T4 hệ phương trình tuyến tính

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Tuần 4
Chương 2: Ma trận - Định thức - Hệ PTTT
Hệ phương trình tuyến tính
I

Tổng qt

Hệ m phương trình, n ẩn:




a11 + a12 + a13 + ... + a1n






a21 + a22 + a23 + ... + a2n

= b2




...







am1 + am2 + am3 + ... + amn

= bn

Hệ (1) cịn có thể được viết là




= b1



(1)





 a11 a12 a13 ... a1n   x1   b1 

   
a
  b 
a

a
...
a
22
23
2n   x2 
 21
 2
 .
 .  =  . 
.
.
.
 ..
..
..
..   ..   .. 

   

   
am1 am2 am3 ... amn
xm
bm
A

X

B

AX = B

II

Hệ Cramer

Hệ (1) là hệ Cramer khi m = n và det A = 0
Định lí
det Ai
, ∀i = 1, n
det A
(Trong đó Ai là ma trận thay cột i của A bằng vecto cột B)

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất X = A−1 B hay xi =

III

Giải HPTTT bằng phương pháp Gauss

B1 Viết ma trận A cạnh vecto cột B được ma trận A
B2 Biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về ma trận bậc thang
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

B3 Biện luận theo rankA
Định lí Kronecker - Capelli
Nếu rankA = rankA thì hệ (1) vơ nghiệm
Nếu rankA = rankA = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất
Nếu rankA = rankA < n thì hệ (1) có vơ số nghiệm

IV

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu B = O. Có hai trường hợp
Nếu rankA = n: hệ có nghiệm duy nhất X = O
Nếu rankA < n: hệ có vơ số nghiệm
Hệ quả Nếu A là ma trận vng cấp n, hệ AX = O có nghiệm duy nhất ⇔ det A = 0

V

Các ví dụ

1. Giải các hệ phương trình sau bằng hệ Cramer








x1 + x2 + x3
x1 + x2 + x3

=2






b) x1 − 2x2 + x3
a) 2x1 + x − 2x3 = 1










3x1 + x2 + 5x3
x1 + 2x2 − x3 = 0

=3
=3
= 13

Giải


1 −1



a) Xét ma trận A = 2

1
2 −1

1
2

1





−1, ta có det A = 3 = 0 ⇒ Hệ đã cho là hệ Cramer

−1

1

Ta có det A1 = 1

1

−1 = 3,

0

2

−1

1 2

1 −1 2

1

det A2 = 2 1 −1 = 0,

det A3 = 2

1

1 =3

1

2

0

1 0 −1

det A1 det A2 det A3
,
,

= (1, 0, 1) là nghiệm duy nhất của hệ
det A det A det A


1 1 1




b) Xét ma trận B = 1 −2 1, ta có det B = −6 = 0 ⇒ Hệ đã cho là hệ Cramer


3 1 5
Vậy (x1 , x2 , x3 ) =

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

3
Ta có det B1 = 3
13
Vậy (x1 , x2 , x3 ) =

1

1

−2 1 = −6,

1

3

1

det B2 = 1

3

1 = 0,

1 5
det B1 det B2 det B3
,
,
det B det B det B

1

3
3 = −12

det B3 = 1 −2

3 13 5

3

1

13

= (1, 0, 2) là nghiệm duy nhất của hệ

2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss








x1 − x2 + x3 − 3x4
x1 − x2 + x3
=2






b) 2x1 + x2 − x3 − x4
a) 2x1 + x2 − x3 = 1











2x1 + x3 + x4
x1 + 2x2 − x3 = 0



1

=5
= −2
=8

Giải


 1 −1 1 2


. Thực hiện biển đổi sơ cấp, ta có
a) Xét ma trận bổ sung A = 
2

1
−1
1




1 2 −1 0




 1 −1 1 2 
 1 −1 1 2 

 h3 − h2 → h3 




A −−−−−−−−→ 
 0 3 −3 −3 −−−−−−−→  0 3 −3 −3




0 3 −2 −2
0 0
1 1
h2 − 2h1 → h2

h3 − h1 → h3

Nhận thấy rankA = rankA = 3 nên hệ phương trình
 có duy nhất nghiệm


x 1 − x 2 + x 3 = 2



Từ ma trận sau khi biến đổi sơ cấp, ta được hệ x2 − 3x3
= −3





x 3
=1
Giải hệ, ta được nghiệm (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 1)




 1 −1 1 −3 5 


. Thực hiện biến đổi sơ cấp, ta có
b) Xét ma trận bổ sung B = 
2

1
−1
−1
−2




2 0
1
1 8




 1 −1 1 −3 5 
 1 −1 1 −3 5 

 3h3 − 2h2 → h3 




B −−−−−−−−→ 
 0 3 −3 5 12  −−−−−−−−−→  0 3 −3 5 12




0 2 −1 7 −2

0 0
3 11 18
h2 − 2h1 → h2
h3 − 2h1 → h3

Do đó hệ có vơ số nghiệm thỏa mãn. Đặt x4 = t, khi đó từ ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ
16t
11t
4t
,6 −
,t
cấp, ta được nghiệm (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 + , 2 −
3
3
3
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

3. Cho hệ phương trình




x1 + x2 − 2x3




2x1 + x2 − x3





mx1 + x2 + x3

=a
=b
=c

trong đó a, b, c, m ∈ R.
a) a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Cho (a, b, c) = (0, 0, 0). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.
Giải



1 1 −2




a) Xét ma trận tạo bởi các hệ số của các ẩn A =  2 −1 −1



m 1
1
1
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ det A = 0 ⇔ 2
m

1

−2

−1 −1 = 0 ⇔ −3m − 6 = 0 ⇔ m = −2
1

1

b) Với m = −2 thì det A = 0 nên hệ phương trình là hệ Cramer, do đó hệ có nghiệm duy nhất
(x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0)
Với m = −2 thì hệ phương trình trở 
thành



x1 + x2 − 2x3



2x1 − x2 − x3






−2x1 + x2 + x3

=0
=0
=0

Giải hệ trên, ta thấy hệ này có vơ số nghiệm

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

4