CHƯƠNG II. MŨ VÀ LOGARIT
Trang 1
toanpt.com
Chủ đề 1: LŨY THỪA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Luỹ thừa vói số mũ nguyên
Luỹ thừa với số mũ ngun dương.
Cho
và
a∈¡
n∈¥
*
. Khi đó
a n = a1.a4.a2........
4 3a.
n thừ
a số
Luỹ thừa với sổ mũ ngun âm, luỹ thừa với số mũ 0
Cho
và
a∈¡
n∈¥*
.Khi đó
1 0
; a = 1.
an
a−n =
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
Chú ý:
0
0 và 0
2. Căn bậc
n
Cho số thực
Sơ
a
Khi
Khi
Khi
Khi
−n
( n∈¥ )
.
b
và số ngun dương
được gọi là căn bậc
n
n
n
n
lẻ ;
b∈¡
chẵn và
chẵn;
chẵn;
khơng có nghĩa.
*
n
của số
n > 2.
b
nếu
a n = b.
:Tồn tại duy nhất một căn bậc
b < 0
b=0
b>0
n
thì khơng tồn tại căn bậc
n
chỉ có duy nhất một căn bậc
có 2 căn bậc
n
của số thực
n
b
của số
của số
của số
là
n
b
b
b
là
.
n
b
.
là
n
b và − b
0 =0
.
n
3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực
a>0
và số hữu tỷ
m
r=
n
, trong đó
m ∈ ¢; n ∈ ¥ , n ≥ 2.
.Khi đó
m
n
a = a = n am
r
4. Luỹ thừa vói số mũ vơ tỷ
Giả sử
a
Khi đó
là một số dương và
α
là một số vơ tỷ và
( rn )
là một dãy số hữu tỷ sao cho
n
lim a r = aα .
m →+∞
5. Các tính chất
Cho hai số dương
a; b
Nhóm cơng thức 1
Trang 2
và
m; n ∈ ¡
. Khi đó ta có cơng thức sau.
Nhóm cơng thức 2
toanpt.com
lim rn = α
m →+∞
1.
2.
3.
1.
a m .a n = a m + n
a
1
= a m−n m = 0 ⇒ n = a −n ÷
n
a
a
(a )
m
2.
m
n
n
m. n
+) Tính chất 1:
n
a n .b n = ( ab ) , n a . n b = n ab
3.
=a
( a)
a = n am =
m
m n
n
n
an a n a n a
= ÷ ,
=
.
bn b n b
b
0
a = a
∀a ∈ ¡
1
a = a
+) Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
a > 1: a m > a n ⇔ m > n
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
+) Tính chất 3(so sánh lũy thừa khác cơ số): Với
a>b>0
thì
am > bm ⇔ m > 0
m
m
a < b ⇔ m < 0
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức
A=
A.
A=a
( a ) .( a ) . (
3
B.
49
12
A=a
3
4
a
5
) ( a > 0)
C.
133
60
ta được:
A=a
D.
23
12
5
A = a2
Lời giải
Ta có:
3
4
3 4 5
+ +
3 4
5
A = a 3 . 3 a 4 . 4 a 5 = a 2 .a 3 .a 4 = a 2
49
= a 12
Chọn A.
Cách 2 : Các em có thể cho
a=2
và bấm
log 2
(
23 . 3 2 4 . 4 25
)
49
49
=
⇒ A = a 12
12
(tại sao
lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé )
Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức
1
3 6
1
2
ta được:
A = b .b . b ( b > 0 )
A.
A=b
B.
2
C.
A= b
3
A=b
Lời giải
Ta có:
1
1
1
1 1 1
+ +
3 6
A = b 2 .b 3 .b 6 = b 2
Trang 3
=b
toanpt.com
D.
3
b2
( Các em có thể cho
và bấm máy
b=2
1
3
).
1
3 6
log 2 2 .2 . 2 = 1 ⇒ A = b
Chọn C.
Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức
ta được:
3
a. a
6
a
A=
A.
B.
A = a2
A=a
2
( a > 0)
C.
5
6
A=a
D.
5
6
A=a
Lời giải
Ta có:
1
2
1 2 1
+ +
a. 3 a 2 a 2 .a 3
2 3 6
=
=
a
= a.
1
6
a
6
a
A=
Chọn D.
Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức
A = a. a. a
3
A.
B.
A = a2
12
4
A=a
5
ta được:
( a > 0)
C.
5
6
A=a
D.
2
3
A=a
Lời giải
Ta có:
1
1
1 1 5
+ +
4 12
5
A = a 3 .a 4 .a 12 = a 3
= a.
Chọn D.
Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức
A= a
A.
A=a
B.
2+ 2 3
A=a
1+ 3 3
. a
2+ 3 6
. a
5+ 3
( a > 0)
C.
2+ 3
A=a
ta được:
3+ 3
D.
A = a1+
3
Lời giải
Ta có:
A=a
1+ 3
2
.a
2+ 3
3
.a
1+ 3
6
=a
1+ 3 2 + 3 5 + 3
+
+
2
3
6
= aa
2+ 3
.
Chọn B.
Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức
π 3
A=a . a
A.
A=a
2π + 3
2
B.
A=a
2π + 3
3
π
6 ( a > 0)
ta được:
C.
A=a
5π + 3
3
Lời giải
Ta có:
A = aπ . 3 aπ 6 = aπ . 3 a π .a
Chọn D.
Trang 4
π +3
4π + 3
6
= a3 3 a π +3 = a π .a 3 = a 3 .
