Bài tập tuần 2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Bài tập tuần 2
Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
1. Chứng minh bất đẳng thức | sin x − sin y | ≤ |x − y| (x, y ∈ R)
2. Tính các giới hạn sau
1 − cos x
a) lim
b) lim xn ln x
x→0
x→0
x2
ex − e−x − 2x
ln cos 5x
d) lim
c) lim
x→0
x→0 ln cos x
x − sin x
x
2
arctan x
f) lim+ (ln cot x)tan x
e) lim
x→+∞
x→0
π
3. Giải thích tại sao ta không thể dùng công thức L’hospital cho giới hạn
x − sin x
x + cos x

lim

x→+∞

4. Tìm giá trị a ∈ R để các vô cùng bé sau cùng bậc
1
1
1
− sin
, β(x) = 4 (x → ∞)
a) α(x) = sin
a
a
4+x
1+x
x
1
1
1
− 4
, β(x) = ln 1 + 2
(x → ∞)
a
a
1+x
2+x
x
5. Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a = b − c − d. Chứng minh rằng phương trình
b) α(x) =

4

6ax5 − 5bx4 + 4cx3 + d = 0
có nghiệm trong khoảng (0, 1)
6. Tồn tại hay khơng giá trị c trong công thức Lagrange của hàm số y = |x|(x + 1) trên một lân
cận của điểm x = 0?
7.(CK 20181) Cho f (x) khả vi trên [a, b] (0 < a < b). Chứng minh rằng tồn tại ξ ∈ (a, b) thỏa mãn
f (b) f (a)
−
= f (ξ) − ξf (ξ)
b
a

1 1
−
b a

Công thức khai triển Taylor, Maclaurin
1. Tính các giới hạn sau
x − sin x
a) lim
x→0
x2
ex − 1 − x −
2
√
√
3
1 + 2x − 1 + 3x

c) lim
x→0
x
e) lim

x→0

1
1
−
2
x
sin2 x

b) lim

x→+∞

x − x2 ln 1 +

1
x

√

1
x sin ln 1 + √
x→+∞
x
√

1 − 1 + x2 cos x
f) lim
x→0
sin (x2 )

d) lim

2.
2

a) Cho hàm số y = ex . Tính y (50) (0)
1
b) Cho hàm số y =
. Tính y (10) (1)
2x − x2
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

c) Cho hàm số y =

1
1+x+

x2

+ x3 + x4

. Tính y (11) (0)

3. Chứng minh bất đẳng thức sau với x ∈

0,

π
2

sin x ≤ x −

x3 x5
+
3!
5!

π
chính xác đến 10−6
4
5. Tìm giá trị a ∈ R để các vô cùng bé sau là cùng bậc khi x → +∞
4. Lập công thức gần đúng của cos x khi |x| ≤

α(x) = e − 1 +

1
x

x

,

β(x) =

1
xa

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

2