BD chuyên đề dãy số 11

DÃY SỐ
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Bài 1.

Bài 2.
Bài 3.

Bài 4.

Cho dãy số

 un 

:

u1  11
�
�
un 1  10un  1  9n, n �N
�

Cho dãy số (un ) biết

. Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho.

u1  2
�
�
un  3un 1  1, n �2
�

. Xác định số hạng tổng quát của dãy.
3�
n4 �
u1  1; u n 1  �
un  2
, n �N*
�
un 

2
n

3
n

2
�
�
Cho dãy số
xác định bởi
.Tìm cơng thức số hạng
u
tổng qt n của dãy số theo n .

Cho dãy số

 un 

u1  16

�
�
�
15  n.un  1
un 1  14 
, n �1
�
n

1
�
có
. Tìm số hạng tổng quát un .

u 
Cho dãy số n xác định bởi : u1  1; u2  4; un  2  7un 1  un  2, n ��* .
Chứng minh : un là số chính phương với mọi n nguyên dương.
Bài 5.

Bài 6.

Cho hàm số

f :  0; � �  0; �

. Chứng minh rằng

Bài 7.

f  x  �x

�1
�
f  3x  �f � f  2 x  � 2 x
�2
�
thỏa mãn điều kiện
với mọi x  0

với mọi x  0 .

u  1; u2  2
�
�1
�
3
1
un 1  un  un 1 n �2
�
2
2
Xác định số hạng tổng quát un �

u  2011; un 1  n 2  un 1  un 
u 
Cho dãy số n được xác định như sau. 1
,.
*
u 
với mọi n  � , n 2 . Chứng minh rằng dãy số n có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 8.

Bài 9.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số

� 1
u1 
�
2
�
�
u2  673
�
�
2(n  2) 2 un 1  ( n3  4n 2  5n  2)un
�
un  2 
n3
�

 un 

 n

biết.

�, n 1

.

3�
n4 �
u1  1; u n 1  �
un  2
, n �N*
�
un 

2
n

3
n

2
�
�
Bài 10. Cho dãy số
xác định bởi
.
Tìm cơng thức số hạng tổng qt un của dãy số theo n .

 un 

u  3un 2  2
xác định bởi u1  1 và n 1
với mọi n �1 .
2
2

2
2
u 
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số n .
b) Tính tổng S  u1  u2  u3  ...  u2011 .
Bài 11. Cho dãy số

 un 

n
được xác định bởi u1  1 và un 1  un  2 với mọi n �1 .
n
a) Chứng minh rằng: un  2  1 .
b) Tính tổng S  u1  u2  u3  ...  un theo n .

Bài 12. Cho dãy số

1


�
u1  2
�
�
u  2 1
un 1  n
(n �1, n ��)
�
1


(
2

1)
u
n
Bài 13. Cho dãy số(un) xác định như sau: �
.

tan  2  1
8
a) Chứng minh:
.
b) Tính: u2015 .

u1  1
�
�
u2  1
�
�
u  2un1  un ( n �N * )
u 
Bài 14. Cho dãy số thực n với �n  2
.
*
a) Chứng minh un  3  2 n với mọi n �N .
b) Tính tổng S  u1  u2  ...  u2012 .
v1  8
�

�
v2  34
(n �N * )
�
�
v  8vn 1  1996vn
v 
Bài 15. Cho dãy số n với �n  2
.
Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011 .
u1  1
�

 un  : �
�n
Bài 16. Cho dãy số
a) Chứng minh dãy số
.

3  2un 1  un   2, (n ��* )
�
.

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

x 

Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của dãy n biết rằng
�
�x0  1; x1  5; x2  125
�
2
2
�xn  2 xn xn 1  3  xn 1  xn 1  10 xn 1  xn  ( n �N * ).
� 7
u1 
�
� 2
 un  : �
7u  4
�
un 1  n
, n ��*
2un  5
�
�
Bài 18. Cho dãy số
.
u 
a) Chứng minh dãy số n là dãy số giảm.
1
�
u1 
�
2016
 un  : �
�

2015un  1
�
un 1 
, n ��*
�
2016
Bài 19. Cho dãy số
.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n �� .

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un 

 un  .

 un  .

