Slide 5 Đại số Tuyến Tính – Không gian Vecto và tích vô hướng – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (177.46 KB, 35 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm

Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vô hướng
Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm

Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm

Tích vơ hướng Euclid trên mặt phẳng

R

Cho u = (u1, u2) và v = (v1, v2) trênR2.

Tích vơ hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi

u· v := u1v1+ u2v2.

Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi

∥u∥ :=√u2

1+ u22 (=
√

u· u).

Góc θ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi

cos θ :=√ u1v1+ u2v2
u2

1+ u22
√

v2
1+ v22

(

= u· v
∥u∥∥v∥

)
.

Vec-tơ u được gọi là vng góc với vec-tơ v nếu u· v = 0.

Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi

d(u, v) :=
√

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm

Tích vô hướng Euclid trên

R

n

Cho u, v∈ Rn, với u = (u1, . . . , u

n) và v = (v1, . . . , vn).

Tích vơ hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi

u· v :=

n

∑

i=1

uivi= u1v1+ . . . + unvn.

Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi

∥u∥ :=√u· u
(

=
√

u2

1+ . . . + u2n

)
.

Góc θ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi

cos θ := u· v
∥u∥∥v∥

(

= √ u1v1+ . . . + unvn
u2

1+ . . . + u2n

√
v2

1+ . . . + v2n

)
.

Vec-tơ u được gọi là vng góc với vec-tơ v nếu u· v = 0.
Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi

d(u, v) :=∥u − v∥
(

=
√

(u1− v1)2+ . . . + (un− vn)2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn

Một số khái niệm

Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Tính chất của tích vơ hướng Euclid trên

R

n

Cho c∈ R và u, v, w ∈ Rn. Ta luôn có:

u· v = v · u.

u· (v + w) = u · v + u · w.

c(u· v) = (cu) · v = u · (cv).

u· u = ∥u∥2.

u· u ≥ 0, và u · u = 0 ⇔ u = 0.

∥cu∥ = |c|∥u∥.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với u, v∈ Rnta ln có |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥.

Chứng minh:

Trường hợp u = 0 ta có|0 · v| = 0 = 0∥v∥ = ∥u∥∥v∥.
Xét trường hợp u̸= 0. Với mọi t ∈ R ta có:

0≤ (tu + v) · (tu + v) = (u · u)t2+ 2(u· v)t + v · v.

Đặt a = u· u, b = 2(u · v), c = v · v. Do u ̸= 0, nên a > 0.

Chú ý rằng, với a > 0, tam thức bậc hai at2+ bt + c≥ 0 ∀ t ∈ R khi và
chỉ khi

b2− 4ac ≤ 0
⇔ b2≤ 4ac

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Bất đẳng thức tam giác

Với u, v∈ Rnta ln có ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

Chứng minh:

Ta có

∥u + v∥2= (u + v)· (u + v)
= u· u + 2(u · v) + v · v

=∥u∥2+ 2(u· v) + ∥v∥2
≤ ∥u∥2+ 2|u · v| + ∥v∥2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Định lý Pythagor

Các vec-tơ u, v∈ Rn vng góc với nhau

khi và chỉ khi ∥u + v∥2=∥u∥2+∥v∥2.

Chứng minh:

Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có

∥u + v∥2=∥u∥2+ 2(u· v) + ∥v∥2.

Từ đó ta suy ra

u vng góc với v

⇔ u · v = 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Chuẩn hóa vec-tơ

Vec-tơ u∈ Rn được gọi là một vec-tơ đơn vị nếu∥u∥ = 1.

Nếu v∈ Rn\{0}, thì u = 1

∥v∥v là vec-tơ đơn vị (theo hướng v).

Chứng minh:

Do v̸= 0, nên ∥v∥ > 0. Ta có

∥u∥ =

∥v∥1 v

= 1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn

Một số khái niệm
Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng
Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Khái niệm tích vơ hướng tổng qt

Cho V là một khơng gian vec-tơ.

Một hàm thực

⟨, ⟩ : V × V → R

(u, v)7→ ⟨u, v⟩

được gọi là một tích vơ hướng (hay tích trong) trên V
nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

tính đối xứng: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ ∀ u, v ∈ V;
tính song tuyến tính:

⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ ∀ u, v, w ∈ V;

tính song tuyến tính: c⟨u, v⟩ = ⟨cu, v⟩ ∀ u, v ∈ V, c ∈ R;
tính xác định dương: ⟨u, u⟩ ≥ 0 ∀ u ∈ V, và

⟨u, u⟩ = 0 ⇔ u = 0.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid trên Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ . . . + unvn

là một tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng quát).

