Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình drygas trong không gian tựa chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH
SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG
KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.54

Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm
Lớp: ĐHSTOAN15B
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, 6/2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU
ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH DRYGAS TRONG KHƠNG GIAN
TỰA CHUẨN
Mã số: SPD2018.02.54

Giảng viên hướng dẫn

Chủ nhiệm đề tài

TS. Nguyễn Văn Dũng

Phạm Thị Mai Thắm

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS. Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019


MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mở đầu
1

1

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong
và ngoài nước . . . . . .

2

Tính cấp thiết của đề tà

3

Mục tiêu nghiên cứu .

4

Cách tiếp cận . . . . . . .

5

Phương pháp nghiên c

6

Đối tượng và phạm vi n

7

Nội dung nghiên cứu .

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian tựa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2

Định lí điểm bất động tr

2 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong khơng
gian tựa chuẩn

2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong
khơng gian tựa chuẩn .

2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm
Drygas trong khơng gia
Kết luận
Phụ lục
ii


iii
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CỦA SINH VIÊN
1.

Thông tin chung:

Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của
phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
-

-

Mã số: SPD2018.02.54

-

Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm

-

Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019

2. Mục tiêu
Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của
phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
-

Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình
Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
-

3. Tính mới và sáng tạo
Đề tài hệ thống hoá và chi tiết hoá các kết quả từ một số bài báo
quốc tế nên tính mới trong khoa học khơng cao.
4. Kết quả nghiên cứu

Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa
chuẩn; thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định suy
rộng cho phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn; những kết quả
này là mở rộng những kết quả đã có trong tài liệu tham khảo chính.
-

Kết quả chính của đề tài đã gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu
khoa học năm 2018 - 2019 của Trường Đại học Đồng Tháp và đã được báo
cáo trong sinh hoạt chuyên môn của Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng.
-

5. Sản phẩm
Báo cáo tổng kết về thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy
rộng của phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
-

Bài viết gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường
Đại học Đồng Tháp năm học 2018-2019.
-


iv

Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi
ích mang lại của kết quả nghiên cứu
6.

Báo cáo tổng kết của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và
giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung
và những ai quan tâm đến tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm

Drygas trong khơng gian tựa chuẩn nói riêng. Qua đó, đề tài góp phần nâng
cao năng lực tư duy Toán học, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh
viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp.

SUMMARY
1. General information
Project

Title:

Establishing

conditions

for

the

generalized

hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces.
Code number: SPD2018.02.54
Coordinator: Pham Thi Mai Tham
Duration: from July, 2018 to June, 2019
2. Objectives:
- To establish and prove some results on the hyperstability of the
Drygas func-tion equation in quasi-normed spaces.
- To construct some illustrated examples for the obtained results.
3. Creativeness and innovativeness:

The topic of systematizing and detailing results from a number of
international articles so the novelty in science is not high.
4. Research results:
- Some notions and basic properties of space on quasi-nomred spaces
were pre-sented; Certain conditions for the generalized hyperstability of
Drygas functional equations in quasi-normed spaces were stated and
proved; Certain particular cases for the generalized hyperstability of Drygas
functional equations in quasi-normed spaces were deduced.
- The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scien-


vi

tific Research Conference of Dong Thap University. It was also presented in
the Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics.

5. Products:
-

Summary report on establishing conditions for the generalized

hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces.
-

The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific

Research Con-ference of Dong Thap University.
6.

Transfer alternatives, application institutions, impacts and

benefits of research results:
The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathemat-ics
Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers who are
interested the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasinormed spaces in particular. Then the report partially improves the math-ematical
competence, the quality of learning and researching activities of the stu-dents and
lecturers of Mathematics Teacher Education at Dong Thap University.


1

MỞ ĐẦU

1

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề
tài ở trong và ngoài nước
Hàm số f : R ! R được gọi là thỏa mãn phương trình hàm Drygas khi

và chỉ khi
f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y)
với mọi x;y 2 R. Lưu ý rằng nếu các hàm số f ;g : R ! R thỏa mãn phương
trình hàm Drygas thì f g cũng thỏa mãn phương trình hàm Drygas.

