Tài liệu Vật lý đại cương 1 (Cơ nhiệt) Hoàng Văn Trọng – Tài liệu VNU

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI </b>

<b>TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN </b>

<b>VẬT LÝ ĐẠI CƢƠNG 1 </b>

<b>CƠ – NHIỆT </b>

<b>Hà Nội, 03/2014 </b>

Chu trình Carnot

H

Q

V

const
T

C

Q Tconst

0
Q
0

Q

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI </b>

<b>TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN </b>

<b>VẬT LÝ ĐẠI CƢƠNG 1 </b>

<b>CƠ – NHIỆT </b>

(Dành cho sinh viên ngoài khoa Vật lý)

<b>SINH VIÊN </b>

<b>: HOÀNG VĂN TRỌNG </b>

<b>NGÀNH </b>

<b>: Địa lý tự nhiên </b>

<b>ĐIỆN THOẠI </b>

<b>: 0974 971 149 </b>

<b>EMAIL </b>

<b>: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Lời chia sẻ</b></i>

<i>Vật lý học là môn khoa học nghiên cứu cấu trúc và các dạng vận động tổng quát </i>

nhất của thế giới vật chất. Nhận thức về Vật lý học giúp chúng ta hiểu biết bản chất
của giới tự nhiên và có biện pháp ứng xử, vận dụng cho phù hợp. Trong khn khổ
chƣơng trình đào tạo theo tín chỉ, những sinh viên ngoài khoa Vật lý đƣợc trang bị
<i>kiến thức Vật lý đại cương thông qua 2 môn học: Cơ Nhiệt và Điện Quang. Hầu hết </i>
các kiến thức này đã đƣợc giới thiệu ở chƣơng trình trung học phổ thông nhƣng trên
đại học chúng ta mới có điều kiện tìm hiểu sâu sắc bản chất và cơ sở toán học của các
hiện tƣợng vật lý.

<i>Môn học Cơ Nhiệt nghiên cứu những vấn đề sau: </i>

<i>+ Cơ học (hay Cơ học cổ điển) nghiên cứu dạng chuyển động của các vật vĩ mô, </i>
giúp nhận biết quy luật chuyển động của những vật mà hàng ngày chúng ta vẫn tiếp
xúc và ít nhiều chịu tác động từ nó. Tại sao khi xe phanh gấp thì ngƣời ngồi trên xe lại
có xu hƣớng đổ về phía trƣớc? Tại sao Trái Đất quay quanh Mặt Trời chỉ mất 365
ngày trong khi Sao Mộc quay quanh Mặt Trời lại mất 4329 ngày? Nguyên nhân do đâu
mà xuất hiện lực Coriolis làm lệch hƣớng chuyển động của vật?... Các kiến thức cơ
bản về Cơ học giúp ta giải thích đƣợc nhiều hiện tƣợng chuyển động trong tự nhiên.

<i>+ Nhiệt học nghiên cứu mối quan hệ giữa các dạng năng lượng của hệ vật chất </i>

<i>(nhiệt lượng, công, nội năng) trên cơ sở của Vật lý phân tử. Những phát minh làm thay </i>

đổi thế giới nhƣ: động cơ hơi nƣớc, động cơ đốt trong, máy lạnh,…đều dựa vào các
nguyên lý của mối quan hệ tất yếu này.

Phần Cơ học thì tập trung thời lƣợng cho Cơ học cổ điển Newton, sau đó giới
thiệu về Cơ học tƣơng đối tính Einstein và ba định luật Keppler. Phần Nhiệt học nhìn
chung dễ hơn so với Cơ học, với các nội dung xoay quanh nguyên lý 1 và nguyên lý 2
của nhiệt động lực học.

Để quá trình tiếp thu đƣợc hiệu quả hơn thì trƣớc hết cần nắm vững lý thuyết trên
lớp, sau đó tùy từng bài tập cụ thể mà vận dụng cho linh hoạt. Nền tảng Toán học về
đạo hàm, vi phân, tích phân, các phép toán véctơ (cộng, trừ, tích vơ hƣớng, tích có
hƣớng) là rất cần thiết cho mơn học. Nội dung lý thuyết không chỉ là cơ sở để giải các
bài tập liên quan mà đề thi cuối kỳ còn yêu cầu thiết lập biểu thức và vận dụng để giải
thích các hiện tƣợng.

Những dịng chữ nhỏ phía cuối trang là phần giải thích và chỉ dẫn. Sau mỗi bài
tập thƣờng có mục “hƣớng dẫn” giải ở dạng khái quát. Khi cần tham khảo tài liệu này,
các bạn truy cập vào “Link download” ở cuối file để tải về bản cập nhật mới nhất.

 Trên đây là chút kiến thức ít ỏi mà mình muốn chia sẻ cùng các bạn. Do hạn chế
nhận thức về môn học nên chắc chắn cịn nội dung nào đó viết chƣa đúng hoặc chƣa
đầy đủ, rất mong các bạn thông cảm và góp ý để mình hồn thiện thêm.

Mọi thắc mắc xin gửi về địa chỉ email: hoặc

Sinh viên

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>MỤC LỤC </b>

PHẦN I: CƠ HỌC ... 1

<b>CHƢƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM ... 1</b>

A. LÝ THUYẾT ... 1

1.1. Các khái niệm cơ bản ... 1

1.2. Véctơ vận tốc và véctơ gia tốc ... 2

1.3. Một số dạng chuyển động thƣờng gặp ... 4

B. BÀI TẬP ... 8

Bài 1.1: Một ngƣời chạy đua với vận tốc thay đổi theo thời gian đƣợc minh họa bằng đồ thị

trên hình vẽ. Hỏi ngƣời đó chạy đƣợc quãng đƣờng là bao nhiêu trong 16 giây. ... 8

Bài 1.2: Đồ thị phụ thuộc vận tốc của vật vào thời gian có dạng nhƣ hình vẽ. Vận tốc cực
đại của vật là v0, thời gian chuyển động là t0. Hãy xác định quãng đƣờng mà vật đi đƣợc
trong thời gian đó. ... 8

Bài 1.3: Một ngƣời quan sát đứng ngang với đầu tàu hỏa lúc nó bắt đầu chuyển động và
nhận thấy toa đầu tiên chạy ngang qua mình mất một khoảng thời gian t = 4s. Hỏi toa
tàu thứ n = 7 chạy ngang qua ngƣời đó trong khoảng thời gian là bao nhiêu lâu? Biết
rằng chuyển động của tàu là nhanh dần đều, độ dài của các toa là nhƣ nhau và bỏ qua độ
dài chỗ nối giữa các toa. ... 8

Bài 1.4: Một vật đƣợc ném lên trên theo phƣơng thẳng đứng. Ngƣời quan sát thấy vật đó đi
qua vị trí có độ cao h hai lần và khoảng thời gian giữa hai lần đó là t. Tìm vận tốc ban
đầu và thời gian chuyển động của vật từ lúc ném đến khi vật rơi về vị trí ban đầu. ... 9

Bài 1.5: Hai vật đƣợc ném đi đồng thời từ cùng một điểm. Vật thứ nhất đƣớc ném thẳng
đứng lên trên với vận tốc v0 = 25m/s, vật thứ hai đƣợc ném với cùng vận tốc ban đầu v0
và tạo với phƣơng ngang góc = 600. Xác định khoảng cách giữa hai vật sau thời gian t
= 1,7s ... 10

Bài 1.6: Một hòn đá đƣợc ném với vận tốc ban đầu v0 = 20m/s theo phƣơng hợp với
phƣơng nằm ngang góc  = 600. Xác định bán kính cong R của quỹ đạo hòn đá tại điểm
cao nhất và tại điểm nó rơi xuống mặt đất. Bỏ qua sức cản của khơng khí. ... 11

Bài 1.7: Một con tàu chuyển động dọc theo xích đạo về hƣớng đơng với vận tốc v0 =
30km/h. Trong lúc đó có một luồng gió với vận tốc v = 15km/h thổi đến từ hƣớng đơng
nam và hợp với phƣơng xích đạo một góc  = 600. Hãy xác định vận tốc v' của luồng
gió so với tàu và ' là góc giữa hƣớng gió và xích đạo trong hệ quy chiếu gắn với con
tàu. ... 11

<b>CHƢƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM ... 13</b>

A. LÝ THUYẾT ... 13

2.1. Lực và khối lƣợng ... 13

2.2. Ba định luật Newton ... 13

2.3. Động lƣợng, xung lƣợng, định luật biến thiên và bảo toàn động lƣợng ... 13

2.4. Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu phi quán tính ... 15

B. BÀI TẬP ... 16
Bài 2.1: Một vật A khối lƣợng m1 = 3kg nằm trên mặt phẳng nghiêng góc  = 300 so với

phƣơng nằm ngang. Vật A đƣợc nối với B có khối lƣợng m2 = 2kg bằng một sợi dây

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

sát giữa dây với ròng rọc. Cho biết hệ số ma sát giữa vật A và mặt phẳng nghiêng  =
0,1. ... 16
Bài 2.2: Một vật đƣợc ném lên theo mặt phẳng nghiêng tạo với phƣơng nằm ngang góc  =
150. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng. Biết rằng thời gian đi xuống của
vật bằng n = 2 lần thời gian đi lên. ... 17
Bài 2.3: Một vật khối lƣợng m = 1kg buộc vào đầu dây có chiều dài l = 30cm, đầu kia của

dây đƣợc giữ cố định tại điểm O. Cho vật chuyển động tròn trong mặt phẳng ngang, còn
sợi dây hợp với phƣơng thẳng đứng góc  = 600. Hãy xác định vận tốc v, sức căng T
của dây. ... 18
Bài 2.4: Một ngƣời khối lƣợng m1 = 60kg đứng trong thang máy có khối lƣợng m2 =

300kg. Thang máy chuyển động lên trên với gia tốc a = 0,8 m/s2. Tính lực căng của dây
cáp treo thang máy, lực ngƣời đó nén lên sàn, trong hai trƣờng hợp thang máy chuyển
động: ... 19
a) Nhanh dần đều. ... 19
b) Chậm dần đều. ... 19
Bài 2.5: Một ngƣời nặng 72kg ngồi trên sàn treo nặng 12kg nhƣ hình vẽ. Hỏi ngƣời đó

phải kéo dây với một lực bằng bao nhiêu để sàn chuyển động nhanh dần đều lên cao
đƣợc 3m trong thời gian là 2s. Tính áp lực của ngƣời đó lên sàn. ... 20
Bài 2.6: Hãy xác định gia tốc của các vật m1, m2 và các lực căng T của các dây trong hệ

mơ tả trên hình vẽ. Cho biết dây khơng co giãn, bỏ qua ma sát, khối lƣợng của ròng rọc
và dây không đáng kể. ... 20
Bài 2.7: Một vật A khối lƣợng m1 buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc, đầu kia là một vòng

B khối lƣợng m2 có thể trƣợt dọc sợi dây. Tính gia tốc chuyển động của vòng B, lực ma

sát giữa sợi dây và vòng B khi A chuyển động đều, nếu ban đầu hệ đứng yên. Bỏ qua
khối lƣợng của ròng rọc và ma sát. ... 21
Bài 2.8: Một vật khối lƣợng m đứng yên trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng nhờ lực ma sát.

Cho biết chiều dài mặt phẳng nghiêng S = 1m, góc  = 300, hệ số ma sát giữa vật và mặt
phẳng nghiêng  = 0,6. Hỏi: ... 22
a) Mặt phẳng nghiêng có thể chuyển động với gia tốc amax (so với mặt đất) là bao nhiêu

để vật đứng yên trên nêm. ... 22
b) Nếu gia tốc chuyển động của mặt phẳng nghiêng là a0 = 1 m/s2 thì sao bao nhiêu lâu

vật sẽ trƣợt đến chân mặt phẳng nghiêng. ... 22
Bài 2.9: Một chậu nƣớc trƣợt trên mặt dốc có góc nghiêng so với phƣơng ngang là . Hệ

số ma sát trƣợt giữa chậu và mặt dốc là  < tan . Hãy xác định góc nghiêng  của mặt
nƣớc so với mặt dốc. ... 24
Bài 2.10: Một ngƣời đứng trên cân bàn đặt trên xe nhỏ. Khi xe chuyển động không ma sát

trên mặt phẳng nghiêng một góc  so với phƣơng nằm ngang thì ngƣời đó thấy trọng
lƣợng của mình chỉ cịn 3/4 trọng lƣợng khi xe đứng yên. Hãy xác định góc . ... 25
Bài 2.11: Một sợi dây không co giãn vắt qua một rịng rọc cố định có khối lƣợng khơng

đáng kể. Một đầu dây treo một vật khối lƣợng m, đầu dây kia có một con khỉ khối lƣợng
2m bám vào. Con khỉ leo lên dây với gia tốc a’ so với dây. Hãy tìm gia tốc a của con
khỉ đối với mặt đất. ... 26
Bài 2.12: Sự quay của Trái Đất xung quanh trục của mình làm mặt nƣớc trên các sông

không nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Hãy xác định phía bờ sơng bên nào mức nƣớc
sẽ cao hơn và tính độ chênh lệch mức nƣớc đó, biết rằng sơng nằm ở bán cầu phía bắc
và chảy từ bắc xuống nam. Độ rộng sơng là l, vận tốc dịng chảy là v, vĩ độ nơi đó là ,
vận tốc góc của Trái Đất quay quanh trục là , bỏ qua lực qn tính ly tâm. ... 27
Bài 2.13: Một đồn tàu hỏa khối lƣợng m đang chuyển động dọc theo đƣờng xích đạo từ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

quanh trục của mình với vận tốc là , bỏ qua ma sát, hãy xác định lực tác dụng của

đƣờng ray lên đoàn tàu. ... 28

Bài 2.14: Một cái cốc đựng nƣớc hình trụ quay quanh trục đối xứng hƣớng theo phƣơng
thẳng đứng với vận tốc góc là . Hãy xác định phƣơng trình mơ tả dạng mặt nƣớc trong
cốc. ... 29

<b>CHƢƠNG 3: CÔNG VÀ NĂNG LƢỢNG ... 30</b>

A. LÝ THUYẾT ... 30

3.1. Năng lƣợng, công và công suất ... 30

3.2. Động năng, định lý biến thiên động năng ... 30

3.3. Thế năng, định lý biến thiên thế năng ... 31

3.4. Cơ năng, định luật bảo toàn cơ năng ... 32

3.5. Va chạm ... 32

B. BÀI TẬP ... 34

Bài 3.1: Một vật khối lƣợng m đƣợc ném lên dọc một mặt phẳng nghiêng một góc  so với
phƣơng nằm ngang. Cho biết vận tốc ban đầu là v0, hệ số ma sát là , tính quãng đƣờng
đi đƣợc của vật đến khi dừng lại và công của lực ma sát trên quãng đƣờng đó. ... 34

Bài 3.2: Một vật chuyển động từ đỉnh dốc phẳng DC có độ cao h và dừng lại sau khi đi
đƣợc một đoạn nằm ngang CB. Cho AB = s, AC = l, hệ số ma sát giữa xe và mặt đƣờng
trên đoạn DC và CB bằng nhau. Tính hệ số ma sát và gia tốc của xe trên các đoạn
đƣờng nói trên. ... 35

Bài 3.3: Từ độ cao H dọc theo mặt phẳng nghiêng dài l = H/3 và tạo với phƣơng ngang góc
 = 300 ngƣời ta cho một quả cầu trƣợt khơng ma sát và sau đó rơi trên mặt phẳng nằm
ngang. Va chạm đƣợc coi là hồn tồn đàn hồi. Tìm độ cao hmax mà quả cầu nâng lên
đƣợc sau va chạm. ... 36

Bài 3.4: Một vòng đệm nhỏ A trƣợt từ đỉnh ngọn đồi nhẵn ở độ cao H tới một bờ dốc thẳng
đứng rồi chuyển động tiếp trong không gian và rơi xuống bãi đất nằm ngang nhƣ hình

vẽ. Hỏi độ cao h của bờ dốc thẳng đứng phải bằng bao nhiêu để khi trƣợt xuống khỏi bờ
dốc vòng đệm A bay xa đạt đƣợc khoảng cách Smax, tính khoảng cách đó. ... 37

Bài 3.5: Hai quả nặng m1 và m2 = nm1 đƣợc nối với hai đầu dây và đƣợc vắt qua rịng rọc.
Giả thiết dây khơng co giãn và khối lƣợng ròng rọc đƣợc bỏ qua. Vật m2 đƣợc nâng lên
độ cao h2 = 30cm sao cho quả m1 chạm đất, sau đó thả cho m2 rơi xuống. Hỏi độ cao h1
mà m1 sẽ đạt đƣợc khi m2 chạm đất. ... 38

Bài 3.6: Một quả cầu nhỏ trƣợt không ma sát theo một máng nghiêng mà phần cuối uốn
thành một vịng trịn bán kính R. Hỏi:... 38

a) Phải thả quả cầu cho nó trƣợt không vận tốc ban đầu ở độ cao H nào để nó khơng rời
khỏi máng tại điểm cao nhất của quỹ đạo. ... 38

b) Trong trƣờng hợp vật thả ở độ cao h không thỏa mãn điều kiện câu a, hãy tính độ cao
h’ mà vật rời khỏi rãnh. ... 38

Bài 3.7: Một viên đạn khối lƣợng m bay theo phƣơng nằm ngang và đâm vào một vật khối
lƣợng M đƣợc treo bởi một sợi dây độ dài l (hình vẽ) và dừng lại trong đó. Ngƣời ta
thấy sợi dây bị lệch đi một góc  so với phƣơng thẳng đứng. Hãy xác định vận tốc viên
đạn trƣớc khi đâm vào vật M và số phần trăm động năng ban đầu của viên đạn biến
thành nhiệt năng. ... 40
Bài 3.8: Một hạt neutron khối lƣợng m va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C khối

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài 3.9: Một ngƣời khối lƣợng M = 70kg đang đứng yên trên mặt băng. Ngƣời đó ném
theo phƣơng ngang một hịn đá khối lƣợng m = 3kg với vận tốc ban đầu v = 8m/s. Tìm

khoảng giật lùi của ngƣời trƣợt băng. Cho biết hệ số ma sát  = 0,02. ... 42

Bài 3.10: Một khẩu súng đƣợc đặt trên một chiếc xe đang chuyển động theo quán tính trên

đƣờng sắt với vận tốc V. Nòng súng hƣớng theo chiều chuyển động của xe và tạo với
sàn xe góc . Khi khẩu súng bắn ra một viên đạn khối lƣợng m, vận tốc của xe chở
súng giảm đi 3 lần. Tìm vận tốc v của viên đạn (so với khẩu súng) khi ra khỏi nòng.
Khối lƣợng xe và súng là M. ... 42

<b>CHƢƠNG 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN ... 43</b>

A. LÝ THUYẾT ... 43

4.1. Khối tâm của hệ chất điểm ... 43

4.2. Vật rắn, chuyển động tịnh tiến của vật rắn ... 44

4.3. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay xung quanh một trục cố định ... 44

4.4. Mơmen qn tính của vật rắn, định lý Steiner – Hugen ... 45

4.5. Mômen động lƣợng của vật rắn, biến thiên và bảo tồn mơmen động lƣợng ... 45

4.6. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định ... 46

B. BÀI TẬP... 47

Bài 4.1: Tính tọa độ khối tâm của một vật đồng tính có chiều dày khơng đổi, kích thƣớc
nhƣ trên hình vẽ. ... 47

Bài 4.2: Một chiếc thuyền đứng yên trên mặt nƣớc lặng. Khối lƣợng thuyền M = 140kg,
chiều dài thuyền L = 2m, ở mũi thuyền có một ngƣời khối lƣợng m1 = 70kg, ở đi
thuyền có một ngƣời khác khối lƣợng m2 = 40kg. Hỏi khi hai ngƣời tiến lại đổi chỗ cho
nhau thì thuyền dịch đi một đoạn là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của nƣớc. ... 48

Bài 4.3: a)Tìm mơmen qn tính của một thanh đồng chất đối với một trục vng góc với
thanh và đi qua trung điểm của thanh, nếu khối lƣợng của thanh là m và độ dài của nó là
L. ... 49

b) Tìm mơmen qn tính của một khối trụ đồng chất khối lƣợng m, bán kính R, đối với
trục đối xứng dọc của nó. ... 49

c) Tìm mơmen qn tính của một khối cầu đồng chất khối lƣợng m, bán kính R, đối với
trục đối xứng của nó. ... 49

Bài 4.4: Trong một đĩa đồng chất hình trịn bán kính R, khối lƣợng m, ngƣời ta kht hai lỗ
trịn bán kính r có các tâm đối xứng với nhau qua tâm đĩa và cùng cách tâm đĩa một
khoảng a. Hãy tính mơmen qn tính của phần đĩa cịn lại đối với trục đi qua tâm đĩa và
vng góc với mặt phẳng đĩa. ... 50

Bài 4.5: Hai vật khối lƣợng m1 và m2 nối với nhau bằng một dây vắt qua một rịng rọc khối
lƣợng m. Dây khơng co giãn, ma sát ở trục rịng rọc có thể bỏ qua. Tìm gia tốc góc của
rịng rọc và tỷ số các sức căng T1/T2 của các phần dây nối với các vật trong quá trình
chuyển động. ... 51

Bài 4.6: Trên một hình trụ đặc đồng chất khối lƣợng m1 và bán kính R, ngƣời ta quấn một
sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ có buộc một vật có khối lƣợng m2. Tại thời điểm t = 0 hệ
bắt đầu chuyển động. Bỏ qua ma sát ở trục hình trụ, tìm sự phụ thuộc theo thời gian của:52
a) Vận tốc góc của hình trụ. ... 52

b) Động năng của toàn hệ. ... 52

Bài 4.7: Hai đĩa nằm ngang quay tự do xung quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của
chúng. Các mơmen qn tính của các đĩa với trục này là I1 và I2, còn các vận tốc góc là

1 và 2. Sau khi đĩa trên rơi xuống đĩa dƣới, cả hai đĩa do sự ma sát giữa chúng và sau
một thời gian nào đó bắt đầu quay nhƣ một vật thống nhất. Hãy tìm: ... 53

a) Vận tốc góc của hệ hai đĩa đƣợc hình thành nhƣ trên. ... 53

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài 4.8: Tính gia tốc khối tâm của một viên bi lăn khơng trƣợt trên một mặt phẳng nghiêng

một góc  so với phƣơng nằm ngang. ... 54

<b>CHƢƠNG 5: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ... 56</b>

A. LÝ THUYẾT ... 56

5.1. Dao động điều hịa, sự biến đổi và bảo tồn năng lƣợng ... 56

5.2. Tổng hợp hai dao động cùng phƣơng và có tần số gần nhau, hiện tƣợng phách ... 57

5.3. Sóng ngang và sóng dọc ... 58

5.4. Phƣơng trình truyền sóng và các đại lƣợng đặc trƣng ... 58

5.5. Hiện tƣợng giao thoa sóng, sóng dừng ... 59

5.6. Hiệu ứng Doppler ... 61

B. BÀI TẬP ... 61

Bài 5.1: Xác định chu kỳ dao động bé của cột thủy ngân có khối lƣợng m = 200g đƣợc đổ
vào vào một ống cong (hình vẽ) có nhánh bên phải tạo một góc  = 300 so với phƣơng
thẳng đứng. Diện tích thiết diện của lịng ống là S = 0,5cm2

. Bỏ qua độ nhớt của thủy
ngân. ... 61

Bài 5.2: Một hệ cơ học đƣợc bố trí nhƣ hình vẽ. Góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng
ngang là . Hệ số đàn hồi của lò xo là k. Khối lƣợng của các vật là m1 và m2. Khối
lƣợng của lị xo và của rịng rọc khơng đáng kể. Dây khơng co giãn. Chứng minh rằng
hệ có thể dao động điều hoa khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ. Xác định
tần số góc của dao động. ... 62

Bài 5.3: Năng lƣợng tồn phần của một dao động tử điều hịa đơn giản là E0, biên độ dao
động của dao động tử đó là x0. Tính động năng Eđ và thế năng Et của dao động tử đó khi
2
x
x 0 . Li độ x của dao động tử là bao nhiêu khi Eđ = Et? ... 63

Bài 5.4: Một quả cầu đƣợc treo vào một lò xo, thực hiện dao động điều hòa theo phƣơng
thẳng đứng với tần số xác định. Nếu truyền cho điểm treo dao động điều hòa theo
phƣơng thẳng đứng với tần số 20 Hz hoặc 24 Hz thì trong cả hai trƣờng hợp các phách
đƣợc sinh ra có cùng tần số. Hỏi với tần số dao động nào của điểm treo, tần số của
phách sẽ lớn gấp đôi. ... 64

Bài 5.5: Khi cộng hai dao động điều hịa cùng phƣơng thì dao động tổng hợp của một điểm
có dạng x = a cos 2,1t .cos 50t, trong đó t tính ra giây. Tìm tần số góc của các dao động
thành phần và chu kỳ của phách của dao động tổng hợp. ... 64

Bài 5.6: Hai con lắc vật lí thực hiện các dao động bé xung quanh một trục  nằm ngang
với các tần số 1 và 2. Các mơmen qn tính của chúng đối với trục  đó tƣơng ứng là
I1 và I2. Ngƣời ta đƣa các con lắc về trạng thái cân bằng bền và gắn chặt chúng với
nhau. Tần số dao động bé của con lắc hợp thành sẽ là bao nhiêu. ... 65

Bài 5.7: Để xác định vận tốc của âm trong không khí bằng phƣơng pháp cộng hƣởng âm,
ngƣời ta dùng một ống có pittơng và màng âm bịt kín một trong những đáy ống. Tìm
vận tốc âm, nếu khoảng cách giữa các vị trí kế tiếp nhau của pittơng mà tại đó ngƣời ta
quan sát đƣợc hiện tƣợng cộng hƣởng ở tần số f = 2000 Hz là l = 8,5cm... 66

Bài 5.8: Một ngƣời đứng cạnh đƣờng ray ở vị trí A quan sát một tàu hỏa chạy qua. Khi tàu
tiến lại phía A, ngƣời đó đo đƣợc tần số của còi tàu là f1 = 219 Hz. Khi tàu chạy ra xa
khỏi A, ngƣời đó đo đƣợc tần số của cịi tàu là f2 = 184 Hz. Tìm vận tốc u của đồn tàu
và tần số f0 của còi tàu (nếu tàu đứng n). Biết vận tốc sóng âm trong khơng khí là v0 =
340m/s. ... 66
Bài 5.9: Một ngƣời đứng ở một vị trí P trên sân ga quan sát hai đoàn tàu A và B chuyển

động ngƣợc hƣớng nhau nhƣ hình vẽ. Vận tốc đồn tàu A là vA = 15m/s, cịi tàu A phát

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

khơng khí là v = 340m/s. Hỏi ngƣời quan sát đo đƣợc bƣớc sóng 1 và tần số f1 của

đồn tàu A là bao nhiêu? Ngƣời lái tàu B nghe đƣợc tần số f2 từ còi tàu A là bao nhiêu?67

<b>CHƢƠNG 6: TRƢỜNG HẤP DẪN ... 68</b>

A. LÝ THUYẾT ... 68

6.1. Định luật vạn vật hấp dẫn ... 68

6.2. Trƣờng hấp dẫn, thế năng trong trƣờng hấp dẫn ... 68

6.3. Các định luật Keppler về chuyển động của các hành tinh trong trƣờng hấp dẫn ... 69

6.4. Các vận tốc vũ trụ ... 69

B. BÀI TẬP... 70

Bài 6.1: Tính lực hấp dẫn của một thanh đồng tính có chiều dài L, khối lƣợng m1 lên một
quả cầu nhỏ khối lƣợng m2 đặt cách đầu thanh đó một khoảng a. ... 70

Bài 6.2: Bên trong một quả cầu đồng tính tâm O, bán kính R, khối lƣợng M có một lỗ hình
cầu bán kính r R/2 . Tính lực hút của phần cịn lại của quả cầu đó lên một quả cầu
nhỏ khối lƣợng m đặt cách tâm O một khoảng d = 2R nhƣ trên hình vẽ. ... 71

Bài 6.3: Chứng minh rằng lực hấp dẫn của một lớp vỏ hình cầu đồng tính khối lƣợng M tác
dụng lên một hạt khối lƣợng m nằm trong vỏ cầu đó bằng 0. ... 71

Bài 6.4: Một điểm phải cách tâm Trái Đất một khoảng bằng bao nhiêu để lực hấp dẫn tổng
hợp của Trái Đất và Mặt Trăng tại đó bằng khơng? Cho biết khối lƣợng Trái Đất lớn
hơn khối lƣợng Mặt Trăng 81 lần, khoảng cách giữa tâm các hành tinh này lớn hơn bán
kính R của Trái Đất 60 lần. ... 72

Bài 6.5: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo một elip sao cho khoảng
cách cực tiểu giữa nó và Mặt Trời bằng r, cịn khoảng cách cực đại là R. Tìm chu kỳ
quay của nó xung quanh Mặt Trời (khối lƣợng Mặt Trời là M). ... 73

Bài 6.6: Một thiên thể chuyển động tới Mặt Trời; khi cịn ở cách xa Mặt Trời nó có vận tốc
v0, cánh tay đòn của véc tơ v0 đối với tâm Mặt Trời là l. Tìm khoảng cách nhỏ nhất mà
thiên thể này có thể lại gần Mặt Trời. ... 74

<b>CHƢƠNG 7: CƠ SỞ CỦA THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP ... 76</b>

7.1. Phép biến đổi Galileo ... 76

7.2. Các tiên đề của thuyết tƣơng đối hẹp Einstein ... 77

7.3. Phép biến đổi Lorentz ... 77

7.4. Cơ học tƣơng đối tính ... 77

PHẦN II: NHIỆT HỌC... 79

<b>CHƢƠNG 8: NHIỆT LƢỢNG VÀ NGUYÊN LÝ THỨ I CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC </b>
<b>HỌC... 79</b>

A. LÝ THUYẾT ... 79

8.1. Nguyên lý thứ 0 của nhiệt động lực học ... 79

8.2. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học ... 79

8.3. Áp dụng nguyên lý 1 cho một số quá trình đặc biệt ... 80

8.4. Nhiệt dung và nhiệt chuyển trạng thái ... 81

B. BÀI TẬP... 82

Bài 8.1: Một quả cầu kim loại có thể lọt khít qua vịng dây kim loại tại nhiệt độ phịng. ... 82

Nung nóng quả cầu, khơng nung vịng dây, quả cầu cịn lọt qua vịng dây kim loại đƣợc
nữa không? ... 82

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài 8.2: Giả sử có một thang nhiệt độ ký hiệu là Z. Nhiệt độ sôi của nƣớc theo thang Z là

600Z, điểm ba của nƣớc là –150Z. ... 82

Tìm sự thay đổi Z của một vật theo thang Z, nếu sự thay đổi đó theo thang Fahrenheit
là F = 560F ... 82

Nhiệt độ của vật theo thang Fahrenheit là bao nhiêu khi tính theo thang Z là -960
Z ... 82

Bài 8.3: Độ dài của các thanh ray ở 00_{C là 12m. Nhiệt độ cao nhất trong năm ở nơi đặt ray}
là 420C. Nhiệt độ lúc đặt ray là 200C. Hỏi phải đặt ray với khoảng cách tối thiểu giữa
hai thanh là bao nhiêu để đảm bảo an toàn. Cho hệ số nở dài của vật liệu làm ray là  =
11.10-6K-1 ... 82

Bài 8.4: Khối lƣợng riêng  của một vật là hàm số của nhiệt độ. Hệ số nở khối của vật là .
Hỏi khi nhiệt độ biến thiên T thì  biến thiên theo T nhƣ thế nào? ... 83

Bài 8.5: Tính nhiệt lƣợng cần cung cấp cho một miếng nƣớc đá khối lƣợng m = 720g ở
nhiệt độ –100_{C để nó biến thành lỏng ở 15}0
C. ... 83

Giả thiết ta chỉ cung cấp cho miếng nƣớc đá một nhiệt lƣợng là 210 kJ. Hỏi trạng thái
của nƣớc nhƣ thế nào và nhiệt độ của nó là bao nhiêu? Cho nhiệt dung riêng của đá c1 =
2,22 kJ/kg.K, nhiệt dung riêng của nƣớc c3 = 4,186 kJ/kg.K, nhiệt nóng chảy của đá  =
333 kJ/kg. ... 83

Bài 8.6: Một bức tƣờng cách nhiệt gồm 4 lớp: ... 84

Lớp thứ nhất dày La, hệ số dẫn nhiệt ka. Lớp thứ tƣ dày Ld = 2La, hệ số dẫn nhiệt kd =
0,5ka. Lớp thứ hai và lớp thứ ba có độ dày nhƣ nhau và làm bằng cùng một chất. Nhiệt
độ T1 = 250C, T2 = 200C và T5 = –100C. Sự dẫn nhiệt là ở trạng thái dừng. Hỏi nhiệt độ
T4 và T3 là bao nhiêu. ... 84

Bài 8.7: Một chất khí giãn từ thể tích 1m3
tới 4m3 theo đƣờng B trên giản đồ PV nhƣ hình
vẽ. Sau đó nó đƣợc nén trở về thể tích 1m3
theo đƣờng A hoặc C. Tính cơng khí thực
hiện trong mỗi chu trình. ... 85

Bài 8.8: Một chất khí chịu các q trình biến đổi theo đồ thị trên giản đồ PV. Tính nhiệt
lƣợng hệ nhận đƣợc trong chu trình. ... 86

Bài 8.9: Một chất khí bị biến đổi từ trạng thái đầu A tới trạng thái cuối B theo ba cách khác
nhau nhƣ mơ tả trên giản đồ PV. Trong q trình theo đƣờng 1, khí nhận nhiệt lƣợng là
10PiVi. Tính theo PiVi nhiệt lƣợng khí nhận đƣợc và biến thiên nội năng của khí trong
các q trình theo đƣờng 2 và đƣờng 3. ... 87

Bài 8.10: Khí thực hiện chu trình nhƣ hình vẽ. Tính nhiệt lƣợng khí trao đổi trong quá trình
CA, biết rằng trong quá trình AB hệ nhận nhiệt lƣợng QAB = 20J, quá trình BC là đoạn
nhiệt và công hệ thực hiện trong tồn bộ chu trình là 15J. ... 88

<b>CHƢƠNG 9: THUYẾT ĐỘNG HỌC CHẤT KHÍ ... 89</b>

A. LÝ THUYẾT ... 89

9.1. Chất khí lý tƣởng. Qng đƣờng tự do trung bình ... 89

9.2. Phƣơng trình cơ bản của thuyết động học phân tử ... 90

9.3. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell ... 92

9.4. Định luật phân bố phân tử theo thế năng của Boltzmann ... 92

9.5. Sự phân bố đều năng lƣợng theo bậc tự do ... 93

9.6. Nhiệt dung khí lý tƣởng ... 93

9.7. Cơng trong các quá trình đẳng nhiệt, đoạn nhiệt ... 94

B. BÀI TẬP ... 95

Bài 9.1: Một xylanh chứa 12l ôxi ở nhiệt độ 200C, áp suất 15atm. Nếu nhiệt độ tăng lên
đến 350_{C và thể tích giảm xuống cịn 8,5l thì áp suất cuối của khí sẽ là bao nhiêu... 95}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Bài 9.3: Khơng khí có thể tích 0,2 m3

và áp suất 1,2.105 Pa đƣợc giãn đẳng nhiệt đến áp
suất khí quyển và sau đó đƣợc làm lạnh dƣới áp suất không đổi cho đến khi đạt đƣợc thể

tích ban đầu. Tính cơng do khí sinh ra. ... 96

Bài 9.4: Một mol khí ơxi ban đầu ở 00_{C đƣợc đốt nóng ở áp suất khơng đổi. Tính nhiệt}
lƣợng cần cung cấp để thể tích khí tăng lên gấp đơi. ... 96

Bài 9.5: Do nhận nhiệt lƣợng 22J nên khối khí thay đổi từ thể tích 50cm3
đến 100cm3 khi
áp suất đƣợc giữ khơng đổi ở 1atm. ... 97

a) Tính độ biến thiên nội năng của khối khí. ... 97

b) Nếu lƣợng khí là 2.10-3
mol thì nhiệt độ thay đổi là bao nhiêu. ... 97

c) Nhiệt dung mol đẳng áp là bao nhiêu. ... 97

Bài 9.6: Một hệ chứa 5 mol khí Heli giãn nở dƣới áp suất không đổi khi nhiệt độ tăng lên
một lƣợng T = 200C. ... 98

a) Tính nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ trong q trình đó. ... 98

b) Tính độ biến thiên nội năng của hệ. ... 98

c) Tính cơng khí thực hiện khi giãn nở. ... 98

Bài 9.7: Ở nhiệt độ 200_{C, dƣới áp suất 75cmHg quãng đƣờng tự do trung bình của các}
phân tử khí Nitơ và Argon là: N = 27,5.10-6cm và Ar = 9,9.10-6cm. ... 98

a) Tính tỷ số bán kính phân tử của N2 và Ar. ... 98

b) Tính quãng đƣờng tự do trung bình của các phân tử khí Argon ở 200_{C dƣới áp suất}
15cmHg và ở 400_{C dƣới áp suất 75cmHg. ... 98}

<b>CHƢƠNG 10: ENTROPI VÀ NGUYÊN LÝ THỨ II CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC100</b>
A. LÝ THUYẾT ... 100

10.1. Quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch ... 100

10.2. Động cơ nhiệt và máy lạnh. Hai cách phát biểu nguyên lý II của nhiệt động lực học100
10.3. Chu trình Carnot ... 101

10.4. Biểu thức định lƣợng của nguyên lý II nhiệt động lực học. Entropy ... 103

B. BÀI TẬP... 106

Bài 10.1: Một tủ lạnh dùng công 150J để lấy nhiệt lƣợng 560J từ buồng lạnh. Tính: ... 106

a) Hệ số làm lạnh của tủ. ... 106

b) Nhiệt lƣợng đã tỏa ra môi trƣờng. ... 106

Bài 10.2: Một mol khí đơn ngun tử đƣợc đun nóng đẳng tích từ nhiệt độ 300K đến nhiệt
600K sau đó giãn đẳng nhiệt đến áp suất ban đầu rồi đƣợc nén đẳng áp đến thể tích ban
đầu. Hãy tính: ... 106

a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ trong một chu trình. ... 106

b) Cơng hệ sinh ra trong một chu trình. ... 106

c) Hiệu suất của chu trình. ... 106

Bài 10.3: Một hệ khí đơn nguyên tử thực hiện chu trình nhƣ hình vẽ. Quá trình BC là đoạn
nhiệt với PB = 10 atm, VB = 10-3 m3 và VC = 8.10-3 m3. Tính: ... 108

a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ đƣợc trong một chu trình. ... 108

b) Nhiệt lƣợng hệ tỏa ra mơi trƣờng trong một chu trình. ... 108

c) Hiệu suất của chu trình. ... 108

Bài 10.4: Một động cơ nhiệt chạy theo chu trình Stirling nhƣ hình vẽ. Các quá trình AB và
CD là đẳng nhiệt. Các q trình BC và DA là đẳng tích. Động cơ sử dụng n = 8,1.10-3
mol khí lý tƣởng, thực hiện 0,7 chu trình trong 1s. Nhiệt độ các nguồn nhiệt của động

cơ là T1 = 950C và T2 = 240C, VB = 1,5VA. Tính: ... 109

a) Cơng động cơ thực hiện trong một chu trình. ... 109

b) Công suất của động cơ. ... 109

c) Nhiệt lƣợng cung cấp cho khí trong một chu trình. ... 109

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài 10.5: Tính độ tăng entropi trong q trình biến đổi 1g nƣớc ở 00_{C thành hơi nƣớc ở}

1000C. Biết nhiệt hóa hơi của nƣớc là 2,25.106J/kg và nhiệt dung riêng của nƣớc là

4,18.103 J/kg.K ... 110

Bài 10.6: Tính độ biến thiên Entropi của một q trình thuận nghịch khi biến đổi 6g khí H2
từ thể tích V1 = 10l, áp suất P1 = 1,5 atm đến thể tích V2 = 60l và áp suất P2 = 1 atm. 111
Bài 10.7: Một hệ gồm n mol khí lƣỡng nguyên tử thực hiện một chu trình gồm các quá
trình AB, BC, CD, DA nhƣ hình vẽ. Hãy tính cơng hệ sinh ra, nhiệt hệ nhận đƣợc và
biến thiên nội năng của hệ trong từng quá trình theo các giá trị nhiệt độ T1, T2 và các giá
trị Entropi S1, S2, S3 của hệ. ... 111

Bài 10.8: Một hệ khí thực hiện chu trình nhƣ trong hình vẽ. Tính: ... 113

a) Cơng sinh ra trong một chu trình. ... 113

b) Nhiệt lƣợng hệ nhận từ nguồn nhiệt độ cao trong một chu trình. ... 113

c) Hiệu suất của chu trình. ... 113

Bài 10.9: Quá trình biến đổi của một mol khí đa ngun tử đƣợc trình bày trên giản đồ TS

nhƣ hình vẽ. Biết rằng nhiệt lƣợng hệ nhận trong q trình AB gấp đơi nhiệt lƣợng tỏa
ra trong q trình BC. Tính: ... 114

a) Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trong một chu trình. ... 114

b) Cơng hệ nhận đƣợc trong q trình BC. ... 114

<b>KẾT LUẬN ... 115</b>

<b>NỘI DUNG ÔN TẬP ... 116</b>

1. Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2013 – 2014 ... 116

2. Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2014 – 2015... 117

3. Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2014 – 2015 ... 118

4. Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2015 – 2016... 119

<b>MỘT SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ ... 120</b>

1. Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 ... 120

2. Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 (đề riêng cho K56 CLC KHMT) ... 124

3. Đề thi cuối kỳ I năm học 2012 – 2013 ... 129

4. Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014 ... 132

5. Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014 ... 136

6. Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ... 140

7. Đề thi cuối kỳ II năm học 2014 – 2015 ... 144

8. Đề thi cuối kỳ phụ – hè năm 2015 ... 149

9. Đề thi cuối kỳ I năm học 2015 – 2016 ... 156

<b>PHỤ LỤC: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ... 160</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14></div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>PHẦN I: CƠ HỌC</b>

<b>1</b>

<b>CHƢƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM</b>

<b>2</b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>1.1. Các khái niệm cơ bản </b>

<i> a) Chuyển động cơ học: </i>

Chuyển động của vật là sự dịch chuyển vị trí của vật đó so với vật khác trong
khơng gian và theo thời gian.

<i><b> b) Chất điểm: </b></i>

Khi kích thƣớc của vật chuyển động nhỏ hơn rất nhiều so với quỹ đạo của
<i>chuyển động thì có thể coi vật là chất điểm. Chất điểm là điểm vật chất khơng có kích </i>

<i>thước và khối lượng của nó bằng khối lượng của vật. </i>

<i> c) Hệ quy chiếu: </i>

Để nhận biết đƣợc chuyển động của vật ta cần có một vật mốc quy ƣớc đứng yên,
để định lƣợng đƣợc chuyển động ta cần có một hệ tọa độ và một chiếc đồng hồ gắn với
<i>vật mốc. Vật mốc, hệ tọa độ và chiếc đồng hồ gắn liền với nó gọi là hệ quy chiếu. </i>

- Các hệ tọa độ thƣờng dùng:
<i> Hệ tọa độ đề các Oxyz: </i>

Vị trí của chất điểm đƣợc đặc trƣng bởi véctơ bán kính r với x, y, z là các thành
phần của véctơ r trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó tọa độ của chất điểm là x, y, z.

Ký hiệu: M(x, y, z)

<i> Hệ tọa độ cầu: </i>

Vị trí chất điểm đƣợc cho bởi
ba tham số: r, , 

1_{Nội dung chính của phần Cơ học nằm ở các chƣơng: 2, 3, 4}
2

Chƣơng này chỉ khảo sát chuyển động mà không xét đến tác nhân gây ra chuyển động (lực). Cần hiểu các khái
niệm và nhớ các công thức phục vụ cho những chƣơng sau. Bài thi giữa kỳ và cuối kỳ hầu nhƣ không rơi vào
chƣơng này.

y
r

x

y

x
z

O

M
z

x

M

y
z

θ



x

y
z

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Mối liên hệ giữa hệ tọa độ đề các Oxyz và hệ tọa độ cầu:

































r
z
cos
arc
θ

x
y
arctan

z
y
x
r

rcosθ
z

rsinθsin
y

cos
rsinθ
x

2
2
2







<i> d) Véctơ dịch chuyển: </i>

Phƣơng pháp chung để xác định vị trí của một chất điểm trong khơng gian là sử
dụng véctơ bán kính r, có điểm đầu là gốc tọa độ và điểm cuối là vị trí chất điểm.

z
k
y
j
x
i

r   

(với i, j,k là các véctơ đơn vị ứng với các trục Ox, Oy, Oz)

+ Tại thời điểm t1, vị trí của chất điểm đƣợc xác định là r1

+ Tại thời điểm t2, vị trí của chất điểm đƣợc xác định là r2

 Véctơ dịch chuyển r sau khoảng thời gian t = t2 – t1 là:

1

2 r

r
Δr 

<i> e) Phương trình chuyển động của chất điểm: </i>

Khi chất điểm M chuyển động, các tọa độ x, y, z của nó trong hệ tọa độ sẽ thay
đổi theo thời gian t hay x, y, z là hàm của t:

)
(t
r
r
z(t)

z

y(t)
y

x(t)
x















(1.1)

Phƣơng trình (1.1) là phƣơng trình chuyển động của chất điểm M.
<i> g) Quỹ đạo: </i>

Quỹ đạo của chất điểm là đƣờng tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của chất điểm
trong khơng gian trong suốt quá trình chuyển động.

<b>1.2. Véctơ vận tốc và véctơ gia tốc </b>

<i> a) Véctơ vận tốc: </i>

Véctơ dịch chuyển r sau khoảng thời gian t: Δrr(tΔt)r(t)

x

Δr

2

r

1

r

y

z

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

+ Véctơ vận tốc trung bình là tỷ số giữa véctơ dịch chuyển Δr và khoảng thời

gian t xảy ra sự dịch chuyển đó:

Δt
Δr
vtb 

+ Vận tốc tức thời:

dt
dr
Δt
Δr
lim
v

0

Δt 



 (1.2)

Véctơ vận tốc có phƣơng trùng với phƣơng tiếp tuyến của đƣờng cong quỹ đạo
tại thời điểm t.

<i> b) Véctơ gia tốc: </i>

+ Véctơ gia tốc trung bình là tỷ số giữa sự thay đổi véctơ vận tốc Δv và khoảng
thời gian t xảy ra sự thay đổi vận tốc đó:

Δt
Δv
atb

+ Véctơ gia tốc tức thời: 2
2
0

Δt _dt

r
d
dt

v
d
Δt
Δv
lim

a  

 (1.3)

<i> Một số cơng thức trong chuyển động thẳng có gia tốc không đổi (chuyển động </i>

<i>đều hoặc chuyển động biến đổi đều): </i>

Gọi: t là thời gian chuyển động

v0, vt là vận tốc ban đầu và vận tốc tại thời điểm t

a là gia tốc của chuyển động (a = const)

S là quãng đƣờng vật đi đƣợc sau khoảng thời gian t
Thì ta có1:

















2aS
v

v

at
2
1
t
v
S

at
v
v

2
0
2
t

2
0

0
t

(1.4)

<i> </i>

<i> c) Véctơ gia tốc tiếp tuyến và </i>
<i>véctơ gia tốc pháp tuyến2_:</i>

1_{Một số công thức quan trọng của chƣơng 1: (1.4); (1.6); (1.9); (1.13)}
2_{Mục này không cần nhớ cách chứng minh.}

τ

R τ'



d _τ

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Xét chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo cong với vận tốc thay đổi theo thời
gian cả về hƣớng và độ lớn.

Giả thiết chất điểm chuyển động trên một đƣờng trịn tâm O bán kính R. Độ cong
của quỹ đạo ký hiệu là k (đặc trƣng bởi véctơ đơn vị tiếp tuyếnτ) đƣợc xác định bằng
nghịch đảo bán kính R của quỹ đạo tại điểm đó.

dS
d
R

1

k  



_{(với dS là vi phân độ dài cung tròn)}

Véctơ vận tốc: v vτ

Gia tốc:

dt
dτ
v
τ
dt
dv
dt

)
τ
d(v
dt

dv

a     (1)

Xét:

R
v

.
d

dτ
dt
dS
.
dS
d
.
d

dτ
dt
dτ









 (2) (vì

R
1
dS
d



_

và v

dt
dS _

)

Véctơ τ là véctơ đơn vị nên: τ2 1

Vi phân hai vế ta đƣợc: 2τdτ0τ dτ

Từ hình vẽ ta có: dττd



d



dτnd



(3)

(với n là véctơ đơn vị pháp tuyến vng góc với véctơ đơn vị tiếp tuyến tại điểm
quỹ đạo của bán kính cong R)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

n
t
2

a
a
n
R
v
τ
dt
dv

a     (1.5) Độ lớn: a  a2_t a_n2

Gia tốc của một chất điểm chuyển động trên đƣờng cong bất kỳ là tổng hợp của
gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến. Khi chất điểm chuyển động trên đƣờng thẳng
thì gia tốc pháp tuyến bằng 0, khi chất điểm chuyển động trịn đều thì gia tốc tiếp
tuyến bằng 0 (chỉ cịn thành phần gia tốc pháp tuyến do góc quay luôn thay đổi)

<b>1.3. Một số dạng chuyển động thƣờng gặp1</b>

<i> a) Chuyển động của vật bị ném xiên lên trên góc </i><i>₀, vận tốc ban đầu v₀: </i>

Giả sử ban đầu vật ở gốc tọa độ O. Phân tích vận tốc của vật theo hai phƣơng Ox
và Oy:

1_{Bài tập thi cuối kỳ thƣờng kết hợp với dạng chuyển động ném xiên hoặc ném ngang.}

L
y

x

0

θ

0x

v
O

0

v

0y

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>






0
0
0y
0
0
0x
θ
sin
v
v
θ
cos
v
v

<i>- Xét theo phương nằm ngang (hình chiếu của vật trên Ox thì chuyển động đều): </i>

0

0
0
0
0x _θ
cos
v
x
t
t
θ
cos
v
t
v

x     (1)

<i>- Xét theo phương thẳng đứng: vật chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = – g </i>

(chọn chiều dƣơng hƣớng lên trên)

2
0
0
2
0y t
2
g
t
sinθ

v
t
2
g
t
v

y    (2)

Thay (1) vào (2) ta đƣợc:

2
0
0
0
0
0
0
θ
cos
v
x
2
g
θ
cos
v
x
sinθ
v

y _







 2
0
2
2
0

0 _θ x

cos
2v
g
θ
tan
x

y   _(1.6)

Phƣơng trình trên có dạng: y = ax + bx2 _{(với a, b là hằng số). Do đó quỹ đạo}

chuyển động có dạng parabol.

