Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Thảo

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Thảo

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Chuyên ngành

: Đại số và lí thuyết số

Mã số

: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự
kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ
ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm
hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu
cầu của đề tài cần nghiên cứu, chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên
cứu nào khác.

Học viên

Trần Thị Thanh Thảo


LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được
sự hướng dẫn nhiệt tình của q thầy cơ trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.
Trước hết, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam.
Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và cơng sức hướng dẫn để giúp
tơi hồn thành luận văn thạc sĩ của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình
học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường
Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý
thầy cơ đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tơi nhiều kiến thức về Tốn học, đặc

biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số, làm nền tảng vững chắc để tôi học tập
và nghiên cứu.
Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lí thuyết số Khóa 27 cũng như
bạn bè và người thân đã hết lịng động viên giúp đỡ tơi trong q trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi. Gia đình tơi ln là nguồn động viên
tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học và luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2018

Trần Thị Thanh Thảo


BẢNG KÍ HIỆU
Spec  R 

Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R

SuppR  M 

Giá của M

AssR  M 

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M

AnnR  M 

Linh hóa tử của M

H Ii  M 

Môđun đối đồng điều địa phương thứ i

H Ii , J  M 

Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo một cặp iđêan

ExtRi

Tích mở rộng n  chiều trên R

Tori R

Tích xoắn n  chiều trên R

I  

Hàm tử I  xoắn

I ,J  

Hàm tử  I , J   xoắn


MỤC LỤC
Trang

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC

BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .....................................................................................5
1.1. Một số kiến thức cơ bản ....................................................................................5
1.2. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I ............................................8
1.3. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan  I , J  ....................11
1.4. Bao nội xạ .........................................................................................................14
1.5. Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck ..................................................................14
Chương 2. Môđun Lasker yếu và môđun

 I , J   Cofinite ..................................18

2.1. Môđun Lasker yếu và môđun  I , J   cofinite yếu .......................................18





s
2.2. Sự hữu hạn của tập Ass HomR R / I ; H I , J  M 



  .......................................24



2.3. Sự hữu hạn của tập AssR H Is, J  M  ............................................................. 28
2.4. Tính cofinite yếu của H Is, J  M  .......................................................................31
Chương 3. Phạm trù con Serre ..................................................................................34

3.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 34
3.2. Tính chất của H Ii , J  M  trong phạm trù con Serre ...................................... 34
KẾT LUẬN ..................................................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 41


1

MỞ ĐẦU
Đối đồng điều địa phương chiếm một vị trí quan trọng trong Đại số
hiện đại nói chung và Đại số giao hốn cũng như Hình học đại số nói riêng,
hiện nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác
nhau. Trong luận văn này, ta sẽ nghiên cứu sự hữu hạn của các tập





AssR  H Is, J  M   và AssR Hom  R I , H Is, J  M   , cũng như một vài tính chất
của mơđun đối đồng điều địa phương H Ii , J  M  theo quan điểm của phạm trù
con Serre.
Trong toàn bộ luận văn này, ta luôn giả thiết R là vành Noether giao
hoán và I , J là các iđêan của vành R . Trong [1], các nhà toán học Takahashi,
Yoshino và Yoshizawa đã giới thiệu về khái niệm của môđun đối đồng điều
địa phương theo một cặp iđêan  I , J  , chính là sự mở rộng của định nghĩa
môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I của Grothendieck. Cho M là



một R  mơđun, khi đó môđun  I , J  M   x  M I n x  Jx, n



1 là môđun

con  I , J   xoắn của M . Vì vậy tồn tại hàm tử hiệp biến  I , J từ phạm trù
R  mơđun vào chính nó. Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp

iđêan  I , J  , kí hiệu là H Ii , J , là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I , J . Nếu
J  0 thì H Ii , J chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường H Ii

của Grothendieck.
Trong [2], Grothendieck đã đưa ra giả thuyết: Với mọi iđêan I của
vành R và với mọi R  môđun hữu hạn sinh M , môđun Hom  R I , H Ii  M  
là hữu hạn sinh với mọi i . Một năm sau Hartshorne đã đưa ra một phản ví dụ
cho giả thuyết của Grothendieck. Ơng đã định nghĩa môđun I  cofinite và
đặt câu hỏi: “Với vành R và iđêan I như thế nào thì môđun H Ii  M  là


