Bài toán trị ban đầu. hàm của toán tử

33

Chơng V: Bài toán trị ban đầu.
Hàm của toán tử

5.1. Lời giải bài toán trị ban đầu. Hàm của toán tử
Phơng trình Schrodinger cho ta lời giải đối với bài toán trị
ban đầu: Biết trị ban đầu của hàm trạng thái
( )
0,
r
r

, hy xác định
( )
tr
,
r

.
Xét trờng hợp năng lợng của hệ không phụ thuộc thời gian.
Phơng trình Schrodinger có dạng
( )
tr
t
i
,
r
h

=
( )
trH
,

r

. (1)
Nhân 2 vế với
h
i

rồi chuyển vế
( )
tr
t
,
r



+
( )
tr
Hi
,

r
h

=0. (2)
Nhân trái với
1


U
=








h
Hit

exp
(3)
Ta đợc
( )
0,

exp =

tr
Hit
t
r
h

. (4)
Lấy tích phân theo
t
từ 0 đến
t
, suy ra
( )
tr
Hit
,

exp
r
h









-
( )
0,
r
r

=0. (5)
34
Nhân với
U

, ta đợc
( )
tr
,
r

=
( )
0,

exp
r
Hit
r
h










=
( )
0,

rU
r

. (6)
Toán tử
1

U
=








h
Hit

exp
là nghịch đảo của toán tử
U

=









h
Hit

exp
.
1


U
là hàm của toán tử
H

, cũng là toán tử. Nó đợc định nghĩa
theo chuỗi Taylo
1


U
=








h
Hit

exp
=

+1
h
Hit

+
2

!2
1








h
Hit
+ (7)
IUU

1
=

là toán tử đơn vị.
Giả sử trong nghiệm
( )
tr
,

r

nói trên ta chọn trạng thái ban đầu
là một hàm riêng của
H

. Gọi hàm đó là
n

:
( ) ( )
rr
nn
rr

=0,

nnn
EH

=

.
Khi đó, theo một định lí quen thuộc, do
n

là hàm riêng của
H

ứng với trị riêng
n
E
nên
n

cũng là hàm riêng của
( )
Hf

ứng với trị
riêng
( )
n
Ef
. Do đó
( ) ( )
r
Hit
tr
nn
r
h
r

=

exp,
=
( )
r
itE
n
n
r
h







exp
=
( )
re
n
ti
n
r

, (8)
trong đó
nn
E
=

h
.
( ) ( )
rr
nn
rr

=0,



( ) ( )
rdrArA
nn
t
rrr

=
=
0,

0,

*
0

=
( ) ( )
rdrAr
nn
rrr



*
;

( )
=
tr
n
,
r

( )
re
n
ti
n
r

( ) ( )
rdtrAtrA
nn
t
rrr

=
>
,

,
*
0

=
=
( ) ( )
rdrAree
nn
titi
nn
rrr

+



*
=

( ) ( )
rdrAr
nn
rrr



*
=
0
=
t
A
. (9)
35
Nh vậy kì vọng của bất cứ biến số động lực nào cũng là hằng
số nếu ở bất cứ thời điểm nào hệ cũng là trạng thái riêng của toán tử
năng lợng. Vì vậy, các trạng thái riêng của toán tử năng lợng đợc
gọi là các trạng thái dừng.

( )
=
tr
n
,
r

( )
re
n

ti
n
r



là trạng thái dừng.


5.2. Sự tiến triển của hàm trạng thái theo thời gian
Trớc hết ta hy nhắc lại bài toán trị ban đầu: Biết trị ban đầu
của hàm trạng thái
( )
0,
r
r

, hy xác định
( )
tr
,
r

.
Ta đ biết kết quả là
( )
tr
,
r

=
( )
0,

exp
r
Hit
r
h










.
Thực hiện khai triển

h
Hit

exp
=
1
-
h
Hit

-
2
2
2

!2
1
h
Ht
+
Cho hàm mũ này tác động lên một hàm riêng
n

của
H

, ta đợc
n
n
n

itEHit







=









hh
exp

exp
.
Xét bài toán hạt chuyển động trong hố thế 1 chiều.
Ban đầu, hạt ở trong một trạng thái riêng của của toán tử năng
lợng
H

của hệ
( ) ( )

xx
nn

=0,
.
ở thời điểm
t
sau đó
( ) ( )
x
Hit
tx
nn









=
h

exp,
=
( )
xe
n

ti
n



,
36
trong đó
nn
E
=

h
=
1
2
En
.
Trạng thái riêng phụ thuộc thời gian
( )
tx
n
,

của
H

là trạng thái
dừng.
Trị trung bình của bất cứ biến số động lực nào cũng không đổi

theo thời gian nếu tại mọi thời điểm hệ là trạng thái riêng của
H

.
Tính chất quan trọng của trạng thái dừng là: giá trị trung bình
của bất cứ biến số động lực nào (mà toán tử của nó không phụ thuộc
tờng minh vào thời gian) cũng là hằng số trong trạng thái dừng.
Ví dụ: Xét trạng thái riêng ứng với
5=
n

( )
=
tx
,
5

L
x
L
tEi

5
sin
225
exp
1
h
.
Trạng thái
5

dao động với tần số
h
1
25
E
. Cả phần thực và phần
ảo của
( )
tx
,
5

là sóng dừng. Trị trung bình của năng lợng trong
trạng thái này là hằng số, bằng
1

25
E
.
Bây giờ, giả sử
( )
0,
x

không phải là một trạng thái riêng của
H

.
Để xác định sự tiến triển theo thời gian của
( )
0,
x

, ta áp dụng
nguyên lí chồng chập và viết
( )
0,
x

dới dạng tổ hợp tuyến tính của
các trạng thái riêng của
H

:
( ) ( )

=
n
nn
xbx

0,
;
( ) ( )
0,
xxb
nn

=
.
Suy ra
( )
tx
,

=
( )

n
nn
xb
Hit

h

exp
=
( )
x
Hit
b
n
n
n











h

exp
=
=
( )
xeb
n
ti
n
n
n




;
37
trong đó
nn
E=

h
=
1
2
En
.
Nh vậy, mỗi biên độ thành phần
nn
b

dao động với tần số góc
riêng tơng ứng
n

.
Một ví dụ cụ thể: Trạng thái
( )
=
0,
x

( ) ( )
5
/sin2/2sin2
LxLx
L

+

là chồng chập của 2 trạng thái riêng
2

và
1

;
5
2
1
=

b
;
5
1
2
=
b
;
0=
n
b

( )
2,1n
.
Trạng thái của hệ tại
:0
>t

( )
tx
,

=
( ) ( )
5
/sin2/2sin2
12
LxeLxe
L

titi



+
.
Các nghiệm phụ thuộc thời gian này liên quan với các quan sát
thực nghiệm nh thế nào?
Ta viết lại
( ) ( ) ( )

=
n
nn
xtbtx

,
;
( )
tb
n
gồm cả thừa số phụ thuộc thời gian dạng mũ:
( )
tb
n
=
n
ti
be
n

.
Nếu đo năng lợng
E
tại
0>t
sẽ thu đợc những giá trị nào, với
xác suất bằng bao nhiêu?
Ta có
( )

=
n
nn
EtbE
2
;
( ) ( )
2
tbEP
nn
=

( )
5
4
1
=
EP

;
( )
5
1
2
=
EP
;
( )
0=
n
EP

( )
2,1
n
.