2
toanpt.com
D.
A=a
4π + 3
3
(Cách ra đề này nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO )
Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức
A.
A = a 3−
A=(a
B.
)
2 3+ 2 2
A = a 3− 2
2
ta được:
1− 2
.a
.a
−4 − 2
C.
( a > 0)
D.
A = a 3+
2
2
A = a 2−2
2
Lời giải
Ta có:
A = a 6+ 4 2 .a1− 2 .a −4−
= a 6+ 4
2
2 +1− 2 − 4 − 2
=a
3−2 2
.
Chọn B.
Ví dụ 8: Đơn giản biểu thức
A=
A.
B.
1
A=a−
a
(
4+ 4 2
a
−a
2 2
) .a
ta được:
−1− 2 2
C.
1
A = a2 −
a
.
1
A= a−
a
D.
A = a2 − a
Lời giải
Ta có:
A=
(
a
4+ 4 2
−a
2 2
) .a
−1− 2 2
4+ 4
= a 2
2
−a
2 2
−1−2
.a
÷
÷
2
=a
2 + 2 2 −1− 2 2
−a
2 2
1
−1
a
−
a
=
a
−
.
−1− 2 2
a
Chọn A.
Ví dụ 9: Đơn giản biểu thức
ta được:
A = 3 a3
A.
A=a
5
6
B.
A=a
1
a3
2
a
C.
5
18
A=a
D.
5
9
5
A = a 16
Lời giải
Ta có:
A = 3 a3
1
3 3 3 − 12 3
−1 3 5
5
3
3 a 3 a −2 .a
a
=
= a a = a.a
= a =a
2
a
2
6
6
18
Đương nhiên bài tốn này ta có thể cho
5
1
5
log 2 3 2 3 2 23 ÷ = ⇒ A = a
÷ 18
2
18
a=2
và bấm
.
Chọn B.
Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức
b b
2
A = 1 − 2
+ ÷
: a − b b
÷
a a
1
2
A.
A = a−b
Trang 5
B.
A=a
C.
1
1
A=
a
toanpt.com
ta được:
2
÷
÷
( a; b > 0 )
D.
A = a+b
Lời giải
Ta có:
2
b
A = 1 −
÷ :
(
a− b
2
)
2
a− b
=
÷ :
a ÷
)
(
1
a − b2 = .
a
Chọn C.
Với bài tốn này các em vẫn có thể sử dụng CASIO bằng cách cho
Thay
a = 4; b = 9
ta được
a = 4; b = 9
và thử đáp án.
1
A= .
4
Chọn C.
Ví dụ 11: Đơn giản biểu thức
−2
ab .
A=
A.
11
6
A = a .b
3
B.
−1
3
11
6
A = a .b
(
ab
2
ta được:
)
( a; b > 0 )
ab 2
C.
−1
3
5
6
A = a .b
D.
−1
3
5
6
A = a .b
1
3
Lời giải
Ta có:
A=
(
ab−2 . ab2
)
3
2
2
2 3
( ab )
3
=
ab−2 .a2 .b3
2
3
4
3
=
5
5
a2 .b
a2 .b
2
3
a .b
4
3
=
a .b
2
3
4
3
−1
11
= a16 .b 3
a .b
Chọn A
Ví dụ 12: Đơn giản biểu thức
a5
A = 5−2 ÷
b
÷
A.
B.
3+ 2 5
A= a
3+ 2 5
A= a
ta được:
5+ 2
.
a−2− 5
b−1
( a;b > 0)
C.
3+ 5
A= a
2
.b
D.
2
.b
a3+
5
Lời giải
Ta có:
(a )
5
A=
(b )
5− 2
5+ 2
.
5+ 2
b
2+ 5
a
=
a5+ 2 5 .b
2+ 5
ba
.
= a3+
5
Chọn D
Ví dụ 13: Đơn giản biểu thức:
A=
A.
A = ab
B.
1
3
b+ b
a
A = ab
3
1
3
6
a+ 6 b
ta được:
a
( a;b > 0)
C.
A = ab
6
Lời giải
Trang 6
toanpt.com
D.
A= 6 a− 6 b
Ta có:
1 1
1
1
a3 .b3 a6 + b6 ÷
a .b + b .a
= 3 ab
A=
=
1
1
1
1
a6 + b6
a6 + b6
1
3
1
2
1
3
1
2
Chọn B
Ví dụ 14: Đơn giản biểu thức
1
3
7
3
1
3
4
3
a −a
A=
B.
A = a+ b
3
2
1
2
−1
2
b −b
−
a −a
A.
ta được:
−1
2
( a;b > 0)
b +b
C.
A = a− b
A = a + b+ 2
D.
A = a− b+ 2
Lời giải
Ta có:
1
A=
(
a3 1− a2
1
3
a ( 1− a)
)−
−1
(
b 2 1− b2
−1
2
b
( b + 1)
) = 1+ a −
( 1− b) = a + b
Chọn A
Ví dụ 15: Đơn giản biểu thức:
−1
2
5
2
−1
2
1
2
a +a
A=
+
a +a
A.
A = a2 + b
B.
1
4
9
4
5
1
ta được:
b −b
b4 − b4
C.
A = a2 + a − b
A = a2 − a − b
D.