2

môđun I  cofinite với mọi môđun hữu hạn sinh M ?”. Vấn đề đặt ra tương tự
cho cặp iđêan  I , J  , môđun H Ii , J  M  cho ta được các kết quả như thế nào?
Luận văn này được trình bày làm ba chương. Chương một sẽ trình bày
mà khơng chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán và đối đồng điều
địa phương trong bài báo [1]. Trọng tâm của luận văn nằm ở chương hai và
chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài
báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a
pair of ideals [3] của PGS. TS. Trần Tuấn Nam và Nguyễn Minh Trí. Trong
đó chương hai sẽ giới thiệu về mơđun Lasker yếu và môđun  I , J   cofinite

yếu, từ đó rút ra một số kết quả quan trọng đặc biệt là tập các iđêan nguyên tố
liên kết của H Is, J  M  và HomR  R I , H Is, J  M   , với s là số nguyên không
âm cho trước. Chương ba sẽ giới thiệu về phạm trù con Serre, cung cấp cho ta
một cái nhìn khác về mơđun H Ii , J  M  và các tính chất của mơđun này trong
phạm trù đang xét. Cụ thể như sau:
Phần (2.1.1) và (2.1.2), ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của
môđun Lasker yếu dựa trên kết quả của hai tác giả K. Divaani- Aazar và A.
Mafi trong bài báo [4].
Dựa vào định nghĩa về môđun

 I , J   cofinite

ở (2.1.3) mà A.

Tehranian và A. Pour Eshmanan Talemi đã đề cập đến trong bài báo [5], kết
hợp với định nghĩa môđun I  cofinite yếu của K. Divaani- Aazar và A. Mafi
trong bài báo [6], ta được định nghĩa hồn chỉnh và một số tính chất của
mơđun  I , J   cofinite yếu trong (2.1.4) và (2.1.5).
Tiếp đến phần (2.1.6) và (2.1.7), ta thu được kết quả về tính Lasker yếu
của mơđun ExtRi  R I , M  với mọi i  s , trong đó s là số ngun khơng âm
cho trước.


3

Bằng việc chứng minh quy nạp hoặc sử dụng dãy phổ Grothendieck
trong [7], ta có hai cách để chứng minh Định lý quan trọng (2.2.1) về tính
Lasker yếu của HomR  R I , H Is, J  M   từ đó dễ dàng suy ra sự hữu hạn của





tập AssR Hom  R I , H Is, J  M   cũng như các Hệ quả 2.2.2 và 2.2.3.
Trong Định lý 2.3, từ tính Lasker yếu của H Ii , J  M  ta suy ra được tập
AssR  H Is, J  M   là hữu hạn.

Ta cũng sẽ nghiên cứu về tính cofinite yếu của môđun H Is, J  M  trong
Định lý 2.4.1 và từ đó ta được hai Hệ quả 2.4.2 và 2.4.3.
Tiếp đến phần 3.1 trong chương ba, ta trình bày hai cách định nghĩa
tương đương về phạm trù con Serre.
Định lý 3.2.1, cho ta khẳng định nếu H Ii , J  M  
ExtRi  R I , M  

với mọi i  s thì

với mọi i  s .

Bổ đề 3.2.2 đã sử dụng một kết quả của M. Asgharzadeh và M. Tousi
trong [8], cho ta Định lý 3.2.3 khi nào thì HomR  R m , H Is, J  M   thuộc phạm
trù con Serre.
Cuối cùng, ta nhận thấy lớp các R  môđun hữu hạn sinh là phạm trù
con Serre ở Bổ đề 3.2.4, kết hợp thêm tính Artin trong bài báo [9] của C.
Huneke

trên

vành

địa

phương

 R, m 

cho

ta

khẳng

định

HomR  R m , H Is, J  M   có độ dài hữu hạn trong Hệ quả 3.2.5.

Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do
sự hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn


4

cịn có những sai sót khơng mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá,
nhận xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.


5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1.

Một số kiến thức cơ bản

Mệnh đề 1.1.1. Hàm tử Hom là một hàm tử khớp trái.
Định nghĩa 1.1.2. Với M , N là các R  môđun và
sn
sn 1

 Fn 
 Fn1 

F:

s2
s1

 F1 
 F0 
 N 
0

là phép giải xạ ảnh của N . Phức thu gọn tương ứng với F là:
F:

sn
sn 1

 Fn 
 Fn1 

s2
s1

 F1 
 F0 
0 .

Từ phức
f0
f1
f2
0 
 HomR  F0 , M  
 HomR  F1, M  
 HomR  F2 , M  


Với mỗi số nguyên dương n , ta định nghĩa tích mở rộng n  chiều trên R là





ExtRn  N , M  : H n HomR F , M

  Kerf

n

Im f n1 .

Định lý 1.1.3. Đối với môđun cố định N , các hàm tử hiệp biến ExtRn  N ,  
được lấy cùng với các đồng cấu  : ExtRn  N , M ''  Ext Rn1  N , M ' tự nhiên
đối với các dãy khớp ngắn các môđun được đặc trưng chính xác tới một đẳng
cấu tự nhiên bởi các tính chất sau:
i.

ExtR0  N , M   HomR  N , M  .

ii.

ExtRn  N , M   0 nếu N xạ ảnh hoặc M nội xạ, với mọi n  1.

iii.

Dãy sau là khớp
 ExtRn  N , M '  ExtRn  N , M   Ext Rn  N , M ''   Ext Rn1  N , M '  


6

Mệnh đề 1.1.4. Hàm tử tenxơ là một hàm tử khớp phải.
Định nghĩa 1.1.5. Với M , N là các R  môđun và
sn
sn 1

 Fn 
 Fn1 

F:

s2
s1

 F1 
 F0 
 N 
0

là phép giải xạ ảnh của N . Phức thu gọn tương ứng với F là:
sn
sn 1

 Fn 
 Fn1 

F:

s2
s1

 F1 
 F0 
0 .

Từ phức
fn
f n 1

 Fn R M 

 Fn1 R M 



f1

 F0 R M 
0

Với mỗi số nguyên dương n , ta định nghĩa tích xoắn n  chiều trên R là





TornR  N , M  : H n F  R M  Kerf n Im f n1 .
Định lý 1.1.6. Đối với môđun cố định N , các hàm tử hiệp biến TornR  N , M 
được lấy cùng với các đồng cấu  : TornR  N , M   TornR1  N , M  tự nhiên đối
với các dãy khớp ngắn các mơđun được đặc trưng chính xác tới một đẳng cấu
tự nhiên bởi các tính chất sau:
i.

Tor0R  N , M   N R M .

ii.

TornR  N , M   0 nếu N hoặc M xạ ảnh, với mọi n  1.

Dãy sau là khớp
 TornR  N , M '  TornR  N , M   TornR  N , M ''  TornR1  N , M ' 

Định nghĩa 1.1.7. Cho I là iđêan của vành R
i.

Tập V  I   p  Spec  R  I  p gọi là tập đại số xác định bởi I .


7

Spec  R  được gọi là phổ nguyên tố của vành R, V  I  là tập con của
Spec  R  .
ii.

Cho V là tập con của tập Spec  R  , V được gọi là đóng trong Spec  R 

nếu tồn tại iđêan I của R sao cho V  V  I  .
Định nghĩa 1.1.8. Cho M là R  môđun. Một iđêan nguyên tố p  Spec  R 
gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x  M \ 0 sao cho

p  AnnR  x   a  R ax  0 . Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M
ký hiệu là AssR  M  .
Tính chất 1.1.9. Với p  Spec  R  , p  AssR  M  khi và chỉ khi tồn tại môđun
con N của M sao cho N  R p .