Năm 1987, Drygas [5] đã nghiên cứu phương trình và đưa ra một đặc
trưng từ khơng gian tựa tích trong. Sau đó, lời giải tổng qt của lớp
hàm Drygas được đưa ra bởi Ebanks và những cộng sự [7].
Tính ổn định của phương trình hàm Drygas đã được nghiên cứu bởi
nhiều tác giả theo những điều kiện khác nhau. Năm 2013, kết quả về tính

siêu ổn định của phương trình hàm Drygas đã đạt được bởi Piszcek and
Szczawinska [12]. Cụ thể, một kết quả về tính siêu ổn định đã xuất hiện lần
đầu tiên trong [3], nhưng thuật ngữ “siêu ổn định” được sử dụng lần đầu
trong [9]. Trong thời gian gần đây, trong bài báo [1] các tác giả đã sử dụng
định lí điểm bất động của Brzdek để chứng minh một số kết quả tổng quát
về tính siêu ổn định của hàm Drygas trong khơng gian định chuẩn.
Bên cạnh đó, khơng gian định chuẩn cũng đã được mở rộng thành không gian
tựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt. Hơn nữa nhiều mơ hình về khơng
gian tựa chuẩn đóng vai trị quan trọng trong Tốn học, Vật lí lí thuyết và được sự
quan tâm của nhiều tác giả trong thời gian gần đây. Trong bài báo [6], Dung


2

và Hang đã thiết lập một định lí điểm bất động trong không gian tựa
chuẩn và áp dụng vào nghiên cứu tính siêu ổn định của phương trình
hàm trong khơng gian tựa Banach.
Vấn đề được đặt ra là những kết quả về tính siêu ổn định trong bài
báo [1] có thể được thiết lập, chứng minh trong không gian tựa chuẩn và
được áp dụng cho những không gian không chuẩn hóa được.

2

Tính cấp thiết của đề tài
Những nhận định trong phần tổng quan, đặc biệt là những kĩ thuật được

trình bày trong bài báo [6], dẫn đến khả năng những kết quả về tính siêu
ổn định trong bài báo [1] có thể được thiết lập và chứng minh trong các
khơng gian tựa chuẩn. Từ đó, tính siêu ổn định của phương trình Drygas
có thể được áp dụng cho những khơng gian khơng chuẩn hóa được.

Việc nghiên cứu đề tài tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas sẽ
góp phần chi tiết hóa và làm phong phú thêm một số kết quả về tính siêu ổn định
suy rộng của phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn. Đề tài là tài liệu
tham khảo hữu ích cho sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học,
Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và những ai quan tâm đến phương trình
Drygas trong khơng gian tựa chuẩn nói riêng. Qua đó, đề tài góp phần nâng cao
năng lực tư duy, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên
ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp.

3

-

Mục tiêu nghiên cứu
Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của

phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn.


3
-

Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình

Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.

Cách tiếp cận

4

Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về tính siêu ổn định suy rộng trong và ngoài nước
liên đến đề tài, bằng cách tương tự hóa những kết quả đã có, đề xuất kết quả mới.

Phương pháp nghiên cứu

5

Đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với các thành viên
trong nhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

6

Đối tượng nghiên cứu là tính siêu ổn định suy rộng của phương trình
hàm Drygas. Phạm vi nghiên cứu là khơng gian tựa chuẩn.

Nội dung nghiên cứu

7

Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm:
-

Một số khái niệm và tính chất cơ bản của tính siêu ổn định suy rộng

của phương trình Drygas.
-

Một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong

khơng gian tựa chuẩn và một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian tựa chuẩn
Định nghĩa 1.1.1 ([8]). Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K,
k 1 và k:k : X X ! R+ là một hàm số sao cho với mọi x;y 2 X và mọi a 2 K,
1.

kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0.

2.

kaxk = jajkxk.

3.

kx + yk k(kxk+ kyk).

Khi đó
1.

k:k được gọi là tựa chuẩn trên X và (X;k:k;k) được gọi là không gian
tựa chuẩn.

2.

k:k được gọi là p-chuẩn trên X và không gian tựa chuẩn (X;k:k;k)
được gọi là không gian p-chuẩn nếu tồn tại 0 < p 1 sao cho
p

kx + yk

p

kxk + kyk

p

với mọi x;y 2 X.
3. Dãy fxngn được gọi là hội tụ đến x nếu lim kxn xk = 0, kí hiệu lim xn =
x.
n!¥

n!¥


5

4. Dãy f

x
!

5.

Không gian tựa chuẩn (X;k:k;k) được gọi là tựa Banach nếu mỗi dãy
Caychy là một dãy hội tụ.

6.

Không gian tựa chuẩn (X;k:k;k) được gọi là p-Banach nếu nó là một
khơng gian p-chuẩn và khơng gian tựa Banach.

