Tai lieu boi duong hinh hoc 8

BàI TậP bồi d- ỡng hsg hình học 8
I. Tứ giác, hình thang:
1. Bài tập về vị trí t- ơng đối của điểm, đ- ờng thẳng.
Bài toán 1a:
Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD.
Hai đ- ờng phân giác của hai góc A, B cắt nhau tại K. Chứng minh C, D, K thẳng hàng.
A
B

D

K

C

HD:
Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC. Dễ dàng chứng minh đ- ợc DAK
cân tại D.
Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA
BK là phân giác của góc B.
Đpcm.
TIP: Bài nµy cã thĨ c/m theo h- íng: - Gäi K là giao điểm của hai phân giác các góc A vµ
B. C/m KC + KD = DC => K thuéc DC => đpcm.
Bài toán 1b:
*Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng các đ- ờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy.
B
B
A
L

I

B'

C

I

F

F

E

E

A

D'

C'

J

A

A'

K

D

J

C

D
HD: Gọi E,F lần l- ợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung ®iĨm cđa EF ; J lµ trung ®iĨm
cđa A’C.
- Tam giác CAA có EJ là đ- ờng trung bình nên EJ//AA.
- Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung điểm I của
FE.
- Hoàn toàn t- ơng tự chứng minh đ- ợc BB, CC, DD qua I
- Các đ- ờng thẳng trên đồng quy tại I.
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau.
Bài toán 2a:
Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đ- ờng cao kẻ từ đỉnh A. M,N,P
lần l- ợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC. Chứng minh rằng tứ giác NMPH là hình
thang cân.
A
HD:

- MNHP là hình thang
- MP = AC/2 ( §- êng TB )
- HN = AC/2 ( §- êng TT )

N

M
B

H

P

C

1


đpcm
Bài toán 2b:
Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần l- ợt là trung điểm của AB và DC. Đ- ờng
thẳng AD cắt đ- ờng thẳng MN tại E. Đ- ờng thẳng BC cắt đ- ờng thẳng MN tại F. Chứng
minh AEM = BFM.
E
F
M

A

B

I
N

D

HD:

C

- Gọi I là trung điểm của BD.
- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2).
- IM // DE vµ IN //CF
đpcm.
3. Bài tập tính toán.
Bài toán 3a:
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh AB và
DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K. Tính góc
EKM theo các góc trong của tứ giác.
M
A
D
K
HD:

B

C

E

Trong tam giác MKE đ- îc MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM)
DME+DEM = 1800 - D.
KMD = (1800 - C - B)/2
KED = (1800 -A-B)/2
Thay vào ta đ- ợc: MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D)
= (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2
= (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2

Bài toán 3b:
Cho hình thang ABCD. M,N lần l- ợt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O là điểm
thuộc MN. Qua O kẻ đ- ờng thẳng song song với đáy hình thang. Đ- ờng thẳng này cắt
AB,CD lần l- ît t¹i E,F. Chøng minh r»ng OE=OF.
B
E

HD:
2

C

N
O

H

F

I

A
D
M
Chøng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ).
Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để đ- îc SEMN =SFMN


Tõ ®ã cã EH = FI ( víi EH, FI lần l- ợt là hai đ- ờng cao của hai tam giác
OE =OF

4. Bài tập về quỹ tích, dựng hình.
Bài toán 4a:
Cho tứ giác lồi ABCD. HÃy dựng đ- ờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần
có diện tích bằng nhau.
A
B
I
M

D

C

E

Phân tích:
Giả sử AM là đ- ờng thẳng cần dựng. Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE cắt BC
tại I.
Có: SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI
ð SABC = SEBC => BE// AC.
Cách dựng:
- Dựng đ- ờng chéo AC.
- Từ B dựng đ- ờng thẳng song song với AC cắt AC tại E.
- Lấy M là trung điểm của DE.
- AM là đ- ờng thẳng cần dựng.
TIP: Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác t- ơng đ- ơng ( có
diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của
tam giác. Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên.
Bài toán 4b: Cho tứ giác ABCD. I là điểm bất kỳ của AB. Qua I hÃy dựng đ- ờng thẳng chia
tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau.

B
I
A
F
J
E

C

D

Phân tích:
Giả sử đà dựng đ- ợc IJ. Sử dụng ph- ơng pháp biến đổi về tam giác t- ơng đ- ơng.Ta
có các b- ớc phân tích:
Xác định điểm F trên tia DC sao cho SIJCB = SIJF. Lóc ®ã SBIC = SFIC.Suy ra BF//IC.
Xác định điểm E trên tia CD sao cho SIJAD = SIJE. Lúc đó SAID = SEID.Suy ra AE//ID.
Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Cách dựng:
- Qua A dựng đ- ờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đ- ờng thẳng
song song với IC cắt DC tại F.
- Dựng J là trung điểm của EF. IJ là đ- ờng thẳng cần dựng.
5. Bài toán cực trị hình học.
3


