Chuyên đề Hệ phương trình - Tài liệu học tập Toán 9 -hoc360.net

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (246.32 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A - Lý thuyết: Các phương pháp giải

1. Phương pháp thế

- B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có
hệ số nhỏ nhất)

- B2: Thế biều thức đó vào pt cịn lại để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được

- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
2. Phương pháp cộng đại số

- B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của
cùng 1 ẩn ở 2 pt bằng nhau hoặc đối nhau

- B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ (nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế
của 2 pt để được 1 pt 1 ẩn

- B3: Giải Pt thu được

- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn cịn lại và kết luận
3. Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn phu
4. Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy ra dấu bằng

- BĐT Côsi: a+b2 ab ; n

1 2 n 1 2 n

a a ... a n a .a ...a ( Dấu bằng xảy ra khi

các số bằng nhau)
- BĐT Bunhiacopxki:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

(a .x a .x ... a .x ) (a a ... a ).(x x ... x )

Dấu bằng xảy ra khi 2 bộ số tương ứng tỉ lệ
B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ)
I- Dạng 1. Hệ bậc nhất.

Bài 1. Giải các hệ phương trình

a.   
29
4
7

11
3

y
x









2

3

2

1

4

3 y

x

y

x















24

2

3

11 z

y

x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

x y z 1
2x 3y 2z 4

x 2y 2z 5
  


  

   

e.



























2

3

10

5

2

9

3

2 z

y

x

z

y

x

z

y

x























28

22

16 z

y

z

x

y

x



















xy

y

x

xy

y

x

)1

)(

10 (

)1

)(

20 (



























7

5

6

3

1

2

4

27

5

3

5

2 x

y

x

y

x

y

i.









2
2

6
2
2
3
5
y
x
y
x

Bài 2: Giải các hệ phương trình

x 2y 7

5x 6z 9
3y 4z 8

x 2y 7

x y z 128



 








   


b.:
2 2

x y 4 2xy

x 2y 5

   



 

 c.

















1
1
1
1
1
1
x
z
z
y
y
x

d.

x y z 1
y z x 5
x z y 3

  


  


   

e.



















20
18
16
15
t
z
y
t

z
x
t
y
x
z
y
x
f.



















16

6

5

3

4

5

3 z

y

x

z

y

x

Bài 3: GHPT

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

d.



















6

2

3

13

2
2

y

x

y

x

e.



















11

3

2

16

2

3 y

x

y

x

f.

















10

3

18

4 y

x

y

x

g.























7

1

2 )

2 (3

0

1 )

2 (2

2
2

y

x

y

x

h.





















13

4

5

4

8

4

2

7

2

3

1

5 x

y

x

y

x

HD: Đặt ẩn phu

II - Dạng 2: Hệ bậc cao
1. Hệ đối xứng loại 1

-Nhận dạng: Là hệ pt mà nếu mỗi cặp số (x; y) là 1 nghiệm thì (y; x) cũng là

nghiệm ( vai trò x và y là như nhau ở các PT)

- PP giải: Đặt x+y = S; xy = P. Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT:

X2 – S.X + P =0

Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại 1 thì đặt x-y = S; -xy = P.

Khi đó nghiệm của Pt là x và -y
Bài 4: GHPT

a.

2 2

x y - 2x - 2y = 6
x y xy 5

 



  

 c.



















35

3

19

2 )

(5

xy

y

x

y

x





















)

(7

)

(

19

2
2

y

x

y

xy

x

y

x

y

xy

x















280 )

)(

(

4

3
3
2

y

x

y

x

y

x

2 2

x y xy 13

x y xy 5

   



  



2 2

x y 3xy 4

3x xy 3y 6

   



  



2 2

x 4y 6xy 19 2y 6y

x 4y2 1 4y

     




  




(HD: Đặt 2y+1=a)

2. Hệ đối xứng loại 2

- Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Một cách nhận dạng khác nữa là cho x = y thì 2 phương trình của hệ như
nhau. Hay nói cách khác x = ychính là nghiệm của hệ. Đây chính là đặc điểm
khai thác của hệ này.

- Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu được nghiệm x = y, và 1 số

nghiệm khác. Sau đó thay lại tìm ra nghiệm (x;y).

*Chú ý: Hệ giả đx thì x ở PT 1 được thay bằng –y ở PT 2 và ngược lại

Bài 5: GHPT

2
2

x 2y 5x 4

y 2x 5y 4

   




  
























5

4

2

5

4

2

2
2

x

y

x



















x

y

x

1

2

1

2

2
2

















4 /1

1

4 /1

1

2
2

x

y

x

















2
2

1 |

x

y

x

















x

y

x

8

3

8

3

3
3























2
2
2
2

1 x

y

x



















2
2

1

2

1

2 x

y

x

2
2

5x y 3y 3

5y x 3x 3

   




   




(giả đx ) k.

2 2

x 2y 2x y

y 2x 2y x

   




  




(giả đx)

3. Hệ đẳng cấp

- Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bậc bằng nhau
- Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), thế vào 2 pt sau dó chia từng vế ta

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



















2

8

4 x

xy

y

xy





















4

3

2

3

2

4

2
2

y

xy

x

y

xy

x





















5

4

9

3

2

2
2

y

xy

x

y

xy

x

4. Một số dạng khác
Bài 7: GHPT

2 2

5 6 0

4 2 6 27 0

x xy y

   




   



 ( HD: Phân tích PT 1 thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)

b.

















2004
2003

2003
2003

2
2
2

3
z

y
x

zx
yz
xy

z
y
x

(HD: Từ PT 1 dùng BĐT phu để suy ra x=y=z)



















4
4
9
9

1

y

x

y

x

y

x

(HD: Nhân vế trái của PT 1 với vế phải của PT 2 và ngược lại)

d.



















