❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▲đ✐ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮ − ◆❣ỉ ❚❤à ◆❤➣
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
❈➜✉ tró❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❝✉è♥ t✉②➸♥ t➟♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧ỵ♣
5−6
♥➔② ❝ơ♥❣ t❤➸ ❤✐➺♥ rã ❝ỉ♥❣ ♥❣❤➺
❣✐→♦ ❞ư❝ ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥✿
−
−
❨➯✉ ❝➛✉ 1✿
❨➯✉ ❝➛✉ 2✿
❤đ♣
v..v . . .
❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tø ❝ì ❜↔♥ ✤➳♥ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ✈➔ →♣ ❞ư♥❣✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧✉➟♥✳ ❈→❝ ✤➲ t➔✐ ỵ
q t tờ
ỳ ự ❞ư♥❣ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✳
❱ỵ✐ t➔✐ ❧✐➺✉ t♦→♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♠↕♥❤ ❞↕♥ tr✉②➲♥ t↔✐ ♠ët ♥✐➲♠ t✐♥ t➙♠ t ợ
ồ ữ t ừ
ú t õ ởt tữợ ❝ỉ♥❣ t➙♠ ❜➻♥❤ ✤➥♥❣ ✈ỵ✐✿
−
−
−
−
❈→❝ ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤✳
❈→❝ t❤➛② ❝ỉ
Pử ồ s
ỳ ỡ q q ỵ ử
❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ tr↔ ❧í✐ ❝â ❝➠♥ ❝ù r➡♥❣ ♠➻♥❤ ✤➣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ư✳
❈→❝ ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤✿
−
◆❣÷í✐ ❣✐→♦ ✈✐➯♥✿
P❤ư ❤✉②♥❤✿
❈♦♥ ✤➣ ❧➔♠ ❤➳t ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔②
−
❝♦♥ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ♠➻♥❤
t➜t ❝↔ ❝→✐ ❣➻ t❤➯♠ ❧➔ ❝è ❣➢♥❣ ✈➔ ♥é ❧ü❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝♦♥✦
❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ tr✉②➲♥ t↔✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤♦ tr➫✳ ❑➳t q✉↔ ❧➔
✈✐➺❝ tr✉②➲♥ ✤↕t trå♥ ✈➭♥ ❤✐➺✉ q✉↔ t✉②➸♥ t➟♣ ♥➔②✳
❳♦♥❣ ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔② tæ✐ ❛♥ t➙♠✱ ❝♦♥ tæ✐ õ ừ tự t tữ ữợ
t ❈♦♥ ❝â t❤➸ ❧✉②➺♥ t➟♣ ❦➽ ♥➠♥❣ t❤✐ ❝û ❝↕♥❤ tr❛♥❤✱ ❝♦♥ ❝â t❤➸ ❤å❝ ✈÷đt ❝➜♣✦ ❚➜t ❝↔ ❤♦➔♥
t♦➔♥ ú tổ ừ ở
ỡ q q ỵ
ú tổ t ử
õ ởt tữợ ữ tr ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❣✐↔ t÷ð♥❣ ♠➔
❝õ❛ ♠ët ◗✉è❝ ●✐❛✳
❧➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➯♠ t❤ü❝ ❤➔♥❤
❙ü t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ❝õ❛ ❤å ❝â t❤➸ ❣â✐ ❣å♥ tr♦♥❣ ♠ët ❜ë s→❝❤✿ ❝❤➜t ❧÷đ♥❣✱ ✤➛② ✤õ✱ ❝ỉ ✤å♥❣ ✱ ✈ø❛ ♣❤↔✐
✈➲ sè ❧÷đ♥❣✳ ❇ë s→❝❤ ♥➔② ❧➔ t❤➔♥❤ q✉↔ ❝õ❛ ♠ët ✤ë✐ ♥❣ô ❜→❝ ❤å❝ ❣✐ä✐ ❝❤✉②➯♥ ♠ỉ♥ ✈➔ ❜➟❝ t❤➛②
✈➲ s÷ ♣❤↕♠✳
❱➔ ✤✐➸♠ ✤➦❝ ❜✐➺t t✉②➺t ✈í✐ ❧➔ ❦❤✐ tê ❝❤ù❝ ❝→❝ ❝✉ë❝ t❤✐ q✉❛♥ trå♥❣ t➛♠ ①➣ ❤ë✐✱ ❤å ❝❤➾ ❝➛♥ q✉②➳t
✤à♥❤ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t❤✐ ♥➔♦ tr♦♥❣ t✉②➸♥ t➟♣ s➩ ❧➔ ✤➲ ❝❤➼♥❤ t❤ù❝✳ ❚➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ✤➲✉ ❝â ❝➙✉ tr↔
❧í✐ ❦❤→❝❤ q✉❛♥ ❝ỉ♥❣ ❜➡♥❣ ✈➔ s→♥❣ tä✳
✣â ❧➔ ❝→❝❤ ♠↕♥❣ ✈➲ ❣✐→♦ ❞ư❝✳
Þ ❦✐➳♥ ①✐♥ ❝❤✉②➸♥ ✈➲✿
s✐❣♠❛t❤s❣r♦✉♣❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠
✣✐➺♥ t❤♦↕✐✿ ✵✶✻✸✸✼✹✾✶✺✶
▼Ư❈ ▲Ư❈
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
▼ư❝ ❧ư❝
✶ ❙è tü ♥❤✐➯♥
✷ ❙è ♥❣✉②➯♥
✸ P❤➙♥ sè
✹ ❙è ❤å❝
✺ ❇➔✐ t♦→♥ t➾ ❧➺✱ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉✱ sè ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥
✷
✻
✾
✷✵
✷✷
✺✳✶
✣↕✐ ❧÷đ♥❣ t➾ ❧➺ t❤✉➟♥✱ t➾ ❧➺ ♥❣❤à❝❤✱ t➾ ❧➺ ❦➨♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✷
✺✳✷
❙è ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ t♦→♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✹
✺✳✸
▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♥ ❤➻♥❤
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✺
✻ ❍➻♥❤ ❤å❝
✷✼
✻✳✶
❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✼
✻✳✷
❚➼♥❤ ❣â❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹✶
✻✳✸
❑❤è✐ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣
✹✻
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✼ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s✉② ❧✉➟♥
✼✳✶
❚ê ❤đ♣✱ ❝❤➾♥❤ ❤đ♣ ✤ì♥ ❣✐↔♥
✼✳✷
❇✐ ✤ä ❜✐ ①❛♥❤
✹✼
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹✼
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹✾
✼✳✸
◆❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧♦❣✐❝ ✲ ✤è✐ t❤♦↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỗ
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✺
✼✳✻
❍➻♥❤ ❤å❝ tê ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✺
✼✳✼
❚rá ❝❤ì✐ ✲ ●❛♠❡s
✺✼
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽ ▼ët sè ❞↕♥❣ t♦→♥ ❦❤→❝
✺✽
✶
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶ ❙è tü ♥❤✐➯♥
✶✳
D = {0; 1; 2; 3; · · · ; 20}
❈❤♦ t➟♣ ❤ñ♣
❛✮ ❱✐➳t t➟♣ ❤ñ♣
❜✮ ❚➟♣ ❤ñ♣
D
2✮✳
✷✳
2✮✳
E
❚➟♣ ❤ñ♣
❞✮ ❱✐➳t t➟♣ ❤ñ♣
❝❤♦
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤➾ r❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♥â✳
❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tû❄
❝✮ ❱✐➳t t➟♣ ❤ñ♣
❝❤♦
D
✳
F
❚➟♣ ❤ñ♣
D
❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❧➔ sè ❝❤➤♥ ❝õ❛
E
❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❧➔ sè ❧➫ ❝õ❛
F
✭sè ❝❤➤♥ ❧➔ sè ❝❤✐❛ ❤➳t
❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tû❄
D
✭sè ❧➫ ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t
❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tû❄
❚r♦♥❣ ♠ët ❧ỵ♣ ❤å❝✱ ♠é✐ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➲✉ ❤å❝ t✐➳♥❣ ❆♥❤ ❤♦➦❝ t✐➳♥❣ P❤→♣✳ ❈â
❆♥❤✱
27
♥❣÷í✐ ❤å❝ t✐➳♥❣ P❤→♣✱ ❝á♥
18
25 ♥❣÷í✐ ❤å❝ t✐➳♥❣
♥❣÷í✐ ❤å❝ ❝↔ ❤❛✐ t❤ù t✐➳♥❣✳ ❍ä✐ ❧ỵ♣ ❤å❝ ✤â ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉
❤å❝ s✐♥❤❄
✸✳
❈❤♦ ♠ët sè ❝â
✹✳
◗✉②➸♥ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥
✺✳
❱ỵ✐
3 ❝❤ú sè ❧➔ abc ✭a, b, c ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ❦❤→❝ 0✮✳ ◆➳✉ ✤ê✐ ❝❤é ❝→❝ ❝❤ú sè ❝❤♦ ♥❤❛✉
3 ❝❤ú sè ♥❤÷ ✈➟② ✭❦➸ ❝↔ sè ❜❛♥ ✤➛✉✮❄
t❛ ✤÷đ❝ ♠ët sè ♠ỵ✐✳ ❍ä✐ ❝â t➜t ❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❝â
6
t➟♣ ♠ët ❝â
132
tr❛♥❣✳ ❍❛✐ tr❛♥❣ ✤➛✉ ❦❤æ♥❣ ✤→♥❤ sè✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐
❞ò♥❣ t➜t ❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝❤ú sè ✤➸ ✤→♥❤ sè ❝→❝ tr❛♥❣ ❝õ❛ q✉②➸♥ s→❝❤ ♥➔②❄
9
q✉❡ ❞✐➯♠ ❤➣② s➢♣ ①➳♣ t❤➔♥❤ ♠ët sè ▲❛ ▼➣✿
❛✮ ❈â ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳
✻✳
✼✳
❜✮ ❈â ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳
❱✐➳t ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ s❛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➺t ❦➯ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✿
❛✮ ❚➟♣ ❤đ♣
A
❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ① ♠➔
x − 2 = 14✳
❜✮ ❚➟♣ ❤ñ♣
B
❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ① ♠➔
x + 5 = 5✳
❝✮ ❚➟♣ ❤đ♣
C
❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ✈÷đt q✉→
100✳
A ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 3 ✈➔ ♥❤ä ❤ì♥ 30❀ B
❤➳t ❝❤♦ 6 ✈➔ ♥❤ä ❤ì♥ 30❀ C ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝❤✐❛ ❤➳t
❈❤♦
❝❤✐❛
❛✮ ❱✐➳t ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣
A, B, C
❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥
❝❤♦
9
✈➔ ♥❤ä ❤ì♥
30✳
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➺t ❦➯ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â✳
❜✮ ❳→❝ ✤à♥❤ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♠é✐ t➟♣ ❤đ♣✳
✽✳
❝✮ ❉ị♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉
⊂
✤➸ t❤➸ ❤✐➺♥ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â✳
❚➻♠ ❤❛✐ sè ❜✐➳t tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
176❀
♠é✐ sè ✤➲✉ ❝â ❤❛✐ ❝❤ú sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ sè ♥➔② ❧➔ sè
❦✐❛ ✈✐➳t t❤❡♦ t❤ù tü ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳
✾✳
❚➻♠ ❝❤ú sè t➟♥ ❝ị♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ sè s❛✉✿
✶✵✳
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335
❈❤♦
S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100✳
❛✮ ❚ê♥❣ tr➯♥ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❤↕♥❣❄
❜✮ ❚➻♠ sè ❤↕♥❣ t❤ù
❝✮ ❚➼♥❤
22✳
S✳
✷
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✶✳
❚➼♥❤ tê♥❣✿
❛✮
✶✷✳
23476893 + 542771678
❀
❜✮
❚➼♥❤ ♥❤❛♥❤ ❝→❝ tê♥❣ s❛✉✿
❛✮
24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31
❜✮
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + · · · + 100✳
✶✸✳
(102 + 112 + 122 ) : (132 + 142 )❀
❜✮
9! − 8! − 7! · 82 ✳
❱✐➳t ❝→❝ t➼❝❤ ❤♦➦❝ t❤÷ì♥❣ s❛✉ ữợ ụ tứ ừ ởt số
25 Ã 84
A = 199 · 201
❜✮
C = 35 · 53 − 18
✈➔
6255 : 257 ❀
B = 200 · 200✳
✈➔
D = 35 + 53 · 34✳
19920
✈➔
200315 ❀
❈❤♦
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 ✳
❚➻♠
x
(x + 74) − 318 = 200❀
❜✮
3636 : (12x − 91) = 36❀
❝✮
(x : 23 + 45) · 67 = 8911✳
❚➻♠
❜✮
❍➣② s♦ s→♥❤
❜✐➳t✿
❛✮
✶✾✳
❝✮
❙♦ s→♥❤ ❝→❝ sè s❛✉✱ sè ♥➔♦ ❧ỵ♥ ❤ì♥❄
❛✮
✶✼✳
✶✽✳
256 · 1253 ❀
❑❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ❣✐→ trà ❝ö t❤➸✱ ❤➣② s♦ s→♥❤ ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿
❛✮
✶✻✳
❀
❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❜✐➸✉ t❤ù❝✿
❛✮
✶✹✳
32456 + 97685 + 238947✳
x∈N
❜✐➳t✿
❛✮
x10 = 1x ❀
❜✮
x10 = x❀
❝✮
(2x − 15)5 = (2x − 15)3 ❀
❞✮
2x − 15 = 17❀
❡✮
(7x − 11)3 = 25 · 52 + 200✳
✸
339
S
✈➔
✈ỵ✐
1121 ✳
5.28 ✳
❞✮
123 · 33 ✳
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✷✵✳
❚➻♠
❛✮
✷✶✳
x
❜✐➳t✿
(19x + 2.52 ) : 14 = (13 − 8)2 − 42 ❀
❚➻♠
x
(19x + 2 · 52 ) : 14 = (13 − 8)2 − 42 ❀
❜✮
2 · 3x = 10 · 312 + 8 · 274 .