Bài toán 5a:
Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC +MD
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đ- ờng chéo. M O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ

nhất.
Thật vậy, M O ta cã:
MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD.
Víi M bÊt kú trong tø gi¸c ta cã:
MA +MC ³ AC
MB + MD ³ BD
ð MA +MB +MC +MD ³ AC + BD.
ð MA +MB +MC +MD nhá nhÊt lóc M º O
D
Cách 2: Với ba điểm M; A; C ta có: MA +MC AC.
C
Dấu = xảy ra lúc Mẻ[AC]
M
O
Với ba ®iĨm M; B; D cã MB + MD ³ BD.
Dấu = xảy ra lúc M ẻ [BD]
MA + MB +MC +MD ³ AC + BD
A
B
DÊu “=” x¶y ra lúc Mẻ[AC] và Mẻ[BD]
M O ( Với O là giao điểm hai đ- ờng chéo ).
Bài toán 5b:
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi
không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AC ta cã:
C
MI = BC / 2
B
IN = AD / 2

I
ð MI + IN = ( BC +AD)/ 2
M
N
L¹i cã víi ba điểm M,I,N thì MI + IN MN
MN Ê (BC + AD) / 2 =>đpcm.
A
D
II. Hình bình hành:
1. Các bài toán về vị trí t- ơng đối:
Bài toán 1a:
Cho tam giác ABC. O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D,E,F lần l- ợt
là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần l- ợc là trung điểm của OA,OB,OC.
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy.
Giải:

A

Dựa vào tính chất của đ- ờng trung
bình chứng minh các tứ giác LFEM,
NEDL là hình bình hành.
đpcm
B

4

L

D

F

O
M

N
E

C


5


Bài toán 1b:
Chứng minh rằng: trong một tam giác ba ®- êng cao ®ång quy.
M

A

B

N

H

C
P

HD: - DƠ dµng chøng minh ba đ- ờng trung trực trong một tam giác đồng quy bằng cách

dựa vào tính chất đ- ờng trung trực của đoạn thẳng.
- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đ- ờng thẳng song song với cạnh đối diện.
Các đ- ờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP.
- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đ- ờng trung trực của
MN.
- Tam giác MNP nhận các đ- ờng cao của tam giác ABC làm các đ- ờng trung trực.
- Các đ- ờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đ- ờng cao của tam giác
ABC đồng quy.
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau:
Bài toán 2a:
Cho tứ giác ABCD. E,F lần l- ợt là trung điểm của AB, CD. M, N, P, Q lần l- ợt là
trung ®iĨm cđa AF, CE, BF, DE. Chøng minh r»ng MN = PQ .
HD :

C
B

N

E

M

P

F
Q

D
A

Chøng minh tø gi¸c MNPQ cã hai đ- ờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi
đ- ờng (Chính là trung điểm của EF).
Bài toán 2b:
Cho tứ giác ABCD.Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ; G là đỉnh
thứ t- của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t- của hình bình hành CABH.
a. Chứng minh BD // GH.
G
b. Chứng minh HD = 2EF.
D
E

I

C

J

H

F

A
B
HD:
a. BDGH là hình bình hành do BH vµ DG cïng song song vµ b»ng AC =>®pcm.
6


b. Gọi I,J lần l- ợt là trung điểm của CD và CH. Chứng minh EIJF là hình bình hành =>
đpcm.

3. Các bài tập tính toán:
Bài toán 3a:
Cho hình bình hµnh ABCD cã ADC = 750 vµ O lµ giao đIểm hai đ- ờng chéo. Từ D hạ
DE và DF lần l- ợt vuông góc với AB và BC. (E thuéc AB, F thuéc BC ). TÝnh gãc EOF.
E
A
B
O
C

D

F
Cã O là trung điểm của DB.
Từ đó có đ- ợc OE =OD=OB=OF (Quan hƯ trung tun, c¹nh hun ).
EOD = 2EBO ( Vì DEOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì DFOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên ®Ĩ ®- ỵc: EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF.
Do EBF = ADC nªn EOF = 2ADC = 2.750 = 1500.
Bài toán 3b:
Cho tam giác đều ABC. Một đ- ờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần l- ợt tại D
và E. Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc của
tam giác GIB.
A
D

G

K
E

I
B

C

HD: Qua C kẻ đ- ờng thẳng song song với AB, đ- ờng này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC.
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau.
- Từ đó có đ- ợc GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2
- Cã DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300.
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4a:
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm
E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên cạnh AB.
A
E
I
D
B

C
7


Bài toán 4b:
Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc. Dựng trên Ax điểm M và
trên Ay điểm N để:
x
a. O là trung điểm của MN.

b. OM =2ON.
M
Giải:
O
O
A
N
y
a. C1:( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
Phân tích:
Gọi O là điểm đối xứng của A qua O. Khi O là trung điểm của MN thì tứ giác
AMON là hình bình hành.
Cách dựng:
- Dựng O ®èi xøng víi A qua O.
- Dùng ®- êng th¼ng qua O song song với Ay cắt Ax tại M
- Dựng đ- ờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay tại N
C2:( Dựa vào kiến thức về đ- ờng trung bình )
Phân tích:
Khi O là trung điểm của MN thì đ- ờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt Ax tại
trung điểm của AN.
Cách dựng:
- Dựng đ- ờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O1. Trên tia Ax dựng M sao
cho O1 là trung điểm của AM.
- T- ơng tự trong cách dựng N.
(x)
b.
M

D
O

A
N

N1 (y)
HD: Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định đ- ợc D là chân đ- ờng trung tuyến xuất
phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải.
5. Các bài toán cực trị:
Bài toán 5a:
Cho tam giác ABC có AM là đ- ờng trung tuyÕn. Chøng minh r»ng:
AB + AC ³ 2AM.
Gi¶i: LÊy A1 là điểm đối xứng của A qua M ta có: A
ABA1C là hình bình hành.
BA1 = AC và AA1 = 2AM
ð AB +AC = AB + BA1.
B
C
L¹i cã: AB + BA1 > AA1
M
ð AB + AC > AA1 =2AM => ®pcm
A1
8