A = − ( a + b)
Lời giải
Ta có:
−1
A=
(
a 2 1+ a3
−1
2
a
( 1+ a)
1
)+ (
b4 1− b2
1
4
) =a
+ 1 b2 − 1 2
−
= a − a + 1− ( b + 1) = a2 − a − b
a+ 1 b− 1
3
b ( b − 1)
Chọn C
Ví dụ 16: Đơn giản biểu thức
a + 3 b a + b − 3 ab ÷
a;b > 0; a ≠ b
A=
(
)
2
2
3
3
3
3
3
a − b a + b + ab ÷
(
3
(
A.
a+ b
A=
a− b
B.
a− b
A=
a+ b
)
2
3
)
C.
A=1
Lời giải
Trang 7
ta được
2
3
toanpt.com
D.
1
1
a3 + b3
A=
a− b
Ta có:
2
2
a + 3 b a3 + b3 − 3 ab ÷
=
A=
2
2
3
a − 3 b a3 + b3 + 3 ab ÷
(
)
3
(
)
( a ) + ( b)
( a ) − ( b)
3
3
3
3
3
3
3
3
a+ b
a− b
=
Chọn A
Ví dụ 17: Cho
A.
.Tính giá trị biểu thức
2x = 3
A = 4x + 3.2− x − 1
B.
A=8
C.
A= 9
D.
A = 11
A = 17
Lời giải
Ta có
( )
A = 2x
2
+
3
− 1 = 9 + 1− 1 = 9
2x
Chọn B
Ví dụ 18: Cho
A.
3x = 2
. Tính giá trị của biểu thức
2x−1
1
A = 32x−1. ÷
3
B.
A = 39
C.
A = 25
+ 9x+1
D.
81
A=
2
A=
45
2
Lời giải
Ta có :
A = 3x+1.
1
2x+1
3
( )
+ 9x.9 = 3− x+ 2 + 9. 3x
2
9
+ 9. 3x
x
3
( )
=
2
=
81
2
Chọn C
Ví dụ 19: Biết rằng
A.
2 =5
x
. Tính giá trị của biểu thức
B.
28
A=
5
2x
x
3 2
A = ÷ .
+ 4− x+ 2
÷
2 3
C.
31
A=
3
D.
A=6
A=
141
25
Lời giải
Ta có:
x
3
A= ÷
2
x
x
16
16 141
4 16 3 4
. ÷ + x = . ÷ +
= 2x +
=
2
25 25
4 2 3
3
2x
( )
Chọn D
Ví dụ 20: Cho
A.
2 = a; 3 = b
x
x
A = a + ab + b
3
2
B.
. Hãy biểu diễn
A = 24 + 6 + 9
x
A = a b + ab + b
2 2
2
C.
x
theo a và b.
A = ab + ab + a
Lời giải
Trang 8
x
toanpt.com
3
2
D.
A = a3 + ab + b2
Ta có:
A = ( 23.3) + ( 2.3) + ( 32 ) = 23x.3x + 2x.3x + 32x = a3b + ab + b2
x
x
x
Chọn A
Ví dụ 21: Cho
A.
(
)
. hãy tính giá trị của biểu thức
x
2+1 = 3
A=
B.
A = 18
C.
A=0
(
)
2 −1
2x
(
+ 3+ 2 2
D.
82
A=
9
A=
)
x
28
9
Lời giải
Ta có:
(
)(
)
2+1
Do đó
A=
(
(
) (
2 − 1 = 1; 3+ 2 2 =
)
−1 2x
2+1
+
(
)
x
2+1 =
2
)
2+1
(
2
)
2+1
−2x
+
(
)
2+1
2x
= 3−2 + 32 =
82
9
Chọn C
Ví dụ 22: Cho
A.
5 =4
x
hãy tính giá trị của biểu thức
x
T = 25x − 52− x + 52
B.
T = 14
C.
47
T=
4
T = 118
D.
T=6
Lời giải
Ta có:
( )
T = 5x
2
−
25
25
47
+ 5x = 16 −
+ 2=
x
4
4
5
Chọn B
Ví dụ 23: Cho
A.
a = 2x ;b = 5x
B.
T = ab( a + b)
. Hãy biểu diễn
T = 20x + 50x
C.
ab
T=
a+ b
theo a và b
T = a2 + ab2
D.
T = ab + a2b
Lời giải
Ta có:
T = ( 22.5) + ( 52.2) = 22x.5x + 52x.2x = a2b + ab2 = ab( a + b)
x
x
Chọn A
Ví dụ 24: Cho
− 3
a
A.
− 2
và
>a
B.
1> a > b > 0
a >b
x
x
. Khẳng định nào sau đây là đúng
C.
1> b > a > 0
a> b> 1
Lời giải
Ta có:
− 3< − 2
Trang 9
nên
a−
3
> a− 2 ⇔ 0 < a < 1
toanpt.com
D.
b> a> 1
Mặt khác
do vậy
a > b ⇔ a> b
x
x
1> a > b > 0
Chọn A
Ví dụ 25: Cho
( a − 1)
A.
−3
4
−4
5
> ( a − 1)
B.
a;b > 1
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng
b > b
3
3
2
C.
0 < a < 2;b > 1
D.
0 < a < 2;b < 1
a > 2; b > 1
Lời giải
Ta có:
−3 −4
>
4
5
nên
−3
−4
( a − 1) 4 > ( a − 1) 5
Mặt khác
3
2
⇔ a − 1> 1⇔ a > 2
2
3
b > b ⇔ b > b ⇔ b> 1
3
3
Do đó
2
a > 2; b > 1
Chọn D
Ví dụ 26: Khẳng định nào dưới đây là đúng
A.
(x
2
C.