Ví dụ sau minh họa cho khái niệm khơng gian tựa chuẩn.
p

Ví dụ 1.1.2 ([10], Ví dụ 2). Với 0 < p 1, ta có khơng gian Lebesgue L là
khơng gian tựa chuẩn với tựa chuẩn xác định bởi công thức sau
k f kp =

p

với mọi f 2 L .
Định nghĩa 1.1.3 ([4]). Giả sử X là một tập không rỗng, k 1 và d : X X !
R+ là một hàm số sao cho với mọi x;y;z 2 X,
1.

d(x;y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

2.

d(x;y) = d(y;x).

3.

d(x;z) k(d(x;y) + d(y;z)).

Khi đó
1. d được gọi là một b-metric trên X và (X;d;k) được gọi là một không
gian b-metric.
2. Dãy fxngn được gọi là hội tụ đến x trong (X;d;k) nếu lim d(x n;x) = 0, kí
n!¥

hiệu là lim xn = x.
3. Dãy f

n!¥

x
!


6
4.

Không gian (X;d;k) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy là một
dãy hội tụ.

Nhận xét 1.1.4. Lưu ý rằng, nếu (X;k:k;k) là khơng gian tựa chuẩn thì
hàm số d(x;y) = kx yk với mọi x, y 2 X là một b-metric trên X có cùng hệ
số k. Khi đó với mỗi khơng gian tựa chuẩn (X;k:k;k) thì hồn tồn được
hiểu là khơng gian b-metric (X;d;k).
Nhận xét 1.1.5. 1. Lớp các không gian b-metric tổng quát hơn lớp các
không gian metric.

2. Không gian b-metric là không gian metric khi k =1.
Ví dụ sau minh họa cho khái niệm khơng gian b-metric.
Ví dụ 1.1.6 ([2], Ví dụ 1.1). Tập hợp ‘p(R), 0 < p < 1 với
n

o

¥

p

‘p(R) := fxng R : å jxnj < ¥ n=1
1

p

R
cùng với hàm số d : ‘p( )
1

1

trong đó

.

x = fxng; y = fyng 2 ‘p(R) là không gian b-metric với hệ số k = 2 p

Chứng minh. Giả sử x = fxng;y = fyng;z = fzng 2 ‘p(R). Khi đó
d(x;y) = 0

¥
,

n=1

å
, åjxn

n

¥
n=1

,

x

jx1

(1.1)


7

p

yij 0, với mọi i = 1;2;::: nên đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ
khi xi yi = 0 với mọi i = 1;2;:::

Ta cũng có

=2
Vậy (‘p(R);d;k) là khơng gian b-metric với k = 2 p

1.2 Định lí điểm bất động trong khơng gian tựa Banach
Định lí sau chứng tỏ với mỗi không gian b-metric cho trước luôn tồn
tại metric tương đương với b-metric đã cho.


Định lí 1.2.1 ([11], Mệnh đề trang 4308). Giả sử (Y;d;k) là một không
gian b-metric, q = log2k 2 và
n

q

Dd(x;y) = inffåd (xi;xi+1) : x = x1;x2;:::;xn;xn+1 = y 2 X;n
i=1

1g

(1.2)


8

với mọi x;y 2 Y . Khi đó Dd là một metric trên Y thỏa mãn
1
4d

q

(x;y) Dd(x;y) d

với mọi x;y 2 Y . Đặc biệt, nếu d là một metric khi đó q = 1 và Dd = d.
Bằng cách áp dụng Định lí 1.2.1, các tác giả của [6] đã chứng minh
được kết quả sau, là kĩ thuật cơ bản trong [6], dùng để nghiên cứu tính
siêu ổn định trong không gian tựa Banach.
Hệ quả 1.2.2 ([6], Hệ quả 2.2). Cho U là một tập không rỗng, (Y;k:kk) là một

không gian tựa Banach và f1;:::; fk: U ! U và L1;:::Lk: U ! R+ là các ánh xạ,
U

U

trong đó k là một số nguyên dương. Giả sử rằng T : Y ! Y là một toán
tử thỏa mãn bất đẳng thức
k

kT x (x) T m(x)k

åLi(x)kx ( fi(x))

m( fi(x))k

i=1

U

U

với mọi x , m 2 Y và x 2 U, ở đây Y là họ các ánh xạ từ U vào Y .
Tồn tại hàm số e : U ! R+ và j : U ! Y thỏa mãn các điều kiện sao đây với

mỗi x 2 U,
kT j(x) j(x)k e(x)
Với mỗi x 2 U và q = log2k 2,
n

q

e (x) := å(L e) (x) < ¥

¥
i=1

trong đó
(Ld )(x) = åLi(x)d ( fi(x))

k
i=1

với mọi d : U ! R+ và x 2 U. Khi đó ta có, với mọi x 2 U, thì giới hạn
n

lim (T j)(x) = y(x)
x!¥


9

tồn tại và hàm số y : U ! Y được xác định là một điểm của T thỏa mãn
kj(x) y(x)k

q

4e (x)

với mọi x 2 U.
Với mỗi x 2 U, nếu
¥
n

e (x) (M å(L e)(x))

q

¥

n=1

đối với số thực dương M thì điểm bất động của T thỏa mãn (1.9) là duy nhất.


