Khái niệm tâm tỉ cự trong dạy học toán và vật lí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chí Tơn

KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY
HỌC

TỐN VÀ VẬT LÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chí Tơn

KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY
HỌC

TỐN VÀ VẬT LÍ

Chun ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn
được trình bày trong luận văn hồn tồn chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả
Lê Chí Tơn


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Vũ Như Thư Hương, thầy Lê Thái
Bảo Thiên Trung đã vô cùng tận tâm trong giảng dạy, hướng dẫn và động viên tơi
xun suốt q trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hồi Châu, thầy Tăng Minh Dũng, cơ
Nguyễn Thị Nga, thầy Lê Văn Tiến đã giảng dạy các môn chuyên ngành với tất cả tình
yêu và nhiệt huyết. Xin cảm ơn cô Annie Bessot, cô Claude Comiti và thầy Hamid
Chaachoua đã chia sẻ tài liệu, góp ý về hướng đi trong nghiên cứu của chúng tôi.
Tôi xin cảm ơn sự tận tâm giảng dạy của thầy Nguyễn Bích Huy, thầy Trần Huyên,
thầy Nguyễn Ngọc Khá, cô Võ Thị Phượng Linh, thầy Nguyễn Chương Nhiếp, thầy
Mỵ Vinh Quang và thầy Nguyễn Anh Tuấn.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, các anh chị chun
viên phịng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong q trình học tập

và nghiên cứu.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp và các em học sinh trường THPT Tơ Văn
Ơn, tỉnh Khánh Hịa đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong các thực nghiệm; cảm ơn các
bạn học viên Didactic Tốn K26 đã ln đồng hành cùng tơi trong khóa học.
Sau cùng, tơi xin tỏ lòng biết ơn đến ba mẹ, các thành viên trong gia đình đã ln
động viên và là động lực để tơi phấn đấu suốt thời gian học xa nhà.

Lê Chí Tôn


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các từ viết tắt
Dạnh mục các bảng
Danh mục các hình
Mục lục

MỞ ĐẦU.............................................................................................................. 1
Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC
KHOA HỌC6
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự.................................... 6
1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí
bậc đại học.......................................................................................................... 9
1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học......9
1.2.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Vật lí bậc đại học..........18
Kết luận Chương 1................................................................................................... 24
Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM
TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM TRONG HAI THỂ CHẾ DẠY HỌC
HÌNH HỌC 10 VÀ VẬT LÍ 10 HIỆN HÀNH Ở VIỆT NAM ............26

2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong hai bộ sách giáo khoa Hình học 10
hiện hành.......................................................................................................... 28
2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm................................................................ 29
2.1.2. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm..................36
2.2. Khái niệm tâm của hệ lực song song trong hai bộ sách giáo khoa Vật lí 10
hiện hành.......................................................................................................... 51
2.2.1. Các quy tắc hợp lực song song................................................................... 52
2.2.2. Các praxéologie gắn liền với các quy tắc hợp lực song song.....................56
Kết luận Chương 2................................................................................................... 61


Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM.......................................................... 63
3.1. Phân tích tiên nghiệm........................................................................................ 63
3.1.1. Mục tiêu của tiểu đồ án.............................................................................. 63
3.1.2. Các kiến thức học sinh đã biết.................................................................... 64
3.1.3. Các tình huống thực nghiệm....................................................................... 64
3.1.4. Phân tích các biến, giá trị của biến và những điều có thể quan sát.............64
3.1.5. Dàn dựng kịch bản..................................................................................... 75
3.2. Phân tích hậu nghiệm........................................................................................ 77
3.2.1. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 1......................................................... 78
3.2.2. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2......................................................... 84
Kết luận Chương 3................................................................................................... 93
KẾT LUẬN................................................................................................................. 94
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

CHLT

BT
BTHH10
BTHH10NC
CH
ĐT
GV
HH
HHCC
HHNC
HS
HSHS
N
Nxb
SGK
SGV
VD
VL10
VL10NC
tr.