(
+ 1)
2017
)
2+1
> ( x + 1)
x2 +1
2
>
(
2016
)
2 −1
1− x2
B.
( ∀ x ∈ R)
(
) (
5
2 −1 >
)
2 −1
4
D. Cả A và C đều đúng
( ∀ x∈ R)
Lời giải
A sai vifkhi
không thỏa mãn
x= 0
C đúng vì
(
nên
(
)
2 −1
)
2+1
x2 +1
>
1− x2
(
=
(
)
2 −1
)
2+1
1− x2
−1
1− x2
=
(
)
2+1
x2 −1
( ∀ x∈ R)
Chọn C
Ví dụ 27: Cho
và
( a − 2)
A.
2< a< b< 3
2
( a − 2)
>
B.
3
( a − 1)
2< b< a < 3
− 2
> ( b − 1)
C.
− 2
b> a> 3
. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
D.
a> b> 3
Lời giải
Ta có:
( a − 2)
Suy ra
2
>
( a − 2)
3
⇔ ( a − 2)
2
3
3
> ( a − 2) 2 ⇔ 0 < a − 2 < 1 do 2 < ÷
2
.
2< a< 3
Trang 10
toanpt.com
Mặt khác
Do đó
( a − 1)
> ( b − 1)
− 2
⇔ ( a − 1)
− 2
2
< ( b − 1)
2
⇔ a − 1< b − 1 ⇔ a < b
2< a< b< 3
Chọn A
Ví dụ 28: Đơn giản biểu thức
T=
A.
B.
T= 4a
a− b
4
a− b
4
a − ab
ta được:
4
−
4
a− 4 b
C.
T= 4b
T = 4 a+ 4 b
Lời giải
Ta có:
( a ) − ( b)
T=
2
4
4
4
a− b
4
2
4
−
a
(
4
4
a+ 4b
a+ b
4
)=
4
a+ 4 b− 4 a = 4 b
Chọn B
Trang 11
toanpt.com
D.
T=0
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I. LÝ THUYÉT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Định nghĩa hàm số lũy thừa
+ Hàm sô
, với
y = xa
a∈ R
, được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
+ Hàm số
y= x
a
+ Hàm sô
y = xa
+ Hàm số
y = xa
, với a nguyên dương, xác định với
, với a nguyên âm hoặc
a= 0
∀ x∈ R
xác định với
∀≠0
.
, với a khơng ngun, có tập xác định là tập các số thực dương.
Lưu ý. Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
Theo định nghĩa, đẳng thức
n
Do đó, hàm số
1
n
1
n
chỉ xảy ra nếu
x= x
không đồng nhất với hàm số
y= x
Chẳng hạn, hàm số
số lũy thừa
1
3
y=
xác định với
y= x
3
x
x> 0
.
y = n x ( n∈ N * )
là hàm số căn bậc ba, xác định với
∀ x∈ R
còn hàm
∀x> 0
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
+ Hàm sô lũy thừa
+ Nếu hàm số
hàm trên J và
y= x
a
u = u( x)
( α ∈ R)
có đạo hàm tại mọi điểm
x> 0
và
nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì
( x ) ' = α .x
α
α −1
y = ua ( x)
cũng có đạo
( u ( x) ) ' = α .u ( x) u'( x)
α
α −1
Chú ý. Ta cần lưu ý hai kết quả sau:
+ Với
∀x> 0
nếu n chẵn, với
∀x≠ 0
nếu n lẻ thì
( x) ' = n
n
n
+ Nếu
Trang 12
u( x)
là hàm số có đạo hàm trên J và
toanpt.com
u( x) > 0
với
1
xn−1
∀ x∈ J
khi n chẵn
u( x) ≠ 0
với
khi n lẻ thì
∀ x∈ J
(
n
)
u( x) ' =
(Với
u'( x)
)
∀ x∈ J
nn un−1 ( x)
4. Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừa
Trong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng
+ Hàm số
+ Hàm số
y = xα
y = xα
+ Đồ thị hàm số
đồng biến trên khoảng
nghịch biến trên khoảng
α
y=x
luôn đi qua điểm
nếu
( 0; +∞ )
( 0; +∞ )
với
y = xα
α ≠0
và với tập xác định là
α >0
nếu
α <0
(1;1)
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số
y = ( x − 3x + 2 )
2
A.
C.
B.
D = [ 1; 2]
D.
D=¡
100
.
D = [ 2; +∞ ) ∪ ( −∞;1]
D = (1; 2)
Lời giải:
Hàm số
với
y = xα
Do đó hàm số
α
nguyên dương, xác định với
y = ( x − 3x + 2 )
2
100
xác định với
∀x ∈ ¡
∀x ∈ ¡
.
.
Chọn C.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số
y = ( x − 8)
3
A.
C.
B.
D = ( 2; +∞ )
D.
D = ( −∞; 2 )
−100
.
D = ¡ \ { 2}
D = ( −2; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )
Lời giải:
Hàm số
Hàm số
y=x
với
α
y = ( x − 8)
3
α
nguyên âm, xác định với
−100
xác định
∀x ≠ 0
x3 − 8 ≠ 0 ⇔ x3 ≠ 8 ⇔ x ≠ 2
Chọn B.
Trang 13
.
toanpt.com
.
( 0; +∞ )
Ví dụ 3 : Tìm tập xác định D của hàm số
A.
C.
y = ( x3 − 8 )
B.
D = ( 2; +∞ )
D.
