khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Ngô Minh Đức

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Ngô Minh Đức

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã
bỏ nhiều công sức hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư Hương. Các Thầy Cô ấy đã bỏ nhiều
thời gian và công sức giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan
trọng của bộ môn didactic Toán.
Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn những chỉ dẫn, giải thích của PGS. TS. Annie Bessot, TS.
Alain Birebent đã giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về chuyên ngành này. Những định hướng và góp ý
của hai giáo sư là những điều rất quý giá đối với tôi trên bước đường nghiên cứu.
Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi
giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 12A3 trường Trung học Thực Hành Đại học Sư
Phạm. Cám ơn các em vì những tiết thực nghiệm đầy hào hứng và thú vị.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn từ tận đáy lòng đến những người thân trong gia đình. Ba mẹ
và các em là nguồn động lực lớn lao giúp tôi vượt qua những khó khăn trong suốt hành trình đã
qua.

Ngô Minh Đức

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................. 4
2. Tổng quan về một số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm trong dạy học

toán ở Việt Nam .................................................................................................................. 5
3. Hướng nghiên cứu đặt ra và nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................... 6
4. Khung lý thuyết tham chiếu........................................................................................... 7
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 7
6. Cấu trúc luận văn ........................................................................................................... 8

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO
HÀM ........................................................................................................................... 10
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển khái niệm đạo hàm ............................................ 11
1.1.1. Thời kì chuẩn bị và những mầm mống nảy sinh (Thế kỉ 17 trở về trước) ............ 11
1.1.2. Newton, Leibniz và giai đoạn phát minh ra đạo hàm (thế kỉ 17) .......................... 17
1.1.3. Giai đoạn mở rộng và phát triển các tính chất của đạo hàm với sự thúc đẩy đến từ
Vật lí (Thế kỉ 18) ............................................................................................................. 24
1.1.4. Giai đoạn xây dựng cơ sở lý thuyết chặt chẽ (thế kỉ 19)....................................... 29
1.2. Phát biểu câu hỏi nghiên cứu .................................................................................... 34

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ................ 37
2.1. Sử dụng đạo hàm ngầm ẩn trong SGK lớp 10 và 11 .............................................. 37
2.2. Đạo hàm trong SGK vật lí lớp 12 ............................................................................. 39
2.3. Vấn đề giải thích các xấp xỉ và chính xác hóa các định luật vật lí ........................ 41
2.3.1. Các xấp xỉ hàm dùng trong vật lí .......................................................................... 41
2.3.2. Chính xác hóa các định luật vật lí ......................................................................... 42
2.4. Kết luận về phân tích thể chế I1 ................................................................................ 42

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN .................. 44
3.1. Phân tích các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm ............................................... 44
3.1.1. Sách giáo khoa chuẩn 11 (SGKC 11) ................................................................... 44
3.1.2. Sách giáo khoa 11 ban nâng cao (SGKNC 11) ..................................................... 47
3.2. Phân tích định nghĩa đạo hàm ................................................................................. 47
3.3. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm ...................................................................................... 48

3.3.1. Sách giáo khoa chuẩn 11 ....................................................................................... 48
3.3.2. Sách giáo khoa nâng cao 11 .................................................................................. 49
3.4. Đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm ................................................................................. 49
3.5. Kết luận về cách xây dựng lý thuyết trong SGK 11 ............................................... 51
2


3.6. Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm....................................... 51
3.6.1. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng tốc độ biến thiên .................................... 52
3.6.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng xấp xỉ ..................................................... 54
3.7. Kết luận về phân tích thể chế I2 ................................................................................ 54

CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 56
4.1. Thực nghiệm thứ nhất : tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh .......................... 56
4.1.1. Mục đích thực nghiệm........................................................................................... 56
4.1.2. Đối tượng, hình thức và nội dung của thực nghiệm .............................................. 56
4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ............................................................................................ 56
4.1.4. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................... 59
4.1.5. Kết luận chung cho thực nghiệm.......................................................................... 63
4.2. Thực nghiệm thứ hai: một đồ án dạy học................................................................ 64
4.2.1. Đối tượng và mục đích thực nghiệm ..................................................................... 64
4.2.2. Các bài toán thực nghiệm ...................................................................................... 64
4.2.3. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm................................................... 67
4.2.4. Dàn dựng kịch bản ................................................................................................ 72
4.2.5. Phân tích kịch bản ................................................................................................. 77
4.2.6. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................ 81
4.2.7. Kết luận cho đồ án dạy học ................................................................................... 89

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 93

PHỤ LỤC ................................................................................................................... 95

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay có hai xu hướng mới trong dạy học toán: Xu hướng liên môn và xu hướng mô
hình hóa. Dạy học theo hai xu hướng này là một cách mang lại nghĩa cho các kiến thức toán
học, giúp học sinh nhận thấy ứng dụng hiệu quả của toán học đối với cuộc sống và các khoa
học khác.
Nếu như phải chọn một ngành khoa học có nhiều liên hệ mật thiết nhất với toán học thì
có lẽ đó là vật lí. Tri thức toán học được ứng dụng rất nhiều trong nghiên cứu vật lí, và đặc
biệt nếu xét trong chương trình phổ thông thì đạo hàm là một trong những khái niệm được
ứng dụng nhiều nhất. Về điểm này chúng tôi ghi nhận được một sự kiện:
Liên quan đến khái niệm đạo hàm, Sách giáo khoa Toán 12 chỉ đưa vào hai ứng dụng
trong vật lí, đó là công thức tính vận tốc và gia tốc tức thời của một chất điểm: v(t ) = s '(t ) và
a (t ) = v '(t ) , trong đó s (t ) là hàm số quãng đường của chất điểm theo thời gian còn v(t ), a (t )

lần lượt là hàm số vận tốc và gia tốc. Sách giáo khoa cơ bản còn đưa thêm vào công thức
xác định cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích q : i (t ) = q '(t ) . Tuy nhiên, các ứng
dụng của đạo hàm trong vật lí phổ thông là rất phong phú và liệu học sinh có biết vận dụng
khái niệm này trong các tình huống khác hay không? Nói rộng ra thì mối quan hệ liên môn
giữa dạy học toán và vật lí liên quan đến khái niệm đạo hàm đã được đảm bảo chưa? Việc
đặt ra câu hỏi này đặt là rất xác đáng bởi lẽ, nó khiến chúng tôi phải nhìn nhận lại việc dạy
học khái niệm đạo hàm hiện nay đã hợp lí hay chưa trong thời điểm mà quan điểm dạy học
liên môn đang ngày càng được chú trọng. Ngay sau đó hàng loạt những câu hỏi được đặt ra:
-

Việc dạy học đạo hàm ở trường phổ thông hiện nay đã phục vụ cho dạy học vật lí như

thế nào?

-

Đạo hàm mang những nghĩa gì trong toán học cũng như trong vật lí?

