Tìm m để hàm số có 3 cực trị, tổng hợp bài tập chọn lọc - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.26 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM

CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho
trước)

 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Quy tắc 1:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x'( ). Tìm các điểm tại đó f x'( )bằng 0 hoặc f x'( ) không xác định.
- Lập bảng biến thiên

- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x'( ). Giải phương trình f x '( ) 0và ký hiệu x i



i 1, 2,3,...



là các nghiệm của 
nó.

- Tính f

 

x và f

 

xi

- Dựa vào đấu của f

 

xi suy ra tính chất cực trị của điểm

x

i .

LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y3x2 2x3

b)

2 3 6

x x

y

x
  



e) y x2 2x5

c)

2 3

2 2

x

y x 

d) y x x 2 4
f) y x  2x x 2
Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f x

 

x x



2



c)

f x

 

 

x

sin 2

x



2

b)

f x

 



2sin 2

x



3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

GIẢI
a) TXĐ: D=R

 









.. ..
.

2 0

2 . .. 0

x x voi x
f x

x x voi x

  




  




 Với x 0: f x

 

2x 2 0 (vì x 0)

 Với x 0: f x

 

2x 2, f x

 

 0 x1

Bảng biến thiên: x 0, f x 0

x   -1 0 

y

+ 0 - +

y 1 0

Kết luận:

o Hàm số đạt cực đại tại x 1, fCD f



1



1

o Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, fCT f

 

0 0

b) TXĐ: D=R

 

4cos 2

f x  x, f x

 

0 cos 2x 0 2x 2 k x 4 k 2

  



         

, k  

 

8sin 2

f x  x

Tính:

8 2

8sin

8 2 1

4 2 2

.. ..

voi k n

f k k

voi k n

  

  

   

       

 

     ,

n  

Kết luận:

 HS đạt cực đại tại 4

x n

, fCD f 4 n 1




 

    

 

 HS đạt cực tiểu tại





2 1

4 2

x  n 

2sin 2 3 2 3 5
2

CD

f     n   

 

c) TXĐ: D = R

 

1 2cos 2

f x   x,

 

0 cos 2 cos

2 3 6

f x   x    x  k

, k  

 

4sin 2

f x  x

Tính: f 6 k 4sin 3 k2 2 3 0

 

   

      

    x 6 k




  

là điểm cực tiểu

4sin 2 2 3 0

6 3

f   k   k  

    x 6 k




  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ Hàm số đạt cực đại tại x 6 k




 

6 6 2

CD

f f   k  k  

 

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x 6 k




 

3
2

6 6 2

CT

f f  k k 

 

d) TXĐ: D=R

 

2sin 2sin 2 2sin 4sin cos 2sin 1 2cos





f x  x x x x x  x  x

 

0 sin 0 1 2 2

1 2cos 0 cos cos 2

2 3 3

x k x k

x
f x

x x x k

 



 

 



  

     

 

     



 

 

2cos 4cos 2

f x  x x
Xét:

+ f k







2cosk



4cos 2k



2cosk



 4 0
 HS đat cực tiểu tại các điểm x k



,





3 2 cos cos 2 2 2cos

CT

f f k   k  k    k

2 2 4 1 1

2 2cos 4cos 2 4 3 0

3 3 3 2 2

f   k           

     

 HS đat cực đại tại các điểm

2
3

x  k 

2 2 4 9

2 3 2cos cos

3 3 3 2

CD

f f   k       

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Lưu ý:

1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f x ax3bx2cx d ta làm như sau:

 

f x x

Ax B

f x f x

 

  

   f x

  

 Ax B f x





 

x (*)

Gọi

x

i là nghiệm của pt f x

 

0 (

x

i là các điểm cực trị)

  



 

i i i

f x Ax B f x x 





   

  

 

i i

f x x 

  

Trong đó x là phần dư của phép chia

 

f x
f x

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y 



x



( Vì toạ độ của điểm cực trị M x y



;



thoả pt f x

 

0, nên từ (*) ta suy ra

y 



x



)

2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

 

2 u x

ax bx c
y

a x b v x

 

 

   ,

   

 

u x v x u x v x
y

v x

  

 

 

 

   

0 0

y  u x v x  u x v x 

(1)

Gọi

x

i là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:

   

i i

   

i i 0

u x v x  u x v x 

 

i i

u x u x

v x v x



 



Các giá trị cực trị là:

 

i i i

i

i i

u x u x ax b
y x

v x v x a

 

  

 

Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

2ax b

y

a




</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 1: Cho hàm số: y



m 2



x3 mx 2

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số khơng có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm:





3 2

y  m x  m

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép



 0



0 4.3 m m



 2



0



0m2

Bài 2: Cho hàm số:





3 2 2

1 1
3

y x  mx  m  m x

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1
GIẢI
TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 2mx m 2 m1
y 2x 2m

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1

 

1 0

y
y



 


 

 







2 3 2 0

2 2 0

m m

m

   


 





1 2
1

m m

m

  






Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại

x 

1

Bài 3: Cho hàm số y x 3  3x2  3x2
a) Tìm cực trị của hàm số.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

GIẢI
a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 6x 3

Cho

2 1 2

0 2 1 0

1 2

x

y x x

x

  
       

 


Chia f x

 

cho f x

 

, ta được:

 



3 2 3 3



1 1 4 1

3 3

f x  x  x  x  x
 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>









1 2 3 4 2

f

   


 

  




Lập bảng biến thiên  CĐ, CT.

b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y4x1

Bài 4: Cho hàm số





3 6 2 3 2 6

y x  x  m x m 

Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị.

b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.