Định nghĩa 1.1.10. Tập SuppR  M   p  Spec  R  M p  0 được gọi là giá
của mơđun M , trong đó M p  S 1M với S  R \p (được gọi là mơđun địa

phương hóa tại iđêan ngun tố p ).
Định lý 1.1.11. Cho I là iđêan của vành R . Khi đó SuppR  R I   V  I  .
Định lý 1.1.12. [1, 9.2.7] Cho R là vành và M , M ' là hai R  mơđun. Khi đó
nếu M hữu hạn sinh thì SuppR  HomR  M , M '   SuppR  M   SuppR  M ' .
 M1 
 M 
 M 2 
 0 là dãy khớp ngắn các
Định lí 1.1.13. Cho 0 

R  mơđun. Khi đó ta có:
i.

AssR  M1   AssR  M   AssR  M1   AssR  M 2 

ii.

SuppR  M   SuppR  M1   SuppR  M 2  .


8

Mệnh đề 1.1.14. Nếu M là R  mơđun thì AssR  M   SuppR  M  . Hơn nữa
nếu M có giá hữu hạn thì khi đó AssR  M N  là hữu hạn, với N là mơđun
con bất kì của M .
Mệnh đề 1.1.15. Cho M 1 , M 2 là các môđun con của M , khi đó dãy sau đây
là khớp:
f
g
0 

 M1  M1  M 2  
 M M 2 
 M  M1  M 2  
0

Mệnh đề 1.1.16. Cho R là vành Noether và M là một R  mơđun hữu hạn
sinh. Khi đó AssR  M  là một tập hữu hạn.
Mệnh đề 1.1.17. ([9]) Cho  R, m  là vành Noether địa phương và M là một

R  mơđun. Khi đó M là Artin khi và chỉ khi SuppR  M   {m} và
soc  M  : HomR  R m , M  là hữu hạn sinh.

Định nghĩa 1.1.18. (Căn Jacobson): Căn Jacobson của R , ký hiệu là J  R 
được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của R .
Mệnh đề 1.1.19. (Bổ đề Nakayama): Cho M là R  môđun hữu hạn sinh và

I là iđêan của R nằm trong J  R  . Nếu IM  M thì M  0 .

1.2.

Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I

Định nghĩa 1.2.1. Với mọi

I  M  
n

0 :

M

R  môđun

I n   { x  M I n x  0 với n

môđun con của M .

M , ta định nghĩa tập
1 nào đó}. Khi đó  I  M  là


9

Với đồng cấu R  môđun f : M  M ' , ta có f   I  M     I  M ' , ánh xạ
 I  f  :  I  M    I  M ' được xác định. Do đó  I    là hàm tử cộng tính

hiệp biến và gọi là hàm tử I  xoắn.
Mệnh đề 1.2.2. Hàm tử I    là hàm tử khớp trái.
Định nghĩa 1.2.3. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I được kí hiệu là H Ii và
được gọi là hàm tử đối đồng điều thứ i theo iđêan I .
Với R  môđun M , ta có H Ii  M  là môđun đối đồng điều địa phương thứ i
của M theo iđêan I .  I  M  là môđun con I  xoắn của M .

M là I  xoắn nếu  I  M   M .
M là I  xoắn tự do nếu  I  M   0 .
Tính chất 1.2.4. Cho M là R  mơđun tùy ý.
i.

Để tìm được H Ii  M  , lấy phép giải nội xạ của M :
1

s
s
J  : 0 
 J 0 
 J 1 


s

 J i 
 J i 1 


0

i

Vì vậy có đồng cấu  : M  J 0 thỏa dãy sau là khớp

s
0 
 M 
 J 0 
 J 1 

0

s


 J i 
 J i 1 

i

Tác động hàm tử I    vào phức J  ta được

 

I
0 
 I  J 0  


 s0

và

lấy

môđun



đối

H Ii  M   Ker  I  s i 



đồng



 

I

 I  J i  
 I  J i1  


 si

điều



thứ

i

của

phức

trên,

ta

có

Im  I  s i 1  . Việc làm này không phụ thuộc vào

cách chọn phép giải nội xạ J  của M .


10

ii.

H Ii  i 

iii.