❚➻♠
❛✮
✷✸✳
✷✹✳
❚ø
7✳
S = 1 + 31 + 32 + 33 + · · · + 330 .
sè t➟♥ ❝ò♥❣ ❝õ❛ S ✱ tø ✤â s✉② r❛ S
10
❜✮
39 · (x − 5) = 39✳
❜✐➳t ✿
❚➼❝❤ ❝→❝ sè ❧➫ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝â t➟♥ ❝ò♥❣ ❧➔
❚➻♠ ❝❤ú
✷✺✳
x✱
(x − 78) · 26 = 0❀
❈❤♦
2.3x = 10.312 + 8.274 ✳
❜✐➳t✿
❛✮
✷✷✳
❜✮
❝❤ú sè✿
0; 1; 2; ...; 9
❍ä✐ t➼❝❤ ✤â ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤ø❛ sè❄
❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳
5
❤➣② t
số õ
2
ỳ số rỗ ở ú
❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ tê♥❣✳
❜✮ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ tê♥❣✳
✷✻✳
▼ët t❤ò♥❣ ❝â
✷✼✳
❚r♦♥❣ ❝→❝ sè s❛✉✱ sè ♥➔♦ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
16
❧➼t✳ ❍➣② ❞ò♥❣ ♠ët ❜➻♥❤
7
❧➼t ✈➔ ♠ët ❜➻♥❤
3
4❀
❝❤♦
❧➼t ✤➸ ❝❤✐❛
16
❧➼t t❤➔♥❤ ❤❛✐
♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
2❀
❝❤♦
8❀
❝❤♦
❝❤♦
5❀
25❀
❝❤♦
125❄
1010; 1076; 1984; 2782; 3452; 5341; 6375; 7800.
✷✽✳
❱ỵ✐ ❝ị♥❣ ❝↔
4
❝❤ú sè
2; 5; 6; 7✱
✈✐➳t t➜t ❝↔ ❝→❝ sè✿
❛✮ ❈❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
4❀
❜✮ ❈❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
8❀
❝✮ ❈❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
25❀
❞✮ ❈❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
125✳
✷✾✳
✸✵✳
❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝â ❜❛ ❝❤ú sè ✈➔ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
❇✐➳t r➡♥❣
❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣
A = 717 + 17 · 3 − 1 ❧➔ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t
B = 718 + 18 · 3 − 1 ❝ô♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 9
❝❤♦
❝❤♦
n✱
♥➳✉
7n + 3n − 1
❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
9✳
❈â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✤➸
❦❤ỉ♥❣❄
❈❤ó þ✿ ❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥✿
❱ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥
3❄
9
t❤➻
7n+1 + 3(n + 1) − 1
❝ô♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t
9✳
✭▲♦↕✐ ❜➔✐ t➟♣ ♥➔② ❝❤✉➞♥ ❜à ❝❤♦ ❤å❝ s q ợ ữỡ q t ồ
❈❤♦
n
❧➔ ♠ët sè ❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
❜✮ ❈❤♦
p
❧➔ ♠ët sè tố ợ ỡ
3
3
ự r
ọ
p2 + 2003
n2
3
ữ
1
số ♥❣✉②➯♥ tè ❤❛② ❤ñ♣ sè❄
ộ số s õ ữợ
59
a
số tü ♥❤✐➯♥
a✱
✈➔
b
n+1
❈❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ❤❛✐ sè
a
✈➔
12✳
❚➻♠ sè ❝❤✐❛ ✈➔ t❤÷ì♥❣✳
p2 ≤ a
♠➔
✿
179
197
❜✐➳t t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
✈➔
❜✐➳t r➡♥❣
❚➻♠ ❤❛✐ sè tü ♥❤✐➯♥
3n + 4(n ∈ N)
156
❝❤✐❛ ❝❤♦
b (a > b)
❚➻♠ ❤❛✐ sè ❜✐➳t t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
❝â
a
8748
✈➔
BCN N
❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
210✳
❧➔ ❤❛✐ số tố ũ
ữ
BCN N
2940
217
12
280
336
ữ
10
ì
12
ì ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
2
❍❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè s✐♥❤ ✤ỉ✐ ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤ì♥ ❦➨♠ ♥❤❛✉
tè s✐♥❤ ✤ỉ✐ ♥❤ä ❤ì♥
✹✶✳
p
121
❚➻♠ ❤❛✐ sè tü ♥❤✐➯♥
sè ❞÷ ❧➔
90; 540; 3675✳
✣✐➲♥ ✈➔♦ ❜↔♥❣ s❛✉ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè
a
p
✸✺✳
✸✻✳
✸✼✳
✸✽✳
✸✾✳
✹✵✳
155❀
❚r♦♥❣ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè ❜à ❝❤✐❛ ❧➔
a
27✳
✤ì♥ ✈à✳ ❚➻♠ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥
50✳
▼ët ❝➠♥ ♣❤á♥❣ ❤➻♥❤ ỳ t tữợ
630 ì 480
ữủ t ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣✳
▼✉è♥ ❝❤♦ ❤❛✐ ❤➔♥❣ ❣↕❝❤ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ s→t ❤❛✐ ❜ù❝ t÷í♥❣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝➢t ①➨♥ t❤➻ ❦➼❝❤ tữợ
ợ t ừ t ❝➠♥ ♣❤á♥❣ ✤â ❝➛♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❣↕❝❤❄
✹✷✳
❈â
✹✸✳
✣➸ ✤→♥❤ sè tr❛♥❣ ♠ët ❝✉è♥ s→❝❤✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❞ị♥❣ t➜t ❝↔
✹✹✳
❍✐➺♥ ♥❛② tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ❜è ♠➭ ✈➔ ❝♦♥ ❧➔
64
♥❣÷í✐ ✤✐ t❤❛♠ q
12
ộ ỗ
7
ộ ỗ t số
ữớ ứ ừ số ỗ ọ ộ ❧♦↕✐ ❝â ♠➜② ①❡❄
♥❤✐➯✉ tr❛♥❣❄ ❈❤ú sè t❤ù
❝♦♥ ❤ì♥ t✉ê✐ ❝õ❛ ❜è ❧➔
8
1000
1992
❝❤ú sè✳ ❍ä✐ ❝✉è♥ s→❝❤ ❝â ❜❛♦
ð tr❛♥❣ ♥➔♦ ✈➔ ❧➔ ❝❤ú sè ❣➻❄
66✳
❙❛✉
10
♥➠♠ ♥ú❛ t❤➻ tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠➭
✈➔ t✉ê✐ ♠➭ ❜➡♥❣ ❜è♥ ❧➛♥ t✉ê✐ ❝♦♥✳ ❚➼♥❤ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❤✐➺♥
♥❛②✳
✹✺✳
❇❛ ❤å❝ s✐♥❤✱ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ♠✉❛ ♠ët ❧♦↕✐ ❜ót✳ ●✐→ ❜❛ ❧♦↕✐ ❧➛♥ ữủt
ởt t ỳ t
2000
1200
ỗ
1500
ỗ
ỗ t số t✐➲♥ ♣❤↔✐ tr↔ ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✱ ❤ä✐ ♠é✐ ❤å❝ s✐♥❤ ♠✉❛ ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❜ót❄
112m✱
rë♥❣
40m✳
◆❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ ❝❤✐❛ ♠↔♥❤ t t
ỳ ổ ổ trỗ r❛✉✳ ❍ä✐ ✈ỵ✐ ❝→❝❤ ❝❤✐❛ ♥➔♦ t❤➻ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ỉ ✈✉ỉ♥❣ ❧➔
❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ❜➡♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
✹✼✳
❚r♦♥❣ ♠ët ❜✉ê✐ ❧✐➯♥ ❤♦❛♥✱ ❜❛♥ tê ❝❤ù❝ ✤➣ ♠✉❛ t➜t ❝↔
840
❝→✐ ❜→♥❤✱
2352
❝→✐ ❦➭♦
560
q qỵt r ỗ qỵt số t t õ ộ
qỵt
ố ồ s ừ ởt trữớ ởt số ợ ỡ
ữớ t trù♥❣ tr♦♥❣ ♠ët rê✳ ◆➳✉ ✤➳♠ t❤❡♦ tø♥❣ ❝❤ư❝ ❝ơ♥❣ ữ t t ởt t
õ
12
4
5
900
ỗ ỳ số ộ ❧➛♥ ①➳♣ ❤➔♥❣
3✱
✤➲✉ ✈ø❛ ✤õ✱ ❦❤ỉ♥❣ t❤ø❛ ❛✐✳ ❍ä✐ tr÷í♥❣ ✤â ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤❄
q✉↔✮✱ ❤♦➦❝ ✤➳♠ t❤❡♦ tø♥❣
❜✐➳t r➡♥❣ sè trù♥❣ ❝❤÷❛ ✤➳♥
15
q✉↔ t❤➻ ❧➛♥ ♥➔♦ ❝ơ♥❣ ❝á♥ ❧↕✐
100✳
✺
1
q✉↔✳ ❚➼♥❤ sè trù♥❣ tr♦♥❣ rê✱
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✺✵✳
❈â
133
80
q✉②➸♥ ✈ð✱
❜ót ❜✐✱
170
t➟♣ ❣✐➜②✳ ◆❣÷í✐ t❛ ❝❤✐❛ ✈ð✱ ❜ót ❜✐✱ ❣✐➜② t❤➔♥❤ ❝→❝ ♣❤➛♥
t❤÷ð♥❣ ✤➲✉ ♥❤❛✉✱ ♠é✐ ♣❤➛♥ tữ ỗ ữ s ỏ t❤ø❛
8
❜ót ❜✐✱
✺✶✳
2
B
✺✷✳
AB
❞➔✐
110km✳
▲ó❝
7