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1. Thống kê kết quả bài làm của các nhóm sau thực nghiệm 1...........................78
Bảng 2. Thống kê kết quả bài làm của các nhóm sau thực nghiệm 2...........................85


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1. Bài làm trên phiếu 1 của N2 (dựng hình chưa thành cơng).............................78

Hình 2. Bài làm trên phiếu 2 của N6 (chiến lược Khác).............................................. 79
Hình 3. Bài làm trên phiếu 1 của N1........................................................................... 79
Hình 4. Bài làm trên phiếu 2 của N1........................................................................... 80
Hình 5. Bài làm trên phiếu 1 của N5........................................................................... 80
Hình 6. Bài làm trên phiếu 2 của N5........................................................................... 80
Hình 7. Đẳng thức vectơ do N5 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT1.1...............82
Hình 8. Đẳng thức vectơ do N3 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT1.1...............82
Hình 9. Kết quả học sinh thao tác trên mơ hình trong BT 2.1...................................... 84
Hình 10. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N3............................................................. 86
Hình 11. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N4 (bên trái) và N2 (bên phải)..................86
Hình 12. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 theo chiến lược Khác của N3...........................87
Hình 13. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 của N5............................................................. 87
Hình 14. Bài làm trên phiếu 3 của N6 (hai hình khơng tương thích)...........................88
Hình 15. Bài làm trên phiếu 3 của N1 (hai hình tương thích)...................................... 88
Hình 16. Đẳng thức vectơ do N2 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT2.1.............91


1

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài và những ghi nhận ban đầu
1.1. Những ghi nhận ban đầu
Trong chương trình Tốn trung học ở Pháp, khái niệm tâm tỉ cự là đối tượng tri
re

thức được giảng dạy. Cụ thể sách Maths Déclic 1 S, 2005, chương 15

treo khối lượng .
2. Cân Roman: Định luật Archimedes

Với một chiếc

Để xác định một khối lượng chưa biết
di chuyển trên thanh đòn cho đến khi thanh cân bằng, khi đó tất cả
được khi khối
, suy ra

được nâng tại điểm . Nếu giả sử trạng thái cân bằng đạt
=4

Chiếc cân này là ứng dụng trực tiếp từ định luật Archi.=..

medes, theo định luật

o

1 Hãy chứng minh rằng ở trạng thái cân bằng ta có đẳng thức vectơ:
Vị trí của các điểm
Chú ý:

(*) Điểm
trọng số

(, )


•
Điểm trọng số nghĩa là điểm được gắn với một trọng lượng.
•
“Barycentre” có nguồn gốc từ tiếng Hy lạp, có nghĩa là “tâm của các trọng

lượng”.


2
3

Nếu

Thuật ngữ này có nguồn gốc từ định luật của Archimedes.
2

o

Giả sử ta
o

So sánh với kết quả của câu 2

o

re

Từ trình bày của sách Maths Déclic 1 S chúng tơi ghi nhận được
điểm trọng số
( , )

• Điểm

thỏa đẳng th
là điểm cân bằng, trọng tâm trong Vật lí.

•

re

Định nghĩa tâm tỉ cự của hai điểm được Sách giáo khoa Maths Déclic 1 S xây

dựng gắn liền với việc cân vật nặng và định luật Archimedes. Điều này cho phép kết
nối giữa thực tế cuộc sống, Vật lí với Hình học vectơ.
•

Định nghĩa tâm tỉ cự sau đó được sử dụng như cơng cụ để giải tìm một khối
o

lượng chưa biết (2 ) hoặc để biểu diễn vị trí của điểm cân bằng so với hai điểm treo
o

các khối lượng (3 ).
và đặt ra các câu hỏi ban đầu sau đây:
CH1. Trong chương trình Hình học 10 hiện hành ở Việt Nam, khái niệm tâm tỉ cự
của hệ điểm có được giảng dạy? Khái niệm này có được giới thiệu gắn liền với Vật lí
và thực tế?
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự được trình bày như thế nào trong các giáo trình Hình
học, Vật lí bậc đại học và trong sách giáo khoa Vật lí bậc trung học? Nhằm để giải
quyết những dạng bài tập nào?
1.2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu
Từ những câu hỏi đặt ra định hướng cho q trình nghiên cứu, chúng tơi tìm thấy
một số tài liệu sau:
Đồn Cơng Thành (2014), với luận văn thạc sĩ “Mơ hình hóa trong dạy học khái
niệm vectơ ở Hình học lớp 10”, đã chỉ ra việc dạy học khái niệm và các phép toán

vectơ trong thể chế dạy học Hình học 10 ở Việt Nam chưa quan tâm đến mơ hình hóa
đối tượng tri thức này. Từ kết quả của những phân tích, tác giả tiến hành xây dựng đồ


