ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN + đáp án

PHÒNG GD - ĐT HUYỆN ĐẮK SONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2008- 2009
MÔN TOÁN KHỐI 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1 (4đ)
Chứng minh định lý ”đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của
dây đó
”
Câu 2(3đ):Giải phương trình

53
−
x
+
32
−
x
=
2
+
x
Câu 3(5đ)Cho n là số nguyên dươngvà a
1,
a
2
,….a
n
là

các số dương thỏa mãn điều kiện






=+++
=+++
2.......
2
1
.....
11
21
21
aaa
aaa
n
n
a)Chứng tỏ (a
i
+
a
i
1
)
≥
2
b)Tính n và a
1,
a

2,…………….
,a
n ,
Câu4(3đ)Cho biẻu thức M = x
2
+ y
2
+2z
2
+t
2
với x, y, z, t là những số tự nhiên
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t biết rằng:




=++
=+−
10143
21
2
2
2
2
2
2
z
y
x

t
y
x

Câu5(5đ) Cho đường tròn (0) , đường kính AB và tiếp tuyến xAy. Trên tia Ay lấy một
điểm M. Kẻ dây BN song song với OM.
a) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (0)
b) Điểm D cố định nằm trong đường tròn (0) (D khác O). Xác định vị trí của điểm N
sao cho góc DNO nhất.
-Hết-
ĐÁP ÁN TÓAN 9
Câu 1(4đ):xét đường tròn (o) AB là đường kính
TH1: dây CD là đường kính thì AB vuông gó c với CD tại trung điểm O (1,5đ)
TH2: Dây CDkhông phải là đường kính
AB vuông góc với CD tại H,
=∆
CHO
DHO
∆
suy ra CH=DH (2,5)
Câu2:

(3đ)

Điều kiện : x
≥
3
5
(0,5đ)

Pt
⇔
3x- 5+2x-3+2
)32)(53(
−−
xx
= x +2

⇔
)32).(53(
−−
xx
= 5- 2x

⇔
5-2x
≥
0 và (3x-5)(2x-3)= 25-20x +4x

⇔
x=2 hoặc x=
2
5
−
(loại vì không thỏa mãn đk x
≥
3
5
)
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 (2,5đ)

Câu3:(5đ)
a) a
i
+
ai
1
2
≥
⇔
a
i
2
+1
≥
2a
i

⇔
(a
i
– 1)
2
≥
0 luôn đúng (1đ)
b) Cộng từng vế hai pt của hệ ta được
(a
1
+
a
1

1
)+( a
2

a
2
1
)+…+(a
n
+
a
n
1
) = 4
Áp dụng kết quả câu a) ta có:
(a
1
+
a
1
1
)+( a
2

a
2
1
)+…+(a
n
+

a
n
1
)
≥
2n
⇒
4
≥
2n suy ra n
≤
2 (2đ)
Với n= 1 ta có :





=
=
2
2
1
1
1
a
a
vô nghiệm
Với n =2 ta có:






=+
=+
2
2
11
21
21
aa
aa
Giải hệ phương trình trên tìm được a
1
= a
2 =
1 (2đ)
Câu 4(3đ): Cộng từng vế hai pt của hệ ta được:
2.(x
2
+y
2
+2z
2+
+t
2
) – t
2
=122

Suy ra .(x
2
+y
2
+2z
2+
+t
2
)= 61+
≥
2
2
t
61
Vậy minM= 61 xảy ra khi t=0 (1,5)
Thay t=1 vào pt thứ nhất ta được x
2
- y
2
= 21
Xảy ra hai trường hợp : 1.
{
1
21
=−
=+
yx
yx
suy ra x=11, y=10 loại vì không thỏa mãn pt thứ hai
2.

{
3
7
=−
=+
yx
yx
suy ra x=5,y=2 thay vào pt (2) được z=4
Vậy minM=61 và x=5,y=2,z=4 (1,5đ)
Câu 5 (5đ):a)Chứng minhMN là tiếp tuyến của đường tròn (2đ)
b)Kẻ OH
⊥
DN tại H ,góc DNO luôn nhọn và OH
≤
OD
OH= R.SinDNO,do đó <DNO lớn nhất khi SinDNO lớn nhất

⇔
OH lớn nhất

⇔
OH=OD
⇔
H
≡
D
Vậy khi DN vuông góc với OD tại D thì góc DNO lớn nhất (3đ)