D = ( −∞; 2 )
0
D = ¡ \ { 2}
D = ( −2; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )
Lời giải:
Hàm số
Hàm số
với
y = xα
y = ( x − 8)
3
α =0
0
xác định với
xác định
∀x ≠ 0
.
⇔ x3 − 8 ≠ 0 ⇔ x3 ≠ 8 ⇔ x ≠ 2
.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số
y = ( x − 6x + 8)
2
A.
C.
B.
D=¡
D.
D = ( 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )
1
100
D = [ 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2]
D = [ 2; 4]
Lời giải:
Hàm số
y = xα
với
α
khơng ngun , có tập xác định là tập số thực dương.
Hàm số
y = ( x 2 − 6 x + 8)
1
100
xác định
x > 4
x2 − 6 x + 8 > 0 ⇔
⇒
x < 2
Đáp án C đúng
Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số
A.
C.
y = ( x2 − 6 x + 8)
B.
D=¡
D.
D = ( 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2 )
2
D = [ 4; +∞ ) ∪ ( −∞; 2]
D = [ 2; 4]
Lời giải:
Hàm số
y = xα
Hàm số
với
α
khơng ngun , có tập xác định là tập số thực dương.
y = ( x − 6 x + 8)
2
xác định
2
x > 4
x2 − 6x + 8 > 0 ⇔
⇒
x < 2
Chọn C.
Trang 14
toanpt.com
Đáp án C đúng
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số
A.
y ' = 40 x ( x + 1)
3
4
B.
9
y = ( x 4 + 1)
10
C.
y ' = 10( x 4 + 1)9
(x
y' =
4
+ 1)
D.
11
(x
y' =
4
+ 1)
11
44 x 3
11
Lời giải:
Ta có
y ' = 10 ( x 4 + 1)
10 −1
.4 x 3 = 40 x 3 ( x 4 + 1)
9
Chọn A.
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số
1
y = ( x 2 − 4 x + 10) 4
A.
y ' = ( x 2 − 4 x + 10 )
C.
y' =
B.
1
4
1
y = ( 2 x − 4 ) ( x 2 − 4 x + 10 ) 4
D.
1
4 ( x 2 − 4 x + 10 )
y' =
3
4
x−2
3
2 ( x 2 − 4 x + 10 ) 4
Lời giải:
Ta có
y' =
1
3
−1
1 2
1
2
4
x
−
4
x
+
10
2
x
−
4
=
x
−
2
x
−
4
x
+
10
) (
)(
(
) (
)4 =
4
2
x−2
2 ( x − 4 x + 10 )
2
3
4
Chọn D.
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số
y = 3x 2 − 2 x + 1
A.
y' =
B.
1
2 3x 2 − 2 x + 1
C.
1
y'=
y' =
3x 2 − 2 x + 1
6x − 2
3x 2 − 2 x + 1
Lời giải:
Ta có
2
1 2
3x − 2 x + 1 = x 3 −
÷ + > 0, ∀x ∈ ¡
3 3
2
1
⇒ y = ( 3 x 2 − 2 x + 1) 2 ⇒ y ' =
6x − 2
2 3x 2 − 2 x + 1
3x − 1
=
3x 2 − 2 x + 1
Chọn D.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số
A.
y ' = 2 ( x 4 + 1)
Trang 15
1
1+ 2
y = ( x 4 + 1)
2
B.
(x
y'=
4
+ 1)
1+ 2
1+ 2
toanpt.com
D.
y' =
3x − 1
3x 2 − 2 x + 1
C.
y ' = 4 2 x ( x + 1)
3
4
D.
1
1+ 2
1
1
4
1
+
y ' = 3 ( x + 1) 2
4x
Lời giải:
Ta có
y ' = 2 ( x 4 + 1)
2 −1
1
.4 x 3 = 4 2 x 3 ( x 4 + 1) 1+
2
Chọn C.
Câu 10: Cho hàm số
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y=
A.
y' =
4
x2 + 1
x2 + 2
B.
1
y3 ( x2 + 2)
y' =
2
C.
x
2 y3 ( x2 + 2)
y' = −
2
D.
1
y3 ( x2 + 2)
y' = −
2
x
2 y3 ( x2 + 2)
Lời giải:
Ta có
1
1
x2 + 1 2
x2 + 1
1 4
>
0,
∀
x
∈
¡
⇒
y
=
2
÷ = 1 − 2
÷
2
x +2
x +2
x +2
1
−
−4
3
x2 +1 4
1
1 4
1
x
⇒ 1 − 2
.
.2
x
=
2
÷ .
÷
2
2
4 x +2
x +2
x + 2 2 ( x2 + 2)
1
−
x2 + 1
2
÷
x +2
3
4
.
x
2 ( x + 2)
2
2
=
1
x
x
.
=
2
2
3
2
3
y 2 ( x + 2)
2 y ( x2 + 2)
Chọn B.
Câu 11: Cho hàm số
y = 3 ln
A.
(x
2
B.
4 ln ( x + 1)
2
y'=
2
2 x ln ( x + 1)
2
y' =
3 y 2 ( x 2 + 1)
+ 1) + 2
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
C.
y' =
3 y 2 ( x 2 + 1)
4 x ln ( x + 1)
2
3 y 2 ( x 2 + 1)
D.
y'=
Lời giải:
Ta có
ln
(x
2
2
( ( x + 1) + 2 )
+ 1) + 2 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ y = ln
(
1
⇒ y ' = ln 2 ( x 2 + 1) + 2
3
4
.