<i> Độ dài L đi được theo phương nằm ngang: </i>

Tại x = L thì y = 0:

0
x
θ
cos
2v
g
tanθ
x
y
0
2
2
0

0 




























)
(2θ
sin
g
v
θ
.sin
θ
.2cos
g
v
x
0
x
0
x

θ
cos
2v
g
tanθ
0
x
0
2
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0

Vậy quãng đƣờng vật đi đƣợc là: sin(2θ )
g
v
L ₀
2
0
 (1.7)

L_max sin(2₀) = 1 ₀ = 450
<i> Độ cao lớn nhất (h) mà vật đạt được: </i>

Tại độ cao h: vy = 0 (vận tốc theo phƣơng Oy bằng 0)

g
v
t
0
gt
v

v_y  _0y     0y

2g
θ
sin
v
2g
v
g
v
2
g
g
v
v
2
gt
t
v
y 0

2
2
0
2
0y
2
0y
0y
0y
2
0y

max   

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Vậy độ cao là:

2g
θ
sin
v

h 0

2
2
0

 (1.8)

<i> b) Chuyển động của vật bị ném ngang1, vận tốc ban đầu v0: </i>

Giả sử một vật khối lƣợng m bị ném ngang từ một điểm O có độ cao h. Sau khi
truyền vận tốc ban đầu v vật chỉ còn chịu tác dụng của trọng lực P (bỏ qua sức cản 0

của không khí). Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ.

<i>- Xét theo phương nằm ngang: </i>

t
v

x ₀ (1)

<i>- Xét theo phương thẳng đứng: vật rơi tự do với gia tốc g (chọn chiều dƣơng </i>

hƣớng xuống dƣới)

2

gt
2
1

y (2)

Thay (1) vào (2) ta đƣợc: _ 









2

0

v
x
2
g

y ₂ 2

0

x
2v

g

y (1.9)

(quỹ đạo chuyển động của vật có dạng parabol)
+ Tầm ném xa:

g
2y
v

x
x
2v

g

y ₂ 2 ₀

0





Nếu vật ở độ cao h thì tầm ném xa là:

g
2h
v

L ₀ _(1.10)

+ Thời gian từ lúc ném đến khi chạm đất: bằng thời gian vật rơi tự do khi ở cùng
độ cao ban đầu:

g
2h

t  _(1.11)

1_{Có thể suy ra từ chuyển động ném xiên ở mục a, khi góc ném bằng 0.}

0

v

x

y
O
h

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<i> c) Chuyển động tròn đều: </i>

Xét chất điểm chuyển động trịn đều
với vận tốc khơng đổi. Hai điểm P, Q gần
nhau và đối xứng với nhau qua trục Oy.
Ta có thành phần x, y của véctơ vận tốc
tại P, Q là:



















sinθ
v
v

cosθ
v
v
;
sinθ
v
v

cosθ
v
v

Qy
Qx
Py

Px

Thời gian cần thiết để chất điểm chuyển động từ P  Q:

v
R2θ
v

PQ
cung
Δt  

<i>Véctơ gia tốc trung bình theo các phương: </i>

+ Theo phƣơng Ox:

0
Δt

cosθ
v
cosθ
v
Δt

v
v

atb(x) Qx Px 








+ Theo phƣơng Oy:

Δt
sinθ
v
2
Δt

sinθ
v
sinθ
v
Δt

v
v

atb(y) Qy Py 








Về độ lớn: sinθ_θ

R
v

v
R2θ
2vsinθ
Δt

2vsinθ
a

2

tb(y)  

Khi P  Q thì  00. Ta có:

R
v
θ
sinθ
R
v
lim
a

2

2

0

θ 



 (1.12)

Trong chuyển động trịn đều, gia tốc ln hƣớng vào tâm của quỹ đạo trịn và
ln vng góc với véctơ vận tốc.

<i> Một số cơng thức trong chuyển động tròn biến đổi đều (nhanh hoặc chậm dần đều) </i>
Gọi: t là thời gian chuyển động

₀, _t là vận tốc góc ban đầu và vận tốc góc tại thời điểm t
 là gia tốc góc của chuyển động ( = const)

 là lƣợng góc quay đƣợc sau khoảng thời gian t

Thì ta có:





















2β
ω
ω

βt
2
1
t
ω

βt
ω
ω

2
0
2
t

2
0

0
t

(1.13)

x
y

O

P vP Q

Q

v
θ

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 1.1: Một ngƣời chạy đua với vận tốc thay đổi theo thời gian đƣợc minh họa </b>
<b>bằng đồ thị trên hình vẽ. Hỏi ngƣời đó chạy đƣợc quãng đƣờng là bao nhiêu </b>
<b>trong 16 giây1. </b>

Quãng đƣờng ngƣời đó chạy
đƣợc trong 16 giây là:





16

0

dt
v
S

Vận tốc chạy lần lƣợt là: nhanh dần đều, đều, chậm dần đều và đều; ứng với các
khoảng thời gian [0, 2], [2, 10], [10, 12], [12, 16] giây. Quãng đƣờng đi đƣợc là tổng
diện tích của các đa giác: (a), (b), (c), (d) nhƣ trên hình vẽ.

 Quãng đƣờng đi đƣợc:

(m)
100
4.4
.2
2

4
8
8.8
.2.8
2
1

S
S
S
S

S _(a)  _(b) _(c)  _(d)      

<b>Bài 1.2: Đồ thị phụ thuộc vận tốc của vật vào thời gian có dạng nhƣ hình vẽ. Vận </b>

<b>tốc cực đại của vật là v0, thời gian chuyển động là t0. Hãy xác định quãng đƣờng </b>

<b>mà vật đi đƣợc trong thời gian đó2</b><i>_.</i>

Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của vận
tốc theo thời gian có dạng nửa hình elip,
hai bán trục là v0 và t0/2. Quãng đƣờng đi

đƣợc là diện tích của nửa hình elip đó.
Diện tích hình elip có hai bán trục v0

và t0/2 là3:

2
t
v
π 0

0

 Quãng đƣờng đi đƣợc:

4
t
v
π
S 0 0

(m)

<b>Bài 1.3: Một ngƣời quan sát đứng ngang với đầu tàu hỏa lúc nó bắt đầu chuyển </b>
<b>động và nhận thấy toa đầu tiên chạy ngang qua mình mất một khoảng thời gian t </b>
<b>= 4s. Hỏi toa tàu thứ n = 7 chạy ngang qua ngƣời đó trong khoảng thời gian là </b>
<b>bao nhiêu lâu? Biết rằng chuyển động của tàu là nhanh dần đều, độ dài của các </b>

<b>toa là nhƣ nhau và bỏ qua độ dài chỗ nối giữa các toa4</b>

<b>. </b>

<i>Hướng dẫn5</i>

<i>: Vì tàu chuyển động nhanh dần đều nên càng toa về sau càng </i>

<i>chuyển động nhanh hơn qua người quan sát. Thời gian toa thứ n chạy qua bằng thời </i>

1

Giống với bài 2 trang 180, giáo trình Q1. Hoặc tƣơng tự bài 2 trang 36, giáo trình Q2

2_{Giống với bài 3 trang 180, giáo trình Q}

1<i> (xem tên giáo trình ở mục “Tài liệu tham khảo”, cuối file này)</i>
3

Công thức này đã đƣợc chứng minh và có thể áp dụng ln.

4_{Giống với bài 4 trang 181, giáo trình Q}
1

5<i>_{Mỗi bài tập thƣờng có mục “Hướng dẫn” để khái quát hƣớng giải cho bài tập đó.}</i>

v (m/s)
8

4

16 t (s)
12

8
4

0

(a)

(b)

(c) _(d)

v

t
v0

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i>gian n toa đầu tiên chạy qua trừ đi thời gian (n – 1) toa chạy qua. Sử dụng các công </i>
<i>thức trong chuyển động biến đổi đều để biểu diễn thời gian n toa chạy qua theo thời </i>
<i>gian toa đầu tiên chạy qua (t = 4s). </i>

Gọi gia tốc của chuyển động là a.

+ Chiều dài toa đầu tiên: 1 at12

2
1



<i>l</i> (với t1 là thời gian toa 1 chạy qua)

+ Chiều dài n toa đầu tiên: _n at2_n
2
1



<i>l</i> (với t_n là thời gian n toa chạy qua)

+ Chiều dài (n – 1) toa đầu tiên: _n_-₁ at2_n_-₁
2
1


<i>l</i>

Mà chiều dài của các toa bằng nhau nên ta có:

2
1
2

1

-n
2
n
2
1
2

1

-n
2
n
2
1

2

1

-n
2

n at t t t t t t

2
1
at

2
1
at
2

1 _ _ _ _ _ _ _ _

Suy ra: t2_n_-₁ t2_n_-₂ t2. Do đó:

2
1
2
2

-3
n
2

1
2

2

-n
2

n t 2t t 3t nt

t     



n
t
t_n 

 (vì t₁ = t = 4s)

Tƣơng tự ta có: t_n_₁ t n1. Do đó, thời gian toa thứ n chạy qua:



n n 1



t
t

t_n  _n_₁   

Vậy, thời gian toa thứ 7 chạy qua: 4



7 6



0,785(s)

<b>Bài 1.4: Một vật đƣợc ném lên trên theo phƣơng thẳng đứng. Ngƣời quan sát </b>
<b>thấy vật đó đi qua vị trí có độ cao h hai lần và khoảng thời gian giữa hai lần đó là </b>
<b>t. Tìm vận tốc ban đầu và thời gian chuyển động của vật từ lúc ném đến khi vật </b>
<b>rơi về vị trí ban đầu. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình chuyển động của vật, phương trình này có dạng </i>
<i>bậc hai theo thời gian t. Sau đó biểu diễn hai nghiệm t1 và t2 theo vận tốc ban đầu v0</i>

<i>và các tham số đã biết. </i>

Gọi v0 là vận tốc ban đầu, chọn chiều dƣơng

hƣớng lên trên. Ta có:

0
2h
t
2v
gt
2

gt
t
v

h 2 ₀

2

0     



Bài toán tƣơng ứng với việc tìm v0 sao cho

phƣơng trình trên có hai nghiệm t1 và t2 thỏa mãn:

(t2 – t1) = t

Tính: Δ'b'2acv2₀ 2gh

Khi ' > 0 thì phƣơng trình có 2 nghiệm t₁, t₂. Áp dụng hệ thức Vi – ét:
)

(

2
gt
t
v
h

2

0 



max

h

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>













g
2h
a
c
t
t
g
2v
a
b
t
t
2

1
0
2
1

Mà: (t2 – t1) = t









2
2
1
2
2
1
2
2
2

1 t t t t 4t t t

t      


2
2
2
2
2
2
0
2

2
2
0
g
t
g
g
8gh
g
4v
t
g
8h
g

4v _ _ _ _ _


4
8gh
t
g
v
2
2
2
0



 (thỏa mãn điều kiện ' > 0)





4
8gh
t
g
v
2
2
0
2
1
2
0
g
8h
t
2
g
v _









Vật ở mặt đất (h = 0) thì: gt22v₀t 0t = 0 hoặc

g
2v
t  0

Do đó: _ 









 2
1
2
0
g
8h
t
2g
2g
g
2v
t

2
1
2
g
8h
t
t _









<b>Bài 1.5: Hai vật đƣợc ném đi đồng thời từ cùng một điểm. Vật thứ nhất đƣớc ném </b>

<b>thẳng đứng lên trên với vận tốc v0 = 25m/s, vật thứ hai đƣợc ném với cùng vận tốc </b>

<b>ban đầu v0 và tạo với phƣơng ngang góc</b><b> = 60</b>

<b>0_{. Xác định khoảng cách giữa hai}</b>

<b>vật sau thời gian t = 1,7s </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình chuyển </i>
<i>động của hai vật theo các phương Ox và Oy </i>
<i>để xác định tọa độ mỗi vật sau khoảng thời </i>
<i>gian t bất kỳ. Khoảng cách giữa hai vật </i>

<i>được xác định thông qua tọa độ của chúng. </i>

Phƣơng trình chuyển động của hai vật
theo các phƣơng Ox, Oy:

<i><b>Đối với vật 1 (vật ném đứng): </b></i>








2
gt
t
v
y
:
Oy
0
x
:
Ox
2
0
1
1

<i><b>Đối với vật 2 (vật ném xiên góc 60</b></i>0

):







2
gt
sinθ
t
v
y
:
Oy
cosθ
t
v
x
:
Ox
2
0
2
0
2
x



0
60



)
y
,
(x₁ ₁

)
y
,
(x₂ ₂
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Khoảng cách giữa hai vật sau khoảng thời gian t = 1,7s là:



 



2 2





2

0
2
2
2
0
2
1
2
2
1

2 x y y v t cos θ v t sinθ 1

x

d      

sinθ
2
2
t
v

d ₀  25.1,7 2 3 22(m)

<b>Bài 1.6: Một hòn đá đƣợc ném với vận tốc ban đầu v0 = 20m/s theo phƣơng hợp </b>

<b>với phƣơng nằm ngang góc </b><b> = 600. Xác định bán kính cong R của quỹ đạo hòn </b>

<b>đá tại điểm cao nhất và tại điểm nó rơi xuống mặt đất. Bỏ qua sức cản của khơng </b>
<b>khí. </b>

<i>Hướng dẫn: Bán kính cong của </i>
<i>quỹ đạo tại điểm bất kỳ được xác </i>
<i>định thông qua gia tốc pháp tuyến an. </i>

<i>Tại mỗi điểm thì tổng của gia tốc tiếp </i>
<i>tuyến và gia tốc pháp tuyền bằng gia </i>
<i>tốc trọng trường1_:_a</i> <i>_a</i> <i>_g</i>

<i>n</i>

<i>t</i>  

Chiếu vận tốc lên các trục Ox, Oy:

<i> * Bán kính cong tại điểm cao nhất A: </i>













g
v
a
v
R
g
a
0
v
cosθ
v
v

2
Ax
n
2
A
A
n
Ay
0
Ax
g
θ
cos
v
R
2
2
0

A  10,2

 

m

8
,
9
4
1
.
202



<i> * Bán kính cong tại điểm mặt đất B: </i>














gcosθ
θ
sin
v
θ
cos
v
a
v
R
gcosθ
a
sinθ
v

v
cosθ
v
v
2
2
0
2
2
0
n
2
B
B
n
0
By
0
Bx
gcosθ
v
R
2
0

B   81,6 (m)

<b>Bài 1.7: Một con tàu chuyển động dọc theo xích đạo về hƣớng đơng với vận tốc v0</b>

<b>= 30km/h. Trong lúc đó có một luồng gió với vận tốc v = 15km/h thổi đến từ </b>

<b>hƣớng đông nam và hợp với phƣơng xích đạo một góc </b><b> = 600. Hãy xác định vận </b>

<b>tốc v' của luồng gió so với tàu và </b><b>' là góc giữa hƣớng gió và xích đạo trong hệ </b>

<b>quy chiếu gắn với con tàu2</b>

<b>. </b>

<i>Hướng dẫn: Các vận tốc được thể hiện </i>
<i>qua hình vẽ. Sử dụng định lý cosin trong tam </i>
<i>giác để tìm vận tốc v', định lý sin trong tam </i>
<i>giác để tìm góc </i><i>'. </i>

1_{Thống nhất lấy gia tốc trọng trƣờng: g = 9,8m/s}2_.

2_{Giống với bài 9 trang 182, giáo trình Q}

1

θ _θ'

v v'

0
v
A
B

θ
0
v
x
y
O
Ax
v
g
an 

g

n

a

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<i> * Vận tốc của luồng gió so với đồn tàu có phương và chiều như hình vẽ: </i>

0

0 v' v v

v
'
v

v    

Độ lớn: 0

0
2

0
2

cos120
v

2v
v
v

v'    1575 (theo định lý cosin)

(km/h)
39,7

v'



<i> * Góc giữa hướng gió và xích đạo trong hệ quy chiếu gắn với con tàu: </i>

Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:

0,3273

1575

2
/
3
15.
v'

sin120
v

'
sinθ
sin120

v'
'

sinθ

v 0

0    



 θ'arcsin



0,3273



0

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>CHƢƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM</b>

<b>1</b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>2.1. Lực và khối lƣợng </b>

Lực là đại lƣợng đặc trƣng cho tác dụng của vật này lên vật khác và gây ra gia
tốc.

Khối lƣợng là đại lƣợng đặc trƣng cho các vật khác nhau khi chịu cùng một lực
nhƣ nhau nhƣng nhận đƣợc gia tốc khác nhau.

<b>2.2. Ba định luật Newton </b>

<i> a) Định luật I Newton: </i>

<i>Vật đứng n hay chuyển động thẳng đều nếu nó khơng chịu tác dụng của ngoại </i>
<i>lực hoặc tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng 0. </i>

0
F
0

a    (2.1)

Định luật I còn đƣợc gọi là định luật quán tính2_{. Hệ quy chiếu xác định định luật}

<i>này gọi là hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó </i>

<i>chuyển động của chất điểm khơng chịu tác dụng của bất kỳ một lực nào). </i>

<i> b) Định luật II Newton: </i>

<i>Lực tổng hợp tác dụng lên vật bằng tích khối lượng của vật với gia tốc mà vật </i>
<i>nhận được dưới tác dụng của lực tổng hợp đó. </i>

a
m

F (2.2)3

<i> c) Định luật III Newton: </i>

<i>Khi hai vật tương tác với nhau thì lực mà vật 1 tác dụng lên vật 2 bằng và ngược </i>
<i>chiều với lực tác dụng từ vật 2 lên vật 1: </i>

21

12 F

F  (2.3)

Chú ý: Mặc dù hai lực có độ lớn bằng nhau và ngƣợc chiều nhau nhƣng không
cùng điểm đặt nên chúng không triệt tiêu với nhau. Định luật này chỉ áp dụng đƣợc
nếu khoảng thời gian mà lực truyền từ vật 2 sang vật 1 là rất ngắn so với khoảng thời
gian tƣơng tác giữa hai vật.

<b>2.3. Động lƣợng, xung lƣợng, định luật biến thiên và bảo toàn động lƣợng </b>

<i> a) Động lượng của chất điểm: </i>

Động lƣợng của một chất điểm đƣợc định nghĩa bởi: Pmv

1

Chƣơng 2 khảo sát chuyển động của chất điểm trong mối liên hệ với tác nhân gây ra chuyển động (lực).

2_{Qn tính có nghĩa là: nếu vật khơng chịu tác dụng lực thì trạng thái đứng n hay chuyển động thẳng đều của}

nó đƣợc bảo tồn.

3<i>_{Phƣơng trình định luật II Newton đƣợc coi là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm. Thực ra, định}</i>

<i>luật II Newton đƣợc phát biểu dƣới dạng tổng quát hơn: “biến thiên động lượng của chất điểm bằng tổng hợp lực </i>

<i>tác dụng lên chất điểm đó”. Nhƣng mơn học này chỉ khảo sát các chất điểm có khối lƣợng khơng thay đổi trong </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<i> b) Xung lượng của lực: </i>

Gọi (t)F là lực tác dụng lên chất điểm, lực này thay đổi phụ thuộc vào thời gian t.

Xung lƣợng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian t = t2 – t1:



 2

1

t

t

(t)dt
F

J _(2.4)

<i> c) Định luật biến thiên và bảo toàn động lượng: </i>

Độ biến thiên động lƣợng của chất điểm theo thời gian:

(t)
F
a
m
dt
dv
m
dt

)
v
d(m
dt

dP _ _ _ _














2

1
2

1

t

t
t

t

(t)dt
F
dP
(t)dt

F

dP P2P1  J (2.5)

<i>Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng xung </i>
<i>lượng của ngoại lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. </i>

<i>Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì động lượng được bảo toàn: </i>

const
P

0
F
dt

dP _ _ _ _

(2.6)

<i> d) Chuyển động của vật có khối lượng thay đổi (tên lửa)1: </i>

Xét khối lƣợng tổng cộng của tên lửa là M0. Trong quá trình chuyển động khối

lƣợng của tên lửa giảm dần đồng thời vận tốc tăng dần. Tìm vận tốc v của tên lửa khi
khối lƣợng của nó là M.

Động lƣợng của tên lửa tại thời điểm có khối lƣợng M, vận tốc v: P1 Mv

Sau khoảng thời gian dt, tên lửa phụt ra khối lƣợng khí là dM.

Nếu vận tốc phụt của khí so với tên lửa là u thì vận tốc của khí so với hệ quy
chiếu đang xét là: uv

Động lƣợng của khí phụt ra: dM

 

uv

Lúc này khối lƣợng của tên lửa là M – dM, vận tốc của tên lửa là vdv

Động lƣợng của tên lửa sau khi phụt khí:



MdM





vdv



Tổng động lƣợng của hệ sau khi phụt khí:

 

u v



M dM





v dv



dM

P2     

Vì hệ kín nên động lƣợng đƣợc bảo toàn: P1P2

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

 

u v



M dM





v dv



dM

v

M     



dMdv
dM

v
dv
M

v
M
dM
v
dM
u
v

M      



dMdv
dv

M
dM
u

0   



Bỏ qua thành phần vô cùng nhỏ bậc 2 (dMdv) ta đƣợc:

















 M

M
v

0 0

u
M
dM
dv

u
M
dM
dv

dv
M
dM

u  



M

M0 M

dM
u

v

Về độ lớn:

M
M
ln
u

v 0 (2.7) (Cơng thức Xioncopsky)

 Để có v lớn thì phải tăng u hoặc tăng tỷ lệ
M
M0

<b>2.4. Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu phi quán tính1</b>

<i>Hệ quy chiếu phi quán tính là hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc so với hệ quy </i>
<i>chiếu qn tính. Có hai dạng đơn giản của hệ quy chiếu phi quán tính: </i>

+ Chuyển động thẳng có gia tốc.
+ Chuyển động quay đều.

<i> a) Hệ quy chiếu phi quán tính dạng chuyển động thẳng có gia tốc: </i>

Giả sử trong hệ quy chiếu K, chất điểm có vận tốc v và gia tốc a. Trong hệ quy

chiếu K', chất điểm có vận tốc v' và gia tốc a'. Hệ K' có vận tốc v0, gia tốc a0 so với

hệ K thì:












0
0

a
'
a
a

v
'

v
v

(2.8)

a'
m
a
m
F
a

m
a'
m
a

m   0   0 



Biểu diễn đại lƣợng: Fqt ma0 nhƣ một lực gọi là lực quán tính, ta đƣợc:

a'
m
F

F qt  (2.9)

<i>Tổng các lực tác dụng lên chất điểm bằng khối lượng của chất điểm nhân với gia </i>

<i>tốc trong hệ quy chiếu phi qn tính. Phƣơng trình (2.9) là phƣơng trình định luật II </i>

<i>Newton trong hệ quy chiếu phi qn tính dạng chuyển động thẳng có gia tốc. </i>

<i> b) Hệ quy chiếu phi quán tính dạng chuyển động quay đều, lực quán tính ly tâm và </i>
<i>lực Coriolis: </i>

Xét hệ quy chiếu K và K' có Oz trùng với O'z'.

1_{Các bài tập thi và kiểm tra thƣờng không ra vào dạng này. Tuy nhiên, chuyển động trong hệ quy chiếu phi quán}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Các trục O'x' và O'y' quay xung quanh O'z' với vận tốc góc . Gọi alà gia tốc

của chất điểm trong hệ K và a'là gia tốc trong hệ K', biến đổi ta đƣợc:

a'
m
'
r
mω
]
ω
'
v
2m[
a

m    2 

 FFC FL ma' (2.10)

Trong đó:

a
m

F là tổng các lực thật tác dụng lên vật trong hệ K.

]
ω
'
v
2m[

FC   là lực coriolis, v' là vận tốc trong hệ K'.

'
r
mω

FL  2 là lực quán tính ly tâm, 'r là vị trí chất điểm trong K'.

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 2.1: Một vật1 A khối lƣợng m1 = 3kg nằm trên mặt phẳng nghiêng góc </b><b> = 300</b>

<b>so với phƣơng nằm ngang. Vật A đƣợc nối với B có khối lƣợng m2 = 2kg bằng </b>

<b>một sợi dây không co giãn qua một ròng rọc cố định. Hãy xác định gia tốc chuyển </b>
<b>động của các vật, lực căng của sợi dây và áp lực lên ròng rọc. Bỏ qua khối lƣợng </b>

<b>sợi dây, ròng rọc và ma sát giữa dây với ròng rọc. Cho biết hệ số ma sát giữa vật </b>

<b>A và mặt phẳng nghiêng </b><b> = 0,1. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình </i>
<i>định luật II Newton cho từng vật. </i>
<i>Chiếu lên chiều chuyển động và giải </i>
<i>hệ phương trình. </i>

<i> * Gia tốc chuyển động của các vật: </i>

Chọn chiều dƣơng là chiều chuyển động của vật nhƣ hình vẽ. Chiếu các lực tác
dụng lên chiều chuyển động:

+ Đối với vật A, khối lƣợng m1:

a
m
T
F

Pt  ms  1  ₁

(1)
a
m
T
F

P_t  _ms   ₁



 (vì T₁ = T₂ = T)

+ Đối với vật B, khối lƣợng m2:

a
m
T

PB 2  ₂

(2)
a
m
T
P_B   ₂



Cộng từng vế (1) và (2) ta đƣợc:

)a
m
(m
P
F

P_t  _ms  _B  ₁ ₂



1_{Thuật ngữ “vật” ở chƣơng 2 và chƣơng 3 đƣợc coi nhƣ một chất điểm.}

ms

F

A

P

B

P

N

n

P

t

P

1

T

2

T

0

30



F

1
m

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

)a
m
(m
g
m
cosθ
g
μm
sinθ
g

m₁  ₁  ₂  ₁ ₂




2
1
1
1
2
m
m
cosθ
μm
sinθ
m
m
g
a




 0,47(m/s )

5
cos30
0,1.3
sin30
3
2

9,8. 2
0
0





<i> * Lực căng T của sợi dây có độ lớn là: </i>

a)
(g
m
T
a
m
P
T
a
m
T

P_B  ₂   _B  ₂   ₂ 














2
1
1
1
2
2
m
m
cosθ
μm
sinθ
m
m
1
g
m
T














2
1
1
1
2
2
1
2
m
m
cosθ
μm
sinθ
m
m
m
m
g
m
T
 _










2
1
2
1
m
m
cosθ
μ
sinθ
1
g
m
m
T
(N)
18,7
5
cos30
0,1
sin30
1
.
8
,

9
.
2
.
3
T
0
0






  



<i> * Áp lực tác dụng lên ròng rọc: </i>

)
T
T
(

F 1 2 và có phƣơng, chiều nhƣ hình vẽ.

Độ lớn: _






 

2
θ
0
9
2Tcos
F
0

(theo định lý cosin trong tam giác)

N)
(
4
,
32
0
3
2.18,7.cos
F 0 



<b>Bài 2.2: Một vật đƣợc ném lên theo mặt phẳng nghiêng tạo với phƣơng nằm </b>

<b>ngang góc </b><b> = 150. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng. Biết rằng </b>

<b>thời gian đi xuống của vật bằng n = 2 lần thời gian đi lên1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Từ giả thiết tx = 2tl mà quãng </i>

<i>đường dài bằng nhau, suy ra mối liên hệ giữa ax và </i>

<i>a_l. Viết phương trình định luật II Newton cho cả hai </i>
<i>chiều lên xuống và chiếu lên chiều chuyển động. </i>
<i>Giải hệ phương trình để tìm </i><i>. </i>

Gọi hệ số ma sát là .

Quãng đƣờng đi lên và đi xuống là bằng nhau. Khi đi lên thì vật chuyển động
chậm dần đều (a<i>l</i> < 0), khi đi xuống thì vật chuyển động nhanh dần đều (ax > 0)

x
2
2
2
x
2
x
2
x
x
2
a
n
a

n
1
t
t
a
a
t
a
2
1
t
a
2
1

S    







 <i>l</i> <i>_l</i>

<i>l</i>
<i>l</i>

<i>l</i>

1_{Giống với bài 13 trang 183, giáo trình Q}

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Viết phƣơng trình định luật II Newton cho vật. Chọn chiều dƣơng là chiều
chuyển động.

<i>+) Khi vật chuyển động đi lên: </i>

<i>l</i>

<i>l</i> P F ma

ma
F

Pt  ms   _t  _ms 

θ)
cos
μ
g(sinθ
a

ma
cosθ
μmg
sinθ

mg     



 <i>_l</i> <i>_l</i>

<i>+) Khi vật chuyển động đi xuống: </i>

x
ms

t
x
ms

t F ma P F ma

P     

θ)
cos
μ
g(sinθ
a

ma
cosθ
μmg
sinθ

mg   _x  _x  



Mà: a<i>_l</i> n2a_x do đó:

1)sinθ
(n

θ
cos
1)μ
(n

θ)
cos
μ
g(sinθ
n

θ)
cos
μ

g(sinθ  2   2  2

 tanθ

1
n

1
n
μ ₂2




 tanθ

5
3
μ


<i><b>Bài 2.3: Một vật khối lƣợng m = 1kg buộc vào đầu dây có chiều dài l = 30cm, đầu </b></i>
<b>kia của dây đƣợc giữ cố định tại điểm O. Cho vật chuyển động tròn trong mặt </b>

<b>phẳng ngang, còn sợi dây hợp với phƣơng thẳng đứng góc </b><b> = 600. Hãy xác định </b>

<b>vận tốc v, sức căng T của dây. </b>

<i>Hướng dẫn: Lực căng được xác định </i>
<i>trong mối liên hệ với trọng lực và lực hướng </i>
<i>tâm. Sau đó, áp dụng biểu thức trong chuyển </i>
<i>động trịn bán kính R để suy ra vận tốc v. </i>

<i>+) Tính lực căng T: </i>

Vật m chịu tác dụng của lực căng T và trọng lực P. Tổng hợp của 2 lực này là

một lực hƣớng vào tâm Fhtvà gây ra chuyển động tròn của vật.

P
T
Fht  

Chiếu lên phƣơng chuyển động (phƣơng của v) ta đƣợc:

0

F_ht  (vì Fht v)





P Tcosθ 0

cosθ
P

T 19,6 (N)

5
,
0

8
,
9

.
1
60
cos

mg

0 



<i>+) Tìm vận tốc v: </i>

Trong chuyển động trịn đều ta có:

v
O

<i>l</i>

θ T

m

P

ht

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

R
mv

F

2

ht  <i>(với R là bán kính quỹ đạo: R = lsin</i> và Fht = Tsin)






sinθ
mv
Tsinθ

2

<i>l</i> m

θ
sin
T
v

2

<i>l</i>

 2,1 (m/s)

1

60
in

19,6.0,3.s 2 0 _



<b>Bài 2.4: Một ngƣời khối lƣợng m₁ = 60kg đứng trong thang máy có khối lƣợng m₂</b>

<b>= 300kg. Thang máy chuyển động lên trên với gia tốc a = 0,8 m/s2_{. Tính lực căng}</b>

<b>của dây cáp treo thang máy, lực ngƣời đó nén lên sàn, trong hai trƣờng hợp </b>
<b>thang máy chuyển động: </b>

<b>a) Nhanh dần đều. </b>
<b>b) Chậm dần đều. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho hệ người và thang máy, </i>
<i>chiếu lên chiều chuyển động để tìm lực căng của dây cáp treo. Áp lực của người lên </i>
<i>sàn bằng và ngược chiều với lực mà sàn tác dụng lên người, viết phương trình định </i>
<i>luật II Newton cho riêng người để suy ra lực nén. </i>

<i> a) Lực căng của dây cáp và áp lực của người lên sàn khi thang máy chuyển động </i>

<i>nhanh dần đều: </i>

<i>Áp lực của người lên sàn (W</i> <i>): </i>














W m a W m a P W ma ( mg)

P1 ₁ ₁ 1 ₁ ₁ W m₁(ag)

(N)
636
9,8)

60.(0,8

W  



<i> b) Lực căng của dây cáp và áp lực của người lên sàn khi thang máy chuyển động </i>

<i>chậm dần đều: </i>

a
m
T
P 



Chiếu lên chiều chuyển động thì a < 0:
a)
m(g
T

ma
T

mg    



 T(m₁m₂)(ga) (60300)(9,80,8)3240 (N)
Áp dụng định luật II Newton cho hệ

ngƣời và thang máy:

a
m

F (với F là tổng ngoại lực)

a
m
T
P 

 (với m = m₁+m₂)
Chiếu lên chiều chuyển động thì a > 0:

g)
m(a
T

ma
T

mg    



 T(m₁m₂)(ag)

N)
(
3816
)

8
,

9
(0,8
300)
(60

T   



P
T

Quái! Tầng nào
cũng mở. Bị

hack à?

Tầng 1 nhà T5

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<i>Áp lực của người lên sàn (W</i> <i>): </i>

1
1
1

1 m a W m a P

P

W    








W m₁a ( m₁g) Wm₁(ga) 60.9540 (N)

<b>Bài 2.5: Một ngƣời nặng 72kg ngồi trên sàn treo nặng 12kg nhƣ hình vẽ. Hỏi </b>
<b>ngƣời đó phải kéo dây với một lực bằng bao nhiêu để sàn chuyển động nhanh dần </b>
<b>đều lên cao đƣợc 3m trong thời gian là 2s. Tính áp lực của ngƣời đó lên sàn. </b>

<i>Hướng dẫn: Từ giả thiết chuyển động nhanh dần </i>
<i>đều lên cao 3m trong thời gian 2s có thể suy ra gia tốc </i>
<i>của chuyển động. Viết phương trình định luật II Newton </i>
<i>cho hệ (người và sàn treo) để tìm lực căng. Áp dụng </i>
<i>định luật II cho người để tìm áp lực của người lên sàn. </i>

<i> * Tìm lực kéo dây treo: </i>

Gia tốc của chuyển động lên trên:

)
(m/s
1,5

2
2.3

t

2S
a
at
2
1
at
2
1
t
v

S ₀  2  2   ₂  ₂  2

Gọi m1 và m2 là khối lƣợng của ngƣời và sàn. Áp dụng định luật II Newton cho

hệ ngƣời và sàn ta đƣợc:

a
m
T
2
P 

Chiếu lên chiều chuyển động (hƣớng lên trên):














mg 2T ma 2T m(g a) (m₁ m₂)(g a) (g a)
2

m
m

T 1 2 

(N)
474,6
1,5)

(9,8
2

12
72

T   



<i> * Áp lực W của người lên sàn: áp dụng định luật II Newton cho riêng ngƣời: </i>

T
P
a
m
W
a

m
T
W

P1   ₁   ₁  1

Chiếu lên chiều chuyển động:







ma ( mg) T

W ₁ ₁ Wm₁(ag)T

(N)

339
474,6

)
8
,
9
(1,5
72

W    



<b>Bài 2.6: Hãy xác định gia tốc của các vật m1, m2 và các lực căng T của các dây </b>

<b>trong hệ mô tả trên hình vẽ. Cho biết dây không co giãn, bỏ qua ma sát, khối </b>

<b>lƣợng của ròng rọc và dây không đáng kể1</b>

<b>. </b>

1_{Giống với bài 11 trang 183, giáo trình Q}

1

P

1

m

2

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho hai vật m1 và m2. Chiếu </i>

<i>lên phương chuyển động và giải hệ phương trình để tìm gia tốc, lực căng. Chú ý mối </i>
<i>quan hệ về gia tốc của hai vật. </i>

<i> +) Đối với vật m₂: </i>

2
2
4
3

2 T T m a

P   

(2)
g
m
2T
a
m

a
m
2T
g

m2   2 2  2 2   2




Mà a₁ 2a₂(vì quãng đƣờng vật 1 đi đƣợc gấp đôi quãng đƣờng vật 2 đi đƣợc

trong cùng một khoảng thời gian, gia tốc tỷ lệ với quãng đƣờng: a = 2S/t2₎

Do đó, từ (1) và (2) ta có hệ hai phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn:




























g
m
2T
a
m
g
m
2
T
2
a
4m
g
m
2T
a
m
g

m
T
a
2m
g
m
2T
a
m
g
m
T
a
m
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1

1
1

Cộng từng vế của hệ phƣơng trình ta đƣợc:



























g
m
4m
m
3m
g
g
m
4m
m
2m
2
m
2
g)
(a
m
T
g
m
4m
m
2m
a
2
1
2
1
2
1

2
1
2
2
2
2
1
2
1
2

Suy ra: a₁ 2a₂ 

2
1
2
1
1
m
4m
m
2m
g
2
a



 _{. Các lực căng là:}

g
m
4m
m
3m
T
T
T
T
2
1
2
1
4
3

1     _ ; T2 T1T3 2T _4m _m g

m
6m
T
2
1
2
1

2  _

<b>Bài 2.7: Một vật A khối lƣợng m₁ buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc, đầu kia là </b>

<b>một vòng B khối lƣợng m2 có thể trƣợt dọc sợi dây. Tính gia tốc chuyển động của </b>

<b>vòng B, lực ma sát giữa sợi dây và vòng B khi A chuyển động đều, nếu ban đầu hệ </b>
<b>đứng yên. Bỏ qua khối lƣợng của ròng rọc và ma sát. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho từng vật và chiếu lên </i>
<i>chiều dương hướng lên trên. </i>

Áp dụng định luật II Newton cho các vật m₁
và m2 và chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc

(giả sử vật m1 chuyển động xuống):

<i>+) Đối với vật m1: </i>

1
1
1

1 T m a

P  

1
1

1g T m a

m  

 (vì T1 = T3 = T4 = T)

(1)
g
m
T
a

m₁ ₁  ₁


1
m
2
m
2
T
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<i> +) Đối với vòng B khối lượng m2</i>

2
2
2

2 T m a

P  

(trong đó T2 chuyển thành lực ma sát giữa vịng B và sợi dây)

2
2

2g T m a

m  



 (a2 > 0 vì vịng B chuyển động xuống dƣới, nhanh dần)

g
m
m
g
m

T
g
m

T
g
m
a

2
1
2

2
2

2    




 _ g

m
m
1
a

2
1

2 










 _(vì_T _m_g

1

 )

Lực ma sát giữa sợi dây và vòng B: F_ms Tm₁g

<b>Bài 2.8: Một vật khối lƣợng m đứng yên trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng nhờ </b>

<b>lực ma sát. Cho biết chiều dài mặt phẳng nghiêng S = 1m, góc </b><b> = 300, hệ số ma </b>

<b>sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng </b><b> = 0,6. Hỏi1: </b>

<b>a) Mặt phẳng nghiêng có thể chuyển động với gia tốc amax (so với mặt đất) là </b>

<b>bao nhiêu để vật đứng yên trên nêm. </b>

<b>b) Nếu gia tốc chuyển động của mặt phẳng nghiêng là a0 = 1 m/s2 thì sao bao </b>

<b>nhiêu lâu vật sẽ trƣợt đến chân mặt phẳng nghiêng. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình </i>
<i>định luật II Newton trường hợp chuyển </i>
<i>động trong hệ quy chiếu phi quán tính. </i>
<i>Điểm mấu chốt là: vật nằm nguyên trên </i>
<i>nêm khi áp lực vào mặt nêm đủ lớn để </i>
<i>tạo ra ma sát giữ vật (Fms ≥ </i><i>N). Trong </i>

<i>hệ quy chiếu phi qn tính thì phản lực </i>

<i><b>của mặt nêm khơng được tính thơng qua </b></i>
<i>thành phần của trọng lực: N ≠ Pcos</i><i>. </i>

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ:

1_{Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ không ra vào các dạng bài tập chuyển động trong hệ quy chiếu phi quán tính, nhƣ}

các bài từ 2.8 đến 2.14 thuộc chƣơng 2.

Áp dụng định luật II Newton cho các vật m1,

m₂ và chọn chiều dƣơng hƣớng lên trên.

<i>+) Đối với vật A khối lượng m1: </i>

0
a
m
T

P1 1  ₁ 1  (vì chuyển động đều)

0
T
g
m₁  



 (vì T1 = T2 = T)

g
m
T ₁



θ
P

t

P

qt

F

ms

F N

x
y

O

0

a

1

m

2

m
A

B

1

P

2

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Khi vật chuyển động về phía bên phải với gia tốc a thì xuất hiện một lực quán
tính F kéo vật về phía bên trái. qt

<i> a) Tìm gia tốc a_max của nêm để vật vẫn cịn đứng n: </i>

Vì vật đứng yên khi: F0 (với F là tổng ngoại lực tác dụng lên vật)

0

N
F

F

P qt  ms  



<i> +) Chiếu phương trình lên trục Ox: </i>

(1)
0
μN
a

mcosθ

mgsinθ _max  

(vật đứng yên khi F_msN. Khi F_ms = N thì ứng với gia tốc a_max của nêm)
<i> +) Chiếu phương trình lên trục Oy: </i>

)
2
(
a

msinθ
mgcosθ

N
0
a

msinθ
mgcosθ

N  _max     _max

Thế (2) vào (1) ta đƣợc:



mgcosθ msinθa



0
μ

a
mcosθ

mgsinθ _max   _max 



gcosθ sinθa



0
μ

a
cosθ

gsinθ _max   _max 



gsinθ
μgcosθ

a
μsinθ
a

cosθ _max  _max  





cosθμsinθ



a_max 



μcosθsinθ



g



g
μsinθ
cosθ

sinθ
μcosθ
a_max







 g

μ
θ
cot

1
cotθ
μ
a_max




 .9,8 0,165 (m/s )
0,6

30
cot

1
30

0,6.cot 2

0
0







<i> b) Thời gian vật trượt đến chân dốc nếu mặt phẳng nghiêng chuyển động với gia tốc </i>

<i>a₀ = 1m/s2: </i>

Khi nêm chuyển động với gia tốc a0 > amax thì vật sẽ chuyển động từ đỉnh đến

chân mặt phẳng nghiêng. Ta có phƣơng trình theo định luật II Newton:

a
m
N
F

F

P qt ms  

(với a là gia tốc vật chuyển động xuống chân mặt phẳng nghiêng).
Chiếu lên hai trục Ox và Oy ta đƣợc:



























0
0
0

0

a
msinθ
mgcosθ

N

ma
μN
a

mcosθ
mgsinθ

0
a
msinθ
mgcosθ

N

ma
μN
a

mcosθ
mgsinθ





m

a
msinθ
mgcosθ

μ
a
mcosθ
mgsinθ

m

μN
a

mcosθ
mgsinθ

a   0   0  0





0



0 μ gcosθ sinθa

a
cosθ
gsinθ

a    

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>



sinθ μcosθ



a



cosθ μsinθ



g

a    ₀ 



<i>Thời gian vật chuyển động từ đỉnh đến chân mặt phẳng nghiêng: </i>

2
1
2
a
2S
t
2
at
S 








 

_

_

_

_

2

1

0 cosθ μsinθ

a
μcosθ
sinθ
g
2S
t _












 



1,43 (s)

0,6sin30
cos30
1
0,6cos30
sin30
9,8.
2 2
1
0
0
0

0  











<b>Bài 2.9: Một chậu nƣớc trƣợt trên mặt dốc có góc nghiêng so với phƣơng ngang </b>
<b>là </b><b>. Hệ số ma sát trƣợt giữa chậu và mặt dốc là </b><b> < tan </b><b>. Hãy xác định góc </b>

<b>nghiêng </b><b> của mặt nƣớc so với mặt dốc. </b>

<i>Hướng dẫn: Khảo sát chuyển động của </i>
<i>một phân tử nước trong hệ quy chiếu phi </i>
<i>quán tính là chậu nước. Khảo sát chuyển </i>
<i>động của cả chậu nước trong hệ quy chiếu </i>
<i>quán tính là mặt phẳng nghiêng. Kết hợp để </i>
<i>tìm góc nghiêng </i><i>. Giả thiết cho </i><i> < tan α </i>
<i>chỉ là điều kiện để chậu nước trượt trên mặt </i>
<i>dốc và không sử dụng làm dữ kiện để giải </i>
<i>bài toán. </i>

Xét một phân tử nƣớc nằm tại điểm O, khối lƣợng m0. Bỏ qua lực liên

kết giữa phân tử tại O với các phân tử khác.

Khi chậu nƣớc trƣợt xuống dƣới thì xuất hiện lực quán tính tác dụng vào phân tử
tại O. Chọn hệ quy chiếu phi quán tính là chậu nƣớc, áp dụng định luật II Newton
trong hệ quy chiếu này ta có:

0

F0  (với F0 là tổng ngoại lực tác dụng lên phân tử nƣớc tại O)

0
F
N

P0  0  qt 



Chiếu phƣơng trình lên Ox và Oy có chiều nhƣ hình vẽ, ta đƣợc:









0
cosα
g

m
cosβ
N
:
Oy
0
sinβ
N
a
m
sinα
g
m
:
Ox
0
0
0
0
0

(với a là gia tốc của chậu khi trƣợt)

0
cosα
β
tan
g
m
a

m
sinα
g
m
cosβ
cosα
g
m
N
0
sinβ
N
a
m
sinα
g
m
0
0
0
0
0
0
0
0














(*)
0
cosα
β
tan
g
a
sinα

g   



Xét cả chậu nƣớc có khối lƣợng m trong hệ quy chiếu quán tính là mặt phẳng
nghiêng, ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

a
m
F

N

P  ms 

Chiếu phƣơng trình theo phƣơng Ox và Oy ta đƣợc:





















cosα
mg
N

ma
μN

sinα
mg
0

cosα
mg
N
:
Oy

ma
μN
sinα
mg
:
Ox



sinα μcosα



g
a
ma
cosα
μmg
sinα

mg     



Thay giá trị của a vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:
0

cosα
β
tan
g
a
sinα

g   



sinα μcosα



gtanβcosα 0

g
sinα

g    



0
cosα
β
tan
cosα
μ
sinα

sinα   



μ
β
tan
0

β
tan

μ   



 βarctan(μ)

<b>Bài 2.10: Một ngƣời đứng trên cân bàn đặt trên xe nhỏ. Khi xe chuyển động </b>

<b>khơng ma sát trên mặt phẳng nghiêng một góc </b><b> so với phƣơng nằm ngang thì </b>

<b>ngƣời đó thấy trọng lƣợng của mình chỉ cịn 3/4 trọng lƣợng khi xe đứng yên. </b>

<b>Hãy xác định góc </b><b>. </b>

<i>Hướng dẫn: Khảo sát chuyển động </i>
<i>của người trong hệ quy chiếu phi quán tính </i>
<i>là xe nhỏ và khảo sát chuyển động của hệ </i>
<i>(người và xe) trong hệ quy chiếu quán tính </i>
<i>là mặt phẳng nghiêng. </i>

<i> +) Xét người trong hệ quy chiếu bàn cân. Áp dụng định luật II Newton: </i>

0
N
F

P qt 

Chiếu phƣơng trình lên Oy:

0
P
N
sinα

F_qt   

0
P
4
1
sinα
F
0
P
P
4
3
sinα

F_qt     _qt  



0
mg
4
1
sinα

ma  



(với a là gia tốc của bàn cân so với mặt phẳng nghiêng)

(*)
4a

g
sinα



x

O

N

qt

F

y

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

<i> +) Xét hệ cả xe và người: Áp dụng định luật II Newton </i>

a
M
sinα

P  (với P và M là trọng lƣợng và khối lƣợng của hệ)
Chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc:

sinα
g
a
Ma
sinα

Mg   

Thay giá trị của a vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:

sinα
4

1
sinα

4g
g
4a

g

sinα   





4
1
α
sin2

2
1
α

sin  0

30
α


<b>Bài 2.11: Một sợi dây không co giãn vắt qua một rịng rọc cố định có khối lƣợng </b>
<b>khơng đáng kể. Một đầu dây treo một vật khối lƣợng m, đầu dây kia có một con </b>
<b>khỉ khối lƣợng 2m bám vào. Con khỉ leo lên dây với gia tốc a’ so với dây. Hãy tìm </b>
<b>gia tốc a của con khỉ đối với mặt đất. </b>

<i>Hướng dẫn: Coi mặt đất là hệ </i>
<i>quy chiếu quán tính K, chiếc dây là </i>
<i>hệ quy chiếu phi quán tính K'. Khảo </i>
<i>sát chuyển động của khỉ và vật </i>
<i>trong hệ K'. </i>

Gọi:

+ a là gia tốc của khỉ so với mặt đất

+ a0 là gia tốc của dây so với mặt đất

+ a' là gia tốc của khỉ so với dây

Suy ra: a a'a0. Trƣớc hết, tìm a0

<i> Xét trong hệ quy chiếu phi quán tính là sợi dây: </i>
+ Đối với vật khối lƣợng m:

0
F
T

Pv  v  qtv  (vì vật khơng chuyển động so với dây)

Chọn chiều dƣơng hƣớng lên trên và chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc:

(1)
0
ma
T

mg  ₀ 



+ Đối với khỉ khối lƣợng 2m:

'
a
2m
F

T

Pk  k  qtk 

Chọn chiều dƣơng hƣớng lên trên và chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc:

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

(2)
2ma'
2ma

T

2mg  ₀ 



Trừ từng vế (1) và (2) ta đƣợc:

2ma'
3ma

mg ₀ 

3
g
2a'
a

2a'
3a

g ₀    ₀  



<i> Gia tốc a của con khỉ so với mặt đất là: </i>

0

a
'
a

a  a a'a₀ (vì a0 hƣớng xuống dƣới)







3
g
2a'
a'
a

3
g
a'
a  

<b>Bài 2.12: Sự quay của Trái Đất xung quanh trục của mình làm mặt nƣớc trên các </b>
<b>sơng khơng nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Hãy xác định phía bờ sông bên </b>
<b>nào mức nƣớc sẽ cao hơn và tính độ chênh lệch mức nƣớc đó, biết rằng sơng nằm </b>
<i><b>ở bán cầu phía bắc và chảy từ bắc xuống nam. Độ rộng sông là l, vận tốc dịng </b></i>

<b>chảy là v, vĩ độ nơi đó là </b><b>, vận tốc góc của Trái Đất quay quanh trục là </b><b>, bỏ </b>

<b>qua lực quán tính ly tâm1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II </i>
<i>Newton cho phân tử nước trong hệ quy chiếu phi </i>
<i>quán tính dạng chuyển động trịn đều (bề mặt </i>
<i>trái đất). Trong phương trình xuất hiện thêm lực </i>
<i>Coriolis, chiếu phương trình lên bề mặt nước </i>
<i>của dịng sơng và suy ra độ chênh cao h. </i>

Xét một phân tử nƣớc trên bề mặt sông.
Đối với hệ quy chiếu là quả đất quay, phân tử
nƣớc sẽ chịu tác dụng của lực Coriolis2_:

]
ω
,
v
2m[
FC 

Xét một mặt cắt vng góc với dịng sơng
và nhìn từ bắc xuống nam thì: bờ phải (hữu ngạn
dịng sơng) sẽ có mực nƣớc cao hơn bờ trái một
khoảng h.