❣✐í✱ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ✤✐ tø
A✳ ❍å ❣➦♣ ♥❤❛✉ ❧ó❝ 9 ❣✐í✳ ❇✐➳t
5km/h✳ ❚➼♥❤ ✈➟♥ tè❝ ♠é✐ ♥❣÷í✐✳
✤➸ ✤➳♥
t❤ù ❤❛✐ ❧➔
q✉②➸♥ ✈ð✱
t➟♣ ❣✐➜② ❦❤æ♥❣ ✤õ ❝❤✐❛ ✈➔♦ ❝→❝ ♣❤➛♥ t❤÷ð♥❣✳ ❚➼♥❤ ①❡♠ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ t❤÷ð♥❣❄
◗✉➣♥❣ ✤÷í♥❣
✤✐ tø
13
❝õ❛ tọ
7dm
B
ữớ tự
tố ữớ tự t ợ ❤ì♥ ✈➟♥ tè❝ ♥❣÷í✐
150dm✳
▼ët ❝♦♥ ❝❤â ✤✉ê✐ ♠ët ❝♦♥ t❤ä õ
A
ởt ữợ ừ õ
9dm
ởt ữợ
õ ởt ữợ t tọ ụ ởt ữợ ọ õ
ữợ ợ ờ tọ
ởt ♠❛♥❣ ♠ët rê trù♥❣ r❛ ❝❤đ✳ ❉å❝ ✤÷í♥❣ ❣➦♣ ♠ët ổ ỵ ử rờ trự
rỡ ố t tọ ỵ ố số trự ❤ä✐✿
−
❇➔ ❝❤♦ ❜✐➳t tr♦♥❣ rê ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ trù♥❣❄
❇➔ ❝â rê trù♥❣ tr↔ ❧í✐✿
−
❚ỉ✐ ❝❤➾ ♥❤ỵ r➡♥❣ sè trù♥❣ ✤â ❝❤✐❛ ❝❤♦
♠ët q✉↔✱ ♥❤÷♥❣ ❝❤✐❛ ❝❤♦
7
2✱
❝❤♦
3✱
❝❤♦
4✱
❝❤♦
5✱
❝❤♦
6✱
❧➛♥ ♥➔♦ ❝ơ♥❣ ❝á♥ t❤ø❛ r❛
t❤➻ ❦❤ỉ♥❣ t❤ø❛ q✉↔ ♥➔♦✳ ⑨✱ ♠➔ sè trù♥❣ ❝❤÷❛ ✤➳♥
400
q✉↔✳
❚➼♥❤ ①❡♠ tr♦♥❣ rê ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ trù♥❣❄
✺✹✳
❚➻♠ ❜❛ sè tü ♥❤✐➯♥
a, b, c
❦❤→❝
0
s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ t➼❝❤
140a, 180b, 200c
❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✈➔ ❝â ❣✐→ trà
♥❤ä ♥❤➜t✳
✷ ❙è ♥❣✉②➯♥
✺✺✳
❚➼♥❤ ♥❤❛♥❤✿
❛✮
−37 + 54 + (−70) + (−163) + 246❀
❜✮
−359 + 181 + (−123) + 350 + (−172)❀
❝✮
−69 + 53 + 46 + (−94) + (−14) + 78✳
✺✻✳
❚❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❤ñ♣ ❧➼✿
❛✮
(−125) · (+25) · (−32) · (−14)❀
❜✮
(−159)(+56) + (+43) · (−159) + (−159)❀
❝✮
(−31) · (+52) + (−26) · (−162)✳
✺✼✳
❚➻♠ ❝→❝ ❣✐→ trà t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ❝õ❛
a
✈➔
b✿
❛✮
a00 > −111❀
❜✮
−a99 > −600❀
❝✮
−cb3 < −cba❀
❞✮
−cab < −c85✳
✺✽✳
❚➼♥❤ tê♥❣✿
❛✮
S1 = a + |a|
❜✮
S2 = a + |a| + a + |a| + · · · + a
✈ỵ✐
a ∈ Z❀
✈ỵ✐
a
❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ➙♠ ✈➔ tê♥❣ ❝â
✻
101
sè ❤↕♥❣✳
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✺✾✳
❚r♦♥❣ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ♥➔♦ ✤ó♥❣✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ♥➔♦ s❛✐❄
|a| = |b|❀
❛✮ ◆➳✉
a=b
❜✮ ◆➳✉
|a| = |b|
t❤➻
a = b❀
❝✮ ◆➳✉
|a| < |b|
t❤➻
a < b✳
✻✵✳
t❤➻
❚➻♠ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣✿
❛✮ ❱ỵ✐ ♠å✐
a ∈ Z ⇒ a ∈ N❀
❜✮ ❱ỵ✐ ♠å✐
a ∈ Z ⇒ |a| > 0❀
❝✮ ❱ỵ✐ ♠å✐
a ∈ Z ⇒ |a| > a❀
❞✮ ❱ỵ✐ ♠å✐
a, b ∈ Z
✈➔
|a| = |b| ⇒ a = b❀
❡✮ ❱ỵ✐ ♠å✐
a, b ∈ Z
✈➔
|a| > |b| ⇒ a > b✳
✻✶✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥
a
t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
❛✮
|a| ≥ 0✿
●✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ t❤➻ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳
❜✮
|a| ≥ a✿
●✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❧✉ỉ♥ ❧✉ỉ♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ❝❤➼♥❤ ♥â✳
✻✷✳
❚➻♠
❛✮
✻✸✳
x
❜✐➳t✿
|x| + | − 5| = | − 37|
❚➻♠
x∈Z
❜✮
| − 6| · |x| = |54|✳
❜✐➳t✿
❛✮
|x| < 10❀
❝✮
|x| > −3❀
❜✮
|x| > 21❀
❞✮
|x| < −1✳
✻✹✳
✻✺✳
❈❤♦
|x| = 5; |y| = 11✳
❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥
x✱
❚➼♥❤
x + y✳
❜✐➳t✿
❛✮
x + 15 = 7❀
❜✮
x − 5 = −8❀
❝✮
12 + (4 − x) = −5❀
❞✮
|x| − 6 = 5✳
❡✮
|x − 3| = 4❀
❝✮
|x| + x = 0❀
✻✻✳
❚➻♠ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥
❛✮
|x| = x❀
x
s❛♦ ❝❤♦✿
❜✮
|x| > x❀
✼
❞✮
x + 5 = |x| − 5✳
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✻✼✳
❚➼♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❤ñ♣ ❧➼ ♥❤➜t✿
❛✮
✻✽✳
−2003 + (−21 + 75 + 2003)❀
❚➻♠
x
461 + (x − 45) = 387❀
❜✮
11 − (−53 + x) = 97❀
❝✮
−(x + 84) + 213 = −16✳
❚➻♠
x
1152 − (374 + 1152) + (−65 + 374)✳
❜✐➳t✿
❛✮
✻✾✳
❜✮
❜✐➳t✿
❛✮
−12(x − 5) + 7(3 − x) = 5❀
❜✮
30(x + 2) − 6(x − 5) − 24x = 100❀
❝✮
x(x + 3) = 0❀
❞✮
(x − 2)(5 − x) = 0❀
❡✮
(x − 1)(x2 + 1) = 0❀
❢✮
(x + 3)(x − 4) = 0❀
✼✵✳
❚➻♠
x∈Z
❜✐➳t✿
❛✮
|2x − 5| = 13❀
❜✮
|7x + 3| = 66❀
❝✮
|5x − 2| ≤ 13❀
❞✮
(x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0❀
❡✮
(x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11 ✭❞➣②
t✐➯♥ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧➔ x − 3 ✈➔ ❦➳t t❤ó❝ ❞➣② ❧➔ sè ✶✶✮✳
✼✶✳
❈❤♦
S = 1 − 3 + 32 − 33 + · · · + 398 − 399 ✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
❜✮ ❚➼♥❤
✼✷✳
S✱
S
❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛
tø ✤â s✉② r❛
❚r➯♥ trư❝ sè✱ ✤✐➸♠
A
3100
−20✳
❝❤✐❛ ❝❤♦
❝→❝❤ ❣è❝
2
4
❞÷
1✳
✤ì♥ ✈à ✈➲ ❜➯♥ tr→✐❀ ✤✐➸♠
❛✮ ✣✐➸♠
A
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ sè ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦❄
❜✮ ✣✐➸♠
B
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ sè ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦❄
✼✸✳
sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ♠➔ sè ❤↕♥❣ ✤➛✉
B
❝→❝❤ ✤✐➸♠
A
❧➔
3
✤ì♥ ✈à✳ ❍ä✐✿
18 sè ♥❣✉②➯♥ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝õ❛ 6 sè ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ✤â ✤➲✉ ❧➔ ♠ët sè ➙♠✳ ●✐↔✐ t❤➼❝❤
tê♥❣ ❝õ❛ 18 sè ✤â ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët sè ➙♠❄ ❇➔✐ t♦→♥ ❝á♥ ✤ó♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥➳✉ t❤❛② 18 sè ❜ð✐ 19
❈❤♦
✈➻ s❛♦
sè❄
✼✹✳
❈❤♦ ❞➣② sè
✼✺✳
❱✐➳t
1; −2; 3; −4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
ồ r số rỗ t ❞➜✉ ✧+✧ ❤♦➦❝ ❞➜✉ ✧−✧
❣✐ú❛ ❝→❝ sè ➜②✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ tr ợ t tr ọ t t ữủ t❤ù❝ ♠ỵ✐ ❧➟♣✳
5
sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔♦
✤➾♥❤ ❧✐➲♥ ♥❤❛✉ ❧✉ỉ♥ ❜➡♥❣
5 ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♥❣æ✐ s❛♦
−6✳ ❚➻♠ 5 sè ♥❣✉②➯♥ ✤â✳
✽
♥➠♠ ❝→♥❤ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè t↕✐ ❤❛✐
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✼✻✳
❚➻♠ ❜❛ sè ❜✐➳t r➡♥❣ tê♥❣ ❝õ❛ sè t❤ù ♥❤➜t ✈➔ sè t❤ù ❤❛✐ ❜➡♥❣