H I0 tương đương tự nhiên với  I (do  I khớp trái).

iv.

f
g
Cho dãy khớp ngắn 0 
 M1 
 M 
 M 2 
 0 các



là hàm tử cộng tính hiệp biến (kế thừa từ tính chất của  I ).

R  mơđun. Khi đó ta có dãy khớp dài:
I 
0 
 I  M 1  
 I  M  
 I  M 2  
 H I1  M 1  
 H I1  M  


H1 g


 H Ii  M  
 H Ii  M 2  
 H Ii 1  M 1  


Mệnh đề 1.2.5. i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của khơng trong

M thì M là I  xoắn tự do, tức là  I  M   0 .
ii. Giả sử M hữu hạn sinh. Khi đó M là I  xoắn tự do khi và chỉ khi I chứa
một phần tử không là ước của không trong M .
Mệnh đề 1.2.6. Với mọi R  môđun M , M  I  M  là môđun I  xoắn tự do.
Mệnh đề 1.2.7. Nếu M là một R  môđun I  xoắn, tức là M   I  M  thì
mọi mơđun con của M và ảnh các đồng cấu của M cũng đều là I  xoắn.
Với mỗi R  môđun M , môđun đối đồng điều địa phương thứ H Ii  M  là

R  môđun I  xoắn. Hơn nữa, nếu M là mơđun I  xoắn thì H Ii  M   0 với

mọi i .
Mệnh đề 1.2.8. Cho J là mơđun nội xạ, khi đó  I  J  cũng là môđun nội xạ.
Mệnh đề 1.2.9. Cho J là mơđun nội xạ. Khi đó dãy khớp sau là chẻ ra:
0  I  J   J  J I  J   0 .

Mệnh đề 1.2.10. Cho M là môđun I  xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải nội
xạ của M mà mỗi thành phần là các môđun I  xoắn.


11

Mệnh đề 1.2.11. Cho R  môđun M , khi đó:
i.

H Ii  M   0 với mọi i  0 nếu M là I  xoắn.

ii.

H Ii   I  M    0 với mọi i  0 .

iii.

H Ii  M   H Ii  M  I  M   với mọi i  0 .

1.3.

Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan  I , J 

Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R  môđun,  I , J   môđun con xoắn của



M là tập  I , J  M   x  M I n x  Jx với n

1 .

Với đồng cấu f : M  M ' các R  môđun, dễ thấy f   I , J  M     I , J  M ' ,
và vì ánh xạ  I , J  f  :  I , J  M   I , J  M ' là xác định. Khi đó  I , J là hàm
tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù R  mơđun vào chính nó, ta gọi  I , J là
hàm tử  I , J   xoắn.
Khi J  0 , hàm tử  I , J   xoắn  I , J trở thành hàm tử I  xoắn  I ở trên.
Mệnh đề 1.3.2. Hàm tử  I , J    là hàm tử khớp trái.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I , J được kí hiệu là H Ii , J
và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan  I , J  .
Với R  môđun M , ta có H Ii , J  M  là mơđun đối đồng điều địa phương thứ i
của môđun M theo cặp iđêan  I , J  .

M là  I , J   xoắn nếu  I , J  M   M .

M là  I , J   xoắn tự do nếu  I , J  M   0.


12

Chú ý: Nếu J  0 thì H Ii , J trở thành hàm tử đối đồng điều địa phương thơng
thường H Ii .
Tính chất 1.3.4.
i. H Ii , J  i 

0



là hàm tử cộng tính hiệp biến.

ii. H I0, J tương đương tự nhiên với  I , J .
f
g
iii. Cho dãy khớp ngắn 0 
 M1 
 M 
 M 2 
 0 các

R  môđun. Khi đó ta có dãy khớp dài:
0 
 I , J  M1  
 I , J  M  
 I , J  M 2  
 H I1, J  M1  
 H I1, J  M 




 H Ii , J  M  
 H Ii , J  M 2  
 H Ii , J1  M1  


Định nghĩa 1.3.5. Kí hiệu W  I , J  là tập tất cả các iđêan nguyến tố p của R
thỏa I n  J  p với số nghuyên n nào đó. Khi đó
W  I , J   { p  Spec  R  I n  J  p với n

1 }.

