MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN tổ hợp NÂNG CAO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ
HỢP NÂNG CAO
HUỲNH KIM LINH

Phần 1. TỔ HỢP
DÀNH CHO HỌC SINH KHỐI 11 VÀ THI THPT QUỐC GIA

§1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1. Quy tắc cộng
a) Quy tắc cộng
Quy tắc cộng được phát biểu như sau:

i.
ii.

Một cơng việc nào đó được thực hiện theo phương án hoặc phương án . Có cách thực
hiện phương án và cách thực hiện phương án . Khi đó cơng việc có thể được thực hiện
theo cách.
Tổng qt, giả sử một cơng việc có thể thực hiện theo một trong phương án . Phương án
có cách thực hiện ( = 1, 2, …, ). Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo cách.

b) Tính số phân tử của hợp hai tập hợp
Bản chất toán học của quy tắc cộng i. là cơng thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp không
giao nhau:
Nếu và là hai tập hợp hữu hạn khơng giao nhau thì

Một cách tổng quát, bản chất toán học của quy tắc cộng ii. là cơng thức tính số phần tử của hợp
tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau.
Công thức tổng qt:
Cho tập hợp đơi một khơng giao nhau. Khi đó,

Trong nhiều bài tốn tổ hợp cần phải tính số phần tử của hợp hai tập hợp bất kì (có thể khơng rời
nhau). Khi đó ta có:
Định lí 1: (Cơng thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp bất kì)
Page | 1


Cho và là hai tập hợp hữu hạn bất kì. Khi đó ta có:
Chứng minh: Chú ý rằng và \ là hai tập hợp không giao nhau và nên

Mặt khác và là hai tập hợp không giao nhau và
nên , do đó:

Thay (3) vào (2) ta được (1).
Ví dụ 1: Một lớp học có 25 học sinh học khá mơn Tốn, 24 học sinh học khá mơn Ngữ văn, 10 học
sinh học khá cả mơn Tốn và mơn Ngữ văn và 3 học sinh khơng học khá cả mơn Tốn lẫn
mơn Ngữ văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
Lời Giải
Gọi là tập hợp các học sinh học khá mơn Tốn, là tập hợp các học sinh học khá mơn Ngữ
văn. Theo bài ra ta có:

Khi đó là tập hợp các học sinh học khá mơn Tốn hoặc mơn Ngữ văn. Theo định lí 1 ta có

Vậy lớp học có 39 + 3 = 42 học sinh.

c) Tính số phần tử của hợp ba tập hợp
Với ba tập hợp bất kì, ta có định lí sau:
Định lí 2: (Cơng thức tính số phần tử của hợp ba tập hợp bất kì)

Cho là ba tập hợp. Khi đó

Chứng minh: Theo định lí 1 ta có:

Mặt khác cũng theo định lí 1

Page | 2


Và

Thay (6) và (7) vào (5) ta được (4).
Ví dụ 2 : Trong một kì thi đại học, trong số các thi sinh dự thi vào trường Đại học sư phạm ở khối
A có 51 em đạt điểm giỏi mơn Tốn, 73 em đạt điểm giỏi mơn Vật lí, 64 em đạt điểm giỏi
mơn Hóa học, 32 em đạt điểm giỏi cả hai mơn Tốn và Vật lí, 45 em đạt điểm giỏi cả hai
mơn Vật lí và Hóa học, 21 em đạt điểm giỏi cả hai mơn Tốn và Hóa học và 10 em đạt điểm
giỏi cả ba mơn Tốn, Vật lí, Hóa học. Có 767 em mà cả ba mơn đều khơng có mơn nào đạt
điểm giỏi. Hỏi có bao nhiêu thí sinh dự thi vào trường Đại học Sư phạm ở khối A?
Lời Giải
Kí hiệu tương ứng là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi môn Tốn, Vật lí và Hóa học. Theo bài
ra ta có:

Khi đó là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba mơn Tốn, Vật lí và Hóa học.
Theo định lí 2 ta có

Vậy số thí sinh dự thi vào trường Đại học Sư phạm ở khối A là 100 + 767 = 867.

2. Quy tắc nhân
i.

ii.

a) Quy tắc nhân
Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai công đoạn và B. Công đoạn được làm theo cách.
Với mỗi cách thực hiện cơng đoạn thì cơng đoạn được làm theo cách. Khi đó cơng việc có thể
được thực hiện theo cách.
Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm cơng đoạn . Giả sử cơng đoạn có thể làm theo cách.
Với mỗi và với mỗi cách thực hiện các cơng đoạn thì cơng đoạn có thể thực hiện theo cách.
Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo cách.
b) Tính số phần tử của tích Descartes của hai tập hợp
Giả sử cơng đoạn đầu có thể tiến hành theo n cách : . Công đoạn thứ hai có thể tiến hành theo m
cách : .
Như vậy nếu công đoạn đầu tiến hành theo cách , cơng đoạn thứ hai tiến hành theo cách thì việc
thực hiện công việc được mô tả với cặp .
Thành thử tâp hợp tất cả các cách thực hiện công việc được mô tả bởi tập hợp tất cả các cặp , tức
là tích Descartes của hai tập hợp và .
Page | 3


Như vậy bản chất toán học của quy tắc nhân:

Định lí 3:
Số phần tử của tích Descartes của hai tập hợp hữu hạn và bằng số phân tử của
nhân với số phân tử của

c) Tính số phần tử của tích Descartes của nhiều tập hợp
Một cách tổng quát, bản chất tốn học của quy tắc nhân ii. cho cơng việc nhiều cơng đoạn là cơng
thức tính số phần tử của tích Descartes của nhiều tập hợp.