3

án dạy học tạo nên sự kết nối giữa vectơ, các phép tốn vectơ với Vật lí và thực tế.
Nguyễn Xuân Quang (2016), trong luận văn thạc sĩ “Dạy học tích vơ hướng trong
Hình học 10 theo quan điểm liên mơn”, tác giả cho thấy ý nghĩa vật lí của tích vơ
hướng thể hiện khá mờ nhạt trong thể chế dạy học Vật lí 10 và 11 hiện hành ở Việt
Nam. Để khắc phục điều này, tác giả đã thiết kế đồ án dạy học tích vơ hướng thể hiện
rõ tính liên mơn giữa Hình học vectơ và Vật lí.
Từ các cơng trình đã tổng quan, chúng tơi nhận thấy nghiên cứu về khái niệm tâm
tỉ cự của hệ điểm trong thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 ở Việt Nam chưa
được các tác giả đề cập.
2.Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố công cụ của lí thuyết
Didactic Tốn, bao gồm: các khái niệm chuyển đổi didactic, quan hệ cá nhân và quan
hệ thể chế đối với một tri thức, tổ chức toán học của lí thuyết nhân chủng học để phân
tích sự trình bày các khái niệm tâm tỉ cự, tâm của hệ lực song song trong các giáo trình
đại học và trong chương trình Hình học, Vật lí 10 hiện hành; lí thuyết tình huống và
khái niệm đồ án didactic để xây dựng tiểu đồ án dạy học.
Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ở cấp độ tri thức khoa học cũng được chọn làm
tham chiếu khi phân tích chương trình Hình học 10 và Vật lí 10.
3.Mục tiêu nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu
3.1.

Mục tiêu của đề tài

Trên cơ sở nghiên cứu khái niệm tâm tỉ cự ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi

chỉ ra một số ý nghĩa của khái niệm đối với Vật lí. Việc phân tích mối quan hệ thể chế
đối với khái niệm này giúp chúng tôi làm sáng tỏ sự tồn tại của nó trong thể chế dạy
học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam. Dựa vào kết quả của quá trình
với

nghiên cứu tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học, chúng tơi xây dựng tiểu đồ
án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm

∑

=1

≠0


4

3.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khn khổ lí thuyết tham chiếu, những câu hỏi nghiên cứu mà luận văn của
chúng tôi cần trả lời được xác định:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái
niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình
học và Vật lí bậc đại học?
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày như thế nào trong các
thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam? Có những
praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong các thể chế dạy học Hình
học 10 và Vật lí 10 hiện hành?
yếu tố nào?

CH3. Để xây dựng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm

trong đẳng thức vectơ

4.Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được trình bày tóm lược bằng sơ đồ sau:
Nghiên cứu tri thức khoa học về khái niệm tâm tỉ cự
(các tài liệu khoa học, giáo trình Hình học cao cấp, giáo trình Vật lí đại cương)

Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy trong hai bộ mơn Tốn và Vật lí lớp 10
(các bộ sách Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành)

Nghiên cứu thực nghiệm tiểu đồ án didactic
5.Nhiệm vụ nghiên cứu


Chúng tôi nghiên cứu các tài liệu khoa học và phân tích các giáo trình Hình học

Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy, Cơ học lý thuyết –
tập 1 do tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên hướng đến trả lời cho câu hỏi:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái
niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình học
và Vật lí bậc đại học?