Phép toán ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định một tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thơng thường).

Tổng qt, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán

⟨u, v⟩ := c1u1v1+ . . . + cnunvn

xác định một tích vơ hướng trên Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường).

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

một tích vơ hướng trênR3, do vi phạm tiên đề về tính xác

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Ví dụ

Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ . . . + unvn

là một tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng quát).

Phép toán ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định một tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thơng thường).

Tổng qt, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán

⟨u, v⟩ := c1u1v1+ . . . + cnunvn

xác định một tích vơ hướng trên Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường).

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

một tích vơ hướng trênR3, do vi phạm tiên đề về tính xác

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid trên Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ . . . + unvn

là một tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng quát).

Phép toán ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định một tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường).

Tổng quát, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán
⟨u, v⟩ := c1u1v1+ . . . + cnunvn

xác định một tích vơ hướng trên Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường).

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

một tích vơ hướng trênR3, do vi phạm tiên đề về tính xác

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid trên Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ . . . + unvn

là một tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng quát).

Phép toán ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định một tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thông thường).

Tổng quát, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán
⟨u, v⟩ := c1u1v1+ . . . + cnunvn

xác định một tích vơ hướng trên Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường).

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Khơng gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm

Một số khái niệm liên quan

Cho (V,⟨, ⟩) là một khơng gian tích trong.
Cho u, v∈ V.

Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi

∥u∥ :=√⟨u, u⟩.

Góc θ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi

cos θ := ⟨u, v⟩

∥u∥∥v∥.

Vec-tơ u được gọi là vng góc với vec-tơ v nếu⟨u, v⟩ = 0.

Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Một số tính chất

Cho (V,⟨, ⟩) là một khơng gian tích trong.
Cho u, v, w∈ V, c ∈ R. Ta ln có

⟨0, v⟩ = ⟨v, 0⟩ = 0.

⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩.
⟨u, cv⟩ = c⟨u, v⟩.

Chứng minh: Coi như bài tập.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥.
Bất đẳng thức tam giác: ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

Định lý Pythagor:

u vng góc với v ⇔ ∥u + v∥2 =∥u∥2+∥v∥2.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn

Một số khái niệm
Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao

Phép chiếu vng góc trên mặt phẳng

Cho u, v∈ R2 với v̸= 0.

Gọi projvu là hình chiếu của u lên v.

projvu là ảnh vị tự của v qua gốc tọa độ,

nên

projvu = av.

Ta có

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao

Phép chiếu trực giao

Định nghĩa:

Cho V là một khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩.
Cho u, v∈ V, với v ̸= 0.

Hình chiếu vng góc của u lên v được xác định bởi

projvu := ⟨u, v⟩
⟨v, v⟩v.

Ví dụ:

Trong khơng gian vec-tơ V = C[0, 1] với tích vơ hướng

⟨f, g⟩ =

∫ 1

f(x)g(x)dx,

xét các vec-tơ f(x) = 1 và g(x) = x.
Hình chiếu vng góc của f lên g là

projgf = ⟨f, g⟩
⟨g, g⟩g =

∫1
0 f(x)g(x)dx
∫1
0 g(x)g(x)dx
g(x) =
∫1
0 xdx
∫1
0x2dx

x = 3

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao

Phép chiếu trực giao

Định nghĩa:

Cho V là một không gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩.
Cho u, v∈ V, với v ̸= 0.

Hình chiếu vng góc của u lên v được xác định bởi

projvu := ⟨u, v⟩
⟨v, v⟩v.

Ví dụ:

Trong khơng gian vec-tơ V = C[0, 1] với tích vơ hướng

⟨f, g⟩ =
∫ 1

f(x)g(x)dx,

xét các vec-tơ f(x) = 1 và g(x) = x.
Hình chiếu vng góc của f lên g là

projgf = ⟨f, g⟩
⟨g, g⟩g =

∫1
0 f(x)g(x)dx
∫1
0 g(x)g(x)dx
g(x) =
∫1
0 xdx
∫1

0x2dx
x = 3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao

Tính chất của hình chiếu vng góc

Cho V là một khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩.
Cho u, v∈ V, với v ̸= 0.

Ta ln có

d(u, projvu)≤ d(u, cv) ∀ c ∈ R.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn

Một số khái niệm
Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Khái niệm

Cho V là một khơng gian vec-tơ với tích vô hướng⟨, ⟩.

Cho S ={v1, . . . , vn} ⊆ V.

Tập hợp S được gọi là trực giao nếu

⟨vi, vj⟩ = 0 ∀ i, j = 1, . . . , n, i ̸= j.