Định lí 4:
Cho tập hợp . Tập hợp tất cả các bộ với được gọi là tích Descartes của tập
hợp và kí hiệu là . Ta có quy tắc nhân sau đây

Chứng minh định lí 4 dễ dàng bằng phương pháp quy nạp, sử dụng nhận xét

Ví dụ 3: Cho .
Lời Giải
Khi đó các phần tử của tích Descartes là

Số phần tử của là .

BÀI TẬP:
A. Bài tập cơ bản :
Bài tập 1: Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 1000 mà chia hết cho 3 hoặc chia hết
cho 5.
Lời Giải
Gọi A là tập các số nguyên dương không quá 1000 mà chia hết cho 3.
Page | 4


B là tập các số nguyên dương không quá 1000 mà chia hết cho 5.
Khi đó là tập các số nguyên dương không quá 1000 mà chia hết cho 3 hoặc cho 5, là tập các số
nguyên dương không quá 1000 mà chia hết cho cả 3 và 5, tức là tập các số nguyên dương không
quá 1000 mà chia hết cho 15.
Mô tả các tập hợp như sau:
. Ta phải có: . Vậy
. Ta phải có: . Vậy
. Ta phải có: . Vậy
Theo cơng thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp, ta có:

Bài tập 2: Tìm số các số nguyên dương không lớn hơn 1000 mà chia hết cho 4 hoặc cho 7.
Lời Giải
Tương tự bài tập 1,

Gọi A là tập các số nguyên dương không lớn hơn 1000 mà chia hết cho 4, B là tập các số nguyên
dương không lớn hơn 1000 mà chia hết cho 7, là tập các số nguyên dương không lớn hơn 1000
mà chia hết cho 28.
Do đó: .
Sử dụng cơng thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp:

Bài tập 3:
Trong một khu phố gồm 53 hộ, thống kê cho thấy có 30 hộ đặt mua báo A, 18 hộ đặt mua báo B
và 26 hộ đặt mua báo C. Có 9 hộ đặt mua báo A và B; 16 hộ đặt mua báo A và C; 8 hộ mua báo B và
C. Có 47 hộ đặt mua ít nhất một tờ báo. Hỏi:
a) Có bao nhiêu hộ khơng mua tờ báo nào?
b) Có bao nhiêu hộ mua cả ba tờ báo?
c) Có bao nhiêu hộ mua báo A và B nhưng khơng mua báo C?
d) Có bao nhiêu hộ mua báo A nhưng không mua báo B và C?
Lời Giải
Gọi A, B, C lần lượt số hộ mua báo A, B, C.
Page | 5


a) Có hộ khơng mua tờ báo nào.
b) Từ cơng thức tính số phần tử của ba tập bất kì, ta có:

Suy ra .
Vậy , nghĩa là có 6 hộ mua cả ba tờ báo.
c) Số hộ mua báo A và B không mua báo C = Số hộ mua cả báo A và B Số hộ mua cả ba báo.
Vậy số hộ mua báo A và B không mua báo C là .
d) Cũng tương tự, số các hộ mua báo A và C không mua báo B là
Số hộ mua báo A nhưng không mua báo B và C = Số hộ mua báo A Số hộ mua báo A và B không
mua báo C Số hộ mua A và C không mua báo B Số hộ mua cả ba báo
Vậy số hộ chỉ mua báo A là .

Bài tập 4:
Một nhóm gồm 3 người đàn ơng, 4 người phụ nữ và 2 đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và khơng có
hai người đàn ơng nào ngồi cạnh nhau?
Lời Giải
Kí hiệu O, N, T là lần lượt là ghế cho đàn ông, phụ nữ và trẻ em.Ta có các phương án:
Phương án 1: ONTNTNONO
Phương án 2: ONTNONTNO
Phương án 3: ONONTNTNO
Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ơng có thể có 3! cách xếp cho ba người đàn ơng. Bốn vị
trí ghế cho phụ nữ ngồi có thể có 4! cách xếp cho 4 người phụ nữ. Hai vị trí ghế cho trẻ em có thể
có 2! cách xếp cho hai đứa trẻ. Theo qui tắc nhân, phương án 1 có cách thực hiện.
Tương tự, mỗi phươnng án 2 và 3 cũng có 288 cách thực hiện.
Theo qui tắc cộng, ta có cách xếp thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài tập 5:
Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim A, B, C đang chiếu thì thu được kết quả sau:
Bộ phim A có 28 người đã xem;
Bộ phim A có 26 người đã xem;
Page | 6