-

Có hay không sự ngắt quãng giữa hai phạm vi Giải tích và Vật lí trong việc dạy học
khái niệm đạo hàm?

Những câu hỏi mở đầu này đã dẫn chúng tôi vào một hướng nghiên cứu đầy hấp dẫn và đó
cũng là lí do để chúng tôi chọn cho luận văn thạc sĩ của mình đề tài:
“Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông”.

4


2. Tổng quan về một số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm trong dạy
học toán ở Việt Nam
• Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, luận văn thạc sĩ
trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
Trong luận văn của mình, tác giả đã tiến hành nghiên cứu khoa học luận và nghiên cứu
thể chế về mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm để đi đến giả thuyết cho rằng: “Học sinh
thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine
nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong quan hệ cá nhân
của học sinh”.
Một thực nghiệm sau đó được tác giả xây dựng đã chứng minh giả thuyết này và còn
cho thấy được ảnh hưởng mạnh mẽ của quan điểm đại số trong thể chế dạy học ở Việt Nam
làm cản trở sự hình thành tư tưởng xấp xỉ ở học sinh. Đặc biệt, nó gây khó khăn cho học

sinh trong việc chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Chúng tôi đã tìm thấy những gì từ công trình này? Như các phân tích mà chúng tôi trình
bày ở các chương sau của luận văn, một trong những nghĩa quan trọng của khái niệm đạo
hàm là đặc trưng xấp xỉ mà về mặt hình học chính là xấp xỉ đường cong của một hàm số
bằng tiếp tuyến của nó. Kết quả của tác giả Bùi Thị Thu Hiền dù nghiên cứu trên Sách giáo
khóa đợt chỉnh lý trước đây (2000) nhưng vẫn là một nguồn tham khảo quan trọng cho
chúng tôi trong các phân tích của mình.
• Lê Anh Tuấn(2009), Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ
thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
Luận văn của Lê Anh Tuấn lại cung cấp cho chúng tôi một nghiên cứu thể chế liên quan
đến khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học Toán hiện nay. Cụ thể hơn, tác giả này đã tập
trung phân tích định nghĩa, các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm để đi đến
một số kết luận và 2 quy tắc hợp đồng. Hai kết luận quan trọng mà tác giả đã chỉ ra là:
- Định nghĩa đạo hàm có vai trò mờ nhạt đối với cá nhân học sinh, mối quan hệ giữa
đạo hàm và giới hạn hàm số được nêu trong định nghĩa đạo hàm hầu như không tồn tại
đối với học sinh.
- Khi tính đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại điểm x = x0 bằng định nghĩa, việc tính
y '( x0 ) bằng

lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
∆y
lim
x − x0
∆x → 0 ∆x
chiếm ưu thế so với việc tính bằng
.

5


Hai quy tắc hợp đồng mà tác giả chỉ ra là:
RE1: “Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có”.
RE1: “Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, học sinh không có trách nhiệm
kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính đạo hàm”.
Trong luận văn này, dù tác giả không tập trung tìm hiểu các đặc trưng cơ bản của khái
niệm đạo hàm, tuy nhiên những nghiên cứu thể chế đã thực hiện vẫn sẽ là một nguồn
tham khảo quan trọng cho chúng tôi.
• Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic về ∆x trong toán học và trong vật
lý, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
Thông qua lớp vỏ bọc là kí hiệu hình thức ∆x xuất hiện cả trong vật lí và toán học, tác
giả đã đi sâu phân tích và tiến hành một nghiên cứu thể chế liên quan đến khái niệm vi
phân. Trong thể chế Vật lí, tác giả đưa ra kết luận rằng: ∆x xuất hiện trong vật lí chủ
yếu đóng vai trò kí hiệu. Kết quả phân tích thể chế dạy học toán lại chỉ ra: ∆x mặc dù
xuất hiện với vai trò công cụ trong việc tính đạo hàm bằng định nghĩa và tính gần đúng
bằng vi phân, tuy nhiên theo tác giả thì vai trò công cụ của ∆x trong toán học là khá mờ
nhạt.
Bên cạnh đó kết quả thực nghiệm của tác giả còn cho thấy chỉ khi ∆x được gắn với một
đối tượng vật lí thì học sinh mới hiểu đúng đắn về ý nghĩa đại lượng này. Như vậy, đối
với học sinh, ∆x chỉ sống được khi gắn với mô hình vật lí.
Vì mối liên hệ mật thiết giữa khái niệm đạo hàm và vi phân, cùng với đó là vai trò của
số gia ∆x trong định nghĩa của đạo hàm cho nên việc phân tích đối tượng này trong hai
thể chế dạy học toán và vật lí cũng đem đến cho chúng tôi nhiều tham khảo đáng quý.

3. Hướng nghiên cứu đặt ra và nhiệm vụ nghiên cứu
Điều chúng tôi quan tâm là nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm trong mối
quan hệ liên môn với vật lí. Rõ ràng điều đầu tiên cần tìm hiểu là nghĩa của đạo hàm

trong toán và trong vật lí, liệu khái niệm đạo hàm có những đặc trưng cơ bản nào và
những đặc trưng đó đem đến những ứng dụng gì trong các lĩnh vực khác? Trả lời câu

6


hỏi này sẽ giúp chúng tôi nhận ra những ràng buộc mà việc thõa mãn chúng sẽ là tiền đề
tạo ra sự phù hợp trong mối quan hệ liên môn mà chúng tôi đã đề cập.
Hướng đi tiếp theo sẽ là tiến hành phân tích khái niệm đạo hàm trong cả hai thể chế dạy
học toán và vật lí, kết quả nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi trả lời câu hỏi đã đặt ra từ
ban đầu: Có hay không sự ngắt quãng giữa hai phạm vi Giải tích và Vật lí trong việc
dạy học khái niệm đạo hàm? Nếu câu trả lời là có thì rõ ràng việc dạy học khái niệm
đạo hàm hiện nay đã không đem đến sự nối khớp đảm bảo cho mối quan hệ liên môn
với vật lí. Trong hoàn cảnh đó, việc xây dựng một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm
hợp lí hơn sẽ là nhiệm vụ quan trọng mà chúng tôi đặt ra cho mình.

4. Khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm cơ sở cho nghiên cứu của mình, chúng tôi vận dụng các công cụ của lý thuyết
didactic toán. Một cách rõ ràng hơn, chúng tôi đang muốn nói về các khái niệm của
thuyết nhân chủng học trong didactic toán, bao gồm: chuyển đổi didactic, quan hệ thể
chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học. Ngoài ra, lý
thuyết tình huống với khái niệm đồ án dạy học cũng cần thiết cho chúng tôi. Những
khái niệm này đã được trình bày trong cuốn giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu
tố cơ bản của Didactic Toán của Bessot A. và các tác giả, rồi lại được rất nhiều luận văn
nhắc lại, nên chúng tôi sẽ không trình bày lại ở đây.

5. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được những mục đích kể trên chúng tôi xác định cho mình phương pháp nghiên
cứu tóm tắt bằng sơ đồ sau:

7


Nghiên cứu đặc trưng khoa
học luận của khái niệm đạo
hàm

Nghiên cứu tri thức cần giảng
dạy
(Trong cả hai thể chế dạy học
Toán và Vật lí ở Việt Nam)

Nghiên cứu thực nghiệm kiểm
tra mối quan hệ cá nhân và đồ
án dạy học

Làm rõ sự nối khớp đảm bảo
mối quan hệ liên môn với vật lí

6. Cấu trúc luận văn
+ Chương 1 : Một điều tra khoa học luận về khái niệm đạo hàm.
Chương 1 sẽ đem lại những hiểu biết về đối tượng tri thức đạo hàm: Lịch sử hình thành
và tiến triển, các đặc trưng cơ bản và mối quan hệ của nó với vật lí. Từ đó chúng tôi có thêm
cơ sở để đặt ra những câu hỏi nghiên cứu có ý nghĩa.
+ Chương 2 : Khái niệm đạo hàm trong dạy học Vật lí.
Chương này là một nghiên cứu về cuộc sống của đối tượng đạo hàm trong thể chế vật lí.
Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ những ứng dụng của đạo hàm và hơn nữa là
những mong đợi mà thể chế Vật lí đặt ra cho việc dạy học khái niệm này trong thể chế dạy
Toán.
+ Chương 3 : Khái niệm đạo hàm trong dạy học Toán.

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến khái niệm đạo hàm trong thể
chế dạy học Toán, từ đó tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm này.
Mục đích của chương 2 và chương 3 nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi : sự nối khớp giữa
bộ môn toán và bộ môn vật lí được thực hiện ra sao trong dạy học khái niệm đạo hàm.
+ Chương 4: Thực nghiệm
Chương này bao gồm hai nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm tìm
kiếm các yếu tố cho phép kiểm chứng (hay bác bỏ) giả thuyết (được hình thành từ nghiên
8


cứu thể chế thực hiện ở chương 3) về mối quan hệ cá nhân của học sinh liên quan đến khái
niệm đạo hàm. Thực nghiệm thứ hai triển khai một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm nhằm
đảm bảo mối quan hệ liên môn với vật lí.

9


CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM
ĐẠO HÀM

Dòng chảy lịch sử hình thành và phát triển của giải tích nói chung và khái niệm đạo
hàm nói riêng đã kéo dài hơn 200 năm với rất nhiều gập ghềnh và khúc khuỷu. Nhưng nếu
bắt buộc phải tóm tắt quá trình ra đời và tiến triển của khái niệm đạo hàm chỉ trong một câu,
chúng ta có thể trích dẫn câu nói của tác giả Grabiner: “Đạo hàm đầu tiên được sử dụng
như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng
mới được định nghĩa.” (Judith V. Grabiner, 1983), tr.195). Còn nếu được trình bày cụ thể
hơn thì
Những thảo luận về phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Fermat là một minh
họa cho việc sử dụng đạo hàm như một công cụ giải quyết một bài toán cụ thể (dù rằng lúc
đó đạo hàm vẫn chưa xuất hiện). Sau đó thì khái niệm đạo hàm được phát minh, và rồi,

nhiều tính chất của đạo hàm được giải thích và phát triển trong các ứng dụng cả cho toán
học và vật lý. Cuối cùng, một định nghĩa nghiêm ngặt được đưa ra và khái niệm đạo hàm
được lồng vào một lý thuyết chặt chẽ... (Judith V. Grabiner, 1983), tr.195)

Trong chương này, chúng tôi sẽ tiến hành tìm hiểu các đặc trưng khoa học luận của khái
niệm đạo hàm bằng cách phân tích và tổng hợp một số công trình đã có về lịch sử giải tích
nói chung, khái niệm đạo hàm nói riêng. Nghiên cứu này nhằm giải thích những nhận định
đã nêu ở trên, hơn thế, việc tìm hiểu lịch sử còn giúp chúng tôi trả lời những vấn đề mà
chúng tôi rất quan tâm sau đây:
-

Những động lực chính nào đã thúc đẩy khái niệm đạo hàm ra đời? Rõ ràng hơn, chúng
tôi muốn làm rõ những bài toán mà việc giải quyết chúng đã làm nảy sinh khái niệm
đó.

-

Mối quan hệ giữa đạo hàm với Vật lý trong quá trình hình thành và phát triển?

-

Đạo hàm có những đặc trưng cơ bản gì và chúng ta có thể định nghĩa nó theo những
cách nào?

-

Trong từng giai đoạn tiến triển, người ta quan niệm về đạo hàm ra sao? Đâu là những
khó khăn và chướng ngại đã cản trở loài người trên bước đường phát minh, sử dụng
và thậm chỉ là hiểu rõ được nó?

10


Kết quả của việc nghiên cứu khoa học luận sẽ giúp chúng tôi trang bị cho mình vốn
hiểu biết sâu sắc hơn và một “tâm thế” mà đứng ở đó nhìn lại những câu hỏi xuất phát ban
đầu, chúng tôi tin rằng mình sẽ tìm ra được hướng nghiên cứu đúng đắn và có thể đặt ra
những câu hỏi nghiên cứu có ý nghĩa. Những kết quả của chương này, đến lượt mình sẽ
đóng vai trò cơ sở phương pháp luận và cơ sở tham chiếu cho việc trả lời các câu hỏi nghiên
cứu và cho những phân tích về sau.

1.1. Lịch sử hình thành và phát triển khái niệm đạo hàm
Có khá nhiều tài liệu trình bày về lịch sử của giải tích, chúng tôi chọn trong số đó ba tài
liệu sau đây và xem chúng như là nguồn tham khảo chính:
David B. Johnson, Thomas A. Mowry (2004), Mathematics: A Practical Odyssey,
Chương 13, Cengage Learning.
Judith V. Grabiner, (1983), The changing concept of change: The Derivative from
Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, Vol. 56 , pp 195 – 206.
Carl Boyer(1959), History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover,
New York.
Nếu như Johnson và Mowry tập trung làm rõ các bài toán làm động lực nảy sinh khái
niệm đạo hàm và trình bày lịch sử đạo hàm xoay quanh việc giải quyết các bài toán đó thì
trong công trình của tác giả Grabiner chúng tôi lại nhìn thấy được một hướng tiếp cận lịch
sử khác. Grabiner đã nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của đạo hàm theo dòng
chảy của thời gian và từ đó mà nhìn thấy được sự tiến triển của khái niệm qua từng giai
đoạn. Còn với công trình của Boyer một bước tranh chi tiết và đầy đủ về lịch sử đã được tái
hiện lại, đây cũng có thể xem là một trong những nghiên cứu tiêu biểu về lịch sử phép tính
vi tích phân. Việc chọn những tài liệu này không chỉ giúp chúng tôi có cái sâu sắc và đầy đủ
hơn khi được tiếp cận với lịch sử khái niệm ở cả hai xu hướng, mà các kết quả nghiên cứu
của các tác giả còn là nguồn tham khảo quý giá để chúng tôi trả lời những vấn đề đã đặt ra
cho mình.