3
1
( (x
ln
2
Trang 16
2
+ 1) + 2
)
2
3
.
)
1
−1
3
2
2
(
1
3
2x
4
.2 ln ( x + 1) . 2
= ln 2 ( x 2 + 1) + 2
x +1 3
x ln ( x 2 + 1)
x2 + 1
2
)
−
2
3
2
2
4 1 x ln ( x + 1) 4 x ln ( x + 1)
= . 2.
=
3 y
x2 + 1
3 y 2 ( x 2 + 1)
toanpt.com
.
x ln ( x 2 + 1)
x2 + 1
2ln ( x 2 + 1)
3 y 2 ( x 2 + 1)
2
Chọn C.
Trang 17
toanpt.com
CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.Định nghĩa
Cho 2 số dương a,b với
Như vậy
a ≠1
thỏa mãn đẳng thức
aα = b
được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là
log a b
aα = b ⇒ α = log a b
Ví dụ: Tính biểu thức sau:
log 2 4;log 2 32;log
Để tính biểu thức
Do vậy
aα = b
a = 10
( 4 2 ) ; log
3
27; log 3 9
? Ta đi trả lời câu hỏi a mũ bao nhiêu thì bằng b.
( a ? = b)
Các bạn tính các giá trị còn lại nhé!
log 2 4 = 2, log 2 8 = 3;log 2 4 = 4...
Chú ý: +) Khi
2
là cơ số thập phân ta ký hiệu:
(
được hiểu là
).
log x log x
log10 x
Đọc là Lốc x.
+) Khi
ln e x
a = e ≈ 2,712818
là cơ số tự nhiên ta kí hiệu:
ln x
. Đọc là len x hoặc log nepe của x (
).
2. Các công thức Logarit cần nhớ.
Công thức 1:
Công thức 2:
log a a x = x, (∀x ∈ R;1 ≠ a > 0)
a log a x = x( x > 0;1 ≠ a > 0)
Chứng minh: Ta có:
Cơng thức 3: +)
.
.
log a x = log a x ⇔ x = a log a x
3
log a x + log a y = log a ( xy )
+)
log a x − log a y = log a
x
( x; y > 0;1 ≠ a > 0 )
y
Chứng minh: Ta có:
x = a log a x ; y = a loga y ⇒ xy = a loga x +log a y ⇔ log a ( xy ) = log a a a
log a ( xy ) = log a x + log a y
Công thức 4:
Trang 18
log a b n = n.log a b;
toanpt.com
loga x + log a y
ln x
được hiểu là
.
1
log a n b = log a b(a, b > 0; a ≠ 1)
n
Chứng minh: 1. Ta có:
Chứng minh: 2. Đặt
log a b n = log a ( b.b.b...b ) = log a b + log a b + ... + log a b = n log a
log a n b = y ⇒ b = ( a n ) = a ny ⇔ log a b = log a a ny
y
⇔ log a b = ny = n.log an b ⇔ log an b =
Công thức 5:
1
log a b
n
(Nhớ: giống vecto uuu
r uuur uuur )
AB + BC = AC
log a b.log b c = log a c ( a; b; c > 0; a; b ≠ 1)
Chứng minh: Ta có:
Hệ quả: Khi cho
log a b.log b c = log a b
a=c
log b c
= log a c
( vì
b
logb c
=c
ta có:
log c b.log b c = log c c = 1 ⇔ log c b =
theo công thức 2)
1
log b c
II. VÍ DỤ MINH HỌA
1. CƠNG THỨC VỀ LOGARIT
Ví dụ 1: Trong các số a thoã mãn điều kiện dưới đây. Số nào lớn hơn 1.
A.
log 2 a = −2
B.
log 3 a = π
C.
log 4 a = −1
2
D.
log 3 a = −0,3
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có
log 3 a = π ⇒ a = 3π > 1
Ví dụ 2: Trong các số a thoả mãn điều kiện dưới đây. Số nào nhỏ hơn 1.
A.
log 1 a = −2
B.
log a 5 = 2
C.
D.
log 3 5 = a
log 1 a = 2
3
3
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có
2
log 1
3
1 1
a=2⇔a=
÷ = <1
3 3
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức
là
A = log a a a a 3 (1 ≠ a > 0)
A.
4
a=
3
B.
C.
3
a=
4
D.
8
a=
9
a=
9
8
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có
3
5
5
9
9
log a a a a 3 = log a a a.a 2 = log a a a 2 = log a a.a 4 = log a a 4 = log a a 8 =
Trang 19
toanpt.com
9
8
Cách 2: Cho
a=2
. Nhập vào máy tính
log 2 2 2 23 ÷ =
Ví dụ 4: Giá trị của biểu thức
ta được kết quả bằng
9
8
là:
a3
A = log a 4
( 1 ≠ a > 0)
a a
A.
B.
1
A=
4
C.
1
A=
3
D.
1
A=
2
A=
3
4
A=
39
10
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
3
3
1
− 1+ ÷
a3
a2
1
2 4
log a 4
= log a
log
a
=
a
1
4
a a
a.a 4
Cách 2: Cho
a=2
nhập vào máy tính
Ví dụ 5: Giá trị của biểu thức
2
log 2 4 ÷ =
2 2÷
(
A = log a a
A.
ta được
3
B.
17
A=
5
A=
)
a a ( 1 ≠ a > 0)
3
5
C.
37
A=
10
1
4
là:
D.
