Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 8 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Chương 2
TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN
1. Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Tín hiệu tương tự thường liên tục theo thời gian. Bằng cách lấy mẫu tín
hiệu, ta được tín hiệu rời rạc theo thời gian, còn gọi là tín hiệu số (digital signal).
Chương này sẽ trình bày về hệ thống xử lý tín hiệu số (về phương diện mạch thì
gọi là DSP – Digital Signal Processor).
Trong chương 1, ta đã khảo sát tín hiệu rời rạc s(nT) với n là các số
nguyên. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử chu kỳ lấy mẫu T = 1. Từ
đó,
tín hiệu rời rạc là s(n). Một ví dụ của tín hiệu rời rạc thời gian như hình 2.1: tại
thời điểm n, biên độ s(n) có thể dương, âm, thục hay phức. Tóm lại, s(n) có thể
nhận giá trị bất kỳ, kể cả bằng 0 hay ∞.

Để biểu diễn tín hiệu rời rạc s(n), ta sử dụng chuỗi biên độ với ký hi
ệu ↑
xác định gốc thời gian n = 0. Khi biểu diễn tín hiệu vô hạn, ta sử dụng dấu … ở
hai đầu của chuỗi.


a. Tín hiệu vô hạn
b. Tín hiệu hữu hạn
Hình 2.1 – Tín hiệu rời rạc thời gian
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1

0
1
2
3
4
5
…
…
Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 9 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Hình 2.1a: s(n) = {…,-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}: tín hiệu vô hạn
↑
Hình 2.1b: s(n) = {-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2}: tín hiệu hữu hạn
↑
Trong trường hợp tín hiệu s(n) bằng 0 khi n < 0 thì ta có thể biểu diễn như
sau:
s(n) = {-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}
↑
1.1. Các tín hiệu rời rạc sơ cấp đặc biệt
- Hàm xung đơn vị: còn gọi là mẫu đơn vị
δ(n) =
⎩
⎨
⎧
≠
=
0n0
0n1
(2.1)

- Hàm bước đơn vị:
u(n) =
⎩
⎨
⎧
<
≥
0n0
0n1
(2.2)












-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0

0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hình 2.2 – Hàm xung đơn vị
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hình 2.3 – Hàm bước đơn vị
…
Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 10 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
- Hàm dốc đơn vị:
r(n) =
⎩
⎨
⎧
<
≥
0n0
0nn
(2.3)

- Hàm mũ:
x(n) =
⎩
⎨
⎧
<
≥
0n0
0na
n
(2.4)

Trong trường hợp số mũ a là số phức, ta có thể biểu diễn như sau:
a = re
jθ
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6
Hình 2.4 – Hàm dốc đơn vị
…
-2 0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 < a < 1
-2 0 2 4 6 8 10
0
1
2
3

4
5
6
a > 1
-2 0 2 4 6 8 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 < a < 0
-2 0 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
0
2
4
6
a <-1
Hình 2.5 – Hàm mũ thực
Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 11 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Khi đó:

x(n) = r
n
e
jθn
= r
n
(cosθn + jsinθn) (2.5)
Do x(n) là hàm phức nên nó sẽ gồm 2 thành phần: phần thực x
R
(n) và
phần ảo x
I
(n):
x
R
(n) = r
n
cosθn
x
I
(n) = r
n
sinθn (2.6)
1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc
Việc phân loại tín hiệu sẽ dựa vào đặc tính của tín hiệu. Tín hiệu có các
cách phân loại sau:
1.2.1. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất
Năng lượng của tín hiệu:
E =
∑

∞
−∞=n
2
)n(x
(2.7)
Giá trị công suất trung bình định nghĩa là:
P =
∑
∞
−∞=
∞→
+
n
2
N
)n(x
1N2
1
lim
(2.8)
Ta định nghĩa E
N
:
E
N
=
∑
−=
N
Nn

2
)n(x (2.9)
là năng lượng của tín hiệu trong khoảng [-N,N] thì năng lượng E có thể
biểu diễn như sau:
E =
N
N
Elim
∞→
(2.10)
và công suất trung bình của tín hiệu là:
P =
N
N
E
1N2
1
lim
+
∞→
(2.11)
Như vậy, nếu E hữu hạn thì P = 0 và tín hiệu x(n) gọi là
tín hiệu năng
lượng
. Nếu P hữu hạn và khác 0 thì x(n) là
tín hiệu công suất
.
VD
: Xét hàm bước đơn vị u(n):
E

N
=
∑
−=
N
Nn
2
)n(x
=
∑
=
N
0n
2
1
= N + 1
P =
N
N
E
1N2
1
lim
+
∞→
=
1N2
1N
lim
N

+
+
∞→
= 1/2
Æ
E vô hạn và P = ½
Æ
hàm bước đơn vị u(n) là tín hiệu năng lượng.



Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 12 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
1.2.2. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn
Một tín hiệu s(n) gọi là tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) nếu và chỉ nếu:
s(n) = s(n + N) ∀n (2.12)
Giá trị N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ sở của tín hiệu tuần hoàn. Nếu không
tồn tị giá trị N nào để phương trình (2.12) thỏa mãn thì tín hiệu gọi là không tuần
hoàn.
Năng lượng của tín hiệu tuần hoàn s(n) là hữu hạn trong một chu kỳ khi
giá trị của tín hiệu là hữu hạn. Tuy nhiên, trên toàn bộ tín hiệu thì giá trị này là vô
hạn. Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu là hữu hạn và tương đương với
công suất trung bình của tín hiệu trong một chu kỳ . Công suất trung bình của tín
hiệu tuần hoàn:
P =
∑
−
=
1N
0n

2
)n(s
N
1
(2.13)
là hữu hạn nên tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu năng lượng.
1.2.3. Tín hiệu chẵn và lẻ
Tín hiệu chẵn (đối xứng) nếu:
s(n) = s(-n) (2.14)
và lẻ (phản đối xứng) nếu:
s(n) = - s(-n) (2.15)
Chú ý rằng nếu s(n) lẻ thì s(0) = 0.
Ta có:
s
e
(n) = [s(n) + s(-n)]/2 (2.16)
là tín hiệu chẵn và:
s
o
(n) = [s(n) - s(-n)]/2 (2.17)
Cộng 2 vế của (2.16) và (2.17), ta được:
s(n) = s
e
(n) + s
o
(n) (2.18)
Như vậy, bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể biểu diễn ở dạng tổng của 2 tín
hiệu khác: một tín hiệu chẵn và một tín hiệu lẻ.
1.3. Các phép toán đơn giản trên tín hiệu rời rạc
1.3.1. Biến đổi trên miền thời gian

-
Dịch:
Tín hiệu s(n) được gọi là dịch trên miền thời gian nếu thay biến n bằng n-k
với k là số nguyên.
Nếu k > 0: tạo thành tín hiệu trễ
Nếu k <0: tạo thành tín hiệu sớm


Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 13 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
-
ảnh gương:
tín hiệu s(-n) gọi là tín hiệu ảnh gương của s(n)
Chú ý rằng hoạt động dịch và ảnh gương không có tính giao hoán. Gọi TD
là hoạt động làm trễ tín hiệu (time delaying) và RT là hoạt động ảnh gương
(reflection). Ta có:
TD
k
[s(n)] = s(n – k), k >0
RT[s(n)] = s(-n) (2.19)
Từ đó:
TD
k
{RT[s(n)]} = TD
k
{s(-n)} = s(-n + k)
RT{TD
k
[s(n)]} = RT{s(n – k)} = s(-n – k) (2.20)
Æ

TD
k
{RT[s(n)]} ≠ RT{TD
k
[s(n)]}
-
Co:
tín hiệu s(µn) với µ nguyên gọi là tín hiệu co của s(n)

Ta có: s(n) là tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu gốc s(t) với chu kỳ lấy mẫu 1
nên s(µn) cũng là tín hiệu lấy mẫu của s(t) nhưng sử dụng tần số lấy mẫu µ. Như
vậy, quá trình co tín hiệu lấy mẫu thực chất là tăng chu kỳ lấy mẫu của tín hiệu µ
lần
Æ
quá trình này còn gọi là giảm tần số lấy mẫu (downsampling).
1.3.2. Biến đối biên độ
Quá trình biến đổi biên độ của tín hiệu lấy mẫu bao gồm: cộng, nhân và
co.
Cộng tín hiệu:
y(n) = x
1
(n) + x
2
(n) (2.21)
Nhân tín hiệu:
y(n) = x
1
(n)x
2
(n) (2.22)

Co tín hiệu:
y(n) = Ax(n), A là hằng số (2.23)
2. Hệ rời rạc
2.1. Mô tả
Xét hệ thống nhận tín hiệu vào x(n), tác động lên x(n) và tạo thành tín
hiệu ra y(n). Quá trình tác động của hệ thống lên x(n) thường biểu diễn là H.