10

CHƯƠNG 2
TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH
HÀM DRYGAS TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Trong chương này, chúng tơi xét hàm số f : R ! R được gọi là thỏa

mãn phương trình hàm Drygas khi và chỉ khi
f (x + y) + f (x

y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y)

với mọi x;y 2 R. Lưu ý rằng nếu các hàm số f ;g : R ! R thỏa mãn phương
trình hàm Drygas thì f g cũng thỏa mãn phương trình hàm Drygas.
A

Chúng tơi trình bày một số quy ước Nn0 , B lần lượt biểu diễn tập các
số nguyên lớn hơn hoặc bằng n0, tập hợp của tất cả các hàm từ tập hợp
A 6= 0 đến tập hợp B 6= 0 và F, K là hai trường của số phức thực.

2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas
trong không gian tựa chuẩn
Trong mục này chúng tôi thiết lập và chứng minh các kết quả về tính siêu
ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.

Định lí 2.1.1. Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z;k:k;kZ) trên


11

trường F sao cho x 2 X thì x 2 X và (Y;k:k;kY ) là một không gian tựa
Banach trên trường K.
2.

Tồn tại n0 2 N sao cho nx 2 X với mọi x 2 X, n n0 và hàm số h : X !
R+ thỏa mãn

M0 := fn 2 N;n

2

n0 : kY (2s(n + 1) + s(n) + s( n) + s(2n + 1)) < 1g

là một tập vô hạn, trong đó
s(n) := infft 2 R+ : h(nx)

th(x) với mỗi x 2 Xg

và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n 2 N

3. Hàm f : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức
k f (x + y) + f (x
với mỗi x, y, x + y, x
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f (x + y) + f (x
với mọi x;y 2 X.
Chứng minh. Với x 2 X, m 2 M0 thay x bởi (m + 1)x và y bởi mx vào (2.2) ta có

(2.4)

h((m + 1)x) + h(mx)
k f ((m + 1)x + mx) + f ((m +

mx) 2 f ((m + 1)x)

1)x f (mx) f ( mx)k
= k2 f ((m + 1)x) + f (mx) + f ( mx)

f ((2m + 1)x) f (x)k:


12

Xác định ánh xạ Tm : Y

X

!Y

X

xác định bởi

(Tmx )(x) := 2x ((m + 1)x) + x (mx) + x ( mx) x ((2m + 1)x);x 2 X;x 2 Y

X

:

Theo định nghĩa của s(n) ta có với mọi x 2 X,
em(x) := h((m + 1)x) + h(mx) [s(m + 1) + s(m)]h(x):
Khi đó bất đẳng thức (2.4) có dạng kT m f (x) f (x)k em(x): Điều này
chứng tỏ (1.5) được thỏa mãn với j = f , e = em.
X

X

Xác định ánh xạ Lm : R + ! R + bởi
2

(Lmh)(x) := kY (2h((m + 1)x) + h(mx) + h( mx) + h((2m + 1)x))
X

với h 2 R +, x 2 X. Khi đó (1.7) được thỏa mãn với
k

= 4; f1(x) = (m + 1)x; f2(x) = mx
2

f3(x) = mx; f4(x) = (2m + 1)x;L1(x) = 2kY
2

và L2(x) = L3(x) = L4(x) = kY .
U

Hơn nữa, với mọi x , m 2 Y , x 2 X, theo Định nghĩa 1.1.1 về khơng
gian tựa chuẩn, ta có
kTmx (x) Tmm(x)k
= k2x ((m + 1)x) + x (mx) + x ( mx)

x ((2m + 1)x)

2m((m + 1)x) m(mx) m( mx) + m((2m + 1)x)k
2

2kY k(x
2

+kY k(x
4

=

åLi(x)k(x
i=1

m)( fi(x))k:


13

Bằng phép quy nạp tốn học, chúng tơi sẽ chỉ ra rằng với mọi x 2 X, n
n0,
m

2 M 0,
n

2n

L mem(x) kY [s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s( m)
n

+s(2m + 1)] h(x):
Thật vậy, với n = 0 ta có (2.6) tương đương với
em(x) [s(m + 1) + s(m)]h(x):
Bất đẳng thức này đúng do (2.5). Vậy (2.6) đúng với n = 0. Giả sử rằng