�
u1  2
�
u2  3
�
�
u  nun1   n  2  un 2  2n  4, n �3
u 
Bài 20. Cho dãy số n xác định bởi: �n

.
u 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy n .
b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015 .
�x1  3
�
 xn  : �x  xn1 , n �2
�n
2
� 1  1  xn 1
Bài 21. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
.
2


1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
u1  2
�
�
u  3un 1  1, n �2
Bài 1. Cho dãy số (un ) biết �n
. Xác định số hạng tổng quát của dãy.
A  lim



3

n3  n2  1  n

.

Bài 2.

a) Tính giới hạn

Bài 3.

u1  11
�
�
u  10un  1  9n, n ��
b) Cho dãy số (un) xác định bởi : �n 1
. Tìm cơng thức tính un theo n .
u1  4
�
�
�
1
un 1  (u n  4  4 1  2un ), n ��*
�
9
Cho dãy số (un ) xác định bởi: �
. Tìm công thức của số hạng
tổng quát (un ) ?.

Bài 4.
Bài 5.

Bài 6.

Cho dãy số
un theo n. .

 un 

xác định bởi: u1  1;

un 1 

un
, n ��* .
2un  1
Tìm cơng thức số hạng tổng qt

n
*
Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1; un 1  2un  3 , n ��. Tìm cơng thức số hạng tổng quát
un theo n .

Cho dãy số (un ) xác định bởi:
hạng tổng quát un theo n .

3�
n4 �
u1  1; un 1  �
un  2
, n ��* .
�
2 � n  3n  2 �

Tìm cơng thức số

u1  3
�
�
5un  3
�
u

, n ��*
n

1
�
3un  1
�

Bài 7.

Cho dãy số (un) xác định bởi:
.
u 1
vn  n
,
v 
un  1 n ��* . . Chứng minh dãy số  vn  là một cấp số cộng. Tìm số hạng
Xét dãy số n với
u .
tổng quát của dãy số n
u1  4

�
�
�
1
un 1  (un  4  4 1  2u n ), n ��*
�
9
Bài 8.
Cho dãy số (un ) xác định bởi:. �
.
(
u
)
Tìm cơng thức của số hạng tổng quát n ?.
Bài 9.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định bởi:
 n ≥ 1.

1) u1 = 2 và un + 1= 5un
3) u1 = 1 ;un + 1 =

n ≥ 1..

4) u1 = 1 và un +1 = un + 2n – 1

5) u1 = 1 và un +1 = 3un + 2n – 1 n ≥ 1.
7) u1 = 1 và un +1 = 3un + 3n
9)

n ≥ 1.

u1  1, un 1  3un  8un2  2

 n ≥ 1.

2) u1 = 1 và un + 1= un + 7

n �1 .

n ≥ 1.

6) u1 = 1 và un +1 = 3un + 5n

n ≥ 1.

8) u1 = 1 và un +1 = 3un + 5n+ 2n – 1
10) u1 = – 2 và un +1 =

n ≥ 1.

n ≥ 1.

11) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2
12) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 +1, n ≥ 3.
13) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5n -2
14) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5.2n
3

15) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5.2n + 5n -2
16) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 2n
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG.
Bài 1.

Bài 2.
Bài 3.

Bài 4.

Cho dãy số

 un 

xác định bởi

u1  1, u2  2, un  2

un 1
n �� u
 un  2un 1 , n �1.
n .
Tìm
lim

�
un 1  4un2  4un  0, n �1
�
�
1

u2004 
�
2
thỏa mãn điều kiện: �
.

u 
Tìm số các dãy số n
x , x ,..., xn ,...
Cho 1 2
là các nghiệm dương của phương trình tan x  x được sắp theo thứ tự tăng
lim  xn  xn 1 
dần. Tính n��
.
u1  2014
�
�
(u )
u  un2  (1  2a)un  a 2 n  1, 2,...
Cho dãy số n xác định như sau: �n 1
. Tìm điều kiện của
(
u
)
a �� để dãy số n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

a  b 
Cho hai dãy số n và n được xác định như sau:.
2a .b
an 1  n n

a1  2, b1  1
an  bn ; bn 1  an 1.bn , n  1, 2,� .
,
a  b 
Chứng minh rằng n và n có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.
� 1
x1 
�
� 2
�
2
�x  x  xn ; n �1
n 1
n
n2
Bài 6.
Cho dãy số (xn) thỏa mãn: �
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn.
Bài 5.

Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC . .
A B C , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,....
ABC
Xây dựng dãy các tam giác 1 1 1
sao cho tam giác 1 1 1 là một tam giác đều
ABC
cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n �2, tam giác n n n là tam giác trung bình của tam giác
Bài 7.