1.1.1. Thời kì chuẩn bị và những mầm mống nảy sinh (Thế kỉ 17 trở về trước)
Mặc dù những ý tưởng gợi mở cho sự ra đời của phép tính vi tích phân đã xuất hiện từ
rất sớm trong những nghiên cứu về tốc độ và về diện tích thì thật ra, cơ hội để chúng có thể
nảy mầm và phát triển chỉ xuất hiện từ khi có sự ra đời của đại số và hình học giải tích. Các
nhà toán học Châu Âu sau khi tiếp thu nền toán học của người Hy lạp và đại số của người
11


Hồi giáo đã tổng hợp hai trường phái này và phát triển tiếp các lí thuyết mới. Cuối thế kỉ 16
nhà toán học Pháp Francois Vieta đã phát minh ra hệ thống kí hiệu cho đại số. Năm 16301
F
0

đánh dấu một cột mốc quan trọng khi Descartes và Fermat độc lập với nhau đã phát minh ra
hình học giải tích 2.
1F

Sự xuất hiện của hình học giải tích, nói riêng đã làm thay đổi vị thế của một bài toán
quen thuộc xuất hiện từ thời cổ đại: Bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Trước đây
người ta chỉ quan tâm đến một số không nhiều các đường cong (chủ yếu có thể định nghĩa
theo quỹ tích) như đường tròn hoặc các đường conic… và bài toán tìm tiếp tuyến của chúng
cũng đã được giải quyết. Vấn đề ở chỗ, từ khi hình học giải tích ra đời thì mỗi phương trình
bất kì đều có thể xác định một đường cong. Lớp đường cong có thể nghiên cứu trở nên đa
dạng và phức tạp hơn rất nhiều và phương pháp của người Hi Lạp trong hình học tổng hợp
không còn hiệu quả. Lúc này người ta phải nhìn nhận lại định nghĩa khái niệm tiếp tuyến 3
F
2

và đi tìm một phương pháp tổng quát hơn để giải bài toán tìm tiếp tuyến này. Lớp đối tượng
mới mẻ này còn kéo người ta quay trở lại với những bài toán quen thuộc như tìm diện tích

hay chiều dài cung. Ngoài ra còn một loại bài toán rất được quan tâm đó là bài toán “đẳng
chu”, mà một trong các dạng của nó được phát biểu như sau: “trong các miền phẳng bị chặn
có cùng chu vi, miền nào có diện tích lớn nhất?”. Câu trả lời người ta đã biết từ rất sớm là
đường tròn, và theo đó, một lớp các bài toán tìm cực trị hình học nói chung được đặt ra
nhưng để tìm một phương pháp tổng quát cho những bài toán dạng này là rất khó khăn. Các
nhà toán học thế kỉ 17 tin tưởng rằng hệ thống đại số kí hiệu và hình học giải tích sẽ giúp họ
bằng một cách nào đó giải quyết được những vấn đề trên.
Một trong những học giả đi tiên phong trong vấn đề này chính là nhà toán học Pháp
Pierre de Fermat khi ông đã giới thiệu một phương pháp mới trong việc giải các bài toán
cực trị và xác định tiếp tuyến đường cong. Fermat minh họa phương pháp tìm cực trị của
mình năm 1630 qua việc giải bài toán đơn giản sau đây : “Cho trước một đoạn thẳng, hãy
chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất” 4.
F
3

Năm 1937 Rene Descartes công bố phát minh này tuy vậy từ những năm 1629 Fermat đã tìm ra sớm
hơn nhưng chỉ được công bố sau khi ông mất.
2
Thật ra thì những mầm mống của hình học giải tích đã xuất hiện từ sớm trong công trình nghiên cứu
các đường Conic của Apollonius và biểu đồ mô tả tốc độ chuyển động của Oresme.
3
Người Hi Lạp định nghĩa tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ “tiếp xúc” với đường cong mà không cắt
nó.
4
Thật ra bài toán này có thể phát biểu dưới dạng một bài toán đẳng chu: Trong tất cả các hình chữ nhật
có cùng chu vi, hay tìm hình có diện tích lớn nhất.
1

12

Lời giải bài toán này đã được biết từ rất lâu tuy nhiên cách giải của Fermat thì lại rất
mới:

Hình 1.1: Phương pháp tìm cực trị của Fermat
Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai
sẽ là: B − A và tích của 2 phần là: A.( B − A) = AB − A2 . Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở
Alexandria trong một tác phẩm của mình có đưa ra một nguyên lý: “Một bài toán nào đó
nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ đạt được giá trị cực đại 5 trong trường hợp chỉ có một
F
4

nghiệm” (chẳng hạn với một tam thức bậc hai có hai nghiệm thì nó sẽ đạt được cực trị trong
trường hợp nghiệm kép). Điều này đã gợi ý cho Fermat đưa ra một phương pháp mới mẻ
trong việc tìm cực đại và cực tiểu. Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ
hai nữa (tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất), với đáp số thứ hai này
chúng ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là A + E khi đó đoạn còn lại là: B − A − E . Tích của chúng lúc
này bằng: AB − A2 − 2AE + BE − E 2 .
Bởi vì giá trị lớn nhất phải là duy nhất cho nên hai đáp số trên đều phải cho ra tích
giống nhau, nghĩa là:
AB − A2 − 2AE + BE − E 2 = AB − A2 ⇔ 2AE + E 2 = BE . Rút gọn hai vế cho E ta được:
2A + E =
B

Mặt khác theo nguyên lý Pappus thì hai nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn
nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại. Nghĩa là có thể cho E = 0, từ
đó ông thu được kết quả A =

B
và đây cũng chính là đáp số của bài toán cực trị trên.

2

Fermat cho rằng không thể mong đợi một phương pháp tổng quát hơn và ông thậm chí
đã sử dụng phương pháp mới mẻ này để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong.
Dù vậy Fermat không gọi E là đại lượng vô cùng nhỏ, hay giới hạn hay cái gì đại loại thế.
Ông không giải thích tại sao lúc đầu có thể chia hai vế cho E (xem E khác 0), sau đó lại
“khử” nó đi (tức là xem E = 0 ). Fermat ở thời điểm đó đã không nhận ra rằng phương pháp
ông tìm ra chẳng qua là một ứng dụng của một khái niệm tổng quát hơn. Ông thậm chí còn
5

Giá trị này không nhất thiết phải là cực đại .