✼✼✳
❚r♦♥❣ ♠ët ♥❤â♠ ❤å❝ s✐♥❤ sè ❝→❝ ❡♠ ♥❛♠ ❜➡♥❣ sè ❝→❝ ❡♠ ♥ú✱ s❛✉ ✤â ❝â
✼✽✳
❇↕♥ ❆♥ ❝â
✼✾✳
❈â
✽✵✳
❈â
✽✶✳
▼ët æ♥❣ ✈✉❛ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ❜❛ ❝❤→✉
t❤ù ❜❛ ❜➡♥❣
56✱
tê♥❣ ❝õ❛ sè t❤ù ❜❛ ✈➔ sè t❤ù ♥❤➜t ❜➡♥❣
35✱
tê♥❣ ❝õ❛ sè t❤ù ❤❛✐ ✈➔ sè
41✳
8
❜↕♥ ❣→✐ ✤✐ ❝❤ì✐✱
❞♦ ✤â sè ❝→❝ ❜↕♥ ♥❛♠ ❣➜♣ ✤ỉ✐ sè ❜↕♥ ♥ú ð ❧↕✐✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤❄
12
❝→✐ ❜ót ❝❤➻✳ ❙è ❜ót ♠➔✉ ①❛♥❤ ❜➡♥❣ sè ❜ót ♠➔✉ ✤❡♥✱ sè ❜ót ♠➔✉ ✤ä ❣➜♣
2
❧➛♥ sè ❜ót ♠➔✉ ♥➙✉✳ ❍ä✐ ♠é✐ ❧♦↕✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→✐ ❜ót ❝❤➻❄
56
✈✐➯♥ ❜✐ ❝â ❜❛ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ✤ä✱ tr➢♥❣✳ ❙è ❜✐ ✤ä ♥❤✐➲✉ ❣➜♣
3
❧➛♥ sè ❜✐ tr➢♥❣✳ ❙è ❜✐ ①❛♥❤
2
❧➛♥ sè ❜✐ tr➢♥❣✳ ❙è ❜✐ ①❛♥❤
❜➡♥❣ sè ❜✐ ✤ä✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈✐➯♥ ❜✐ ♠➔✉ ①❛♥❤❄
56
✈✐➯♥ ❜✐ ❝â ❜❛ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ✤ä✱ tr➢♥❣✳ ❙è ❜✐ ✤ä ♥❤✐➲✉ ❣➜♣
❜➡♥❣ sè ❜✐ ✤ä✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈✐➯♥ ❜✐ ♠➔✉ ①❛♥❤❄
❝❤→✉ t❤ù ❤❛✐ ❤ì♥ ❝❤→✉ t❤ù ❜❛
✽✷✳ A
4
✭9 t✉ê✐✮ ❤ä✐
t✉ê✐ t❤➻ ❜➡♥❣
4
B ✭10
100
3250
t❤ä✐ ✈➔♥❣✳ ❈❤→✉ ợ t ỡ tự
200
tọ
tọ ọ ộ ữủ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤ä✐ ✈➔♥❣❄
t✉ê✐✮✿ ❜è ❝õ❛
B
♥➠♠ ♥❛② ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄
❧➛♥ t✉ê✐ ❝õ❛ tæ✐✳ ❍ä✐ ❜è ❝õ❛
✽✸✳
❈â
✽✹✳
▼ët ❜→❝ ♥æ♥❣ ❞➙♥ ♠✉❛ ♠ët ❝♦♥ ❜á ❣✐→
B
B
tr↔ ❧í✐✿ ♥➳✉ ❜è tỉ✐ ➼t ❤ì♥
❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄
6 ✤ù❛ tr➫✱ ♠é✐ ✤ù❛ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✤ó♥❣ ❜❛ t✉ê✐ ✳ ❍ä✐ ❦❤✐ ✤ù❛ ♥❤ä ♥❤➜t ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ t❤➻ ✤ù❛
❧ỵ♥ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄
❧↕✐ ♠✉❛ ❧↕✐ ❣✐→
900✱
700✱
s❛✉ ✤â ❜→♥
✈➻ ❤➳t t✐➲♥ ✈➲ ♥❤➔ ❛♥❤ t❛ ✤➔♥❤ ❜→♥ ❝♦♥ ❜á ❣✐→
❧ñ✐ ❦❤✐ ♠✉❛ ❜→♥ ❝♦♥ ❜á❄
✸ P❤➙♥ sè
P❤➙♥ sè✱ ❤é♥ sè
✽✺✳
✽✻✳
✽✼✳
✽✽✳
✽✾✳
35 85 65 75 189
; ; ;
;
✳
28 51 39 100 105
39 1313 131313
♣❤➙♥ sè s❛✉✿
;
;
✳
42 1414 141414
❘ót ❣å♥ ❝→❝ số s
út ồ rỗ s s
t số s ữợ số t
5 2 17 16 132
; ; ; ;
2 5 8 25 125
❱✐➳t ❝→❝ sè s❛✉ t❤➔♥❤ sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
3 2 18 1
26 ; 7 ; 5 ; 1
8 5 25 2
❱✐➳t ❝→❝ sè t s ữợ số
2, 15; 5, 022; 4, 6; 0, 324
✾✵✳
800✱
❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❜✐➸✉ t❤ù❝✿
A=
11.322 .37 − 915
(2.314 )2
✾
♥❤÷♥❣ ♥❣❤➽ t❤➳ ♥➔♦ ❛♥❤ t❛
1000✳
❍ä✐ ❛♥❤ t❛ t❤✐➺t ❤❛②
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✾✶✳
✾✷✳
✾✸✳
❚➼♥❤ ♥❤❛♥❤✿
❚➼♥❤ ♥❤❛♥❤✿
1 · 5 · 6 + 2 · 10 · 12 + 4 · 20 · 24 + 9 · 45 · 54
1 · 3 · 5 + 2 · 6 · 10 + 4 · 12 · 20 + 9 · 27 · 45
20, 2 × 5, 1 − 30, 3 × 3, 4 + 14, 58
A=
14, 58 × 460 + 7, 29 × 540 ì 2
ữỡ ủ ỵ t
31
7
8
( + )❀
23
32 23
❜✮
79 28
1 12 13
+ ) − ( − )❀
( +
3 67 41
67 41
❝✮
8
17
3
38
−( −
− )✳
45
45 51 11
✾✹✳
❚➼♥❤ ❝→❝ tê♥❣ s ữỡ ủ ỵ t
A=
1
1
1
1
+
+
+ ÃÃÃ +
1.2 2.3 3.4
49.50
❜✮
B=
2
2
2
2
+
+
+ ··· +
✳
3.5 5.7 7.9
37.39
❝✮
C=
3
3
3
3
+
+
+ ··· +
✳
4.7 7.10 10.13
73.76
✾✺✳
❚➼♥❤ ❜➡♥❣ ủ ỵ
17 31 1 10 1
.
. . .
5 125 2 17 23
❜✮
11 −5 4 11 8
.
− .
. ❀
4 9
9 4 33
❝✮
17 18 19 20
−5 1 1
+
−
−
.
+ +
28 29 30 31
12
4 6
✾✻✳
✾✼✳
✳
❚➼♥❤ ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ♥❤❛♥❤ ❝❤â♥❣✿
3
3
3
3
24.47 − 23 3 + 7 − 10 + 1001 − 13
×
9
9
9
9
24 + 47.23
−
+ −
+9
1001 13 7 10
❚➼♥❤✿
5 4
1
1
: 10 − 9
2 +
6 9
12
2
❛✮
5
5 1
1
−
+1
18 18 15
12
❀
❜✮
1
❝✮
1
1
2
2
− . 9 − 8, 75 : + 0, 625 : 1 ❀
7
2
7
3
❞✮
(3 · 4 · 216 )2
✳
11 · 213 · 411 − 169
❀
✶✵
ỹ t t ủ ỵ ❝â t❤➸✮✳
❛✮
−
1 1
2
2
9 − 8, 75 : + 0, 625 : 1 ❀
7 2
7
3
4
15
5
14
5
− 3 −6
4 −3 +8
37
5
29
37
29
❝✮
❡✮
−7 8
7 3
12
·
−
·
− ❀
19 11 19 11 19
❣✮
1 7 · 25 − 49
·
❀
3 7 · 24 + 21
✾✾✳
❀
❜✮
7
−18
4
5 19
+
+
+ + ❀
−25
25
23 7 23
❞✮
−
❢✮
❤✮
5 −9 −9 22
·
+
· ❀
17 23
23 17
3
3
3
3
−
+
−
4 16 64 256 ❀
1
1
1
1− +
−
4 16 64
5
2
0, 7 · 2 · 20 · 0, 375 · ✳
3
28
❚➼♥❤ ❤ñ♣ ❧➼✳
❛✮
A=
2
2
2
2
2
+
+
+
+ ··· +
❀
3 · 5 5 · 7 7 · 9 9 · 11
61 · 63
❜✮
B=
32
32
32
32
+
+
+ ··· +
❀
2 · 5 5 · 8 8 · 11
92 · 95
❝✮
C=
5
5
5
5
+
+
+ ··· +
❀
25 · 27 27 · 29 29 · 31
73 · 75
❞✮
D=
10
10
10
10
+
+
+ ··· +
56 140 260
1400
❡✮
E =1+
✶✵✵✳
✶✵✶✳
✶✵✷✳
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + · · · + 200 ✳
2 2
2
2
2
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
✳
1 × 5 5 × 9 9 × 13
97 × 101
❚➼♥❤
❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♣❤➙♥ sè✿
2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32
3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
❛✮
1 · 3 · 5 · · · 39
1
= 20 ❀
21 · 22 · 23 · · · 40
2
❜✮
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
1
= n
(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · 2n
2
✶✵✸✳
✶✵✹✳
❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉✿
n ∈ N ∗✳
✈ỵ✐
4 8 8 12
; ; ; ✳
5 7 9 11
❑❤æ♥❣ q✉② ỗ tỷ số số s s ♣❤➙♥ sè s❛✉✿
❛✮
4
5
❞✮
14
15
✈➔
3
❀
2
✈➔
15
❀
16
❜✮
5
9
❡✮
96
95
✈➔
11
❀
24
✈➔
❝✮
97
✳
96
✶✶
13
27
✈➔
17
❀
23
ỗ rỗ s s sè s❛✉✿
−8
31
−789
❀
3131
✈➔
✈➔
B✱
❜✐➳t
11
22 .34 .52
A=
1311 + 1
1312 + 1
✈➔
❙è ♥➔♦ ❧ỵ♥ ❤ì♥✿
❚➻♠ sè tü ♥❤✐➯♥
❞✮
7
x 2
+ = ❀
8 3
6
1312 + 1
❀
1313 + 1
222221
444443
✈➔
❄
333332
666665
B=
x
❚➻♠ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛
❚➻♠
x∈Z
❚➻♠
x✿
❜✐➳t✿
x✱
1+
s❛♦
3
5
2
1− 5 +x−7
: 16 = 0❀
8
24
3
❞✮
2 2
2
2
1989
+ +
+ ... +
=1
✳
2 6 12
x(x + 1)
1991
❜✮
1
n
✈➔
1
(n ∈ N ∗ )✳
n+1
x
❜✐➳t✿
❚➻♠
x
tr♦♥❣ ❝→❝ ❤é♥ sè✿
x+
x
75
= ❀
7
35
x
22010 + 1
22009 + 1
❜✮
4
3
47
= ❀
x
x
❝✮
❝✮
❜✐➳t✿
7, 5x : 9 − 6
✈➔
B=
22011 + 1
✳
22010 + 1
6
15
= ❀
8
x
4
4
4
−37
4
+
+
+ ... +
=
5.9 9.13 13.17
41.45
45
❚➻♠
❚➻♠
A=
−1
19
x
−1
58 59 −1
+
<
+
<
+
+
.