Các lực tác dụng vào phần tử nƣớc: áp dụng định luật II Newton cho phân tử đó

0
F
N

P  C  (do phân tử nƣớc đứng n trong hệ quy chiếu dịng sơng)

1_{Giống với bài 32 trang 188, giáo trình Q}

1
2_{Lực Coriolis}

C

F vng góc với mặt phẳng chứa v và ω và có chiều sao cho v, ω và FC tạo thành một tam

diện thuận (quy tắc vặn đinh ốc). Nhƣ vậy, khi vật thể chuyển động ở bắc bán cầu thì vật bị lệch về bên phải theo
hƣớng chuyển động. Tƣơng tự khi vật chuyển động ở nam bán cầu thì vật bị lệch về bên trái theo hƣớng chuyển
động. Đối với dịng sơng chuyển động từ bắc xuống nam, do tác dụng của lực Coriolis thì dịng nƣớc bị đẩy về
phía tây (hữu ngạn) và do đó cột nƣớc phía tây sẽ cao hơn phía đơng. Tuy nhiên, trong thực tế khơng phải bao
giờ dịng sơng cũng uốn sang phải ở bắc bán cầu vì ngoài tác dụng của lực Coriolis thì hƣớng dịng cịn phụ
thuộc vào cấu trúc địa hình và đứt gãy địa chất,…

ω

C

F

v



ω

South
North

N

C

F

P

<i>l</i>

h

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Chiếu phƣơng trình lên mặt phẳng dịng sơng ta đƣợc:

cosα
F
sinα
P
0
cosα
F
sinα

P  _C    _C

cosα
sin

2mvω
sinα

mg 



 (với  là vĩ độ và cũng là góc giữa v và ω)

cosα
sin

2vω
sinα

g 









gh 2vωsin
sin

2vω
tanα

g   



<i>l</i>  g

sin
ω
2v

h  <i>l</i>



<b>Bài 2.13: Một đoàn tàu hỏa khối lƣợng m đang chuyển động dọc theo đƣờng xích </b>
<b>đạo từ đơng sang tây với vận tốc v tƣơng đối so với mặt đất. Biết rằng Trái Đất </b>

<b>ln quay quanh trục của mình với vận tốc là </b><b>, bỏ qua ma sát, hãy xác định lực </b>

<b>tác dụng của đƣờng ray lên đoàn tàu1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định </i>
<i>luật II Newton cho đoàn tàu trong hệ quy </i>
<i>chiếu phi quán tính là bề mặt Trái Đất. </i>
<i>Đoàn tàu chịu thêm hai lực quán tính: lực </i>
<i>quán tính ly tâm và lực Coriolis. Chiếu lên </i>
<i>phương bán kính của Trái Đất và suy ra </i>
<i>phản lực N của đường ray lên đoàn tàu. </i>

Xét trong hệ quy chiếu mà ở đó Trái Đất quay từ tây sang đơng với vận tốc góc 

Áp dụng định luật II Newton cho đoàn tàu, ta có:

a

m
F
N
P

Flt    C 

Chiếu lên phƣơng dây dọi (phƣơng đi qua tâm Trái Đất) và chọn chiều dƣơng
hƣớng vào tâm Trái Đất ta đƣợc:

R
v
m
sin90
2mvω
N

mg
mRω

2
0

2   



 Phản lực (N) của đƣờng ray tác dụng lên đoàn tàu là:

R

v
m
2mvω
mRω

mg
N

2

2 




 _














R
v
2vω
Rω

g
m
N

2
2

1_{Giống với bài 33 trang 188, giáo trình Q}

1

N

FC

Flt

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

<b>Bài 2.14: Một cái cốc đựng nƣớc hình trụ quay quanh trục đối xứng hƣớng theo </b>

<b>phƣơng thẳng đứng với vận tốc góc là </b><b>. Hãy xác định phƣơng trình mô tả dạng </b>

<b>mặt nƣớc trong cốc1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II </i>
<i>Newton cho một phần tử nước trong cốc (vì phần </i>
<i>tử nước đứng yên so với mặt nước nên chỉ xuất </i>
<i>hiện lực qn tính ly tâm, khơng có lực Coriolis). </i>
<i>Chiếu phương trình lên mặt phẳng nước sau đó </i>
<i>lấy tích phân hai vế. </i>

Xét một phần tử nƣớc tại điểm M. Các lực
tác dụng là phản lực, trọng lực, lực quán tính ly
tâm. Ta có:

0
F
N

P  lt 

(vì phần tử nƣớc là đứng yên nếu xét trong hệ quy chiếu mặt nƣớc)
Chiếu lên mặt phẳng nƣớc:

0
cosα
F
sinα

P  _lt  PsinαF_ltcosαmgsinαmxω2cosα

(với x là khoảng cách từ phần tử đến trục quay – là bán kính quay của phân tử)

g
xω
tanα
xω

tanα
g
cosα
xω
sinα
g

2
2

2    




Mà:

dx
dy

tanα (xét gần phần tử nƣớc)

Do đó: xdx

g
ω
dy
g

xω
dx

dy _ 2 _ _ 2

Tích phân 2 vế của phƣơng trình trên:

2
x
g
ω
y
dx
x
g
ω
dy

2
2
2





_



 2

2

x
2g
ω
y 

<i>Phương trình biểu diễn sự phụ thuộc của y vào x có dạng Parabol và mặt nước </i>
<i>trong cốc là một mặt bậc hai Paraboloid. </i>

1_{Giống với bài 34 trang 188, giáo trình Q}

1

dy

dx



ω

N

lt

F

P
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>CHƢƠNG 3: CÔNG VÀ NĂNG LƢỢNG </b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>3.1. Năng lƣợng, công và công suất </b>

<i> a) Năng lượng: </i>

<i>Năng lượng là một đại lượng đặc trưng liên quan đến trạng thái của một hay </i>
<i>nhiều vật1</i>_{. Năng lƣợng có thể tồn tại ở các dạng: động năng, thế năng, công,…}

<i> b) Công: </i>

Xét một chất điểm chuyển động dƣới tác dụng của lực F . Biểu thị A₁₂ là công
của lực F tác dụng lên chất điểm và làm chất điểm dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2
thì:





(2)

(1)

12 Fdr

A _(3.1) _{(với dr là vi phân quãng đƣờng dịch chuyển)}

 Công của lực là đại lƣợng dùng để đo mức độ biến thiên của năng lƣợng.
Công là hàm của quá trình (phụ thuộc vào quá trình tác dụng lực lên chất điểm).

<i> c) Công suất: </i>

+ Cơng suất trung bình đƣợc đo bằng tỷ số giữa công thực hiện đƣợc (A) và
khoảng thời gian cần thiết (t) để thực hiện cơng đó:

t
A
P

+ Cơng suất tức thời:







 _dt

dr
.
F

dt
dA
t

A
lim
P

0

t PF.v (3.2)

<i> Công suất là đại lượng đặc trưng cho tốc độ sinh công nhanh hay chậm của </i>
<i>lực. Công suất là tốc độ biến thiên năng lượng. </i>

<b>3.2. Động năng, định lý biến thiên động năng2</b>

<i> a) Động năng: </i>

Theo định luật II Newton:

dt
dv
m
a
m
F 

Do đó: 













 2

mv
2
1
d
dA
dv

v
m
dr
dt
dv
m
dr
F
dA

1

Xem giáo trình Q2, trang 69.

2_{Định lý biến thiên động năng, định lý biến thiên thế năng, định luật bảo toàn cơ năng rất hay đƣợc sử dụng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

+ Đại lƣợng 2

mv
2
1

K (3.3) đƣợc gọi là động năng của chất điểm đang

chuyển động với vận tốc v (K ≥ 0).

<i> b) Định lý biến thiên động năng: </i>

Khi vật chuyển động từ vị trí 1 đến vị trí 2 dƣới tác dụng của lực F thì:





















2

1
2

1

v

v
v

v

2
(2)

(1)

12 mv d(K)

2
1
d
dr

F

A A₁₂ K₂ K₁ (3.4)

<i>Độ biến thiên động năng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng công </i>
<i>của ngoại lực đặt vào chất điểm trong khoảng thời gian đó. </i>

<b>3.3. Thế năng, định lý biến thiên thế năng </b>

<i> a) Các khái niệm: </i>

<i>- Trường lực là khoảng không gian mà nếu một vật ở trong đó sẽ chịu tác dụng </i>

của một loại lực (lực này chỉ là hàm của tọa độ).

- Nếu trƣờng lực có cơng của lực chỉ phụ thuộc vào điểm đầu vào điểm cuối thì
<i>trƣờng lực đó gọi là trường lực thế. Lực của trƣờng lực thế gọi là lực thế. </i>

+ Công của lực thế trên quãng đƣờng khép kín bằng 0.

+ Cơng mà lực thế thực hiện trên cả quãng đƣờng bằng tổng các công thành phần.
+ Hai trƣờng lực thế quan trọng: trƣờng hấp dẫn và trƣờng đàn hồi.

<i>- Thế năng (U) của vật trong trƣờng lực thế là một dạng năng lƣợng gắn liền với </i>
vị trí của vật.

<i> b) Định lý biến thiên thế năng: </i>

 Trong trƣờng hấp dẫn:

Công mà trọng lực làm di chuyển vật từ vị trí 1 tới vị trí 2:







 



(2)

(1)
(2)

(1)
(2)

(1)

12 Fdr Fdrcosθ Fdz

A

(với  là góc giữa F và dr ; dz là vi phân theo độ cao)

2
1

z

z

12 mg dz mgz mgz

A

2

1









_

(với z₁ > z₂)  A₁₂ U₁U₂ (3.5)

 Trong trƣờng đàn hồi:

Công mà lực đàn hồi thực hiện làm lò xo thay đổi từ vị trí x1 đến vị trí x2 là:







_

_

2

1
2

1

x

x
x

x

12 Fdx kxdx

A

2
x
k
2
x
k
A

2
2
2

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

 Định lý biến thiên thế năng trong trƣờng lực thế:

<i>Độ giảm thế năng của một vật từ vị trí 1 đến vị trí 2 bằng công của lực thế thực </i>
<i>hiện khi dịch chuyển vật đó từ vị trí 1 đến vị trí 2. </i>

 1_{Mối quan hệ giữa thế năng U và lực thế}

F tại điểm M:







M

M Fdr

U




















z
z

y
y

x
x

'
U
F

'
U
F

'
U
F

U

grad
F

 Mặt đẳng thế:

- Mặt xác định trong không gian bởi U(x, y, z) = const gọi là mặt đẳng thế. Công
mà lực thế dịch chuyển một chất điểm trên mặt đẳng thế bằng 0.

- Đối với trƣờng hấp dẫn thì mặt đẳng thế là mặt cầu.

<b>3.4. Cơ năng, định luật bảo toàn cơ năng </b>

<i> a) Cơ năng: </i>

Cơ năng E của một vật (hay hệ vật) là tổng động năng và thế năng của vật (hệ
vật) đó: E = K + U

<i> b) Định luật bảo toàn cơ năng: </i>

Xét một vật chuyển động trong trƣờng thế từ vị trí 1 đến vị trí 2. Cơng của lực
thế thực hiện đƣợc:

2
2
1
1
1

2
2

1
1

2
12

2
1
12

U
K
U
K
K

K
U
U
K

K
A

U
U
A






















 E1 E2 (3.7)

<i>Vậy, cơ năng của vật chuyển động trong trường thế được bảo toàn. </i>

<b>3.5. Va chạm2</b>

Va chạm là một sự cố trong đó các vật tác dụng lên nhau một lực trong khoảng
thời gian rất ngắn.

<i> a) Va chạm đàn hồi3: </i>

Là va chạm mà động năng toàn phần của hệ va chạm không đổi. Các vật lại gần

nhau và ra xa nhau mà khơng có sự thay đổi về năng lƣợng bên trong chúng.

1

Mục này chỉ xem cho biết.

2_{Không nhất thiết phải nhớ cách thiết lập công thức.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Xét trƣờng hợp va chạm đàn hồi và xuyên tâm của hai vật có khối lƣợng m1 và

m2, khối lƣợng ban đầu là v1 và v2, vận tốc sau va chạm là v’1 và v’2:

+ Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng:

2
2
1
1
2
2
1

1v m v mv' m v'

m   



v v'



m



v' v



(1)

m₁ ₁ ₁  ₂ ₂ ₂



+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng (trƣờng hợp này chỉ có động năng):

2
'
v
m
2
'
v
m
2
v
m
2
v

m₁ ₁2 ₂ 2₂ ₁ ₁2 ₂ 2₂




 m₁



v₁2v'₁2



m₂



v'2₂v₂2



(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình:












































2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2

2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
'
v
v
'
v
v
v
'
v
m
'
v
v
m
v
'

v
m
'
v
v
m
v
'
v
m
'
v
v
m

(lấy phƣơng trình 2 chia cho phƣơng trình 1)



















1
2

2
1
2
2
2
1
1
1
v
'
v
v
'
v
v
'
v
m
'
v
v
m

Giải bằng phƣơng pháp thế ta đƣợc:
























2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
m
m
v

m
m
v
2m
'
v
m
m
v
m
m
v
2m
'
v
(3.8)1

+ Nếu m1 = m2 thì:






2
1
1
2
v
'

v
v
'
v

; hai vật trao đổi vận tốc cho nhau.

+ Nếu m2 >> m1 thì:







1
2
1
2
2
v
2v
'
v
v
'
v

<i> b) Va chạm mềm: </i>

<b>Va chạm mềm là một trƣờng hợp đặc biệt của va chạm khơng đàn hồi. Sau va </b>
chạm 2 vật dính vào nhau. Gọi v là vận tốc của hai vật sau va chạm.

+ Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng:



m m



v

'
v
m
'
v
m
v
m
v

m₁ ₁ ₂ ₂  ₁ ₁ ₂ ₂  ₁ ₂

2
1
2
2
1
1
m
m
v
m
v

m
v





1<b>_{Bài toán xét trƣờng hợp va chạm xuyên tâm. Trong trƣờng hợp va chạm không xuyên tâm thì các kết quả thu}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

+ Cơ năng của hệ khơng đƣợc bảo tồn. Một phần động năng biến thành nhiệt
năng hoặc dạng năng lƣợng khác. Kí hiệu là E

2
'
v
m
2
'
v
m
2
v
m
2
v
m
W
W
ΔE

2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
đ

đ₁  ₂    



Mà: v'₁v'₂v suy ra:

2
2
1
2
2
2
2
1
1 _v
2

m
m
2
v
m
2
v
m

ΔE   

2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
m
m
v
m

v
m
2
m
m
2
v
m
2
v
m
ΔE _

























 2
2
1
2

1
2

1 _v _v

m
m
2

m
m

ΔE





2
v
v
m
m
m
m
ΔE
2
2
1
2
1
2
1 


 (3.9)

<i>Phần động năng tiêu hao phụ thuộc vào vận tốc tương đối giữa các vật trước va </i>
<i>chạm. </i>

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 3.1: Một vật khối lƣợng m đƣợc ném lên dọc một mặt phẳng nghiêng một góc </b>

<b> so với phƣơng nằm ngang. Cho biết vận tốc ban đầu là v0, hệ số ma sát là </b><b>, </b>

<b>tính quãng đƣờng đi đƣợc của vật đến khi dừng lại và công của lực ma sát trên </b>
<b>qng đƣờng đó. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật </i>
<i>II Newton cho vật, chiếu lên các phương để </i>
<i>tìm gia tốc. Có gia tốc suy ra quãng đường đi </i>
<i>được, từ quãng đường đi suy ra công của lực </i>
<i>ma sát. </i>

Vật chuyển động chậm dần đều lên đỉnh dốc. Áp dụng định luật II Newton cho
vật ta đƣợc:

a
m
F

N

P  ms 

Chiếu lên trục Ox và Oy nhƣ hình vẽ, ta đƣợc:

















cosα
mg
N
ma
sinα
P
μN
0
cosα
mg

N
:
Oy
ma
sinα
P
μN
:
Ox
a
sinα
g
cosα
g
μ
ma
sinα
mg
cosα
mg
μ     





μ cosα sinα



g

a 



<i> * Quãng đường mà vật đi được: </i>

2aS
v

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

2aS
v2₀ 







2a
v
S
2
0



μ cosα sinα



2g
v
S
2
0




<i> * Công của lực ma sát là: </i>

S
cosα
mg
μ
dS
cosα
mg
μ
NdS
μ
dS
F
A
S
0
S
0
S
0
ms

ms 
























sinα
cosα
μ
2g
v
cos
mg
μ
A
2
0

ms







tanα
μ
2
mv
μ
A
2
0

ms  _

<b>Bài 3.2: Một vật chuyển động từ đỉnh dốc phẳng DC có độ cao h và dừng lại sau </b>
<i><b>khi đi đƣợc một đoạn nằm ngang CB. Cho AB = s, AC = l, hệ số ma sát giữa xe và </b></i>
<b>mặt đƣờng trên đoạn DC và CB bằng nhau. Tính hệ số ma sát và gia tốc của xe </b>
<b>trên các đoạn đƣờng nói trên. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng định lý biến </i>
<i>thiên thế năng trên quãng đường từ D </i>
<i>đến B: độ giảm thế năng bằng công của </i>
<i>ngoại lực (trong trường hợp này là lực </i>
<i>ma sát) để tìm </i><i>. Viết phương trình định </i>
<i>luật II Newton cho vật trên các đoạn </i>
<i>đường DC, CB để tìm gia tốc tương ứng. </i>

<i> * Tìm hệ số ma sát </i><i>: </i>

Ta có: U_D A_msDC A_msCB (định lý biến thiên thế năng)

mg.CB
μ
.DC
cosα
mg
μ

mgh  



μ.CB
.DC

cosα
μ

h 









  






h μ.AC μ.CB μ AC CB μ.AB μs

s
h
μ 

<i> * Gia tốc của xe trên các đoạn đường: </i>

+) Trên đoạn đƣờng DC:

Áp dụng định luật II Newton cho vật:

1

ms ma

F
N

P  

Chiếu lên phƣơng chuyển động và chọn chiều dƣơng hƣớng xuống:

1

ma
cosα
μmg
sinα

mg   a₁ g



sinαμcosα





<i>l</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

+) Trên đoạn đƣờng CB:

Áp dụng định luật II Newton cho vật và chiếu lên phƣơng chuyển động:

2

ms ma

F
N

P  










 μmg ma₂ a₂ μg

s
gh
a₂ 

<i><b>Bài 3.3: Từ độ cao H dọc theo mặt phẳng nghiêng dài l = H/3 và tạo với phƣơng </b></i>
<b>ngang góc </b><b> = 300 ngƣời ta cho một quả cầu trƣợt không ma sát và sau đó rơi </b>
<b>trên mặt phẳng nằm ngang. Va chạm đƣợc coi là hoàn toàn đàn hồi. Tìm độ cao </b>

<b>hmax mà quả cầu nâng lên đƣợc sau va chạm. </b>

<i>Hướng dẫn: Va chạm là hoàn toàn đàn hồi </i>
<i>và vật chuyển động trong trường lực thế. Vận tốc </i>
<i>tại D bằng vận tốc theo thành phần trục Ox tại B </i>
<i>(do vật không mất năng lượng trong quá trình </i>
<i>chuyển động). Áp dụng định luật bảo toàn cơ </i>
<i>năng tại A và D để tìm hD. </i>

Vật trƣợt khơng ma sát và va chạm tại C là hoàn toàn đàn hồi nên cơ năng của
vật đƣợc bảo toàn: EA = EB = EC = ED

+ Cơ năng tại A: E_A mgH

+ Cơ năng tại B:





m
mgh
E

2
v
mv

2
1
mgh

E 2 B B

B
2

B
B

B









+ Cơ năng tại D: 2

D
D

D mv

2
1
mgh
E  

Mà: v_D v_Dx v_Bx (vì D là điểm cao nhất sau khi va chạm với đất). Do đó:



B B



2
D

2
2
B
D

D mv cos α mgh cos α E mgh

2
1

mgh

E     

Cơ năng đƣợc bảo toàn nên: EA = ED



B B



2
D

A mgh cos α E mgh

E   





B



2

D cos α mgH mgh

mgh

mgH   

 (vì E_B = E_A = mgH)



B



2

D cos α H h

h

H  







_














 









 sinα

3
H
H
H
α
cos
H
h

H
α
cos
H

h_D 2 _B 2

0
2
0
2

D sin30 cos 30

3
H
H
sinα
3
H
α
cos
H

h    

 H

8
7
8
H
H

h_D   



Vậy độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt đƣợc: H
8
7
h_max 



H
A

B

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

<b>Bài 3.4: Một vòng đệm nhỏ A trƣợt từ đỉnh ngọn đồi nhẵn ở độ cao H tới một bờ </b>
<b>dốc thẳng đứng rồi chuyển động tiếp trong không gian và rơi xuống bãi đất nằm </b>
<b>ngang nhƣ hình vẽ. Hỏi độ cao h của bờ dốc thẳng đứng phải bằng bao nhiêu để </b>

<b>khi trƣợt xuống khỏi bờ dốc vòng đệm A bay xa đạt đƣợc khoảng cách Smax, tính </b>

<b>khoảng cách đó. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng định luật bảo toàn </i>
<i>cơ năng tìm vận tốc tại B. Viết phương trình </i>
<i>quỹ đạo của vòng đệm khi bắt đầu rời B và </i>
<i>tìm h sao cho vòng đệm bay xa nhất. </i>

Vật chuyển động từ ngọn đồi đến B. Tại B vật bắt đầu chuyển động nhƣ bị ném
ngang1. Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ.

Phƣơng trình chuyển động của vật khi bắt đầu rời khỏi B là:

2
2
B

x
2v

g
y

Trong cơng thức trên thì y chính là độ cao h và x chính là khoảng cách S mà vật
bay xa đƣợc. Do đó:

(*)
g

2hv
S

S
2v

g
h

2
B
2

2
B






Mà vật chuyển động trên bề mặt nhẵn (không ma sát) nên cơ năng đƣợc bảo toàn:

2
B
2

B v

2
1
gh
gH
mv

2
1
mgh

mgH      v2_B 2g



Hh



Thay giá trị của 2
B

v vào biểu thức (*):





_

_

h
H
h
2
g

h
H
g
2
2h
g

2hv
S

2

B    



Để đạt đƣợc khoảng cách Smax  2 h



Hh



đạt max

Mà: h



Hh



 2 h



Hh



(theo bất đẳng thức Cauchy). Suy ra:




h H h

S_max

2
H
h

Do đó:












 






2
H
H
2
H
h
H
h

S_max S_max H

<i>Vậy, ở độ cao h = H/2 thì vịng đệm bay được một đoạn xa nhất bằng H. </i>

1_{Xem chƣơng 1 “Động học chất điểm”, mục 1.3b, nội dung về chuyển động của vật bị ném ngang. Có thể áp}

dụng ln phƣơng trình quỹ đạo của vịng đệm khi bắt đầu rời B mà không phải chứng minh.

x
H

h

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

<b>Bài 3.5: Hai quả nặng m1 và m2 = nm1 đƣợc nối với hai đầu dây và đƣợc vắt qua </b>

<b>rịng rọc. Giả thiết dây khơng co giãn và khối lƣợng ròng rọc đƣợc bỏ qua. Vật </b>

<b>m₂ đƣợc nâng lên độ cao h₂ = 30cm sao cho quả m₁ chạm đất, sau đó thả cho m₂</b>

<b>rơi xuống. Hỏi độ cao h1 mà m1 sẽ đạt đƣợc khi m2 chạm đất. </b>

<i>Hướng dẫn: Vật m2 chuyển động xuống dưới </i>

<i>và kéo vật m1 lên trên. Do có động năng ban đầu </i>

<i>nên khi m₁ được kéo lên bằng độ cao h₂ nó vẫn tiếp </i>
<i>tục đi lên (h1 > h2). Áp dụng định luật bảo tồn cơ </i>

<i>năng cho tồn hệ để tìm vận tốc của m1 khi nó nảy </i>

<i>lên đến độ cao h₂. Áp dụng định luật bảo toàn cơ </i>
<i>năng cho riêng vật m1 từ lúc nó ở độ cao h2 đến khi </i>

<i>nó dừng lại và suy ra h1. </i>

Cơ năng của hệ đƣợc bảo toàn. Khi m2 vừa chạm đất thì m1 đƣợc nâng lên một

đoạn bằng h2, lúc này hệ đang có vận tốc v. Định luật bảo toàn cơ năng cho hệ:

2
2
1
2
1
2
2 v
2
m
m
gh
m
gh

m   

2
1

1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
m
m
m
m
2gh
v
v
2
m
m
gh
m
gh
m










Khi vật m1 lên đến độ cao h2 thì nó khơng dừng lại do đang có vận tốc v. Vật m1

đi thêm một đoạn và đạt tới độ cao h1. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m1:

1
1
2
1
2

1 mv mgh

2
1
gh

m  

2g
m
m
m
m
2gh
2gh
2g

v
2gh
h
gh
v
2
1

gh 1 2

1
2
2
2
2
2
1
1
2
2











1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1)m
(n
nm
2
h
m
m
m
m
1
h
h
m
m

m
m
h
h
h

















 _
1
n
nh
2
h 2

1 _

<b>Bài 3.6: Một quả cầu nhỏ trƣợt không ma sát theo một máng nghiêng mà phần </b>
<b>cuối uốn thành một vòng trịn bán kính R. Hỏi: </b>

<b>a) Phải thả quả cầu cho nó trƣợt khơng vận tốc ban đầu ở độ cao H nào để </b>
<b>nó khơng rời khỏi máng tại điểm cao nhất của quỹ đạo. </b>

<b>b) Trong trƣờng hợp vật thả ở độ cao h không thỏa mãn điều kiện câu a, </b>
<b>hãy tính độ cao h’ mà vật rời khỏi rãnh. </b>

<i>Hướng dẫn: Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng và phương trình định luật II </i>
<i>Newton cho quả cầu tại độ cao h', suy ra mối liên hệ giữa H và h'. Quả cầu không rời </i>
<i>khỏi máng tại điểm cao nhất của quỹ đạo khi tại điểm đó vẫn cịn phản lực N tác dụng </i>
<i>lên quả cầu. </i>

1

m h230cm

2

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

<i> a) Độ cao H để quả cầu không rời khỏi </i>
<i>rãnh tại điểm cao nhất của quỹ đạo: </i>

Quả cầu trƣợt không ma sát, cơ năng
đƣợc bảo toàn tại bất kỳ độ cao h' nào.

(*)

g
2
v
h'
H
mv

2
1
mgh'
mgH

2

2   




Phƣơng trình định luật II Newton cho quả cầu tại độ cao h' thuộc máng là:

a
m
N
P 

(với P là trọng lực, N là phản lực của máng và a là gia tốc hƣớng tâm)
Chiếu lên phƣơng bán kính, chiều dƣơng hƣớng vào tâm ta đƣợc:

R

v
m
N
cosα
mg

2




R
v
m
N
R

R
h'
mg

2










2

mv
RN
R

h'

mg   







m
RN
R

h'
g

v2   



Thay giá trị của 2

v vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:





g

2

m
RN
R

h'
g
h'
g
2
v
h'
H

2  






(**)
2mg

RN
2

R
h'

h'

H   



Để quả cầu không bị rơi ở điểm cao nhất của quỹ đạo (h' = 2R) thì phản lực do
rãnh tác dụng lên quả cầu tại đó N ≥ 0. Do đó:

2
R
2R
H
2

R
h'
h'

H     

 H2,5R

<i> b) Trong trường hợp vật được thả ở độ cao h nhỏ hơn H, tính độ cao h' mà quả cầu </i>
<i>rời khỏi rãnh: </i>

Tại điểm mà quả cầu bắt đầu rời khỏi rãnh thì phản lực tác dụng lên quả cầu bằng
0 (N = 0). Từ phƣơng trình (**) ta có:

R

3h'
2h
R

h'
2h'
2h
2

R
h'
h'

h          

3
R
2h
h' 

H _h R _h'

P

R



N

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

<b>Bài 3.7: Một viên đạn khối lƣợng m bay theo phƣơng nằm ngang và đâm vào một </b>

<i><b>vật khối lƣợng M đƣợc treo bởi một sợi dây độ dài l (hình vẽ) và dừng lại trong </b></i>

<b>đó. Ngƣời ta thấy sợi dây bị lệch đi một góc </b><b> so với phƣơng thẳng đứng. Hãy xác </b>

<b>định vận tốc viên đạn trƣớc khi đâm vào vật M và số phần trăm động năng ban </b>

<b>đầu của viên đạn biến thành nhiệt năng1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Bài toán va chạm mềm. Áp </i>
<i>dụng định luật bảo tồn cơ năng của hệ tính từ </i>
<i>lúc va chạm trở đi để tìm vận tốc chung của hệ. </i>
<i>Áp dụng định luật bảo toàn động lượng để tìm </i>
<i>vận tốc trước khi va chạm. </i>

<i> * Vận tốc viên đạn trước khi đâm vào vật M: </i>

Giả sử hệ cô lập, vận tốc của viên đạn trƣớc
va chạm là v, sau va chạm và v'. Động lƣợng của
hệ trƣớc và sau khi va chạm đƣợc bảo toàn:

(*)
'
v
m
m
M
v
'
m)v
(M

mv    

Cơ năng của hệ (tính từ thời điểm bắt đầu va chạm trở đi) cũng đƣợc bảo toàn:





v'



M m



g (1 cosα)

2
m
M
gh
m
M
'
v
2
m

M ₂ ₂









<i>l</i>
α)

cos
(1
g
2
'

v  

 <i>l</i>

Thay giá trị của v' vào phƣơng trình (*):

2
α
sin
2
g
2
m
m
M
α)
cos
(1
g
2
m
m
M
'

v
m
m
M

v    <i>l</i>    <i>l</i> 2


2
α
sin
g
m
m
M
2

v  <i>l</i>

<i> * Số phần trăm động năng ban đầu biến thành nhiệt (</i><i>): </i>

K
'
E
K

η  (với K là động năng ban đầu của đạn, E' là cơ năng sau của hệ)





_α)
cos

(1
2g
m
m
M
m
m)gh
(M
2
1
mv
m)gh
(M
2
1
mv
2
1
m)gh
(M
mv
2
1
2
2
2
2
2












<i>l</i>





M m

M
m
M
m
1
h
m
M
mh
1








 _ .100%

m
M
M
η



1_{Giống với bài 15 trang 183, giáo trình Q}

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

<b>Bài 3.8: Một hạt neutron khối lƣợng m va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử </b>
<b>C khối lƣợng M, sau va chạm nó chuyển động theo phƣơng vuông góc với </b>
<b>phƣơng ban đầu. Biết rằng M = 12m. Hỏi năng lƣợng của hạt neutron giảm đi </b>

<b>bao nhiêu lần sau va chạm1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. </i>
<i>Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo </i>
<i>toàn cơ năng. Giải hệ phương trình và suy ra tỷ </i>
<i>số năng lượng (tồn tại ở dạng động năng) của hạt </i>
<i>neutron trước và sau va chạm. </i>

Gọi vận tốc trƣớc và sau va chạm của
neutron là v và v'.

Neutron va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C nên động lƣợng của hệ đƣợc
bảo toàn:

V
M
'
v
m
v

m   (m là khối lƣợng neutron, M là khối lƣợng hạt nhân)

Độ lớn:

    

2 2



2

MV
'

mv

mv   (vì vv')

2
2
2
2
2
2
V
M
'
v

m
v

m  


2
2
2
2
V
m
M
'
mv

mv  



Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ (trƣờng hợp này chỉ có động năng):

2
2
2
2
2
2
MV
'

mv
mv
2
MV
2
'
mv
2

mv _ _ _ _ _

Do đó ta có hệ phƣơng trình:






















 _










2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V
M
m

M
2
1
'
mv
V
M
m
M
2
1
mv
MV
'
mv
mv
V
m
M
'
mv
mv

Tỷ số năng lƣợng của hạt neutron (tồn tại dƣới dạng động năng) trƣớc và sau khi
va chạm:













 _





 _



Mm
M
Mm
M
M
m
M
M
m
M
V
M
m

M
2
1
V
M
m
M
2
1
'
mv
mv
'
mv
2
1
mv
2
1
η ₂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
m
M
m
M
η




1_{Giống với bài 16 trang 184, giáo trình Q}

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Mà M = 12m nên:

11
13
11m
13m
η 

<i>Vậy, sau va chạm năng lượng của neutron đã giảm đi 13/11 lần. </i>

<b>Bài 3.9: Một ngƣời khối lƣợng M = 70kg đang đứng yên trên mặt băng. Ngƣời đó </b>
<b>ném theo phƣơng ngang một hòn đá khối lƣợng m = 3kg với vận tốc ban đầu v = </b>

<b>8m/s. Tìm khoảng giật lùi của ngƣời trƣợt băng. Cho biết hệ số ma sát </b><b> = 0,02</b><i>. </i>

Giả sử ngƣời giật lùi về phía sau với vận tốc V.
Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng:

mv
MV
v

m
V

M    v

M
m
V



Theo định lý động năng: độ biến thiên động năng của ngƣời bằng công của ngoại
lực tác dụng (trong trƣờng hợp này là công của lực ma sát). Ta có:

.S
F
MV

2
1
A

MV
2
1

0 2  _ms  2  _ms (S là quãng đƣờng giật lùi)

g
μ
2

V
S
g.S
μ
V
2
1
Mg.S
μ

MV
2

1 ₂ _ _ ₂ _ _ _ 2

 _

2

M
mv
g
μ

2

1

S 







 _{= 0,3(m)}

<b>Bài 3.10: Một khẩu súng đƣợc đặt trên một chiếc xe đang chuyển động theo quán </b>
<b>tính trên đƣờng sắt với vận tốc V. Nòng súng hƣớng theo chiều chuyển động của </b>

<b>xe và tạo với sàn xe góc </b><b>. Khi khẩu súng bắn ra một viên đạn khối lƣợng m, vận </b>

<b>tốc của xe chở súng giảm đi 3 lần. Tìm vận tốc v của viên đạn (so với khẩu súng) </b>
<b>khi ra khỏi nòng. Khối lƣợng xe và súng là M. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình bảo </i>
<i>tồn động lượng cho hệ và chiếu lên chiều </i>
<i>chuyển động. </i>

Chiếu phƣơng trình lên phƣơng ngang (phƣơng mặt đất) và chọn chiều dƣơng là
chiều chuyển động của xe:





mV mvcosα

3
V
M
V
m

M   














cosα
m

mV
3

V
M
V
m

M
v

cosα
3m

2MV
v 

v

V



Xét hệ gồm xe và đạn. Tổng
ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 nên
động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn:





 

V v m

3
V
M
V
m

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

<b>CHƢƠNG 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN </b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>4.1. Khối tâm của hệ chất điểm </b>

<i> a) Khối tâm của hệ chất điểm: </i>

Hệ chất điểm là tập hợp của nhiều chất điểm (hạt) phân bố rời rạc hoặc liên tục.

<i>Khi hệ chất điểm đặt trong trường trọng lực thì điểm đặt của lực tổng hợp tác </i>
<i>dụng lên hệ được gọi là khối tâm của hệ (hay trọng tâm hay tâm quán tính). </i>

+ Vị trí khối tâm C của hệ (trƣờng hợp các hạt phân bố rời rạc), khối lƣợng mỗi
hạt là mi và vị trí ri(xi,yi,zi):

M
r
m
m

r
m

r i i

i
i
i

C







_

 _{(4.1) (với}M 



m_i là khối lƣợng toàn hệ)

M
z
m
z

;
M

y
m
y

;
M

x
m

x_C 



i i _C 



i i _C 



i i

+ Vị trí khối tâm C của hệ (trƣờng hợp các hạt phân bố liên tục):

M
r
dm

rC 



(với M



dm)

M
dm.z
z

;
M
dm.y
y

;
M
dm.x

x_C 



_C 



_C 



(dm là vi phân khối lƣợng tại điểm có tọa độ r(x,y,z))

<i> b) Phương trình chuyển động của khối tâm: </i>

Gọi F là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ. Áp dụng định luật II Newton ta có:

)
1
(
a
m

F



_i i (tổng nội lực bằng 0 nên không xét)

Mà:

M
r
m

rC 



i i MrC 



m_iri . Đạo hàm hai vế theo thời gian:





 



 _i i C _i i

C

v
m
v

M
r

m
dt

d
dt
dr

M (*)

(2)
M

a
m
a

a
m
a

M
v

m
dt

d
dt
dv

M _i i C _i i C i i

C







   




Từ (1) và (2) suy ra:

M
F

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

<i>1_{Khối tâm của một hệ chất điểm dưới tác dụng của ngoại lực tổng hợp}</i>

<i>F</i> <i> thì </i>
<i>chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng M của toàn hệ và gia </i>
<i>tốc aC</i>  <i>F</i>/<i>M</i>

 Động lƣợng toàn phần của hệ:







 Pi m_ivi

P . Kết hợp với công thức (*) ta đƣợc:

C

v
M

P (4.3)

<i>Động lượng toàn phần của hệ bằng động lượng của chất điểm có khối lượng </i>
<i>bằng tổng khối lượng của hệ, chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của khối tâm. </i>

<b>4.2. Vật rắn, chuyển động tịnh tiến của vật rắn </b>

<i> a) Vật rắn lý tưởng: </i>

Là một hệ chất điểm liên tục mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất kỳ của hệ
khơng thay đổi trong suốt q trình chuyển động.

Các khái niệm về khối tâm, động lƣợng của hệ chất điểm cũng đƣợc áp dụng để
khảo sát vật rắn.

<i> b) Chuyển động tịnh tiến của vật rắn2: </i>

Mọi chất điểm của vật rắn chuyển động theo quỹ đạo giống nhau và sau mỗi
khoảng thời gian các chất điểm của vật rắn tịnh tiến đều có cùng véctơ vận tốc và
véctơ gia tốc.

Phƣơng trình chuyển động tịnh tiến của vật rắn:





Fi  m_ia

(điều kiện: các Fi phải cùng phƣơng và cùng chiều với nhau)

<b>4.3. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay xung quanh một trục cố định3</b>

Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:

i
i

i m a

F  (F_i là lực tác dụng lên chất điểm thứ i)
4Nhân có hƣớng cả hai vế với r _i

]
a
r
[
m
]
F
r

[ i  i  i i  i (với ai [βri])





2

i
i
i

i
2
i
i
i

i

i r [β r ] m β.r r.(r.β) β.mr

m 







 _






(vì r_i βr_i.β0)

1_{Đây là định luật II Newton cho hệ chất điểm.}

2_{Bài tập không ra vào dạng chuyển động tịnh tiến của vật rắn.}
3

Nội dung này rất quan trọng! Phải nhớ cách thiết lập cơng thức (4.4) vì trong đề thi cuối kỳ thƣờng cho câu hỏi:

<i>"Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh 1 trục cố định". </i>

4_{Xem công thức tính tích có hƣớng của 3 véctơ tại phần Phụ lục “Kiến thức chuẩn bị”, mục 3.}

ω

i

r

i

v

i

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Đặt: Mi [r_i F_i] gọi là mômen của lực tác dụng lên chất điểm thứ i. Ta có:

2
i
i

i β.mr

M 

Xét trên toàn bộ vật rắn (hệ chất điểm):









    2

i
i
i

i
2

i
i

i β.mr [r F] β mr

M

Tổng nội lực của hệ bằng 0 nên mômen tổng chỉ ứng với ngoại lực tác dụng lên
hệ. Đặt 



2

i
ir

m

I gọi là mômen qn tính của vật rắn. Do đó:

β
I

M (4.4)1

<i>Mômen của ngoại lực đối với trục quay bằng tích số giữa mơmen qn tính của </i>
<i>vật với gia tốc góc mà vật nhận được. </i>

<b>4.4. Mơmen qn tính của vật rắn, định lý Steiner – Hugen </b>

<i> a) Mơmen qn tính của vật rắn đối với trục quay: </i>

Mơmen qn tính của vật rắn đối với trục  đƣợc cho bởi công thức:



 2

i
ir

m

I (4.5)

(với mi và ri là khối lƣợng và khoảng cách tới trục  của chất điểm thứ i)

Nếu khối lƣợng của vật rắn phân bố liên tục thì: 



M
2

dm
r
I

<i> b) Định lý Steiner – Hugen: </i>

<i>Mơmen qn tính I của vật rắn đối với trục </i>
<i>bất kỳ bằng mômen quán tính của vật đó đối với </i>
<i>trục song song với </i><i> và đi qua khối tâm C cộng với </i>
<i>tích khối lượng của vật và bình phương khoảng </i>
<i>cách giữa hai trục. </i>

Biểu thức:

2

Md
I

I

C 

 _

 (4.6)

<b>4.5. Mômen động lƣợng của vật rắn, biến thiên </b>
<b>và bảo tồn mơmen động lƣợng </b>

<i> a) Đối với một chất điểm: </i>

Mơmen động lƣợng của chất điểm có khối lƣợng m đối với điểm O cố định là
một véctơ cho bởi: <i>l</i> [rP] <i>l</i>rPsinθPh (hình vẽ)

1_{Đây là biểu thức của định luật II Newton cho vật rắn quay xung quanh một trục cố định. Cần phân biệt khái}

<i>niệm “mơmen của lực” với “mơmen qn tính của vật”. Mômen của lực đặc trƣng cho độ mạnh yếu của tác nhân </i>
<i>làm vật rắn quay (ví dụ thơng số mômen xoắn cực đại của các động cơ đốt trong). Mơmen qn tính của vật đặc </i>
trƣng cho sức ì của vật rắn so với trục quay.

C

Δ



Δ

M

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Biến thiên động lƣợng theo thời gian:



























dt
dv
m
r

v
m
dt
dr
v
m
r
dt
d
dt
<i>dl</i>
]
F
r
[
]
a
m
r
[
]
a
m
r
[
]
v
m
v
[       


 M
dt
d<i>l</i> _

. Nếu M0 thì 0 const

dt

d _ _ _

<i>l</i>
<i>l</i>

<i> b) Đối với hệ chất điểm: </i>

Mômen động lƣợng của toàn hệ: L



<i>li</i> 



[r_i m_ivi]

<i>+ Mômen động lượng của vật rắn quay: </i>L 



[r_i m_ivi]



[r_i m_i[ωri]]














2

i
i
i

i
i
2
i

iωr m r(r.ω) ω mr

m LIω (4.7)

<i>+ Biến thiên và bảo tồn mơmen động lượng: </i>







_





















dt
dv
m
r
v
m
dt
dr
]
v
m
r
[
dt
d
dt
dL i
i
i
i
i
i
i
i
i



 

_



_



    


 v m v r m a [r F ]
dt
dL
i
i
i
i
i
i
i
i
 M
dt
dL _
(4.8)

( M ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ, vì tổng nội lực bằng 0)

Nếu M0 thì 0 L const

dt

dL _ _ _

<i>Biến thiên mômen động lượng của vật rắn bằng tổng mômen của ngoại lực tác </i>
<i>dụng lên vật. Khi không có mơmen của ngoại lực tác dụng thì mơmen động lượng </i>
<i>được bảo toàn. </i>

<b>4.6. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định </b>

Xét vật rắn là tập hợp bởi các hạt có vận tốc khác nhau. Động năng của vật là:



 2
i
iv
m
2
1
K

Mà: v_i ωr_i (vận tốc góc  của các hạt là bằng nhau)







 2
i
i
2
2
i

i ω mr

2
1

)
r
(ω
m
2
1

K  Iω2

2
1

K   _(4.9)

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 4.1: Tính tọa độ khối tâm của một vật đồng tính có chiều dày khơng đổi, kích </b>
<b>thƣớc nhƣ trên hình vẽ. </b>

<i>Hướng dẫn: Coi hệ gồm hai </i>
<i>vật là phần chưa bị cắt (A) và phần </i>
<i>cắt (B). Xác định được khối tâm của </i>
<i>phần cắt (B) và khối tâm của hệ hai </i>
<i>vật, suy ra tọa độ khối tâm của phần </i>
<i>chưa bị cắt (A). </i>

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ
hình vẽ, điểm O trùng với tâm hình
nhữ chật khi chƣa bị cắt.

Do hình bị cắt đối xứng qua trục Ox nên khối tâm của hình cịn lại cũng nằm trên
trục Ox và y = 0.

Hệ có 2 hình: hình A là hình cần tìm hồnh độ khối tâm x1, hình B là hình bị cắt

và có hồnh độ khối tâm là x2:

 Tọa độ khối tâm của hệ 2 hình (A và B) trùng với gốc tọa độ O (0, 0)

0
m
m
x
m
x
m
B
A
2
B
1
A 



Vì vật đồng tính và có độ dày đồng đều nên có thể thay khối lƣợng bằng diện tích
tƣơng ứng. Suy ra:

0
S

S
x
S
x
S
B
A
2
B
1
A 


. Mà
3
h
2
a

x₂   (trọng tâm của tam giác cân)

6
2h
3a
3
h
2
a

x₂    


Ta có:
2
bh
ab
S
;
2
bh

S_B  _A  

Do đó: 2

A
B
1
B
A
2
B
1
A _x
S
S
x
0
S
S

x
S
x
S






6
2h
3a
2
2a
h
2
h
6
2h
3a
a
2
h
2
h
6
2h
3a
2

bh
ab
2
bh

x₁ 










 _
2a
h
2h
3a
.
6
h
x₁




<i>Vậy tọa độ khối tâm của vật cần tìm là: </i> 








0
2
2
3

6 <i>h</i> <i>a</i> <i>;</i>
<i>h</i>
<i>a</i>
<i>.</i>
<i>h</i>

<i>. Khi bị khoét ở bên </i>

<i>phải thì khối tâm của vật dịch chuyển sang trái và hoành độ mang giá trị âm. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

<b>Bài 4.2: Một chiếc thuyền đứng yên trên mặt nƣớc lặng. Khối lƣợng thuyền M = </b>
<b>140kg, chiều dài thuyền L = 2m, ở mũi thuyền có một ngƣời khối lƣợng m1 = </b>

<b>70kg, ở đi thuyền có một ngƣời khác khối lƣợng m2 = 40kg. Hỏi khi hai ngƣời </b>

<b>tiến lại đổi chỗ cho nhau thì thuyền dịch đi một đoạn là bao nhiêu? Bỏ qua sức </b>
<b>cản của nƣớc. </b>

<i>Hướng dẫn: Hệ gồm thuyền và hai </i>
<i>người là hệ kín nên động lượng được bảo </i>
<i>toàn, suy ra vị trí khối tâm của hệ là cố </i>
<i>định. Viết biểu thức tọa độ khối tâm của </i>
<i>hệ trước và sau khi 2 người đổi chỗ. Cho </i>
<i>hai biểu thức bằng nhau và suy ra độ </i>
<i>dịch chuyển của thuyền. </i>

Xét hệ gồm thuyền và hai ngƣời. Chọn trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ, gọi độ dịch
chuyển của thuyền là x.

Vì hệ kín (khơng có ngoại lực tác dụng) nên động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn.

const
V
)
m
m
(M
const

P    1 2 

(với V là vận tốc chung của hệ). Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên suy ra:

const
r
0
dt

r
d
0
V C
C





 (vị trí khối tâm của hệ là cố định)

+ Tọa độ của 2 ngƣời và thuyền khi chƣa đổi chỗ:









L/2
x
:
M
L
x
:
m

0
x
:
m
2
2
1
1

+ Tọa độ của 2 ngƣời và thuyền khi đã đổi chỗ:














x
L/2
x'
:
M
x

'
x
:
m
x
L
'
x
:
m
2
2
1
1

+ Vị trí khối tâm của hệ là cố định khi 2 ngƣời đổi chỗ cho nhau, suy ra:

Mx'
'
x
m
'
x
m
Mx
x
m
x
m
M

m
m
Mx'
'
x
m
'
x
m
M
m
m
Mx
x
m
x
m
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1

1
2
2
2
2
1

1      















 





 Δx

2
L
M
Δx
m
Δx)
(L
m
2
ML
L

m₂ ₁ ₂










 _ _ _

 L (m m M)Δx

2
M
m

2
M

m₂ ₁ ₁ ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

(m)
0,24
250

60
140

40
70

2
70).
(40

Δx  






 1

<b>Bài 4.32: a)Tìm mơmen qn tính của một thanh đồng chất đối với một trục </b>

<b>vuông góc với thanh và đi qua trung điểm của thanh, nếu khối lƣợng của thanh là </b>
<b>m và độ dài của nó là L. </b>

<b>b) Tìm mơmen quán tính của một khối trụ đồng chất khối lƣợng m, bán </b>
<b>kính R, đối với trục đối xứng dọc của nó. </b>

<b>c) Tìm mơmen qn tính của một khối cầu đồng chất khối lƣợng m, bán </b>
<b>kính R, đối với trục đối xứng của nó. </b>

<i>Hướng dẫn: Chia vật thành các vi phân khối lượng vơ cùng nhỏ, tìm mơmen </i>
<i>quán tính của các vi phân khối lượng này rồi lấy tích phân trên tồn bộ vật và suy ra </i>
<i>kết quả. </i>

<i> a) Mơmen qn tính của thanh đồng chất đối với đường thẳng trung trực của thanh: </i>



 2

i
ir

m
I

Chọn yếu tố vi phân có độ dài dx, khối lƣợng
dm và cách trục  một khoảng là x. Mơmen qn tính
của đoạn dx, khối lƣợng dm là:

dx
x

L
m
x
dm

dI 2  2

 Mơmen qn tính của thanh so với trục :









_

_

_

L/2

0
3
L/2

0
2
L/2

L/2

-2
L

x
3L
2m
dx
x
L
2m
dx

x
L
m
dI
I

12
mL
I

2



<i> b) Mơmen qn tính của khối trụ đồng chất, bán kính R đối với trục đối xứng dọc: </i>

Chọn yếu tố vi phân có dạng một lớp trụ bán kính
r, độ dày dr nhƣ hình vẽ, sao cho các điểm nằm trên lớp
trụ cách đều trục .