Bộ phim A có 14 người đã xem;
Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B;
Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C;
Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C;
Có 2 người xem cả ba bộ phim A, B, C.
Xác định số người không đi xem bất cứ phim nào trong ba bộ phim ấy.
Lời Giải
Theo cơng thức tính số phần tử của hợp ba tập hợp, ta có:

Suy ra số người xem ít nhất một bộ phim là:
Do đó số người khơng đi xem phim là:

Bài tốn 6:
Trong một trường học có ba câu lạc bộ (CLB) Tốn, Văn và Ngoại ngữ. Có 28 học sinh tham gia ít
nhất một trong ba CLB. Biết rằng:
a) Số học sinh chỉ tham gia CLB Toán, Văn bằng số học sinh chỉ tham gia duy nhất CLB Toán.
b) Số học sinh chỉ tham gia CLB Văn, Ngoại ngữ gấp 5 lần số học sinh tham gia cả ba CLB.
c) Có 6 học sinh chỉ tham gia CLB Tốn, Ngoại ngữ.
d) Khơng có học sinh nào chỉ tham gia duy nhất một CLB Văn hoặc duy nhất một CLB Ngoại ngữ.
e) Số học sinh tham gia cả ba CLB là một số nguyên dương chẵn.
Hãy tìm số học sinh chỉ tham gia CLB Tốn và Văn và số học sinh tham gia cả ba CLB.
Lời Giải
Gọi tập hợp các học sinh tham gia CLB Toán, Văn, Ngoại ngữ tương ứng là A, B, C. Theo giả
thiết ta có:

Các tập hợp trong vế trái rời nhau. Do đó
Page | 7


Đặt
Theo giả thiết:

Vậy
Vì chẵn nên suy ra
Vậy có 5 học sinh chỉ tham gia CLB Toán và Văn và 2 học sinh tham gia cả ba CLB.
Bài toán 7:
Một con bị có thể mang virut A, virut B hoặc virut C; có thể mang đồng thời hai hoặc nhiều hơn
các virut nói trên; và cũng có thể khơng mang virut nào. Trong bản báo cáo của một nơng trường

ni bị cho biết:
“Kiểm tra 1200 con bị thì có 675 con có virut A; 682 con có virut B; 684 con có virut C; 195 con
có virut B và C; 467 con có virut A và C; 318 con có virut B và C; 165 con có cả ba virut trên.”
Hãy chỉ ra rằng các số liệu trong báo cáo là khơng chính xác.
Lời Giải
Theo cơng thức tính số phần tử của hợp ba tập hợp, ta tính được

Điều vơ lí này chứng tỏ các số liệu trong báo cáo là khơng chính xác.

B. Bài tập nâng cao :
Bài 1: Có bao nhiêu bộ (có tính đến thứ tự) trong đó là các số ngun dương khơng lớn hơn 7
và có tổng ?
Bài 2: Có bao nhiêu bộ (có tính đến thứ tự) trong đó là các số ngun dương khơng lớn hơn 6
và trong đó có đúng 3 số bằng nhau ?
Bài 3: Tìm số các số tự nhiên lẻ nằm trong khoảng (2000; 3000) mà trong biểu diễn thập phân
của nó khơng có chữ số nào lớn hơn 6.
Bài 4:
a. Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong biểu diễn thập phân của nó chỉ có các chữ
số 2, 3, 4, 5, 6 ?
Page | 8


b. Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong biểu diễn thập phân của nó chỉ có các chữ
số 2, 3, 4, 5, 6 và các chữ số đều khác nhau?
Bài 5:
a. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lớn hơn 4000 mà trong biểu diễn thập phân
của nó chỉ có các chữ số 1, 3, 5, 7 ?
b. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lớn hơn 4000 mà trong biểu diễn thập phân
của nó chỉ có các chữ số 1, 3, 5, 7 và các chữ số đều khác nhau ?
Bài 6: (CĐSP – dự bị - 01 – 02)

Cho đa giác lồi cạnh. Xác định để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh?