Bài toán 5b:
Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì lớn hơn.
A
M
B

N
I

H

C

D

Kẻ ND //MC (DẻBC) ; NI //AB (IẻBC)
Dễ dàng chứng minh đ- ỵc: MC = ND.
MN = BI =CD.
Gi¶ sư AB <AC => NI <NC => HI HI + IB < HC + CD => HB < HD
ð NB < ND => NB < MC.
Bài toán 5c:
Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con
kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đ- ờng đi từ P đến Q nhỏ nhất.
Q
N
M

P

P
HD: Dựng hình bình hành NMPP ta đ- ợc:
PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ
Do PP’ = const. §Ĩ PM + MN + NQ nhá nhất thì PN +NQ nhỏ nhất.
P,N,Q thẳng hàng.
Dễ dàng suy ra cách dựng.

II. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông:
1. Bài tập về vị trí t- ơng đối của điểm, đ- ờng thẳng.
Bài toán 1a:
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K
là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK.
B
C
I
H
A

M

K
D

HD: - Kẻ MI // AB ( I thuéc BH )
- Chøng minh ICKM lµ hình bình hành => IC//MK
- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
MK vuông góc với BM.
Bài toán 1b:
9


Cho tam giác ABC có AD là đ- ờng cao. Về phía ngoài của tam giác dựng các hình
vuông ABEF và ACGH. Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy.
I
H

F

G

A

E
C
B
D
HD: Dựng hình bình hành FAHI. Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng nhau để
đ- ợc:
IAH = BCA.
IA = BC
Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng. Hay ID là ®- êng cao cđa tam gi¸c IBC.
Tõ IA = BC cïng víi IAH = BCA chøng minh hai tam gi¸c IAC và BCG bằng nhau.
Đ- ợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đ- ợc BG vuông góc với IC
T- ơng tự chứng minh đ- ợc CE vuông góc với IB.
đpcm (Tính chất ba đ- ờng cao trong tam giác )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau.
Bài toán 2a:
Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N lần l- ợt là trung điểm của AB,AD. BN, CM cắt
nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB.
M
A
B
N

HD:
2AB.

P

I
D
C
Gọi I là giao điểm của hai đ- ờng thẳng BN và CD. Dễ dàng chứng minh đ- ợc IC =

Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên CM
vuông góc với NB.
Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm )
Bài toán 2b:
Cho hình vuông ABCD. Về phía trong của hình vuông dựng tam giác cân FAB
(FA=FB) sao cho FAB = 150. Chứng minh tam giác FDC là tam giác đều.
C
D
HD:
C1:
I
Dựng về phía ngoài của tam giác
F
tam giác đều ABF. Các tam giác FAF và
J
FBF bằng nhau từ đó chứng minh đ- ợc
A
B
tam giác FAF cân tại F (Hai góc đáy
10
F


b»ng 750 ) => FF’ = F’A = AB.

Tø gi¸c ADFF có DA song song
và bằng FF nên nó là hình bình hành.
DF = FA = AB
T- ơng tự cịng cã CF = F’B = AB
ð Tam gi¸c FDC ®Ịu
C2: Dùng I phÝa trong tam gi¸c sao cho IBC =ICB =150. CI cắt FB tại J.
Có: BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 900 -(150 +150 ) = 600. nên tam giác FBI đều.
IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ là trung trực của FB => CF = CB.
T- ¬ng tù ta cịng cã DF = DA =>đpcm.
3. Bài tập tính toán.
Bài toán 3a:
Cho hình vuông ABCD. E là điểm bất kỳ trên AB. Phân giác của góc CDE cắt BC tại
K. Chứng minh rằng CK + EA = DE
K
B
C
E
Giải:

E
D
A
HD: Trên tia đối của tia CB lÊy ®iĨm E’ sao cho CE’ = AE.
Chøng minh đ- ợc hai tam giác ADE và CDE bằng nhau để đ- ợc:
- DE = DE
(1)
- EDA = EDC
(2)
Có DK là phân giác góc EDC và (2). Chứng minh đ- ợc KDE = KDA
Lại có: KDA = EKD

Tam giác EDK cân tại E
ED = EK
DE = EK = AE + KC đpcm )
Bài toán 3b:
Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB sao cho
AE=AF. Gọi H là hình chiếu vuông gãc cđa A lªn BE. TÝnh gãc CHF
F
B
A

E

O

H

D
K C
HD: Gäi K là giao điểm của AH với DC. O là giao điểm của BK và FC.
- Chứng minh đ- ợc FBCK là hình chữ nhật.
- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2
- Tam gi¸c FHC cã trung tun HO b»ng nưa FC nên nó vuông tại H. Hay góc FHC = 900.
Bài tập về quỹ tích, dựng hình.
Bài tập 4a:
Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và điểm
N thuộc cạnh BC.
E B
A
M
N