Tập hợp S được gọi là trực chuẩn nếu
S trực giao, và

∥vi∥ = 1 ∀ i = 1, . . . , n.

Tập hợp S được gọi là một cơ sở trực giao của V nếu
S trực giao, và

S là một cơ sở của V.

Tập hợp S được gọi là một cơ sở trực chuẩn của V nếu
S trực chuẩn, và

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơ R3 với tích vô hướng thông thường,

các tập hợp sau đây là cơ sở trực chuẩn:
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơ C[0, 2π] với tích vơ hướng

⟨f, g⟩ =

∫ 2π

f(x)g(x)dx,

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Tính chất

Cho V là một khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩.
Cho S ={v1, . . . , vn} ⊆ V\{0}.

Nếu S trực giao, thì S độc lập tuyến tính.
Chứng minh?

Hệ quả: Nếu dim(V) = n và S trực giao, thì S là cơ sở của V.

(Hệ số Fourier) Nếu S là một cơ sở trực chuẩn của V,

thì mọi vec-tơ w∈ V đều có biểu diễn

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Tính chất

Cho V là một khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩.
Cho S ={v1, . . . , vn} ⊆ V\{0}.

Nếu S trực giao, thì S độc lập tuyến tính.
Chứng minh?

Hệ quả: Nếu dim(V) = n và S trực giao, thì S là cơ sở của V.

(Hệ số Fourier) Nếu S là một cơ sở trực chuẩn của V,

thì mọi vec-tơ w∈ V đều có biểu diễn

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid trên Rn

Một số khái niệm
Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Mục đích, lý do nghiên cứu và ý tưởng

Mục đích:

Xây dựng cơ sở trực chuẩn cho các khơng gian vec-tơ.

Lý do nghiên cứu:

Tính tốn trên các cơ sở trực chuẩn thuận tiện hơn.

Ý tưởng:

Xuất phát từ một cơ sở bất kỳ (không nhất thiết trực giao
hoặc trực chuẩn).

Trực giao hóa cơ sở đã cho.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Quy trình

Cho V là một khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩.
Xuất phát từ một cơ sở B ={v1, . . . , vn} của V.

Trực giao hóa cơ sở B để thu được cơ sở trực giao

B′={w1, . . . , wn}, với

w1= v1,

w2= v2− ⟨v2
, w1⟩
⟨w1, w1⟩

w1,

w3= v3− ⟨v3
, w1⟩
⟨w1, w1⟩

w1− ⟨v3
, w2⟩
⟨w2, w2⟩

w2,

..
.

wn= vn− ⟨vn

, w1⟩
⟨w1, w1⟩

w1− ⟨vn
, w2⟩
⟨w2, w2⟩

w2− . . . − ⟨vn
, wn−1⟩

⟨wn−1, wn−1⟩
wn−1.

Chuẩn hóa cơ sở trực giao B′ để thu được cơ sở trực chuẩn

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Ví dụ

u cầu: Trực chuẩn hóa hệ vec-tơ B ={(1, 1), (0, 1)}.
Thực hiện:

Đặt v1= (1, 1) và v2= (0, 1).

Áp dụng quy trình trực giao hóa Gram-Schmidt với{v1, v2} ta thu được

w1= v1= (1, 1),

w2= v2− ⟨v2
, w1⟩
⟨w1, w1⟩

w1= (0, 1)−
1

2(1, 1) =
(
−1
2,
1
2
)
.

Trực chuẩn hóa hệ vec-tơ{w1, w2} ta thu được hệ vec-tơ trực chuẩn

u1=∥w1∥−1w1=
(√
2
2 ,
√
2
2
)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Thanks

</div>

Slide 5 Đại số Tuyến Tính – Không gian Vecto và tích vô hướng – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Nội dung

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên mặt phẳng

R

Tích vô hướng Euclid trên

R

Nội dung

Tính chất của tích vơ hướng Euclid trên

R

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức tam giác

Định lý Pythagor

Chuẩn hóa vec-tơ

Nội dung

Khái niệm tích vơ hướng tổng qt

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ

Một số khái niệm liên quan

Một số tính chất

Nội dung

Phép chiếu vng góc trên mặt phẳng

Phép chiếu trực giao

Phép chiếu trực giao

Tính chất của hình chiếu vng góc

Nội dung

Khái niệm

Ví dụ

Ví dụ

Tính chất

Tính chất

Nội dung

Mục đích, lý do nghiên cứu và ý tưởng

Quy trình

Ví dụ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về