60
120
36
60
90 72
60
❝✮
2
❜✮
17
85
=
❀
x
105
3
27
❡✮
=
✳
x−7
135
−11
x
−3
❝❤♦✿
<
<
✳
12
12
4
3 1
+ : x = −1❀
4 4
❛✮
❝✮
❜✮
❜✮
✶✶✺✳
❀
❜✐➳t✿
1 2
1
+ x= ❀
3 3
4
❛✮
29
22 .34 .53
A = 19, 93 × 19, 99; B = 19, 96 × 19, 96✳
❛✮
✶✶✸✳
✶✶✹✳
✈➔
❙♦ s→♥❤✿
x
5
= ❀
9
3
✶✶✶✳
✶✶✷✳
A
❍➣② s♦ s→♥❤
❛✮
✶✶✵✳
❜✮
13
13
=2 ❀
21
25
(1, 16 − x).5, 25
= 75%✳
5
1
2
10 − 7 .2
9
4
17
✶✷
x
x
112
=
✳
15
5
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✶✻✳
❛✮
x
❚➻♠
❜✐➳t✿
1
5
3
1 − 25% · x −
− 2x = 1, 6 : ❀
3
12
5
❜✮
25
1
−1
−1 =
− 0, 5❀
x+1
6
3
❝✮
3−x
−3
=
5−x
5
❞✮
2
❀
2
1
2
· 3 − 2 = −2❀
3
5
5
x+
−9
2 8
= · ❀
25
5 5
❡✮
(x − 3)2 +
❢✮
2
1
x−
− 20%(3x − 1, 5) = 0, 4❀
2
3
❣✮
1+ x−
❤✮
✐✮
❥✮
❦✮
✶✶✼✳
❛✮
❝✮
✶✶✽✳
2
3
3
=
37
❀
64
−8
7
21
−9
5
+
+
≤x≤
+3 +
(x ∈ Z)❀
13
17
13
14
−14
−5
4
3
< x3 <
51
−108
·
(x ∈ Z)❀
17
−(−12)
1
2
1
1
x−
− (2x − 3) = x + ❀
2
3
3
2
1
1
1
x x−
−3 x−
= 0✳
2
3
3
❚➻♠
x✱
❜✐➳t✿
(x − 7)(x + 3) < 0❀
x+
❚➻♠
3
4
x+
❜✮
2
≤ 0❀
3
❞✮
x−
5
5
5
2005
+
+ ··· +
=
❀
1 · 6 6 · 11
(5x + 1)(5x + 6)
2006
❜✮
x−
❝✮
1
1
1
1
2
+
+
+ ··· +
= ✳
21 28 36
x(x + 1)
9
20
20
20
20
3
−
−
− ··· −
= ❀
11 · 13 13 · 15 15 · 17
53 · 55
11
✶✸
x+
3
x2 + x < 0✳
4
x✿
❛✮
1
2
2
> 0❀
7
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✶✾✳
❛✮
✶✷✵✳
✶✷✶✳
❚➻♠
x, y ∈ Z
❜✐➳t✿
3 y
5
+ = ❀
x 3
6
x 2
1
− = ✳
6 y
30
1
4
4
5
5
15
13
❜✮
❚➻♠ ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ❤é♥ sè
x
4
15
❜✐➳t
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝ tê♥❣ s❛✉ ❧ỵ♥ ❤ì♥
❛✮
M=
3
3
3
+
+ ❀
8 15 7
❜✮
N=
19
29
39
49
+
+
+
❀
60 100 150 300
❝✮
P =
41 31 21 −11 −1
+
+
+
+
✳
90 72 40
45
36
1✳
✶✷✷✳
❚➻♠ ♠ët ♣❤➙♥ sè tè✐ ❣✐↔♥ s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ ❝ë♥❣ t❤➯♠
✶✷✸✳
❉♦ t❤✐ ✤✉❛✱ ♥➠♥❣ s✉➜t ❧❛♦ ✤ë♥❣ ❧➔♠ ♠ët ❜ót ♠→② t➠♥❣
✶✷✹✳
❈❤♦ ♣❤➙♥ sè
8 ✤ì♥
✈à ✈➔♦ tû sè ✈➔ ❝ë♥❣ t❤➯♠
10 ✤ì♥
✈à ✈➔♦ ♠➝✉ sè t❤➻ ✤÷đ❝ ♠ët ♣❤➙♥ sè ♠ỵ✐ ❜➡♥❣ ♣❤➙♥ sè ✤➣ ❝❤♦✳
25%✳
❍ä✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝➛♥ t❤✐➳t ✤➸
❧➔♠ r❛ ♠ët ❜ót ♠→② ✤➣ ❣✐↔♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tr➠♠❄
2
✳
11
❍ä✐ ♣❤↔✐ ❝ë♥❣ t❤➯♠ ✈➔♦ tû sè ✈➔ ♠➝✉ sè ❝õ❛ ♣❤➙♥ sè ✤➣ ❝❤♦ ❝ò♥❣ ♠ët
sè tü ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤➸ ✤÷đ❝ ♣❤➙♥ sè ❜➡♥❣
4
❄
7
✶✷✺✳
❚➻♠ ♣❤➙♥ sè ❝â tû sè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ♠➝✉ sè
✶✷✻✳
❚➻♠ ♣❤➙♥ sè tè✐ ❣✐↔♥
✶✷✼✳
▼ët tr↕✐ ❝❤➠♥ ♥✉ỉ✐ ❝â
m
✱
n
3
4
8
✤ì♥ ✈à ✈➔ s❛✉ ❦❤✐ rót ❣å♥ t❛ ✤÷đ❝ ♣❤➙♥ sè
❜✐➳t r➡♥❣ ♣❤➙♥ sè
sè ❜á ❜➡♥❣
2
3
m+n
n
❣➜♣
7
❧➛♥ ♣❤➙♥ sè
5
✳
3
m
✳
n
sè ❞➯✱ ❜✐➳t sè ❜á ➼t ❤ì♥ sè ❞➯ ❧➔
12
❝♦♥✳ ❍ä✐ tr↕✐
❝❤➠♥ ♥✉æ✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❜á❄ ❇❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❞➯❄
✶✷✽✳
♠✉❛
✶✷✾✳
2m ✈↔✐ ❑❛❑✐ ✈➔ 3m ✈↔✐ P❤✐♥ ❤➳t t➜t ❝↔ 29000 ỗ ởt
4m P t tt 41000 ỗ t ộ t ộ ❧♦↕✐✳
▼ët ❣✐❛ ✤➻♥❤ ♠✉❛
3m
✈↔✐ ❑❛❑✐ ✈➔
❦❤â♠ ❜➧♦ træ✐ t❤❡♦ ❞á♥❣ ữợ
t
3
AB t 2 ớ ữủ ú sổ BA t ❤❛✐ ❣✐í r÷ï✐✳ ❍ä✐ ♠ët
tø A ✤➳♥ B tr♦♥❣ ❜❛♦ ❧➙✉❄
▼ët ❝❛ ♥ỉ ①✉ỉ✐ ❦❤ó❝ sỉ♥❣
❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝ị♥❣ ❧➔♠ ♠ët ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ t❤➻
❣✐í
20
2
❣✐í ①♦♥❣✳ ❘✐➯♥❣ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ❝ỉ♥❣ õ
út ợ ọ ữớ tự ởt ♠➻♥❤ ①♦♥❣ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤â tr♦♥❣ ❜❛♦ ❧➙✉❄
❚✉ê✐ ❜è ❜➡♥❣
9
8
t✉ê✐ ♠➭✱ t✉ê✐ ▲❛♥ ❜➡♥❣
1
4
t✉ê✐ ♠➭✱ tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ❜è ✈➔ ▲❛♥ ❧➔
44
t✉ê✐✳
❍ä✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄
✶✸✷✳
❈â ❜❛ ❜➻♥❤ ữợ ự tờ ở
tự ự
2
3
66
t t❤ù ❤❛✐ ❝❤ù❛ ❜➡♥❣
1
2
❜➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱
❜➻♥❤ t❤ù ❤❛✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ự t ữợ
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✸✸✳
▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ tø
❣✐í✱ ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ ✤✐ ✤÷đ❝
3
❣✐í t❤➻ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❣➦♣ ♥❤❛✉ ữ
ỏ ữợ ũ ởt ❱á✐
A
❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ t❤➻ s❛✉
♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ♠→② ✤✐ ✤÷đ❝
❜➸❀ ✈á✐
B
1
A
❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ ♠➜t
B
✤➳♥
3
❤➳t
5
C
❣✐í ❝á♥ ✈á✐
B
❣✐í❀ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ✤✐ ①❡ ♠→② tø
❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ ♠➜t
2
A
✈➲
6
❤➳t
2
❣✐í❀
❣✐í s➩ ✤➛②
❣✐í ♠ỵ✐ ✤➛② ❜➸✳ ❍ä✐ ♥➳✉
♠ð ❝↔ ❜❛ ✈á✐ ❝ị♥❣ ❝❤↔② ♠ët ❧ó❝ t tr s
ỏ ữợ ũ ❝❤↔② ✈➔♦ ♠ët ❜➸ ❝↕♥✳ ◆➳✉ ✈á✐ t❤ù ♥❤➜t ❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ tr♦♥❣
s➩ ✤➛② ❜➸✳ ◆➳✉ ✈á✐ t❤ù ❤❛✐ ❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ t❤➻ ❜➸ s➩ ✤➛② s❛✉
5
❣✐í t❤➻
7 ❣✐í✳ ❍ä✐ ♥➳✉ ❝↔ ❤❛✐ ✈á✐ ❝ò♥❣ ❝❤↔②
t❤➻ ❜➸ s➩ ✤➛② s❛✉ ♠➜② ❣✐í❄
✶✸✻✳
2
3
❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ ❝❤✉♥❣ ♠ët ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ tr♦♥❣
❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ t t
ợ
5A1
5A2
ừ ợ
10
5A2
12
ớ ọ ữớ tự
õ
87
ồ s t r➡♥❣
5
7
❣✐í t❤➻ ①♦♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ♠ët ♠➻♥❤
1
3
❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❝á♥ ❧↕✐ ♠➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❧➙✉❄
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❧ỵ♣
5A1
❜➡♥❣
2
3
sè ❤å❝ s✐♥❤
❍ä✐ ♠é✐ ❧ỵ♣ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤❄
✶✸✽✳
▼ët ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ❧➔
✶✸✾✳
▼ët ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣
120cm✳ ❙è ✤♦ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ t➾ ❧➺ ✈ỵ✐ 5; 12; 13✳ ❚➻♠
sè ✤♦ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳
t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝
3
8
3
♥❣➔②✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ✤÷đ❝
❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔♠ ♥èt
57
2
7
❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔②
♠➨t ❝✉è✐✳ ❍ä✐ ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ♣❤↔✐
❧➔♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄
✶✹✵✳
▼ët ỉ tỉ ❝❤↕② q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣
t❤ù ❤❛✐ ❝❤↕② ✤÷đ❝
q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣
✶✹✶✳
2
5
AB
tr♦♥❣
3
❣✐í✳ ●✐í ✤➛✉ ❝❤↕② ✤÷đ❝
q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔ t❤➯♠
4km✳
2
5
q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣
50km
●✐í t❤ù ❜❛ ❝❤↕② ♥èt
AB ✳
●✐í
❝✉è✐✳ ❚➼♥❤
AB ✳
▼ët ❝❛ ♥ỉ ①✉ỉ✐ ❞á♥❣ sỉ♥❣ tứ
A B
tr
3 ớ rỗ ữủ ỏ tr A ♠➜t 4
◆➳✉ ♠ët ❜➧ ♥ù❛ træ✐ tü ❞♦ ①✉æ✐ ❞á♥❣ t❤➻ ♠➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤➸ trỉ✐ tø
✶✹✷✳
❑❤✐ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈ỵ✐
✶✹✸✳
▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â
❞➝♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ s❛✐ ❧➔
124✱ ♠ët ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ✤➦t ❝→❝ t➼❝❤ r✐➯♥❣ t❤➥♥❣
88, 2✳ ❊♠ ❤➣② t➻♠ ❦➳t q✉↔ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥✳
86, 5
t↕ ✤÷í♥❣✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❝û❛ ❤➔♥❣ ❜→♥ ữủ
ữủ ỡ tự t
6, 78
A
1
2
ớ
B
ởt ợ ♥➯♥
26, 7
t↕✱ ♥❣➔② t❤ù ❤❛✐
t↕✳ ❍ä✐ s❛✉ ❤❛✐ ♥❣➔② ❜→♥✱ ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉
t↕ ✤÷í♥❣❄
✶✹✹✳
❈â ❜❛ tê ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ✤➢♣ ✤÷í♥❣✱ tê ♠ët ✤➢♣ ✤÷đ❝
✶✹✺✳
❍❛✐ såt ❝❛♠ ♥➦♥❣ tê♥❣ ❝ë♥❣
tê ♠ët
5, 3m
✈➔ ✤➢♣ ❦➨♠ tê ❜❛
3, 5m✳
25, 7m✱
tê ❤❛✐ ✤➢♣ ✤÷đ❝ ❤ì♥
❍ä✐ ❝↔ ❜❛ tê ✤➢♣ ✤÷đ❝ t➜t ❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄
76, 65❦❣✳
❇✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉ ❧➜②
såt t❤ù ❤❛✐ t❤➻ såt t❤ù ❤❛✐ ♥➦♥❣ ❤ì♥ såt t❤ù ♥❤➜t
❦✐❧❣❛♠❄
✶✺
1, 85❦❣✳
4❦❣
ð såt t❤ù ♥❤➜t ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣
❍ä✐ ♠é✐ såt ❝❛♠ ♥➦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✹✻✳
◆❤➔ ❆♥ ♥✉æ✐
8
❝♦♥ ❜á✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â
3
❝♦♥ ❜á ✤ü❝✳ ❍ä✐✿
❛✮ ❙è ❜á ✤ü❝ ❝❤✐➳♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tr➠♠ tê♥❣ sè ❜á❄
❜✮ ❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❜á ✤ü❝ ✈➔ sè ❜á ❝→✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
✶✹✼✳
▼ët ①➼ ♥❣❤✐➺♣ ❝â
60
❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ tê✱ tr♦♥❣ ✤â tê ♠ët ❝❤✐➳♠
40%
tê♥❣
sè ❝æ♥❣ ♥❤➙♥✳ ❍ä✐✿
❛✮ ❚ê ♠ët ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥❄
❜✮ ❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ tê ♠ët ✈➔ sè ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ tê ❤❛✐ ❧➔ ❜❛♦
ởt ữớ s s tố ợ
sè✱ ❜✐➳t tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝â ❤❛✐ ❝❤ú sè ✈➔ sè
✶✺✵✳
❚r♦♥❣ ♠ët số t tữỡ ú
403300
ỗ t r ♥❣÷í✐ ✤â ✤÷đ❝ ❧➣✐
9%
❣✐→
✈è♥✳ ❍ä✐ ♥❣÷í✐ ✤â ✤÷đ❝ ❧➣✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✐➲♥❄
♥➔② ❜➡♥❣
80%
sè ❦✐❛✳
❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ q✉➯♥ ✤➦t ♠ët sè
0
✤÷đ❝ ♠ët sè ♥❤ä ❤ì♥ sè ❜à ❝❤✐❛
✶✺✶✳
102, 5✳
❑❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛✱ ♠ët
ð t❤÷ì♥❣ ♥➯♥ ❧ó❝ t❤û ❧↕✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ tữỡ ợ số
432, 9
ỡ số ❜à ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❝❤✐❛✳
15, 6
❈â ❜❛ ①❡ t↔✐ ❝❤ð tê♥❣ ❝ë♥❣
t➜♥ ❤➔♥❣ ❤â❛✳ ❳❡ t❤ù ♥❤➜t ❝❤ð ❜➡♥❣
t❤ù ❜❛ ❝❤ð ➼t ❤ì♥ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ❤❛✐ ①❡ ✤➛✉ ❝❤ð ✤÷đ❝ ❧➔
1, 2
3
4
①❡ t❤ù ❤❛✐✱ ①❡
t➜♥✳ ❍ä✐ ♠é✐ ①❡ ữủ
t õ
ữợ ự
ởt ữớ ỷ tt
4%
ố ờ t ữợ
ố tr
600g
ữợ t
2%
15
tr ỗ ✈ỵ✐ ❧➣✐ s✉➜t
1, 1%
♠ët t❤→♥❣✳ ❚➼♥❤✿
❛✮ ❙è t✐➲♥ ❧➣✐ s❛✉ ♠ët t❤→♥❣✳
❜✮ ❙è t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❤❛✐ t❤→♥❣ ♥➳✉ ♥❣÷í✐ ✤â ❝❤➾ ✤➳♥ rót t✐➲♥ ♠ët ❧➛♥✳
❝✮ ❙è t✐➲♥ ❝↔ ❣è❝ ✈➔ ❧➣✐ s❛✉ ❜❛ t❤→♥❣ ♥➳✉ ♥❣÷í✐ ✤â ❝❤➾ ✤➳♥ rót t✐➲♥ ♠ët ❧➛♥✳
✶✺✹✳
▼ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ❜➡♥❣ 75% ❝❤✐➲✉ ❞➔✐✳ ◆➳✉ t➠♥❣ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ t❤➯♠
12m2 ✳ ❚➼♥❤ ❝❤✉ ✈✐ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ✤â✳
2m
t❤➻
❞✐➺♥ t➼❝❤ t➠♥❣ t❤➯♠
✶✺✺✳
❚r♦♥❣ ♥❣➔② ❤ë✐ t♦→♥✱ ✤ë✐ t♦→♥ ❝õ❛ ♠ët ❦❤è✐ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❜è♥ tè♣✳ ◆➳✉ ❧➜②
3
5
sè ❤å❝
s✐♥❤ ❝õ❛ tè♣ t❤ù ♥❤➜t ❝❤✐❛ ✤➲✉ ❝❤♦ ❜❛ tè♣ ❦✐❛ t❤➻ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❜è♥ tè♣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ◆➳✉ tè♣ t❤ù
♥❤➜t ❜ỵt ✤✐
6
❤å❝ s✐♥❤ t❤➻ ❧ó❝ ✤â sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ tè♣ t❤ù ♥❤➜t ❜➡♥❣ tê♥❣ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❜❛ tè♣
❦✐❛✳ ❍ä✐ ♠é✐ tè♣ ❝â ❜❛♦ ồ s
2
3
r ố ồ s ợ
9
ừ ởt trữớ tr ❤å❝ ❝ì sð ❝â
sè ❤å❝ s✐♥❤ t❤➼❝❤ ❜â♥❣ ❜➔♥✱
40%
60%
sè ❤å❝ s✐♥❤ t❤➼❝❤ ❜â♥❣
sè ❤å❝ s✐♥❤ t❤➼❝❤ ❜â♥❣ tr✉②➲♥ ✈➔
4
15
sè ❤å❝ s✐♥❤ t❤➼❝❤
✤→ ❝➛✉✳ ❍➣② t➻♠ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❤â♠ ❝ị♥❣ t❤➼❝❤ ♠ët ♠ỉ♥ t❤➸ t❤❛♦✱ ❜✐➳t sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛
❦❤è✐
9
❧➔
225✳
✶✻
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✺✼✳
◆➠♠ ♥❛② ❝♦♥
✶✺✽✳
❇❛ ♥❣÷í✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠✉❛ ❤➳t ởt rờ trự ữớ tự t
trữợ
12 tờ ❜è 42 t✉ê✐✳ ❚➼♥❤
✤➙② 7 ♥➠♠❀ s❛✉ ✤➙② 28 ♥➠♠✳
3
5
❦✐❛ ♠✉❛✳ ❙è trù♥❣ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ♠✉❛ ❜➡♥❣
14
t➾ sè ❣✐ú❛ t✉ê✐ ❝♦♥ ✈➔ t✉ê✐ ❜è ð ♥❤ú♥❣ t❤í✐ ✤✐➸♠
1
2
sè trù♥❣ ♠➔ ❤❛✐ ♥❣÷í✐
sè trù♥❣ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ♠✉❛✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❜❛ ♠✉❛
q✉↔✳ ❚➼♥❤ sè trù♥❣ ❧ó❝ ✤➛✉ tr♦♥❣ rê✳
✶✺✾✳
▼ët ❧ỵ♣ ❤å❝ ❝â
45
❤å❝ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr↔ ❜➔✐ ❦✐➸♠ tr❛✱ sè ❜➔✐ ✤↕t ✤✐➸♠ ❣✐ä✐ ❜➡♥❣
tê♥❣ sè ❜➔✐✱ sè ❜➔✐ ✤↕t ✤✐➸♠ ❦❤→ ❜➡♥❣
9
10
1
3
sè ❜➔✐ ❝á♥ ❧↕✐✳ ❚➼♥❤ sè ❜➔✐ ✤↕t ✤✐➸♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✭❜✐➳t
r➡♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝â ❜➔✐ ✤↕t ✤✐➸♠
ợ
số ồ s
6 ừ trữớ õ tờ ❝ë♥❣ 120 ❤å❝ s✐♥❤✳ ❙è ❤å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6A ❝❤✐➳♠ 35% s♦ ✈ỵ✐ tê♥❣
20
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6B ❜➡♥❣
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6A✱ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ ❤å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6C ✳ ❚➼♥❤
21
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ♠é✐ ❧ỵ♣❄
✶✻✶✳
▲ỵ♣
6A
❝â
60
❤å❝ s✐♥❤ ❝❤✐❛ ❧➔♠
3
❧♦↕✐✿ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤✱ ❦❤→✱ ❣✐ä✐✳ ❙è ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❜➡♥❣
❤å❝ s✐♥❤ ❦❤→✱ sè ❤å❝ s✐♥❤ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❜➡♥❣
❦❤→✱ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❧ỵ♣
2
3
1
5
sè
tê♥❣ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤→ ✈➔ ❣✐ä✐✳ ❍ä✐ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱
6A❄
✶✻✷✳
❇❛ ♥❣÷í✐ t❤đ ❝❤✐❛ ♥❤❛✉ t✐➲♥ ❝ỉ♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ✤÷đ❝
t✐➲♥✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐
✤÷đ❝
3
8
❍ä✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ✤÷đ❝
tê♥❣ sè t✐➲♥✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❜❛ ✤÷đ❝ ❤ì♥ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ❧➔
2
tê♥❣ sè
9
30000 ỗ
t ổ
ởt ỷ ởt số t ✈↔✐ tr♦♥❣
t❤ù ❤❛✐ ❜→♥
2
7
3
♥❣➔②✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❜→♥
sè ♠➨t ✈↔✐ ❝á♥ ❧↕✐✳ ◆❣➔② t❤ù ❜❛ ❜→♥ ♥èt
❛✮ ❚➼♥❤ sè ♠➨t ✈↔✐ ❝û❛ ❤➔♥❣ ✤➣ ❜→♥ tr♦♥❣
3
40m
3
5
sè ♠➨t ✈↔✐✳ ◆❣➔②
✈↔✐✳
♥❣➔②✳
❜✮ ❚➼♥❤ sè ♠➨t ✈↔✐ ❜→♥ tr♦♥❣ ♠é✐ ♥❣➔② t❤ù ♥❤➜t ✈➔ tự
ố ợ
trữớ t
1