13


không xem xét bản chất mối liên hệ của phương pháp giải bài toán cực trị với bài toán tiếp
tuyến mà thay vào đó ông chỉ nói rằng một phương pháp tương tự như vậy có thể giúp xác
định tiếp tuyến của đường cong. Nghĩa là ban đầu hãy thêm vào E, tính toán và thu gọn đại
số rồi triệt tiêu E, cuối cùng bạn có thể tìm được tiếp tuyến.
Vậy phương pháp của Fermat thật sự là gì? Bài toán mà Fermat giải là xác định A để
0 sau đó rút gọn biểu thức cho
hàm số f ( A) lớn nhất, và việc Fermat xem f ( A + E ) − f ( A) =

E rồi cho E = 0 nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của

hàm số tại điểm cực trị của nó 6 :
5F

lim

E →0

f ( A + E ) − f ( A)
0 ⇔ f '( A) =
0
=
E

Có một sự kiện lý thú là Fermat đã ứng dụng phương pháp này vào các bài toán vật lí và
thu được những kết quả rất phù hợp. Cụ thể ông đã áp dụng trong quang học: Fermat phát
biểu một nguyên lý về cách “hành xử” của ánh sáng (nguyên lý tác dụng tối thiểu): “Ánh
sáng luôn đi theo con đường nhanh nhất”. Theo nguyên lý này và khảo sát đường đi của ánh
sáng ngang qua bề mặt phân cách của hai môi trường trong suốt đồng tính ông đã tìm con
đường nhanh nhất của ánh sáng (bằng phương pháp mới ở trên) 7, chính là con đường tuân
F
6

theo định luật Snell về khúc xạ (vốn đã tìm ra trước đó bằng thực nghiệm).

Hình 1.2: Định luật Snell về khúc xạ ánh sáng
Vào thế kỉ 17, một vấn đề khác thậm chí còn được quan tâm hơn bài toán cực trị, đó
chính là vấn đề xác định tiếp tuyến của đường cong. Vào thời điểm này, tiếp tuyến thường
Sau này trở thành một định lý mang tên ông. Cần nói thêm là ông không nhận ra rằng hệ thức này chỉ
là điều kiện cần để đạt cực trị tại điểm đó.
7
Xem thêm Mahoney(1973), The Mathematical Career of Pierre de Fermat, Tr. 387-390.
6

14

được quan niệm là một cát tuyến mà hai điểm cắt của nó càng ngày càng gần lại cho đến khi
trùng khít với nhau. Việc một cát tuyến “trở thành” một tiếp tuyến như thế nào không hề
được giải thích rõ ràng, tuy vậy các phương pháp tìm tiếp tuyến lại dựa trên cách tiếp cận
này. Fermat, Descartes, John Wallis, Isaac Barrow và nhiều nhà toán học thế kỉ 17 khác đều
đã có thể tìm được tiếp tuyến thông qua việc xem xét độ dốc của cát tuyến. Chúng ta sẽ làm
rõ điều này bằng cách khảo sát cách làm của Barrow 8 và để cho đơn giản chúng ta sẽ áp
7F

dụng phương pháp của ông đối với bài toán cụ thể là tìm tiếp tuyến của đường Parabol:
Cho đường cong có phương trình: y = x 2
Xác định tiếp tuyến của đường cong tại điểm P(2;4). Barrow xét một điểm rất gần điểm P là
điểm Q(2 − e; 4 − a ) 9. Ông thế tọa độ điểm Q này vào phương trình đường cong và được:
8F

4 − a = (2 − e) 2 . Sau khi rút gọn ông còn:
e 2 − 4e + a =
0.

Đến đây như Barrow nói rằng: “Hãy bỏ đi tất
cả các số hạng có lũy thừa của a và e hoặc
tích của chúng”
Từ đây chúng ta có thể xác định được tỉ số

a
e

chính là độ dốc của tiếp tuyến tại P. Cụ thể ở
trên sau khi bỏ đi số hạng e 2 chúng ta được
a = 4e ⇔

a
= 4 (Johnson, Mowry, 2004),
e

Hình 1.3: Phương pháp tìm tiếp
tuyến của Barrow

chương 13, tr. 28-29)

Phương pháp của Barrow là tương tự như phương pháp của Fermat 10 tuy nhiên có một
F
9

điểm đặc biệt. Đó là Barrow đối xử với các đại lượng a và e ở trên như các vô cùng bé,
nghĩa là chỉ khử đi các lũy thừa của chúng (các vô cùng bé bậc cao hơn) mà không cho
chúng bằng 0 như Fermat đã làm. Hơn nữa, cách làm này của ông thể hiện cách nhìn nhận
tiếp tuyến như là một cát tuyến PQ mà Q trở nên vô cùng gần P. Việc Barrow tính hệ số góc

8

Xem thêm J.M.Child (1916), The Geometrical Lectures of Issac Barrow – Translated, with note and
proofs…Tr.120 – 121.
9
Barrow không dùng cặp thứ tự (x;y) như chúng ta ngày nay. Chúng ta sử dụng cách kí hiệu này cho
quen thuộc để dễ dàng hiểu được ý tưởng của ông.
10
Barrow công bố cách giải này gần 30 năm sau khi phương pháp của Fermat được biết đến.

15

của tiếp tuyến thông qua tỉ số hai đại lượng “vô cùng bé”

a
cũng đã ngầm ẩn xuất hiện khái
e

niệm tỉ số hai vi phân mà sau này được đưa ra bởi Leibniz.
Cách giải quyết của một số nhà toán học khác cũng dựa trên việc xem xét hệ số góc của
cát tuyến

f ( x + h) − f ( x )
. Cát tuyến này sẽ “trở thành” tiếp tuyến khi h “dần đến” 0. Vì thế
h

nếu bằng một cách nào đó bỏ qua đại lượng h trong biểu thức hệ số góc cát tuyến thì chúng
ta sẽ thu được hệ số góc tiếp tuyến.
Như vậy, đến thời điểm này thì một quy
trình tổng quát để giải quyết bài toán tìm tiếp
tuyến đường cong đã xuất hiện nhưng cơ sở lý
thuyết của nó vẫn chưa được thấu hiểu rõ ràng.
Đến năm 1660, mối quan hệ giữa bài toán
cực trị và bài toán tìm tiếp tuyến đã được hiểu
rõ. Đó là, cực đại hay cực tiểu được tìm thấy
bằng cách tính toán độ dốc của tiếp tuyến và yêu
cầu nó phải bằng 0. Như vậy là mặc dù đạo hàm