Khối lƣợng của lớp trụ: m
πR

rdr
2π
dm ₂

Mômen quán tính của lớp trụ độ dày dr, bán kính r:

dr
r
R
2m
mr

πR
rdr
2π
r

dm

dI 2  ₂ 2  ₂ 3

 Mômen của toàn bộ khối trụ: 







 

R

0
4

2
R

0

3
2

4
r
R
2m
dr

r
R
2m
dI

I

2
mR
I

2



1

Dấu trừ "-" chứng tỏ rằng thuyền dịch chuyển ngƣợc chiều với chiều chuyển động của ngƣời có khối lƣợng lớn
hơn.

2_{Dạng bài này không ra trong đề thi cuối kỳ. Chỉ cần nhớ các cơng thức mơmen qn tính.}

dr



R

r



dx

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

<i> c) Mơmen qn tính của một khối cầu đồng chất, khối lượng m, bán kính R đối với </i>
<i>trục đối xứng của nó: </i>

Chia khối cầu thành những khối trụ bán kính r, độ dày dz đặt chồng lên nhau. Áp
dụng kết quả câu b.

Khối lƣợng của khối trụ độ có dày dz, bán kính r:

dz
4R
3mr
m

πR
3
4

dz
r
π

dm ₃

2
3

2




Mơmen qn tính của khối trụ khối lƣợng dm:

dz
8R
3mr
2

dmr

dI ₃

4
2




 Mơmen qn tính của tồn bộ khối cầu:







  





R

0

2
2
2
3
R

R
4

3 (R z ) dz

4R
3m
dz

r
8R

3m
dI

I

5
3

5
5
5

3
R

0
5

3
2
4

3 R

15
8
4R

3m
5

R
R
3
2
R
4R

3m
5

z
3
z
2R
z
R
4R

3m _


























 2

mR
5
2
I 

<b>Bài 4.4: Trong một đĩa đồng chất hình trịn bán kính R, khối lƣợng m, ngƣời ta </b>
<b>kht hai lỗ trịn bán kính r có các tâm đối xứng với nhau qua tâm đĩa và cùng </b>
<b>cách tâm đĩa một khoảng a. Hãy tính mơmen qn tính của phần đĩa còn lại đối </b>

<b>với trục đi qua tâm đĩa và vng góc với mặt phẳng đĩa1</b>

<b>. </b>

<i>Hướng dẫn: Mơmen qn tính có tính chất </i>
<i>cộng. Lấy mơmen qn tính của đĩa đặc khi chưa </i>
<i>khoét trừ đi tổng mơmen qn tính của 2 lỗ kht </i>
<i>đối với trục đi qua tâm. </i>

Gọi mômen quán tính của đĩa khi chƣa bị
kht là I0, mơmen qn tính của mỗi lỗ kht là I1

thì mơmen qn tính của đĩa sau khi khoét là:
I = I0 – 2I1

+ Mômen quán tính của đĩa khi chƣa bị khoét
đối với trục đi qua tâm:

2

0 mR

2
1

I  (theo kết quả bài 3b)

1_{Giống với bài 1 trang 163, giáo trình Q}

2

R

a
r



dz

R

r

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

+ Mơmen qn tính của một lỗ kht đối với trục đi qua tâm của đĩa:

2
1
2

1

1 mr ma

2
1

I   (định lý Steiner – Hugen)

(m₁ là khối lƣợng của một hình bị khoét, m
R

r
m ₂

2

1  )

 Mơmen qn tính của phần đĩa còn lại đối với trục đi qua tâm:

2
2
2
2
4
2
2
2
2

2
2
2
2
1
0
R
ma
2r
R
mr
2
mR
ma
R
r
2
mr
R
r
2
1
2
mR
2
1
2I
I

I       

 _








 2 2₂2 4₂

R
r
R
a
2r
2
R
m
I 

<b>Bài 4.5: Hai vật khối lƣợng m1 và m2 nối với nhau bằng một dây vắt qua một </b>

<b>ròng rọc khối lƣợng m. Dây không co giãn, ma sát ở trục rịng rọc có thể bỏ qua. </b>

<b>Tìm gia tốc góc của rịng rọc và tỷ số các sức căng T1/T2 của các phần dây nối với </b>

<b>các vật trong quá trình chuyển động. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho các vật m1, m2 để tìm lực </i>

<i>căng T1, T2 tác dụng lên ròng rọc. Viết phương trình cơ bản của chuyển động quay </i>

<i>của ròng rọc và suy ra gia tốc góc </i><i>. Thay </i><i> ngược trở lại biểu thức của T₁, T₂ để tìm </i>
<i>tỷ số sức căng T1/T2</i>

<i> * Tìm gia tốc góc của rịng rọc: </i>

Chọn chiều dƣơng nhƣ hình vẽ.

Chiếu phƣơng trình định luật II Newton áp dụng cho vật m1 lên chiều dƣơng:

βR
m
a
m
P

T₁ ₁  ₁  ₁ (1) (R là bán kính vật m)
Chiếu phƣơng trình định luật II Newton áp

dụng cho vật m2 lên chiều dƣơng:

βR
m
a
m
T

P₂ ₂  ₂  ₂ (2)
Phƣơng trình cơ bản của vật m khi quay:

β
mR
2
1
)
T
R(T
Iβ

M  ₂  ₁  2 (3)

Rút T1, T2 từ (1) và (2) rồi thay vào (3) ta đƣợc:

β
mR
2
1
βR)
m
g
m
βR
m
g
R(m
β
mR

2
1
βR)
m
P
βR
m

R(P₂ ₂  ₁ ₁  2  ₂  ₂  ₁  ₁  2







 _ _



 m m m β

2
1
R
)
m

Rg(m₂ ₁ 2 ₁ ₂

2
m
m
m
m
m
R
g
β
2
1
1
2





1
m
2
m
m
'

T1 T2'
1

T

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

<i> * Tỷ số sức căng T₁/T₂: </i>

Từ (1) suy ra: T₁ P₁m₁βR m₁gm₁βR m₁(gβR)























m/2
m

m
m/2
2m
g
m
R
m/2
m
m
m
m
R
g
g
m
T
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1

Từ (2) suy ra: T₂ P₂ m₂βRm₂gm₂βR m₂(gβR)
























m/2
m
m
m/2
2m
g
m
R
m/2

m
m
m
m
R
g
g
m
T
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2

 Tỷ số các sức căng:











m/2
2m
m/2
m
m
.
m/2
m
m
m/2
2m
.
g
m
g
m
T
T
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
m)

(4m
m
m)
(4m
m
T
T
1
2
2
1
2
1




<b>Bài 4.6: Trên một hình trụ đặc đồng chất khối lƣợng m1 và bán kính R, ngƣời ta </b>

<b>quấn một sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ có buộc một vật có khối lƣợng m2. Tại </b>

<b>thời điểm t = 0 hệ bắt đầu chuyển động. Bỏ qua ma sát ở trục hình trụ, tìm sự </b>

<b>phụ thuộc theo thời gian của1_:</b>

<b>a) Vận tốc góc của hình trụ. </b>
<b>b) Động năng của toàn hệ. </b>

<i>Hướng dẫn: Vận tốc góc của hình trụ phụ thuộc </i>
<i>vào thời gian thơng qua gia tốc góc </i><i>. Lực căng T của </i>

<i>sợi dây sinh ra mơmen tác động làm hình trụ quay. Viết </i>
<i>phương trình cơ bản của chuyển động quay của hình trụ </i>
<i>và suy ra gia tốc góc </i><i>. Động năng của toàn hệ bằng </i>
<i>tổng động năng do chuyển động quay của m1 với động </i>

<i>năng do chuyển động tịnh tiến của m2. </i>

<i> a) Sự phụ thuộc của vận tốc góc theo thời gian t: </i>

t
β

ω (với  là gia tốc góc quay)

Ta có: MTR (M là mơmen của ngoại lực đối với trục quay)

Mà: MIβ (phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của m₁)

I
TR
β
β
I

TR   

 (I là mômen qn tính của vật hình trụ)

Vật m2 chịu tác dụng của lực căng T hƣớng lên và trọng lực P hƣớng xuống

Phƣơng trình định luật II Newton cho vật m2:

a
m
P

T  ₂ (a là gia tốc dài: a βR )

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Chiếu phƣơng trình lên phƣơng chuyển động, chiều dƣơng hƣớng lên:
a)
(g
m
T
a
m
g
m
T
a
m
P

T  ₂   ₂  ₂   ₂ 

Thay giá trị T vào biểu thức của  ta đƣợc:

β
m
2m

R
m
g
2m
R
m
2
1
R)R
β
(g
m
I
a)R
(g
m
I
TR
β
1
2
1
2
2
1
2

2     







1 2



2
1
2
1
2
2m
m
R
g
2m
β
R
m
g
2m
m
2m
1
β














<i>Vậy, sự phụ thuộc của vận tốc góc của hình trụ theo thời gian là: </i>


βt

ω

_

_

2
1
2
2m
m
R
gt
2m
ω



<i> b) Động năng của toàn hệ theo thời gian t: </i>

Động năng của toàn hệ bằng tổng động năng do chuyển động quay của vật m1

với động năng do chuyển động tịnh tiến của vật m2:



2



2
2
2
2
2
2
2
2
2
R
m
I
ω
2
1
R
ω
m
2
1
Iω
2
1
v
m
2
1
Iω

2
1

K      





_

_



1 2



2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
m
2
m
R
2m
m
R
gt
2m

4
1
m
2
m
R
ω
4
1
R
m
R
m
2
1
ω
2
1 _
















 _


2
1
2
2
2
2
2m
m
t
g
m
K



<b>Bài 4.7: Hai đĩa nằm ngang quay tự do xung quanh một trục thẳng đứng đi qua </b>

<b>tâm của chúng. Các mơmen qn tính của các đĩa với trục này là I1 và I2, còn các </b>

<b>vận tốc góc là </b><b>1 và </b><b>2. Sau khi đĩa trên rơi xuống đĩa dƣới, cả hai đĩa do sự ma </b>

<b>sát giữa chúng và sau một thời gian nào đó bắt đầu quay nhƣ một vật thống nhất. </b>
<b>Hãy tìm1: </b>

<b>a) Vận tốc góc của hệ hai đĩa đƣợc hình thành nhƣ trên. </b>
<b>b) Cơng của lực ma sát khi đó. </b>

<i>Hướng dẫn: Hệ cơ lập, áp dụng định luật bảo </i>
<i>tồn mơmen động lượng. Biểu diễn mômen động </i>
<i>lượng của vật rắn quay theo mơmen qn tính và </i>
<i>vận tốc góc (cơng thức 4.7), suy ra vận tốc của hệ </i>
<i>hai đĩa. Công của lực ma sát bằng độ biến thiên </i>
<i>động năng của hệ (định lý động năng). </i>

1_{Giống với bài 3 trang 165, giáo trình Q}

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

<i> a) Vận tốc góc của hệ hai đĩa: </i>

Khơng có ngoại lực tác dụng vào hệ nên mơmen động lƣợng đƣợc bảo tồn:
L = const

+ Mômen động lƣợng của hệ trƣớc khi hai đĩa chập thành một:

2
2
1
1
2

1 L Iω I ω

L   

+ Mômen động lƣợng của hệ sau khi hai đĩa chập thành một:

ω
)
I

(I₁ ₂ (mơmen qn tính có tính chất cộng)

 Theo định luật bảo tồn mơmen động lƣợng:






I ω (I I )ω
ω

I₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂

2
1
2
2
1
1
I
I
ω

I
ω
I
ω




<i> b) Công của lực ma sát: </i>

<i>Áp dụng định lý về động năng: độ biến thiên động năng bằng công của ngoại lực</i>

2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2

2
1
1
2
2
1

ms I ω

2
1
ω
I
2
1
I
I
ω
I
ω
I
)
I
(I
2
1
ω
I
2
1

ω
I
2
1
)ω
I
(I
2
1

A _  

















I ω I ω 2I I ωω I ω (I I ) I ω (I I )



)
I

2(I
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1














2

2
1
2
1

2

1 _ω _ω

)
I
2(I
I
I _



 (dấu " – " chứng tỏ động năng của hệ giảm)

Vậy, cơng của lực ma sát có độ lớn:



1 2



2
2

1

2
1

ms ω ω

)
I
2(I
I
I
A 



<b>Bài 4.8: Tính gia tốc khối tâm của một viên bi lăn không trƣợt trên một mặt </b>

<b>phẳng nghiêng một góc </b><b> so với phƣơng nằm ngang. </b>

<i>Hướng dẫn: Viên bi chuyển động như một </i>
<i>chất điểm có khối lượng bằng khối lượng viên bi </i>
<i>và đặt ở khối tâm của nó. Áp dụng công thức </i>
<i>trong chuyển động thẳng có gia tốc của chất </i>
<i>điểm. Vận tốc cuối mặt phẳng nghiêng của viên </i>
<i>bi được xác định thông qua định luật bảo toàn </i>
<i>cơ năng (thế năng ban đầu bằng động năng của </i>
<i>chuyển động quay cộng với động năng của </i>
<i>chuyển động tịnh tiến ở cuối mặt phẳng </i>
<i>nghiêng). </i>

Giả sử vận tốc tại chân dốc của viên bi là v

+ Bỏ qua lực ma sát. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:



h

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

2
2

Iω
2
1
mv
2
1

mgh  

(với I là mơmen qn tính của viên bi có dạng khối cầu, viên bi thực hiện đồng
thời chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay)

2
2

2 _ω

mR
5
2

.
2
1
mv
2
1

mgh  

 ( mR2

5
2

I đƣợc chứng minh ở bài 3b)

2
2
2
2

2
2
2

R
v
R
5
1

v
2
1
gh
ω

R
5
1
v
2
1

gh     



7
10gh
v

v
10

7
gh
v

5
1

2
1

gh  2   2  2 






 



+ Vật chuyển động nhƣ một chất điểm ở vị trí của khối tâm, có khối lƣợng m:

<i>l</i>
<i>l</i>

<i>l</i>

2
v
a
v

2a
v

v

2a

2
2

2
0

2     









<i>l</i>
<i>l</i>

gh
7
5
2

7
10gh

a gsinα

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

<b>CHƢƠNG 5: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ</b>

<b>1</b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>5.1. Dao động điều hòa, sự biến đổi và bảo toàn năng lƣợng </b>

<i> a) Dao động điều hòa: </i>

Là một dao động tuần hồn trong đó đại lƣợng x cần khảo sát biến thiên tuần
hoàn theo thời gian, theo quy luật hình sin hoặc cos xung quanh vị trí gốc.

)
t
Asin(ω

x  



(5.1)

Trong đó: + A là biên độ dao động (m)

+  là vận tốc góc (rad/s)
+  là pha ban đầu (rad)

+ (t + ) là pha của dao động tại thời điểm t (rad)

<i>- Chu kỳ (T): là khoảng thời gian ngắn nhất mà độ dịch chuyển x có giá trị nhƣ cũ. </i>

ω
2π
T (s)

<i>- Tần số (f): là số dao động trong thời gian 1 giây. </i>

2π
ω
T

1

f   (Hz)

<i>- Vận tốc trong dao động điều hòa: </i>

)
t
cos(ω
Aω
'

x
dt
dx

v  _t 



<i>- Gia tốc trong dao động điều hòa: </i>

x
ω
)

t
sin(ω
Aω

''
x
dt
dv

a   _t  2 



 2

 Phƣơng trình tổng quát của dao động điều hịa:

Ta có: x''ω2x x''ω2x0 (5.2)

<i> b) Biến đổi và bảo toàn năng lượng trong dao động điều hòa: </i>

Xét dao động của con lắc lò xo. Theo định luật II Newton:
'

x'
m
ma
F 

Theo định luật Hooke: Fkx

0
x
m

k
'
x'
0
kx
'
x'
m
kx
'

x'

m       



</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Đặt:

m
k

ω suy ra: x''ω2x 0

Vậy, dao động của con lắc lò xo là một dao động điều hòa, tần số góc . Phƣơng
trình (5.2) có dạng phƣơng trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng số, nghiệm tổng quát của
phƣơng trình là:

)
t
Asin(ω

x  



(đây là phƣơng trình của dao động điều hịa)

<i>+ Động năng của dao động: </i>

)
t
(ω
cos
A
k
2
1
)
t
(ω
cos
ω
A
m
2
1
mv
2
1

K 2  2 2 2 



 2 2 



<i>+ Thế năng của dao động: </i>

)
t
(ω
sin
A
k
2
1
kx
2
1

U  2  2 2 



<i>+ Cơ năng: </i> kA const

2
1
U
K

E   2  (5.3)

<b>5.2. Tổng hợp hai dao động cùng phƣơng và có tần số gần nhau, hiện tƣợng phách </b>

<i> a) Tổng hợp hai dao động: </i>

Xét một chất điểm tham gia 2 dao động điều hòa cùng phƣơng nhƣng có tần số
khác nhau đủ nhỏ:











)
t
cos(ω
A

x

)
t
cos(ω
A

x

2
2

2

2

1
1
1

1





(sai khác giữa ₁ và ₂ là đủ nhỏ)

Dao động tổng hợp đƣợc xác định theo nguyên lý chồng chất:

)
t
cos(ω
A

)
t
cos(ω
A

x
x

x ₁ ₂  ₁ ₁ 



₁  ₂ ₂ 



₂

Đặt:

2
ω
ω
ω 1 2

; ωω₁ω₂;

2

2

1







  ; 







₁



₂
<i> Phương trình của dao động tổng hợp: </i>

)
t
cos(ω
C(t)

)
t
sin(ω

B(t)

x 



 



(5.4)

với:















 _











 _








t
2
Δω
cos
)
A
(A
C(t)

t
2
Δω
sin
)
A
(A
B(t)

1
2

1
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

<i>Biên độ A của dao động tổng hợp: </i>

(t)
C
(t)
B

A(t) 2  2

 A(t)A₁2 A₂2 2A₁A₂cos(ΔωtΔ



) (5.5)













2
1
min

2
1
max

A
A
A

A
A
A

Biên độ A(t) biến thiên tuần hồn theo thời gian với tần số góc ωω₁ω₂ và
có giá trị nằm giữa giá trị cực đại Amax và cực tiểu Amin.

Chu kỳ biến thiên của biên độ:

2
1

2
1

T
T

T
T
Δω

2π
τ





(biên độ của dao động tổng hợp biến thiên rất chậm theo thời gian: τ T₁,T₂)

<i> b) Hiện tượng phách: </i>

Khi A1 = A2 thì cơng thức (5.4) trở thành:

)
t
cos(ω
t

2
Δω
cos
2A

x



 









 _

 (5.6)

Giá trị lớn nhất của biên độ tổng hợp bằng 2A và lúc đó gây ra hiện tƣợng phách.

<b>5.3. Sóng ngang và sóng dọc </b>

<i>Sóng là sự lan truyền của một kích động nào đó trong mơi trường. Sóng cơ chỉ </i>

lan truyền đƣợc trong mơi trƣờng đàn hồi.

<i>+ Sóng ngang: phƣơng truyền sóng vng góc với phƣơng dao động của các </i>

phần tử mơi trƣờng mà sóng truyền tới.

<i>+ Sóng dọc: phƣơng dao động của các phần tử môi trƣờng trùng với phƣơng </i>

truyền sóng.

<b>5.4. Phƣơng trình truyền sóng và các đại lƣợng đặc trƣng </b>

<i> a) Phương trình truyền sóng: </i>

Giả sử hàm f(r,t) là hàm mô tả dao động của chất điểm mơi trƣờng sóng truyền

qua: f(r,t)f(x,y,z,t). Xét hàm sóng chỉ truyền theo phƣơng Ox ta có: f(x,t)

+ Tại O(0, 0) thì: f(0,t)f(t)

+ Xét dịch chuyển từ O đến M mất một khoảng thời gian

v
x

với v là vận tốc

truyền sóng. Kích động tại M giống kích động tại O ở thời điểm
v
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>






 

v
x
t
f
t)
f(x,






 


v
x
t
'
'
f
v
1
'
'

f _x ₂ ; 





 

v
x
t
'
'
f
'

'
f _t

Do đó: f ''_t (x,t)v2f ''_x (x,t) (5.7)

(đây là phƣơng trình truyền sóng trong trƣờng hợp 1 chiều)

<i>+ Phương trình truyền sóng trong trường hợp tổng quát: </i>



f '' (r,t) f'' (r,t) f'' (r,t)



v
t)
,
r
(
'
'

f _t  2 _x  _y  _z

<i> b) Sự truyền sóng và các đại lượng đặc trưng: </i>

Xét 1 kích động tại điểm O có dạng đơn giản:
t

cosω
A
t)
f(O, 

Tại vị trí x mà dao động giống điểm O có phƣơng trình:














 _






 

v
x
T
2π
ωt

cos
A
v
x
ω
ωt
cos
A
v
x
t
ω
cos
A
t)
f(x,
 




 _
 x
λ
2π
ωt
cos
A
t)

f(x, (5.8) với  là bƣớc sóng

<i> Vận tốc truyền pha dao động: </i>

Cố định pha dao động: const
v
x
t
ω 





  _{. Đạo hàm theo thời gian ta đƣợc:}

0
dt
dx
v
ω
ω
0
v
x
dt
d
ω
ω
0

v
x
t
ω
dt

d _ _ _ _















 






 1

dt
dx
v
1
0
dt
dx
v
1
1
dt
dx

v (5.9)

<i> Vận tốc truyền pha bằng vận tốc truyền sóng. </i>

<b>5.5. Hiện tƣợng giao thoa sóng, sóng dừng </b>

<i> a) Giao thoa sóng: </i>

<i>Hai sóng có thể kết hợp là hai sóng có cùng tần số và hiệu số pha không đổi theo </i>
<i>thời gian. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>









)
t
cos(ω
A
x
)
t
cos(ω
A
x
2
2
2
1
1
1





Dao động tổng hợp có dạng: x Acos(ωt



)với:














2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
cos
A
cos
A
sin
A
sin
A
tan

)
cos(
A
2A
A
A
A















+ Nếu   



r r



k2π 

λ
2π

k2π ₁ ₂

2

1





r₁ r₂ kλ (5.10), các dao động
thành phần cùng pha với nhau, biên độ A có giá trị cực đại: AA₁A₂. Tập hợp các
điểm có biên độ cực đại gọi là mặt bụng sóng.

+ Nếu  











r r

 

 2k1



π

λ
2π
π

1

2k ₁ ₂

2
1





λ
2
1
k
r

r₁ ₂ 





 


 (5.11)

các dao động thành phần ngƣợc pha với nhau, biên độ A có giá trị cực tiểu:

|
A
A
|

A ₁ ₂ . Tập hợp các điểm có biên độ cực tiểu gọi là nút sóng.

<i> b) Sóng đứng, sóng dừng: </i>

<i>Sóng đứng là trường hợp giao thoa của 2 sóng cùng biên độ và tần số nhưng </i>
<i>ngược chiều với nhau. </i>

Hàm mô tả sóng tới và sóng phản xạ có dạng:












 _







 _

x
λ
2π
t
ω
cos
A
x
x
λ
2π
t
ω
cos
A
x
2
1

Dao động tổng hợp: xcosωt
λ
2π
cos
2A
x

x

x ₁ ₂  (5.12)

+ Nếu x1
λ
2π
cos
2
λ
k

x thì biên độ dao động là cực đại.

+ Nếu x0
λ
2π
cos
2
λ
2
1
k
x 




 

 thì biên độ dao động là cực tiểu.

<i>Sóng dừng được hình thành do sự giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ trên </i>
<i>bề mặt mơi trường đàn hồi hơn (mật độ phân tử lớn hơn) và ở đó có sự chuyển pha. </i>

ωt
sin
x
λ
2π
sin
2A

x (5.13)

Hai điểm đầu và cuối là nút sóng: f(0,t)f(x,t)0

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

<b>5.6. Hiệu ứng Doppler1</b>

<i>Là hiệu ứng mà các đặc trưng sóng (tần số, chu kỳ, bước sóng) của máy thu ghi </i>
<i>nhận được thì phụ thuộc vào trạng thái chuyển động tương đối giữa nguồn phát và </i>
<i>máy thu. </i>

Gọi vận tốc và chu kỳ dao động sóng của nguồn phát khi nguồn đứng yên là v0,

T₀. Nguồn phát chuyển động với vận tốc u, máy thu chuyển động với vận tốc v.

<i> * Khi máy thu và nguồn phát tiến lại gần nhau, sóng thu được có: </i>

+ Chu kỳ:

v
v

u
v
T
T

0
0

0 _




+ 2Tần số:

u
v

v
v
f
T

1
f

0
0

0 _




 (5.14)

<i> * Khi máy thu và nguồn phát tiến ra xa nhau, sóng thu được có: </i>

+ Chu kỳ:

v
v

u
v
T
T

0
0

0 _




+ Tần số:

u
v

v
v
f
T
1
f

0
0

0 _




 (5.15)

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 5.1: Xác định chu kỳ dao động bé của cột thủy ngân có khối lƣợng m = 200g </b>

<b>đƣợc đổ vào vào một ống cong (hình vẽ) có nhánh bên phải tạo một góc </b><b> = 300 so </b>

<b>với phƣơng thẳng đứng. Diện tích thiết diện của lịng ống là S = 0,5cm2_{. Bỏ qua}</b>

<b>độ nhớt của thủy ngân3_.</b>

<i>Hướng dẫn: Thủy ngân ở nhánh đứng di chuyển </i>
<i>xuống một lượng thì thủy ngân ở nhánh xiên dâng lên </i>
<i>cùng một lượng đó. Trọng lực kéo thủy ngân đi xuống </i>
<i>thì lớn hơn lực đẩy thủy ngân đi lên do đó xuất hiện </i>
<i>sự chênh lệch về lực. Sự chênh lệch này là nguyên </i>
<i>nhân gây ra dao động bé. </i>

Dao động bé của cột thủy ngân là dao động trong một khoảng rất nhỏ. Giả sử
thủy ngân ở nhánh đứng có độ dịch chuyển rất nhỏ x xuống phía dƣới. Khi đó thủy
ngân ở nhánh xiên dâng lên một đoạn x.cos theo phƣơng thẳng đứng.

1_{Hiệu ứng này rất quan trọng trong thực tiễn, nó đƣợc ứng dụng để chế tạo máy bắn tốc độ; radar phịng}

khơng,…Chỉ khác là các máy này sử dụng sóng điện từ mà khơng dùng sóng cơ.

2

Khi máy thu tiến lại gần nguồn phát thì tần số sóng tăng lên, nghe chói tai hơn. Tƣơng tự, khi máy thu tiến ra
xa nguồn phát thì tần số sóng giảm đi.

3_{Giống bài 22 trang 186, giáo trình Q}
1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

+ Trọng lực kéo phần thủy ngân đi xuống một đoạn x ở nhánh đứng:
P = –Sgx ( là mật độ khối lƣợng, chọn chiều dƣơng hƣớng lên)
+ Lực làm di chuyển cùng khối thủy ngân đó đi lên ở nhánh xiên:

F = Sgx.cos

 Chênh lệch về lực: ΔFPFSρgx(1cosθ)

Độ chênh lệch này chính là nguyên nhân gây ra dao động bé của cột thủy ngân.
Theo định luật II Newton:

'
mx'
)
cosθ
gx(1

Sρ
ma

ΔF   

0
x
m

)
cosθ
g(1

Sρ
'
x'

0
)
cosθ
gx(1

Sρ
'

mx'       



Do đó, dao động của cột thủy ngân là dao động điều hịa.

Vận tốc góc của dao động:

m
)
cosθ
g(1

Sρ
ω 

 Chu kỳ của dao động:  

ω
2π
T

)
cosθ
g(1

Sρ
m
2π

T




<b>Bài 5.2: Một hệ cơ học đƣợc bố trí nhƣ hình vẽ. Góc giữa mặt phẳng nghiêng và </b>

<b>mặt phẳng ngang là </b><b>. Hệ số đàn hồi của lò xo là k. Khối lƣợng của các vật là m1</b>

<b>và m2. Khối lƣợng của lò xo và của rịng rọc khơng đáng kể. Dây khơng co giãn. </b>

<b>Chứng minh rằng hệ có thể dao động điều hoa khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng </b>
<b>một đoạn nhỏ. Xác định tần số góc của dao động. </b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình </i>
<i>định luật II Newton cho từng vật </i>
<i>trước và sau khi kéo vật ra khỏi vị trí </i>
<i>cân bằng. Giải hệ và suy ra dạng </i>
<i>phương trình vi phân cấp 2 cần tìm </i>
<i>(phương trình 5.2) </i>

Chọn chiều dƣơng là chiều đi lên của vật m₁ (chiều đi xuống của vật m₂)

Khi hệ ở vị trí cân bằng (đứng n), lị xo có độ giãn <i>l. Ta có: </i>

g
m
gsinα
m

F
gsinα
m
F
T

g
m
P
T

2
1

đh
1

đh
2

2 _ _ _












(1)

Khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng, vật có li độ x và lị xo có độ giãn (<i>l + x). Hệ </i>

bắt đầu chuyển động, phƣơng trình định luật II Newton viết cho từng vật:













a
m
'

T
g
m
:
m

a
m
gsinα
m

'
F
'
T
:
m

2
2

2

1
1

đh
1

(lực căng và lực đàn hồi đã thay đổi)

1

m

2

m




T

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

Cộng từng vế hai phƣơng trình của hệ:
)a
m
(m
gsinα
m
kx
F
g
m
)a
m
(m
gsinα
m
'

F
g

m₂  _đh ₁  ₁ ₂  ₂  _đh  ₁  ₁ ₂

(vì F'_đhk(<i>l</i>x)k<i>l</i>kx F_đh kx)

0
kx
)a
m
(m
)a
m
(m
kx
α)
gsin
m
F
g
m

( ₂  _đh ₁   ₁ ₂  ₁ ₂  









(m₁ m₂)x'' kx 0 x 0
m
m
k
'
'
x
2
1




Vậy hệ dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng. Tần số góc của dao động là:

2
1 m
m
k
ω



<b>Bài 5.3: Năng lƣợng toàn phần của một dao động tử điều hòa đơn giản là E₀, biên </b>

<b>độ dao động của dao động tử đó là x0. Tính động năng Eđ và thế năng Et của dao </b>

<b>động tử đó khi </b>

2
x
x 0

<b>. Li độ x của dao động tử là bao nhiêu khi Eđ = Et? </b>

Giả sử dao động có phƣơng trình đơn giản: xx₀sin(ωt)

<i> * Động năng và thế năng của dao động khi x = x₀/2: </i>

Năng lƣợng toàn phần của dao động là tổng động năng và thế năng: E0 = Eđ + Et

Ta có: 20

2
2

0

0 mω x

2
1
kx
2
1

E  

Khi x = x0/2 ta đƣợc:

6
π
t
ω
2
1
t)
sin(ω
t)
sin(ω
x
2
x
0

0     

<i> </i> <i> + Động năng của dao động: </i>












6
π
cos
x
mω
2
1
t)
(ω
cos
x
mω
2
1
mv
2
1

E_đ 2 2 ₀2 2 2 2₀ 2 _đ E₀
4
3
E 

<i> </i> <i>+ Thế năng của dao động: </i>




 ₀ _đ

t E E

E _t E₀

4
1
E 

<i> * Li độ x khi động năng bằng thế năng: </i>

2
1
t)
(ω
cos
x
mω
2
1
.
2
1
t)
(ω
cos
x
mω
2
1

E
2
1
E
E

E_đ  _t  _đ  ₀  2 2₀ 2  2 2₀  2 

2
1
t)
sin(ω
2
1
t)
(ω

sin2   

 _{. Li độ cần tìm là:}x_x₀sin(ωt)_

2
x
x  0

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

<b>Bài 5.4: Một quả cầu đƣợc treo vào một lò xo, thực hiện dao động điều hòa theo </b>
<b>phƣơng thẳng đứng với tần số xác định. Nếu truyền cho điểm treo dao động điều </b>
<b>hòa theo phƣơng thẳng đứng với tần số 20 Hz hoặc 24 Hz thì trong cả hai trƣờng </b>
<b>hợp các phách đƣợc sinh ra có cùng tần số. Hỏi với tần số dao động nào của điểm </b>

<b>treo, tần số của phách sẽ lớn gấp đơi1</b>

<b>. </b>

<i>Hướng dẫn: Lị xo và điểm treo có tần số dao động gần nhau và dao động tổng </i>
<i>hợp xảy ra hiện tượng phách. Tần số của phách chính là tần số trong biểu thức tính </i>
<i>biên độ dao động tổng hợp. Cho hai tần số phách bằng nhau, suy ngược ra tần số của </i>
<i>điểm treo. </i>

Gọi vận tốc góc của dao động lị xo là 1 và của điểm treo là 2. Đặt:

|
ω
ω
|
ω
;
2
ω
ω

ω 1 2   ₁ ₂

Dao động của lò xo và điểm treo cùng biên độ A, dao động tổng hợp có dạng:

t)
cos(ω
t
2
Δω

cos
2A
x 






 .  Tần số của phách:

2π
ω
ω
2π
Δω

f   1 2

Khi tần số điểm treo là 20Hz hoặc 24Hz thì tần số phách bằng nhau ( = 2f):

44π
2
48π
40π
ω
2π
4
.2
2π

ω
2π
0
.2
2π
ω
1
1

1      

(lấy dấu trừ vì  trong 2 trƣờng hợp trái dấu nhau)

Gọi ω₂' là vận tốc góc dao động tại điểm treo sao cho tần số phách lớn gấp đôi:

2
1
2
2
1
2

1 _ω _' _ω ₂_ω

2π
ω
ω
2
2π
'

ω
ω








 _















52π
'
ω
36π

'
ω
2.48π
44π
'
ω
2.40π
44π
'
ω
2
2
2
2

<i>Tần số dao động của điểm treo là: </i>  







/2π
52π
'
f
/2π
36π
'

f
2π
'
ω
'
f
2
2
2
2 




26
'
f
18
'
f
2
2
<i> (Hz) </i>

<b>Bài 5.5: Khi cộng hai dao động điều hòa cùng phƣơng thì dao động tổng hợp của </b>
<b>một điểm có dạng x = a cos 2,1t .cos 50t, trong đó t tính ra giây. Tìm tần số góc </b>
<b>của các dao động thành phần và chu kỳ của phách của dao động tổng hợp. </b>

<i>Hướng dẫn: Tương tự bài 4. Áp dụng các công thức trong tổng hợp hai dao động </i>
<i>có tần số gần nhau, hiện tượng phách. </i>

Hai dao động thành phần có cùng biên độ A, tần số góc là 1 và 2. Dao động

tổng hợp có dạng:

t)
cos(ω
t
2
Δω
cos
2A
x 






 Trong đó: ω|ω₁ω₂ |;

2
ω
ω
ω 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

Suy ra: 














50
2

ω
ω

1
,
2
2

ω
ω

2
1

2
1








9
,
47
ω

1
,
52
ω

2
1

(rad/s)

<i> Chu kỳ của phách của dao động tổng hợp: </i>

Δω
2π

T 1,5(s)
4,2

2π _



<b>Bài 5.6: Hai con lắc vật lí thực hiện các dao động bé xung quanh một trục </b><b> nằm </b>

<b>ngang với các tần số </b><b>1 và </b><b>2. Các mơmen qn tính của chúng đối với trục </b><b> đó </b>

<b>tƣơng ứng là I1 và I2. Ngƣời ta đƣa các con lắc về trạng thái cân bằng bền và gắn </b>

<b>chặt chúng với nhau. Tần số dao động bé của con lắc hợp thành sẽ là bao nhiêu1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình dao động của </i>
<i>từng con lắc khi chưa gắn với nhau, sử dụng phương </i>
<i>trình cơ bản của chuyển động quay của con lắc quanh </i>
<i>trục vng góc với mặt phẳng dao động và chứa điểm </i>
<i>treo. Sau khi gắn chặt chúng với nhau, kết hợp với </i>
<i>mơmen qn tính có tính chất cộng để suy ra phương </i>
<i>trình dao động chung của hệ 2 con lắc. Từ đó tính </i>
<i>được tần số góc. </i>

Xét hai con lắc vật lý khối lƣợng m1 và m2 dao động xung quanh vị trí cân bằng

với góc  rất nhỏ.

<i> + Khi chưa gắn hai con lắc với nhau: </i>

Con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng sẽ xuất hiện một mơmen của lực phục hồi:
sinα

mg
M <i>l</i>

Do  rất nhỏ nên sin . Suy ra: Mmg<i>l</i>α

Mômen của lực tƣơng ứng với mômen trong chuyển động quay nên:

'
'
α
I

M (với I là mơmen qn tính và " là gia tốc góc)

Suy ra: α 0

I
mg
'
'
α
0
α
mg
'
'
α

I  <i>l</i>    <i>l</i>  (*)

Dao động bé của con lắc là một dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng. Tần số

của dao động là: mg ω I
I

mg

ω   2

<i>l</i>
<i>l</i>

.

<i> + Khi đã gắn hai con lắc với nhau: </i>

Phƣơng trình dao động điều hòa (*) trở thành: α 0

I
I

)g
m
(m
'
'
α

2
1

2

1 




 <i>l</i>

1_{Xem lý thuyết về con lắc vật lý, trang 128, giáo trình Q}
2.

m



</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

Mà: α 0
I
I
I
ω
I
ω
'

'
α
I
ω
g
m
I
ω
g
m
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1 _











<i>l</i>
<i>l</i>

<i> Tần số dao động bé của con lắc hợp thành: </i>

2
1
2
2
2
1
2
1
I
I
I
ω
I
ω
ω




<b>Bài 5.7: Để xác định vận tốc của âm trong không khí bằng phƣơng pháp cộng </b>
<b>hƣởng âm, ngƣời ta dùng một ống có pittơng và màng âm bịt kín một trong </b>
<b>những đáy ống. Tìm vận tốc âm, nếu khoảng cách giữa các vị trí kế tiếp nhau của </b>
<b>pittơng mà tại đó ngƣời ta quan sát đƣợc hiện tƣợng cộng hƣởng ở tần số f = 2000 </b>
<b>Hz là </b><i><b>l = 8,5cm. </b></i>

Vị trí quan sát đƣợc hiện tƣợng cộng hƣởng chính là các bụng sóng (ví dụ hai vị
trí kế tiếp nhau A và B nhƣ hình vẽ)

Bƣớc sóng của âm:

(cm)
17
5
,
8
.
2
2

λ <i>l</i> 

 Vận tốc âm cần tìm:




T
λ

v vλf 17.102.2000340 (m/s)

<b>Bài 5.8: Một ngƣời đứng cạnh đƣờng ray ở vị trí A quan sát một tàu hỏa chạy </b>

<b>qua. Khi tàu tiến lại phía A, ngƣời đó đo đƣợc tần số của còi tàu là f1 = 219 Hz. </b>

<b>Khi tàu chạy ra xa khỏi A, ngƣời đó đo đƣợc tần số của cịi tàu là f2 = 184 Hz. </b>

<b>Tìm vận tốc u của đồn tàu và tần số f0 của cịi tàu (nếu tàu đứng yên). Biết vận </b>

<b>tốc sóng âm trong khơng khí là v0 = 340m/s. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng các cơng thức tính tần số của sóng âm khi nguồn phát lại </i>
<i>gần và ra xa máy thu (công thức (5.14) và (5.15)) trong phần lý thuyết về hiệu ứng </i>
<i>Doppler. </i>

+ Khi tàu tiến lại gần A:

219
u
340
340
f
u
v
v
f
f ₀
0
0

0

1  _  _  (1)

+ Khi tàu tiến xa ra A:

184
u
340
340
f
u
v
v
f
f ₀
0
0
0

2  _  _  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>










(m/s)
29,5

u

(Hz)
200

f₀

<i>Vậy, tần số của còi tàu khi đứng yên là 200Hz và vận tốc của đoàn tàu là 29,5m/s </i>
<i>(hay 106,2 km/h). Khi tàu tiến lại gần người quan sát thì tần số âm tăng lên (nghe chói </i>
<i>tai hơn) và khi tiến ra xa người quan sát thì tần số âm giảm đi. </i>

<b>Bài 5.9: Một ngƣời đứng ở một vị trí P trên sân ga quan sát hai đồn tàu A và B </b>

<b>chuyển động ngƣợc hƣớng nhau nhƣ hình vẽ. Vận tốc đồn tàu A là vA = 15m/s, </b>

<b>còi tàu A phát ra với tần số f0 = 200 Hz. Vận tốc của đoàn tàu B là vB = 30m/s. </b>

<b>Vận tốc sóng âm trong khơng khí là v = 340m/s. Hỏi ngƣời quan sát đo đƣợc bƣớc </b>

<b>sóng </b><b>₁ và tần số f₁ của đoàn tàu A là bao nhiêu? Ngƣời lái tàu B nghe đƣợc tần </b>

<b>số f2 từ còi tàu A là bao nhiêu? </b>

<i>Hướng dẫn: Tương tự bài 8, </i>

<i>áp dụng các công thức về hiệu </i>
<i>ứng Doppler. </i>

<i>+ Tần số sóng phát ra từ đoàn tàu A đo được tại P: </i>

A
0

1

v
v

v
f
f



 209,2 (Hz)

15
340

340
200. 




<i>+ Bước sóng phát ra từ đồn tàu A đo được ở P là: </i>

1
1

f
v

λ  1,625 (m)
200

15
340 _



<i>+ Tần số sóng phát ra từ đồn tàu A đến người lái tàu B: </i>

A
B
0

2

v
v

v
v
f

f




 227,7 (Hz)

15
340

30
340

200 





A

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

<b>CHƢƠNG 6: TRƢỜNG HẤP DẪN</b>

<b>1</b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>6.1. Định luật vạn vật hấp dẫn </b>

<i>Nội dung: Lực tương tác giữa hai chất điểm (khối lượng m1 và m2) có phương </i>

<i>nằm trên đường thẳng nối hai chất điểm, có chiều ln là lực hút, có độ lớn tỷ lệ thuận </i>

<i>với tích khối lượng hai chất điểm và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa </i>
<i>chúng. </i>

Biểu thức:

r
r
r

m
m
G
F

F12  21  1₂ 2 12 (6.1)

Độ lớn: 1₂ 2
21

12

r
m
m
G
F
F  

(với G là hằng số hấp dẫn: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 và r₁₂ hƣớng từ m₁ đến m₂)
+ Đối với hai vật có kích thƣớc khơng q nhỏ so với khoảng cách giữa chúng thì

biểu thức của lực hấp dẫn trong trƣờng hợp tổng quát:

ij
ij

i j

2
ij

j
i
21

12

r
r

r
m
m
G

F

F  



<b>6.2. Trƣờng hấp dẫn, thế năng trong trƣờng hấp dẫn </b>

<i> a) Trường hấp dẫn: </i>

Trƣờng hấp dẫn là môi trƣờng tồn tại xung quanh một vật có khối lƣợng và tác
dụng lực hấp dẫn lên vật có khối lƣợng khác đặt trong nó.

<i> b) Thế năng trong trường hấp dẫn: </i>

Thế năng của vật có khối lƣợng m trong trƣờng hấp dẫn của vật khối lƣợng M
đƣợc tính bằng cơng mà lực hấp dẫn di chuyển vật m từ điểm đó ra xa vơ cùng:













r
hd
r

hdds F ds

F

U _{(dấu trừ vì}Fhd ln ngƣợc chiều với ds)

(r là khoảng cách ban đầu từ vật m đến vật M, ds là vi phân dịch chuyển)














r
r

2

s
1
GMm
ds

s
Mm
G

r

Mm
G

U (6.2)

(s là khoảng cách từ vật m đến vật M trong quá trình di chuyển, chọn thế năng tại
vô cùng bằng 0)

1_{Nội dung ôn tập liên quan đến phần lý thuyết của chƣơng 6, đặc biệt là định luật vạn vật hấp dẫn và ba định}

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

<i> Thế năng của vật trong trường hấp dẫn của Trái Đất: </i>

Giả sử Trái Đất có khối lƣợng M, bán kính R. Vật có khối lƣợng m, cách bề mặt
Trái Đất một khoảng h.

+ Thế năng của vật m nằm ngay sát mặt đất:

R
Mm
G



+ Thế năng của vật m cách mặt đất một khoảng h:

h
R

Mm
G




Quy ƣớc chọn mốc thế năng tại mặt đất bằng 0. Khi đó, thế năng của vật m cách
mặt đất một khoảng h là:

h)
R(R

h
GMm
h

R
1
R

1
GMm
R

Mm
G
h
R

Mm

G
U_h






















Vì h rất nhỏ so với R nên có thể bỏ qua h cạnh R, ta đƣợc: h
R
GM
m
U_h  ₂

Mà ₂

R
GM

g là gia tốc trọng trƣờng (g  9,78 m/s2). Do đó: U_h mgh

<b>6.3. Các định luật Keppler về chuyển động của các hành tinh trong trƣờng hấp </b>
<b>dẫn1</b>

<i> a) Định luật Keppler 1: </i>

<i>Mọi hành tinh đều chuyển động trên một quỹ đạo hình elip và Mặt Trời là 1 </i>
<i>trong 2 tiêu điểm2</i>

<i>. </i>

<i> b) Định luật Keppler 2: </i>

<i>Trong quá trình chuyển động, đường nối hành tinh với Mặt Trời thì quét những </i>
<i>diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. </i>

<i> c) Định luật Keppler 3: </i>

<i>Bình phương chu kỳ quay của bất kỳ hành tinh nào cũng tỷ lệ với lập phương bán </i>
<i>trục lớn của quỹ đạo hành tinh đó. </i>

3
2
2

a
GM

4π
T _







  _(6.3)

3/2
3

2

a
~
T
a

~

T 



(G là hằng số hấp dẫn, M là khối lƣợng Mặt Trời, a là bán trục lớn của quỹ đạo)

<b>6.4. Các vận tốc vũ trụ </b>

<i> a) Vận tốc vũ trụ cấp 1: </i>

Là vận tốc tối thiểu phải truyền cho vật để nó trở thành vệ tinh của Trái Đất.

1_{Cần hiểu và ghi nhớ ba định luật Keppler để giải thích một số hiện tƣợng.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

Lực hấp dẫn giữa vật và Trái Đất đóng vai trị là lực hƣớng tâm cho chuyển động
quay của vật:




R
v
m
R

Mm
G

2
1
2

R
GM

v₁   6371,111.9,817,9 km/s

<i> b) Vận tốc vũ trụ cấp 2: </i>

Là vận tốc tối thiểu phải truyền cho vật để nó thốt khỏi sức hút của Trái Đất và
trở thành hành tinh của Mặt Trời.

Cơ năng của vật đƣợc bảo tồn. Tại vị trí rất xa Trái Đất, cơ năng của vật bằng 0.
Do đó, động năng ban đầu bằng thế năng ban đầu:

km/s
11,2
2

v
R

2GM
v

R
Mm
G
2
mv

1

2

2

2     

<i> c) 1Vận tốc vũ trụ cấp 3: </i>

Là vận tốc tối thiểu phải truyền cho vật để nó thốt khỏi hệ Mặt Trời và đi vào vũ trụ:

5
,
29
30Rg

v₃    30v₁29,513,8km/s

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 6.1: Tính lực hấp dẫn của một thanh đồng tính có chiều dài L, khối lƣợng m₁</b>

<b>lên một quả cầu nhỏ khối lƣợng m2 đặt cách đầu thanh đó một khoảng a. </b>

<i>Hướng dẫn: Quả cầu nhỏ được coi như một chất điểm. Chia thanh đồng tính </i>
<i>thành các yếu tố vi phân dx, xác định lực hấp dẫn của yếu tố vi phân dx tác dụng lên </i>
<i>quả cầu nhỏ. Lấy tích phân trên tồn bộ thanh để tìm lực hấp dẫn do tồn thanh gây </i>
<i>ra. </i>

Chia thanh đồng tính thành các vi phân chiều dài dx, khối lƣợng dm, cách quả
cầu nhỏ một khoảng là x. Lực hấp dẫn do thanh tác dụng lên quả cầu là tổng lực hấp

dẫn do các đoạn dx tác dụng lên.

Khối lƣợng của đoạn vi phân dx: dx
L
m
dm 1

Lực hấp dẫn do đoạn dx tác dụng lên m2 có độ lớn:

2
2
1
2

2

x
dx
L

m
m
G
x

dm.m
G

dF  (G là hằng số hấp dẫn)

 Lực hấp dẫn tổng hợp F do thanh tác dụng lên quả cầu nhỏ m₂ có:
+ Điểm đặt tại m2.

+ Phƣơng trùng với đƣờng thẳng chứa thanh.

1_{Xem cách tính vận tốc vũ trụ cấp 3 tại trang 110, giáo trình Q}
1.