2
2
5
5

1

y

x

y

x

y

x

;(HD:Nhân chéo vế)

e.









1
2

1
2
3

x
y

y
x

(HD: Hệ đx loại 2 - trừ từng vế)

x xy y 1
y yz z 4
z zx x 9

  




  



   



trong đó x y z , , 0

(HD: cộng 1 vào 2 vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả 3 pt)

g.











6
5

2
2

3
3

xy
y
x
y
x

y
y
x

x

(HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau đó sử dung pp

thế)

h.








5
17
3
3
3
3

y
xy
x

y
y
x
x

(HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dung pp thế)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a.













xyz
z

y
x

z
y
x

4
4
4

( HD: Dùng BĐT phu a2 b2 c2 ab bc ca(*)





 cho PT

(2) )





2 2

1999 1999 2000 2000

x y 1(1)
b.

x y y x .(x y xy 2001)(2)

  




     




(HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy ra x = y)

c.

















y
x

x

y
x
x

6
24
32

3
32

2
4

Giải:

ĐK: 0x32

Hệ đã cho tương đương với





















3
32

21
6

)

32
(

)
32
(

2
4

y
x
x

y
y
x
x

x
x

Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có

64
)
32
)(
1
1
(
)
32

( 2 2 2









 x x x

x

8
32 


 x x



4 x4 32 x



4 



2( x 32 x)



2 256
 4 x 4 32 x 4

Suy ra ( x  32 x)(4 x 4 32 x)12

Mặt khác 2 6 21





2 12 12






 y y

y

Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m)
Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rời thế vào phương trình thứ hai

để được phương trình bậc nhất đối với x

 Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

 Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

+ Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

- Nếu b = 0 thì hệ có vơ số nghiệm
- Nếu b 0 thì hệ vơ nghiệm

+ Nếu a 0 thì (1)  x =

a
b

, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ

phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:

















)2

(6

4 )1(

2 m

my

x

m

y

mx

Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

+) Nếu m2 – 4  0 hay m 

2 thì x =

2
3
2
4

)
2
)(
3
2
(









m
m
m

m
m

Khi đó y = -

2


m
m

. Hệ có nghiệm duy nhất: (

2
3
2




m
m

;-2


m
m

)

+) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x



+) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (

2
3
2




m
m

;- 2



m
m

)

- Nếu m = 2 thì hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x



R
- Nếu m = -2 thì hệ vơ nghiệm

Bài 9: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho 
trước

*Phương pháp giải:

 Giải hệ phương trình theo tham số

 Viết x, y của hệ về dạng: n + f(mk ) với n, k nguyên

 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

















1

2

1

2 m

my

x

m

y

mx

HD Giải:

















1

2

1

2 m

my

x

m

y

mx



















m

y

m

mx

m

y

mx

2

2

4

2

























1

2 )1

2 )(

2 (

2

3

2 )4

(

2 2

m

my

x

m

y

m

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m  2



Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất









































2

3

1

2

1

2

3

2

1

2

4 )1

2 )(

2 (

m

x

m

y

Để x, y là những số nguyên thì m + 2



Ư(3) = 1; 1;3; 3
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

















m

y

x

m

y

x

m

2

1

2 )1

(

2
2

Bài 11

a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)





















3

2

3 )2

(

)1

(

2 m

ny

x

m

n

m

y

m

mx

(HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n)
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là

x = 1 và x = -2

(HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3

(HD:Dùng định lí bơzu cho f(x))

d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng

f(2) = 6 , f(-1) = 0
Bài 12:

Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
Bài 13:

Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
Bài 14 :Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy

a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m –

Bài 15:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

2x + y + 382 4



m = 3

HD Giải:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2

- Giải hệ phương trình theo m















8

9

4 my

x

y

mx

















m

y

m

mx

y

mx

8

9

4

2 

















8

9

8 )4

(

my

x

m

y

m





















4

32

9

4

9

8

2
2

m

x

m

y

- Thay x = 9 2 324



m

m

; y = 8 2 94




m

vào hệ thức đã cho ta được:

2.

4
32
9



m

m

4
9
8




m

4
38



m = 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12

 3m2 – 26m + 23 = 0

 m1 = 1 ; m2 = 3

(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

</div>


ĐÀO TẠO & PHÁT TRIỂN NHÂN VIÊN Chuyển bị thiết bị và tài liệu học tập

Tiểu luận đào tạo và phát triển chuyển bị thiết bị và tài liệu học tập

Đề kiểm tra học kì I lớp 4 môn Tiếng Việt(đề có đáp án) - Tài liệu học tập

130 bài Toán có lời văn ôn hè lớp 3 - Tài liệu học tập tổng hợp

Đề minh họa trắc nghiệm số 7 - Tài liệu học tập Toán 9

Đề minh họa trắc nghiệm số 9 - Tài liệu học tập Toán 9

Đề minh họa trắc nghiệm số 10 - Tài liệu học tập Toán 9

Đề minh họa trắc nghiệm số 11 - Tài liệu học tập Toán 9

Đề minh họa trắc nghiệm số 12 - Tài liệu học tập Toán 9

Đề minh họa trắc nghiệm số 13 - Tài liệu học tập Toán 9

Chuyên đề Hệ phương trình - Tài liệu học tập Toán 9 -hoc360.net

<b>CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>

<sub></sub>







2

3

2

1

4

3

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<sub></sub>















24

2

3

11

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>





























2

2

3

3

10

5

2

9

3

2

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>























28

22

16

<i>z</i>