A, B, C, D ồ s ❧ỵ♣ 6A ❜➡♥❣ ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤è✐
5
8
11
6 ✈➔ ❜➡♥❣ ❤å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6B ✳ ❍å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6C ❜➡♥❣
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❧ỵ♣ 6B ✈➔ ➼t ❤ì♥ ❤å❝ s✐♥❤
9
9
❧ỵ♣ 6D ❧➔ 5 ❤å❝ s✐♥❤✳ ❍ä✐ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 6 ❝õ❛ tr÷í♥❣ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
7
8
6
ð ♠ët tr÷í♥❣ ❤å❝ ❝â
30
sè s✉➜t ❤å❝ ❜ê♥❣ ❝õ❛
2
4
❧ỵ♣
s✉➜t ❤å❝ ❜ê♥❣ ❝❤♦
❧ỵ♣
6B
✈➔
6C ✳
3
❧ỵ♣ ❦❤è✐
6✳
❙è ❤å❝ ❜ê♥❣ ❝õ❛ ❧ỵ♣
❙è ❤å❝ ❜ê♥❣ ❝õ❛ ❧ỵ♣
6B
❜➡♥❣
3
5
6A
♥❤➟♥ ❜➡♥❣
sè s✉➜t ❝õ❛ ❧ỵ♣
6C ✳
❍ä✐ ♠é✐ ❧ỵ♣ ♥❤➟♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ ❜ê♥❣❄
✶✻✻✳
❇è♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠✉❛
❤❛✐ ❣â♣
1
5
sè t✐➲♥ ♠➔ ❝→❝ ❜↕♥ ❦❤→❝
❣â♣✱ ♥❣÷í✐ t❤ù t÷ ❣â♣
30500
1
1 q✉↔ ❜â♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ❣â♣ tê♥❣ sè t✐➲♥✳ ◆❣÷í✐ t❤ù
5
1
✤➣ ❣â♣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❜❛ ❣â♣
sè t✐➲♥ ♠➔ ❝→❝
7
ỗ ọ t q õ õ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
✶✼
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✻✼✳
▲ỵ♣
6B
❤å❝ ❦ý ■ ❝â sè ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❜➡♥❣
❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ t❤➻ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝õ❛ ❧ỵ♣
6B
1
14
❜➡♥❣
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✱ s❛♥❣ ❤å❝ ❦ý ■■ ❝â ❜ỵt
1
30
sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❧ỵ♣✳ ❍ä✐ ❧ỵ♣
6B
2
❝â ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤❄ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐❄
✶✻✽✳
❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❧➔
♥➳✉ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠
AB
❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉
❚✉ê✐
✶✼✵✳
❚ê♥❣ sè ♠➨t ❝õ❛
❤❛✐ ✈➔ ❜➡♥❣
t➜♠ ✈↔✐ t❤ù
✶✼✶✳
1
5
❛♥❤ ❡♠ ❝ë♥❣ ❧↕✐ ❧➔
50%
3
✈➔
B
85km✳
❚r➯♥ ❜↔♥ ỗ õ
tr ỗ
12cm
17cm
ọ
t tr➯♥ t❤ü❝ t➳ ❝õ❛
km❄
✶✻✾✳
3
A
60✳
❇✐➳t r➡♥❣
75%
t✉ê✐ ❝õ❛ ❡♠ ót ❜➡♥❣
60%
t✉ê✐ ❝õ❛ ❛♥❤ t❤ù
t✉ê✐ ❝õ❛ ❛♥❤ ❝↔✳ ❍ä✐ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
3
t➜♠ ✈↔✐ ❧➔
105m✳
3
t❤➻ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛
◆➳✉ ❝➢t
1
9
t➜♠ ✈↔✐ t❤ù ♥❤➜t❀
3
7
t➜♠ ✈↔✐ t❤ù
2
✈➔
1
3
t➜♠ ✈↔✐ ❞➔✐ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❍ä✐ ♠é✐ t➜♠ ❞➔✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t❄
1
5
◆➳✉ t➠♥❣ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t t❤➯♠
♠é✐ ❝↕♥❤ ✈➔ ❣✐↔♠ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❦✐❛ ✤✐
❝õ❛ ♠é✐ ❝↕♥❤ t❤➻ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ✤â t❤❛② ✤ê✐ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄
✶✼✷✳
✶✼✸✳
❚➻♠ ❤❛✐ sè ♥➳✉
9
11
❝õ❛ sè ♥➔② ❜➡♥❣
❈❤✉ ✈✐ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❧➔
18✳
6
7
❝õ❛ sè ❦✐❛ ✈➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣
◆➳✉ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ✤✐
20%✱
129✳
t➠♥❣ ❝❤✐➲✉ rë♥❣ t❤➯♠
25%
t❤➻ ❝❤✉ ✈✐ ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ✤â✳
✶✼✹✳
❙❛✉ ❜✉ê✐ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✈➠♥ ♥❣❤➺✱ ♥❤➔ tr÷í♥❣ t➦♥❣ ❝❛♠ ❝❤♦ ❝→❝ t✐➳t ♠ư❝✳ t tt
ử ỗ t
1
7
5
6
số
1
6
q t❤ù ❤❛✐ t➦♥❣ t✐➳t ♠ö❝ tè♣ ❝❛ ❤➳t
q✉↔❀ ❧➛♥ t❤ù ❜❛ t➦♥❣ t✐➳t ♠ư❝ ✤ì♥ ❝❛ ❤➳t
3
4
sè ❝❛♠ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔
1
4
6
7
sè ❝❛♠ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔
q✉↔ t❤➻ ✈ø❛ ❤➳t✳ ❚➼♥❤ sè
❝❛♠ tr÷í♥❣ ✤â ✤➣ t➦♥❣ ✈➔ sè ❝❛♠ t➦♥❣ r✐➯♥❣ ❝❤♦ tt ử ỗ tố ỡ
ố ❜↕♥ ▲❛♥ ❣û✐ t✐➳t ❦✐➺♠
t❤→♥❣✧ ✈ỵ✐ ❧➣✐ s✉➜t
t❤í✐ ❤↕♥
✶✼✻✳
12
0, 58%
1
tr✐➺✉ ỗ t ởt t t tự õ
số t ỷ s
12
12
t ợ ữủ ❧➣✐✳ ❍ä✐ ❦❤✐ ❤➳t
t❤→♥❣✱ ❜è ❜↕♥ ▲❛♥ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝↔ ố
r ởt ỗ t ◆❛♠✱ ❤❛✐ ❜↕♥ ❇➻♥❤ ✈➔ ❆♥ ❝ò♥❣ ✤♦ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tứ ở tợ
ở tợ t ố ỗ ❈❤➼ ▼✐♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤÷đ❝
9cm
✈➔
19, 5cm✳
❇➻♥❤ ❤ä✐ ❆♥ ❧✐➺✉ ❝â t
ữủ tỹ t tứ ở tợ t ố ỗ ữủ ổ tr ớ t
ữủ ✈➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❤å❝ ✤à❛ ❧➼ ✤➣ ❜✐➳t ❍➔ ◆ë✐ ❝→❝❤ ❍✉➳ ❧➔
600km✳
❍➣② t➼♥❤ ❣✐ó♣ ❇➻♥❤ ✤➸ ❦✐➸♠
tr❛ ❆♥ tr↔ ớ õ ú ổ
ởt ữớ trỗ ỗ ú ỗ t P trỗ ỗ
t ữớ
6
5
t trỗ ú ỏ
90m2
3
7
trỗ ỗ t
t ữớ
ởt ợ ồ õ ❝❤÷❛ ✤➳♥
50
❤å❝ s✐♥❤✳ ❈✉è✐ ♥➠♠ ❝â
30%
sè ❤å❝ s✐♥❤ ①➳♣ ❧♦↕✐ ❣✐ä✐✱
❤å❝ s✐♥❤ ①➳♣ ❧♦↕✐ ❦❤→✳ ❈á♥ ❧↕✐ ❧➔ ❤å❝ s✐♥❤ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳ ❚➼♥❤ sè ❤å❝ s✐♥❤ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳
✶✽
3
8
sè
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✶✼✾✳
❇❛ ♥❣÷í✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠✉❛ ❤➳t ♠ët rê trù♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ♠✉❛
❦✐❛ ♠✉❛✳ ❙è trù♥❣ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ♠✉❛ ❜➡♥❣
14
3
5
sè trù♥❣ ♠➔ ❤❛✐ ♥❣÷í✐
sè trù♥❣ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ♠✉❛✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❜❛ ♠✉❛
q✉↔✳ ❚➼♥❤ sè trù♥❣ ❧ó❝ ✤➛✉ tr♦♥❣ rê✳
✶✽✵✳
▲ó❝ ✤➛✉ sè trù♥❣ ❣➔ ❜➡♥❣ sè trù♥❣ ✈àt✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❜→♥
t❤➻ sè trù♥❣ ❣➔ ❝á♥ ❧↕✐ ❜➡♥❣
✶✽✶✳
❚➻♠
✶✽✷✳
✶✽✸✳
48%
1
2
3
99
+
+
+ ... +
99 98 97
1
❈❤♦ M =
1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
100
t➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❝õ❛ M ✈➔ N ✳
▲ó❝ ❣➛♥
8
80
q✉↔ trù♥❣ ❣➔ ✈➔
70
q✉↔ trù♥❣ ✈àt
tê♥❣ sè trù♥❣ ❝á♥ ❧↕✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ❧♦↕✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ q✉↔❄
1
2
3
92
−
−
− ... −
9 10 11
100
1
1
1
1
+
+
+ ... +
45 50 55
500
92 −
❀
N=
❣✐í✱ ❦✐♠ út trữợ ớ
9
út ọ ú õ ❧➔ ♠➜② ❣✐í❄
▼ët ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ tr♦♥❣
♥❤➙♥ ❦❤→❝ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ✤â tr♦♥❣
72
1
2
4
❣✐í
10
3
❣✐í
20
♣❤ót✳ ▼ët ❝ỉ♥❣
♣❤ót✳ ◆➳✉ ❧➔♠ ❝ị♥❣✱ ❝↔ ❤❛✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝
s↔♥ ♣❤➞♠✳ ❍ä✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ s↔♥ ♣❤➞♠❄
✶✽✹✳
❚➻♠
✶✽✺✳
❈❤♦ ♣❤➙♥ sè
2
sè ❜✐➳t t✛ sè ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
5
7
✈➔ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣
4736✳
4n + 1
;n ∈ Z
2n − 3
B=
❛✮ ❚➻♠
n
✤➸
B
❝â ❣✐→ trà ❧➔ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳
❜✮ ❚➻♠
n
✤➸
B
❧➔ ♣❤➙♥ sè tè✐ ❣✐↔♥✳
❝✮ ❚➻♠
n
✤➸
B
✤↕t
GT N N
✈➔ t➼♥❤ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤â✳
✶✽✻✳
❛✮ ❚➻♠ ❝❤ú sè
a, b, c
❦❤→❝ ♥❤❛✉ s❛♦ ❝❤♦✿
❜✮ ❚➻♠ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝â
−
−
✶✽✼✳
2
a, bc : (a + b + c) = 0, 25✳
❝❤ú sè s❛♦ ❝❤♦ t➾ sè ❝õ❛ sè ✤â ✈ỵ✐ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â
ọ t
ợ t
số ữỡ