(2.6) đúng cho n = l, trong đó l 2 N. Với n = l + 1, ta có
Lm

l+1

l

em(x) = Lm(Lm em(x))

2 l

= 2k L

Y m

2 l

+k L

Y m

2l+2

kY

[s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s(

[2h((m + 1)x) + h(mx) + h( mx) + h((2m + 1)x)]

(2.5)

kY

2(l+1)

[s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s(

+s(2m + 1)]

l+1

h(x):

Điều này chỉ ra rằng (2.6) đúng với n = l + 1. Do đó (2.6) đúng với tất cả n 2 N.
Theo định nghĩa M0 và tổng của chuỗi cấp số nhân, với x 2 X và m 2 M0 thì
¥

å(Lnmem)q (x)

n=0
¥

å kYq 2n[s(m + 1) + s(m)]q [2s(m + 1) + s(m) + s(
n=0

+s(2m + 1)]

qn q

h (x)

=

1 k

m)

2q


Y


14

Từ (2.7) ta suy ra (1.6) đúng với
e (x) =
Do đó, theo Hệ quả 1.2.2, với mỗi m 2 M0 tồn tại điểm bất động Fm của
Tm, nói cách khác Fm thỏa mãn T Fm = Fm hay Fm : X ! Y thỏa mãn

Fm(x) = 2Fm((m + 1)x) + Fm(mx) + Fm( mx) Fm((2m + 1)x):
Hơn nữa, theo Hệ quả 1.2.2, ta cũng có

(2.8)

Theo (1.8), ta cũng có
lim T

n

f (x) = Fm(x):

(2.9)

m

n!¥

Từ (2.9) với x;y 2 X, ta có
n

n

n

lim (2T f (x) + T f (y) + T f (
m

n!¥

Tiếp theo chúng ta chứng minh
n

n

kTm f (x + y) + Tm f (x
2n

kY [2s(m + 1) + s(m) + s(
với mọi x, y, x + y, x
Giả sử rằng (2.11) đúng với n = r 2 N với mọi x, y, x + y, x

y 2 X. Khi

đó ta có
r+1

kTm

r+1

Tm

r+1

f (x + y) + Tm
f ( y)k

r+1

f (x y) 2Tm

r+1

f (x) Tm

f (y)


r

r

r

r

= kTmTm f (x + y) + TmTm f (x y) 2TmTm f (x) TmTm f (y)
r

TmTm f ( y)k


15

r

r

r

= k2Tm f ((m + 1)(x + y)) + Tm f (m(x + y)) + Tm f ( m(x + y))
T

r

f ((2m + 1)(x

r

m

r

+T f ( m(x y)) T f ((2m + 1)(x y))
r

r

r

m

r

2(2T f ((m + 1)x) + T f (mx) + T f ( mx) T f ((2m + 1)x))
r

r

r

m

r

2T f ((m + 1)y) T f (my) T f ( my) + T f ((2m + 1)y)
r

r

m

r

2T f ((m + 1)( y)) T f (m( y)) T f ( m( y))

Y

h

m

r
+Tm f ((2m + 1)( y))k

k

2

k

2T

r

r
m

2(2Tm f ((m + 1)x)) 2Tm f ((m + 1)y) 2Tm f ((m + 1)( y))k
r

r

r

r

+kTm f (m(x + y)) + Tm f (m(x y)) 2Tm f (mx) Tm f (my)
r

Tm f (m( y))k
r

r

m

m

+kT f ( m(x + y)) + T f ( m(x

r

y))

r

2T f ( mx)
m

r

+kTm f ((2m + 1)(x + y)) + Tm f ((2m + 1)(x

y))

r
r
r
2Tm f ((2m + 1)x) Tm f ((2m + 1)y) Tm f ((2m + 1)( y))k
2

2r

i

r

kY kY [2s(m + 1) + s(m) + s( m) + s(2m + 1)] [2h((m + 1)x)
+2h((m + 1)y) + h(mx) + h(my) + h( mx) + h( my)
+h((2m + 1)x) + h((2m + 1)y)]
(2.5)

2(r+1)

kY

[2s(m + 1) + s(m) + s( m) + s(2m + 1)]

r+1

(h(x) + h(y)):

Suy ra (2.11) đúng với n = r + 1. Điều này suy ra rằng (2.11) đúng với mọi n 2 N.

Đặt d(x;y) = kx yk với mọi x;y 2 Y . Theo Định lí 1.2.1 khi đó (Y;d;kY )
là một khơng gian b-metric. Từ (2.11) và (1.3) trong Định lí 1.2.1, ta có