Chú ý: Nếu J  0 thì W  I , J  trùng khớp với V  I  tập tất cả các iđêan
nguyên tố chứa I .
Định lý 1.3.6. Cho M là R  môđun. Những mệnh đề sau là tương đương:
i.

M là  I , J   xoắn.

ii.

Min  M   W  I , J  .

iii.

Ass  M   W  I , J  .

iv.

Supp  M   W  I , J  .

Hệ quả 1.3.7. Với x  M , những điều sau là tương đương:


13

i.

x  I , J  M  .

ii.

Supp  Rx   W  I , J  .

Hệ quả 1.3.8. Cho 0  M1  M  M 2  0 dãy khớp ngắn các R  môđun.
Khi đó M là mơđun  I , J   xoắn khi và chỉ khi M1 và M 2 là các môđun

I, J  

xoắn.

Hệ quả 1.3.9. Nếu M là mơđun  I , J   xoắn thì M JM là môđun I  xoắn.
Chiều ngược lại xảy ra khi M là môđun hữu hạn sinh.
Định lý 1.3.10. Với M là R  mơđun, khi đó M  I , J  M  là  I , J   xoắn tự
do.
Mệnh đề 1.3.11. Với mỗi R  môđun M , môđun H Ii , J  M  đối đồng điều địa
phương thứ i của môđun M theo cặp iđêan  I , J  là  I , J   xoắn với mọi
số nguyên i  0 .
Định lý 1.3.12. Ta có Ass  M   W  I , J   Ass   I , J  M   , với R  môđun

M . Đặc biệt,  I , J  M   0 khi và chỉ khi Ass  M   W  I , J    .
Định lý 1.3.13. Cho M là môđun  I , J   xoắn. Khi đó tồn tại phép giải nội
xạ của M mà mỗi thành phần là các R  môđun  I , J   xoắn.
Định lý 1.3.14. Cho M là một R  môđun.
i.

Nếu M là môđun  I , J   xoắn thì H Ii , J  M   0 với mọi i  0.

ii.

H Ii , J   I , J  M    0 với mọi i  0 .

iii.

H Ii , J  M   H Ii , J  M  I , J  M   với mọi i  0 .


14

1.4.

Bao nội xạ

Định nghĩa 1.4.1. Một R  môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của M
nếu với mỗi môđun con khác không của E giao với M là khác 0. Một mở
rộng cốt yếu E  M được gọi là tối đại nếu khơng có mơđun thật sự nào chứa

E là mở rộng cốt yếu của M .
Mệnh đề 1.4.2. Một R  môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M khơng có mở
rộng cốt yếu thật sự nào.
Mệnh đề 1.4.3. Mọi môđun M đều có một mở rộng cốt yếu tối đại.
Định lý 1.4.4. Với môđun M  I , các phát biểu sau là tương đương:
i. I là mở rộng cốt yếu tối đại của M .
ii. I là nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M .
iii. I là nội xạ tối tiểu của M .
Định nghĩa 1.4.5. Nếu I  M thỏa một trong ba điều kiện tương đương trong

Định lý 1.4.4 thì I được gọi là bao nội xạ của M .
Mệnh đề 1.4.6. Mọi môđun M đều có bao nội xạ và ta sẽ kí hiệu là E  M  .

1.5.

Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck

Định nghĩa 1.5.1. Với a là số nguyên không âm, dãy phổ (đối đồng điều)
(bắt đầu bởi Ea, ) trong phạm trù các R  môđun,

E 
p ,q
r

là một họ các môđun

( r  a ), được nối với nhau bởi đồng cấu d rp ,q (từ trái sang phải):

drp,q : Erp,q  Erpr ,q1r thỏa d r d r  0 và Erp,1q đẳng cấu với đối đồng điều của
Er, tại Erp ,q :
Erp,1q  Ker  drp ,q  Im  drpr ,qr 1  .


15

Chú ý: Erp,1q là môđun thương con của Erp ,q . Tổng bậc của Erp ,q là n  p  q .
Ta qui ước dãy phổ góc phần tư thứ nhất là dãy phổ thỏa Erp,q  0 với mọi p
âm hoặc q âm.
Định nghĩa 1.5.2. Sự hội tụ bị chặn:
i.