21
A=
5
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
1 1
37
3+ +
3 12 15
37
2 5
10
log a (a . a a ) = log a a .a .a ÷ = log a a
= log a a =
10
3
5
Ví dụ 6: Cho
và
B.
9
A=
4
y y3 = b
log y
x x x = xa
A.
( với
C.
3
A=
2
x; y > 0; y ≠ 1
). Vậy
15
A=
8
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
.
3
2
7
8
7
4
x x x = x x = x. x = x ⇒ a =
(Các em có thể bấm
7
8
).
log 2 2 2 2 =
Lại có:
log y y = log y
3
Trang 20
3
2
5
2
5
4
y. y = log y y = log y y =
toanpt.com
5
17
=b⇒ A=
4
8
A = a+b
D.
A=
17
8
bằng
Ví dụ 7: Cho
và
log y
x x 3 x4 = xm
A.
B.
23
A=
12
( với
y
3
y =n
2
C.
7
A=
4
x; y > 0; y ≠ 1
). Vậy
A= m+n
D.
A=3
bằng:
7
3
A=
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
4
7
13
13
x x 3 x 4 = x x.x 3 = x x 6 = x 6 = x 12 ⇒ m =
13
12
Lại có
log y
3
1
3
Do đó
A= m+n =
5
5
3
y 2 y = log y y 2 . y 2 = log y
y 2 = log y y 6 =
23
12
Ví dụ 8: Thu gọn biểu thức
(
A = a3 a
A.
)
log a b
+
( b)
3
A= a + b
3
ta được:
logb a
( 1 ≠ a; b > 0 )
2
B.
7
5
=n
6
C.
A= a + b
2
3
7
D.
A= a + b
2
2
3
A = 3 a 2 + b7
7
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
log a b
3 12
A = a .a ÷
logb a
23
+ b ÷
log a b
72
= a ÷
logb a
23
+ b ÷
Ví dụ 9: Thu gọn biểu thức
2
(
A = (a a 3 ) loga b + b b
A.
B.
A = a 5 + b3
)
C.
A = a 3 + b5
7
=b
log b a 2
7
2
2
+a
log a a 2
logb b 3
=b +a
2
3
ta được:
(1 ≠ a; b > 0)
D.
A = a 3 + b3
A = a 5 + b5
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
log a b2
A = a.a ÷
3
2
5
logb a 2
+ b.b ÷
1
2
log a b2
= a ÷
5
2
log b a 2
3
+ b2 ÷
= (b 2 ) loga
5
a2
=(a
)
3
2
2 logb b
3
= ( b2 ) 2 + ( a 2 ) 2 = b5 + a 3
Ví dụ 10: Thu gọn biểu thức
(
A = a. a
A.
5
8
A = a +b
4
3
B.
4
5
4
A = a +b
)
4
3
log a b
(
+ b. b
3
C.
(1 ≠ a; b > 0)
4
3
A= a +b
Hướng dẫn: Chọn C.
Trang 21
)
ta được:
logb a
toanpt.com
5
8
D.
4
5
A = a3 + b2
Ta có:
log a b
A = a ÷
5
4
lob a
+ b ÷
4
3
=
( b)
5
log a a 4
+a
logb
5
b4
5
4
4
5
4
3
8
= b ÷ + a = b + a3
1
2
Ví dụ 11: [Trích đề thi THPT QG năm 2017]
Cho
log a b = 2
A.
và
. Tính
log a c = 3
B.
P = 108
P = log a ( b 2 c3 )
C.
P = 13
D.
P = 31
P = 30
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
P = log a ( b 2 c 3 ) = 2 log a b + 3log a c = 13
Ví dụ 12: Cho
A.
log 3 x = 4log 3 a + 2 log 3 b ( a; b > 0 )
B.
x = 8ab
x = a +b
4
. Khi đó
C.
2
D.
x= a b
2
x = a 4b 2
Hướng dẫn: Chọn D.
log 3 x = 4 log 3 a + 2 log 3 b = log 3 a 4 + log 3 b 2 = log 3 a 4b 2
Do vậy
x = a 4b 2
Ví dụ 13: Cho
log 1 x = log 1 a a + log 1
3
3
A.
3
b
b b
B.
x= a b
4
( a; b > 0 )
C.
x = ab
3
. Khi đó:
4
D.
x= a b
3
4
3 3
x = 4 ab
Hướng dẫn: Chọn A.
log 1 x = log 1 a a + log 1
3
3
Do đó
3
3
4
x = a .b
1
4 4
b
b b
3
= log 1 a 2 + log 1
3
3
log 4 x = 2 log 2 3 a 2 + 3log 2
2
3
x = 6.a .b
−
3
1
= log 1 a 4 + log 1 b 4
3
b2
3
a 3b
Ví dụ 14: Cho
A.
3
b
5
2
B.
4
3
x = a .b
−15
2
1
b2 b
. Khi đó:
( a; b > 0 )
C.
4
3
x = a .b
D.
15
2
x = −10ab
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
log 4 x = 2 log 2 3 a 2 + 3log 2
Trang 22
1
b2 b
2
−5
4
= 2 log 2 a 3 + 3log 2 b 2 = log 2 a 3 + log 2 b
toanpt.com
−15
2
Do đó
4
3
x = a .b
−15
2
Ví dụ 15: Rút gọ biểu thức
1
a + log 4 2 − log
a
A = log 2
A.
33
A = log 2 a
2
B.
C.
33
A = − log 2 a
2
ta được
a ( a > 0)
8
2
A = 33log 2 a
D.