C. Đáp án và hướng dẫn giải:
Bài 1:
Ta liệt kê các bộ (khơng tính đến thứ tự) với là các số nguyên dương không lớn hơn 7 và
có tổng . Đó là các bộ sau:

Bằng cách hoán vị các phần tử của các bộ nói trên, chẳng hạn bộ (khơng kể thứ tự) sinh ra 6 bộ
có thứ tự là

Cịn bộ (khơng kể thứ tự) sinh ra ba bộ có thứ tự là

Vậy số các bộ thỏa mãn điều kiện đầu bài là
Bài 2:
Ta liệt kê các bộ (có tính đến thứ tự) trong đó là các số ngun dương khơng lớn hơn 6
và trong đó có đúng 3 số bằng nhau. Đó là các bộ với là các số nguyên dương không lớn hơn 6.
Số có 6 cách chọn từ tập ; số có 5 cách chọn từ tập . Vậy có bộ như vậy. Với mỗi bộ sẽ sinh ra
4 bộ có thứ tự là . Vậy số các bộ thỏa mãn điều kiện đầu bài là
Bài 3:
Các số cần tìm có dạng , trong đó thuộc tập và thuộc tập .
Vậy số các số cần tìm là
Bài 4:
Page | 9


a)
b)
Bài 5:
a) Các số thỏa mãn yêu càu bài toán có dạng trong đó thuộc tập cịn và thuộc tập . Vậy số
các số cần tìm là

b) Chữ số có 2 cách chọn. Sau khi chọn thì chữ số có 3 cách chọn, tiếp đó chữ số có 2 cách
chọn và chữ số có 1 cách chọn. Vậy có số thỏa mãn yêu cầu.
Bài 6:
Đa giác lồi có cạnh nên sẽ có đỉnh. Từ 1 đỉnh ta có thể kẻ đoạn thẳng tới các đỉnh cịn
lại. Do đó, ta sẽ kẻ được đoạn thẳng. Số đường chéo có thể có của đa giác lồi cạnh là

Theo đề bài ta có :

Vậy đa giác đã cho có 7 cạnh.

Page | 10


§2. HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
1. Hốn vị
Định nghĩa
Cho tập hợp A có n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự cho ta một hoán vị
của tập hợp A.
Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn.
Định lí 1
Pn = n! = n(n-1)…2.1 .
Chứng minh. Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A có n phần tử là cơng việc gồm n công
đoạn. Công đoạn 1 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất : có n cách thực hiện.Sau khi thực
hiện công đoạn 1, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai : có n-1 cách thực hiện. Sau
khi thực hiện xong i - 1 công đoạn ( chọn i -1 phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2, …, i – 1),
công đoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i : có n – 1
Cơng đoạn cuối cùng (cơng đoạn thứ n) có 1 cách thưc hiện. Theo quy tắc nhân, ta có n(n - 1)
….2.1 = n! cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có n! hốn vị.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương k với 1 . Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp
chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh
hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Akn.
Nhận xét : Từ định nghĩa , ta thấy một hoán vị của tập hợp A có n phần tử là một chỉnh hợp chập
n của A.
Định lí 2
Akn = n(n – 1)…(n – k + 1) = .
Chứng minh : Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là công việc gồm k
công đoạn. Công đoạn 1 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất ; có n cách thực hiện. Sau khi
thực hiện công đoạn 1, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai : có n – 1 cách thực
hiện. Sau khi thực hiện xong i – 1 công đoạn (chọn i – 1 phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2, …,
i – 1), công đoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i : có n – 1 + 1 cách thực hiện.
Công đoạn cuối cùng (cơng đoạn thứ k) có n – k + 1 cách thực hiện.
Theo quy tắc nhân , ta có n(n – 1)…(n – k + 1) cách lập một chỉnh hợp chập k của tập k có n
phần tử, tức là có n(n – 1)…(n – k + 1) chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử.
Page | 11


3. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phân tử và số nguyên dương k với . Mỗi tập cịn có k phần tử của A được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).
Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Ckn.
Định lí 3
.
Chứng minh. Từ định nghĩa, ta có mỗi hốn vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp
chập k của A. Do đó, từ một tổ hợp chập k của A, ta lập được k! chỉnh hợp chập k của A. Vậy
hay .

Chú ý. Ta quy ước 0 và .
Với quy ước đó thì định lí 2 và 3 đúng cho cả và
Định lí 4 (Hai tính chất cơ bản của số )
a) Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . Khi đó
b) (Hằng đẳng thức Pascal)
Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . Khi đó
Chứng minh
a) Suy ra từ cơng thức .
b) Ta có
.

4. Một số ví dụ
Ví dụ 1
a) Trong mặt phẳng cho một hợp P gồm 6 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ (khác vectơ
0) có điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?
b) Trong mp cho một tập hợp Q gồm 7 điểm phân biệt, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng
hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc Q ?
Giải
a) Mỗi vectơ được xác định bởi một cặp (A,B) trong đó A là điểm đầu , B là điểm cuối. Vậy số
vectơ cần tìm là
b) Mỗi tam giác tương ứng duy nhất với một tập con 3 điểm của Q. Vậy số tam giác cần tìm là
Ví dụ 2. Trong mơt lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học
sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” của Đồn. Hỏi thầy có bao
nhiêu cách chọn ?
Giải. Ta có cách chọn 4 học sinh nam và có cách chọn 3 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân, số cách
chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ là
.
Ví dụ 3. Chứng minh hằng đẳng thức
Page | 12

