Chương 1 SỐ HÓA TÍN HIỆU – LẤY MẪU VÀ MÃ HÓA

Tài liệu Xử lý số tín hiệu Chương 1
Trang 1 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Chương 1
SỐ HÓA TÍN HIỆU – LẤY MẪU VÀ MÃ HÓA
1. Lấy mẫu
Tín hiệu tương tự liên tục theo thời gian nhưng trong quá trình xử lý tín hiệu,
thông thường ta xử lý trên tín hiệu số. Do đó cần phải thực hiện chuyển đổi tín hiệu
liên tục thành tín hiệu rời rạc để xử lý. Quá trình này gọi là lấy mẫu tín hiệu
(sampling), đó là thay tín hiệu liên tục bằng biên độ của nó ở những thời điểm cách
đều nhau, gọi là chu kỳ lấy mẫu. Các giá trị
này sẽ được chuyển thành số nhị phân để
có thể xử lý được. Vấn đề ở đây là phải lấy mẫu như thế nào để có thể khôi phục lại tín
hiệu gốc. Tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu gốc s(t) biểu diễn là s(nT) với T là chu kỳ lấy
mẫu.
s(nT) = s(t)u(t) (1.1)
trong đó u(t) là chuỗi xung Dirac
u(t) =
∑
∞
−∞=
−δ
n
)nTt( (1.2)
Phổ của tín hiệu lấy mẫu là tích chập của S(f) và U(f), do đó:
S
s
(f) = S(f)*U(f) =
∑
∞
−∞=
−

n
)
T
n
f(S
T
1
(1.3)










Hình 1.1 – Tín hiệu lấy mẫu và phổ
Quá trình lấy mẫu mô tả ở trên là quá trình lấy mẫu lý tưởng. Trong thực tế, do
tín hiệu u(t) là các xung lấy mẫu với chu kỳ T, độ rộng
τ
và biên độ a nên phổ tín hiệu
thực tế sẽ không chỉ là hàm S(f) mà là:
S(f)a
τ
τπ
τπ
f
)fsin(

(1.4)
(do giá trị lấy mẫu là a
∫
τ+
τ−
2/nT
2/nT
dt)t(s
)
1/T
0
0
s
t
t
f
f
Tài liệu Xử lý số tín hiệu Chương 1
Trang 2 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Tuy nhiên do
τ
<< T nên sai lệch không đáng kể.
1.1. Tần số lấy mẫu
Xét tín hiệu sin có tần số f và quá trình lấy mẫu với các chu kỳ lấy mẫu khác
nhau.

Như vậy, ta thấy rằng nếu tần số lấy mẫu càng cao thì dạng của tín hiệu càng có
khả năng khôi phục giống như tín hiệu gốc. Tuy nhiên, nếu tần số càng cao thì cần
phải dùng dung lượng lớn hơn để lưu trữ và đồng thời tốc độ x
ử lý sẽ chậm lại do cần
xử lý số lượng dữ liệu lớn. Từ đó, ta cần xác định tần số lấy mẫu sao cho có thể khôi
phục lại gần đúng dạng tín hiệu với yêu cầu tốc độ xử lý giới hạn trong mức cho phép.
1.2. Định lý lấy mẫu
Định lý lấy mẫu xác định điều kiện để một tập mẫu có thể cho phép khôi phục
lại chính xác tín hiệu trước khi lấy mẫu. Như khảo sát ở trên (hình 1.1), phổ của tín
hiệu lấy mẫu là tín hiệu có chu kỳ trên miền tần số. Để khôi phục lại dạng của tín hiệu,
ta chỉ cần giới hạn phổ tần của tín hiệu. Quá trình này có thể thực hiện bằng m
ột mạch
lọc thông thấp với hàm truyền:
H(f) =
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

≥
<<
2
f
f0
2
f
f0
f
1
s
s
s
(1.5)
Hay:
h(t) =
T/t
)T/tsin(
π
π
(1.6)
Phổ của tín hiệu sau khi khôi phục là:
f
s
= 16f f
s
= 8f
f
s
= 4f f

s
= 2f
Hình 1.2 – Lấy mẫu tín hiệu với các tần số khác nhau
Tài liệu Xử lý số tín hiệu Chương 1
Trang 3 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
S(f) = S
s
(f)H(f) (1.7)
Hay:
s(t) =
∫
∑
∞
∞−
∞
−∞=
−π
−π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−δ 'dt
T/)'tt(
)T/)'tt(sin(
)nT't()'t(s
n

s(t) =
∑
∞
−∞=
−π
−π
n
)nT/t(
)nT/t(sin
)nT(s
(1.8)
















Như vậy, ta có thể khôi phục lại tín hiệu trước khi lấy mẫu khi phổ tín hiệu sau
khi qua mạch lọc phải giống hệt với phổ tín hiệu gốc. Theo hình 1.3, điều kiện này
thoả mãn khi phổ tín hiệu gốc không chứa thành phần tần số lớn hơn f

s
/2.
Trong trường hợp ngược lại, phổ của tín hiệu lấy mẫu sẽ bị méo dạng nên khi
sử dụng mạch lọc để khôi phục tín hiệu thì tín hiệu này sẽ khác với tín hiệu gốc, hiện
tượng này gọi lài
chồng phổ (aliasing)
.