Hình 1.4: Bài toán xác định tiếp tuyến

vẫn chưa xuất hiện nhưng nó đã được sử dụng
một cách ngầm ẩn trong một phương pháp tổng quát và đầy tiềm năng. Tuy nhiên mối quan
hệ giữa phương pháp tìm tiếp tuyến với các bài toán hình học khác – chẳng hạn như tìm
diện tích – thì vẫn chưa được biết đến. Cùng với đó, khái niệm tiếp tuyến vẫn chưa được
định nghĩa một cách rõ ràng và hoàn thiện.
Thỉnh thoảng có ý kiến cho rằng ý tưởng về đạo hàm được thúc đẩy từ các bài toán đến
từ Vật lí 11. Và mặc dù Vật lí cung cấp sự chuẩn bị cho những đặc trưng sau này của đạo
0F
1

hàm (tốc độ biến đổi) và giúp đưa vào toán học khái niệm về sự biến thiên nhưng thật ra,
trong giai đoạn khơi nguồn này thì sự ra đời của đạo hàm có động lực chủ yếu đến từ các
bài toán hình học. Bài toán đầu tiên được cả Newton và Fermat xem xét trong quá trình đi
tìm một khái niệm tổng quát hơn là bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong 12. Vật lí có lẽ
F
1

đóng một vai trò quan trọng hơn trong giai đoạn phát triển sau này của giải tích. Những

Newton, một trong hai nhà toán học phát minh ra giải tích đã xây dựng khái niệm đạo hàm phục vụ
cho việc giải quyết các vấn đề Vật lí.
12
Xem thêm Margaret Baron(1969), Origins of the Infinitesimal Calculus, Chương 7.
11

16


vấn đề được đặt ra trong Vật lí đã tạo ra những động lực tức thời cho những ứng dụng đầy
hiệu quả của giải tích (Judith V. Grabiner, 1983), tr.198)

 Kết luận cho giai đoạn này
Đại số phát triển, rồi sự ra đời của hình học giải tích đã lôi kéo mối quan tâm và chuẩn
bị những công cụ cần thiết cho việc xuất hiện một phương pháp tổng quát giúp giải quyết
các bài toán tiếp tuyến và cực trị. Cơ sở của phương pháp mới này không được giải thích rõ
và mặc dù khái niệm đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn trong đó nhưng nó vẫn chưa được khám
phá.
Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong là động lực thúc đẩy chủ yếu mà việc giải
quyết nó giúp nảy sinh ra các ý tưởng về đạo hàm. Khái niệm tiếp tuyến trong giai đoạn này
được hiểu theo những quan niệm mới như là vị trí “tới hạn” của cát tuyến hay là đường
thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ với đường cong tại tiếp điểm. Những mầm mống này
là bước chuẩn bị cần thiết cho một giai đoạn quan trọng sắp đến…
1.1.2. Newton, Leibniz và giai đoạn phát minh ra đạo hàm (thế kỉ 17)
Lịch sử đã thừa nhận rằng Newton và Leibniz, một cách độc lập với nhau đã phát minh
ra giải tích. Nói là “phát minh ra giải tích” theo Grabiner 13 là vì họ đã làm được ba điều sau:
2F
1

Thứ nhất, họ đã nhận ra và nắm bắt được sức mạnh to lớn của những phương pháp đã tồn tại
trước đó trong quá trình tìm kiếm lời giải cho bài toán tiếp tuyến, cực trị và diện tích. Hơn
thế, tổng hợp được các phương pháp đó thành một nhóm 2 khái niệm tổng quát, mà ngày
nay ta được biết dưới tên gọi là đạo hàm và tích phân.
Thứ hai, cả hai ông đều xây dựng cho riêng mình hệ thống kí hiệu phù hợp làm cho việc sử
dụng những khái niệm mới này trở nên dễ dàng hơn. Chúng ta ngày nay vẫn còn sử dụng kí
hiệu x của Newton (chỉ đạo hàm) và các kí hiệu

df
; f ( x)dx của Leibniz.
dx ∫

Thứ ba, Newton và Leibniz đã độc lập với nhau đưa ra những lập luận để chứng minh cho

cái mà ngày nay chúng ta gọi là định lý cơ bản của giải tích: Đạo hàm và tích phân là hai
khái niệm đảo ngược lẫn nhau. Newton dùng thuật ngữ “fluxion” để chỉ đạo hàm, một thuật
ngữ ám chỉ tốc độ của dòng chảy. Leibniz thì nhìn nhận đạo hàm như là tỉ số của hai đại
lượng vô cùng nhỏ và gọi là “differential quotient”.
Nhưng dù cho những thuật ngữ nào đã được sử dụng, khái niệm đạo hàm ngày nay đã được
lồng vào một khái niệm tổng quát – phép tính vi tích phân – và mối quan hệ của nó với một
khái niệm cơ bản khác là tích phân đã được hiểu rõ.
13

Judith V. Grabiner (1983), Tr. 199.

17


(Grabiner, Department of History, 1983), tr. 199)

Cụ thể hơn thì Newton và Leibniz quan niệm về đạo hàm như thế nào?
-

Newton và tốc độ biến thiên
Đối với Newton, dù ban đầu ông cũng tiếp cận với ý tưởng mới trong các phương pháp

tìm tiếp tuyến của Fermat và đặc biệt là Barrow nhưng khái niệm đạo hàm mà ông xây dựng
nên lại dựa trên những quan niệm cơ sở đến từ vật lí. Quan niệm này được Newton đưa ra
trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn” được viết vào khoảng 1671 nhưng đến 1736
mới xuất bản. Ở đó ông xây dựng các yếu tố của giải tích trên cơ sở khái niệm chuyển động,
và đạo hàm được xem như là tốc độ biến đổi của một đại lượng theo thời gian. Cụ thể hơn:
Newton xem một đường cong được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm. Các đại
lượng (kí hiệu bởi các chữ cái x, y, z ) được xem là biến đổi theo “thời gian” 14, và tốc độ biến
F

3
1

đổi của chúng (chính là đạo hàm) được Newton gọi là “fluxion” và kí hiệu bởi những chữ cái
đó nhưng với dấu chấm trên đầu ( x , y , z ). Gọi ο là một quảng thời gian vô cùng bé, thì xο (độ
thay đổi của x trong quãng thời gian ο và chính là khái niệm “vi phân” ngày nay) được ông gọi
là “moment” của đại lượng x. (Boyer, 1959), tr. 194)

Sau đó, Newton đưa ra một phương pháp nữa để trình bày lại giải tích của mình.
Phương pháp liên quan đến “tỉ số tới hạn” (ultimate ratios) xuất hiện trong luận văn “cầu
phương đường cong” xuất bản năm 1704. Người ta xem đây là nỗ lực của Newton để làm
cho lý thuyết của ông trở nên có cơ sở hơn. Ở đó ông phát biểu rằng: “Trong toán học,
những sai số dù là rất nhỏ cũng không được bỏ qua”. Thế nên Newton đã loại bỏ đi tất cả
các dấu vết của những đại lượng vô cùng bé, và thay thế chúng bằng một thuyết mới về các
tỉ số tới hạn. Đối với tỉ số tới hạn giữa các đại lượng vô cùng bé này, ông cho rằng phải hiểu
đó là “tỉ số giữa các đại lượng, không phải trước hay sau khi chúng bị triệt tiêu, mà là cùng
với thời điểm chúng triệt tiêu”.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu xem ông đã sử dụng khái niệm này như thế nào trong việc
giải các bài toán như tìm tiếp tuyến của đường cong hoặc chứng minh định lý cơ bản của
giải tích. Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu thêm về những điểm mạnh và điểm yếu trong cách
hiểu về đạo hàm ở thời điểm ấy.