a) Bằng biến đổi đại số
b) Bằng suy luận tổ hợp
Giải
 Ta có .
 Xét hai tập B và C không giao nhau, mỗi tập gồm n phần tử. Đặt Để chọn ra 2 phần tử của A,
ta có thể thực hiện một trong ba phuong án sau :
 Phương án 1 : Chọn hai phần tử của B.
Phương án này có thể thực hiện theo cách
 Phương án 2 : Chọn hai phần tử của C
Phương án này có thể thực hiện theo
 Phương án 3 : Gồm hai cơng đoạn : Chọn một phần tử của B (có cách chọn) rồi chọn tiếp
một phần tử của C ( có n cách chọn).
Theo quy tắc nhân, phương án 3 có n.n = n2 cách thực hiện
Theo quy tắc cộng , ta có cách chọn hai phần tử của A.
Mặt khác số cách chọn hai phần tư của A là .
Vậy .

BÀI TẬP
1. Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong biểu diễn thập phân của nó
khơng có các chữ số 7, 8, 9 ?
Lời Giải
Ta thấy các số thỏa tính chất trên thuộc tập S = , trong đó có chữ số đầu tiên khác 0, chữ số tận
cùng là 0 hoặc 5.
Xét việc lập các số có dạng : Cơng đoạn 1 là chọn chữ số a : có 5 cách chọn từ các số . Công
đoạn 2 là chọn chữ số b : có 5 cách chọn từ tập S \ . Công đoạn 3 là chọn chữ số c : có 4 cách
chọn từ tập S\. Cơng đoạn 4 là chọn chữ số d : có 3 cách chọn từ tập S\. Theo quy tắc nhân, ta có
5.5.4.3 = 3000 số dạng .
Xét việc lập số có dạng : Số các số có dạng này bằng số các số có 4 chữ số với các chữ số a, b,
c, d thuộc . Do đó số các số có dạng này bằng

Vậy có 300 + 360 = 660 số thỏa mãn điều kiện đầu bài.
2. Cho 3. Chứng minh rằng
Lời Giải
Dùng hằng đẳng thức Pascal ta có :
.
3. Cho m, n và r là các số nguyên dương sao cho r < m, r < n. Chứng minh rằng :
Page | 13


Lời Giải
Bài toán này nếu dùng biến đổi đại số thì là một bài tốn rất khó. Tuy nhiên, nếu dùng suy luận
tổ hợp thì việc chứng minh đẳng thức trên là khá dễ dàng.
Thật vậy, xét một lớp gồm m + n học sinh trong đó có n học sinh nam và m học sinh nữ. Ta cần
chọn một nhóm r học sinh từ m + n học sinh này.
Ta nói việc chọn nhóm thực hiện theo phương án Ak nếu ta chọn nhóm có k nam va r – k nữ (k =
0, 1, 2, …, r). Ta có r + 1 phương án là A0, A1,…, Ar.
Để chọn được một nhóm học sinh theo phương án A k, ta sẽ chọn k học sinh từ n học sinh nam rồi
chọn tiếp r – k học sinh nữ từ m học sinh nữ. Theo quy tắc nhân, phương án A k có thể thực hiện
theo cách. Theo quy tắc cộng, việc chọn r học sinh có thể thực hiện theo
cách. Mặt khác, số cách chọn r học sinh từ m + n học sinh là . Thành thử ta có

4.

Cho n, r là các số nguyên dương. Chứng minh bằng quy nạp rằng :

Lời Giải
Cố định số nguyên dương n. Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với mọi số người nguyên
dương r. Ta chứng mình bằng quy nạp.
Với r=0, cả hai vế của đẳng thức đều bằng 1.
Giả sử đẳng thức đúng với r. Ta cần chứng minh nó đúng với r+1. Ta có

Theo giả thiết quy nạp
Theo hằng đẳng thức Pascal
Từ (1), (2) và (3) suy ra
Vậy đẳng thức đúng cho r+1. Theo nguyên lí quy nạp, ta suy ra đẳng thức đúng với mọi r.
5. Chứng minh : = k2
Lời Giải
VT = = = .

§3. NHỊ THỨC NEWTON
Page | 14


1. Công thức nhị thức Newton
Một cách tổng quát, khai triển của được cho bởi cơng thức sau
Định lí 1
Với là các số thực và n là số nguyên dương, ta có:

(quy ước ).

Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh khẳng định sau:
Với mỗi số thực x và mỗi số nguyên dương n ta có:

Chứng minh bằng quy nạp theo n. Rõ ràng P(1) đúng. Giả sử P(n) đúng. Ta có:

Lại có

Áp dụng hằng đẳng thức Pascal, ta được

Vậy P() đúng. Theo ngun lí quy nạp ta có P(n) đúng với mọi n.

Trở lại định lí. Nếu thì cơng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử . Đặt . Ta có

Thành thử

Page | 15


Chú ý. Công thức trên là khai triển của theo lũy thừa giảm của a và lũy thừa tăng của b. Ta cũng
có thể viết khai triển của theo lũy thừa tang của a và lũy thừa giảm của b.