f
s
= 1/T
0
0
s
t
t
f
f
f
S
s
H
S

0
h
t
Hình 1.3 - Khôi phục tín hiệu sau khi lấy mẫu
f
s
/2
f
S
s
Hình 1.4 – Hiện tượng chồng phổ
Tài liệu Xử lý số tín hiệu Chương 1
Trang 4 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Từ đó định lý lấy mẫu phát biểu như sau:
"
Một tín hiệu không chứa bất kỳ thành phần tần số nào lớn hơn hay bằng
một giá trị f
m
có thể biểu diễn chính xác bằng tập các giá trị của nó với chu kỳ lấy
mẫu T = 1/2f
m
"
Như vậy, tần số lấy mẫu phải thoả mãn điều kiện f
s
≥ 2f
m
trong đó f
m
là thành
phần tần số lớn nhất có trong tín hiệu. Tần số giới hạn này được gọi là tần số Nyquist

và khoảng (-f
s
/2,f
s
/2) gọi là khoảng Nyquist. Trong thực tế , tín hiệu trước khi lấy mẫu
sẽ bị giới hạn bằng một mạch lọc để tần số tín hiệu nằm trong khoảng Nyquist.
Ví dụ như tín hiệu âm thanh thường nằm trong khoảng (300,3400) Hz nên
người ta sẽ đưa tí hiệu qua mạch lọc thông thấp để loại các thành phần tần số bậc cao
và thực hiện lấy mẫu ở tần số t
ối thiểu là 6,8 KHz.
1.3. Lấy mẫu tín hiệu sin và tín hiệu ngẫu nhiên
1.3.1. Tín hiệu sin
Xét s(t) = cos(2πft+θ) với 0 ≤ θ ≤ π/2 được lấy mẫu với chu kỳ T = 1. Tín hiệu
lấy mẫu là:
s(n) = cos(2πfn+θ) (1.9)
Nếu tỉ số f/f
s
= f là số hữu tỉ, nghĩa là f = N
1
/N
2
với N
1
, N
2
là các số nguyên:
s(n + N
2
) = cos(2πf(n + N
2

)+θ) = cos(2πfn+θ) = s(n) (1.10)
Như vậy, tập hợp s(n) là tập hợp có chu kỳ N
2

Æ
không cần phải lấy mẫu toàn
bộ tín hiệu sin mà chỉ cần lấy mẫu một phần.
1.3.2. Tín hiệu ngẫu nhiên
Xét tín hiệu s(t) được lấy mẫu với chu kỳ T, tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc tạo ra
s(nT) sẽ có hàm phân phối xác suất biên độ giống như s(t). Hàm tự tương quan của tín
hiệu rời rạc s(nT) là:
r(nT) = E[s(i)s(i-nT)] (1.11)
Hàm tự tương quan của tín hiệu s(t) là:
r
xx
(τ) = E[s(t)s(t-τ)] (1.12)
Như vậy, chuỗi r(n) cũng chính là chuỗi tạo ra từ quá trình lấy mẫu tín hiệu
r
xx
(τ). Tương tự công thức (1.3), quan hệ giữa hàm mật độ phổ công suất của tín hiệu
rời rạc Φ
d
(f) và tín hiệu liên tục Φ
xx
(f) là:
Φ
d
(f) =
∑
∞

−∞=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−Φ
n
xx
T
n
f
T
1
(1.13)
Từ đó, nếu tần số tín hiệu lấy mẫu quá nhỏ hay tần số của tín hiệu ngẫu nhiên
vô hạn thì sẽ gây hiện tượng chồng phổ.
Nếu s(t) là tín hiệu có chu kỳ N
0
thì:
r(n) =
∑
−
=
−
1N
0i
0
0

)ni(s)i(s
N
1
(1.14)
cũng là chuỗi có chu kỳ N
0
.
Tài liệu Xử lý số tín hiệu Chương 1
Trang 5 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
2. Lượng tử hoá
Lượng tử hoá là quá trình xấp xỉ các giá trị của tín hiệu lấy mẫu s(nT) bằng bội
số của một giá trị q (q gọi là
bước lượng tử
). Nếu q không thay đổi thì quá trình lượng
tử gọi là đồng nhất. Quá trình này thực hiện bằng hàm bậc thang mô tả như sau:











Quá trình lượng tử có thể thực hiện bằng cách định nghĩa giá trị trung tâm của
hàm lượng tử. Ví dụ như trong hình 1.5, các giá trị trong khoảng từ (n – ½)q đến (n +
½)q sẽ được làm tròn là n. Phương pháp này sẽ cực tiểu hóa công suất của tín hiệu lỗi.
Một phương pháp khác có thể

sử dụng là dùng hàm cắt, nghĩa là các giá trị trong
khoảng [nq,(n+1)q) sẽ làm tròn thành n.
















Hình 1.5 – Hàm lượng tử với bước lượng tử q = 1
-6 -4 -2 0 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

5
s(n)
sq(n)
Hình 1.6 – Lỗi lượng tử
0 1 2 3 4 5 6
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1
0
1