1

m 2

m

L _a

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

+ Chiều từ m2 về phía thanh (vì lực hấp dẫn ln là lực hút)

+ Độ lớn:































Gm_Lm _a1 _a 1_L

x
1
L

m
m
G

x
dx
L

m
m
G
dF

F 1 2

L
a

a
2

1
L

a

a
2
2

1



L)
a(a

m
m
G

F 1 2




<b>Bài 6.2: Bên trong một quả cầu đồng tính tâm O, bán kính R, khối lƣợng M có </b>

<b>một lỗ hình cầu bán kính </b>rR/2<b> . Tính lực hút của phần cịn lại của quả cầu đó </b>

<b>lên một quả cầu nhỏ khối lƣợng m đặt cách tâm O một khoảng d = 2R nhƣ trên </b>
<b>hình vẽ. </b>

<i>Hướng dẫn: Tìm lực hấp dẫn của toàn bộ </i>
<i>quả cầu (O, R) khi chưa khoét và lực hấp dẫn của </i>
<i>phần bị khoét có dạng khối cầu (O', r) tác dụng </i>
<i>lên chất điểm m. Lực hấp dẫn của phần còn lại </i>
<i>bằng hiệu giữa chúng. </i>

Lực hấp dẫn do quả cầu tâm O, bán kính R,
khối lƣợng M tác dụng lên chất điểm m cách O
một khoảng 2R:

2

2

1

4R
Mm
G
(2R)

Mm
G

F  

Lực hấp dẫn do quả cầu tâm O', bán kính r = R/2, khối lƣợng M' tác dụng lên m
cách O' một khoảng 3R/2:

2
2

2

9R
m
'
4M
G

2
3R

m
'
M
G

F 








 _Mà:

8
M
M
/3
R
4π

/3
r
4π
'

M ₃

3




Do đó: 2 2

R
18

Mm
G
F 

 Lực hấp dẫn (lực hút) của phần cịn lại tác dụng lên chất điểm m có độ lớn:







 ₁ ₂ ₂ ₂

18R
Mm
G
4R
Mm

G
F
F

F ₂

R
GMm
36

7
F

<b>Bài 6.3: Chứng minh rằng lực hấp dẫn của một lớp vỏ hình cầu đồng tính khối </b>
<b>lƣợng M tác dụng lên một hạt khối lƣợng m nằm trong vỏ cầu đó bằng 0. </b>

<i>Hướng dẫn: Hạt m đặt tại vị trí A bất kỳ trong lớp cầu. Tại A dựng hai góc khối </i>
<i>rất nhỏ và đối đỉnh với nhau, hai góc khối này bị chắn bởi hai chỏm cầu tương ứng ở </i>
<i>hai bên. Chứng minh cho lực hấp dẫn do hai chỏm cầu gây ra tại A cân bằng nhau, </i>
<i>suy ra phần góc khối cịn lại cũng hình thành các cặp lực hấp dẫn triệt tiêu. </i>

O   

A
R

r

'

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Xét hạt m đặt tại vị trí A bất kỳ bên trong lớp cầu (hình vẽ). Từ A vẽ các góc
khối d rất nhỏ đối đỉnh với nhau và bị chắn bởi diện tích hai bên là dS và ds. Gọi
khoảng cách từ A đến dS là a, từ A đến ds là b. Vì góc d rất nhỏ nên có thể coi các
mặt cầu hai bên có bán kính lần lƣợt là a và b. Ta có1

:

dθ
a

dS 2 ; dsb2dθ ₂

2

b
a
ds
dS _

 (1)

+ Lực hấp dẫn do dS gây ra tại A có độ lớn:

2

a
.m
dS.σ
G

F

(với σ là mật độ khối lƣợng mặt của lớp cầu)
+ Lực hấp dẫn do ds gây ra tại A có độ lớn:

2

b
.m
ds.σ
G

f 

Do đó, ta có: ₂

2
2

2

a
b
.
ds
dS
b

ds
:

a
dS
f

F _ _

(2)

Từ (1) và (2) suy ra F = f. Mà F và f cùng phƣơng, ngƣợc chiều nên lực hấp
dẫn tổng hợp tại A do dS và ds gây ra bằng 0 (chúng triệt tiêu với nhau).

Ứng với mỗi vi phân góc khối d ln có 2 lực cùng phƣơng, ngƣợc chiều và
cùng độ lớn nên chúng triệt tiêu nhau. Do đó, xét trên tồn bộ lớp cầu (ứng với góc
khối  = 4) thì lực hấp dẫn tổng hợp tác dụng lên vật m cũng bằng 0.

<b>Bài 6.4: Một điểm phải cách tâm Trái Đất một khoảng bằng bao nhiêu để lực hấp </b>
<b>dẫn tổng hợp của Trái Đất và Mặt Trăng tại đó bằng không? Cho biết khối lƣợng </b>
<b>Trái Đất lớn hơn khối lƣợng Mặt Trăng 81 lần, khoảng cách giữa tâm các hành </b>
<b>tinh này lớn hơn bán kính R của Trái Đất 60 lần. </b>

<i>Hướng dẫn: Lực hấp dẫn tổng hợp bằng 0 thì điểm cần tìm phải nằm trên đường </i>
<i>nối tâm Trái Đất với tâm Mặt Trăng. Áp dụng biểu thức của định luật vạn vật hấp dẫn </i>
<i>và giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình. </i>

Giả sử A là điểm mà tại đó lực hấp dẫn tổng hợp giữa Trái Đất và Mặt Trăng
bằng 0. Gọi khoảng cách từ A đến tâm Trái Đất là x, khoảng cách từ A đến tâm Mặt
Trăng là y (điều kiện: 0 < x, y < 60R)

1

Góc khối là một góc đặc trong khơng gian ba chiều (đơn vị: steradian). Nếu một chỏm cầu S, bán kính R, chắn
một góc khối ở tâm là  thì diện tích chỏm cầu là: S = .R2

A
M

81m 60R m0

x

m
y





 b

a
O

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

Ta có: x + y = 60R (1)

Tổng lực hấp dẫn bằng 0 suy ra: ₂ 0
2

0

y
m.m
G
x

M.m

G 

(với M, m, m0 lần lƣợt là khối lƣợng Trái Đất, Mặt Trăng và chất điểm đặt tại A)

(2)
0
x
81y
y

m
x

81m
y

m
x

M 2 2

2
2

2

2      



Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình:





































0
x
x)
81(60R

x
60R
y

0
x
81y

x
60R
y

0
x
81y

60R
y

x

2
2
2

2
2

2

0
R
7290
243Rx

2x
0

80x
9720Rx

R

291600 2   2   2   2 











67,5R
x

54R
x

. Dựa vào điều kiện của x, chấp nhận x = 54R

<i>Vậy, khoảng cách từ điểm cần tìm đến tâm Trái Đất bằng 54R. </i>

<b>Bài 6.5: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo một elip sao cho </b>
<b>khoảng cách cực tiểu giữa nó và Mặt Trời bằng r, cịn khoảng cách cực đại là R. </b>
<b>Tìm chu kỳ quay của nó xung quanh Mặt Trời (khối lƣợng Mặt Trời là M). </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức của định luật Keppler 3. </i>

<i>Theo định luật Keppler 3: bình phƣơng chu kỳ quay của hành tinh tỷ lệ với lập </i>

phƣơng bán trục lớn của quỹ đạo hành tinh đó.

3
2
3

2
2

a
GM

4π
T

a
GM

4π

T   

Mà:

2

r
R

a   nên chu kỳ cần tìm là:








 


3
2

2
r
R
GM

4π
T

2GM
r)
R
(

π
T

3




R

r

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

<b>Bài 6.6: Một thiên thể chuyển động tới Mặt Trời; khi cịn ở cách xa Mặt Trời nó </b>

<b>có vận tốc v0, cánh tay đòn của véc tơ </b><i><b>v đối với tâm Mặt Trời là l. Tìm khoảng </b></i>0

<b>cách nhỏ nhất mà thiên thể này có thể lại gần Mặt Trời. </b>

<i>Hướng dẫn: Hệ gồm Mặt Trời và thiên thể là hệ kín. Áp dụng định luật bảo tồn </i>
<i>mơmen động lượng và định luật bảo toàn năng lượng (cơ năng) cho thiên thể. Giải hệ </i>
<i>phương trình để tìm khoảng cách nhỏ nhất mà thiên thể có thể lại gần Mặt Trời. </i>

Gọi khối lƣợng Mặt Trời là M, khối lƣợng thiên thể là m, khoảng cách nhỏ nhất
cần tìm là r. Xét hệ chỉ gồm Mặt Trời và thiên thể (hệ kín).

+ Áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lƣợng cho thiên thể:

)
1
(

r
v
v
v
m
r
mv
]

v
m
r
[
]
v
m
R

[ 0

1
1
0

1
0

<i>l</i>

<i>l</i>   







(v1 là vận tốc thiên thể tại điểm gần Mặt Trời nhất và tại điểm này có r v1)

+ Khi thiên thể ở rất xa thì thế năng hấp dẫn bằng 0. Khi chuyển động lại gần
Mặt Trời thì thế năng hấp dẫn giảm dần (thế năng mang giá trị âm), độ giảm của thế
năng bằng độ tăng của động năng (định luật bảo tồn cơ năng cho hệ kín). Do đó:

2
0
2

1 mv

2
1
mv
2
1
r

Mm
G

0  









2
0
2
1
2

0
2

1 v v

r
2GM
)

v
m(v
2
1
r
GM

m     

 (2)

Thế phƣơng trình (1) vào phƣơng trình (2) ta đƣợc:

2
2
0
2
0
2
2

2
2
0
2

2
0
2
2

2
0
2

2

0
2

r
v
v
2GMr
r

r
v
r

v
r

2GMr
v

r
v
r

2GM _ _ _ _ _ _ _ _

<i>l</i>
<i>l</i>

<i>l</i>

0
v
2GMr
r

v2₀ 2   2 2₀ 

 <i>l</i> (có dạng phƣơng trình bậc hai đối với r)

Tính biệt thức ':

2
4
0
2
2
2

v
M
G
ac
b'
'

Δ     <i>l</i>

Ta thấy, ' > 0 nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt:

0

v

r
M

<i>l</i>

1

v

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

















a
Δ'
b'
r

a
Δ'
b'
r

2
1

(chấp nhận nghiệm r₁, loại nghiệm r₂ vì r₂ < 0)

 Khoảng cách nhỏ nhất mà thiên thể có thể lại gần Mặt Trời là:

2
0
2

0
2
4
0
2
2
2

0

2
4
0
2
2

v
GM
v

v
M
G
v

v
M
G
GM
a

Δ'
b'

r        <i>l</i>   <i>l</i> 





























 1

M
G

v

M
G
v

GM
1

v
v
M
G
GM

v
v
GM

2
2

2
4
0
2
2
2

0
2

0
2
4
0
2
2
2
0
2
0

<i>l</i>
<i>l</i>

 _




















 1

GM
v
1
v

GM
r

2
2
0
2

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

<b>CHƢƠNG 7: CƠ SỞ CỦA THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP</b>

<b>1</b>

<b>7.1. Phép biến đổi Galileo </b>

Phép biến đổi Galileo đƣợc xây dựng từ chuyển động trong hệ quy chiếu quán
tính. Xét hệ quy chiếu K đứng yên, có hệ tọa độ Oxyz gắn với nó.

Một hệ quy chiếu K' với hệ tọa độ O'x'y'z' chuyển động đều dọc theo trục Ox với
vận tốc v, các trục O'y' // Oy, O'z' // Oz. Giả sử tại thời điểm t vật có tọa độ (x,y,z) ứng

với K và (x', y', z') ứng với K'.

Phép biến đổi Galileo từ hệ quy chiếu K' sang hệ quy chiếu K:
















t'
t

z'
z

y'
y

vt
x'

x

(7.1)

Phép biến đổi Galileo từ hệ quy chiếu K sang hệ quy chiếu K':
















t
t'

z
z'

y
y'

vt
x
x'

<i> Khoảng cách giữa hai điểm A và B trong 2 hệ quy chiếu là bằng nhau: </i>

2
1
2
2
1
2
2
1
2
2

1
2
2
1
2
2
1

2 x ) (y y ) (z z ) (x' x' ) (y' y' ) (z' z' )

(x

AB           

<i> Khoảng thời gian trong 2 hệ quy chiếu là không đổi: </i>

t'
t
t'

t'
t

t₂  ₁  ₂ ₁ 

Trong phạm vi cơ học cổ điển (cơ học Newton): thời gian có tính tuyệt đối,
khơng gian có tính tƣơng đối, khối lƣợng của một vật là bất biến. Khi gặp những
chuyển động rất nhanh xấp xỉ vận tốc ánh sáng thì thời gian, không gian và khối lƣợng
của vật đều phụ thuộc vào chuyển động – vấn đề mà cơ học cổ điển không giải quyết
đƣợc. Phép biến đổi Galileo chỉ đúng với trƣờng hợp vận tốc v rất nhỏ so với vận tốc
ánh sáng (v << c).

1_{Chƣơng 7 không nằm trong nội dung ơn tập do đó chỉ nêu ra một số vấn đề lý thuyết chính để tham khảo.}

x

x'

O' _x'

y'

z'
O

x

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

<b>7.2. Các tiên đề của thuyết tƣơng đối hẹp Einstein </b>

Thuyết tƣơng đối hẹp nghiên cứu những chuyển động xấp xỉ hoặc không quá nhỏ
so với vận tốc ánh sáng. Thuyết này dựa trên 2 tiên đề sau:

<i>+ Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. </i>

<i>+ Vận tốc ánh sáng trong chân không đối với mọi hệ quy chiếu đều bằng nhau. </i>
<i>Vận tốc này có giá trị c = 3.108_{m/s và là vận tốc cực đại trong tự nhiên.}</i>

<b>7.3. Phép biến đổi Lorentz </b>

Phép biến đổi Lorentz đƣợc xây dựng trên cơ sở hai tiên đề của thuyết tƣơng đối
hẹp Einstein. Giả sử có hai hệ quy chiếu K và K'. Hệ K' chuyển động với vận tốc v so
với hệ K dọc theo trục Ox. Khi đó ta có:



























































2
2
2

2
2

2

2
2

2
2

c
v
1

x
c

v
t
'
t

z
'
z

y
'
y

c
v
1

vt
x
'
x

c
v
1

'
x
c

v
'
t
t

'
z
z

'
y
y

c
v
1

'
vt
'
x
x

(7.2)

Với x, y, z, t và x', y', z', t' là tọa độ và thời điểm tƣơng ứng trong K và K'.

Trong cơ học tƣơng đối tính: thời gian và khơng gian có tính tƣơng đối, khối
lƣợng của vật phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Khi v << c thì phép biến đổi Lorentz trở
thành phép biến đổi Galileo.

<i> Sự ngắn lại của vật thể khi chuyển động (sự co ngắn Lorentz):</i>

2
2

c
v
1
'<i>l</i> 

<i>l</i> (7.3) <i>(với l là độ dài của vật khi đứng yên) </i>

 Sự chậm lại lại của thời gian khi chuyển động:

2
2

c
v
1
Δt
'

Δt   (7.4) (t là khoảng thời gian khi hệ đứng yên)

<b>7.4. Cơ học tƣơng đối tính </b>

<i> Khối lượng của vật tăng lên khi chuyển động: </i>

2
2
0

c
v
1

m
m



 _(7.5) _(m

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

<i> Động lượng của vật tăng lên khi chuyển động: </i>

2
2
0

c
v
1

P
P



 _(P

0 = m0v là động lƣợng khi vật đứng yên)

<i> Phương trình cơ bản của động lực học tương đối tính: </i>




dt
P
d
F





















2
2
0

c
v
1

v
m
dt

d

F  _(7.6)

<i> Sự tương đương giữa khối lượng và năng lượng: </i>

2

mc

E (7.7)

2
2
0

c
v
1

E
E




 _{(với E}

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

<b>PHẦN II: NHIỆT HỌC</b>

<b>CHƢƠNG 8: NHIỆT LƢỢNG VÀ NGUYÊN LÝ THỨ I </b>

<b>CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC </b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>8.1. Nguyên lý thứ 0 của nhiệt động lực học </b>

<i> a) Nguyên lý thứ 0 của nhiệt động lực học: </i>

Nếu hai vật cùng cân bằng nhiệt với vật thứ 3 thì chúng cân bằng nhiệt với nhau,
<i>hay: mỗi vật có một tính chất gọi là nhiệt độ và khi hai vật cân bằng nhiệt với nhau thì </i>

<i>chúng có cùng một nhiệt độ. </i>

<i> b) Sự nở vì nhiệt của chất rắn: </i>

<i>+ Sự nở dài: một vật rắn có chiều dài l, khi tăng nhiệt độ thêm</i>T thì chiều dài
tăng thêm một đoạn <i>l và </i>

ΔT
α

Δ<i>l</i> <i>l</i> (với  là hệ số nở dài)

<i>+ Sự nở khối: Một vật rắn có thể tích V, khi tăng nhiệt độ thêm </i>T thì thể tích
tăng thêm V và

ΔT
V
β

ΔV  (với  là hệ số nở khối, nếu vật rắn đồng chất và đẳng
hƣớng thì  = 3)

<i> c) Phương trình truyền nhiệt (cho trường hợp dẫn nhiệt): </i>

Giả sử truyền nhiệt từ vị trí 1 đến vị trí 2 của một thanh kim loại, ta có:

L
T
T
S
k

H 1 2

(8.1)

Trong đó: + H là tốc độ dẫn nhiệt.

+ k là hệ số truyền nhiệt, phụ thuộc vào bản chất thanh kim loại.
+ S là diện tích mặt cắt ngang (tiết diện) của thanh.

+ T₁ và T₂ là nhiệt độ ở vị trí 1 và vị trí 2.
+ L là khoảng cách từ vị trí 1 đến vị trí 2.

<b>8.2. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học </b>

<i> a) Một số khái niệm: </i>

<i>Hệ nhiệt động là một khoảng không gian chứa đầy các vật chất. Một hệ nhiệt </i>

động đƣợc gọi là đồng nhất nếu mọi tính chất vật lý của các phần tử của hệ là nhƣ
nhau.

<i>Nội năng (U) là tổng năng lượng của các phần tử trong hệ. Động năng chuyển </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

<i>Nhiệt lượng (Q) là năng lượng trao đổi giữa hệ nhiệt động và mơi trường khi có </i>
<i>sự chênh lệch nhiệt độ. Nhiệt lƣợng liên quan đến sự chuyển động hỗn loạn của các </i>

phần tử trong hệ. Nhiệt lƣợng là một hàm của quá trình. Quy ƣớc:
+ Q > 0 nếu hệ nhận nhiệt từ môi trƣờng.

+ Q < 0 nếu hệ tỏa nhiệt ra môi trƣờng.

<i>Công (A) là năng lượng trao đổi giữa hệ nhiệt động và môi trường khi chúng </i>
<i>tương tác với nhau. Công liên quan đến chuyển động có trật tự của tất cả các phần tử </i>

trong hệ. Cơng cũng là một hàm của q trình. Quy ƣớc:
+ A > 0 nếu hệ thực hiện công ra môi trƣờng.
+ A < 0 nếu hệ nhận công từ môi trƣờng.

<i> b) Nguyên lý thứ 1 của nhiệt động lực học: </i>

 Cách phát biểu thứ nhất:

<i>Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công và biến đổi nội năng </i>
<i>của hệ. </i>

ΔU

A

Q  (8.2)1

Trong đó: + Q là nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ
+ A là công hệ sinh ra

+ U là biến thiên nội năng của hệ
 Cách phát biểu thứ hai:

<i>Nội năng của hệ là một hàm số đơn giá (chỉ có một giá trị) của trạng thái và nó </i>
<i>chỉ biến đổi khi hệ chịu tác động của môi trường xung quanh. </i>

A
Q
dU 

 Cách phát biểu thứ ba:

<i>Không thể sinh công mà không thay đổi nội năng hoặc nhận nhiệt lượng từ bên </i>
<i>ngồi (khơng thể chế tạo động cơ vĩnh cửu loại I – loại động cơ không cần năng lƣợng </i>

mà vẫn sinh công).












0
Q

0
ΔU
0

A

<b>8.3. Áp dụng nguyên lý 1 cho một số quá trình đặc biệt </b>

<i><b> a) Q trình đẳng tích (V = const): </b></i>

ΔU
Q
0
PdV
A

2

1

V

V








Nếu hệ nhận nhiệt (Q > 0) thì nội năng tăng, nếu hệ tỏa nhiệt thì nội năng giảm.

1_{Công thức (8.2) là nội dung trọng tâm của chƣơng 8. Bài thi thƣờng ra ở dạng phát biểu nội dung nguyên lý 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

<i><b> b) Quá trình đoạn nhiệt (không trao đổi nhiệt với môi trường): </b></i>

ΔU
A

0

Q  

Nếu hệ sinh cơng (A > 0) thì nội năng giảm, nếu hệ nhận cơng thì nội năng tăng.

<i><b> c) Q trình khép kín (chu trình): </b></i>

A
Q
0

ΔU  

Nếu hệ nhận nhiệt (Q > 0) thì hệ sinh cơng, nếu hệ tỏa nhiệt thì hệ nhận cơng.

<b>8.4. Nhiệt dung và nhiệt chuyển trạng thái </b>

<i> a) Nhiệt dung: </i>

Nhiệt dung là lƣợng nhiệt cần thiết để truyền cho hệ làm hệ tăng thêm một đơn vị
nhiệt độ.

ΔT
Q

C (8.3)

(T là biến thiên nhiệt độ khi truyền cho hệ một lƣợng nhiệt Q)

<i> b) Nhiệt dung riêng: </i>

Nhiệt dung riêng là lƣợng nhiệt cần thiết để truyền cho một đơn vị khối lƣợng
của hệ làm cho nó tăng thêm một đơn vị nhiệt độ.

ΔT
m

Q

c (8.4) (m là khối lƣợng của toàn hệ)

<i> c) Nhiệt dung mol: </i>

Nhiệt dung mol là lƣợng nhiệt cần thiết để truyền cho 1 mol chất làm nhiệt độ
của nó tăng thêm một đơn vị nhiệt độ.

ΔT
Q
m

μ

C_m  (8.5)

Trong đó: + m là khối lƣợng của chất (hệ nhiệt động)
+ µ là khối lƣợng mol của chất

<i> d) Nhiệt chuyển trạng thái: </i>

Nhiệt chuyển trạng thái (nhiệt chuyển pha) là lƣợng nhiệt cần thiết làm chuyển
trạng thái hoàn toàn một đơn vị khối lƣợng của chất.

m
Q

λ (8.6) (m là khối lƣợng toàn bộ chất)

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 8.1: Một quả cầu kim loại có thể lọt khít qua vịng dây kim loại tại nhiệt độ </b>
<b>phịng. </b>

<b>Nung nóng quả cầu, khơng nung vịng dây, quả cầu còn lọt qua vịng dây </b>

<b>kim loại đƣợc nữa khơng? </b>

<b>Nung nóng vịng dây, khơng nung quả cầu, quả cầu còn lọt qua vòng dây </b>
<b>kim loại đƣợc nữa khơng? </b>

<i>Lời giải: </i>

+ Khi giữ ngun vịng dây, đem quả cầu nung nóng thì thể tích quả cầu tăng lên
(do có sự nở khối) <b> quả cầu khơng lọt qua vịng dây. </b>

+ Khi giữ ngun quả cầu, đem vịng dây nung nóng thì vịng dây chỉ bị cong lên
cịn đƣờng kính khơng thay đổi  quả cầu vẫn lọt qua vòng dây.

<b>Bài 8.2: Giả sử có một thang nhiệt độ ký hiệu là Z. Nhiệt độ sôi của nƣớc theo </b>

<b>thang Z là 600Z, điểm ba của nƣớc là –150Z. </b>

<b>Tìm sự thay đổi </b><b>Z của một vật theo thang Z, nếu sự thay đổi đó theo thang </b>

<b>Fahrenheit là </b><b>F = 560F </b>

<b>Nhiệt độ của vật theo thang Fahrenheit là bao nhiêu khi tính theo thang Z là </b>
<b>-960Z </b>

<i>Lời giải: </i>

<i> + Tìm sự thay đổi </i><i>Z: </i>

Ta có, nhiệt độ sôi và điểm ba của nƣớc theo thang F lần lƣợt là 2120F và 320F

 Biên thiên Z ứng với biến thiên F = 560F: .56 23,3 Z

32
212

15)
(
60

ΔZ  0






<i> + Tìm nhiệt độ của vật theo thang Fahrenheit: </i>

Biến thiên 10_{Z ứng với biến thiên độ F:} _2,4 _F

15)
(
60

32

212  0






 Khi nhiệt độ của vật theo thang Z là –960Z thì tính theo thang F sẽ đƣợc:

F
162,4
15)].2,4

(
96
[

32     0

<b>Bài 8.3: Độ dài của các thanh ray ở 00C là 12m. Nhiệt độ cao nhất trong năm ở </b>

<b>nơi đặt ray là 420_{C. Nhiệt độ lúc đặt ray là 20}0_{C. Hỏi phải đặt ray với khoảng}</b>

<b>cách tối thiểu giữa hai thanh là bao nhiêu để đảm bảo an toàn. Cho hệ số nở dài </b>
<b>của vật liệu làm ray là </b><b> = 11.10-6K-1</b>

Độ dài thanh ray ở 200<i>_{C: l = 12 +}</i>_<i>_.12.</i>__{T = 12 + 240}_

Khi tăng nhiệt độ từ 200

C lên 420C thì thanh nở dài thêm một đoạn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

 Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai thanh ray:



 <i>l</i>

d d22α(12240α)

(mm)
2,9
(m)

10
.
9
,
2
)
10
.
11
.
240
12
(
10
.
11
.

22 6  6  3 

   

<b>Bài 8.4: Khối lƣợng riêng </b><b> của một vật là hàm số của nhiệt độ. Hệ số nở khối của </b>

<b>vật là </b><b>. Hỏi khi nhiệt độ biến thiên </b><b>T thì </b><b> biến thiên theo </b><b>T nhƣ thế nào? </b>

Khi nhiệt độ biến thiên T thì thể tích của vật biến thiên V. Mà khối lƣợng m
của vật là không đổi nên khối lƣợng riêng biến thiên một lƣợng:

ΔV)
(V

ΔV
ρ

ΔV)
V(V

ΔV
m

V
m
ΔV
V

m
Δρ














Thay ΔVβV.ΔT vào phƣơng trình trên ta đƣợc:











T)
.Δ
β
V(1

T
.Δ

βV
ρ

T)
V.Δ
β
(V

T
V.Δ
β
ρ
Δρ

T
Δ
β
1

T
Δ
β
ρ
Δρ





Dấu trừ thể hiện rằng khối lƣợng riêng tỷ lệ nghịch với nhiệt độ. Khi nhiệt độ

tăng thì khối lƣợng riêng giảm, khi nhiệt độ giảm thì khối lƣợng riêng tăng.

<b>Bài 8.5: 1Tính nhiệt lƣợng cần cung cấp cho một miếng nƣớc đá khối lƣợng m = </b>

<b>720g ở nhiệt độ –100_{C để nó biến thành lỏng ở 15}0_C.</b>

<b>Giả thiết ta chỉ cung cấp cho miếng nƣớc đá một nhiệt lƣợng là 210 kJ. Hỏi </b>
<b>trạng thái của nƣớc nhƣ thế nào và nhiệt độ của nó là bao nhiêu? Cho nhiệt dung </b>
<b>riêng của đá c1 = 2,22 kJ/kg.K, nhiệt dung riêng của nƣớc c3 = 4,186 kJ/kg.K, </b>

<b>nhiệt nóng chảy của đá </b><b> = 333 kJ/kg. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng các cơng thức tính nhiệt dung riêng và nhiệt chuyển trạng </i>
<i>thái. Tổng lượng nhiệt cần cung cấp bằng nhiệt làm cho miếng đá tăng từ –100_{C đến}</i>

<i>00C cộng với nhiệt hóa lỏng hồn tồn 720g miếng đá cộng với nhiệt làm cho nước đá </i>
<i>tăng từ 00_{C đến 15}0</i>

<i>C. </i>

<i> * Nhiệt lượng cần thiết để 720g đá ở –100C biến thành lỏng ở 150C: </i>

+ Nhiệt lƣợng cần cung cấp để miếng đá tăng từ –100_{C đến 0}0

C:

ΔT
mc

Q₁  ₁ (m là khối lƣợng, c₁ là nhiệt dung riêng của đá, T là biến

thiên nhiệt độ)

(kJ)
16

)
10
0
(
22
,
2
.
2
7
,
0

Q₁   



+ Nhiệt lƣợng cần để miếng đá ở 00

C tan hết:

λm

Q₂  (m là khối lƣợng và  là nhiệt nóng chảy)

(kJ)
8

,
239
333.0,72

Q₂  



+ Nhiệt lƣợng cần để nƣớc ở 00_{C tăng đến 15}0_C:

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

ΔT
mc

Q₃  ₃ (m là khối lƣợng, c₃ là nhiệt dung riêng của nƣớc lỏng, T là
biến thiên nhiệt độ)

(kJ)
2
,
45
)
0
15
(
186

,
4
.
2
7
,
0

Q₃   



 Tổng hiệt lƣợng cần cung cấp:

3
2

1 Q Q

Q

Q   16239,845,2301 (kJ)

<i> * Trạng thái của nước khi chỉ cung cấp lượng nhiệt 210 kJ: </i>

Miếng đá ở –100

C cần một lƣợng nhiệt là 16 kJ để chuyển về 00C. Còn lại một
lƣợng nhiệt 194 kJ thì khơng đủ cho miếng đá chuyển hẳn sang thể lỏng. Nhƣ vậy, sẽ
<i><b>tồn tại hỗn hợp gồm nước lỏng và miếng đá ở 0</b><b>0</b><b>_{C. Khối lƣợng nƣớc lỏng là:}</b></i>

(kg)
0,58
333
194
λ
q

m₁    , khối lƣợng miếng đá còn lại: m₂ = 0,72 – m₁ = 0,14 (kg)

<b>Bài 8.6: Một bức tƣờng cách nhiệt gồm 4 lớp: </b>

<b>Lớp thứ nhất dày La, hệ số dẫn nhiệt </b>

<b>k_a. Lớp thứ tƣ dày L_d = 2L_a, hệ số dẫn nhiệt </b>

<b>kd = 0,5ka. Lớp thứ hai và lớp thứ ba có độ </b>

<b>dày nhƣ nhau và làm bằng cùng một chất. </b>
<b>Nhiệt độ T1 = 250C, T2 = 200C và T5 = –100C. </b>

<b>Sự dẫn nhiệt là ở trạng thái dừng. Hỏi nhiệt </b>
<b>độ T4 và T3 là bao nhiêu1. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính tốc độ dẫn nhiệt (cơng thức 8.1) cho 4 lớp. </i>
<i>Vì sự dẫn nhiệt ở trạng thái dừng nên tốc độ dẫn nhiệt qua các lớp là bằng nhau. Giải </i>
<i>hệ các phương trình và suy ra nhiệt độ T3, T4. </i>

Sự dẫn nhiệt ở trạng thái dừng nên tốc độ truyền nhiệt qua các lớp là nhƣ nhau:

d
c
b

a H H H

H   

d
5
4
d
c
4
3
c
b
3
2
b
a
2
1
a
L
T
T
S
k
L

T
T
S
k
L
T
T
S
k
L
T
T
S

k       

 (S là tiết diện)

d
5
4
d
c
4
3
c
b
3
2
b

a
2
1
a
L
T
T
k
L
T
T
k
L
T
T
k
L
T
T

k       



<i> + Nhiệt độ T₄ là: </i>

2
1
5
4

d
d
a
a
d
5
4
d
a
2
1
a
T
T
T
T
k
L
.
L
k
L
T
T
k
L
T
T
k









Mà: Ld = 2La; kd = 0,5ka suy ra:









2
1
5
4
2
1
5
4
a
a
a
a
T

T
T
T
4
T
T
T
T
0,5k
2L
.
L
k
5
2
1

4 4(T T ) T

T   

1_{Giống với bài 5 trang 226, giáo trình Q}
1

a

k k_b k_c k_d

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

C
10
10
20)
4(25

T₄     0



<i> + Nhiệt độ T3 là: </i>

Tƣơng tự ta có:

3
2

4
3
c
c
b
b
c

4
3
c

b

3
2
b

T
T

T
T
k
L
.
L
k
L

T
T
k
L

T
T
k












Vì lớp thứ 2 và lớp thứ 3 có độ dày nhƣ nhau và làm bằng cùng 1 chất nên suy ra
kb = kc và Lb = Lc. Do đó:

3
2
4
3
3

2
4

3 _T _T _T _T

T
T

T
T

1    








2
T
T
T 2 4

3



 15 C

2
10
20

T₃    o



<b>Bài 8.7: Một chất khí giãn từ thể tích 1m3 tới 4m3 theo đƣờng B trên giản đồ PV </b>

<b>nhƣ hình vẽ. Sau đó nó đƣợc nén trở về thể tích 1m3_{theo đƣờng A hoặc C. Tính}</b>

<b>cơng khí thực hiện trong mỗi chu trình1_.</b>

<i>Hướng dẫn: Công mà hệ thực hiện bằng tích phân của áp suất theo thể tích. </i>
<i>Cơng theo q trình nào thì bằng diện tích phần giới hạn của đồ thị P(V) theo q </i>
<i>trình đó với trục hồnh. Khi thể tích tăng (giãn khí) thì cơng dương, khi thể tích giảm </i>
<i>(nén khí) thì cơng âm. Cơng mà hệ thực hiện trong một chu trình khép kín bằng tổng </i>
<i>cơng trong các q trình liên tiếp. </i>

Cơng khí thực hiện trong q trình B:

(kJ)
75

1)
10).(4
(40

2
1
PdV
PdV

A

4

1
V

V
1_B_3

3

1














Cơng khí thực hiện trong q trình A:

(kJ)
120

3
.
40
PdV

PdV
A

1

4
V

V
3_4_A_1

1

3










_

_

Cơng khí thực hiện trong quá trình C:

1_{Giống với bài 6 trang 227, giáo trình Q}
1









)
V(m3

P(Pa)

B

C
A
1

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>

(kJ)
30

3
.
10
PdV

PdV
A

1

4
V

V
3_C_2_1

1

3














<i> Cơng khí thực hiện trong chu trình 1_3_2_1: </i>

3_C_2_1
1_B_3

1_3_2_1 A A

A   753045 (kJ)

<i> Cơng khí thực hiện trong chu trình 1_3_4_1: </i>

3_4_A_1
1_B_3

1_3_4_1 A A

A   7512045 (kJ)

<b>Bài 8.8: Một chất khí chịu các quá trình biến đổi theo đồ thị trên giản đồ PV. </b>

<b>Tính nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc trong chu trình1. </b>

<i>Hướng dẫn: Sử dụng công </i>
<i>thức nguyên lý I nhiệt động lực </i>
<i>học. Vì chu trình khép kín nên nội </i>
<i>năng không thay đổi, nhiệt lượng </i>
<i>hệ nhận được bằng công mà hệ </i>
<i>thực hiện ra môi trường. </i>

Theo nguyên lý I nhiệt động lực học: Q = A + U

Mà nội năng U chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ nên trong chu trình khép kín
ABCA thì: U = 0  Q = A

+ Cơng hệ thực hiện trong q trình AB:

60
)
1
4
).(
30
10
.(
2
1

A_AB   

+ Công hệ thực hiện trong quá trình BC:

90
)

1
4
.(
30

A_BC    (vì q trình này hệ nhận cơng từ mơi trƣờng)
+ Cơng hệ thực hiện trong q trình CA:

Trong q trình này thể tích của hệ khơng thay đổi nên hệ không nhận công cũng
nhƣ không sinh cơng: A_CA 0

<i> Nhiệt lượng hệ nhận được trong tồn bộ chu trình ABCA: </i>

CA
BC

AB A A

A
A

Q    609030 (đơn vị năng lƣợng)2

1_{Giống với bài 7 trang 227, giáo trình Q}

1

2_{Dấu trừ chứng tỏ rằng hệ nhận công và tỏa nhiệt.}

P(Pa)







A

B
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

<b>Bài 8.9: Một chất khí bị biến đổi từ trạng thái đầu A tới trạng thái cuối B theo ba </b>
<b>cách khác nhau nhƣ mơ tả trên giản đồ PV. Trong q trình theo đƣờng 1, khí </b>
<b>nhận nhiệt lƣợng là 10PiVi. Tính theo PiVi nhiệt lƣợng khí nhận đƣợc và biến </b>

<b>thiên nội năng của khí trong các quá trình theo đƣờng 2 và đƣờng 3. </b>

<i>Hướng dẫn: Do có cùng trạng </i>
<i>thái cuối B nên biến thiên nội năng </i>
<i>của hệ trong cả 3 quá trình là như </i>
<i>nhau (nội năng là hàm của trạng </i>
<i>thái, khơng phụ thuộc vào q trình </i>
<i>đi theo đường nào). Áp dụng biểu </i>
<i>thức nguyên lý I suy ra biến thiên </i>

<i>nội năng. Tính cơng khí thực hiện </i>
<i>trong quá trình 2 và 3 rồi suy ra </i>
<i>nhiệt lượng khí nhận được tương </i>
<i>ứng. </i>

Theo nguyên lý I nhiệt động lực học: Q = A + U

Vì nội năng là hàm của trạng thái nên biến thiên nội năng của hệ trong các quá
trình 1, 2, 3 là bằng nhau: U₁ = U₂ = U₃

<i> * Xét quá trình theo đường 1: </i>

Ta có: Q₁ = 10P_iV_i (giả thiết)

Công mà hệ thực hiện đƣợc: i i i i
5

1

1 PdV 1.(5 1)PV 4PV

A 



  

 Biến thiên nội năng của hệ:

1
1
3
2

1 ΔU ΔU Q A

ΔU     10P_iV_i 4P_iV_i 6P_iV_i

<i> * Xét q trình theo đường 2: </i>

Cơng mà hệ thực hiện đƣợc: i i i i

5

1

2 (1 1,5).(5 1)PV 5PV

2
1
PdV

A 



   

 Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc theo đƣờng 2:

2
2

2 ΔU A

Q   6P_iV_i 5P_iV_i 11P_iV_i

<i> * Xét quá trình theo đường 3: </i>

Công mà hệ thực hiện:

i
i
i
i
5

1

3 (0,5 1).(5 1)PV 3PV

2
1
PdV

A 



   

 Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc theo đƣờng 3:

3
3

3 ΔU A

Q   6P_iV_i 3P_iV_i 9P_iV_i

A B

2

1

3

)
V(V_i
)

P(P_i

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>

<b>Bài 8.10: 1Khí thực hiện chu trình nhƣ hình vẽ. Tính nhiệt lƣợng khí trao đổi </b>

<b>trong q trình CA, biết rằng trong quá trình AB hệ nhận nhiệt lƣợng QAB = 20J, </b>

<b>quá trình BC là đoạn nhiệt và cơng hệ thực hiện trong tồn bộ chu trình là 15J. </b>

<i>Hướng dẫn: Theo chu trình </i>
<i>khép kín, biến thiên nội năng của hệ </i>
<i>bằng 0. Do đó, tổng nhiệt lượng cung </i>
<i>cấp cho hệ bằng cơng hệ sinh ra. Có </i>
<i>tổng nhiệt và nhiệt lượng trong các </i>
<i>quá trình AB, BC do đó tính được </i>
<i>nhiệt lượng trao đổi trong quá trình </i>
<i>CA. </i>

Xét chu trình khép kín ABCA thì biến thiên nội năng của hệ bằng 0.

A

Q
A
ΔU

Q   

+ Quá trình AB: Q_AB = 20

+ Quá trình BC: QBC = 0 (vì đoạn nhiệt nên hệ khơng trao đổi nhiệt với MT)

<i> Nhiệt lượng trao đổi trong quá trình CA: </i>






 _AB _BC

CA Q Q Q

Q Q_CA AQ_AB 15205(J)

Nhƣ vậy, trong q trình nén khí đẳng áp CA hệ tỏa nhiệt ra môi trƣờng xung
quanh (Q_CA < 0).

1_{Giống với bài 7 trang 178, giáo trình Q}

12.

C
A

B
P

</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>

<b>CHƢƠNG 9: THUYẾT ĐỘNG HỌC CHẤT KHÍ</b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>9.1. Chất khí lý tƣởng. Quãng đƣờng tự do trung bình </b>

<i> a) Chất khí lý tưởng: </i>

<i>Mẫu cơ học về chất khí lý tưởng là một tập hợp vơ số phân tử khí: </i>

+ Chuyển động hỗn loạn không ngừng. Các phân tử khí khơng tƣơng tác
với nhau trừ khi va chạm, mọi va chạm đều là đàn hồi.

+ Kích thƣớc phân tử khí rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng.

+ Cƣờng độ chuyển động của các phân tử khí tỷ lệ với T.

+ Ở cùng một nhiệt độ, động năng trung bình của các phân tử là nhƣ nhau:

const
v

m
2
1

E_đ  _i _i2 

<i> b) Quãng đường tự do trung bình1: </i>

2
B

d
Pπ
2

T
k

λ (9.1)

Trong đó: + kB là hằng số Boltzmann, kB = 1,38.10-23 J/K

+ T là nhiệt độ tuyệt đối (K)
+ P là áp suất chất khí (Pa)

+ d là đƣờng kính phân tử khí (m)

<i> c) Định luật Boyle – Mariotte: </i>

<i>Trong q trình đẳng nhiệt của một khối khí, tích của áp suất và thể tích là đại </i>

<i>lượng khơng đổi. </i>

const
PV

const

T   (9.2)

<i> d) Định luật Gay – Lussac: </i>

<i>+ Trong quá trình đẳng tích của một khối khí, tỷ số giữa áp suất và nhiệt độ là </i>
<i>đại lượng không đổi. </i>

const
T

P
const

V    _(9.3)

1_{Xem thêm cách thiết lập cơng thức (9.1) tại trang 67, giáo trình Q}

4. Bài thi cuối kỳ không ra vào dạng này!

2
2

1
1

T
P
T
P _

(1)
(2)
P

V
O

2
2
1
1V P V

P 

P

V
O

(1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>

<i>+ Trong quá trình đẳng áp của một khối khí, tỷ số giữa thể tích và nhiệt độ là đại </i>
<i>lượng khơng đổi. </i>

const
T

V
const

P   (9.4)

<i> e) Phương trình trạng thái của khí lý tưởng1: </i>

Xét 1 mol khí lý tƣởng chuyển từ trạng
thái (1) với P₁, V₁, T₁ đến trạng thái (3) với P₃,
V3, T3.

Dựng 2 đƣờng đẳng nhiệt qua (1) và (3).
Cho hệ thực hiện quá trình đẳng nhiệt từ (1)
đến (2) và q trình đẳng tích từ (2) đến (3).

+ Áp dụng định luật Boyle – Mariotte
cho quá trình đẳng nhiệt từ (1) đến (2):

2
2
1

1V PV

P  (*)

+ Áp dụng định luật Gay – Lussac cho quá trình đẳng tích từ (2) đến (3):

3
2
3
2
3

3
2
2

T
T
P
P
T

P
T

P _ _ _

Thay giá trị P2 vào (*) ta đƣợc: 2
3

2
3

1

1 V

T
T
P
V
P 

Mà T₂= T₁ (quá trình đẳng nhiệt), V₂ = V₃ (q trình đẳng tích) nên:

const
T

PV
T

V
P
T

V
P
V

T
T
P
V

P

3
3
3
1

1
1
3
3

1
3
1

1     

Chọn điều kiện tiêu chuẩn: P0 = 1,013.105 Pa, V0 = 22,4.10-3 m3, T = 273,160 K

31
,
8
16

,
273

10
.

4
,
22
.
10
.
013
,
1
T

PV _ 5 3 _

 

Đặt: 8,31 const
T

PV

R    và xét hệ gồm n mol khí lý tƣởng, ta đƣợc:

nRT

PV (9.5)

<b>9.2. Phƣơng trình cơ bản của thuyết động học phân tử </b>

<i> a) Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử2: </i>

Xét một bình chứa có hình lập phƣơng cạnh L.

1_{Phải nhớ cách thiết lập công thức (9.5)}

2_{Không cần nhớ cách chứng minh công thức (9.6). Xem thêm phần chứng minh (9.6) tại trang 47, giáo trình Q}
4.

(2)

2
2

1
1

T
V
T
V _

(1)
P

V
O

(1)

(3)

(2)
P

V
O

1

P

3

P

2

P

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>

Lực tác dụng lên thành bình theo một phƣơng do các phân tử gây ra:

2
t

v
L

N

m
3
1

f 

<b>+ m là khối lƣợng của một phân tử khí. </b>
+ N là tổng số phân tử khí trong bình.

+v2_t là vận tốc bình phƣơng trung bình:

n
v
v

n

1
i

2
i
2

t





 với n là số phân tử khí
va chạm với thành bình (n = N/3)

<i> Áp suất gây ra trên thành bình: </i>




 2

t
3

2 v

L
N
m
3
1
L

f

P mn₀v2_t
3

1

P (9.6)

(với 0 ₃

L
N

n  là mật độ phân tử khí)

<i>Phương trình (9.6) là phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử. </i>

<i> b) Nhiệt độ theo quan điểm của thuyết động học phân tử: </i>

Theo phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng (lấy n = 1 mol):

2
t
A
2

t
A
2

t

0 v

R
mN
3

1
R
V
v
V
N
m
3
1
R
V
v
n
m
3
1
R
PV
T
RT

PV     

 2

t

v
R
μ

3
1

T (9.7) (với N_A là số Avogadro và µ là khối lƣợng mol)

<i> c) Động năng trung bình của phân tử trong chuyển động tịnh tiến: </i>

Từ phƣơng trình (9.7) suy ra:

μ
3RT
v2_t 

<b>Động năng của một phân tử: </b> T

N
R
2
3
μ
3RT
m
2
1
mv
2
1
E

A

2

t

đ   

 k T

2
3

E_đ  _B (9.8)1 (với k_B là hằng số Boltzmann)

Nếu coi nhiệt độ theo các phƣơng là nhƣ nhau thì động năng tịnh tiến trung bình
theo một phƣơng là:

T
k
2
1
E
E

E_đx  _đy  _đz  _B

1_{Công thức (9.8) đƣợc xây dựng cho trƣờng hợp phân tử chỉ chuyển động tịnh tiến theo 3 phƣơng Ox, Oy, Oz}

</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>

Từ công thức (9.6) và thay 2 _đ

t 2E

mv  ta đƣợc:




 k T

2
3
n
3
2
2E
n
3
1

P ₀ _đ ₀ _B Pn₀k_BT (9.9)

(đây là dạng khác của phƣơng trình cơ bản thuyết động học phân tử)

<b>9.3. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell1</b>

<i>Hàm mật độ Maxwell: </i>

2
2RT

v
μ
3/2

v
e
RT
2π

μ
4π
f(v)

2











  _(9.10)

Trong đó:

+ v là vận tốc chuyển động nhiệt của phân tử.
+ µ là khối lƣợng mol.

+ R là hằng số khí lý tƣởng (R = 8,31)
+ T là nhiệt độ tuyệt đối.

Xác suất để phân tử có vận tốc nằm trong khoảng (v1, v2):






 2

1

v

v
2

1 v v ) f(v)dv

P(v

+ Vận tốc trung bình số học:

μ
π

8RT
v.f(v)dv

v

0








+ Vận tốc căn quân phƣơng:

μ
3RT
f(v)dv

v
v

0
2

t 







+ Vận tốc có xác suất cực đại:

μ
2RT
v_P 

<b>9.4. Định luật phân bố phân tử theo thế năng của Boltzmann </b>

<i> a) Cơng thức khí áp: </i>

Áp suất khí ở độ cao z:

T
k

E
0
z

B
z

.e
P
P



 (9.11) (với P₀ là áp suất ở mốc thế năng)

(E_z = mgz là thế năng của một phân tử khí có khối lƣợng m, ở độ cao z)

</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>

<i> b) Định luật phân bố Boltzmann: </i>

Mật độ khí tại độ cao z:

T
k

E
0
z

B
z

e
n
n



 (9.12) (với n₀là mật độ khí tại mốc thế năng)

 Mật độ khí của vị trí 2 so với vị trí 1:

T
k

E
E

1
2

B
2
1

e
n
n



 (với n1 và n2 lần lƣợt là mật độ khí tại vị trí 1 và 2)

<b>9.5. Sự phân bố đều năng lƣợng theo bậc tự do </b>

<i> a) Khái niệm bậc tự do: </i>

Bậc tự do (i) của một phần tử là số tọa độ độc lập cần thiết để xác định vị trí của
phần tử đó trong khơng gian.

+ Đối với khí đơn ngun tử: i = 3
+ Đối với khí lƣỡng nguyên tử: i = 5
+ Đối với khí đa nguyên tử: i = 6

<i> b) Định luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do (định luật Maxwell): </i>

<i>Động năng trung bình của phân tử được phân bố đều theo các bậc tự do và năng </i>

<i>lượng ứng với mỗi bậc tự do bằng </i> <i>k_BT</i>

2
1

<i>. </i>

<b>9.6. Nhiệt dung khí lý tƣởng </b>

<i> a) Nội năng tại trạng thái ứng với nhiệt độ T: </i>

nRT
2

i

U (9.13) (i là số bậc tự do, n là số mol chất khí)

<i> b) Nhiệt dung mol đẳng tích (CV)1: </i>

ΔT
n

Q

C_V  (*)

Mà trong q trình đẳng tích cơng A = 0, theo ngun lý I nhiệt động lực học:

T

nR
2

i
ΔU
Q
ΔU
A

Q     

Thay giá trị Q vào biểu thức (*) ta đƣợc:





ΔT
2n

T
n.R
.
i

C_V R

2
i

C_V  (9.14)

1<i>_{Nhiệt dung mol đẳng tích là nhiệt dung mol xét trong q trình đẳng tích của khí lý tƣởng. Xem định nghĩa}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>

<i> c) Nhiệt dung mol đẳng áp (C_P): </i>

Nhiệt dung mol đẳng áp:

ΔT
n

Q
C_P 

Quá trình đẳng áp (P = const), công mà hệ thực hiện là:

ΔT
nR
nRT

nRT
)

V
P(V

A ₂  ₁  ₂  ₁ 

Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:

T
nR
2

i
ΔT
nR
ΔT
n
C
ΔU
A

Q   _P   






 R

2
i
R

C_P 1 R

2
i
C_P 






 

 _(9.15)

<b>9.7. Công trong các quá trình đẳng nhiệt, đoạn nhiệt </b>

<i> a) Cơng trong q trình đẳng nhiệt: </i>

Q trình đẳng nhiệt (T = const)  biến thiên nội năng U = 0  A = Q

Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng:

V
nRT
P

nRT

PV  

 Công trong quá trình đẳng nhiệt:

2

1
2

1
2

1

V
V
V

V
V

V

lnV
nRT.
V

dV
nRT
PdV

Q

A 











2
1
1

2

P
P
ln
nRT
V

V
ln
nRT
Q

A   _{(9.16) (P}₁_V₁_{= P}₂_V₂_{vì đẳng nhiệt)}

<i> b) Cơng trong q trình đoạn nhiệt: </i>

Quá trình đoạn nhiệt: Q = 0






A ΔU nR



T2 T1



2
i

A   _(9.17)

<i> c) Phương trình đoạn nhiệt: </i>

Đặt:

V
P

C
C

γ <i> gọi là chỉ số đoạn nhiệt. Ta có các phƣơng trình đoạn nhiệt: </i>

+ Mối quan hệ giữa P và V: PVγ const (9.18)

+ Mối quan hệ giữa T và P: TP γ const

γ

-1

 (9.19)

</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>

<b>B. BÀI TẬP </b>

<i><b>Bài 9.1: Một xylanh chứa 12l ôxi ở nhiệt độ 20</b></i><b>0C, áp suất 15atm. Nếu nhiệt độ </b>

<b>tăng lên đến 350</b><i><b>_{C và thể tích giảm xuống cịn 8,5l thì áp suất cuối của khí sẽ là}</b></i>

<b>bao nhiêu1. </b>

Theo phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng:

const
nR

T
PV
nRT

PV   

2
2
2
1

1
1

T
V

P
T

V
P _

 (với 1 là trạng thái đầu và 2 là trạng thái cuối của hệ)



2
1

2
1
1
2

V
T

T
V
P

P  22,26 (atm)

293.8,5
308
12.