Hệ quả

Vậy, nếu n chẵn ta có

Nếu n lẻ ta có

Chứng minh.
Thật vậy ta có

2. Tam giác Pascal
Tam giác Pascal là một bảng số được lập theo quy luật sau
+ Đỉnh của tam giác được ghi số 1.
+ Hàng thứ nhất được ghi hai số 1.
+ Nếu đã có hàng thứ n (n) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên
tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở
đầu và cuối hàng.
1
1
1

1
1
1
1

2
3

4
5

6

1

3
6

10
15

1
1
4
10

20

1
5

15

1
6

1

…………………………………………………
Tam giác Pascal

Định lí 2
Page | 16


Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm các số

Chứng minh.
Với n, khẳng định đúng.
Giả sử khẳng định đúng với n.
Xét hàng thứ n + 1 : Giả sử các số ở hàng này là
Theo cách xây dựng tam giác, ta có
Xét . Theo cách xây dựng tam giác và giả thuyết quy nạp, ta có

Mặt khác, theo hằng đẳng thức Pascal

Thành thử
Vậy khẳng định đúng với n + 1.
Theo nguyên lí quy nạp, khẳng định đúng với mọi n.

BÀI TẬP
15. Tìm số hạng khơng chữa x (số hạng tự do) trong khai triển của nếu biết rằng
16. Tìm hệ số của trong khai triển của
17. Tìm hệ số của trong khai triển của
18. Tìm hệ số của trong khai triển của
19. Tìm số hạng không chứa x (số hạng tự do) trong khai triển của
20. Tìm số hạng khơng chứa x (số hạng tự do) trong khai triển của
21. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của
biết rằng

Lời Giải
15. Từ giả thiết ta có suy ra n = 11.
Page | 17


Gọi số hạng không chứa x là T(k). Suy ra

Vậy số hạng khơng chứa x là
16. Ta có

Hệ số của là tổng tất cả các số , tổng chạy trên tất cả các cặp (k, m) thỏa mãn
Ta đi tìm tất cả các cặp (k, m) thỏa mãn
Ta có Suy ra
Và Suy ra
Nên k = 3 hoặc k = 4. Với k = 3 thì m = 2. Với k = 4 thì m = 0.
Vậy chỉ có hai cặp (3, 2) và (4, 0) thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ số của là
17. Giả sử số hạng phải tìm là T(k). Khi đó

Vậy hệ số của là

18. Ta có phương trình

Vậy hệ số của là
19. Gọi số hạng khơng chứa x là T(k). Ta có

Vậy số hạng khơng chứa x là
20. Gọi số hạng không chứa x là T(k). Ta có
Page | 18


Vậy số hạng khơng chứa x là
21. Theo hai tính chất cơ bản của số tổ hợp, ta có

Vậy

ta

có

Theo cơng thức Newton

Vậy hệ số của là

Page | 19


Phần 2.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN TỔ HỢP NÂNG CAO
DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

VÀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

Chương trình tốn phổ thơng (Lớp 11) đã trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm cơ bản (Quy tắc
cộng và quy tắc nhân); Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và nhị thức NIUTON. Nhờ đó học
sinh có thể giải được khá nhiều các bài toán tổ hợp cơ bản, tương đối đơn giản.
Tuy nhiên với những bài toán tổ hợp phức tạp, cần có các phương pháp “Cao cấp” hơn mới giải
được. Các dạng tốn nâng cao này thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia (VMO), Olympic
toán quốc tế (IMO) và kì thi Olympic 30/04 đơi khi xuất hiện các bài toán về ĐẠI SỐ TỔ HỢP, hoặc
các bài tốn mà một trong các lời giải có thể quy về việc áp dụng lý thuyết tập hợp. Các bài tốn này
thường rất khó và lời giải của chúng nhìn chung khá độc đáo. Độ khó của các bài tốn này có khi cịn
do việc phải phối hợp lý thuyết tập hợp với các lý thuyết khác như Số học, Logic tốn, Đại số, Hình
học, … trong q trình tìm tịi lời giải.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I.
Một số tính chất của tập hợp.
A
Kí hiệu
là số phần tử của tập hữu hạn A. Ta có các tính chất sau :
A �0, A  0 � A  �
1)
2)
3)
1)

A �B

A

B

A �B �C   A �B  � B �C 
A1 �A2 �... �An1 �An   A1 �A2  � A2 �A3  �... � An1 �An 

4) Nguyên lý bù trừ :
- Đối với hai tập hợp :
- Đối với ba tập hợp :

A �B  A  B  A �B

A �B �C  A  B  C   A �B  B �C  C �A   A �B �C

- Tỏng quát :
n

n

U Ai  �Ai 

i 1

i 1��

�

1 i j n

Ai �Aj 

�

1 i j k n

Ai �Aj �Ak  ...   1

n 1

n

I Ai

i 1

Page | 20


II.

