Bài tập chương 2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Bài tập tuần 3 - 4
Tính tốn 
ma trận



1 3
−1 0
,B=
 và E là ma trận đơn vị cấp 2
1. Cho A = 
−1 2
1 1
a) Tính F = A2 − 3A
b) Tìm ma trận X thỏa mãn (A2 + 5E)X = B T (3A − 3A2 )


1 −2 3




2. Cho ma trận A = 2 −4 1 và hàm số f (x) = 3x2 − 2x + 5. Tính f (A)


3 −5 3
3. Tìm tất cả các ma trận vng cấp 3 giao hoán với ma trận





1 0 0
1 0 1








a) A = 0 2 0
b) B = 0 1 −2




0 0 3
0 0 2
4.


2 1 0




a) Cho A = 0 1 0. Tính A10



0 0 2


3 1
. Tính A2020
c) Cho A = 
0 3



b) Cho A = 

cos a − sin a
sin a

cos a


. Tính An

5. Tìm ma trận X thỏa mãn:

X

2 0
0 2





−

−1 3
0

T



2

2 1

 =
−1 3
2

6. Tìm ma trận X thỏa mãn:



T 
2
2 0
−1 2
1 2
X − 

 =

a) 
0 2
1 1
−2 3





−1 2
3 0
1 −2

 + 2X = 

b) 
−3 4
2 1
5 7


 

1 −3 2
2 5 6
0 −6 6



 

1


 

c) X − 3 −4 1 1 2 5 = −2 9 2
2


 

2 −5 3
1 3 2
−4 −8 6

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập






4 1
−1 0
1
,B = 
 Tìm X thỏa mãn AT X T = B + X T
7. Cho A = 
2 2
−1 −1 −1
8. Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức, chứng minh rằng
a1 + b1 x a1 − b1 x c1

a1 b 1 c 1

a) a2 + b2 x a2 − b2 x c2 = −2x a2 b2 c2
a3 + b3 x a3 − b3 x c3

a3 b 3 c 3

1 a a2

1 a bc

b) 1 b ca = 1 b b2
1 c c2

1 c ab

Hạng của ma trận
1. Tìm hạng của


1 3


2 −1
a) A = 

5 1

4 5

ma trận

5 −1


−1 4 


−1 7 

5
2



4


8



b) B = 4


4

8

2. Tìm hạng của ma trận theo tham số a




−1 2 1 −1 1
3 a 1 2








 a −1 1 −1 −1
1 4 7 2 




b) B = 

a) A = 


1
1 10 17 4
a 0 1
1




1
2 2 −1 1
4 1 3 3
3. Tìm 
ma trận nghịch
 đảo của các ma trận sau:
1 0 2




a) A = 2 −1 3


4 1 8



3 −5 2

6 −7 4
3 −8 2
3

1

2

6 −1 4

3





2


7


−5

6





1 −a 0
0




0 1 −a 0 


c) C = 

0 0
1 −a


0 0
0
1

3 −4 5







b) B = 2 −3 1



3 −5 1

giá trị m để các ma trận sau khả nghịch





1
m 2 2
m + 1 −1
m










b)
B
=
c)
C
=





m
2 m 2
3
m+1
3 





2
2 2 m
m−1
0
m−1


1 m−1
1




5. Cho ma trận A =  1
1
3 − m. Tìm m để hạng của ma trận A lớn nhất.



m −3
−3
4. Tìm tất cả các

m −3


a) A =  2 4

3 1

6. Tìm m để các ma trận sau có hạng nhỏ nhất:

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
 CLB Hỗ trợ học tập



3 4 1


m 2 3
b) B = 


 3 −1 1

3 3 7



1
2
−1 −1




a) A = 2 m + 4 −2 −1 


3 m + 6 −3 m − 3

1



1


0

2

Định thức

1. Tính các định thức sau
−6 1
a)

3

5

4

b)

7

−8 9 −2
1
c)

a

2

1

1

−4

3

−5

9

−12

7

12 −5

2

2

−3

4

−5

1

0

2

1

2

3

−1 1

3

1 2x2 2

5
5

d)

1

−2

0

1 −1

2

3

1

3

2

b

2

3

1 9 − x2

0

2. Tìm x
1 −2

4

1

a) 1

x

x2 = 0

1

3

9

x −2

b) −1 1

2

x

3

2

2

x

2

c) 2 2x − 1 x + 1 = 0

=0

3

−1

x2

3. Chứng minh rằng
b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1

a1 b 1 c 1

a) b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 = 2 a2 b2 c2
b 3 + c 3 c 3 + a3 a3 + b 3

a3 b 3 c 3

1 a a2

1 a bc

b) 1 b ca = 1 b b2 = (b − a)(a − c)(c − b)
1 c c2

1 c ab

c)

a2 + 1

ab

ac

ab

b2 + 1

bc

ac

bc

c2 + 1

= 1 + a2 + b 2 + c 2





−1 −1 2




4. Tính định thức của ma trận A =  0
1
a. Sau đó chứng minh rằng khơng tồn tại ma


2 4−a 6
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

3

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

trận D vuông cấp 3 hệ số thực thỏa mãn D2 = A
5. Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 + 2020E = 0. Chứng minh rằng det A > 0
6. A, B là hai ma trận cấp n thỏa mãn AB = BA. Chứng minh rằng det A2 + B 2 ≥ 0
7. Cho ma trận A = aij

2020×2020

với aij = sin(i + j). Tính det A

Hệ phương trình tuyến tính
1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm khơng tầm thường




(m + 5)x + 2y + (2m + 1)z = 0



mx + (m − 1)y + 4z
=0





(m + 5)x + (m + 2)y + 5z

=0
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất




mx1 + 2x2 − x3 = 3



x1 + mx2 + 2x3 = 4





2x1 + 3x2 + x3 = m
3. Tìm m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm




x1 − mx2 + 2x3



2x1 + x2 + x3






4x1 − x2 + 5x3

=0
=2
= 2m

4. Giải hệ phương trình




2x1 − x2 + 4x3 + 2x4



3x1 − 2x2 + 7x3 + 2x4





5x1 − 3x2 + 7x3 + 6x4
5. Biện luận theo a, b số nghiệm của hệ phương trình



2x1 + x2 + ax3




3x1 + 2x2 + x3





4x1 + 3x2 + (a + 1)x3

=2
=1
=5

=1
=3
=b

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập



1

1



6. Cho ma trận A = 1 1

3 −2

−2 − m m + 1
−2

1

0

m+1




 Tìm m để r(A) = 2


7. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss









x + 2y − z + 3t
x
+
2y
+
3z
+
4t
=
−4












2x + 5y − z + 11t
3x + 7y + 10z + 11t = −11
b)
a)







3x + 6y − 4z + 13t
x + 2y + 4z + 2t
= −3












x + 2y − 2z + 9t
x + 2y + 2z + 7t
= −6

= 12
= 49
= 49
= 33

8. Cho hệ phương trình





2x1 + 3x2 + x3






x1 + 2x2 − x3



3x1 + 4x2 + 3x3






x + x + 2x
1

2

3

=5

=3
=7
=2

Phương pháp Cramer có áp dụng cho hệ phương trình trên được hay khơng? Giải hệ bằng phương
pháp Gauss
9. Tìm m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm




(m + 1)x1 + (m + 3)x2 + (m − 2)x3



(m + 2)x1 + (m − 1)x2 − (m − 4)x3





(m − 1)x1 + (m + 2)x2 + (m + 1)x3

=5
=2
= −3

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

5