15. _



<b>Bài 9.2: Hệ 0,12 mol khí lý tƣởng đƣợc giữ ln ln ở nhiệt độ 100C do tiếp xúc </b>

<i><b>với nguồn nhiệt. Thể tích ban đầu của khối khí là 1,3l. Khí thực hiện một quá </b></i>
<b>trình sinh cơng 14J. Tìm thể tích và áp suất của khối khí ở cuối q trình đó. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tính cơng trong q trình đẳng nhiệt (cơng thức </i>
<i>9.16) tìm được thể tích cuối q trình V2. Có các thơng số đầu q trình là V1, n, R, T1</i>

<i>suy ra P1. Sử dụng định luật Boyle – Mariotte cho quá trình đẳng nhiệt, suy ra áp suất </i>

<i>cuối quá trình P2. </i>

<i> * Thể tích của khối khí ở cuối q trình: </i>

Vì q trình đẳng nhiệt nên cơng thực hiện đƣợc tính nhƣ sau:

1
2

V
V
ln
nRT

A (với V₁ và V₂ là thể tích ở đầu và cuối q trình)






nRT
A
V

V
ln

1

2 nRT

A
1

2 V.e

V  1,3.e0,12.8,31.283 1,3.e0,0496 1,366( )

14

<i>l</i>






<i> * Áp suất của khối khí ở cuối q trình: </i>

Áp suất ở đầu quá trình:

(Pa)
217083

1,3.10
283
0,12.8,31.
V

nRT
P

nRT
V

P ₃

1
1

1

1      

Vì quá trình đẳng nhiệt nên PV = const, suy ra áp suất cuối quá trình:


 ₂ ₂

1

1V P V

P

2
1
1
2

V
V
P

P  206594 (Pa)

1,366
217083.1,3_



1_{Giống với bài 4 trang 254, giáo trình Q}

1. Thống nhất lấy giá trị nhiệt độ tuyệt đối T = 273oK ứng với 0oC, hằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>

<b>Bài 9.3: Khơng khí có thể tích 0,2 m3 và áp suất 1,2.105 Pa đƣợc giãn đẳng nhiệt </b>
<b>đến áp suất khí quyển và sau đó đƣợc làm lạnh dƣới áp suất không đổi cho đến </b>

<b>khi đạt đƣợc thể tích ban đầu. Tính cơng do khí sinh ra1</b>

<b>. </b>

<i>Hướng dẫn: Khí thực hiện quá trình đẳng </i>
<i>nhiệt (1) và đẳng áp (2). Quá trình giãn nở đẳng </i>
<i>nhiệt thì hệ sinh cơng, q trình nén khí đẳng áp </i>
<i>thì hệ nhận công từ môi trường. Công mà hệ thực </i>
<i>hiện bằng tổng các cơng thành phần. </i>

Lấy áp suất khí quyển: P2 = 1,013.105 (Pa)

<i> + Công mà hệ thực hiện trong quá trình giãn đẳng nhiệt: </i>

2
1
1

P
P
ln
nRT

A  _{(với V}₁ là thể tích ban đầu của khí)



2
1
1
1
1

P
P
ln
V
P

A  4066 (J)

10
.
013
,
1

10
.
2
,
1
ln
2
,

0
.
10
.
2
,

1 ₅

5

5 



<i> + Cơng trong q trình nén khí đẳng áp: </i>

Q trình (1) là đẳng nhiệt nên:

)
(m
0,237
1,013.10

2
,
0
.
1,2.10
P

V
P
V
V

P
V

P ₅ 3

5

2
1
1
2
2

2
1

1     

Cơng trong q trình (2):



 1

2

V

V
2

2 PdV

A P dV P₂(V₁ V₂) 1,013.105(0,2 0,237)

V

V
2

1

2









_

(J)
3748

A₂ 

 (quá trình này hệ nhận cơng)

<i> Cơng mà hệ thực hiện trong tồn bộ 2 q trình: </i>

2

1 A

A

A  40663748318 (J)

<b>Bài 9.4: Một mol khí ơxi ban đầu ở 00C đƣợc đốt nóng ở áp suất khơng đổi. Tính </b>

<b>nhiệt lƣợng cần cung cấp để thể tích khí tăng lên gấp đôi2_.</b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức của định </i>
<i>luật Gay – Lussac (biểu thức 9.4) cho quá trình </i>
<i>đẳng áp, kết hợp với giả thiết V2 = 2V1, suy ra </i>

<i>mối liên hệ nhiệt độ T1 = 2T2, suy ra biến thiên </i>

<i>nhiệt độ </i> <i>T. Nhiệt lượng cung cấp cho hệ </i>
<i>trong quá trình đẳng áp là: Q = nC_P</i><i>T</i>

1

Giống với bài 4 trang 204, giáo trình Q12

2_{Giống với bài 5 trang 204, giáo trình Q}

12

(1)

1

V V₂

1

P

2

P

O (2)
P

V





1

V V2

P

O
P

V




</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>

Vì quá trình đẳng áp nên:

1
1
2
1

1
1
2
2
2

2
1

1 _2T ΔT _T _T _T

V
T
V
T
T

V
T

V _ _ _ _ _ _ _ _

(vì V2 = 2V1)

Nhiệt dung mol đẳng áp: 1 R
2

i
C_p 






 

 với i = 5 là bậc tự do của phân tử Oxi.

 Nhiệt lƣợng cần cung cấp cho hệ:

ΔT
nC

Q _p .8,31.273 7940(J)
2

7
RT
1
2

i

1  







 


<b>Bài 9.5: Do nhận nhiệt lƣợng 22J nên khối khí thay đổi từ thể tích 50cm3 đến </b>

<b>100cm3 khi áp suất đƣợc giữ khơng đổi ở 1atm1. </b>

<b>a) Tính độ biến thiên nội năng của khối khí. </b>

<b>b) Nếu lƣợng khí là 2.10-3</b>

<b> mol thì nhiệt độ thay đổi là bao nhiêu. </b>
<b>c) Nhiệt dung mol đẳng áp là bao nhiêu. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng nguyên lý I tính được biến thiên nội năng. Áp dụng phương </i>
<i>trình trạng thái khí lý tưởng cho hai thời điểm, suy ra biến thiên nhiệt độ. Có nhiệt </i>
<i>lượng trao đổi, có biến thiên nhiệt độ suy ra nhiệt dung mol đẳng áp.</i>

<i> a) Độ biến thiên nội năng của khối khí: </i>

Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:

A
Q

ΔU  22 PdV Q P(V₂ V₁)

V

V

2

1











 _{(1at = 1,013.10}5

Pa)

(J)
9
,
16
1

,
5
22
50).10

(100
1,013.10

22 5  6   

 

<i> b) Lượng nhiệt thay đổi: </i>

Từ phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng: PV = nRT









2
2

2

1
1

1

nRT
V

P

nRT
V

P

(với P1 = P2 = P vì quá trình đẳng áp)

 2 1



V2 V1



nR
P
T

T   



100 50



.10 304,8 (K)
.8,31

2.10

1,013.10 ₆

3
5




 



<i> c) Nhiệt dung mol đẳng áp: </i>

ΔT
n

Q

C_p  _









 _

K
mol.

J
36,1

.304,8
2.10

22

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112>

<b>Bài 9.61: Một hệ chứa 5 mol khí Heli giãn nở dƣới áp suất không đổi khi nhiệt độ </b>
<b>tăng lên một lƣợng </b><b>T = 200C. </b>

<b>a) Tính nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ trong q trình đó. </b>
<b>b) Tính độ biến thiên nội năng của hệ. </b>

<b>c) Tính cơng khí thực hiện khi giãn nở. </b>

<i>Hướng dẫn: Nhiệt lượng cung cấp được tính thơng qua nhiệt dung riêng đẳng </i>
<i>áp. Độ biến thiên nội năng được tính dựa trên lý thuyết nhiệt dung khí lý tưởng (công </i>
<i>thức 9.13). Từ biểu thức nguyên lý I của nhiệt động lực học suy ra cơng khí thực hiện.</i>

<i> a) Nhiệt lượng cung cấp cho hệ trong quá trình giãn nở đẳng áp: </i>

ΔT
nC

Q _p 1 RΔT
2

i
n 






 

 (với i = 3 do Heli là khí đơn nguyên tử)

(J)

5
,
2077
.20

8,31
2
5
5

Q 



<i> b) Độ biến thiên nội năng của hệ: </i>

ΔT
R
2
i
n
U

 8,31.20 1246,5 (J)
2

3

5 



<i> c) Cơng khí thực hiện khi giãn nở: </i>

Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:




 A ΔU

Q AQΔU 2077,51246,5831 (J)

<b>Bài 9.72: Ở nhiệt độ 200C, dƣới áp suất 75cmHg quãng đƣờng tự do trung bình </b>

<b>của các phân tử khí Nitơ và Argon là: </b><b>N = 27,5.10-6cm và </b><b>Ar = 9,9.10-6cm</b>.

<b>a) Tính tỷ số bán kính phân tử của N2 và Ar. </b>

<b>b) Tính quãng đƣờng tự do trung bình của các phân tử khí Argon ở 200_C</b>

<b>dƣới áp suất 15cmHg và ở 400_{C dƣới áp suất 75cmHg.}</b>

<i> a) Tỷ số bán kính phân tử của N2 và Ar: </i>

Quãng đƣờng tự do trung bình của phân tử:

2
B
2

B

r
4
Pπ
2

T
k
d

Pπ
2

T
k

λ   (*) (với r là bán kính phân tử)

2
λ
π
4P

T
k
r  B



Vậy tỷ số bán kính giữa phân tử N2 và Ar:

1_{Giống với bài 6 trang 254, giáo trình Q}
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113>




T
k

2
λ
π
4P
.
2
λ
π
4P

T
k
r

r

B
Ar
N

B
Ar

N

2
2

2
2

N
Ar
Ar

N

λ
λ
r

r



5

3
25

9
27,5.10

9,9.10

6
6




 _

<i> b) Tính quãng đường tự do trung bình của phân tử khí Ar: </i>

+ Ở 200C và áp suất 15 cmHg:

Từ công thức (*) ta thấy, khi giữ nguyên nhiệt độ thì quãng đƣờng tự do trung
bình () tỷ lệ nghịch với áp suất P. Mà P giảm 5 lần (từ 75cmHg xuống 15cmHg) nên
quãng đƣờng tự do trung bình tăng lên 5 lần:

Ar
'

Ar 5λ

λ  5.9,9.106 4,95.105 (cm)

+ Ở 400C và áp suất 75cmHg:

Tƣơng tự, khi giữ nguyên áp suất thì  tỷ lệ thuận với nhiệt độ T. Mà T tăng lên
2 lần (từ 200_{C đến 40}0

C) nên quãng đƣờng tự do trung bình tăng lên 2 lần:

Ar
''

Ar 2λ

</div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114>

<b>CHƢƠNG 10: ENTROPI VÀ NGUYÊN LÝ THỨ II CỦA </b>

<b>NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC</b>

<b>1</b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>

<b>10.1. Quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch </b>

<i> a) Quá trình thuận nghịch: </i>

<i>Quá trình thuận nghịch là quá trình nhiệt động mà hệ biến đổi từ trạng thái 1 </i>
<i>sang trạng thái 2, sau đó hệ có thể tiến hành theo chiều ngược lại và trong q trình </i>
<i>ngược đó hệ đi qua tất cả các trạng thái trung gian như trong quá trình thuận. </i>

Đặc điểm:

+ Nhiệt lƣợng hệ nhận vào trong quá trình thuận bằng nhiệt lƣợng hệ tỏa ra trong

q trình nghịch.

+ Cơng mà hệ thực hiện trong q trình thuận bằng cơng mà hệ nhận đƣợc trong
quá trình nghịch.

+ Khi trở lại trạng thái cũ, nội năng của hệ không thay đổi.

+ Sau một q trình thuận nghịch, mơi trƣờng xung quanh khơng xảy ra một biến
đổi nào.

<i> b) Quá trình bất thuận nghịch: </i>

<i>Quá trình bất thuận nghịch là quá trình nhiệt động mà khi hệ tiến hành theo </i>
<i>chiều ngược lại, hệ không đi qua tất cả các trạng thái trung gian như trong q trình </i>
<i>thuận. </i>

Đặc điểm:

+ Cơng và nhiệt giữa q trình thuận và q trình nghịch khơng đƣợc bảo tồn.
+ Sau một q trình bất thuận nghịch, mơi trƣờng xung quanh bị biến đổi vì nó

chịu tác dụng bởi q trình đó.

<b>10.2. Động cơ nhiệt và máy lạnh. Hai cách phát biểu nguyên lý II của nhiệt động </b>
<b>lực học </b>

<i> a) Động cơ nhiệt và cách phát biểu nguyên lý thứ II theo Thomson: </i>

<i>Động cơ nhiệt là loại máy biến nhiệt lượng thành cơng khi thực hiện chu trình. </i>

Động cơ nhiệt lấy lƣợng nhiệt Q1 từ nguồn nóng và nhả lƣợng nhiệt Q2 vào nguồn

<i>lạnh, trong q trình đó nó sinh cơng A. </i>

<i>Đại lƣợng đặc trƣng cho khả năng sinh công của một động cơ nhiệt gọi là hiệu </i>

<i>suất của động cơ nhiệt, đƣợc tính bằng tỷ số giữa công A sinh ra và lƣợng nhiệt nhận </i>

vào Q1:

1
2
1

1 Q

Q
Q
Q

A

η    _(10.1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115>

 Nguyên lý thứ II của nhiệt động lực học theo Thomson:
(phát biểu cho động cơ nhiệt)

<i>Không thể tồn tại trong tự nhiên một quá trình mà kết quả duy nhất là biến nhiệt </i>

<i>lượng hồn tồn thành cơng mà khơng để lại dấu vết gì cho mơi trường xung quanh. </i>

<i>Hay: Không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại II (loại động cơ sinh công đúng </i>
<i>bằng năng lƣợng nhận đƣợc). </i>

<i> b) Máy lạnh và cách phát biểu nguyên lý thứ II theo Clausius: </i>

<i>Máy lạnh là loại máy tiêu thụ công để vận chuyển nhiệt lượng từ nguồn lạnh </i>
<i>sang nguồn nóng hơn. Máy lạnh sử dụng cơng A để lấy lƣợng nhiệt Q</i>2 từ nguồn lạnh

và truyền cho nguồn nóng một lƣợng nhiệt Q1.

Đại lƣợng đặc trƣng cho khả năng vận chuyển nhiệt lƣợng từ nguồn lạnh sang
<i>nguồn nóng gọi là hệ số làm lạnh (hệ số thực hiện) của máy lạnh, đƣợc tính bằng tỷ số </i>
giữa lƣợng nhiệt Q2 lấy đƣợc từ nguồn lạnh và cơng A cần thiết để lấy lƣợng nhiệt đó:

2
1

2
2

Q
Q

Q
A

Q
K




 _(10.2)

 Nguyên lý thứ II của nhiệt động lực học theo Clausius:
(phát biểu cho máy lạnh)

<i>Không thể có một q trình mà kết quả duy nhất là truyền nhiệt lượng từ nguồn </i>
<i>lạnh sang nguồn nóng hơn mà khơng để lại dấu vết gì cho mơi trường xung quanh. </i>

<i>Hay: Nhiệt không thể tự động truyền từ mơi trường lạnh sang mơi trường nóng hơn. </i>
<i>Hay: Không thể chế tạo được máy lạnh vĩnh cửu (loại máy lạnh đƣa nhiệt lƣợng từ </i>
nguồn lạnh sang nguồn nóng mà khơng sử dụng cơng từ bên ngồi).

 Hai cách phát biểu ngun lý II nhiệt động lực học theo Thomson và Clausius
là hồn tồn tƣơng đƣơng nhau.

<b>10.3. Chu trình Carnot </b>

<i> a) Chu trình Carnot: </i>

Chu trình Carnot là một chu trình thuận nghịch đơn giản nhất mà có khả năng
sinh cơng, gồm 2 quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch và 2 quá trình đoạn nhiệt thuận
nghịch xen kẽ nhau.

<i> b) Hoạt động của chu trình Carnot: </i>

Gồm 4 quá trình:

+ Từ A  B: quá trình giãn nở khí
đẳng nhiệt ở nhiệt độ T1, thể tích tăng nhanh

từ V_A đến V_B, áp suất giảm chậm từ P_A đến
PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng.

+ Từ B  C: quá trình giãn nở khí
đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ
VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến

P_C, nhiệt độ giảm từ T₁ đến T₂.

1

Q

2

Q

0
Q

P

V

const

T1

const
T2 
0

Q

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116>

+ Từ C  D: q trình nén khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T2, thể tích giảm nhanh từ

V_C đến V_D, áp suất tăng chậm từ P_C đến P_D, hệ tỏa ra lƣợng nhiệt Q₂ cho môi trƣờng.
+ Từ D  A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ không trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD

đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1.

 Hệ trở về trạng thái ban đầu và tiếp tục một chu trình mới.

<i> c) Hiệu suất của chu trình Carnot: </i>

1
2
1

Q
Q

Q

η  (chu trình Carnot chạy theo chiều thuận là động cơ nhiệt)

Trong đó: Q1 là lƣợng nhiệt nhận từ nguồn nóng có nhiệt độ T1

Q₂ là lƣợng nhiệt tỏa ra nguồn lạnh có nhiệt độ T₂

Mà:

A
B
1
1

V
V
ln
nRT

Q  ;

D
C
2
2

V
V
ln

nRT

Q   (1)

Phƣơng trình đoạn nhiệt cho 2 quá trình BC và DA:

1
γ
C
C
1
γ
B

BV T V

T    (với

V
P

C
C
γ )

1
γ
D
D
1

γ
A

AV T V

T   

Mà TA = TB = T1, TC = TD = T2. Chia từng vế của hai phƣơng trình trên ta đƣợc:

D
C
A
B
1

γ

D
C
1

γ

A
B

V
V
V
V

V

V
V

V _ _














  

(2)

Thay (2) vào (1) và thay (1) vào biểu thức tính hiệu suất:

A
B
1

A
B
2
A
B
1

A
B
1

D
C
2
A

B
1

V
V
ln
T

V
V
ln
T
V
V

ln
T

V
V
ln
nRT

V
V
ln
nRT
V

V
ln
nRT
η









1
2
1

1

2
1

T
T
T
Q

Q
Q

η    _(10.3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117>

<i> Định lý Carnot về hiệu suất: </i>

<i>Hiệu suất của các động cơ thuận nghịch chạy với hai nguồn nhiệt cho trước thì </i>
<i>bằng nhau, nó khơng phụ thuộc vào hệ dùng để sinh ra công và cách chế tạo máy. </i>
<i>Hiệu suất của động cơ bất thuận nghịch nhỏ hơn hiệu suất của động cơ thuận nghịch: </i>

Hiệu suất của một động cơ bất kỳ:

1
2
1

T
T
T

η  (10.4)

<b>10.4. Biểu thức định lƣợng của nguyên lý II nhiệt động lực học. Entropy </b>

<i> a) Biến thiên định lượng của nguyên lý II nhiệt động lực học: </i>

Theo công thức (10.3) về hiệu suất của một chu trình bất kỳ:

1
2
1

2
1

Q
Q
1
Q

Q
Q

η    (vì Q₂ < 0 theo quy ƣớc)

Theo định lý Carnot về hiệu suất (công thức 10.4):

1
2

1

2
1

T
T
1
η
T

T
T

η    

Suy ra: 0

T
Q
T
Q
0
Q
Q
T
T
T

T

1
Q
Q
1

2
2
1

1
1

2
1
2
1

2
1

2        



Khi chu trình làm việc với nhiều nguồn nhiệt ta đƣợc:

0
T
Q

n

1

i i

i 





Nếu nhiệt độ thay đổi liên tục từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) thì1_:

0
T

Q

(2)

(1)






(10.5)

(biểu thức 10.5 là biểu thức biến thiên định lƣợng của nguyên lý II)

<i> b) Hàm Entropy. Nguyên lý tăng Entropy: </i>

Đại lƣợng
T

Q



là một biến số đại diện cho một tính chất nội tại nào đó của hệ và

gọi biến số này là Entropy (S). Do đó:   





T
Q
ΔS

T
Q

dS (*)

Xét chu trình thuận nghịch (1a2b1):











          

2b1
1a2

2b1
1a2

1a2b1 T

Q
T

Q
0

T
Q
T

Q
0

T
Q

1

Lƣu ý: ký hiệu là
T

Q

 mà không ký hiệu
T

Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118>

Xét chu trình bất thuận nghịch (1a2b1) trong đó bao gồm một quá trình thuận
nghịch (1a2) và quá trình bất thuận nghịch (2b1). Ta có:

12
2a1

2b1
2b1

1a2
1a2b1

ΔS
T

Q
T

Q
0

T
Q
T

Q
0

T

Q _ _  _  _ _  _  _













 Đối với quá trình bất thuận nghịch: 





T
Q

ΔS (**)

Kết hợp (*) và (**) suy ra: 





T
Q
ΔS

Đối với hệ nhiệt động cơ lập, thì Q0 suy ra: S = 0. Vậy với quá trình nhiệt
động học bất kỳ: ΔS0 (10.6)

<i>Nguyên lý tăng Entropy: Trong một quá trình nhiệt động học bất kỳ, khi chuyển </i>
<i>từ trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác, Entropy của hệ và môi </i>
<i>trường hoặc giữ ngun (đối với q trình thuận nghịch) hoặc ln ln tăng (đối với </i>
<i>quá trình bất thuận nghịch). </i>

 Định lý Nerst:

<i>Khi nhiệt độ tiến tới 0 (Kelvin) thì Entropy của bất kỳ vật nào cũng tiến tới 0. </i>

<i> c) Entropy của khí lý tưởng: </i>

<i> + Quá trình đẳng nhiệt (T = const): </i>

T
Q
T

Q

ΔS



  (10.7) (với Q là nhiệt lƣợng trao đổi)

<i> + Q trình đẳng tích (V= const): </i>

Nhiệt lƣợng trao đổi: QnC_VdT











2

1

T

T
V

T
dT
nC
T

Q
ΔS

1
2
V

T
T

ln
nC

ΔS (10.8)

<i> + Quá trình đẳng áp (P = const): </i>
Nhiệt lƣợng trao đổi: QnC_PdT











2

1

T

T
P

T
dT
nC
T

Q
ΔS

1

2
p

T
T
ln
nC

ΔS (10.9)

<i> + Quá trình đoạn nhiệt (Q = 0): </i>

0
T

Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119>

<i> + Quá trình bất kỳ: </i>

Theo nguyên lý I: QdUdA QnC_VdTPdV

Mà:

V
nRT
P

nRT

PV   . Suy ra:

V
dV
nRT
dT

nC

Q _V 



Vậy biến thiên Entropy của hệ:













 _





)
2
(

)
1
(

V
)

2
(

)
1

( V

dV
nR
T
dT
nC
T

Q
ΔS



1
2
1

2
V

V
V
ln
nR
T
T
ln
nC

ΔS  (10.11)

<i> d) Ý nghĩa của Entropy: </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120>

<b>B. BÀI TẬP </b>

<b>Bài 10.1: Một tủ lạnh dùng công 150J để lấy nhiệt lƣợng 560J từ buồng lạnh. </b>
<b>Tính1: </b>

<b>a) Hệ số làm lạnh của tủ. </b>

<b>b) Nhiệt lƣợng đã tỏa ra môi trƣờng. </b>

<i> a) Hệ số làm lạnh của tủ: </i>

Hệ số làm lạnh đƣợc tính bằng tỷ số giữa lƣợng nhiệt lấy đƣợc từ nguồn lạnh và
công cần thiết để lấy lƣợng nhiệt đó:

A
Q
K 2

3,733
15

56
150

560 _ _



<i> b) Nhiệt lượng tỏa ra môi trường: </i>

Nhiệt lƣợng Q1 tỏa ra môi trƣờng bằng tổng lƣợng nhiệt lấy đƣợc từ nguồn lạnh

với công sử dụng. Trong q trình này, cơng biến hồn tồn thành nhiệt để chuyển vào
nguồn nóng.

2

1 A Q

Q   150560 710(J)

<b>Bài 10.2: Một mol khí đơn nguyên tử đƣợc đun nóng đẳng tích từ nhiệt độ 300K </b>
<b>đến nhiệt 600K sau đó giãn đẳng nhiệt đến áp suất ban đầu rồi đƣợc nén đẳng áp </b>

<b>đến thể tích ban đầu. Hãy tính2_:</b>

<b>a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ trong một chu trình. </b>
<b>b) Cơng hệ sinh ra trong một chu trình. </b>

<b>c) Hiệu suất của chu trình. </b>

<i>Hướng dẫn: Nhiệt lượng hệ hấp thụ trong </i>
<i>một chu trình bằng tổng nhiệt lượng của q </i>
<i>trình 1 và q trình 2, cịn q trình 3 hệ nhả </i>
<i>nhiệt vào mơi trường và đây là phần năng </i>
<i>lượng hao phí. Cơng sinh ra trong một chu </i>
<i>trình bằng cơng có ích trong q trình 2 trừ đi </i>
<i>công phải cung cấp cho hệ trong quá trình 3 </i>
<i>(quá trình 1 là đẳng tích nên hệ không sinh </i>
<i>công cũng như không nhận công). Chu trình </i>
<i>làm việc như một động cơ nhiệt nên hiệu suất </i>
<i>của chu trình bằng tỷ số giữa công sinh ra và </i>
<i>lượng nhiệt nhận vào. </i>

<i> a) Nhiệt lượng hệ hấp thụ trong một chu trình (hệ hấp thụ nhiệt từ nguồn nóng): </i>
+ Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc trong q trình đun nóng đẳng tích (q trình 1):

1_{Giống với bài 1 trang 236, giáo trình Q}
12

2_{Giống với bài 3 trang 236, giáo trình Q}

12

1
1
1,V,T

P

2
2
2,V,T

P

1

Q Q2

P

V

3
3
3,V,T

P

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121>

(J)
3739,5
300)

8,31.(600
2

3
)
T
(T
R
2

i
n
ΔT
nC

Q₁  _V  ₂  ₁   

+ Nhiệt lƣợng hệ nhận trong quá trình giãn khí đẳng nhiệt (q trình 2):

1
2

2
3

2
2
2

P
P
ln
nRT
P

P
ln
nRT

Q   (vì P3 = P1)

Vì quá trình đầu là đẳng tích nên ta có:

2
T
T
P
P
T

P
T

P

1
2
1
2
2

2
1

1    

Suy ra: 8,31.600.ln2 3456 (J)

P
P
ln
nRT
Q

1
2
2

2   

<i> Nhiệt lượng hệ hấp thụ từ nguồn nóng trong một chu trình: </i>

2

1 Q

Q

Q  3739,53456 7195,5(J)

<i> b) Cơng sinh ra trong một chu trình: </i>

Cơng sinh ra trong một chu trình bằng tổng cơng trong quá trình 2 và 3:
+ Quá trình 2 đẳng nhiệt U = 0

(J)
3456
Q

A₂  ₂ 

+ Quá trình 3 đẳng áp nên: A PdV P1(V1 V3)
V

V
3

1

3






_

(*)

Mà: P₂V₂ P₃V₃ (vì quá trình 2 đẳng nhiệt). Kết hợp với P₃ = P₁ ta đƣợc:

1
2
2
3
3

1
2
2

P
V
P
V
V

P
V

P   

Thay giá trị V₃ vào biểu thức (*) ta có: 1 1 2 2
1

2

2
1
1

3 PV P V

P
V
P
V
P

A _ 











(J)
2493
600)

8,31(300
)

T
nR(T

A₃  ₁ ₂    



<i> Công hệ sinh ra trong một chu trình: </i>

3

2 A

A

A  = 3456 – 2493 = 963 (J)

<i> c) Hiệu suất của chu trình: </i>

Hiệu suất của chu trình bằng tỷ số giữa công sinh ra và nhiệt lƣợng nhận đƣợc:

Q
A

η 13,4 (%)

7195,5
963 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122>

<b>Bài 10.3: Một hệ khí đơn nguyên tử thực hiện chu trình nhƣ hình vẽ. Quá trình </b>
<b>BC là đoạn nhiệt với PB = 10 atm, VB = 10-3 m3 và VC = 8.10-3 m3. Tính1</b><i>: </i>

<b>a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ đƣợc trong một chu trình. </b>
<b>b) Nhiệt lƣợng hệ tỏa ra mơi trƣờng trong một chu trình. </b>
<b>c) Hiệu suất của chu trình. </b>

<i>Hướng dẫn: Trong một chu trình, hệ </i>
<i>hấp thụ nhiệt ở q trình đẳng tích AB và tỏa </i>
<i>nhiệt ở quá trình đẳng áp CA. Hiệu suất của </i>
<i>chu trình bằng tỷ số giữa cơng sinh ra (A = </i>
<i>Q1 – Q2) và nhiệt lượng nhận được (Q1).</i>

<i> a) Nhiệt lượng hệ hấp thụ được trong một </i>
<i>chu trình: </i>
)
T
(T
nC
ΔT
nC
Q

Q₁  _AB  _V  _V _B  _A

Giả sử n = 1mol. Ta có:

(K)
121,9
8,31

.10
0
10.1,013.1
R
V
P
T
RT
V
P
3
5
B
B
B
B
B

B     



Quá trình BC là đoạn nhiệt suy ra:

const
PVγ 

γ
C
B

B
C
A
γ
C
B
B
C
γ
C
C
γ
B
B
V
V
P
P
P
V
V
P
P
V
P
V
P _



















 với

3
5
C
C
γ
V
P 

(atm)
3125
,
0
8.10

10
10
P
P
3
/
5
3

-3

-C

A  










Q trình AB là đẳng tích suy ra:

(K)
3,8
10
121,9

0,3125.
P
T
P
T
T
P
T
P
B
B
A
A
B
B
A

A     

<i> Nhiệt lượng hệ hấp thụ trong một chu trình là: </i>

)
T
(T
nC

Q₁  _V _B  _A .8,31.(121,9 3,8)
2

3 _



(J)
1472
Q₁ 



<i> b) Nhiệt lượng hệ tỏa ra mơi trường trong một chu trình: </i>







Q nC ΔT nC (T T )

Q₂ _CA _P _P _A _C 1 R(T T )
2

i

Q_C  _A  _C






 


1_{Giống với bài 4 trang 237, giáo trình Q}
12

B
P

B

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123>

Mà: 30,5 (K)

8,31

.8.10
.10
13
0,3125.1,0
R

V
P
T
RT

V

P

3
5

C
C
C
C

C

C     



(J)
7
,
554
30,5)

.8,31.(3,8
2

5

Q₂    



<i> c) Hiệu suất của chu trình: </i>

Hiệu suất () của chu trình là tỷ số giữa cơng sinh ra và nhiệt lƣợng nhận vào.




1

Q
A
η

1
2
1

Q
Q
Q

η  0,6232 62,32 (%)
1472

554,7

1472 _ _



<b>Bài 10.4: Một động cơ nhiệt chạy theo chu trình Stirling nhƣ hình vẽ. Các quá </b>
<b>trình AB và CD là đẳng nhiệt. Các q trình BC và DA là đẳng tích. Động cơ sử </b>

<b>dụng n = 8,1.10-3</b>

<b> mol khí lý tƣởng, thực hiện 0,7 chu trình trong 1s. Nhiệt độ các </b>
<b>nguồn nhiệt của động cơ là T1 = 950C và T2 = 240C, VB = 1,5VA. Tính1: </b>

<b>a) Cơng động cơ thực hiện trong một chu trình. </b>
<b>b) Cơng suất của động cơ. </b>

<b>c) Nhiệt lƣợng cung cấp cho khí trong một chu trình. </b>
<b>d) Hiệu suất của động cơ. </b>

<i>Hướng dẫn: Trong một chu trình, cơng </i>
<i>chỉ xuất hiện trong quá trình AB và CD, áp </i>
<i>dụng cơng thức tính cơng trong q trình đẳng </i>
<i>nhiệt (công thức 9.16). Công suất được tính </i>
<i>bằng cơng sinh ra trong một đơn vị thời gian </i>
<i>(1s). Nhiệt lượng cung cấp cho hệ chỉ có ở q </i>
<i>trình AB và DA (vì quá trình BC và CD là </i>
<i>giảm áp suất và nén khí nên hệ tỏa nhiệt, đây </i>
<i>là phần năng lượng hao phí ra mơi trường). </i>
<i>Hiệu suất được tính bằng tỷ số giữa công sinh </i>
<i>ra và nhiệt lương nhận được. </i>

<i> a) Công động cơ thực hiện trong một chu trình: </i>

Vì quá trình BC và DA là đẳng tích nên hệ khơng thực hiện công cũng nhƣ

không nhận công. Q trình AB là giãn khí đẳng nhiệt, hệ thực hiện cơng (A > 0). Q
trình CD là nén khí đẳng nhiệt, hệ nhận cơng từ mơi trƣờng (A < 0).

Ta có: VA = VD, VB = VC, VB = 1,5VA

Nguồn nhiệt T1 của động cơ dùng để cung cấp cho hệ khi giãn khí đẳng nhiệt,

nguồn nhiệt T2 đóng vai trị nhƣ nguồn lạnh khi hệ tỏa nhiệt. Do đó:














C
24
T
T
T

C
95

T
T
T

0
2

D
C

0
1
B
A

1_{Giống với bài 4 trang 277, giáo trình Q}

1. Hoặc tƣơng tự bài 5.1 trang 133, giáo trình Q3

P A

A

V

C

V
B

D

B

V

1

T

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124>

Các quá trình AB và CD là đẳng nhiệt, biến thiên nội năng của hệ bằng 0. Do đó:

 

1,5 10(J)

368.ln
.8,31.

8,1.10
V

V
ln
nRT
Q

A 3

A
B
1
AB

AB   



(J)
8,1
1,5

1
297.ln
.8,31.

8,1.10
V

V
ln
nRT
Q

A 3

C
D
2
CD

CD  










 

<i> Cơng thực hiện trong một chu trình: </i>

CD

AB A

A

A  108,1 1,9(J)

<i> b) Công suất của động cơ: </i>

Cơng suất của động cơ đƣợc tính bằng cơng sinh ra trong 1 đơn vị thời gian (1s):
Hệ thực hiện một chu trình mất thời gian: 1/0,7 (s)

 Công suất:

t
A

P 1,33 (W)
7

,
0
/
1

1,9 _



<i> c) Nhiệt lượng cung cấp cho khí trong một chu trình: </i>

Hệ chỉ nhận nhiệt lƣợng ở quá trình AB và DA (vì quá trình BC là đẳng tích
giảm áp, q trình CD là đẳng nhiệt giảm thể tích nên hệ tỏa nhiệt ra môi trƣờng):

+ Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ trong q trình giãn khí đẳng nhiệt AB:

(J)
10
A

Q_AB  _AB 

+ Nhiệt cung cấp cho hệ trong quá trình tăng áp, đẳng tích DA:



368 297



7,2 (J)

.
31
,
8
.
2
3
.
10
.
1
,
8
T
nC

Q_DA  _V  3  

(giả sử hệ chứa khí đơn nguyên tử, bậc tự do i = 3)

 Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ trong một chu trình:

DA

AB

1 Q Q

Q   107,2 17,2(J)

<i> d) Hiệu suất của động cơ1: </i>

1

Q
A

η 0,1105 11,05 (%)

17,2

1,9 _ _



<b>Bài 10.5: 2Tính độ tăng entropi trong q trình biến đổi 1g nƣớc ở 00C thành hơi </b>

<b>nƣớc ở 1000_{C. Biết nhiệt hóa hơi của nƣớc là 2,25.10}6_{J/kg và nhiệt dung riêng của}</b>

<b>nƣớc là 4,18.103_J/kg.K</b>

<i>Hướng dẫn: Tính tổng độ tăng Entropy trong hai quá trình: quá trình biến đổi 1g </i>
<i>nước từ 00_{C đến 100}0_{C và q trình hóa hơi hoàn toàn 1g nước bắt đầu từ 100}0</i>

<i>C.</i>

1_{Không đƣợc nhầm với biểu thức tính hiệu suất của chu trình thận nghịch Carnot:}
2_{Giống với bài 5 trang 237, giáo trình Q}

12 1

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125>

Gọi c1 là nhiệt dung riêng của nƣớc, c2 là nhiệt hóa hơi của nƣớc.

+ Độ tăng Entropy trong quá trình biến đổi 1g nƣớc từ 00_{C đến 100}0

C:

273
373
.ln
.4,18.10
10

273
373
ln
mc
T

dT
mc
T

Q

S ₁ 3 3

373

273
1
1












_

_

(J/K)
3
,
1
S₁ 




+ Độ tăng Entropy trong quá trình biến 1g nƣớc ở 1000

C thành hơi hoàn toàn:

T
Q
T

Q

ΔS₂ 



  (vì quá trình đẳng nhiệt)

(J/K)
6

373
10
.
10
.
25
,
2
T

m

c
ΔS

3
6
2

2   

 

<i> Độ tăng Entropy trong tồn bộ 2 q trình: </i>

2

1 ΔS

ΔS

ΔS  1,36 7,3 (J/K)

<b>Bài 10.6: 1Tính độ biến thiên Entropi của một quá trình thuận nghịch khi biến </b>

<b>đổi 6g khí H2 từ thể tích V1</b><i><b> = 10l, áp suất P</b></i><b>1 = 1,5 atm đến thể tích V2</b><i><b> = 60l và áp </b></i>

<b>suất P2 = 1 atm. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức tính độ tăng Entropy cho một quá trình bất kỳ </i>
<i>(biểu thức 10.11). Để tìm nhiệt độ ở trạng thái đầu và trạng thái cuối thì áp dụng </i>
<i>phương trình trạng thái của khí lý tưởng.</i>

Độ tăng Entropy cho q trình bất kỳ:

1
2
1

2
V

V
V
ln
nR
T
T
ln
nC

ΔS 

Số mol khí H2: n = 6/2 = 3. Từ phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng suy ra:

(K)
61
8,31

3.

.10

10
1,5.1,013.
nR

V
P
T

2
5
1

1

1   



(K)
243,8
.8,31

3

.6.10
1.1,013.10
nR

V
P

T

2
5

2
2

2   



(J/K)
86,3
10

60
ln
8,31.
3.
61
243,8
ln

.8,31.
2
5
3

ΔS  

 (bậc tự do i = 5)

<b>Bài 10.7: Một hệ gồm n mol khí lƣỡng ngun tử thực hiện một chu trình gồm các </b>
<b>quá trình AB, BC, CD, DA nhƣ hình vẽ. Hãy tính cơng hệ sinh ra, nhiệt hệ nhận </b>
<b>đƣợc và biến thiên nội năng của hệ trong từng quá trình theo các giá trị nhiệt độ </b>
<b>T₁, T₂ và các giá trị Entropi S₁, S₂, S₃ của hệ. </b>

<i>Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức nguyên lý I của nhiệt động lực học kết hợp với </i>
<i>các biểu thức tính độ biến thiên Entropy trong các q trình. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126>

<i> * Quá trình AB: </i>

Biến thiên nội năng: ΔU_AB0 (vì quá trình đẳng nhiệt)

Nhiệt lƣợng nhận vào: 



    

1
AB
1

2

T
Q
S
S
T

Q

ΔS Q_ABT₁(S₂ S₁)

Công sinh ra: A_AB Q_AB A_AB T₁(S₂ S₁)

<i> * Quá trình BC: </i>

Biến thiên nội năng:  RΔT 
2

i
n

ΔU_BC _BC R



T₂ T₁



2

5n

ΔU  

Nhiệt lƣợng nhận vào:  



 



 





EC
BE

BC
2
3

T
Q
T

Q
T

Q
S

S

(vì S là hàm của trạng thái nên biến thiên S không phụ thuộc vào đƣờng đi)









EC
2
3

T
Q
S

S (vì quá trình BE là đẳng Entropy: S_BE = 0)







2
CE
2

3

T
Q
S

S Q_BC T₂



S₃ S₂



(vì QCE = QBC)

Cơng sinh ra: A_BC Q_BC ΔU_BC  BC 2



3 2



R



T2 T1



2
5n
S

S
T

A    

<i> * Quá trình CD: </i>

Biến thiên nội năng: ΔU_CD 0 (vì quá trình đẳng nhiệt)

Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc:   

2
CD
3

1

T
Q
S

S Q_CD T₂(S₁S₃)

Công sinh ra: A_CD Q_CD  A_CD T₂(S₁ S₃)

1

S

A _B

D C

T

1

T

2

T

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(127)</span><div class='page_container' data-page=127>

<i> * Quá trình DA: </i>

Biến thiên nội năng:  RΔT 
2

i
n

ΔU_DA _DA R



T₁ T₂



2

5n

ΔU  

Nhiệt lƣợng nhận vào: Q_DA 0 (vì quá trình đẳng Entropy)

Công sinh ra: A_DA ΔU_DA  DA R



T2 T1



2

5n

A  

<b>Bài 10.8: Một hệ khí thực hiện chu trình nhƣ trong hình vẽ. Tính: </b>
<b>a) Cơng sinh ra trong một chu trình. </b>

<b>b) Nhiệt lƣợng hệ nhận từ nguồn nhiệt độ cao trong một chu trình. </b>
<b>c) Hiệu suất của chu trình. </b>

<i> a) Cơng sinh ra trong một chu trình: </i>
+ Cơng sinh ra trong q trình AB:



2 1



1
AB

AB Q T S S

A    (vì quá trình đẳng nhiệt nên U = 0)

+ Cơng sinh ra trong q trình BC và DA có giá trị bằng và ngƣợc dấu nên triệt
tiêu với nhau (quá trình đẳng Entropy, Q = 0  A = –U):



1 2



V
DA

BC A nC T T

A   

+ Cơng trong q trình CD:



1 2



2
CD

CD Q T S S

A    (vì quá trình đẳng nhiệt nên U = 0)

<i> Công thực hiện trong một chu trình: </i>

CD

AB A

A

A  T₁



S₂ S₁



T₂



S₁S₂

 

 T₁T₂



S₂S₁



(J)

<i> b) Nhiệt lượng hệ nhận được trong một chu trình: </i>

Hệ chỉ nhận nhiệt lƣợng trong quá trình AB (quá trình CD hệ tỏa nhiệt):



₂ ₁



1
AB

1 Q T S S

Q    (J)

A _B

D

C
T

1

T

2

T

S

2

S

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(128)</span><div class='page_container' data-page=128>

<i> c) Hiệu suất của chu trình: </i>




1

Q
A

η



_



_



1
2
1

1
2
2
1

S
S
T

S
S
T
T

η







1
2
1

2
1

T
T
1
T

T
T  _ _



<b>Bài 10.9: Q trình biến đổi của một mol khí đa nguyên tử đƣợc trình bày trên </b>
<b>giản đồ TS nhƣ hình vẽ. Biết rằng nhiệt lƣợng hệ nhận trong q trình AB gấp </b>
<b>đơi nhiệt lƣợng tỏa ra trong q trình BC. Tính: </b>

<b>a) Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trong một chu trình. </b>

<b>b) Cơng hệ nhận đƣợc trong quá trình BC. </b>

<i>Hướng dẫn: Nhiệt lượng hệ trao đổi </i>
<i>trong một chu trình bằng tổng nhiệt </i>
<i>lượng trao đổi trong quá trình AB và BC </i>
<i>(vì quá trình CA là đẳng Entropy nên hệ </i>
<i>không trao đổi nhiệt, Q = 0). Áp dụng </i>
<i>biểu thức nguyên lý I của nhiệt động lực </i>
<i>học cho quá trình BC và suy ra cơng mà </i>
<i>hệ nhận trong q trình này. </i>

Quá trình CA là đẳng Entropy (đoạn nhiệt) nên QCA = 0. Quá trình AB hệ nhận

nhiệt lƣợng (Q > 0), quá trình BC hệ tỏa nhiệt ra môi trƣờng (Q < 0).

<i> a) Nhiệt lượng hệ trao đổi trong một chu trình: </i>

+ Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trong quá trình đẳng nhiệt AB:

)
S
(S
T
Q
T

Q
T

Q

ΔS _AB ₁ ₂ ₁

1
AB
B

A

AB    







+ Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trong quá trình BC:

)
S
(S
2
T
Q

2
1

Q 1 ₂ ₁

AB

BC   

 Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trong một chu trình: (S S )

2
T
Q

Q

Q 1 ₂ ₁

BC

AB  



<i> b) Cơng hệ nhận được trong q trình BC: </i>

Theo ngun lý I: R(T T)

2
i
n
)
S
(S
2

T
ΔU

Q

A 1 ₂ ₁ ₂ ₁

BC
BC

BC      

 R(T T )

2
i
n
)
S
(S
2
T

A 1 ₁ ₂ ₁ ₂

BC    

T

1

T

2

T

A B

C

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(129)</span><div class='page_container' data-page=129>

<b>KẾT LUẬN </b>

<i>Các nội dung trình bày trên đây dựa chủ yếu vào đề cƣơng môn học Cơ – Nhiệt </i>
dành cho sinh viên ngoài khoa Vật lý, Trƣờng ĐHKHTN, ĐHQGHN nên chỉ khái quát
đƣợc những vấn đề cơ bản. Phần lý thuyết chỉ nêu ngắn gọn các khái niệm và biểu
thức áp dụng mà không đi sâu vào chứng minh, phân tích. Những bạn nào có nhu cầu
tìm hiểu thêm thì có thể xem các giáo trình tại mục “Tài liệu tham khảo” (cuối file).
Theo ý kiến cá nhân, các bạn nên tham khảo tối thiểu hai giáo trình: Q2 và Q4.

Trong mỗi kỳ học, nội dung ôn tập trọng tâm là khác nhau (tuy không nhiều), các
giảng viên bộ môn sẽ trao đổi, thống nhất và thông báo tới sinh viên trƣớc khi kết thúc
mơn học. Thƣờng thì chƣơng 5 khơng có trong nội dung ơn thi, chƣơng 6 và chƣơng 7
chỉ nêu lý thuyết và áp dụng giải thích các hiện tƣợng.

Trƣớc khi làm bài tập cần xem kỹ lý thuyết và ghi nhớ các công thức quan trọng
đƣợc đóng khung và đánh số thứ tự theo từng chƣơng. Đa số các trƣờng hợp chỉ cần
hiểu cách thiết lập và nhớ công thức cuối cùng. Cá biệt có một số trƣờng hợp yêu cầu

ghi nhớ cả cách thiết lập, nhƣ các công thức: (2.5); (3.4); (3.5); (3.6); (4.4); (4.8);
(9.5); (10.3);… Nếu chƣa hiểu phép biến đổi nào trong quá trình thiết lập cơng thức thì
<i>xem lại kiến thức Toán học tại phần “Phụ lục: Kiến thức chuẩn bị”, trang 160). </i>

Cuối cùng, để nắm vững môn Cơ - Nhiệt nói riêng và kiến thức Vật lý nói chung,
chúng ta cần sắp xếp thời gian hợp lý cho việc ôn luyện và chú ý quan sát, liên hệ với
thực tiễn.

Chúc các bạn học tốt!

<i>* Ghi chú: (phần này dành riêng cho những bạn cần ôn cấp tốc, trong trạng thái </i>
<i>“hoang mang” trước khi thi và mục tiêu để qua môn hoặc chỉ cần điểm trung bình) </i>

<i>- Thi giữa kỳ: bài thi có lý thuyết hay khơng cịn tùy thuộc vào từng lớp, do giảng </i>

viên quy định. Phần bài tập thì giống hoàn toàn hoặc chỉ thay số so với các bài tập
trong đề cƣơng. Xem lại các bài thuộc chƣơng 2, 3, 4; cụ thể là bài: 2.1 đến 2.7
(chƣơng 2); 3.1 đến 3.10 (chƣơng 3); 4.1, 4.2; 4.4 đến 4.8 (chƣơng 4).

<i>- Thi cuối kỳ: </i>

<i>+ Lý thuyết: định lý về động năng; định luật biến thiên và bảo toàn động lƣợng </i>

của chất điểm và hệ chất điểm; khối tâm và công thức tọa độ khối tâm (trƣờng hợp các
hạt phân bố rời rạc); phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một
trục cố định (rất quan trọng); nội dung, biểu thức nguyên lý I nhiệt động lực học và áp
dụng giải thích hiện tƣợng (rất quan trọng), vẽ chu trình Carnot.

<i>+ Bài tập: Bài tốn bình thơng nhau (đề 2, bài 4, trang 124; đề 4, bài 5, trang </i>

132); bài toán xoay quanh nguyên lý I nhiệt động lực học (tính nhiệt lƣợng cung cấp
cho hệ, tính công sinh ra hoặc biến thiên nội năng của hệ); tính hiệu suất của chu trình
Carnot; các bài tập chƣơng 2, 3, 4 (xem đề thi cuối kỳ).

</div>
<span class='text_page_counter'>(130)</span><div class='page_container' data-page=130>

<b>NỘI DUNG ƠN TẬP</b>

<b>1. Nội dung ơn tập kỳ II năm học 2013 – 2014 </b>

<i><b> a) Lý thuyết: </b></i>

1. Động lƣợng của một vật, xung lƣợng của lực. Định luật biến thiên và bảo toàn
động lƣợng.

2. Động năng, định lý động năng.

3. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng.
4. Hệ chất điểm, khối tâm.

5. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định.

6. Động năng của vật rắn quay.