Các số tổ hợp.
1) Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử :
2) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :

Fnk  n k

Ank  n  n  1 ...  n  k  1

3) Số hoán vị của n phần tử : Pn  n !
4) Số tổ hợp chập k của n phần tử :

Cnk 

5)

n!
k ! n  k  !

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIÊU BIỂU
1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BAO HÀM VÀ LOẠI TRỪ
Bản chất toán học của quy tắc cộng (phát biểu cho công việc với nhiều phương án) là công thức
tinh số phần tử của hợp n tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau. Cụ thể ta có
Trong nhiều bài toan tổ hợp, chúng ta phải tính số phần tử của hợp n tập hợp bất kì (khơng nhất
thiết rời nhau). Khi đó ta có quỷ tắc cộng cho số phần tử của hợp của n tập hợp bất kì, thường
được gọi là cơng thức bao hàm và loại trừ.
Định lí (Cơng thức bao hàm và loại trừ)

Định lí này có thể chứng minh tương đối dễ bằng phương pháp quy nạp, xin dành cho bạn đọc.
Ví dụ 1
Hỏi trong tập có bao nhiêu số không chia hết cho ?
Lời Giải
Ta đếm xem trong tập có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số . Kí hiệu
Khi đó là tập các số chia hết cho ít nhất một trong các số . Dễ thấy với mỗi số nguyên dương thì
số các số trong S chia hết cho là . Do đó
.
Sử dụng cơng thức bao hàm và loại trừ, ta tìm được
Thành thử , trong tập có số khơng chia hết cho .

Ví dụ 2. (Cơng thức – hàm Euler)

Page | 21

Với mỗi số Nguyên dương , kí hiệu là số các số ngun dương bé hơn và khơng có ước số chung với .
Chứng minh rằng
trong đó là tất cả các ước nguyên tố phân biệt của .
Hàm được gọi là hàm Euler. Nó đóng một vai trị quan trọng trong nhiều bài tốn số học.
Lời Giải
Kí hiệu . Ta đếm xem trong tập có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số .
Gọi chia hết cho .
Khi đó là tập các số chia hết cho ít nhất một trong các số . Ta có
Do đó theo cơng thức bao hàm và loại trừ
Vì là số các số không chia hết cho tất cả các số nên

2. THIẾT KẾ CÁC CƠNG ĐOẠN THÍCH HỢP
Để áp dụng được quy tắc nhân, điều cốt yếu là phải thiết kế một mơ hình gồm việc thực hiện liên
tiếp các công đoạn.
Quy tắc nhân phát biểu: Với mỗi cách thực hiện ở cơng đoạn trước thì cơng đoạn thứ có thể làm
theo cách. Như vậy: số cách thực hiện ở mỗi công đoạn phải không phụ thuộc vào cách nào đã
được thực hiện ở cơng đoạn trước đó. Thành thử, muốn sử dụng được quy tắc nhân, trong mơ
hình của ta gồm việc thực hiện liên tiếp các công đoạn, số cách thực hiện ở mỗi công đoạn phải
như nhau với mọi cách đã được thực hiện ở công đoạn trước đó.
Ví dụ 3:
Có 4 người A, B, C, D cần chọn vào chức giám đốc, kế toán trưởng và chủ tịch HDQT. Giả sử
việc chọn nhân sự phải thỏa mãn yêu cầu: ông A không thể được chọn làm giám đốc, chức chủ tịch
HDQT phải là ông C hoặc D. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời Giải
Có một lời giải: Việc chọn ba vị trí giám đốc, kế tốn trưởng và chủ tịch HDQT có thể tiến hành
theo 3 bước:
Bước 1: chọn giám đốc: 3 cách chọn (chọn B,C,D)
Bước 2: chọn kế tốn trưởng: có 3 cách chọn từ 3 người cịn lại
Bước 3: chọn chủ tịch HDQT: có 2 cách chọn (ông C hoặc D).

Theo quy tắc nhân thì số cách là 3.3.2=18.
Cách này khơng đúng: Vì số cách thực hiện ở bước 3 phụ thuộc kết quả ở bước 1 và 2: Nếu ở các
bước trước đó, ông C và D không được chọn thì bước 3 mới có 2 cách. Cịn nếu C và D đã được
chọn thì bước 3 có 1 cách hoặc khơng có.
Page | 22