“Thời gian” ở đây không nhất thiết phải hiểu theo nghĩa đen mà có thể được thay thế bởi một đại
lượng x nào đó tăng đều đặn cùng với thời gian thực. Tức là có thể xem x = 1 .
14

18


-

Phương pháp xác định tiếp tuyến của Newton (tìm thấy trong luận văn “Cầu phương
đường cong” của ông) 15:
14F

Newton đã cải tiến phương pháp tìm tiếp tuyến của Barrow và chúng ta cũng sẽ xét một
bài toán cụ thể để minh họa phương pháp này. Hãy trở lại với bài toán tìm tiếp tuyến của
đường cong y = x 2 tại điểm P(2; 4) .
Newton xem biến x ở đây là biến “thời gian” và cho
x gia tăng một lượng vô cùng bé ο . Gọi điểm Q là điểm
có hoành độ x + ο thị tung độ của nó là (2 + ο ) 2 . Newton
xét hệ số góc của cát tuyến PQ:
∆y y2 − y1 (2 + ο ) 2 − 4 4ο + ο 2
= =
=
∆x x2 − x1
ο
ο

= 4 + ο (Rút gọn cho ο )
= 4 (Cho ο = 0 vì ο là lượng vô cùng bé)

Như vậy, Newton xem hệ số góc của tiếp tuyến như

Hình 1.5: Phương pháp xác
định tiếp tuyến của Newton

là tốc độ biến đổi tức thời của hàm số y theo x tại thời điểm x = 2 . Việc tính toán hệ số góc
tiếp tuyến đưa đến việc phải đối mặt với tỉ số của hai đại lượng vô cùng bé mà Newton gọi
chúng là “tỉ số tới hạn của các đạo hàm".

-

Chứng minh của Newton cho định lý cơ bản của giải tích 16
F
5
1

Newton xét một đường cong y = y ( x) mà diện tích của hình phẳng nằm dưới nó tính
đến điểm D( x; y ) được cho bởi hàm z = z ( x) :

Xem thêm Mathematics: A Practical Odyssey – Chương 13 The Concepts and History of Calculus,
tr.36.
16
Xem thêm Saul Stahl (2011), Real Analysis: A Historical Approach, tr. 261 – 262.
15

19


Hình 1.6: Chứng minh định lý cơ bản của Newton

Newton nói rằng, hãy cho trước một hàm z ( x) bất kì, ông sẽ thiết lập một quy trình để
2
3

3

tìm y ( x) . Để minh họa quy trình này, ông trước tiên chọn z = x 2 sau đó xét hàm tổng quát
hơn z =

m+n
n
x n . Ở đây chúng tôi chọn hàm z = x 3 cho thuận tiện.
m+n

Trong hình vẽ trên, đường bd được chọn sao cho Bb = ο , với ο ≠ 0 . Sau đó Newton xác
định đoạn BK = υ sao cho diện tích hai hình BbHK và BbdD bằng nhau. Từ đây suy ra diện
tích BbdD bằng ου .
Bây giờ khi x tăng thành x + ο , diện tích z sẽ thay đổi một lượng tương ứng là:
z ( x + ο ) − z ( x) = x 3 + 3 x 2ο + 3 xο 2 + ο 3 − x 3 = 3 x 2ο + 3 xο 2 + ο 3
⇒ 3 x 2ο + 3 xο 2 + ο 3 = ου ⇒ 3 x 2 + 3ο x + ο 2 = υ (do ο ≠ 0 )

Đến đây Newton nói rằng:
“Nếu ta giả sử rằng Bb được thu nhỏ một cách vô hạn và biến mất ( ο = 0 ). Trong trường hợp
này υ và y sẽ trở nên bằng nhau, và các số hạng nhân với ο cũng bị triệt tiêu theo”.

Như vậy chúng ta sẽ còn lại y = 3x 2
Newton đã chỉ ra điều gì? Cái mà ông đang khảo sát là

z ( x + ο ) − z ( x)

ο

chính là tốc độ

biến đổi của diện tích z và theo trên thì tốc độ này lại chính là tọa độ y. Nói cách khác,
Newton đã chỉ ra rằng hàm y ( x) chính là đạo hàm (tốc độ biến đổi) của hàm diện tích z ( x) .
Như vậy, bài toán tìm tiếp tuyến và tính diện tích hóa ra lại là hai quá trình ngược nhau. Về
điểm này Leibniz cũng đưa ra được những kết luận tương tự.
20

Leibniz và các vi phân
Leibniz công bố phát minh của mình về giải tích trong khoảng thời gian từ 1673 đến
1676. Nếu như Newton xem đạo hàm như là
tốc độ biến đổi của một đại lượng rồi dùng khái
niệm này để giải quyết bài toán tiếp tuyến, thì
Leibniz lại dựa trên ý tưởng về cái gọi là “tam
giác đặc trưng” (chính là tam giác PQR trong
hình dưới đây).
Chúng ta sẽ làm rõ phương pháp của
Leibniz. Giả sử đường cong y = f ( x) có tiếp
tuyến là đường thẳng τ tại tiếp điểm P(x;y) và
có tiếp ảnh là UV = t

Hình 1.2: Phương pháp tìm tiếp tuyến
của Leibniz

Ta có ∆PQR đồng dạng với ∆UVP
Vì vậy, ngay cả khi dy, dx là các đại lượng vô cùng nhỏ thì tỉ số của nó,

dy
vẫn là một
dx

giá trị xác định. Cụ thể thì:
dy PV y
= =
dx UV t

Dựa trên đánh giá này Leibniz đã đưa ra khái niệm “vi phân” năm 1675 và dùng nó làm
cơ sở cho lý thuyết của mình. Theo đó, ông đưa ra kí hiệu dx chỉ một đoạn thẳng xác định
tùy ý nào đó và định nghĩa dy bởi hệ thức

dy y
= , sau đó cung cấp những công thức cơ bản
dx t

để tính toán các vi phân này và dùng các vi phân để xác định tiếp tuyến. Để hiểu rõ hơn
chúng ta sẽ theo dõi lại cụ thể hơn phương pháp mà Leibniz đã thực hiện, đầu tiên là chứng
minh một trong số những công thức vi phân của ông và sau đó là sử dụng các công thức này
để xác định tiếp tuyến của đường cong.
-