7. Định lý biến thiên và định luật bảo tồn mơmen động lƣợng.

8. Chuyển động trong trƣờng xuyên tâm. Các định luật Keppler.
9. Các tiên đề của thuyết tƣơng đối hẹp. Phép biến đổi Lorentz.
10. Nguyên lý số 0 của nhiệt động lực học.

11. Nguyên lý thứ I của nhiệt động lực học.

12. Động năng trung bình của phân tử trong chuyển động tịnh tiến.

13. Nhiệt dung mol đẳng tích và nhiệt dung mol đẳng áp.
14. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell.
15. Va chạm phân tử. Quãng đƣờng tự do trung bình.

16. Chu trình Carnot. Định lý Carnot về hiệu suất của động cơ nhiệt.

17. Hai cách phát biểu nguyên lý thứ II nhiệt động lực học của Thomson và của
Clausius.

18. Biểu thức định lƣợng của nguyên lý thứ II nhiệt động lực học. Entropy. Ý
nghĩa của Entropy.

<i><b> b) Bài tập: </b></i>

+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm.
+ Chƣơng 3: Công và năng lƣợng.
+ Chƣơng 4: Chuyển động của vật rắn.

+ Chƣơng 8: Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học.
+ Chƣơng 9: Động học chất khí.

</div>
<span class='text_page_counter'>(131)</span><div class='page_container' data-page=131>

<b>2. Nội dung ơn tập kỳ I năm học 2014 – 2015 </b>

<i><b> a) Lý thuyết: </b></i>

1. Động lƣợng của chất điểm, hệ chất điểm. Xung lƣợng của lực. Định luật biến
thiên và bảo toàn động lƣợng của chất điểm và hệ chất điểm.

2. Động năng. Định lý động năng.

3. Định luật bảo toàn cơ năng của vật chuyển động trong trƣờng thế.
4. Hệ chất điểm. Khối tâm.

5. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định.
6. Động năng của vật rắn quay.

7. Định lý biến thiên và bảo tồn mơmen động lƣợng của hệ chất điểm.
8. Ba định luật Keppler (phát biểu).

9. Các tiên đề của thuyết tƣơng đối hẹp. Phép biến đổi Lorentz (phát biểu, viết
biểu thức, không cần chứng minh).

10. Nguyên lý số 0 của nhiệt động lực học.
11. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học.

12. Phƣơng trình cơ bản của thuyết động học phân tử.

13. Nhiệt dung mol đẳng tích và đẳng áp cho một mol khí lý tƣởng.

14. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell (biểu thức và ý nghĩa).
15. Va chạm giữa các phân tử. Quãng đƣờng tự do trung bình.

16. Chu trình Carnot. Hiệu suất của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot.
17. Hai cách phát biểu nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học của Thomson và

của Clausius.

18. Biểu thức định lƣợng của nguyên lý thứ 2 nhiệt động lực học. Entropy, ý

nghĩa của Entropy.

<i><b> b) Bài tập: </b></i>

+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm (bài 2.1 – 2.8)
+ Chƣơng 3: Công và năng lƣợng (bài 3.1 – 3.8)
+ Chƣơng 4: Chuyển động của vật rắn (bài 4.1 – 4.8)

+ Chƣơng 8: Nội năng và nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học (bài 8.7 – 8.9)
+ Chƣơng 9: Thuyết động học chất khí (bài 9.3 – 9.6)

+ Chƣơng 10: Entropy và nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học (chủ yếu các
bài tập về hiệu suất, bài 10.3 và 10.4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(132)</span><div class='page_container' data-page=132>

<b>3. Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2014 – 2015 </b>

<i><b> a) Lý thuyết: </b></i>

1. Động lƣợng của chất điểm, hệ chất điểm. Xung lƣợng của lực. Định luật biến
thiên và bảo toàn động lƣợng của chất điểm và hệ chất điểm.

2. Động năng. Định lý động năng.

3. Định luật bảo toàn cơ năng của vật chuyển động trong trƣờng thế.
4. Hệ chất điểm. Khối tâm.

5. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định.
6. Động năng của vật rắn quay.

7. Định lý biến thiên và bảo tồn mơmen động lƣợng của hệ chất điểm.

8. Ba định luật Keppler (phát biểu).

9. Các tiên đề của thuyết tƣơng đối hẹp. Phép biến đổi Lorentz (phát biểu, viết
biểu thức, không cần chứng minh).

10. Nguyên lý số 0 của nhiệt động lực học.
11. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học.

12. Phƣơng trình cơ bản của thuyết động học phân tử.

13. Nhiệt dung mol đẳng tích và đẳng áp cho một mol khí lý tƣởng.

14. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell (biểu thức + ý nghĩa).

15. Va chạm giữa các phân tử. Quãng đƣờng tự do trung bình.

16. Chu trình Carnot. Hiệu suất của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot.
17. Hai cách phát biểu nguyên lý thứ 2 của nhiệt động lực học của Thomson và

của Clausius. Chứng minh hai cách phát biểu là tƣơng đƣơng nhau.

18. Biểu thức định lƣợng của nguyên lý thứ 2 nhiệt động lực học. Entropy và ý
nghĩa của Entropy.

<i><b> b) Bài tập: </b></i>

+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm (bài 2.1 – 2.10)
+ Chƣơng 3: Công và năng lƣợng (bài 3.1 – 3.10)
+ Chƣơng 4: Chuyển động của vật rắn (bài 4.1 – 4.8)

+ Chƣơng 8: Nội năng và nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học (bài 8.7 – 8.9)
+ Chƣơng 9: Thuyết động học chất khí (bài 9.3 – 9.6)

+ Chƣơng 10: Entropy và nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học (chủ yếu các
bài tập về hiệu suất, bài 10.1 – 10.4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(133)</span><div class='page_container' data-page=133>

<b>4. Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2015 – 2016 </b>

<i><b> a) Lý thuyết: </b></i>

1. Động lƣợng của một vật, xung lƣợng của lực. Định luật biến thiên và bảo toàn
động lƣợng.

2. Động năng – định lý động năng.

3. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng.
4. Hệ chất điểm. Khối tâm.

5. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định.
6. Động năng của vật rắn quay.

7. Định lý biến thiên và định luật bảo toàn mômen động lƣợng.
8. Chuyển động trong trƣờng xuyên tâm. Các định luật Keppler.
9. Các tiên đề của thuyết tƣơng đối hẹp. Phép biến đổi Lorentz.
10. Nguyên lý số 0 của nhiệt động lực học.

11. Nguyên lý thứ I của nhiệt động lực học.

12. Động năng trung bình của phân tử trong chuyển động tịnh tiến.
13. Nhiệt dung mol đẳng tích và nhiệt dung mol đẳng áp.

14. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell.
15. Va chạm phân tử. Quãng đƣờng tự do trung bình.

16. Chu trình Carnot. Định lý Carnot về hiệu suất của động cơ nhiệt.

17. Hai cách phát biểu nguyên lý thứ II nhiệt động lực học của Thomson và của
Clausius.

18. Biểu thức định lƣợng của nguyên lý thứ II nhiệt động lực học. Entropy. Ý
nghĩa của Entropy.

<i><b> b) Bài tập: </b></i>

+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm
+ Chƣơng 3: Công và năng lƣợng
+ Chƣơng 4: Chuyển động của vật rắn

+ Chƣơng 8: Nguyên lý thứ I của nhiệt động lực học

+ Chƣơng 9: Động học chất khí

+ Chƣơng 10: Nguyên lý thứ II của nhiệt động lực học

<i>* Cấu trúc điểm: + Phần Cơ học: 6 điểm (lý thuyết 3 điểm, bài tập 3 điểm) </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(134)</span><div class='page_container' data-page=134>

<b>MỘT SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ</b>

<b>1. Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã mơn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1: </b>

a) Phát biểu và chứng minh định lý về động năng.
b) Phát biểu định luật bảo tồn năng lƣợng, cho ví dụ.

<b>Câu 2: Một vật có khối lƣợng m bay theo phƣơng ngang </b>

và đâm vào một vật khác có khối lƣợng M đƣợc treo
<i>bằng sợi dây chiều dài l và dừng lại ở đó. Sợi dây bị lệch </i>
một góc  so với phƣơng thẳng đứng (hình 1). Xác định
vận tốc của vật m trƣớc khi đâm vào vật M.

<b>Câu 3: Vẽ và trình bày vắn tắt chu trình Carnot. </b>

<b>Câu 4: Trạng thái ban đầu của 1mol khí lý tƣởng đƣợc xác định bằng các thơng số P</b>1,

V₁, T₁. Tính cơng cần thiết để làm tăng thể tích của khối khí lên gấp hai lần thể tích
ban đầu trong các trƣờng hợp sau:

a) Theo quá trình đẳng áp.
b) Theo quá trình đẳng nhiệt.

c) Vẽ các quá trình trên giản đồ PV.

d) Tính nhiệt độ khối khí ở cuối q trình đẳng áp (a).
e) Tính áp suất của khối khí ở cuối quá trình đẳng nhiệt (b).

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: </b></i>

<i> a) Phát biểu và chứng minh định lý về động năng: </i>

+ Định lý về động năng:

<i>Độ biến thiên động năng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng công </i>
<i>của ngoại lực đặt vào chất điểm trong khoảng thời gian đó. </i>

+ Chứng minh:

Công của lực F làm chất điểm di chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2:
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2011 – 2012

α

M

m

v

</div>
<span class='text_page_counter'>(135)</span><div class='page_container' data-page=135>









(2)

(1)
(2)

(1)

12 Fdr Fdr

A (với dr là vi phân quãng đƣờng dịch chuyển)

Mà:

dt
dv
m
ma

F  nên suy ra:

2
mv
2

mv
2

mv
dv
mv
dr

dt
dv
m
Fdr

A

2
1
2

2
v

v

2
(2)

(1)
(2)

(1)
(2)

(1)
12

2

1

















 A12 K2 K1 (điều phải chứng minh)

<i> b) Phát biểu định luật bảo toàn năng lượng, cho ví dụ: </i>

+ Định luật bảo tồn năng lƣợng:

<i>Năng lượng không tự sinh ra và không tự mất đi, nó chỉ chuyển hóa từ dạng </i>
<i>năng lượng này sang dạng năng lượng khác hoặc từ hệ này sang hệ khác. </i>

+ Ví dụ:

Khi hai vật va chạm mềm với nhau, một phần động năng ban đầu chuyển hóa
thành nhiệt năng. Nhƣng tổng năng lƣợng của hệ trƣớc và sau va chạm đƣợc bảo toàn.

Trong động cơ đốt trong, nhiệt lƣợng do đốt cháy nhiên liệu đã chuyển hóa thành
cơng làm di chuyển piston. Một phần lớn nhiệt lƣợng thất thoát ra ngồi mơi trƣờng
nhƣng tổng năng lƣợng thất thốt với cơng sinh ra thì bằng nhiệt lƣợng nhận vào.

<i><b>Câu 2: Xác định vận tốc của vật m trƣớc khi đâm vào vật M</b></i>1:
Sợi dây bị lệch đi một góc  so với phƣơng

thẳng đứng và vật M bị đƣa lên độ cao h. Giả sử
hệ cô lập, vận tốc của vật m trƣớc va chạm là v,
sau va chạm và v'.

Động lƣợng của hệ trƣớc và sau khi va
chạm đƣợc bảo toàn:

(*)
'
v
m

m

M
v
'
m)v
(M

mv    

Cơ năng của hệ (tính từ thời điểm bắt đầu va chạm cho tới khi M đƣợc đƣa lên độ
cao h) đƣợc bảo toàn:





v'



M m



g (1 cosα)

2
m
M
gh

m
M
'

v
2

m

M ₂ ₂














<i>l</i>

α)
cos
(1
g
2
'

v  

 <i>l</i> . Thay giá trị của v' vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:

2
α
sin
2
g
2

m

m
M
α)
cos
(1
g
2
m

m
M

v  <i>l</i>    <i>l</i> 2 

2
α
sin
g
m

m
M
2

v  <i>l</i>

1_{Xem thêm bài 3.7; chƣơng 3.}

α

M

m

v

<i>l</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(136)</span><div class='page_container' data-page=136>

<i><b>Câu 3: Vẽ và trình bày vắn tắt chu trình Carnot: </b></i>

<i>Chu trình Carnot là một chu trình thuận nghịch đơn giản nhất mà có khả năng </i>
<i>sinh cơng, gồm 2 q trình đẳng nhiệt thuận nghịch và 2 quá trình đoạn nhiệt thuận </i>
<i>nghịch xen kẽ nhau. </i>

* Hình vẽ:

* Hoạt động của chu trình Carnot gồm 4 quá trình:

+ Từ A  B: q trình giãn nở khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T1, thể tích tăng nhanh

từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng.

+ Từ B  C: q trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến

PC, nhiệt độ giảm từ T1 đến T2.

+ Từ C  D: quá trình nén khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T2, thể tích giảm nhanh từ

V_C đến V_D, áp suất tăng chậm từ P_C đến P_D, hệ tỏa ra lƣợng nhiệt Q₂ cho môi trƣờng.
+ Từ D  A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ không trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD

đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1.

 Hệ trở về trạng thái ban đầu và tiếp tục một chu trình mới.

<i><b>Câu 4: Trạng thái ban đầu của 1mol khí lý tƣởng đƣợc xác định bằng các thông số P</b></i>₁,
V1, T1. Tính cơng cần thiết để làm tăng thể tích của khối khí lên gấp 2 lần (V2 = 2V1):

<i> a) Theo quá trình đẳng áp (P = const): </i>













PdV



PdV P



dV P(V V)

A ₁ ₂ ₁

V

V
1
V

V
1
V

V
1

2

1
2

1
2

1

1
1

1 PV

A 

<i> b) Theo quá trình đẳng nhiệt (T = const): </i>

2
P
V

V
P
P
V
P
V

P 1

2
1
1
2
2
2
1

1    

Mà:

V
V
P
P
V

P
PV
const

PV 1 1

1

1  




 (với V1 ≤ V ≤ V2)

Do đó:















1
2
1
1
V

V
1
1
V

V
1
1
V

V
2

V
V
ln
V
P
V
dV
V
P
dV
V

V
P
PdV
A

2

1
2

1
2

1

ln2
V
P
A₂  ₁ ₁

1

Q

2

Q

0
Q

P

V

const
T1

const
T2 
0

Q

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(137)</span><div class='page_container' data-page=137>

<i> c) Vẽ các quá trình trên giản đồ PV: </i>

+ Quá trình (1) đi từ A  B là quá trình đẳng áp. Cơng mà hệ thực hiện bằng
diện tích hình chữ nhật ABV2V1

+ Quá trình (2) đi từ A  C là q trình đẳng nhiệt. Cơng mà hệ thực hiện bằng
diện tích hình thang cong ACV2V1

<i> d) Tính nhiệt độ khối khí ở cuối q trình đẳng áp (1): </i>

Vì quá trình đẳng áp nên:  

2
2
1

1

T
V
T
V

1
1

1
2

2 2T

V
T
V
T  

<i> e) Tính áp suất khối khí ở cuối q trình đẳng nhiệt (2): </i>

Vì quá trình đẳng nhiệt nên: P₁V₁P₂V₂  1
2

1
1

2 P

2
1
V

V
P
P  

 



V
P

1

V V₂

2

P

1

P (1)

(2)

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(138)</span><div class='page_container' data-page=138>

<b>2. Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 (đề riêng cho K56 CLC KHMT) </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã mơn học: PHY 1100 12 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên: K56 CLC Khoa học Môi trƣờng
<i>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1 (2đ): Định nghĩa khối tâm và thành lập các cơng thức tính tọa độ khối tâm của </b>

hệ chất điểm.

<b>Câu 2 (2đ): Thiết lập phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh </b>

một trục cố định.

<i><b>Câu 3 (2đ): Một vật có khối lƣợng m = 2kg, đƣợc treo ở đầu một sợi dây dài l = </b></i>

40cm; vật quay trong mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi sao cho sợi dây
vạch một mặt nón. Biết rằng khi đó sợi dây tạo với phƣơng thẳng đứng một góc  =
300.

Tìm vận tốc góc của vật và lực căng của dây.

<b>Câu 4 (2đ): Có hai bình chứa hai loại khí khác nhau thơng với nhau bằng một ống </b>

thủy tinh có khóa. Thể tích của bình thứ nhất là 2 lít, của bình thứ hai là 3 lít. Lúc đầu

ta đóng khóa, áp suất ở hai bình lần lƣợt là 1at và 3at. Sau đó mở khóa nhẹ nhàng để
hai bình thơng nhau sao cho nhiệt độ vẫn khơng thay đổi.

Tính áp suất của chất khí trong hai bình khi thơng nhau.

<b>Câu 5 (2đ): Một vơ lăng hình đĩa trịn, đồng chất, có khối lƣợng m = 500 kg, bán kính </b>

r = 20cm đang quay xung quanh trục của nó với vận tốc n = 480 vòng/ phút. Tác dụng
một mơmen hãm lên vơ lăng. Tính mơmen hãm đó trong hai trƣờng hợp:

a) Vô lăng dừng lại sau khi hãm 50 giây.

b) Vô lăng dừng lại sau khi đã quay thêm đƣợc N = 200 vòng.

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: Định nghĩa khối tâm và thành lập các cơng thức tính tọa độ khối tâm của hệ </b></i>
chất điểm:

<i> * Khối tâm của hệ chất điểm: </i>

Hệ chất điểm là tập hợp của nhiều chất điểm (hạt) phân bố rời rạc hoặc liên tục.

<i>Khi hệ chất điểm đặt trong trường trọng lực thì điểm đặt của lực tổng hợp tác </i>
<i>dụng lên hệ được gọi là khối tâm của hệ (hay trọng tâm hay tâm quán tính). </i>

<i> * Thành lập các cơng thức tính tọa độ của khối tâm C: </i>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

</div>
<span class='text_page_counter'>(139)</span><div class='page_container' data-page=139>

Giả sử hệ có n hạt phân bố rời rạc thì:

M
r
m
m

...
m
m

r
m
...
r
m
r
m

r i i

n
2

1

n
n

2

2
1
1

C 













(với ri và mi là vị trí và khối lƣợng của chất điểm thứ i, M là tổng khối lƣợng của hệ)





M
z
m
M

y
m
M

x
m
M

z
y
x
m

rC



i i i i 



i i 



i i 



i i









M
z
m
z

;
M

y
m

y

;
M

x
m

x_C 



i i _C 



i i _C 



i i

(với x, y, z là tọa độ của khối tâm C)

<i>Trong trường hợp các hạt phân bố liên tục thì: </i>

M
dm.z
z

;
M
dm.y
y

;
M
dm.x

x_C 



_C 



_C 



(dm là vi phân khối lƣợng tại điểm có tọa độ (x,y,z))

<i><b>Câu 2: Thiết lập phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một </b></i>
trục cố định.

Xét vật rắn chỉ chuyển động quay xung

quanh trục . Gia tốc góc là

dt
ω
d

β và đại

lƣợng M 



[r_i Fi] là tổng mômen của

ngoại lực đối với trục quay. Thiết lập mối quan
hệ giữa β và M chính là thiết lập phƣơng trình
cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục cố định.

Phƣơng trình định luật II Newton cho
chất điểm thứ i:

i
i

i m a

F  (F_i là lực tác dụng lên chất điểm thứ i)

Nhân có hƣớng cả hai vế với r : i

]
a
r
[
m
]
F
r

[ _i  _i  _i _i  _i (với ai [βr_i])





2

i
i
i

i
2
i
i
i

i

i r [β r] m β.r r.(r.β) β.mr

m 







 _






(vì r_i βr_i.β0)

Đặt: Mi [r_i F_i] gọi là mômen của lực tác dụng lên chất điểm thứ i đối với

trục . Ta có:

ω

i

r

i

v

i

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(140)</span><div class='page_container' data-page=140>

2
i
i

i β.mr

M 

Xét trên toàn bộ vật rắn (hệ chất điểm):









    2

i
i
i

i
2

i
i

i β.mr [r F] β mr

M

Tổng nội lực của hệ bằng 0 nên mômen tổng chỉ ứng với ngoại lực tác dụng lên
hệ. Gọi đại lƣợng 



2

i
ir

m

I gọi là mơmen qn tính của vật rắn. Do đó:








2

i
i

i β m r

M MIβ

<i>Mômen của ngoại lực đối với trục quay bằng tích số giữa mơmen qn tính của </i>
<i>vật với gia tốc góc mà vật nhận được. </i>

<i><b>Câu 3</b><b>1</b><b>: Ta có: m = 2kg, l = 40cm, </b></i> = 300
Vật m chịu tác dụng của lực căng T

và trọng lực P. Tổng hợp của 2 lực này

là một lực hƣớng vào tâm Fhtvà gây ra

chuyển động tròn của vật.

P
T

Fht   (*)

<i> * Lực căng T của sợi dây: </i>

Chiếu (*) lên phƣơng chuyển động (phƣơng của vận tốc dài v) và chọn chiều
dƣơng hƣớng xuống, ta đƣợc:

0

F_ht  (vì Fht v)





P Tcosα 0



cos
P

T 22,6(N)
2

/
3
2.9,8
30

cos
mg

0  



<i> * Vận tốc góc của vật: </i>

a
m

Fht  (đây là gia tốc pháp tuyến, hƣớng vào tâm quỹ đạo trịn)

Chiếu lên phƣơng bán kính:

m
RTsin

v

R
mv
Tsin

R
mv
F

2
2

ht





  



 (R là bán kính quỹ đạo)

Mà:

R
v
ω
ωR

v    _{(liên hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc)}

 







_



sin
m

Tsin
Rm

Tsin
ω

<i>l</i> m<i>l</i>

T

ω 5,315(rad/s)
2

.
4
,
0

22,6 _



1_{Xem thêm bài 2.3, chƣơng 2.}

m



ht

F

P
v
O

<i>l</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(141)</span><div class='page_container' data-page=141>

<i><b>Câu 4</b><b>1</b><b>: </b></i>

Ta có: V1 = 2 lít, V2 = 3 lít, P1 = 1at, P2 = 3at, T = const

Giả sử hai loại khí này khơng phản ứng với nhau. Sau khi mở khóa thì khí trong
hai bình tràn sang nhau. Xét riêng từng loại khí (nếu xét khí ở bình này thì coi bình kia
là chân khơng):

+ Áp suất do khí thứ nhất gây ra: giảm từ P1 đến P1' do nhiệt độ khơng đổi mà

thể tích tăng lên.

+ Tƣơng tự, áp suất do khí thứ hai gây ra giảm từ P2 đến P2'

 Theo định luật Dalton2, áp suất trong bình sau khi mở khóa bằng tổng các áp
suất thành phần:

'
P
'
P
P  ₁ ₂

Vì quá trình đẳng nhiệt nên: PV = const

(at)
0,4
5.10

2.10
1.
V
V

V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V

P ₃

3

2
1

1
1
1

2
1
1
1

1     _   



Tƣơng tự: 1,8(at)

5.10
3.10
3.
V
V

V

P
'
P
)
V
(V
'
P
V

P ₃

3

2
1

2
2
2

2
1
2
2

2     _   



 Áp suất của hỗn hợp khí khi hai bình thơng nhau:



 P' P '
P ₁ ₂

2
1

2
2
1
1

V
V

V
P
V
P
P




 0,41,8 2,2(at)

<i><b>Câu 5: </b></i>

<i>Hướng dẫn: Từ lúc tác dụng mơmen hãm thì vơ lăng quay chậm dần đều. Áp </i>
<i>dụng biểu thức trong chuyển động tròn biến đổi đều (biểu thức 1.13) và phương trình </i>
<i>cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định (phương trình 4.4) </i>

Ta có: m = 500 kg, r = 20cm, n = 480 vòng/phút

Gọi M là mômen của lực đối với trục quay (mômen hãm cần tìm),  là vận tốc
góc,  là gia tốc góc. Ta có các phƣơng trình động lực học trong chuyển động quay
tròn biến đổi đều:

t
β
ω

ω ₀ (với 0 là vận tốc góc khi chƣa tác dụng mơmen hãm)



2β
ω

ω 2
0

2 

(với  là góc quay thêm khi tác dụng mơmen hãm)

Mà: MβI (phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn)

<i> a) Vô lăng dừng lại sau khi hãm 50 giây: </i>

Vô lăng quay chậm dần đều và dừng lại sau 50 giây. Khi dừng lại thì  = 0

1

Dạng bài bình thơng nhau thƣờng có trong đề thi cuối kỳ.

2_{Định luật Dalton: Ở một nhiệt độ xác định, nếu các chất khí khơng phản ứng với nhau thì áp suất tồn phần của}

</div>
<span class='text_page_counter'>(142)</span><div class='page_container' data-page=142>

Vận tốc góc khi chƣa tác dụng mômen hãm:

(rad/s)
6π

1
60
480.2π
ω₀  









ω ω₀ βt 0 16π 50β π (rad/s )
25

8

β 2

Mơmen qn tính của vật rắn đối với trục quay1:

2

mr
2
1
I

Do đó, mơmen hãm cần tìm là:

   mr2 
2

1
π
25

8
I

β

M mπr2

50
8

M  .500π0,2 3,2π(Nm)
50

8 2  





<i> b) Vô lăng dừng lại sau khi đã quay thêm được N = 200 vòng: </i>

Góc quay thêm sau khi tác dụng mơmen hãm:
(rad)

400π
200.2π





Mà: ω2ω2₀ 2β



)
(rad/s

π

25
8
800π

π
16
800π

ω
β

800π
β

ω 2

2
2
2

0
2

0      




 Mômen hãm:


βI

M mπr2

50
8

M  3,2π (Nm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(143)</span><div class='page_container' data-page=143>

<b>3. Đề thi cuối kỳ I năm học 2012 – 2013 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1 (3đ): Hãy trình bày định luật biến thiên và bảo toàn động lƣợng cho chất điểm </b>

và hệ chất điểm.

<b>Câu 2 (3đ): Một vật nhỏ trƣợt không ma </b>

sát theo một máng nghiêng từ độ cao H
mà phần cuối máng đƣợc uốn thành một
vòng tròn bán kính R. Hãy tính độ cao h
mà vật rời khỏi máng. Độ cao H phải có
giá trị tối thiểu nhƣ thế nào để vật nhỏ
không rời khỏi máng tại điểm cao nhất
của phần quỹ đạo tròn.

<b>Câu 3 (2đ): Hãy phát biểu và viết biểu thức toán học cho nguyên lý thứ nhất của nhiệt </b>

động lực học.

<b>Câu 4 (2đ): Có hai bình cầu đƣợc nối với nhau bằng một ống có khóa, đựng cùng một </b>

chất khí lý tƣởng ở cùng một nhiệt độ. Áp suất khí ở bình thứ nhất là 2.105_N/m2_{, ở}

bình thứ hai là 106

N/m2. Mở khóa nhẹ nhàng để hai bình thơng với nhau sao cho nhiệt
độ khí vẫn khơng đổi. Khi đã cân bằng, áp suất ở hai bình là 4.105_N/m2_{. Tìm thể tích}

của bình cầu thứ hai nếu biết thể tích của bình cầu thứ nhất là 15 dm3

.

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: Định luật biến thiên và bảo toàn động lƣợng cho chất điểm, hệ chất điểm: </b></i>

<i> * Đối với 1 chất điểm: </i>

<i>Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng </i>
<i>xung lượng của ngoại lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. </i>




 2

1

t

t

dt
F
J
P

Δ  _{(với F là ngoại lực tác dụng)}

<i>Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì động lượng được bảo tồn: </i>

const
P

0
F
dt

P

d _ _ _ _

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2012 – 2013

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(144)</span><div class='page_container' data-page=144>

<i> * Đối với hệ chất điểm: </i>

Động lƣợng của hệ bằng tổng động lƣợng các chất điểm và bằng khối lƣợng của
hệ nhân với vận tốc của khối tâm:

C

i Mv

P
P 





<i>Độ biến thiên động lượng của hệ chất điểm (vật) trong một khoảng thời gian nào </i>

<i>đó bằng xung lượng của ngoại lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó. </i>

J
P
Δ 

Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì động lƣợng của hệ đƣợc bảo tồn.

const
P

0
dt

P

d _ _ _

<i><b>Câu 2</b><b>1</b><b>: </b></i>

<i> * Độ cao h mà vật bắt đầu rời khỏi máng: </i>

Vật nhỏ trƣợt khơng ma sát, cơ năng
đƣợc bảo tồn tại bất kỳ độ cao h nào.

)
1
(
g
2

v
h
H
mv

2
1
mgh
mgH

2

2   




Phƣơng trình định luật II Newton cho vật tại độ cao h:

a
m
N
P 

(với P là trọng lực, N là phản lực của máng và a là gia tốc hƣớng tâm)
Chiếu lên phƣơng bán kính, chiều dƣơng hƣớng vào tâm:

R
v
m

N
cosα
mg

2




R
v
m
N
R

R
h
mg

2










2

mv
RN

R

h

mg   







m
RN
R

h
g

v2   



Thay giá trị của 2

v vào phƣơng trình (1) ta đƣợc:





g
2

m
RN

R

h
g
h
g
2
v
h
H

2  






)
2
(
2mg

RN
2

R
h
h

H    



Tại điểm mà vật nhỏ bắt đầu rời khỏi rãnh thì phản lực tác dụng lên vật bằng 0
(N = 0). Từ phƣơng trình (2) suy ra:

1<i>_{Xem bài 3.6, chƣơng 3.}</i>

H

h
R

P

R



N

</div>
<span class='text_page_counter'>(145)</span><div class='page_container' data-page=145>

R
3h
2H
R
h
2h
2H

2
R
h
h

H          

3
R
2H
h  

<i> * Tìm độ cao H để vật nhỏ khơng rời khỏi máng tại điểm cao nhất của quỹ đạo tròn: </i>

Để vật nhỏ không bị rơi ở điểm cao nhất của quỹ đạo (h = 2R) thì phản lực do
rãnh tác dụng lên quả cầu tại đó phải khơng âm (N ≥ 0). Từ (2) suy ra:

2
R
2R
2R
H
2
R
h
h

H        H2,5R

<i><b>Câu 3: Nội dung và biểu thức của nguyên lý I nhiệt động lực học: </b></i>

* Nội dung:

<i>Nhiệt lượng cung cấp cho hệ dùng để sinh công và biến đổi nội năng của hệ. </i>

* Biểu thức:

ΔU
A
Q 

Trong đó: + Q là nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ
+ A là công sinh ra

+ U là biến thiên nội năng của hệ
<i><b>Câu 4</b><b>1</b><b>: </b></i>

Cho: P1 = 2.105 N/m2; P2 = 106 N/m2; P = 4.105 N/m2; V1 = 15dm3; T = const

+ Áp suất do khí trong bình thứ nhất gây ra (coi bình thứ hai là chân không):
giảm từ P1 đến P1' do nhiệt độ khơng đổi mà thể tích tăng lên.

+ Áp suất do khí trong bình thứ hai gây ra giảm từ P2 đến P2'

 Theo định luật Dalton, áp suất trong bình sau khi mở khóa bằng tổng các áp
suất thành phần:

'
P
'

P
P  ₁ ₂

Vì quá trình đẳng nhiệt nên: PV = const

2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
V
V
V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V
P







Tƣơng tự:
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
V
V
V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V
P







 Áp suất khi hai bình thơng nhau:

2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2

1 PV PV PV P V

V
V
V
P
V
V

V
P
P
'
P
'
P

P    








 1
2
1
2 V
P
P
P
P
V



 15.10 5.10 (m ) 5(dm )

10
4.10

4.10

2.10 3 3 3 3

6
5
5
5




  

</div>
<span class='text_page_counter'>(146)</span><div class='page_container' data-page=146>

<b>4. Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1 (2đ): Thiết lập phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh </b>

một trục cố định.

<i><b>Câu 2 (2đ): Một vật rắn có khối lƣợng m = 2kg, đƣợc treo ở đầu một sợi dây dài l = </b></i>

40cm; vật quay trong mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi sao cho sợi dây
vạch một mặt nón. Biết rằng khi đó sợi dây tạo với phƣơng thẳng đứng một góc  =
300. Tìm vận tốc góc của vật và lực căng của dây.

<b>Câu 3 (2đ): Một ôtô khối lƣợng một tấn, khi tắt máy chuyển động xuống dốc thì có </b>

vận tốc không đổi V = 54km/h. Hỏi động cơ ô tơ phải có cơng suất bao nhiêu để nó
chuyển động lên dốc nói trên cùng với vận tốc 54km/h. Cho biết góc dốc  (sin =
0,04), hệ số ma sát giữa ô tô và mặt đƣờng trong cả hai trƣờng hợp: lên dốc và xuống
dốc là nhƣ nhau.

<b>Câu 4 (2đ): Trình bày nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học. </b>

<b>Câu 5 (2đ): Có hai bình chứa cùng một loại khí lý tƣởng, ở cùng nhiệt độ, thông với </b>

nhau bằng một ống có khóa. Lúc đầu ngƣời ta đóng khóa, áp suất ở bình thứ nhất là P1

= 2.105 N/m2, ở bình thứ hai là P2 = 106 N/m2. Sau đó, mở khóa nhẹ nhàng để hai bình

thơng nhau sao cho nhiệt độ vẫn không thay đổi. Khi đã cân bằng, áp suất ở hai bình là
P = 4.105 N/m2. Tìm thể tích của bình thứ hai, biết thể tích của bình thứ nhất là V₁ =
15dm3.

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: </b></i>

Xét vật rắn chỉ chuyển động quay xung

quanh trục . Gia tốc góc là

dt
ω
d

β và đại

lƣợng M 



[r_i Fi] là tổng mômen của
ngoại lực đối với trục quay. Thiết lập mối quan
hệ giữa β và M chính là thiết lập phƣơng trình
cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục cố định.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2013 – 2014

ω

i

r

i

v

i

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(147)</span><div class='page_container' data-page=147>

Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:

i
i

i m a

F  (F_i là lực tác dụng lên chất điểm thứ i)
Nhân có hƣớng cả hai vế với r : i

]
a
r
[
m
]
F
r

[ i  i  i i  i (với ai [βri])





2

i
i
i

i
2
i
i
i

i

i r [β r] m β.r r.(r.β) β.mr

m 







 _







(vì r_i βr_i.β0)

Đặt: Mi [r_i F_i] gọi là mômen của lực tác dụng lên chất điểm thứ i đối với

trục . Ta có: Mi β.m_ir_i2

Xét trên toàn bộ vật rắn (hệ chất điểm):









    2

i
i
i

i
2

i
i

i β.mr [r F] β mr

M

Tổng nội lực của hệ bằng 0 nên mômen tổng chỉ ứng với ngoại lực tác dụng lên
hệ. Gọi đại lƣợng 



2

i
ir

m

I gọi là mômen qn tính của vật rắn. Do đó:








2

i
i

i β m r

M MIβ

<i>Mômen của ngoại lực đối với trục quay bằng tích số giữa mơmen qn tính của </i>
<i>vật với gia tốc góc mà vật nhận được. </i>

<i><b>Câu 2: Tìm vận tốc góc của vật và lực căng của sợi dây: </b></i>

Vật m chịu tác dụng của lực căng T

và trọng lực P. Tổng hợp của 2 lực này

là một lực hƣớng vào tâm Fhtvà gây ra

chuyển động tròn của vật.

P
T

Fht   (*)

<i> * Lực căng T của sợi dây: </i>

Chiếu (*) lên phƣơng chuyển động (phƣơng của vận tốc dài v) và chọn chiều

dƣơng hƣớng xuống, ta đƣợc:

0

F_ht  (vì Fht v)





P Tcosα 0



cos
P

T 22,6(N)
2

/
3
2.9,8
30

cos
mg

0  



<i> * Vận tốc góc của vật: </i>

a
m

Fht  (ứng với gia tốc pháp tuyến, hƣớng vào tâm quỹ đạo tròn)

m



ht

F

P
v
O

<i>l</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(148)</span><div class='page_container' data-page=148>

Chiếu lên phƣơng bán kính:

m
RTsin
v

R
mv
Tsin

R
mv
F

2
2

ht





  



 (R là bán kính quỹ đạo)

Mà:

R
v
ω
ωR

v    _{(liên hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc)}

 







_



sin
m

Tsin
Rm

Tsin
ω

<i>l</i> m<i>l</i>

T

ω 5,315(rad/s)

2
.
4
,
0

22,6 _



<i><b>Câu 3: Tính cơng suất của ơtơ: </b></i>

<i>Cơng suất: </i>

FV
t

FS
t

A

P  

<i> * Khi xe xuống dốc: </i>

Các lực tác dụng là: P,N,Fms

Vì ơtơ chuyển động đều nên: PNFms 0

Chiếu lên phƣơng chuyển động, chiều dƣơng hƣớng lên trên:

mgsinα
mgcosα

μ
0
Psinα

F_ms     (1) với  là hệ số ma sát

<i> * Khi xe lên dốc: </i>

Các lực tác dụng là: P,N, Fms,F. Ơ tơ chuyển động đều: PNFms F0

Chiếu lên phƣơng chuyển động, chiều dƣơng hƣớng lên trên:

mgsinα
mgcosα

μ
F
0
Psinα
F

F _ms      (2)
Thay (1) vào (2) ta đƣợc: F 2mgsinα

Vậy, cơng suất cần tìm:


FV

P P2mVgsinα 2.1000.15.9,8.0,04 11760(W)11,76(kW)

<i><b>Câu 4: Trình bày nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học: </b></i>

<i> * Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công và biến đổi </i>

<i>nội năng của hệ. </i>

* Biểu thức:

ΔU
A
Q 

Trong đó: + Q là nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ
+ A là công sinh ra

+ U là biến thiên nội năng của hệ

P
N

ms

F
F

</div>
<span class='text_page_counter'>(149)</span><div class='page_container' data-page=149>

<i><b>Câu 5</b><b>1</b><b>: Tính V</b></i>₂

Cho P1 = 2.105 N/m2; P2 = 106 N/m2; P = 4.105 N/m2; V1 = 15dm3; T = const

+ Áp suất do khí trong bình thứ nhất gây ra: giảm từ P1 đến P1' do nhiệt độ

không đổi mà thể tích tăng lên (coi bình thứ hai là chân khơng).

+ Áp suất do khí trong bình thứ hai gây ra giảm từ P2 đến P2' (coi bình thứ nhất

là chân không)

 Theo định luật Dalton, áp suất trong bình sau khi mở khóa bằng tổng các áp
suất thành phần:

'
P
'
P
P  ₁ ₂

Vì quá trình đẳng nhiệt nên: PV = const

2
1

1

1
1

2
1
1
1
1

V
V

V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V
P








Tƣơng tự:

2
1

2
2
2

2
1
2
2
2

V
V

V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V
P








 Áp suất khi hai bình thơng nhau:

2
2
1
1
2
1
2

1
2
2
2
1

1
1
2

1 PV PV PV P V

V
V

V
P
V
V

V
P
P
'
P
'
P

P    










 1

2

1

2 V

P
P

P
P
V




 15.10 5.10 (m ) 5(dm )

10
4.10

4.10

2.10 3 3 3 3

6
5

5
5








  

</div>
<span class='text_page_counter'>(150)</span><div class='page_container' data-page=150>

<b>5. Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1: Phát biểu ba định luật Keppler về chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt </b>

Trời. Áp dụng các định luật đó để giải thích các câu hỏi sau:

- Tại sao quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời lại đƣợc coi gần đúng là đƣờng
tròn?

- Tại sao một hành tinh lại chuyển động nhanh hơn khi ở gần Mặt Trời và chậm

hơn khi ở xa Mặt Trời?

- Tại sao chu kỳ quay của Sao Hỏa quanh Mặt Trời lại dài hơn chu kỳ quay của
Trái Đất quanh Mặt Trời?

<b>Câu 2: Phát biểu và viết biểu thức nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học. Áp dụng </b>

nguyên lý đó để giải thích hiện tƣợng nội năng của một hệ khí lý tƣởng tăng khi hệ bị
nén đoạn nhiệt. Giải thích tại sao khơng thể chế tạo đƣợc động cơ nhiệt vĩnh cửu loại I.

<b>Câu 3: Một vật nhỏ trƣợt trên mặt bàn phẳng nằm ngang AB với vận tốc ban đầu là v</b>₀.

Sau khi trƣợt hết mặt bàn, vật chuyển động xuống phía dƣới, va chạm hoàn toàn đàn
hồi với mặt đất tại điểm C và nảy lên (hình 1). Cho biết chiều dài mặt bàn là AB = s,
chiều cao của bàn là BH = h, hệ số ma sát trƣợt giữa vật và mặt bàn là . Hãy tính
khoảng cách HC kể từ chân bàn đến điểm vật chạm đất và độ cao cực đại mà vật đạt
đƣợc sau khi nảy lên.

<b>Câu 4: Một hệ chứa n mol khí lý tƣởng giãn nở đẳng áp khi nhiệt độ tăng từ T</b>₁ đến T₂.

Hãy tính trong q trình đó:

a) Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ.
b) Độ biến thiên nội năng của hệ.
c) Cơng khí sinh ra.

Áp dụng bằng số cho trƣờng hợp khí đa nguyên tử, n = 3mol, T1 = 300K, T2 = 350K

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2013 – 2014

A B

H C

</div>
<span class='text_page_counter'>(151)</span><div class='page_container' data-page=151>

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: </b></i>

<i> * Ba định luật Keppler: </i>

<i>+ Định luật Keppler 1: Mọi hành tinh đều chuyển động trên một quỹ đạo hình </i>
<i>elip và Mặt Trời là 1 trong 2 tiêu điểm. </i>

<i>+ Định luật Keppler 2: Trong quá trình chuyển động, đường nối hành tinh với </i>
<i>Mặt Trời thì qt những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng </i>
<i>nhau. </i>

<i>+ Định luật Keppler 3: Bình phương chu kỳ quay của bất kỳ hành tinh nào cũng </i>
<i>tỷ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo hành tinh đó. </i>

3
2
2

a

GM
4π
T _







  2 3 3/2

a
~
T
a

~

T 



(G là hằng số hấp dẫn, M là khối lƣợng Mặt Trời, a là bán trục lớn của quỹ đạo)

<i> * Áp dụng các định luật Keppler để giải thích: </i>

<i>+ Quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời được coi gần đúng là đường tròn: Quỹ </i>

đạo này thực chất là đƣờng elip với hai bán trục chênh nhau không nhiều (a = 151 triệu

km, b = 147 triệu km, độ dẹt:

30,4
1
a

b
a

α   ). Vì vậy, trong một số phép tính gần

đúng có thể coi quỹ đạo của Trái Đất là đƣờng trịn bán kính R = 149,5 triệu km.

<i>+ Một hành tinh chuyển động nhanh hơn khi ở gần Mặt Trời và chuyển động </i>
<i>chậm hơn khi ở xa Mặt Trời: Định luật Keppler 2 cho biết đƣờng nối hành tinh với </i>

Mặt Trời thì qt những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau
mà khi đi gần Mặt Trời thì khoảng cách từ hành tinh tới Mặt Trời bị ngắn lại nên vận
tốc phải tăng lên.

<i>+ Chu kỳ quay của Sao Hỏa quanh Mặt Trời dài hơn chu kỳ quay của Trái Đất </i>
<i>quanh Mặt Trời: Định luật Keppler 3 cho biết chu kỳ quay của hành tinh quanh Mặt </i>

Trời thì tỷ lệ thuận với bán trục lớn mũ 3/2: 3/2

a
~

T , tức là hành tinh càng xa Mặt

Trời thì chu kỳ quay càng lớn. Sao Hỏa cách xa Mặt Trời hơn so với Trái Đất (230
triệu km so với 149,5 triệu km) nên chu kỳ quay của Sao Hỏa dài hơn chu kỳ quay của
Trái Đất (687 ngày so với 365 ngày).

<i><b>Câu 2: Nguyên lý I của nhiệt động lực học </b></i>

<i> * Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công và biến đổi </i>

<i>nội năng của hệ. </i>

* Biểu thức: QAΔU

Trong đó: + Q là nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ
+ A là công sinh ra

</div>
<span class='text_page_counter'>(152)</span><div class='page_container' data-page=152>

<i> * Áp dụng giải thích: </i>

<i>+ Nội năng của hệ khí lý tưởng tăng khi hệ bị nén đoạn nhiệt: Hệ bị nén đoạn </i>

nhiệt tức là hệ chỉ nhận cơng từ bên ngồi mà khơng có sự trao đổi nhiệt lƣợng. Ta có:
A

ΔU
0

Q  

Mà A < 0 (do nhận công) nên U > 0. Vậy nội năng của hệ tăng lên.

<i>+ Không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại I: động cơ vĩnh cửu loại I là </i>

động cơ có thể sinh cơng mà khơng cần nhận năng lƣợng từ bên ngồi (khơng nhận
nhiệt lƣợng, Q = 0; khơng có sự biến đổi nội năng của hệ, U = 0). Suy ra:

0
A
ΔU
Q

A    

Vậy, động cơ không thể sinh công mà không nhận nhiệt lƣợng từ bên ngồi hoặc
<i>khơng biến đổi nội năng của hệ. Hay: không thể chế tạo động cơ vĩnh cửu loại I. </i>

<i><b>Câu 3: </b></i>

<i>Hướng dẫn: để tìm được khoảng cách HC thì ta phải viết phương trình chuyển </i>
<i>động của vật nhỏ (được coi như chất điểm) từ khi bắt đầu rời B đến khi chạm đất tại </i>
<i>C. Vì va chạm là hồn tồn đàn hồi nên có thể áp dụng định luật bảo tồn cơ năng để </i>
<i>tìm ra độ cao cực đại mà vật đạt được sau khi nảy lên. </i>

<i> * Khoảng cách HC kể từ chân bàn đến điểm vật chạm đất: </i>

Khi bắt đầu rời khỏi B, vật chuyển động nhƣ bị ném ngang với vận tốc ban đầu
vB. Chọn hệ trục Oxy nhƣ hình vẽ (O trùng B) thì phƣơng trình chuyển động của vật

khi rời B là:

g
v

2y
x

x
2v

g
y

2
B
2

2
B




 _(*)

+ Tìm vận tốc của vật tại B:

Khi vật chuyển động từ A đến B thì độ giảm động năng của vật bằng công của
lực ma sát tác dụng lên vật (định lý về động năng)

mgs
μ
mv

2
1
mv
2
1
A

mv
2
1
mv
2

1 2

0
2

B
ms

2
A
2

B     

(với m là khối lƣợng của vật, s là chiều dài mặt bàn: s = AB)

gs

2μ
v
v
gs
2μ
v

v2_B  2₀   2_B  ₀2



Thay giá trị của 2
B

v và y = BH = h vào (*) ta đƣợc khoảng cách HC cần tìm:

B

v vD

y

x

D

h
s

0

v

A B

C
H

</div>
<span class='text_page_counter'>(153)</span><div class='page_container' data-page=153>

gs)
2μ
(v

g
2h
x

HC  2₀ 

<i> * Độ cao cực đại mà vật đạt được sau khi nảy lên: </i>

Do va chạm tại C là hoàn toàn đàn hồi nên cơ năng đƣợc bảo tồn. Do đó:

2
B
B

2
D
D

B

D mv

2
1
mgh
mv

2
1
mgh
E

E     

Mà vD = vB (chỉ có vận tốc theo phƣơng Ox). Do đó: hD hB h

<i><b>Câu 4: Hệ n mol khí lý tƣởng giãn nở đẳng áp, nhiệt độ tăng từ T</b></i>₁ đến T₂:

<i> a) Nhiệt lượng Q cung cấp cho hệ: </i>

Vì quá trình đẳng áp nên: QnC_PT 1 R(T T)
2

i
n

Q  ₂  ₁






 


(với C_P là nhiệt dung mol đẳng áp, i là số bậc tự do)

<i> b) Độ biến thiên nội năng của hệ: </i>

Nội năng của hệ là một hàm của trạng thái: RT
2
i
n
U

 Biến thiên nội năng của hệ: R(T T)

2
i
n

U ₂  ₁



<i> c) Cơng khí sinh ra: </i>

Theo ngun lý I của nhiệt động lực học:

)
T
R(T
2

i
n
)
T
(T
nC
ΔU
Q
A
ΔU
A

Q      _P ₂  ₁  ₂  ₁










 _ _













 

 (T T)

2
i
1
2
i
nR
)
T
R(T
2
i
n

)
T
R(T
1
2

i

n ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ nR(T₂ T₁)

<i> * Áp dụng bằng số cho trường hợp khí đa nguyên tử (i = 6): </i>

n = 3mol, T₁ = 300K, T₂ = 350K
+ Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ:

(J)
4986
300)

(350
8,31
1
2
6
3
)
T
R(T
1
2

i
n

Q ₂ ₁   






 










 


+ Biến thiên nội năng của hệ:

(J)
5
,

3739
300)

(350
8,31
3.
.
3
)
T
R(T
2

i
n

U ₂  ₁   



</div>
<span class='text_page_counter'>(154)</span><div class='page_container' data-page=154>

<b>6. Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i><b>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </b></i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<i><b>Câu 1 (2 điểm) </b></i>

Phát biểu và chứng minh định luật bảo toàn cơ năng của vật chuyển động trong
trƣờng thế.

<i><b>Câu 2 (3 điểm) </b></i>

Một vật khối lƣợng m = 2kg với vận
tốc ban đầu bằng không từ đỉnh một cái
nêm có độ cao h = 0,5m và nghiêng một
góc  = 450 so với mặt bàn. Hệ số ma sát
giữa vật và cái nêm là  = 0,1. Cái nêm
đƣợc cố định vào mặt bàn có độ cao H =
2m so với sàn. Hỏi:

a) Vận tốc vật là bao nhiêu khi rời mặt bàn?

b) Vật sẽ rơi cách chân bàn một khoảng R là bao nhiêu?

<i><b>Câu 3 (3 điểm) </b></i>

Biểu diễn chu trình Carnot trên giản đồ PV? Hãy nhận biểu thức cho hiệu suất
của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot lý tƣởng.

<i><b>Câu 4 (2 điểm) </b></i>

Hiệu suất lý thuyết của một động cơ nhiệt cao nhất là  = 30%. Nếu động cơ

nhiệt đó sử dụng bầu khí quyển nhƣ một nguồn lạnh với nhiệt độ là 300K thì nhiệt độ
nguồn nóng của động cơ đó là bao nhiêu?