A=
−1
log 2 a
2
A=
2
log 2 a
3
A=
− 2
4
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
1
a + log 4 2 − log
a
A = log 2
A=
1
2
a = log 2 a + log 22 a −2 − log 1 a 8
8
2
22
1
−33
log 2 a − log 2 a − 16 log 2 a =
log 2 a
2
2
Ví dụ 16: Rút gọn biểu thức
A.
B.
A = log 2 a
A = log 4 a − log 8 a + log16 a 2 (a > 0)
C.
13
A = log 2 a
6
ta được:
3
A = log 2 a
2
D.
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
A = log 4 a − log 8 a + log16 a 2 =
1
1
2
2
log 2 a − log 2 a + log 2 a = log 2 a
2
3
4
3
Ví dụ 17: [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016]:
Cho
log 2 x = 2
. Tính giá trị của biểu thức
A = log 2 x 2 + log 1 x3 + log 4 x
2
A.
B.
A=− 2
A = −2 2
C.
− 2
A=
2
D.
Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có
1
1
2
A = log 2 x 2 + log 1 x 3 + log 4 x = 2 log 2 x − 3log 2 x + log 2 x = − log 2 x = −
2
2
2
2
Vậy
A=
− 2
2
Ví dụ 18: Cho
A.
log x 2 = 3
A=6
. Tính giá trị của biểu thức
B.
1
A=
6
C.
A = log 4 x − 2 log 2 x
−1
A=
6
Hướng dẫn: Chọn C.
Trang 23
toanpt.com
D.
A = −6
Ta có:
log x 2 = 3 ⇒
Mặt khác
1
1
= 3 ⇔ log 2 x =
log 2 x
3
1
−1
−1
A = log 4 x − 2 log 2 x = log 22 x − 2 log 2 x = log 2 x − log 2 x = log 2 x =
2
2
6
1
2
Câu 19: Rút gọn biểu thức
A = log8 x x − log 1 x ( x > 0)
2
ta được:
4
A.
B.
3
A = log 2 x
2
C.
1
A = − log 2 x
2
D.
A = 2 log 2 x
A=
2
log 2 x
3
A=
2
log 2 x
3
Hướng dẫn: Chọn A.
3
1 3
3
A = log 23 x 2 − log 2−2 x 2 = . log 2 x + log 2 x = log 2 x
3 2
2
Ví dụ 20 : Rút gọn biểu thức
A.
B.
3
A = log 2 x
2
ta được:
A = log 3 x.log 2 3 + log 5 x.log 4 5 ( x > 0 )
C.
1
A = − log 2 x
2
D.
A = 2 log 2 x
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
1
3
A = log 2 3.log 3 x + log 4 5.log 5 x = log 2 x + log 4 x = log 2 x + log 2 x = log 2 x
2
2
Ví dụ 21: Cho
A.
log 2 x = 3
. Tính giá trị của biểu thức:
4
B.
B= 3
B = log 1 x + log 1 x + log 1 x
B=
8
C.
−13 3
12
16
D.
9 3
−9 3
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
(
A = 3log 3 x − log 3 x + log 3 x = 3log 3 x = 3 1 + 2
Ví dụ 22: Cho
log 3 x = 1 + 2
. Tính giá trị biểu thức:
)
A = log3 x 3 + log 1 x + log 9 x 2
3
A.
(
A = 2 1+ 2
)
B.
C.
A = 1+ 2
(
A = −2 1 + 2
)
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
(
A = 3log 3 x − log 3 x + log 3 x = 3log 3 x = 3 1 + 2
Ví dụ 23: Tính giá trị của biểu thức
P = log a
Trang 24
1
.log
b3
b
toanpt.com
)
a 3 ( 1 ≠ a; b > 0 )
D.
(
A = 3 1+ 2
)
A.
B.
−18
C. 18
−1
2
D.
1
2
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
P = log a b −3 .log 1 a 3 = −3log a b.6 log b a = −18
b2
Ví dụ 24: Tính giá trị của biểu thức
A. 3
P = log a b3 .log b a ( 1 ≠ a, b > 0 )
B. 12
C.
D.
3
4
4
3
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
P = log 1 b3 .log 1 a = 6 log a b.log b a = 12
a2
Ví dụ 25: Cho
A.
b2
ln x = 2
. Tính giá trị của biểu thức
B.
T = 21
e2
T = 2 ln ex − ln
+ ln 3.log 3 ex 2
x
C.
T = 12
D.
T = 13
T =7
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
(
Ví dụ 26: Cho
A.
)
1
7
T = ln(ex) − 2 − ln x + ln ( ex 2 ) = ( 1 + ln x ) − 2 + ln x + 1 + 2 ln x = ln x = 7
2
2
ln x = 3
. Tính giá trị của biểu thức
B.
T = 16
x2
T = 2 ln
+ ln 2.log 2 ( x3 .e 2 )
e
C.
T = 15
D.
27
T=
2
T = 22
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
(
Ví dụ 27: Cho
A.
)
T = 2 ln x 2 − ln e + ln ( x 3e 2 ) = 4 ln x − 1 + 3ln x + 2 = 7 ln x + 1 = 22
log a b = 3;log a c = −2
B.
log a x = 16
. Tính giá trị của
log a x = 6
C.
log a x
, biết rằng
log a x = 13
x=
a 2b 3
c5
D.
log a x =
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
log a x = log a
Trang 25
5
5
= log a a 2 + log a b 3 − log a c 2 = 2 + 3log a b − log a c = 16
2
c5
a 2b 3
toanpt.com
5
2