D F

N

O

M
C

11


HD:
Phân tích: Giả sử hình đà dựng đ- ợc ta có:
- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M).
- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N).
- Đ- ờng thẳng qua O vuông góc với MM cắt AB ở E và DC ở F. Dễ dàng chứng
minh đ- ợc OE =OF =OM
Cách dựng:
- Dựng M’ ®èi xøng víi M qua O.
- Dùng N’ ®èi xứng với N qua O.
- Dựng đ- ờng thẳng d vuông góc với MM. Trên d lấy E,F sao cho OE=OF= OM.
- Dựng các đ- ờng thẳng MN, NM
- Qua E dựng đ- ờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại A và NM tại B
- Qua F dựng đ- ờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại D, và NM tại C
- ABCD là hình vuông cần dựng.
.......
TIP: Thay đổi việc cho các điểm M, N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này.
Bài toán 4b:
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó.Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH. Các hình vuông này có tâm lần l- ợt là O1,O2.
Tìm quỹ tích trung điểm I của O1O2 khi C chạy trên AB.
HD:

E

D

Hạ O1M,IJ,O2N vuông
G
góc với AB
I H
O1
O1MNO2 là hình thang có IJ là đ- ờng
O2
trung bình nên IJ = (O1M +O2N)/2
= (AC + CB)/ 4 =const
A
M
J C N B
I di chuyển trên phần đ- ờng
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
Bài toán cực trị hình học.
Bài toán 5a:
Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên
bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
B
N
C

Gọi E,F,G lần l- ợt là trung điểm của
MN; NQ; PQ ta cã:
MN = 2BE.
E
F
NP = 2GF.
G P
QM = 2EF
M
QP = 2GD
A
Q
D
ð MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD
Dấu = xảy ra lúc E,F,G ẻ BD.
E ẻ BD => MN//AC => DMBN vuông cân tại B
12


(1)
Gẻ BD => PQ//AC => DPDQ vuông cân tại D
Từ (1) và Fẻ BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất.
Bài toán 5b:
Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC. D, E lần l- ợt là hình chiếu
vuông góc của M lên AB, AC. Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất.
A

Giải:
Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

DE = AM.


D

E

B
M
C
a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC.
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC th× M º B
NÕu AC >AB th× M º C
Nếu AB =AC thì M B hoặc M C.
Bài toán 5c:
Cho hình vuông ABCD; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB. Đ- ờng vuông góc với CM
tại C cắt đ- ờng thẳng AB tại K. Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị nhỏ nhất.
Giải: Gọi I là trung điểm của MK
A
MK = 2CI
(quan hệ trung tuyến cạnh huyền )

M

B

I

K

D
C
Để MK nhỏ nhất => CI nhá nhÊt => I º B. Lóc ®ã CI vừa là trung tuyến vừa là đ- ờng
cao => MCK vuông cân.
MCB = 450 => M A.
Bài toán 5d:
Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB. Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG.
Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất.
G
F
Giải:

Đặt AC = x => CB = a-x.
SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2
= 2(x -a/2)2 + a2/2 ³ a2/2
DÊu “=” x¶y ra lúc x =a/2.
C là trung điểm của AB

E
A

D
C

B

6. Các bài toán tổng hợp
Bài toán 1b:
Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABGH, ACEF

và BCIJ. Gọi O1,O2, O3 lần l- ợt là tâm các hình vuông. M là trung điểm của BC, D là trung
điểm của HF.
a. Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân.
13


b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông.
c. Chứng minh HF = 2AM.
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vu«ng gãc víi HF
e. Chøng minh O1O2 = AO3.

P

F

D
H

Q
A
O1

K

G
B

O2
E
C

NM
O3

J

A’

I
HD:
a. Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau ®Ĩ ®- ỵc:
- HC = BF
-AHC = ABF cïng víi AH vuông góc với AB đ- ợc HC vuông góc với BF.
O1M và O2M lần l- ợt là hai đ- ờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên: - O1M
song song và bằng nửa HC; O2M song song và bằng nửa BF
Kết hợp các kết luận trên để đ- ợc điều cần chứng minh.
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông.
T- ơng tự ta chứng minh đ- ợc O1DO2 là tam giác vuông cân tại D từ đó suy ra đpcm.
c. Gọi A là điểm đối xứng của A qua M.Ta chứng minh đ- ợc BA song song và bằng AC
=> BA vuông góc và bằng AF.
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF vµ ABA’ b»ng nhau => HF
= AA’ = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đ- ờng cao tõ AN cđa tam gi¸c ABC.
-Chøng minh hai tam gi¸c HQA vµ ANB b»ng nhau => HQ=AN
-Chøng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN
HQ = FP
Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D của HF.
Với tam giác AHF ta có điều ng- ợc lại AM vuông góc với HF.
e. Gọi K là trung điểm của AC ta có:
KA = O2K

O1K = O3K
O1KO2 = AKO3
ð Hai tam gi¸c O1KO3, O3KA bằng nhau
Đpcm
III. Đối xứng trục và đối xứng tâm:
1. Bài tập về vị trí t- ơng đối của điểm, đ- ờng thẳng.
Bài toán 1a:
14


Cho tam giác nhọn ABC có AH là đ- ờng cao. Gọi E,F lần l- ợt là điểm đối xứng của
H qua các cạnh AB,AC. Gọi M,N lần l- ợt là giao điểm của EF với AB,AC. Chứng minh
F
rằng MC ^ AB và NB ^ AC.
A
Giải:
N
M
Tam giác MNH có AM,AN là phân giác
ngoài của hai góc M,N nên AH là
E
phân giác của góc MNH
B
H
Do CH ^ AH nên CH là phân giác
C
ngoài của góc MNH.
Tam giác MNH có CN,CH là phân giác
ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN.
CM ^ MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ).Hay CM ^ AB.