An 1 Bn 1Cn 1

r
. Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu n tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp
ABC
r 
tam giác n n n . Chứng minh rằng dãy số n là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó?.
a 1
a  an  2n  1
a 
b 
Cho dãy số n được xác định bởi: 1
và n 1
với mọi n �1. Xét dãy số n
b  an 1  an
mà: n
với mọi n �1 .
b 
a) Chứng minh rằng dãy số n là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số
cộng đó.
b 
b) Cho số nguyên dương N . Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số n theo N . Từ đó, hãy suy
a .
ra số hạng tổng quát của dãy số n .
Bài 8.

Bài 9.

�x0  a

 n ��
�
xn 
xn 1  2 xn2  1

�
Cho dãy số thực
được xác định bởi.
.. Tìm tất cả các giá trị của a để
xn  0 với mọi số tự nhiên n .

4


Bài 10.

 un 

Cho dãy số

u1  1, u2  2, u3  40
�
�
2
2
� 10un 1.un 3  24un 1 .un  2
un 
n  4,5, 6,...
�
un  2 .un 3

�
được xác định bởi
.

u
Tìm số n nhỏ nhất để n chia hết cho 2048.

2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.
u 
Bài 1.
Cho cấp số cộng n với n là số nguyên dương thoã mãn u2013  2013; u2014  2014 . Tính
1
1
1
S

 .... 
u1u2 u2u3
u2013u2014 .
tổng:
Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

�x0  a
 n ��
�
xn 

xn 1  2 xn2  1

�
Cho dãy số thực
được xác định bởi.
.. Tìm tất cả các giá trị của a
để xn  0 với mọi số tự nhiên n .

Cho dãy số
phương.
Dãy
1

số
1

22

 xn 

�x0  20; x1  30
�
x  3 xn 1  xn , n ��
xác định bởi �n  2
. Tìm n để xn 1.xn  1 là số chính

 un  xác

định như
1

1
 �  1  22016
k 1 u
2
k
.

u1  2
�
�
u  un2  un  1,  n ��*.
sau: �n 1
.

Chứng

minh

rằng

2016

2015

an2  5an  10
a1  1; an 1 
n �1
�
5  an
Bài 5.

Cho dãy (an ) n1 :
.
a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an .
a1  a2  ...  an 5  5

n �1
n
2
b) Chứng minh
.
�
u1  1
�
u2  2
�
�
nu   3n  1 un 1  2  n  1 un  3, n ��*
u 
Bài 6.
Cho dãy số n như sau � n  2
.
n
*
a) Chứng minh un  2  3n, n �� .

n 1

b) Đặt

S n  �uk

k 1

. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S n chia hết cho n.

5


Bài 7.

Bài 8.

�
u1  0
�
 un  �u2  18
�
un  2  5un 1  6un  24, n ��*
�
Cho dãy số
. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và
n  3 thì un chia hết cho 6n .

x 
Cho dãy số n

x 1
�
�1
�
xn 1  xn  xn  5   xn 2  5 xn  8   16

�
�
với

 n �N  .
*

n 1
a) Chứng minh xn  5 , với mọi n �2 .
n
1
yn  �
lim yn
k 1 xk  3
b) Đặt
. Tìm n�� .

Bài 9.

u1  2
�
�
u  3un 1  2n3  9n 2  9n  3, n �2
Cho dãy số (un ) được xác định như sau:. �n
. Chứng minh
p 1

rằng với mọi số nguyên tố p thì
Bài 10.
Bài 11.

Bài 12.
Bài 13.

Cho dãy số
phương.

 xn 

2014�ui

chia hết cho p .
�x0  20; x1  30
�
x  3xn 1  xn , n ��
x .x  1
xác định bởi �n  2
. Tìm n để n 1 n
là số chính
i 1

2
Bài 3. Cho phương trình x   x  1  0 với  là số nguyên dương. Gọi  là nghiệm dương
x   , xn 1    xn  , n  0,1, 2,3,...
x 
của phương trình. Dãy số n được xác định như sau 0
.
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho xn chia hết cho  .

 an 

Cho dãy số
xác định bởi
số chính phương.

�a0  a1  2004
�
�an  2  7 an 1  an  3978, n ��.

an  10
. Chứng minh rằng 2014 là

3
3
Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi xn  2013n  a 8n  1, n  1, 2,... a là số thực
a)) Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Tìm a sao cho dãy số ( xn ) là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó).

6