Chứng minh công thức vi phân một tích của Leibniz
Leibniz nói rằng: “ d ( xy ) có thể xem như hiệu của hai tích xy liên tiếp, một cái là xy

còn cái kia là ( x + dx)( y + dy ) ”, vậy nên:
d ( xy ) =( x + dx)( y + dy ) − xy
= xdy + ydx + dx.dy

Số hạng dx.dy mà theo Leibniz thì “nhỏ không đáng kể so với các số hạng còn lại” nên
sẽ được “khử” đi. Vì vậy, ta sẽ có công thức vi phân của một tích là:
21


) xdy + ydx (*)
d ( xy
=

- Giải bài toán tìm tiếp tuyến bằng phương pháp của Leibniz
Chúng ta sẽ lại xét ví dụ đơn giản ở trên là xác định tiếp tuyến của đường cong y = x 2
tại điểm P(2;4).
Như đã đề cập ở trên thì hệ số góc của tiếp tuyến chính là tỉ số hai vi phân

dy
, sử dụng
dx

công thức (*) để tính vi phân dy , cụ thể là:
dy = d ( x 2 ) = d ( x.x) = xdx + xdx = 2 xdx ⇒

dy
= 2x
dx

Lúc này chỉ cần thay giá trị x = 2 là ta thu được hệ số góc của tiếp tuyến.
Bên cạnh những thành tựu quan trọng, chúng ta cũng cần nói thêm về những lỗ hổng
trong lý thuyết của Newton và Leibniz, đặc biệt là có những câu hỏi đến thời điểm đó vẫn
chưa trả lời được.
Chẳng hạn, với phương pháp của Leibniz thì tỉ số vi phân

dy
một cách chính xác nghĩa
dx

là gì? Leibniz và một số người theo trường phái của ông (như Johann Bernoulli) quan niệm
nó là tỉ số của hai đại lượng vô cùng bé, điều này là hợp lý theo như cách các vi phân được
tính toán 17. Tuy vậy, bản thân các vô cùng bé lại không hề tuân theo tiên đề Archimede
F

6
1

trong khi đó nó lại là cơ sở cho số học, đại số, hình học của thời kì này.
Trong định nghĩa của Newton, tuy rằng đạo hàm có thể được hiểu một cách trực giác là
tốc độ biến thiên nhưng như trên đã thấy, hầu hết các chứng minh của ông lại đều liên quan
đến “đại lượng vô cùng bé ο ”. Có lúc thì ο được xem là khác 0 (rút gọn được hai vế cho ο ),
có lúc lại xem nó bằng 0 (khử đi trong kết quả cuối cùng). Newton cũng cho rằng việc vứt
bỏ ο đi có lẽ là thiếu thuyết phục nên như đã nói ở trên ông đưa vào khái niệm “tỉ số tới hạn”
ở công trình sau đó. Trong phần chú giải cuối cùng phần I quyển I cuốn sách nổi tiếng
Principia (1687), Newton đã hợp lý hóa quan niệm về “tỉ số tới hạn” theo cách sau đây:
“Những tỷ số tới hạn này khi các đại lượng bị biến mất thì không thực sự là tỷ số của các đại
lượng tới hạn, mà là khi các đại lượng nhỏ dần một cách vô hạn thì tỉ số này luôn hội tụ về
một giới hạn nào đó. Và như vậy, chúng sẽ tiếp cận càng ngày càng gần hơn với bất kì chênh
lệch cho trước nào. Tuy vậy nó cũng không bao giờ vượt quá, cũng như sẽ không đạt đến

17

Ở trên Leibniz đã xem dx.dy là rất bé so với các số hạng khác nên được khử đi.

22


điểm tới hạn đó cho đến khi các đại lượng nhỏ dần một cách vô hạn” (Trích theo Judith V.
Grabiner, 1983), tr.195)

Giải thích này của Newton dễ gợi cho chúng ta xem đó như một định nghĩa cho khái
niệm giới hạn sau này, thậm chí trong câu trên cách diễn đạt “tỉ số tới hạn” có vẻ rất gần với
định nghĩa giới hạn ngày nay. Tuy vậy Ferraro lại cho rằng:
“dù Newton đã có một ý niệm rất rõ ràng về cái gọi là “tiến đến một giới hạn”, nhưng đây chỉ

là một quan niệm trực quan và không mang bản chất toán học nên hoàn toàn khác so với khái
niệm giới hạn ngày nay” (Giovanni Ferraro, 2010, Some mathematical aspects of Newton’s
Principia) , tr.3)

Grabiner còn lưu ý rằng:
Trong cụm từ “không bao giờ vượt quá” dường như quan niệm của Newton về “giới hạn” gần
giống như là một “biên giới” và các nhà toán học cùng thời với ông hay trích dẫn ví dụ về
đường tròn được xem như là giới hạn của các đa giác nội tiếp. Trong khi đó với khái niệm giới
hạn ngày nay thì giá trị của các đại lượng có thể dao động quanh giới hạn của nó. Thêm vào
đó việc các tỉ số này “…không bao giờ vượt quá, cũng như sẽ không đạt đến điểm tới hạn đó
cho đến khi các đại lượng nhỏ dần một cách vô hạn” dẫn đến một vấn đề gây tranh cãi là liệu
giá trị của biến có thực sự đạt đến được giới hạn của nó? (Grabiner, 1983), tr. 200)

Mặc dù còn nhiều điểm mơ hồ không rõ ràng nhưng các khái niệm về đạo hàm, vi phân
cùng với hệ thống kí hiệu tiện lợi của Leibniz và định lý cơ bản của giải tích đã đem đến
một quyền lực vô cùng mạnh mẽ. Từ đó mà các nhà toán học thế kỉ 18 đã đạt được những
thành tựu tuyệt vời khi ứng dụng chúng để giải quyết một số lượng lớn các bài toán cả trong
toán học và vật lí.
Kết luận
Thừa hưởng những phương pháp xuất hiện trước đó trong việc giải quyết bài toán tìm
tiếp tuyến và tính diện tích, tiếp thu những ý tưởng của các nhà toán học đi trước như
Fermat hay Barrow… Newton và Leibniz đã tổng hợp chúng trong hai khái niệm tổng quát
là đạo hàm và tích phân và chứng minh được “định lý cơ bản” nhờ đó chỉ ra rằng chúng là
hai khái niệm đảo ngược của nhau.
Nếu như Leibniz dựa trên khái niệm cơ sở là các vi phân để xây dựng lý thuyết của
mình thì Newton lại tiếp cận theo cái nhìn mang tính vật lí. Trong đó ông hiểu đạo hàm như
là tốc độ biến thiên của các đại lượng theo “thời gian”, quan niệm này đã thể hiện một đặc
trưng quan trọng của khái niệm đạo hàm: Nó chính là thước đo tốc độ biến thiên cho một

23