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: Định luật bảo toàn cơ năng của vật chuyển động trong trường thế: </b></i>

Trƣờng thế là trƣờng mà công của lực tác dụng lên vật chỉ phụ thuộc vào điểm
đầu và điểm cuối. Ví dụ: trƣờng hấp dẫn, trƣờng đàn hồi, trƣờng tĩnh điện,…

<i> * Nội dung: </i>

<i>Cơ năng của vật chuyển động trong trường thế được bảo toàn. </i>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2014 – 2015

m

θ
h

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(155)</span><div class='page_container' data-page=155>

<i> * Chứng minh: </i>

Xét một vật chuyển động trong trƣờng thế từ vị trí 1 đến vị trí 2. Công của lực
<i>thế thực hiện đƣợc là: </i>

2
1

12 U U

A   (công của lực thế bằng độ giảm thế năng)

1
2

12 K K

A   (công của lực thế bằng độ tăng động năng)

2
2
1
1
1

2
2

1 U K K U K U K

U       



2

1 E

E 

 (với E1 và E2 lần lƣợt là cơ năng của vật ở vị trí 1 và 2)

<i>Vậy, cơ năng của vật chuyển động trong trường thế được bảo toàn. </i>

<i><b>Câu 2: </b></i>

<i> a) Vận tốc của vật khi rời khỏi mặt bàn (tại điểm O): </i>
Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ.

Vật đƣợc coi là nhỏ so với quỹ đạo chuyển
động của nó (coi nhƣ một chất điểm).

Khi vật chuyển động từ đỉnh đến chân
nêm thì động năng tăng lên đồng thời thế
năng giảm đi và vật mất năng lƣợng do ma
sát. Áp dụng định luật bảo tồn năng lƣợng
để tìm vận tốc của vật tại O.

Chọn mốc thế năng là mặt bàn. Theo định luật bảo toàn năng lƣợng, thế năng của
vật tại đỉnh nêm bằng động năng tại O cộng với phần năng lƣợng bị mất dƣới dạng
công của lực ma sát.

.S
F
mv
2
1

mgh  _O2  _ms (S là chiều dài mặt nêm)

θ
cot
h
g
μ
v
2
1
gh
θ

sin
h
cosθ
mg
μ
mv
2
1

mgh  2_O    2_O








v2_O 2gh(1 μcotθ) v_O  2gh(1μcotθ)

(m/s)
2,97

)
45
cot
.
0,1
.9,8.0,5(1

2  0 



<i> * Khoảng cách từ điểm rơi đến chân bàn: </i>

Khi rời khỏi O, vật chuyển động nhƣ bị ném xiên (xuống dƣới) với vận tốc ban
đầu vO. Phƣơng trình quỹ đạo chuyển động của vật khi rời O là:

2
2

2
O

x
θ
cos
2v

g
θ

tan
x

y 

Độ cao mặt bàn H = 2m (tức y = 2) thì:

0
18
9x
9,8x

x
45
.cos
2.3

9,8
45

tan
x

2 0  ₂ ₂ ₀ 2  2   

m

θ
h

H

R
O

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(156)</span><div class='page_container' data-page=156>










9
,
1

x

0,97
x

(loại giá trị âm)

Vậy, khoảng cách từ điểm rơi đến chân bàn là 0,97 (m)

<i><b>Câu 3: </b></i>

<i> * Biểu diễn chu trình Carnot trên giản đồ PV: </i>

Chu trình Carnot là một chu trình thuận nghịch đơn giản nhất mà có khả năng
sinh công, gồm 2 quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch và 2 quá trình đoạn nhiệt thuận
nghịch xen kẽ nhau.

<i>Hoạt động của chu trình Carnot: gồm 4 quá trình </i>

+ Từ A  B: q trình giãn nở khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T₁, thể tích tăng nhanh
từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng.

+ Từ B  C: q trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến

P_C, nhiệt độ giảm từ T₁ đến T₂.

+ Từ C  D: quá trình nén khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T₂, thể tích giảm nhanh từ
VC đến VD, áp suất tăng chậm từ PC đến PD, hệ tỏa ra lƣợng nhiệt Q2 cho môi trƣờng.

+ Từ D  A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ không trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD

đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1.

Sau đó, hệ trở về trạng thái ban đầu và tiếp tục một chu trình mới.

<i> * Thiết lập biểu thức cho hiệu suất của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot </i>

<i>lý tưởng: </i>

1
2
1

Q
Q
Q
η 

Trong đó: Q1 là lƣợng nhiệt nhận từ nguồn nóng có nhiệt độ T1

Q2 là lƣợng nhiệt tỏa ra nguồn lạnh có nhiệt độ T2

Mà:

A
B
1
1

V
V
ln
nRT

Q  ;

D
C
2
2

V
V
ln
nRT

Q   (1) (vì quá trình đẳng nhiệt)

Phƣơng trình đoạn nhiệt cho 2 quá trình BC và DA: (với

V
P

C
C
γ )

1

Q

2

Q

0
Q

P

V

const
T1

const
T2
0

Q

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(157)</span><div class='page_container' data-page=157>

1
γ
C

C
1
γ
B

BV T V

T   

1
γ
D
D
1
γ
A

AV T V

T   

Mà TA = TB = T1, TC = TD = T2. Chia từng vế của hai phƣơng trình trên ta đƣợc:

D
C
A
B
1

γ

D
C
1

γ

A
B

V
V
V

V
V

V
V

V

















  

(2)

Thay (2) vào (1) và thay (1) vào biểu thức tính hiệu suất:









A
B
1

A
B
2
A
B

1

A
B
1

D
C
2
A

B
1

V
V
ln
T

V
V
ln
T
V
V
ln
T

V
V

ln
nRT

V
V
ln
nRT
V

V
ln
nRT
η

1
2
1

T
T
T
η 

<i>Hiệu suất của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot lý tưởng chỉ phụ </i>
<i>thuộc vào nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh. </i>

<i><b>Câu 4: Tìm nhiệt độ nguồn nóng của động cơ nhiệt lý tưởng có hiệu suất </b></i><i> = 30%: </i>

Gọi nhiệt độ nguồn nóng của động cơ là T1, nhiệt độ nguồn lạnh là T2:

Hiệu suất của động cơ:       1η
T

T
η
T
T
1
T

T
T
η

1
2
1

2
1

2
1

η
1

T
T 2

1  _

Động cơ sử dụng bầu khí quyển nhƣ một nguồn lạnh với T2 = 300K

(K)
429
0,3

1
300
T₁ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(158)</span><div class='page_container' data-page=158>

<b>7. Đề thi cuối kỳ II năm học 2014 – 2015 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i><b>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </b></i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1. Viết biểu thức động lƣợng của một chất điểm và biểu thức xung lƣợng của lực </b>

tác dụng lên chất điểm (ghi chú rõ ràng từng ký hiệu trong các công thức). Phát biểu
và chứng minh định lý biến thiên và bảo toàn động lƣợng của một chất điểm.

<b>Câu 2. Biểu diễn một chu trình Carnot trên giản đồ PV. Nêu rõ từng quá trình hoạt </b>

động của chu trình Carnot trong một động cơ nhiệt. Viết cơng thức tính hiệu suất của
động cơ nhiệt chạy theo chu trình Carnot (khơng cần chứng minh).

<b>Câu 3. Hệ gồm hai vật nặng m</b>₁ = 0,2 kg và m₂ = 0,1 kg đƣợc nối với nhau bằng một

dây không co giãn mắc qua một rịng rọc có khối lƣợng m0 = 0,05 kg bán kính R nhƣ

<i>trên hình 1. Lúc đầu vật m</i>₁ đƣợc nâng lên độ cao h = 1m. Khi thả ra, vật m₁ chuyển
động nhanh dần đều xuống phía dƣới cho tới khi chạm đất. Tính gia tốc của vật m1 và

thời gian từ khi m1 bắt đầu chuyển động cho đến khi nó chạm đất.

<b>Câu 4. Một hệ khí lý tƣởng lƣỡng nguyên tử thực hiện một quá trình giãn nở theo quy </b>

luật P = aV, với a là hằng số, thể tích lúc đầu của hệ là V1, lúc cuối là V2. Quá trình

<i>đƣợc biểu diễn trên giản đồ PV nhƣ hình 2. Hãy tính cơng hệ trao đổi với môi trƣờng, </i>
biến thiên nội năng của hệ và nhiệt hệ trao đổi với môi trƣờng trong quá trình đó. Nêu
rõ hệ sinh cơng hay nhận cơng? Nội năng của hệ tăng hay giảm? Hệ nhận nhiệt hay tỏa
nhiệt? Áp dụng bằng số với a = 2.103_N/m5_{; V}

1 = 0,1m3; V2 = 0,2m3.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II

NĂM HỌC 2014 – 2015

R


1

m

2

m
h

0

m

<i>Hình 1 </i> V1 V2 V

P

<i>Hình 2 </i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(159)</span><div class='page_container' data-page=159>

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: Động lượng và xung lượng: </b></i>

<i> * Động lượng của một chất điểm: </i>

v
m
P

Trong đó: m và v lần lƣợt là khối lƣợng và vận tốc của chất điểm.

<i> * Biểu thức xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm: </i>

Xung lƣợng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian t1 đến t2 đƣợc

định nghĩa bởi:



 2

1

t

t

(t)dt
F

J _(với_F_(t)_{là lực tác dụng tại thời điểm t bất kỳ)}

<i> * Định lý biến thiên và bảo toàn động lượng của một chất điểm: </i>

Xét lực tác dụng vào chất điểm tại thời điểm t bất kỳ. Theo phƣơng trình định
luật II Newton:

(t)dt
F
P
d
dt

P
d
dt

)
v
d(m
dt

v
d
m
a
m
(t)

F      

Tích phân hai vế ta đƣợc:








2

1

t

t
(2)

(1)

(t)dt
F
P

d P2 P1 J

<i>Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng xung </i>
<i>lượng của ngoại lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. Nếu tổng ngoại </i>
<i>lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì động lượng được bảo toàn. </i>

const
P

0
F
dt

dP _ _ _ _

<i><b>Câu 2: Chu trình Carnot: </b></i>

<i> * Biểu diễn một chu trình Carnot trên giản đồ PV: </i>

Chu trình Carnot là một chu trình thuận nghịch đơn giản nhất mà có khả năng
sinh cơng, gồm 2 quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch và 2 quá trình đoạn nhiệt thuận
nghịch xen kẽ nhau.

1

Q

2

Q

0
Q

P

V

const
T1

const

T2 
0

Q

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(160)</span><div class='page_container' data-page=160>

<i>Hoạt động của chu trình Carnot: gồm 4 quá trình </i>

+ Từ A  B: quá trình giãn nở khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T₁, thể tích tăng nhanh
từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng.

+ Từ B  C: quá trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến

PC, nhiệt độ giảm từ T1 đến T2.

+ Từ C  D: q trình nén khí đẳng nhiệt ở nhiệt độ T₂, thể tích giảm nhanh từ
VC đến VD, áp suất tăng chậm từ PC đến PD, hệ tỏa ra lƣợng nhiệt Q2 cho môi trƣờng.

+ Từ D  A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ không trao đổi nhiệt với mơi
trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD

đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1.

Sau đó, hệ trở về trạng thái ban đầu và tiếp tục một chu trình mới.

<i> * Biểu thức hiệu suất của động cơ nhiệt chạy theo chu trình Carnot: </i>

1
2
1
1

2
1

T
T
T
Q

Q
Q

η   

Trong đó: Q1 là lƣợng nhiệt nhận từ nguồn nóng có nhiệt độ T1

Q₂ là lƣợng nhiệt tỏa ra nguồn lạnh có nhiệt độ T₂

<i><b>Câu 3: </b></i>

<i>Hướng dẫn: Gia tốc a của vật m1 cũng là gia tốc </i>

<i>chung của hệ gồm hai vật m1 và m2. Bài toán này thuộc </i>

<i>nội dung chương 4 – Chuyển động của vật rắn. Để tìm </i>

<i>được gia tốc dài, ta sử dụng mối liên hệ giữa gia tốc dài </i>
<i>và gia tốc góc: a = </i><i>R. Chọn chiều dương là chiều </i>
<i>chuyển động. </i>

<i> * Gia tốc a của vật m₁: </i>

Theo phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay
của ròng rọc:

Iβ

M (*)

M là mômen của lực gây ra chuyển động quay
Trong đó: I là mơ men qn tính của rịng rọc

 là gia tốc góc của chuyển động quay.
Ta có:

)
T
R(T
R.F

M  ₁ ₂ (với F là lực tác dụng gây ra chuyển động quay)

2
0R

m

2
1

I (cơng thức mơmen qn tính của khối trụ quay quanh trục)

Viết phƣơng trình định luật II Newton cho hai vật và chiếu lên chiều dƣơng:

1

P P2

R

0

m

1

m

2

m

h

 

1

T



1

T

2

T

2

T



</div>
<span class='text_page_counter'>(161)</span><div class='page_container' data-page=161>


















a
m
P
T
a
m
P
T
a
m
T
P
a
m
T
P
2
2
2
1
1
1
2
2
2

1
1
1

Do đó (*) trở thành:

R
a
.
R
m
2
1
)
T
R(T
Iβ

M  ₁ ₂  ₀ 2

)gR
m
(m
)aR
m
(m
aR
m
2
1

aR
m
2
1
a)
m
P
a
m

R(P₁ ₁  ₂  ₂  ₀  ₀  ₁ ₂  ₁  ₂



2
1
0
2
1
m
m
2
m
)g
m
(m
a




 3,02 (m/s )

65
196
2
,
0
1
,
0
2
0,05
0,1).9,8

(0,2   2






<i> * Khoảng thời gian từ lúc vật m1 bắt đầu chuyển động cho đến khi nó chạm đất: </i>

Vì chuyển động là biến đổi đều nên ta có:



2
at

h
2
a
2h

t  0,81 (s)

196
130
196/65

2.1 _ _



<i><b>Câu 4: </b></i>

<i>Hướng dẫn: Công hệ trao đổi bằng tích </i>
<i>phân của áp suất theo thể tích. Tính nội năng </i>
<i>của hệ ở trạng thái đầu và cuối theo công </i>
<i>thức: U = RT.i/2 với T là nhiệt độ của hệ </i>
<i>được tính dựa vào phương trình trạng thái </i>
<i>của khí lý tưởng: PV = nRT (lấy n = 1mol). </i>
<i>Nhiệt lượng trao đổi tính theo phương trình </i>
<i>nguyên lý 1 nhiệt động lực học: Q = A + </i><i>U </i>

<i> * Công mà hệ trao đổi với môi trường: </i>







_

_

2
1
2
1
2
1
V
V
2
V
V
V
V 2
V
a
aVdV
P(V)dV

A



V₂2 V₁2



2
a

A  

Do V₂ > V₁ nên A > 0 và hệ thực hiện công ra môi trƣờng (giả sử a >0)
<i> * Độ biến thiên nội năng của hệ: </i>

Nội năng tại hai thời điểm:

2
1
1
1
1
1 V
2
5a
R
V
P
R
2
5
RT
2
i

U    (i = 5 vì khí lƣỡng nguyên tử)

2
2
2
2
2
2 V
2
5a

R
V
P
R
2
5
RT
2
i

U   

 Biến thiên nội năng của hệ:



12



2

2
1

2 V V

2
5a
U
U

ΔU   




1

V V₂ _V

</div>
<span class='text_page_counter'>(162)</span><div class='page_container' data-page=162>

<i> * Nhiệt lượng hệ trao đổi với môi trường: </i>
Theo nguyên lý 1 nhiệt động lực học:





 

 








 2

1
2
2
2

1
2

2 V a V V

V
2
a
ΔU
A

Q



V₂2 V₁2



2
3a

Q 

Do đó: Q > 0 và hệ nhận nhiệt từ môi trƣờng ngoài.

<i> * Áp dụng bằng số với a = 2.103 N/m5; V₁ = 0,1m3; V₂ = 0,2m3: </i>

+ Công mà hệ thực hiện ra môi trƣờng:







0,2 0,1



30 (J)
2

2.10
V

V
2
a

A 2 2

3
2

1
2

2    



+ Độ tăng nội năng của hệ:



V V



5.10



0,2 0,1



150 (J)
2

5a

ΔU 2 3 2 2

1
2

2    



+ Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc từ môi trƣờng:
(J)
180
150
30
ΔU
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(163)</span><div class='page_container' data-page=163>

<b>8. Đề thi cuối kỳ phụ – hè năm 2015 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã mơn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i><b>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </b></i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<i><b>Câu 1 (2 điểm) </b></i>

a) Thiết lập phƣơng trình trạng thái đối với khí lý tƣởng.
b) Trình bày nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học.

<i><b>Câu 2 (2 điểm) </b></i>

a) Định nghĩa khối tâm và thành lập các cơng thức tính tọa độ khối tâm của hệ
chất điểm.

b) Thiết lập phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một
trục cố định.

<i><b>Câu 3 (2 điểm) </b></i>

Một vơ lăng hình đĩa trịn, đồng chất, có khối lƣợng m = 500kg, bán kính r =
20cm đang quay xung quanh trục của nó với vận tốc n = 480 vịng/phút. Tác dụng một
mơmen hãm lên vơ lăng. Tính mơmen hãm đó trong hai trƣờng hợp:

a) Vơ lăng dừng lại sau khi hãm 50 giây;

b) Vô lăng dừng lại sau khi đã quay thêm đƣợc N = 200 vòng.

<i><b>Câu 4 (2 điểm) </b></i>

Một ô tô chạy với công suất khơng đổi đi lên một cái dốc (góc dốc α = 300_{so với}

mặt phẳng ngang) với vận tốc v1 = 45km/h và khi xuống dốc với vận tốc v2 = 90km/h.

Hỏi khi chạy trên đƣờng nằm ngang thì vận tốc của ơ tơ là bao nhiêu?

Cho biết hệ số ma sát k giữa ô tô và mặt đƣờng là nhƣ nhau trong cả 3 trƣờng
hợp (lên dốc, xuống dốc và nằm ngang).

<i><b>Câu 5 (2 điểm) </b></i>

Có hai bình chứa cùng một loại khí lý tƣởng, ở cùng nhiệt độ, thơng với nhau
bằng một ống có khóa. Lúc đầu ngƣời ta đóng khóa, áp suất ở bình thứ nhất là P1 =

2.105 N/m2, ở bình thứ hai là P2 = 106 N/m2. Sau đó, mở khóa nhẹ nhàng để hai bình

thơng nhau sao cho nhiệt độ vẫn khơng thay đổi. Khi cân bằng, áp suất ở hai bình là
P = 4.105 N/m2. Tìm thể tích của bình thứ 2, biết thể tích của bình thứ nhất là V₁ =
15dm3.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

</div>
<span class='text_page_counter'>(164)</span><div class='page_container' data-page=164>

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: </b></i>

<i> a) Thiết lập phương trình trạng thái đối với khí lý tưởng: </i>

Xét 1 mol khí lý tƣởng chuyển từ trạng
thái (1) với P1, V1, T1 đến trạng thái (3) với P3,

V₃, T₃.

Dựng 2 đƣờng đẳng nhiệt qua (1) và (3).
Cho hệ thực hiện quá trình đẳng nhiệt từ (1)
đến (2) và q trình đẳng tích từ (2) đến (3).

+ Áp dụng định luật Boyle – Mariotte
cho quá trình đẳng nhiệt từ (1) đến (2):

2
2
1

1V PV

P  (*)

+ Áp dụng định luật Gay – Lussac cho q trình đẳng tích từ (2) đến (3):

3

2
3
2
3

3
2
2

T
T
P
P
T

P
T

P _ _ _

Thay giá trị P2 vào (*) ta đƣợc: 2
3

2
3
1

1 V

T

T
P
V
P 

Mà T2 = T1 (quá trình đẳng nhiệt), V2 = V3 (q trình đẳng tích) nên:

const
T

PV
T

V
P
T

V
P
V

T
T
P
V
P

3
3
3

1

1
1
3
3

1
3
1

1     

Chọn điều kiện tiêu chuẩn: P0 = 1,013.105 Pa, V0 = 22,4.10-3 m3, T = 273,160 K

31
,
8
16

,
273

10
.
4
,
22
.
10

.
013
,
1
T

PV _ 5 3 _

 

Đặt: 8,31 const
T

PV

R    và xét hệ gồm n mol khí lý tƣởng, ta đƣợc:

nRT
PV

<i> b) Trình bày nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học: </i>

<i>Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ dùng để sinh công và biến đổi nội năng. </i>
Biểu thức:

ΔU
A
Q 

Trong đó: + Q là nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ

+ A là công sinh ra

+ U là biến thiên nội năng của hệ

(1)

(3)

(2)
P

V
O

1

P

3

P

2

P

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(165)</span><div class='page_container' data-page=165>

<i><b>Câu 2: </b></i>

<i> a) Định nghĩa khối tâm và thành lập các cơng thức tính tọa độ khối tâm của hệ chất </i>
<i>điểm: </i>

<i> * Khối tâm của hệ chất điểm: </i>

- Hệ chất điểm là tập hợp của nhiều chất điểm (hạt) phân bố rời rạc hoặc liên tục.

<i>Khi hệ chất điểm đặt trong trường trọng lực thì điểm đặt của lực tổng hợp tác </i>
<i>dụng lên hệ được gọi là khối tâm của hệ (hay trọng tâm hay tâm quán tính). </i>

<i> * Thành lập các cơng thức tính tọa độ khối tâm C: </i>

Giả sử hệ có n hạt phân bố rời rạc thì:

M
r
m
m

...
m
m

r
m
...
r
m
r
m

r i i

n
2

1

n
n
2

2
1
1

C 













(với ri và m_i là vị trí và khối lƣợng của chất điểm thứ i, M là tổng khối lƣợng của hệ)





M
z
m
M

y
m
M

x
m
M

z
y
x
m

rC



i i i i 



i i 



i i 



i i









M
z
m
z

;
M

y
m
y

;
M

x
m

x_C 



i i _C 



i i _C 



i i

(với x, y, z là tọa độ của khối tâm C)

<i>Trong trường hợp các hạt phân bố liên tục thì: </i>

M
dm.z
z

;
M

dm.y
y

;
M
dm.x

x_C 



_C 



_C 



(dm là vi phân khối lƣợng tại điểm có tọa độ (x,y,z))

<i> b) Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục </i>
<i>cố định: </i>

Xét vật rắn chỉ chuyển động quay xung

quanh trục . Gia tốc góc là

dt
ω
d

β và đại

lƣợng M 



[r_i Fi] là tổng mômen của
ngoại lực đối với trục quay. Thiết lập mối quan
hệ giữa β và M chính là thiết lập phƣơng trình
cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục cố định.

Phƣơng trình định luật II Newton cho
chất điểm thứ i:

i
i

i m a

F  (F_i là lực tác dụng lên chất điểm thứ i)

ω

i

r

i

v

i

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(166)</span><div class='page_container' data-page=166>

Nhân có hƣớng cả hai vế với r : i

]
a
r
[

m
]
F
r

[ i  i  i i  i (với ai [βri])





2

i
i
i

i
2
i
i
i

i

i r [β r] m β.r r.(r.β) β.m r

m 







 _






(vì r_i βr_i.β0)

Đặt: Mi [r_i F_i] gọi là mômen của lực tác dụng lên chất điểm thứ i đối với

trục . Ta có:

2
i
i

i β.mr

M 

Xét trên toàn bộ vật rắn (hệ chất điểm):









    2

i
i
i

i
2

i
i

i β.mr [r F] β mr

M

Tổng nội lực của hệ bằng 0 nên mômen tổng chỉ ứng với ngoại lực tác dụng lên
hệ. Gọi đại lƣợng 



2

i
ir

m

I gọi là mơmen qn tính của vật rắn. Do đó:








2

i
i

i β m r

M M Iβ

<i>Mơmen của ngoại lực đối với trục quay bằng tích số giữa mơmen qn tính của </i>
<i>vật với gia tốc góc mà vật nhận được. </i>

<i><b>Bài 3: Ta có: m = 500 kg, r = 20cm, n = 480 vòng/phút </b></i>

<i>Hướng dẫn: Từ lúc tác dụng mơmen hãm thì vơ lăng quay chậm dần đều. Áp </i>
<i>dụng biểu thức trong chuyển động tròn biến đổi đều (biểu thức 1.13) và phương trình </i>
<i>cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định (phương trình 4.4) </i>

Gọi M là mơmen của lực đối với trục quay (mơmen hãm cần tìm),  là vận tốc
góc,  là gia tốc góc. Ta có các phƣơng trình động lực học trong chuyển động quay
tròn biến đổi đều:

t
β
ω

ω ₀  (với 0 là vận tốc góc khi chƣa tác dụng mômen hãm)



2β
ω

ω 2

0

2 

(với  là góc quay thêm khi tác dụng mơmen hãm)

Mà: M βI (phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn)

<i> a) Vô lăng dừng lại sau khi hãm 50 giây: </i>

Vô lăng quay chậm dần đều và dừng lại sau 50 giây. Khi dừng lại thì  = 0
Vận tốc góc khi chƣa tác dụng mômen hãm:

(rad/s)
6π

1
60
480.2π
ω₀  









ω ω₀ βt 0 16π 50β π (rad/s )
25

8

</div>
<span class='text_page_counter'>(167)</span><div class='page_container' data-page=167>

Mơmen qn tính của vật rắn đối với trục quay1_:

2

mr
2
1
I

Do đó, mơmen hãm cần tìm là:

  mr2 

2
1
π
25

8
I

β

M mπr2

50
8

M .500π0,2 3,2π(Nm)
50

8 ₂







<i> b) Vô lăng dừng lại sau khi đã quay thêm được N = 200 vịng: </i>

Góc quay thêm sau khi tác dụng mômen hãm:
(rad)

400π
200.2π





Mà: ω2 ω2₀ 2β



)

(rad/s
π

25
8
800π

π
16
800π

ω
β

800π
β

ω 2

2
2
2

0
2

0      




 Mômen hãm:


βI

M mπr2

50
8

M  3,2π (Nm)

<i><b>Câu 4: Tìm vận tốc của ô tô khi chạy trên đƣờng nằm ngang </b></i>

Công suất P của xe bằng tích của lực tác dụng với vận tốc.

Fv
P 

<i> + Khi xe lên dốc: </i>

Lực kéo của động cơ cân bằng với lực cản (lực cản gồm thành phần trọng lực kéo
xuống và lực ma sát). Ta có:

μN
Psinα

F₁   (µ là hệ số ma sát)
cosα

mg
μ
sinα
mg

F₁  



α)
cos
μ
sinα
mg(
v
v
F

P ₁ ₁  ₁ 

 (1)

<i> + Khi xe xuống dốc: </i>

Lực tác dụng của động cơ và thành phần trọng lực kéo xuống thì cân bằng với
lực ma sát (để xe có thể chuyển động đều):

1_{Xem chứng minh cơng thức mơmen qn tính của khối trụ ở bài 4.3, chƣơng 4}

 P P

1

v

2

v

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(168)</span><div class='page_container' data-page=168>

N
μ
Psinα
F₂  

mgsinα
mgcosα
μ
F
Psinα
N
μ

F₂    ₂  



α)
sin
cosα
mg(μ
v
v
F

P ₂ ₂  ₂ 

 (2)

<i> + Khi xe chạy trên đường thẳng: </i>

Lực tác dụng vào xe thì cân bằng với lực ma sát (vì xe chuyển động đều):

3
3

ms
3

3v F v μmgv

F

P   (3)
Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình:





_

_

α)
sin
α
cos
mg(μ
v
cosα
μ
sinα
mg
v
α)
sin
cosα
mg(μ
v
P
α
cos
μ
sinα
mg
v
P
2
1
2

1 _ _ _ _








α
mgsin
v
α
mgsin
v
α
cos
mgμ
v
α
cos
mgμ

v₁  ₂   ₂  ₁


tanα
v
v
v
v
μ

α
)sin
v
v
(
α
cos
)
v
v
(
μ
1
2
2
1
1
2
2
1 _








 (4)

Thay (4) vào (1):





sinα

v
v
v
2v
mg
α
sin
v
v
v
v
α
sin
mg
v
α
cos
μ
α
sin
mg
v
P
1
2
2

1
1
2
2
1
1

1  _












 ₍₅₎

Thay (5) vào (3):

3
1
2
2
1
1

2
2
1

3 tanαmgv

v
v
v
v
α
sin
v
v
v
2v
mg
mgv
μ
P















tan
)
(
sin
2
tan
)
(
sin
2
2
1
2
1
3
3
2
1
2
1
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>
<i>v</i>








2
1
2
1
3
v
v
α
cos
v
2v
v


Thay số:
(km/h)
51,96
3
135
4050
90
45
30

s
2.45.90.co
v
0

3  _  

<i><b>Câu 5: Tính V</b></i>₂

Cho P1 = 2.105 N/m2; P2 = 106 N/m2; P = 4.105 N/m2; V1 = 15dm3; T = const

+ Áp suất do khí trong bình thứ nhất gây ra: giảm từ P1 đến P1' do nhiệt độ

khơng đổi mà thể tích tăng lên từ V1 đến V1 + V2 (coi bình thứ hai là chân khơng).

+ Áp suất do khí trong bình thứ hai gây ra giảm từ P2 đến P2' do nhiệt độ khơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(169)</span><div class='page_container' data-page=169>

 Áp suất trong bình sau khi mở khóa bằng tổng các áp suất thành phần:

'
P
'
P
P  ₁ ₂

Vì quá trình đẳng nhiệt nên: PV = const

2
1

1
1
1

2
1
1
1
1

V
V

V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V
P








Tƣơng tự ta có:

2
1

2
2
2

2
1
2
2
2

V
V

V
P
'
P
)
V
(V
'
P
V

P








 Áp suất chất khí khi hai bình thơng nhau:

2
2
1
1
2
1
2

1
2
2
2
1

1
1
2

1 PV PV PV P V

V
V

V
P
V
V

V
P
P
'
P
'
P

P    










 1

2
1

2 V

P
P

P
P
V




 15.10 5.10 (m ) 5 (dm )

10
4.10

4.10

2.10 3 3 3 3

6
5

5
5







</div>
<span class='text_page_counter'>(170)</span><div class='page_container' data-page=170>

<b>9. Đề thi cuối kỳ I năm học 2015 – 2016 </b>

<b>Môn thi: Cơ – Nhiệt</b>

Mã mơn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03

Dành cho sinh viên các khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất,
Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc

<i><b>Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu </b></i>

<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) </i>

<b>Câu 1. Viết công thức mômen lực tác dụng lên một vật và mơmen qn tính của một </b>

vật rắn đối với một trục quay cố định (ghi chú rõ các ký hiệu trong từng công thức).
Dẫn phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục
cố định.

<b>Câu 2. Phát biểu và viết biểu thức nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học. Áp dụng </b>

nguyên lý đó để giải thích hiện tƣợng nội năng của một hệ khí lý tƣởng tăng khi hệ bị
nén đoạn nhiệt. Giải tích tại sao khơng thể chế tạo đƣợc động cơ vĩnh cửu loại I.

<b>Câu 3. Một vật A khối lƣợng m</b>1 = 3kg nằm trên mặt phẳng nghiêng góc  = 300 so

với phƣơng nằm ngang. Vật A đƣợc nối với vật B có khối lƣợng m2 = 2kg bằng một

sợi dây không co dãn vắt qua một rịng rọc cố định có khối lƣợng m0 = 1kg, bán kính

R. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật, lực căng của các dây. Bỏ qua khối
lƣợng sợi dây, ma sát giữa dây với ròng rọc. Cho biết hệ số ma sát giữa vật A và mặt
phẳng nghiêng  = 0,1 và gia tốc trọng trƣờng g = 9,81 m/s2.

<b>Câu 4. Hãy tính hiệu suất của một động cơ Carnot chạy với hai nguồn nhiệt có nhiệt </b>

độ T1 = 500K và T2 = 300K. Nếu nhiệt lƣợng động cơ nhận vào trong một chu trình là

1 KJ thì cơng động cơ sinh ra trong một chu trình là bao nhiêu?

<i>Lời giải: </i>

<i><b>Câu 1: </b></i>

<i> * Công thức mômen lực tác dụng lên một vật: </i>





 [r F]

M _i i

Trong đó:

+ r_i là véctơ khoảng cách từ trục quay đến chất điểm thứ i của vật.

+ F_i là lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2015 – 2016

α

1

m

2

m

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(171)</span><div class='page_container' data-page=171>

<i> * Mơmen qn tính của một vật rắn đối với trục quay cố định: </i>



 2

i
ir

m
I

Trong đó: + mi là khối lƣợng chất điểm thứ i

+ ri là khoảng cách từ trục quay đến chất điểm thứ i.

<i> * Dẫn phương trình cơ bản của chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một </i>
<i>trục cố định: </i>

Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:

i
i

i m a

F 

Nhân có hƣớng cả hai vế với r : i

]
a
r
[
m
]
F
r

[ _i  _i  _i _i  _i m_i[r_i [βr_i]] (vì ai [βr_i])







 _

m_i βr_i2 r_i(r_iβ) (cơng thức tích có hƣớng của 3 véctơ1)

2
i
ir

m
β

 (vì r_i βr_iβ0)

Mà Mi [r_i F_i] là mômen của lực tác dụng lên chất điểm thứ i đối với trục

quay . Do đó:

2
i
i

i βmr

M 

Xét trên toàn bộ vật rắn (hệ chất điểm):









    2

i
i
i

i
2

i
i

i βmr [r F] β mr

M

Tổng nội lực của hệ bằng 0 nên mômen tổng ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ.
Đại lƣợng 



2

i

ir

m

I là mơmen qn tính của vật rắn, nên:








2

i
i

i β m r

M MIβ

1_{Xem công thức tính tích có hƣớng của 3 véctơ tại phần “Phụ lục”, cuối mục 3, trang 162.}

ω

i

r

i

v

i

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(172)</span><div class='page_container' data-page=172>

<i>Mômen của ngoại lực tác dụng lên vật đối với trục quay bằng tích số giữa </i>
<i>mơmen qn tính của vật với gia tốc góc mà vật nhận được. </i>

<i><b>Câu 2: </b></i>

<i> * Nội dung và biểu thức nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học: </i>

<i>+ Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công và làm </i>

<i>biến đổi nội năng của hệ. </i>

+ Biểu thức: QAΔU

Trong đó: + Q là nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ
+ A là công sinh ra

+ U là biến thiên nội năng của hệ
<i> * Giải thích hiện tượng: </i>

<i>+ Nội năng của hệ khí lý tưởng tăng khi hệ bị nén đoạn nhiệt: Hệ bị nén đoạn </i>

nhiệt tức là hệ chỉ nhận công từ bên ngồi mà khơng có sự trao đổi nhiệt lƣợng. Do đó:
A

ΔU
0

Q  

Mà A < 0 (do nhận công) nên U > 0. Vậy nội năng của hệ tăng lên.

<i>+ Không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại I: động cơ vĩnh cửu loại I là loại </i>

động cơ có thể sinh cơng mà không nhận năng lƣợng (không nhận nhiệt lƣợng, Q = 0;
khơng có sự biến đổi nội năng của hệ, U = 0). Suy ra:

0
A
ΔU
Q

A    

Vậy, động cơ không thể sinh công mà không nhận nhiệt lƣợng từ bên ngồi hoặc
<i>khơng biến đổi nội năng của hệ. Hay: không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại I. </i>

<i><b>Câu 3: </b></i>

<i>Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho hai vật m1 và m2; viết </i>

<i>phương trình cơ bản của chuyển động quay của ròng rọc. Giải hệ 3 phương trình để </i>
<i>suy ra gia tốc và các lực căng. </i>

+ Phƣơng trình định luật II Newton cho vật m₁

và chiếu theo chiều dƣơng đã chọn:

a
m
F

T

P1 1 ms  ₁

(1)
a
m
gcosα
μm

α
gsin
m
T

a
m
cosα
μP
α
sin
P
T

1
1

1
1

1
1

1
1













+ Phƣơng trình định luật II Newton cho vật m2 và chiếu theo chiều dƣơng đã

chọn:

a
m

T

P2  2  ₂

(2)
a
m
g
m
T
a
m
T
g

m₂  ₂  ₂  ₂  ₂  ₂



α

1

m

2

m

0

m

2

T

2

P

1

P

1

T

ms

F

'
T1

'
T2





</div>
<span class='text_page_counter'>(173)</span><div class='page_container' data-page=173>

+ Áp dụng phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của ròng rọc:
β
I
]
F
R
[
β
I

M   

(với M là mômen do ngoại lực F gây ra)

(3)
a
m
2
1
T
T
R
a
R
m
2
1

)
'
T
'
R(T
Iβ

RF  ₂  ₁  ₀ 2  ₂  ₁  ₀



(vì T₂'T₂và T₁'T₁)
Thay (1), (2) vào (3) ta đƣợc:

a
m
2
1
a
m
gcosα
μm
α
gsin
m
a
m
g

m₂  ₂  ₁  ₁  ₁  ₀

a
m
m
m
2
1
gcosα
μm
α
gsin
m
g

m₂ ₁ ₁ ₀ ₁ ₂





 _ _




 g
m
m
m
2

1
cosα
μm
α
sin
m
m
a
2
1
0
1
1
2





 .9,81 0,43

3
2
5
,
0
cos30
3
.
1

,
0
30
sin
3

2 0 0 _







 m/s2

Suy ra các lực căng T1, T2:

0,43)
30
s
0,1.9,81co
30
(9,81sin
.
3
a)
μgcosα
α
(gsin

m

T₁ ₁    0  0 
 T₁18,55 (N)







m (g a) 2.(9,81 0,43)

T₂ ₂ T₂ 18,76 (N)

<i><b>Câu 4: </b></i>

Động cơ Carnot chạy với hai nguồn nhiệt T1 = 500K và T2 = 300K

<i> * Tính hiệu suất của động cơ Carnot: </i>









 0,4

500
300
500
T
T
T
η
1
2
1
(%)
40
η

<i> * Tính cơng động cơ sinh ra nếu nhiệt lượng nhận vào là 1 KJ: </i>

Động cơ này nhận nhiệt lƣợng và sinh cơng nên nó đóng vai trị là máy nhiệt. Từ
hiệu suất của động cơ, tính đƣợc cơng sinh ra:







 A ηQ 0,4.1
Q

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(174)</span><div class='page_container' data-page=174>

<b>PHỤ LỤC: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ </b>

<b>1. Khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng1</b>

+ Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(x1, y1) và B(x2, y2) thì:

2
1
2
2
1

2 x ) (y y )

(x

AB   

+ Trong hệ tọa độ Oxyz, cho A(x1, y1, z1) và B(x2, y2, z2) thì:

2
1
2
2
1
2
2
1

2 x ) (y y ) (z z )

(x

AB     

<b>2. Định lý sin và định lý cos trong tam giác </b>

Cho tam giác ABC với A, B, C lần lƣợt là các góc tƣơng ứng trong tam giác.
Đặt: a = BC, b = AC, c = AB (hình vẽ):

<i>+ Định lý sin: </i>

2R
C
sin

c
B
sin

b
A

sin

a _ _ _

(R là bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác)

<i>+ Định lý cosin2</i>

<i>: </i>

cosC
.
2ab
b

a
c

cosB
.
2ac
c

a
b

cosA
.
2bc
c

b
a

2
2

2

2
2
2

2
2
2













<b>3. Các phép toán đối với véctơ </b>

<i> Phép cộng hai véctơ3</i>

<i>: </i>

Cho hai véctơ a và b thì véctơ

b
a

c  đƣợc xác định theo quy tắc
đƣờng chéo hình bình hành.

Hoặc xác định theo quy tắc tam giác:

<i> Phép trừ hai véctơ: </i>ab a(b)

1_{Áp dụng cho bài 1.5, chƣơng 1 – “Động học chất điểm”}

2_{Áp dụng cho bài 1.7, chƣơng 1 – “Động học chất điểm”}

3_{Phép cộng các véctơ dụng cho các bài toán: cộng vận tốc, cộng gia tốc, tổng hợp lực,…}

A

B _a C

b
c

a

b

c

b

c

</div>
<span class='text_page_counter'>(175)</span><div class='page_container' data-page=175>

<i> Tích vơ hướng của hai véctơ: </i>

Tích vơ hƣớng của hai véctơ a và b là một số c sao cho:

)
b
,
a
(
cos
|
b
|
.
|
a
|
b
.
a
c 

(với |a| và |b| lần lƣợt là độ lớn của véctơ a và véctơ b)

Điều kiện vng góc: a ba.b0

<i> Tích có hướng của hai véctơ: </i>

Tích có hƣớng của hai véctơ a và b là một véctơ c:

Ký hiệu: c[ab]

 Độ lớn: c|a|.|b|sin(a,b)

 Điểm đặt: tùy từng trƣờng hợp cụ thể

 Phƣơng nằm trên đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng chứa cả a và b
 Chiều sao cho theo thứ tự a , b, c tạo thành một tam diện thuận.

Để xác định chiều của c ta có nhiều cách khác nhau. Nếu sử dụng quy tắc bàn
tay phải thì đơi khi gặp khó khăn do phƣơng của c là bất kỳ trong không gian, gây
lúng túng ở cách đặt tay. Ở đây mô tả cách xác định chiều của c theo quy tắc vặn đinh
ốc, ƣu điểm là dễ tƣởng tƣợng.

Trƣớc hết, ta cần quy ƣớc: nếu quay đinh ốc cùng chiều kim đồng hồ (hƣớng
nhìn từ đầu to đến đầu nhỏ của đinh ốc) thì đinh ốc chuyển động tịnh tiến về phía
trƣớc và ngƣợc lại (hình vẽ).

(mũi tên cong chỉ chiều quay và mũi tên thẳng chỉ chiều tịnh tiến của đinh ốc)

Để xác định chiều của véctơ c ta dịch gốc của hai véctơ a và b lại điểm đặt O
của véctơ c rồi thực hiện theo các bƣớc sau:

a

b

a

b



</div>
<span class='text_page_counter'>(176)</span><div class='page_container' data-page=176>

1) Đặt đầu nhỏ của đinh ốc vào điểm O sao cho đinh ốc vng góc với mặt
phẳng chứa cả a và b.

2) Quay đinh ốc sao cho chiều quay từ véctơ a đến véctơ b (tính theo góc nhỏ)

3) Khi đó, chiều tịnh tiến của đinh ốc chính là chiều của véctơ c. Trong hình vẽ

trên, khi nhìn từ đầu to đến đầu nhỏ, đinh ốc quay ngƣợc chiều kim đồng hồ
nên nó tịnh tiến đi lên, ngƣợc hƣớng với hƣớng nhìn.

Điều kiện cùng phƣơng của hai véctơ: a//b[ab]0

Một số ví dụ về tích có hƣớng:

<i> + Tích có hướng của ba véctơ1: </i>

Tích có hƣớng của ba véctơ a , b, c là véctơ d sao cho:

)
b
.
a
(
c

)
c
.
a
.(
b
]]
c
b
[
a
[

d    

Nếu ba véctơ a, b, c đơi một vng góc với nhau thì tích có hƣớng của chúng
bằng véctơ khơng: 0

<i> + Tích hỗn tạp của ba véctơ: </i>

Tích hỗn tạp của ba véctơ a, b, c là một số d sao cho:

]
b
a
.[
c
]
a
c

.[
b
]
c
b
.[
a

d     

Điều kiện đồng phẳng: a,b,c đồng phẳng a[bc]0

<b>4. Đạo hàm </b>

Đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 là giới hạn sau (nếu tồn tại):

Δx
Δf
lim
x

x

)
f(x
f(x)
lim

0
Δx

0

0
x

x 0 






Ký hiệu:

dx
df

hoặc f'_x

1

Áp dụng trong các trƣờng hợp: Xây dựng biểu thức xác định lực quán tính trong hệ quy chiếu phi quán tính
chuyển động quay đều, xây dựng công thức cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định,
tìm mối liên hệ giữa mômen động lƣợng của vật rắn và mômen của lực đối với trục quay.

x

y

z

O

Trong hệ trục tọa độ Oxyz ta có:

]
Oy
Ox
[
Oz 

Mối liên hệ giữa vận tốc dài và
vận tốc góc trong chuyển động
quay: v[ωr]

ω

v

</div>
<span class='text_page_counter'>(177)</span><div class='page_container' data-page=177>

<i>Ví dụ: </i>

+ Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đƣờng theo thời gian.
+ Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc theo thời gian.

+ Ngoại lực tác dụng lên chất điểm là đạo hàm của động lƣợng theo thời gian
<i> Đạo hàm riêng1_{(đối với hàm số 3 biến) tại điểm (x}</i>

<i>0, y0, z0): </i>

0
0
0
0
0
0
x
x
'
x
x
x
)
z
,
y
,
f(x
)
z
,
y
f(x,
lim
f
0
0 




0
0
0
0
0
0
y
y
'
y
y
y
)
z
,
y
,
f(x
)
z
y,
,
f(x
lim
f
0
0 




0
0
0
0
0
0
z
z
'
z
z
z
)
z
,
y
,
f(x
z)
,
y
,
f(x
lim
f
0
0 





Ví dụ: mối quan hệ giữa thế năng U và lực thế F

k
'
U
j
'
U
i
'
U
U
gradien

F  _x  _y  _z (với i, j,k là các véctơ đơn vị)

<b>5. Tích phân </b>

Tích phân của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a, b] là giới hạn sau2_:





 _

 n
1
i
i
n

b
a
)
f(x
n
a
b
lim
dx
f(x)

Công thức Newton – Leibnitz:

F(a)
F(b)

F(x)
dx

f(x) b_a

b

a








(với F(x) là một nguyên hàm của f(x))

<i>Ví dụ: </i>

+ Quãng đƣờng là tích phân của vận tốc theo thời gian: 



2
1
t
t
dt
v(t)
S

+ Vận tốc là tích phân của gia tốc theo thời gian: 



2
1
t
t
dt
a(t)
v

+ Công mà hệ nhiệt động thực hiện là tích phân của áp suất theo thể tích:



 2
1
V

V
dV
P(V)
A

(nếu q trình đẳng tích, V = const thì A = 0)

1<i>_{Đạo hàm riêng theo biến nào thì coi các biến khác là hằng số. Nội dung về đạo hàm riêng đƣợc học ở mơn Giải}</i>

<i>tích 2 – “Phép tính giải tích nhiều biến số”.</i>

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(178)</span><div class='page_container' data-page=178>

<b>6. Phƣơng trình vi phân </b>

<i> + Dạng phương trình vi phân cấp một, có biến phân ly1: </i>

dx
f(x)
dy
g(y) 

Cách giải: tích phân hai vế.

<i> + Dạng phương trình vi phân cấp hai thuần nhất2: </i>

0
x
ω

''

x  2  (với  là một số thực)

Giải phƣơng trình vi phân ta đƣợc nghiệm: x Asin(ωt), đây là phƣơng trình
của chất điểm có dao động điều hịa.

</div>
<span class='text_page_counter'>(179)</span><div class='page_container' data-page=179>

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO</b>

<b>1</b>

<i><b>1. Nguyễn Viết Kính – Bạch Thành Cơng – Phan Văn Thích, Vật lý học đại cương, </b></i>
tập 1 – Cơ học và Nhiệt học, NXB ĐHQGHN (Quyển 1 – Q1).

<i><b>2. Nguyễn Huy Sinh, Giáo trình Vật lý Cơ Nhiệt đại cương, tập 1 – Cơ học, NXB </b></i>
Giáo dục Việt Nam (Q2).

<i><b>3. Nguyễn Huy Sinh, Giáo trình Vật lý Cơ Nhiệt đại cương, tập 2 – Nhiệt động học và </b></i>
Vật lý phân tử, NXB Giáo dục Việt Nam (Q3).

<i><b>4. Nguyễn Huy Sinh, Giáo trình Nhiệt học, NXB Giáo dục (Q</b></i>₄).

<i><b>5. David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker, Cơ sở vật lý, tập 1 – Cơ học I </b></i>
(bản dịch), NXB Giáo dục Việt Nam (Q5).

<i><b>6. David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker, Cơ sở vật lý, tập 2 – Cơ học II </b></i>
(bản dịch), NXB Giáo dục Việt Nam (Q6).

<i><b>7. David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker, Cơ sở vật lý, tập 3 – Nhiệt học </b></i>
(bản dịch), NXB Giáo dục Việt Nam (Q7).

<i><b>8. Bạch Thành Cơng, Giáo trình Cơ học, NXB Giáo dục (Q</b></i>₈).

<i><b>9. Tơn Tích Ái, Cơ sở vật lý, tập 1 – Cơ học và Nhiệt học, NXB Văn hóa dân tộc (Q</b></i>₉).
<i><b>10. Lƣơng Dun Bình (chủ biên), Vật lý đại cương, tập 1 – Cơ Nhiệt, NXB Giáo dục </b></i>
Việt Nam (Q10).

<i><b>11. Lƣơng Duyên Bình (chủ biên), Bài tập Vật lý đại cương, tập 1 – Cơ Nhiệt, NXB </b></i>
Giáo dục Việt Nam (Q11).

<i><b>12. Nguyễn Ngọc Long (chủ biên), Vật lý học đại cương, tập 1, NXB ĐHQGHN </b></i>
(Q₁₂).

<i>Các môn học: (dạng file do cá nhân tổng hợp) </i>

<b> Hoàng Văn Trọng </b>

<i>1. Microsoft Excel 2010 </i>(sử dụng cho môn THCS 1)

<i>2. Những nguyên lý cơ bản của chủ nghĩa Mác – Lênin (phần 2) </i>

(dành cho sinh viên toàn trƣờng)

<i>3. Cơ – Nhiệt </i>(dành cho sinh viên ngoài khoa Vật lý)

<i>4. Điện – Quang </i>(dành cho sinh viên ngoài khoa Vật lý)

<i>5. Giải tích 2 </i>(dành cho sinh viên ngồi khoa Toán)

<i>6. Xác suất – Thống kê </i>(dành cho sinh viên ngồi khoa Tốn)

Link download2:

/>oken=100010462090255%3A2305272732%3A69&set=a.117475731944496.1073741829.100
010462090255&type=3

1

Các bạn nên tham khảo tối thiểu 2 giáo trình: Q2 và Q4 (của GS.TS. Nguyễn Huy Sinh)

2_{Copy link bên dƣới và dán vào trình duyệt web. Sau đó tìm tới ảnh của môn học cần tham khảo và download}

</div>

<!--links-->