T- ơng tự chứng minh đ- ợc NB ^ AC
Bài toán 1b:
Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ. Gọi M,N,Q lần l- ợt là trung điểm của
AB,AC,BC. Gọi A,B,C lần l- ợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M. Chứng minh
A
AA,BB,CC đồng quy.
Giải:
C
B

P
B

C

Chứng minh ABAB là hình bình hành:
A
Các đoạn thẳng AB và BA cùng song song và bằng PC.
T- ơng tự chứng minh đ- ợc CACA là hình bình hành
đpcm
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau.
Bài toán 2a :
Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác. M là điểm thuộc miền trong của góc. M 1,
M2 lần l- ợt là điểm ®èi xøng cđa M qua Ox vµ Oy.
a. Chøng minh O thc ®- êng trung trùc cđa M1M2.
b. Gäi Oz là tia thuộc đ- ờng trung trực M1,M2. Chứng minh rằng MOx nhận Ot làm phân giác.
Giải:
x
a.
M1O = MO

M1
M2O =MO
M1O = M2O
M
t
ð O thc ®- êng trung trùc cđa đoạn
thẳng M1M2
b. Có zOM2 = zOM1 = xOy
z
O
zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy
ð zOy + zOy + xOM = xOy
y
ð zOy = Mox
ð MOt = tOz ( Do xOt = tOy )
Ot là tia phân giác của góc MOz.
4. Bài tập về quỹ tích, dựng hình.
M2
Bài toán 4a:
15


Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con
kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đ- ờng đi từ P đến N bằng đoạn đ- ờng
Q
từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q).d
M
P

N

P
HD:
PT: - Giả sử dựng đ- ợc P. Gọi P là đỉnh thứ t- của hình bình hành PNMP. Lúc đó PN =
PM => PM=MQ => M thuéc trung trùc cña P’Q.
CD: - Dùng P’ sao cho PP vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP bằng chiều rộng
của bờ kênh.
- Dựng trung trực (d) của PQ. d cắt bờ kênh phía Q tại M. Từ đó dựng N.
Bài toán 4b:
Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC và biết ba trung điểm E,F,G của DA,AB, BC.
(d1)
(d2)
F
B
A
E
HD:

D

G
C

A nằm trên đ- ờng trung trực của EF.B nằm trên đ- ờng trung trực của FG. Cần xác
định AB lần l- ợt trên hai đ- ờng này để AB nhận F làm trung điểm. Bài toán đ- ợc quy về bài
toán 3a.
Bài toán 4c:
Cho tam giác ABC, P là điểm nằm trong tam giác. Dựng M trên AB, N trên AC để
tam giác MPN cân tại P và MN // BC.
A

HD: Giả sử hình dựng đ- ợc, lúc đó
M
N
M đối xứng với N qua trục là đ- ờng
thẳng (d) qua P vuông góc với MN.
Do MN//BC nên (d) vuông góc
với BC.
P
Đ- ờng thẳng đối xứng với đ- ờng
B
C
thẳng AB qua trục (d) cắt đ- ờng
thẳng AC tại N.
Nên có cách dựng:
- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC.
- Dựng đ- ờng thẳng đối xứng với đ- ờng thẳng AB qua trục (d), đ- ờng thẳng này cát đ- ờng
thẳng AC tại N.
- Dựng M đối xứng với N qua (d)
- Tam giác PMN là tam giác cần dựng.
5. Bài toán cực trị hình học.
Bài toán 5a: (Bài toán con chim )
16


Trong mặt phẳng P cho đ- ờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt phẳng
bờ. Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a. Tr- ờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng:
B
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua trôc (d)

A
MA +MB = MA1 + MB ³ A1B.
Dấu = xảy ra lúc Mẻ[A1B].
(d)
M là giao điểm của A1B và d.
M
TIP: Thay đổi vị trí t- ơng đối của A,B so với d
A1
ta đ- ợc một số bài toán khác cần giải quyết
Bài toán 5b:
Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d. Tìm trên d hai điểm M,N
sao cho:
- MN = l cho tr- íc.
- Tø gi¸c BNMA cã chu vi nhỏ nhất.
B
B
A
d
M

N

A
Bài toán 5c:
Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc. Xác định trên Ox điểm
A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
M1
Gọi M1, M2 lần l- ợt là hình chiếu
của M qua trục Ox; Oy.

A
M
MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 £ M1M2
DÊu “=” x·y ra khi A,B ẻ M1M2.
O
A là giao điểm của M1M2 với Ox.
B
B là giao điểm của M1M2 với Oy
M2
TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M: M chạy trên một đoạn thẳng;
chạy trên một đ- êng trßn n»m trong gãc xOy ;Tỉng OA + OB không đổi; Thay đổi góc
xOy; Thay đổi đại l- ợng cần tính cực trị.... chúng ta sẽ đ- ợc hàng loạt các bài toán khác.
Bài toán 5d:
Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó. Tìm các điểm C,D
lần l- ợc thuộc Ox và Oy sao cho đ- ờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ nhất.
Giải:
Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B1 ®èi xøng víi B qua Oy. Do AB cè ®Þnh nên đ- ờng
gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lóc AC + CD + DB nhá nhÊt.
Cã AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 ³ A1A2.
DÊu ”=” x¶y ra lúc C,D ẻ[A1B1].
C là giao điểm của A1B1 với Ox và D là giao điểm của A1B1 với Oy
B1

17


D
O

B

A

C
A1
Bài toán 5e:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm thuộc cạnh BC. I,J lần l- ợt là hình
chiếu của M xuống hai cạnh AB, AC.M1, M2 lần l- ợt là điểm đối xứng của M qua AB,AC.
E,F lần l- ợt là giao điểm của M1M2 với AB,AC. Xác định M
a. Để IJ nhỏ nhất; lớn nhất.
b. Để tam giác MEF có chu vi nhỏ nhất.
A
M2
Giải:
F
M1
E
J
I
B
M
C
a.