Dãy phổ (đối đồng điều) được gọi là bị chặn nếu chỉ có hữu hạn thành

phần khác khơng trong mỗi bậc tổng của Ea, , và ta kí hiệu Ep ,q cho giá trị
dừng của Erp ,q .
ii.

Cho H n  là họ các vật được đánh chỉ số bởi số nguyên n  0 . Dãy

phổ Eap ,q được gọi là hội tụ tới H pq , kí hiệu " Eap,q  H pq " nếu mỗi H n có
p

lọc hữu hạn 0   t H n 

  p 1H n   p H n 

  sH n  H n

thỏa Ep,q   p H pq  p1H pq .
Ví dụ 1.5.3. Trong dãy phổ (đối đồng điều) góc phần tư thứ nhất:
Nếu Erp ,q với r  max  p, q  1 thì d r là tầm thường. Vì q  1  r  0, ta có
Erpr ,qr 1  0 nên Kerdr  Erp,q . Hơn nữa p  r  0 dẫn tới Erpr ,qr 1  0 và

Im d r  0 . Do đó Erp,1q  Erp ,q , tổng quát lên ta có Erp,kq  Erp ,q , với k  0 . Mặt
khác dãy phổ hội tụ tới H  , khi đó H n có một lọc hữu hạn có độ dài là n  1 :
0   n1H n   n H n 

  1H n   0 H n  H n thỏa

Ep,q   p H pq  p1H pq .

16



Định nghĩa 1.5.4. Ta nhắc lại hàm tử giữa hai phạm trù Aben F :
được gọi là khớp trái nếu hàm tử đó biến mỗi dãy khớp ngắn trong

0 A B C 0
thành dãy khớp 0  FA  FB  FC . Nếu F biến dãy khớp ngắn trong
thành dãy khớp ngắn trong

thì F được gọi là hàm tử khớp.

Grothendieck đã giới thiệu dãy phổ nhằm liên kết hai hàm tử. Cho
các phạm trù Aben đủ nội xạ. Ta thiết lập hàm tử khớp trái G :

F:



, ,


là
và

sao cho biểu đồ sau giao hoán.
G

F

FG

Định nghĩa 1.5.5. Vật I 

được gọi là nội xạ nếu hàm tử HomA  , I  là

hàm tử khớp. Một phép giải xạ ảnh của A
A  I    I 0  I1 

khơng. Nếu A

 trong đó các

là tựa đẳng cấu

I  là nội xạ, A là phức chủ yếu bậc

nhúng được vào vật nội xạ nào đó thì ta gọi

là đủ nội

xạ.
Khi đó với A

ta chọn một phép giải xạ ảnh A  I  và định nghĩa hàm tử

dẫn xuất phải thứ



p

của hàm tử

F

tác động vào



A

là

R p F  A   H p F  I   . Và việc làm này không phụ thuộc vào phép giải xạ
ảnh.
Chú ý: Vì 0  FA  FI 0  FI 1 là khớp nên R0 F  A  FA .


17

Định nghĩa 1.5.6. Cho F :



là hàm tử khớp trái. Một vật B của

được gọi là F  không tuần hoàn phải nếu hàm tử dẫn xuất của F là triệt tiêu
tại B , tức là Ri F  B   0 với mọi i  0 .
Định nghĩa 1.5.7. (Dãy phổ Grothendieck): Cho
tử cộng tính hiệp biến, trong đó

, ,

G
F

 


các hàm

là các phạm trù Aben đủ nội xạ. Giả

sử F là hàm tử khớp trái và GE là F  khơng tuần hồn với mọi vật nội xạ

E. Khi đó với mọi vật A trong phạm trù

, tồn tại dãy phổ

E2p ,q   R p F  R qG  A  R n  FG  A .
p

Mệnh đề 1.5.8. Cho f : R  S là ánh xạ của vành giao hốn. Khi đó với mọi

R  môđun A và S  môđun B ta có dãy phổ
ExtSp  A, Ext Rq  A, B    Ext Rp q  A, B  .