GIẢI
a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y 3x2 12x3



m2



Cho y  0 x2 4x m  2 0 (*)





4 m 2 2 m



     

Để hàm số có 2 cực trị thì:    0 2 m 0 m2

b) Chia f x

 

cho f x

 

, ta được:

 

3 2 12 3





1 2 4 2 2

3 3

f x  x  x m  x  x mx m 
 

 giá trị cực trị là:

 

0 4 0 2 0 2 2 0







2 2

 

0 1



f x  x  mx m  x m m  m x 

Gọi

x

1,

x

2là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu  f x

   

1 .f x2 0



m 2 2

 

x1 1

 

m 2 2

 

x2 1



     



m 2

 

2 2x1 1 2

 

x2 1



    



m 2

 

2 4x x1 2 2x1 2x2 1



     



m 2





4x x1 2 2



x1 x2



     

(1)

Mặt khác: 1 2

12
4
3

x x  

, x x1. 2  m 2

Do đó (1)









2 4 2 2.4 1 0

m  m 

       



 



2 4 17 0

m m

   

4
2

m


 

 

 


</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Kết hợp với điều kiện có cực trị

m 

2

, ta được:

4 m

  

Bài 5: Cho hàm số:









3 2

1 1

1 3 2

3 3

y mx  m x  m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x12x2 1

GIẢI
TXĐ: D =

Đạo hàm: y mx2  2



m1



x3



m 2



Hàm số có 2 cực trị









1 3 2 0

m

m m m




 


     


2
0

2 4 1 0

m
m m


 
   
 
0
6 6
1 1
2 2
m
m



 
   

 (*)

Gọi

x

1,

x

2 là 2 nghiệm của phương trình y 0 thì:

 





 





 

1 2
1 2
1 2

2 1 1
2 1
2
3 2
. 3
x x
m
x x
m
m
x x
m

 




 



 



 Từ (1) và (2) 1

4
3

x

m

  

, 2

2
1

x

m

 

Thay vào (3)





3 2

2 4

1 3 m

m m m


   

       
   

3m 5m 4 0
    
2
2
3
m m
   

(Nhận so với điều kiện)

Vậy:

2
2

m  m

Bài 6: Cho hàm số:

3 2

x x

y  mx

(ĐH Y - Dược)

Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hồnh độ lớn hơn m.
GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 x m

Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hồnh độ

x m



0 y

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 

y m

s m


 



  


 



1 4 0
2 0
1

m

m m

m



 




   


 



1
4

2 0
1

m

m m

m






     


  

  m 2

Vậy



m

 

2

Bài 7: Cho hàm số: yf x

 

2x33



m1



x26



m 2



x 1 (1)

Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu
song song với đường thẳng

y



3 x



4

GIẢI
TXĐ: D =

Đạo hàm: y 6x26



m1



x6



m 2



Cho

y  

0

x2 



m 1



x



m 2



0

Hàm số (1) có cực trị









1 4 2 0

m m

       



m 3



2 0 m3

Lấy (1) chia cho

 

6 f x ta được:





  



2 2

2 1 3 3 3

y x m  f x  m x m  m

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:





2 2 3 3

y m x m  m (d)

Để (d) song song với đường thẳng

y



3 x



4

thì:



m 3



2 3

  



m



3 

3 

m

 

3

Bài 8: Cho hàm số:

2 3 5

x x
y

x

 




a) Tìm cực trị của hàm số.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

GIẢI

a) TXĐ: D \



2



Đạo hàm:





4 1
2

x x

y

x

 
 

 ,

2 2 3

0 4 1 0

2 3

x

y x x

x

  
       

 


Giá trị cực trị là:

 

0 0

2 3
1

o

u x x
y x

v x

 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



2 3



1 2 3

y    

, y  



2 3



 1 2 3
Lập bảng biến thiên  CĐ, CT.

b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y



2 x



3

Bài 9: Cho hàm số:

x mx m
y

x m

 






m 0



. Tìm m để hàm số:

a) Có cực đại và cực tiểu.

b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

GIẢI
a) TXĐ: D\

 

m

Đạo hàm:





2 2

x mx m m

y

x m

  
 

 , y  0 x2 2mx m 2  m0 (1)

Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt





2 2

0 m

0 

   



 



b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
y 0 có 2 nghiệm phân biệt

Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm)

0 0 0

0 4

0 4 0 0 4

y
y

m m

m
m

m m




 

    



        

      

 



Bài 10: Cho hàm số:

2 2 1

mx mx m
y

x

  




Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu
GIẢI

TXĐ: D \ 1

 

Đạo hàm:





2 3 1
1

mx mx m

y

x

  
 

 , y  0 mx2 2mx 3m1 0

Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
y 0 có 2 nghiệm phân biệt

y 0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)

0 4 0

0 0

y
y

m m

m




 

   



   

   

 

 

0 1

4
0

m m

m
m



   


  


 


Vậy

1
4

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>

Tìm m để hàm số có 3 cực trị, tổng hợp bài tập chọn lọc - Giáo viên Việt Nam

<b>§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM </b>

<b> Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ</b>





 

 

 

<i>x</i>

<b>LUYỆN TẬP</b>

 





<i>f x</i>

 

 

<i>x</i>

sin 2

<i>x</i>



2

<i>f x</i>

 



2sin 2

<i>x</i>



3

 









 

 

 

<i>y</i>





 

 

 

 

<i>n  </i>





 

 

 

 





 

 



















<b> Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ</b>

<i><b> Lưu ý:</b></i>

 

 

 

  



 

<i>x</i>

 

<i>x</i>

  



 

 

 

 