2IJ = M1M2.
AM1 =AM=AM2.
M1AM2 =2BAC = CONST.
IJ min (max) <=> M1M2 min (max)
<=> AM1 min (max) <=> AM min (max).
AM nhá nhÊt khi AM ^ BC.
AM lín nhÊt khi AM = Max(AB,AC )

b. Chu vi tam gi¸c MEF = MF + ME +EF = M1M2.
Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đ- ờng cao từ A xuống BC.
theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đ- ờng cao còn lại
V. Định lý Thalet
1. Bài tập về vị trí t- ơng đối của điểm, đ- ờng thẳng.
Bài toán 1a:
Cho tứ giác lồi ABCD. Kẻ hai đ- ờng thẳng song song với AC. Đ- ờng thẳng thứ nhất
cắt các cạnh BA,BC lần l- ợt tại G và H. Đ- ờng thẳng thứ hai lần l- ợt cắt các cạnh DA,DC
lần l- ợt tại E và F.Chứng minh rằng GE,HF,BD đồng quy.
I
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
D
M,N lần l- ợt là giao điểm cđa GH vµ EF
E
víi BD.
F
N
Ta cã: = EN FN ( Do EF// AC ) A
AO OC
O
EN = OA
G
ð
FN
OC
M
C
H
T- ¬ng tù ta còng cã:

B
GM = OA
GH OC
EN
ð
= GM
FN
HM
18


Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo
Bài toán 1b: ( Tổng quát bài toán 1a/ II)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đ- êng vu«ng gãc tõ A xuèng BD. M,N theo
BM = CN
thứ tự là các điểm BH và CD sao cho:
CD
Chứng minh r»ng AM vu«ng gãc víi MN. BH
A

D

HD: - Chøng minh hai tam giác vuông
N
M H
ABH và ACD đồng dạng.
BM = CN
-Sử dụng gt:
CD
BH

B
C
để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đ- ợc:
AM = AN
AC
AB
Và BAM = CAN => MAN = BAC.
ð Hai tam gi¸c MAN và BAC đồng dạng
AMN = ABC = 900 ( đpcm )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau.
Bài toán 2a:
Cho hình thang ABCD (AB // CD ). Hai đ- ờng chéo AC và BD cắt nhau tại I. Qua I
kẻ đ- ờng thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F.
a. Chứng minh:
1
1
1
=
+
IF
AB CD
b. Chứng minh I là trung điểm của EF.
Giải:
Có:

A

IF
FC
=

AB
BC
BF
IF
=
BC
CD

E

B
I

D
Cộng hai đẳng thức trên ta đ- ợc:
IF
IF
BF + FC
+
=1
=
CD
AB
BC
Đpcm.

F
C

1 = 1

1
+
IE
AB
CD

b. Hoàn toàn t- ơng tự ta cũng có:

IF = EF
Đpcm.
Bài toán 2b:
Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ). Gọi M,N là trung điểm của BC và AD. Trên
tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ. PN cắt BD tại Q. Chứng minh MN là tia phân giác của
góc PMQ.
HD:

P
N

19


A

K

I

D

Q

P
B
M
C
Gọi I,K,P lần l- ợt là giao điểm của AD víi PM, AD víi MQ, PQ víi BC.
- DƠ dµng chứng minh đ- ợc MN vuông góc với AD.
- Có: IN/MP = IA/BM = AN/BP
NK/MP = KD/BM = ND/BP
Do AN =ND nên đ- ợc: IN/MP = NK/MP => IN=NK
Tam giác IMK có MN vừa là trung tuyến vừa là đ- ờng cao nên nó là phân giác (
đpcm )
3. Bài tập tính toán.
Bài toán 3a:
Cho hình thang ABCD (AB//CD ).I là giao điểm của AC với BD. Gọi S1, S2 lần l- ợt là
diện tích các tam giác IAB và IAD. Tính diện tích hình thang theo S1, S2.
Giải:
SIBC = S2.
A
B
Gọi S3 là diện tích tam giác
S
1
IDC. Ta có:
S2
S3
ID2
I
=

S1
IB2
S3
S2
ID
=
D
C
S1
IB
2
S3 = S2
ð .
S1
S12
2
ð . S3 = S2
S1
2
ð . SABCD = S1 + 2S2 + S2
S1

= (S1+S2)
S1

2

Bài toán 3b:
Cho tam giác ABC cã ¢ = 2 B. Cho AB = c, AC =b. Tính BC2 theo b,c.
A

B

I

Gọi AI là phân giác của tam gi¸c. Ta cã:
IC/IB = AC/AB
ð IC = IB. AC/AB (1)
Lại có hai tam giác ABC và IAC đồng dạng nªn:
IC/AC = AC/BC
ð IC = AC2/BC (2)
20

C


Từ (1) và (2) ta đ- ợc IB = AC.AB/BC
Có BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC
ð BC2 = AC( AC + AB )
ð BC2 = b(b+c )
4. Bài tập về quỹ tích, dựng hình.
Bài toán 4b:
Cho tam giác ABC. I là điểm nằm trong tam giác. M là điểm thay đổi trên cạnh BC.
Các đ- ờng thẳng qua M song song với BI và CI theo thứ tự cắt AC và AB tại N và P. Dựng
hình bình hành MNQP. Tìm tập hợp điểm Q.
Giải: Gọi K là giao điểm CI với AB ; H là giao điểm của BI và AC.
Qua N kẻ đ- ờng thẳng song
song với KC cắt KH tại Q. Qua P
kẻ đ- ờng thẳng song song với HB
cắt KH tại Q.