p

Để thấy điều này, ta chọn A thuộc S  môđun và giả sử các hàm tử thỏa:

R  Mod
HomR  A,  

HomR  S ,  

S  Mod
HomS  A,  

Ab
Tam giác trên giao hoán, bằng việc tác động hàm tử Hom và Ten-xơ ta có:
HomS  A, HomR  S , B    HomR  A S S , B   HomR  A, B  .
Vì HomR  S ,   được thêm vào bên phải của hàm tử khớp, dẫn tới tính nội xạ.
Khi đó giả thiết của dãy phổ Grothendieck được thỏa mãn. Như vậy với mỗi

A  R  mơđun ta có dãy phổ E2p ,q  ExtSp  A, ExtRq  A, B    Ext Rpq  A, B  .
p


18

Chương 2. Môđun Lasker yếu và môđun  I , J   Cofinite

2.1. Môđun Lasker yếu và môđun  I , J   cofinite yếu
Định nghĩa 2.1.1.[4,2.1]: Một R  môđun M được gọi là môđun Lasker yếu
nếu tập các iđêan nguyên tố liên kết của mọi môđun thương của M (kí hiệu là
AssR  M N  , với N là mơđun con bất kì của M  là hữu hạn.

Bổ đề 2.1.2.
a.

 M1 
 M 
 M 2 
 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun.
Cho 0 

Khi đó:
i.

M là mơđun Lasker yếu khi và chỉ khi M1 và M 2 là môđun Lasker

yếu.
ii.

Mọi môđun thương con của môđun Lasker yếu đều là môđun Lasker

yếu.
iii.

Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun Lasker yếu cũng là môđun Lasker

yếu.
b.

Cho M và M ' là hai R  môđun. Nếu M là môđun Lasker yếu và M '

là môđun hữu hạn sinh, khi đó Ext iR (M ', M ) và Tori R  M ', M  là các môđun
Lasker yếu với mọi i  0 .
Chứng minh:
a.

Ta có thể giả sử M1 là mơđun con của M và M 2  M M 1 . Ta có dãy

khớp:

0 
 M1 
 M 
 M 2  M M1 
0


19



i.

Nếu M là môđun Lasker yếu, ta dễ dàng suy ra M1 và M 2 là

môđun Lasker yếu.

   Với mọi N

là môđun con tùy ý của M , ta có dãy khớp ngắn:

0 
 M1  M1  N  
 M N 
 M  M1  N  
0
Ta có AssR  M N   AssR  M1 M1  N   AssR  M M1  N 
Với

mọi

x  M  M1  N 

tồn

tại

phần

tử

xM

sao

cho

x  x  M1  N   x  M1   N do vậy x   M M1  N hay M  M 1  N    M M 1  N .

Mặt khác AssR  M1 M1  N  và AssR  M  M 1  N    AssR   M M 1  N 
là hữu hạn (do M1 và M M 1 là môđun Lasker yếu) nên AssR  M N  là hữu

hạn. Dẫn đến M là môđun Lasker yếu.
ii. Dễ thấy, được suy ra từ (i).
iii. Với M 1 , M 2 là hai môđun Lasker yếu, từ dãy khớp ngắn chẻ
0 
 M1 
 M1  M 2 
 M 2 
0

cho ta M1  M 2 cũng là môđun Lasker yếu. Tổng quát lên ta có, tổng trực tiếp
n

hữu hạn  M i cũng là môđun Lasker yếu.
i 1

b.

Theo [4, 2.3] ta chỉ cần chứng minh cho Ext ( Tor tương tự).

Vì R là vành Noether và M ' hữu hạn sinh nên M ' có một phép giải tự do:
F:

sn
sn1

 Fn 
 Fn1 

s2
s1


 F1 
 F0 
0

bao gồm các môđun tự do hữu hạn sinh. Tác động hàm tử HomR  , M  vào
phép giải trên ta có đối phức:
f0
f1
f2
0 
 HomR  F0 , M  
 HomR  F1, M  
 HomR  F2 , M  