Quá trình này thường được ký hiệu là:
y(n) = H[x(n)] (2.24)
Hay: x(n)
⎯→⎯
H
y(n)
Thông thường đối với các hệ thống, ta chỉ quan tâm đến quá trình biến đổi
mà không cần quan tâm đến cấu trúc của hệ thống (hệ thống xem như là một
"hộp đen" đối với người sử dụng)
Æ
ta chỉ cần biết quan hệ giữa ngõ vào và ngõ
H
x(n) y(n)
Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 14 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
ra của hệ thống (input-output relationship). Khi đó, hệ thống thường được mô tả
bằng phương trình tín hiệu vào – ra.
VD
: Xét tín hiệu x(n) =
⎩
⎨
⎧≤

khác0
3nn

x(n) = {3,2,1,0,1,2,3}
↑
Đáp ứng của hệ thống ứng với các phương trình tín hiệu khác nhau:
-

y(n) = x(n – 1):
Cách thức đơn giản để tính toán đáp ứng của hệ thống là thay tất cả các
giá trị của n cho đến khi các giá trị này đều bằng 0.
y(n) = {3,2,1,0,1,2,3}
↑
-

y(n) = x(n + 1):
y(n) = {3,2,1,0,1,2,3}
↑
-

y(n) = [x(n – 1) + x(n) + x(n + 1)]/3
y(n) = {1,5/3,2,1,2/3,1,2,5/3,1}
↑
-

y(n) = max{x(n – 1), x(n), x(n + 1)}
y(n) = {3,3,3,2,1,2,3,3,3}
↑
-

y(n) =
∑
−∞=
−
n
i
)in(x
y(n) = {3,5,6,6,7,9,12}
↑
Ngoài cách biểu diễn hệ thống bằng phương trình, ta còn có thể biểu diễn
hệ thống bằng các sơ đồ khối:
-

Bộ cộng:


Để tạo bộ trừ, ta có thể thêm dấu trừ vào trước khi đưa vào ký hiệu cộng
-

Bộ nhân với hằng số:





x
1
(n)
x
2

(n)
y(n) = x
1
(n) + x
2
(n)
x(n) y(n) = ax(n)
a
Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 15 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
-

Bộ nhân tín hiệu:



-

Bộ trễ đơn vị:


Để tạo trễ nhiều hơn 1 có thể thực hiện bằng cách ghép nối tiếp nhiều bộ
trễ đơn vị với nhau:

Hay cũng có thể biểu diễn:

-

Bộ sớm đơn vị:

Bộ sớm cũng có thể thực hiện giống như bộ trễ.
VD
: Biểu diễn các hệ thống theo sơ đồ khối:

c
y(n) =
)1n(x
2
1
)n(x
2
1
)1n(x
4
1
+++−






d
y(n) = 2x
1
(n) – x
2
(n) + 2x
1

(n)x
2
(n)





e
y(n) = 3[x
1
(n) – 2x
2
2
(n)]




x
1
(n)
x
2
(n)
y(n) = x
1
(n)x
2
(n)

x(n)
z
-1
y(n) = x(n - 1)
x(n)
z
y(n) = x(n + 1)
x(n)
z
-1
y(n) = x(n - 2)
z
-1
x(n)
z
-2
y(n) = x(n - 2)
z
-1
z
x(n) y(n)
1/4
1/2
1/2
x
1
(n)
x
2
(n)

y(n)
2
-1
2
Xử lý tín hiệu số Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
Trang 16 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
f
y(n) = 2y(n – 1) + x(n) + 3x(n – 2)








2.2. Phân loại
2.2.1. Hệ thống động và hệ thống tĩnh
Hệ thống tĩnh là hệ thống có ngõ ra là hàm của tín hiệu ngõ vào không trễ,
không sớm. Ví dụ như hệ thống y(n) = ax(n) + bx
3
(n) là hệ thống tĩnh. Hệ thống
này sử dụng tín hiệu vào trực tiếp, không cần biết đến các trạng thái sớm hay trễ
nên còn được gọi là hệ thống không nhớ (memoryless).
Hệ thống động hay có nhớ là hệ thống sử dụng thêm trạng thái sớm hay
trễ của tín hiệu. Nếu ngõ ra tín hiệu chỉ xác định được khi phải biết tất cả các giá
trị từ n – N đến n thì hệ thố
ng được gọi là nhớ với chu kỳ N.
-

Nếu N = 0 thì hệ thống là tĩnh
-

Nếu 0 < N < ∞: hệ thống nhớ hữu hạn
-

Nếu N = ∞: hệ thống nhớ vô hạn
VD:

y(n) =
∑
=
−
n
0k
)kn(x
là hệ thống nhớ hữu hạn
y(n) =
∑
∞
=
−
0k
)kn(x
là hệ thống nhớ vô hạn
2.2.2. Hệ thống bất biến và hệ thống biến thiên theo thời
gian
Một hệ thống gọi là bất biến theo thời gian nếu đặc tính ngõ vào – ngõ ra
không thay đổi theo thời gian.
Định lý

: Hệ thống H bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu:
y(n) = H[x(n)]
Æ
y(n – k) = H[x(n – k)] (2.25)
với mọi x(n) và khoảng dịch k.
VD
: Xác định các tín hiệu sau là bất biến hay biến thiên theo thời gian
c
y(n) = x(n) – x(n – 1) (bộ sai phân)
y(n,k) = x(n – k) – x(n – k – 1)