
⇒ thay vào (1)
⇒ e3x (3Cx2 + 8Cx + 2C) + e3x (−6x2 C − 12Cx) + e3x 9x2 C − 6Ax − 6B + A = 3x − 8e3x

⇔
2Ce3x + 9Ax + 8B − 6A = 3x − 8e3x

C = −4



1
⇒ A= 3



B = 2
9
x 2
⇒ Y = −4x2 e3x + +
3 9
x 2
Vậy n0 tổng quát:y = Y + y = (C1 x + C2 − 4x2 )e3x + +
3 9
Câu 4. Khai triển Fourier
+,Với p, y = 0; p + 1 = 0 ⇒

f (t) = x2 trên[−π; π]
Giải
π
1
+) a0 =
f (x)dx
π

−π
π

⇒ a0 =

2
π

x2 dx
0

Trang 2


Nhóm Giải tích III

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

1 2π 3
2π 2
⇔ a0 =
=
π 3
3
⇔ a0 = 2π
π

1
+) an =

π

f (x)cosnxdx
−π
π

⇒ an =

1
π

x2 cosnxdx
0

2 2π
⇔ an = . 2 cosnx
π n n
4(−1)
⇔ an =
∀x ∈ n∗
n2
+) Do f(x) là hàm chẵn nên bn = 0 với ∀x dương
⇒ bn = 0
∞
4(−1)n
π3
+
cosnx.
⇒ f (x) =
2

3
n
n=1
Câu 5.
a)x + 4x + 8x = e−t
x(0) = x (0) = 0
Đặt X(s)=Lx(s),
Lx (s) = s2 Lx − sx(0) − s0 x (0) = s2 X
Lx (s) = sX
Laplace 2 vế ta có
1
, trong đó X=Lx(t)
s2 X + 4sX + 8X =
s+1
1
⇒X
2
(s + 1)(s + 4s + 8)
1
s
3
X=
−
−
2
5(s + 1) 5(s + 2) + 4 5(s + 2)2 + 4
1
1
1
x = e−t − cos2t.e−2t − sin2t.e−2t

5
5
10
x + 2x − 4y = 0
x(0) = y(0) = 0
b)f (t) =
y − x + 2y = 0
x (0) = −y (0) = 1
Đặt X(s)=Lx(t)(s)
Y(s)=Lx(t)(s)
s2 X(s) − 1 + 2sX(s) − 4Y (s) = 0
Thay vào hpt ta có:
s2 Y (s) + 1 − sX(s) + 2Y (s) = 0
X(s)(s2 + 2s) − 4Y (s) = 1
Y (s)(s2 + 2) − sX(s) = −1

s2 − 1


Y (s) = 2 2
s (s + 4)
⇔
s2 − 2


X(s) = 2 2
s (s + 4)

5s2


Y (s) = 1 −

4s2 8(s2 + 4)
⇔
1
5s2


X(s) = 2 +
2s
4(s2 + 4)
⇔

Trang 3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích III



y = 1 t − 5 sin2t
4
8
⇔
1
5


x = t + sin2t
2
4
Câu 6. Tính tổng của chuỗi số sau:
∞

2n − 1
2n − 1
n=1
1
1
Đặt x = √ ⇒ n−1 = x2n−2
2
2
I=

∞

(2n − 1)x2n−2 HT đều

⇒
n=1

∞

(2n − 1)x2n−2

Đặt f (x) =
n=1

∞

x
1 − x2
n=1
x
x2 + 1
⇒ f (x) = (
)
=
1 − x2
(1 − x2 )2
1
⇒ S = f(√ ) = 6
2
⇒

f (x)dx =

x2n−1 =

Trang 4