5



Chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ

điểm trong các bộ sách giáo khoa Hình học 10 (phần vectơ), Vật lí 10 ở Việt Nam và

các tài liệu liên quan để trả lời cho câu hỏi:
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày như thế nào trong các thể
chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam? Có những
praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong mỗi thể chế dạy học Hình
học 10 và Vật lí 10 hiện hành?
 Chúng tôi thiết kế một tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm
trong đẳng thức vectơ
6.Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có ba chương không kể phần mở đầu và phần kết luận.
Chương 1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ở cấp độ tri thức khoa học

Trước tiên, chúng tơi trình bày khía cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự. Sau đó
chúng tơi nghiên cứu lí thuyết, các tổ chức tri thức gắn với khái niệm này ở một số
giáo trình Hình học và Vật lí dùng trong đào tạo sinh viên các ngành sư phạm Toán
học và sư phạm Vật lí. Đồng thời chúng tơi sẽ xây dựng những praxéologie tham chiếu
phục vụ cho mục tiêu phân tích mối quan hệ thể chế ở Chương 2 luận văn.
Chương 2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ
điểm trong các thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam
Chúng tơi tập trung phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của
hệ điểm trong chương trình Hình học 10 và khái niệm tâm của hệ lực song song trong
chương trình Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam để tìm kiếm mối quan hệ (nếu có) giữa
hai khái niệm này. Một số praxéologie được phân tích trong mối liên hệ với các
praxéologie tham chiếu ở Chương 1.
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm
Chúng tôi xây dựng một thực nghiệm dưới dạng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý


nghĩa vật lí của điểm

6

Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ TRI
THỨC KHOA HỌC
Mục tiêu của chương là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào?
Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo
trình Hình học và Vật lí bậc đại học?
Nội dung Chương 1 gồm hai phần: phần thứ nhất trình bày các nghiên cứu về khía
cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự; phần thứ hai trình bày các phân tích đối với khái
niệm này trong một số giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học.
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự
Từ quá trình nghiên cứu các cơng trình của August Ferdinant Mӧbius (1827) và
(1846), Abraham Albert Ungar (2010), Andre Koch Torres Asis (2010), H. S. M.
Coxeter (1969), John Stillwell (2010), Michael S. Floater (2016), Peter Alfeld, Marian
Neamtu, Larry L. Schumaker (1996) và Roger Cooke (2005), chúng tơi chia lịch sử
hình thành, phát triển của khái niệm tâm tỉ cự trong Toán học thành ba giai đoạn.
Giai đoạn ngầm ẩn, kéo dài từ trước Công nguyên đến trước năm 1827. Khái niệm
tâm tỉ cự bị đồng nhất với khái niệm trọng tâm trong Vật lí. Những vấn đề làm nảy
sinh khái niệm trọng tâm đó là: cân các vật nặng bằng cân địn; nghiên cứu trạng thái
cân bằng mà các vật rắn đạt được khi nâng bởi một thanh đòn hoặc được treo tại một
vài điểm nào đó. Vị trí của tâm tỉ cự hay vị trí trọng tâm được xác định thơng qua các
mệnh đề 6 và mệnh đề 7 trong tác phẩm On the Equilibrium of Planes của Archimedes
và gọi là Quy tắc momen trong Vật lí hiện đại.
Mệnh đề 6. Các vật thể có thể so sánh được cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch
với trọng lượng của chúng.
Mệnh đề 7. Tuy nhiên, thậm chí nếu các vật thể không so sánh được, chúng sẽ vẫn
cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch với các trọng lượng ấy.

[31, tr.175-176]

Vị trí của trọng tâm chỉ được xác định bằng phương pháp thực nghiệm. Vai trò và
tầm ảnh hưởng của khái niệm tâm tỉ cự chưa được xác lập.


7

Giai đoạn tường minh, từ năm 1827 đến trước năm 1975. Khái niệm tâm tỉ cự của
hệ điểm (khái niệm tâm tỉ cự cổ điển ra đời trước sự ra đời của khái niệm vectơ) được
cơng bố chính thức bởi Mӧbius vào năm 1827 trong cơng trình Der Barycentrische
Calcul. Khái niệm nảy sinh gắn với q trình giải bài tốn chia đoạn thẳng định hướng
theo các tỉ lệ đại số cho trước và mục tiêu đi tìm một phương pháp tổng quát để xác
định vị trí của điểm cân bằng, trọng tâm trong Vật lí.
Tọa độ tâm tỉ cự lúc này được biểu diễn theo các điểm và các trọng số cho trước
bởi