QH
NM MB
Ta cã:
A
=
=
NC MC
QK
Q’H = PB MB
I
H
=
Q
MC
Q’K PK
K
N
QH = Q’H
ð .
.
Q’K
QK
P
ð Q Q
B
M
C
Theo cách vẽ và kết quả trên ta đ- ợc QMNP là hình bình hành.
Q ẻ KH.Hay tập hợp các điểm Q là đoạn KH.
Đảo: T- ơng tự phần thuận với điểm xuất phát là Q ẻ KH. Chứng minh M thuộc BC.

Bài toán 4b:
Cho góc xOy và một đ- ờng thẳng d bất kỳ cắt hai cạnh của góc. Tìm đoạn thẳng AB
(A ẻ Oy; Bẻ Ox ) sao cho AB vuông góc với d và có trung điểm I nằm trên d.
Giải:
(d)
A
Giả sử đà dựng đ- ợc AB.
F
Gọi E là giao điểm của d với Ox
Từ E kẻ đ- ờng thẳng song song
M
M
với AB cắt OI tại M, cắt Oy tại F
I
Ta có:
EF vuông góc với d.
E
ME = MF.
B
Cách dựng:
Qua E dựng d vuông góc với d cắt Oy tại F.
Dựng trung điểm M của EF.
Dựng I là giao điểm của OM với d.
Qua I dựng đ- ờng thẳng vuông góc với d cắt Ox tại B và cắt Oy tại A.
AB là đoạn thẳng cần dựng.
5. Bài toán cực trị hình học.
Bài toán 5a:
Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong của góc. HÃy dựng qua M một cát
tuyến cắt hai cạnh của góc xOy tại A và B sao cho
1 + 1

.
MA
MB

đạt giá trị lớn nhất
21


Giải:

N
Vẽ: MN // Oy
ON // AB
MN cắt Ox tại P. Kẻ PQ //AB (Q ẻOM)
1
1
1
1
1
O
+
+
=
=
ON PQ
MA
MB MA
1
1
Để MA + MB. lớn nhất thì PQ nhỏ nhất.

A
P
M

Q

B

Do OM, P cố định nên PQ nhỏ nhất khi PQ ^ OM .
Lúc đó AB ^ OM
Bài toán 5b:
Cho góc nhọn xOy. M là điểm thuộc miền trong của góc. Đ- ờng thẳng d quay xung
quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A,B. Tìm vị trí của d sao cho OA+OB đạt giá trị nhỏ
nhất.
A
X
O
HD:

OA + OB = OX +OY + XA + YB
Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhá nhÊt khi XA + YB nhá nhÊt.
L¹i cã: hai tam giác AXM và YMB đồng dạng nên:
XA = XM
.
YM
YB

M
Y

B

XA.YB = YM.XM = const
ð XA + YB nhá nhÊt khi XA = YB
hai tam giác AXM và YMB bằng nhau
M là trung điểm của AB. Dựng A, B nh- bài 4b/II
6. Bài toán tổng hợp.
Bài toán 6a:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. M là điểm bất kỳ trong tam giác. Gọi A1, B1,
C1 lần l- ợt là giao điểm của AM với BC; BM với AC; CM với AB. Đ- ờng thẳng GM cắt
AB,AC,BC lần l- ợt ở C2, B2, A2.
a. Chứng minh : MA1 +
AA1
MA1
+
b. Chøng minh:
GA1
1 +
c. Chøng minh:
GA2
Gi¶i:

MB1 MC1 =1
+
BB1 CC1
MB1 MC1
=3
+
GB1 GC1
1

1
=
GB2 GC2

A

C2
G
B

a. MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC.
T- ¬ng tù cã MB1/BB1 = SMAC/SABC
22

D

M
M1 A1

B2
C

A2


MC1/CC1 = SMAB/SABC.
Cộng các đẳng thức trên ta đ- ợc:
MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = 1 (®pcm )
b. Qua G kẻ đ- ờng thẳng song song với AA1 cắt BC tại M2. Có
GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2.

MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1.
T- ¬ng tù ta cịng có MB2/GB2 = 3MB1/BB1.
MC2/GC2 = 3MC1/CC1
Cộng các đẳng thức trên ta đ- ợc:
MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = 3
( Theo câu a )
A
c. Qua G kẻ các đ- ờng thẳng
song song với BC,AC. Các đ- ờng thẳng
G2
này cắt AB lần l- ợt ở G1,G2.
Dễ dàng có AG2 = G1B = AB/3
C2
G
AG2 =G2G1 = G1B = AB/3
B2
G1
GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB
A2
C
B
GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB
Cộng hai đẳng thức trên ta đ- ợc:
GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = 3 G1G2/AB = 1
Chia hai vÕ cho GC2 ta đ- ợc:
1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2. ( đpcm)
Bài toán 6b:
Cho tam giác ABC. I là một điểm trong tam giác. IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA,
AB tại M, N, P. NP cắt BC tại R
a. Chứng minh: IA = NA + PA

IM
NC PB
b. Chøng minh r»ng:
c. Chøng minh r»ng:
d. Chøng minh r»ng:

MB
NC PA
.
.
MC
NA PB
RB . NC PA
.
NA PB
RC
MB = RB
RC
MC

Giải:

=1 ( Định lý Cê va )
=1 ( Định lý Mê nê lauyut )
.

A
E

F

P
Q

Qua A kẻ đ- ởng thẳng song song
với BC cắt BN tại E và cắt CP t¹i F.
NA = AE
Cã :
BC
NC

ð .

PA = AF
BC
PB
AE + AF
NA
PA
+
=
=
BC
BC
BC
NC
MB = AE
AF
MC

NC = BC

AF
NA

R

N
I

B

M

C

EF = IA
BC
IM
PA = AE
PB
BC

23


b. Có:

;

;

Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta đ- ợc:
=

= 1.

c. Kẻ BQ//AC (Q thuộc RN )
Có:

RB
BQ ; PA
AN ; NC
NA
=
=
=
CN PB
BQ
NA
RC
NA

Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta đ- ợc:
RB . PA
NC = BQ . AN NC
.
.
PB
BQ NA
RC
NA CN

= 1.

d. Tõ b vµ c dễ dàng suy ra đpcm.
VI. hệ thức l-ợng trong tam giác - định lý pitago.
1. Hệ thức l- ợng trong tam giác th- ờng
Bài toán 1a:
Chứng minh rằng trong một tam giác bình ph- ơng cạnh đối diện góc nhọn bằng tổng
bình ph- ơng hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của
cạnh còn lại trên nó.
Chứng minh:
Giả sử A là góc nhọn. Gọi AH là hình
chiếu của cạnh AC trên cạnh AB.
Cần chứng minh:
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH
- Tam giác vuông CHB có:
BC2 = CH2 + HB2 (1)
- Tam giác vuông CHA có:
CH2 = AC2 - HA2
(2)
- Do góc A nhọn nên H nằm giữa AB, có:
HB = AB-HA
2
ð HB = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3)
Thay (2) và (3) vào (1) đ- ợc đpcm

A
H

B

C

Bài toán 1b:
Chứng minh rằng trong một tam giác bình ph- ơng cạnh đối diện góc tù bằng tổng
bình ph- ơng hai cạnh kia cộng đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của
cạnh còn lại trên nó.
Chứng minh:
Hoàn toàn giống bài toán 1a với chú ý:
H
Do góc A tù nên A nằm giữa BH
Có
A
HB = AB + HA
HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA
B
C
Bài toán 1c (Định lý về đ- ờng trung tuyến ):
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, AH là đ- ờng cao. Chøng minh hÖ thøc:
AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2
24


A
Chứng minh:
Giả sử:
AMB < 900 => AMC > 900.
Tam giác MAB cã:
AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH
(1)

Tam gi¸c MAC cã:
B
H M
C
AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2)
Céng (1) vµ (2) với chú ý MB =MC =BC/2 ta đ- ợc đpcm.
2. Bài tập chứng minh đồng quy, vuông góc:
Bài toán 2a:
a. Chứng minh rằng tổng các bình ph- ơng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong mặt
phẳng đến hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật bằng nhau.
b. Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ng- ời ta dựng các hình chữ nhật ABB1A1
; BCC1B2; CAA2C2. Chứng minh rằng các đ- ờng trung trực của các đoạn A1A2; B1B2;
P
C1C2 đồng quy.
Chứng minh:
A
B
a. Cần chứng minh hệ thøc:
PA2 + PC2 = PB2 + PD2.
Gäi O lµ giao điểm AC và BD, có:
O
PO là trung tuyến của các tam gi¸c PAC, PDB.
C
D
- Tam gi¸c PDB cã:
PD2 + PB2 = 2OP2 + BD2/2
B2
- Tam gi¸c PAC cã:
PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2
B1

2
2
2
2
B
- Do AC = BD nªn PA + PC = PB + PD .
C1
b. Chøng minh:
Gäi P là giao điểm hai trung trực
của các đoạn B1B2 và A1A2.
PB2= PB1 ; PA1 = PA2.

P

A1

C

A

A2
C2
- Xét điểm P và hình chữ nhật BCC1B2 có:
2
2
2
2
2
2
2

PC1 = PC + PB2 -PB = PC + PB1 -PB
(1)
- Xét điểm P và hình ch÷ nhËt ACC2A2 cã:
PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2)
Trừ (1) cho (2) đ- ợc:
PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = 0 ( Do quan hƯ ®iĨm P víi HCN ABB1A1 )
ð PC1 = PC2 => P thuéc trung trùc của C1C2 => đpcm
3.Bài tập tính toán:
Bài toán 3a:
Cho hình vuông có cạnh a. Qua tâm hình vuông vẽ một đ- ờng thẳng (d) tuỳ ý. Chứng minh
rằng tổng các bình ph- ơng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đ- ờng thẳng (d)
không đổi.
B
A
A1

D1

D

C1
O

B1

C

25