Tuy nhiên nếu ta thiết kế việc chọn 3 vị trí được tiến hành theo 3 bước khác thì vẫn có thể áp
dụng quy tắc nhân:
Bước 1: chọn chủ tịch HDQT: ln có 2 cách chọn (ơng C hoặc D).
Bước 2: chọn giám đốc: ln có 2 cách chọn dù kết quả của bước 1 thế nào. Sau bước 1 và theo
đề bài, ông A không thể được chọn làm giám đốc, nên chỉ có 2 người phù hợp.
Bước 3: chọn kế tốn trưởng: ln có 2 cách chọn từ 2 người cịn lại.
Vậy kết quả là 2.2.2=8 cách chọn!
Ví dụ 4:
a) Giả sử có 8 VĐV bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đấu của giải, ban tổ chức cần
phân ra 4 cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành 4 cặp đấu?
b) Giả sử có 2n VĐV bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đấu của giải, ban tổ chức cần
phân ra n cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành n cặp đấu?
c) Từ b) chứng tỏ rằng với mỗi số nguyên dương n, ta có
chia hết cho.
Lời Giải
a) Ta thiết kế việc thực hiện chọn theo các bước sau:
Bước 1: Chọn 2 trong 8 người làm thành cặp đấu thứ nhất. Có cách chọn.
Bước 2: Chọn 2 trong 6 người làm thành cặp đấu thứ hai. Có cách chọn.
Bước 3: Chọn 2 trong 4 người làm thành cặp đấu thứ ba. Có cách chọn.
Bước 4: Có cách chọn từ 2 người cịn lại.
Theo quy tắc nhân có cách. Vì thứ tự 4 cặp đấu không được xét đến nên số cách ghép thành 4
cặp đấu là:

b) Lí luận tương tự:
c) Dễ biến đổi:

Vì là một số nguyên dương nên chứng tỏ
chia hết cho .

3. SỬ DỤNG SONG ÁNH
Page | 23


3.1 Nhắc lại kiến thức
 Định nghĩa song ánh
_ Ánh xạ được gọi là song ánh giữa X và Y nếu nó vừa là đơn ánh vừa là tồn ánh. Như vậy là
song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi tồn tại và duy nhất một phần tử để
VD: Hàm cho bởi là một song ánh vì với mỗi số nguyên thì nếu và chỉ nếu

 Ánh xạ ngược của một song ánh
_Ánh xạ ngược của , được kí hiệu bởi , là ánh xạ từ Y đến X gán cho mỗi phần tử phần tử duy
nhất mà . Như vậy

VD: Cho hàm sốxác định bởi .Vì nên ánh xạ ngược xác định bởi
*Chú ý: Nếu không phải là song ánh thì khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược của . Do đó chỉ có
song ánh mới có ánh xạ ngược.

3.2 Sử dụng song ánh trong tổ hợp
Định lý
_Cho A và B là 2 tập hợp hữu hạn
+ Nếu có một đơn ánh thì
+ Nếu có một tồn ánh thì
+ Nếu có một song ánh thì

Ví Dụ
_Giả sử rằng có đàn chim bồ câu bay vào một dãy n chuồng. Đặt tương ứng mỗi con chim với
chuồng mà nó bay vào xác định cho ta một ánh xạ từ đàn chim vào dãy chuồng.
+Nếu là một đơn ánh thì mỗi chuồng chỉ có nhiều nhất 1 con chim, suy ra đàn chim có tối đa n
con.
+Nếu là một tồn ánh thì khơng chuồng nào trống và có ít nhất 1 chuồng chứa 2 con chim, suy
ra đàn chim có nhiều hơn n con
+Nếu là một song ánh thì mỗi chuồng chỉ có đúng 1con chim và khơng chuồng nào trống, suy ra
đàn chi có n con
***Bổ đề: (Bài tốn chia kẹo của Euler)
Cho k, n là các số nguyên dương. Số nghiệm ngun khơng âm của phương trình x 1 + x2 + … +
k 1
xk = n là Cn  k 1 .

Page | 24


Chứng minh
Ta cho tương ứng mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình x 1 + x2 + … + xk = n (1) với
một xâu nhị phân độ dài n+k-1 trong đó có n bit 1 và k-1 bit 0, cụ thể xâu gồm x 1 bit 1, sau đó là
1 bit 0,tiếp theo là x2 bit 1, sau đó là 1 bit 0, cứ như thế, cuối cùng là x k bit 1. Dễ dàng chứng
minh được đây là một song ánh từ tập A các nghiệm nguyên không âm của (1) vào tập hợp B các
xâu nhị phân độ dài n+k-1 với n bit 1 và k-1 bit 0. Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có
| A || B | Cnkk11.

(đpcm).

Ví dụ 5:
Cho tập . Một tập con A của S được gọi là tập cân nếu trong tập đó, số các số chẵn bằng số các số
lẻ (tập rỗng là một tập cân). Gọi X là tập hợp tất cả các tập cân của S và Y là họ tất cả các tập hợp con

của S có đúng n phần tử.
a) Thiết lập một song ánh từ X vào Y
b) Xác định số tập cân của S
Lời Giải
a) Giả sử .
Coi tương ứng là tập các số chẵn và các số lẻ của A. Vì A là tập cân nên
Gọi .
Khi đó tập là một phần tử của Y. Thật vậy,

Gọi là phép đặt tương ứng tập với tập . Khi đó là một song ánh
Chứng minh
~ là đơn ánh
Giả sử.
Vì là tập các số chẵn; là tập các số lẻ nên suy ra

~ là toàn ánh
Giả sử
Coi tương ứng là tập các số chẵn và tập các số lẻ của M.
Page | 25