đặt tại mỗi điểm đó.
Tâm tỉ cự

tồn tại tâm tỉ cự và

Trong trường hợp
các tính chất của khái niệm được Mӧbius quan tâm trình bày.
Trọng tâm trong Vật lí được Mӧbius xem là tâm tỉ cự của hệ điểm khi các trọng số là
trọng

các trọng lượng.
Nếu tại

[37, tr.8]
Do đó, trọng tâm trong Vật lí khơng thể bị đồng nhất với trung điểm hay trọng

tâm của hệ điểm trong Toán học.
Với sự ra đời của khái niệm vectơ, Coxeter (1961) phát biểu định nghĩa tâm tỉ cự
của hệ điểm bằng đẳng thức vectơ trong tác phẩm Introduction to Geometry.
kì, khi
lập với 1 + ⋯ +

Giả sử các trọng số
Điểm P cho bởi
∑

Ta có thể chọn P

cách chọn điểm
trùng

[32, tr.214-215]


Khái niệm tâm tỉ cự của Möbius được sử dụng để xây dựng định nghĩa hiện đại về
tâm của hệ lực song song, trọng tâm của hệ chất điểm hoặc của vật rắn khi biết các
trọng lượng và vị trí các chất điểm.


8

là
•

Nếu hệ
=

• Nếu hệ

•
đường, tích phân mặt hoặc tích phân khối
Với là hoành độ tâm của hệ lực hoặc trọng tâm; ���⃗

⃗

tốc

Một nghĩa vật lí khác của khái niệm tâm tỉ cự là xác định các vectơ vận tốc

của khối tâm trong một hệ hữu hạn chất điểm

Từ đó xây dựng phương trình chuyển động tồn thể của hệ

thứ

tạo nên gia
Trong đó,
Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm cịn được ứng dụng vào thống kê, phân loại các

hình trong Hình học phẳng và ứng dụng cho Hình học xạ ảnh.
Giai đoạn tổng quát hóa, từ năm 1975 đến 2017. Các nghiên cứu ở giai đoạn này
gắn liền với việc xây dựng các biểu thức tổng quát biểu diễn tọa độ tâm tỉ cự của một
điểm bên trong một đa giác theo các đỉnh của đa giác ấy. Đồng thời các nghiên cứu đặc
biệt quan tâm đến ứng dụng của tọa độ tỉ cự trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tọa độ của tâm tỉ cự đối với một đa giác được xác định thơng qua các hàm diện
tích. Các đa giác được tổng quát hóa từ đa giác lồi đến đa giác bất kì; từ đa giác trong

khơng gian hai chiều lên khơng gian có số chiều cao hơn. Hai dạng tọa độ tâm tỉ cự
phổ biến là tọa độ Wachspress (1975) và tọa độ trung bình (2003).


Ban đầu, các tọa độ tỉ cự chỉ nhận các giá trị dương, q trình tổng qt hóa cho
phép các tọa độ này nhận giá trị thực và dần được mở rộng sang tập số phức. Khái


9

niệm tâm tỉ cự được ứng dụng trong Giải tích số, mơ hình hóa hình học, xây dựng
phương pháp phần tử hữu hạn, các phép nội suy, .... Ánh xạ tỉ cự ra đời, cho phép khái
niệm thể hiện tính chất cơng cụ của nó trong đồ họa vi tính ở mảng phối màu và hiệu
ứng chuyển động của hình ảnh.
Một mảng khác của khái niệm tâm tỉ cự là tọa độ cầu cũng được Mӧbius xây dựng
vào năm 1846. Các định nghĩa về tâm tỉ cự cầu của hệ điểm được Mӧbius xây dựng
với các cung định hướng. Các nghiên cứu sau đó xây dựng tọa độ cầu của một điểm
đối với một đa giác cầu lồi, hai tọa độ phổ biến là tọa độ cầu Wachspress và tọa độ cầu
trung bình. Tọa độ cầu được sử dụng để xây dựng các mặt Bézier trên các miền cầu,
xây dựng các tọa độ tỉ cự 3D đối với đa diện có các mặt đa giác bất kì. Tọa độ tỉ cự
cầu vẫn đang là đối tượng được quan tâm nghiên cứu.
1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí
bậc đại học
1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học
Trong mục này, chúng tơi sẽ tiến hành nghiên cứu các giáo trình:


Hình học cao cấp, Bài tập hình học cao cấp do tác giả Nguyễn Mộng Hy

biên soạn. Đây là tài liệu được sử dụng phổ biến trong chương trình đào tạo sinh

viên ngành sư phạm Toán ở các trường cao đẳng, đại học của Việt Nam. Tác giả
cũng là chủ biên của bộ sách Hình học 10 hiện hành.


Cơ học lý thuyết – tập 1, tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên. Giáo trình

này được sử dụng trong đào tạo sinh viên ngành sư phạm Vật lí ở nhiều trường đại
học.


Vật lí đại cương – tập 1, tác giả Lương Duyên Bình. Giáo trình này được

dùng làm tài liệu tham khảo và đào tạo sinh viên các trường cao đẳng đại học. Tác
giả cịn là chủ biên của bộ sách Vật lí 10 hiện hành.
Đầu tiên, chúng tơi tập trung phân tích nội dung lí thuyết trong §4. Tâm tỉ cự của
một hệ điểm thuộc giáo trình Hình học cao cấp và xác định các praxéologie gắn liền
với khái niệm này trong Bài tập Hình học cao cấp.


10

1.2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm
Đị

������⃗

∑

Mở đầu, tác giả trình bày định lí về sự tồn tại duy nhất một điểm
=1

vectơ

nh lí 1. C
Chứng minh. Lấy một điểm
thuộc trường

Do đó:

Vậy điểm tồn tại và được
Kỹ thuật sử dụng để c hứng

(, minh,…, định lí 1 là áp dụng quy tắ c

“Điểm” được xem là điểm trong không gian Euclide, vectơ trong khơng gian
vectơ, bộ số có tính thứ tự

ở trang 7 của giáo trình: “Với ba điểm bất kì
Định nghĩa phát biểu sau chứng minh đem , lại, cho∈ điểm

điểm gắn với họ hệ số (chúng tôi gọi tắt là tâm tỉ cự hoặc tâm tỉ cự của hệ điểm).
Tác giả nhấn mạnh
Định nghĩa.

gắn với họ hệ số

đó là: tổng tất cả các số trong họ hệ số phải khác khơng. Khi đã tồn tại thì vị trí của
tâm tỉ cự được xác định bởi đẳng thức

Trung điểm của đoạn thẳng hay trọng tâm của một hệ điểm được tác giả xem là
Trường hợp. đặc biệt nếu các i

trường hợp đặc biệt của tâm tỉ cự khi các hệ số bằng nhau.
P ,P ,…,P

Chú12ý:

a) Nếu
∈


11

lấy
bởi h ệ

thể
b) Khi
(P1

, ,…,

1

2

thay đổi.”
Chúng tôi xếp khái niệm tâm tỉ cự được tác giả Nguyễn Mộng Hy giới thiệu thuộc
giai đoạn tường minh của khái niệm. Từ đó, nghĩa vật lí mà chúng tơi quan tâm trong

phân tích này là khái niệm tâm tỉ cự dùng để xác định vị trí tâm của hệ lực song song,
điểm cân bằng hoặc trọng tâm.
Một số tính chất khác của khái niệm cũng được trình bày sau đó.
Định lí 2. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm
tập hợp tất cả

P , P 1, … , Pk

nhau là cái phẳng có số chiề u bé nhất chứa các điể m oi

Hệ quả. Cho

Hệ quả trên cho thấy: tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của một hệ điểm xác định nên
cái phẳng có số chiều bé nhất được tạo nên từ hệ điểm đó. Như vậy, mỗi điểm bất kì
thuộc vào một cái phẳng gồm điểm ln là tâm tỉ cự của hệ điểm này ứng với một
họ hệ số cụ thể nào đó. Kết quả này cũng chính thức được xác nhận trong phần chứng
tùy ý. Điều kiện

minh của định lí 3.
Định lý 3. Cho –phẳng
Chứng minh

0
Điểm

với