a ọ t s a ữủt ợ số
7 8 3
; ;
12 15 10
✤➲✉ ❝❤♦ r❛ ❦➳t q✉↔ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳
✶✽✽✳
❚➻♠ ♣❤➙♥ sè ❞÷ì♥❣
5 7 3
; ;
36 24 16
✶✽✾✳
❛✮
a
b
tè✐ ọ t s
a
b
ữủt ợ ♣❤➙♥ sè
✤➲✉ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
1
1
1
1
+
+
+
·
·
·
+
< 1❀
22 32 42
n2
❜✮
✶✾
1
1
1
1
3
+
+
+
·
·
·
+
<
❀
22 32 42
n2
4
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
1
99
1
1
99
< 2 + 2 + ··· +
❀
<
202
2
3
1002
100
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ··· +
> ❀
2
2
5
6
7
2007
5
❝✮
❞✮
✶✾✵✳
1
2
❡✮
▼ët ❝õ❛ ❤➔♥❣ ❜→♥ ✈↔✐✱ ❜→♥ ❧➛♥ t❤ù ♥❤➜t ✤÷đ❝
sè ✈↔✐ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔
6m✱
3
4
❧➛♥ t❤ù ❜❛ ❜→♥ ✤÷đ❝
1
1
1
1
7
+
+
+ ··· +
> ✳
101 102 103
200
12
4
15
t➜♠ ✈↔✐ ✈➔
sè ✈↔✐ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔
6m
6m✱
❧➛♥ t❤ù ❤❛✐ ❜→♥ ✤÷đ❝
❝✉è✐ ❝ị♥❣✳ ❍ä✐ t➜♠ ✈↔✐ ❞➔✐
❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t❄
✶✾✶✳
❚ø
0
❣✐í ✤➳♥
24
❣✐í sè t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❜➡♥❣
60%
sè t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤➣ trỉ✐ q✉❛✳ ❍ä✐ ❜➙② ❣✐í
❧➔ ớ
ố ồ
12
số ữỡ
ố
n
s
n+2
ữợ ừ
111
ỏ
n2
ở ừ
11
õ ữợ số
số õ ❧➔
3✱
t➼❝❤ ❧➔
❙è ♥➔♦ ❧➔ sè ♠➔ ♠ët ♣❤➛♥
108✳
3
❍ä✐ sè ♥❤ä ❤ì♥ ❧➔ sè ♥➔♦❄
❝õ❛ ♥â ♥❤ä ❤ì♥ ♠ët ♥û❛ ❝õ❛ ♥â
◆❣÷í✐ t❛ ❝ë♥❣ ♠ët sè ✭➼t ♥❤➜t
2✮
3
✤ì♥ ✈à❄
❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ❧➔
11✳
❍ä✐ ❤å
❝ë♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ số ợ
2 10 q t rỗ ộ ❣➜♣ ✤æ✐ sè t✐➲♥ ✤➣
40 . . .✮✳ ❍ä✐ t❤ù ❤❛✐ t✉➛♥ s❛✉ ❝➟✉ ❝♦♥ tr❛✐ ❝â t➜t ❝↔ ❜❛♦
◆❤➔ tr ổ tự
ổ trữợ ✭✈➼ ❞ư t❤ù ❜❛
20✱
t❤ù t÷
♥❤✐➯✉ t✐➲♥❄
✶✾✽✳
3
❚ỉ✐ ❣➟♣ ♠ët tí ❣✐➜② ❧➔♠ ✤ỉ✐✳ ❙❛✉ ✤â ❧↕✐ ❣➟♣ tí ❣✐➜② ✤➣ ❜à ❣➟♣ ❧➔♠ ✤ỉ✐✱ ✈➔ t✐➳♣ tư❝ ❧➛♥ t❤ù
❝ơ♥❣ ❧➔♠ ✈➟②✳ ❍ä✐ s❛✉ ❜❛ ❧➛♥ ❣➟♣ ✤ë ❞➔② ❝õ❛ ❧ỵ♣ ❣✐➜② ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❣➜♣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❧➛♥ ✤ë ❞➛②
tí ❣✐➜② ❜❛♥ ✤➛✉❄
✶✾✾✳
▼ët ♥❣÷í✐ ♥❣❤❡ ✤÷đ❝ ♠ët ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥ ❤❛②✱ s❛✉ ♠ët ❣✐í ♥❣÷í✐ ♥➔② ✤❡♠ ❦➸ ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥ ♥➔②
❝❤♦ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❜↕♥ ❦❤→❝✳ ▼ët ❣✐í s❛✉✱ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ✈ø❛ ✤÷đ❝ ♥❣❤❡ ❝❤✉②➺♥ ❧↕✐ t✐➳♣ tư❝ ♠é✐ ♥❣÷í✐
❦➸ ❝❤♦ ❝❤♦ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❜↕♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❝❤÷❛ ❜✐➳t ❝❤✉②➺♥✳ ❈ù t✐➳♣ tư❝ ♥❤÷ ✈➟② ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥ ✤÷đ❝ ❧❛♥
tä❛✳ ❍ä✐ s❛✉
8
❣✐í ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣÷í✐ ❜✐➳t ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥❄
✷✵✵✳
❍➣② ❝❤♦ ♠ët sè ❝â ❜❛ ❝❤ú sè ✈➔ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❧➔ sè ❧➫ s❛♦ ❝❤♦ sè t✐➳♣ t❤❡♦ s❛✉ ♥â ✭❧ỵ♥
✷✵✶✳
❙è ❝â ❜❛ ❝❤ú sè ♥➔♦ ♠➔ ❦❤✐ t➠♥❣ ❤♦➦❝ ❣✐↔♠ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❜➡♥❣ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â t❛
✷✵✷✳
▼ët sè ✤÷đ❝ ồ õ t ừ ữợ số ổ t tữớ ừ õ ữợ
ổ ự ũ ố ự trữợ tổ ❤ì♥ sè ❜↕♥ ✤ù♥❣ s❛✉
❤ì♥
1
✤ì♥ ✈à✮ ❝ơ♥❣ ❧➔ sè ❝â tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❧➔ sè ❧➫✳
♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ sè ❝â ❝→❝ ❝❤ú sè ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
sè t➛♠ t❤÷í♥❣ ❧➔
tỉ✐
2
1
✈➔ ❝❤➼♥❤ ♥â✮✳ ❙è ✤➭♣ t❤ù
5
❧➔ sè ♥➔♦❄
♥❣÷í✐✳ ❈↔ ❤➔♥❣ ❝â sè ♥❣÷í✐ ❜➡♥❣ ❜❛ ❧➛♥ sè ♥❣÷í✐ ✤ù♥❣ s❛✉ tỉ✐✳ ❍ä✐ trữợ tổ õ
ữớ
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✷✵✹✳
◆❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ tr↔
✷✵✺✳
❚r➯♥ ♠ët ❤á♥ ✤↔♦ ❤♦❛♥❣ ✈✉✱ ❝→❝ t❤õ② t❤õ ✭>
33000✣
❜➡♥❣
2000✣
✈➔
5000✣✳
❍ä✐ ♣❤↔✐ ❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➲✉ tí
2000✣✳
❜↕❝ ✈➔
100
2✮
40
t➻♠ t❤➜②
❝→✐ ❦❤❛② ✈➔♥❣✱
72
❝❤✐➳❝ ❜→t
❝❤✐➳❝ ✈á♥❣ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ ✭❝→❝ ❧♦↕✐ ❣✐è♥❣ ❤➺t ♥❤❛✉✮✳ ❘➜t ♠❛② ❤å ❝â t❤➸ ❝❤✐❛ ✤➲✉ ❝❤♦
♥❤❛✉✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤õ② t❤õ❄
✷✵✻✳
✷✵✼✳
✷✵✽✳
✷✵✾✳
✷✶✵✳
❝â
4
✷✶✶✳
❍➣② ❝❤♦
3
sè ữỡ õ ú
ữợ số
õ số ữỡ ♠➔ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥â ❝â
❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝
◆❣÷í✐ t❛ ♥❤➙♥
▼ët sè ❝â
2
5
0
♠➔ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❝❤♦
4
sè tü ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔
3
❝❤ú sè❄
t❤➻ t❤÷ì♥❣ sè ✈➔ sè ❞÷ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉❄
3024✳
❍ä✐ ✤â ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥➔♦❄
❝❤ú sè✱ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚❛ ♥❤➙♥ sè ✤â ✈ỵ✐
❝❤ú sè✱ ♠➔ ❝❤ú sè t❤ù
3
✭sè ❤➔♥❣ ❝❤ư❝✮ ❧➔
5✳
19941994
✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sè
13
✈➔ sè t✐➳♣ t❤❡♦ ❝õ❛ sè
13✳
❚➻♠ sè tü ♥❤✐➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ♠➔ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè
❙è
99✱
❍ä✐ sè t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ s❛✉ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ❧➔ sè ♥➔♦❄
❇↕♥ ❤➣② t➻♠ ♠ët sè✱ ♠➔ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
♥➔② ❝â tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝ô♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
✷✶✷✳
✷✶✸✳
3
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10✳
❝â t❤➸ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❤❛② ❦❤æ♥❣❄ ❈â t❤➸ ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❜❛
sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❤❛② ❦❤æ♥❣❄
✷✶✹✳
❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❝â ❜❛ ❝❤ú sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tø♥❣ ✤æ✐ ♠ët ✈➔ ❝→❝ ❝❤ú sè ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦
✷✶✺✳
❍➣② ❞ị♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè
❝❤✐➲✉ t➠♥❣ ❞➛♥ ❤♦➦❝ ❣✐↔♠ ❞➛♥❄
0
❝â
✷✶✻✳
0✱
❣✐ú❛ ❤❛✐ sè
1
❝â
0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 ❣❤✐ ❝→❝ sè ♥➔② t❤➔♥❤ ♠ët ❤➔♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❣✐ú❛
1✱ ❣✐ú❛ ❤❛✐ sè 2 ❝â 2✱ ❣✐ú❛ ❤❛✐ sè 3 ❝â 3 ❝❤ú sè ✤ù♥❣ ❝❤❡♥ ✈➔♦✳
❚r♦♥❣ ❜↔♥❣ ỉ ✈✉ỉ♥❣
5 × 5✱
❤➣② ✤✐➲♥ sè ✈➔♦ ❝→❝ ỉ s❛♦ ❝❤♦ ❜➜t ❦➻ ❜↔♥❣
2×2
❤❛✐ sè
♥➔♦ tê♥❣ ❜è♥
sè ✤➲✉ ➙♠✱ ♥❤÷♥❣ tê♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❝→❝ sè tr➯♥ ❝↔ ❜↔♥❣ t❤➻ ❞÷ì♥❣✳
✷✶✼✳ 1995.199619961996 − 1995.199519951995 =
n+1
; (n ∈ Z; n = 3)
✷✶✽✳
A=
n−3
❄
❈❤♦ ♣❤➙♥ sè
❛✮ ❚➻♠
n
✤➸
A
❝â ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥✳
❜✮ ❚➻♠
n
✤➸
A
❧➔ ♣❤➙♥ sè tè✐ ❣✐↔♥✳
✷✶✾✳
❈❤♦ ♣❤➙♥ sè
A=
6n − 4
;n ∈ Z
2n + 3
❛✮ ❚➻♠
n
✤➸
A
♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳
❜✮ ❚➻♠
n
✤➸
A
rót ❣å♥ ✤÷đ❝✳
❝✮ ❚➻♠
n
✤➸
A
✤↕t
✷✷✵✳
GT LN
t tr õ
õ tỗ t ổ ởt số õ t ũ
trữợ t ữủ ởt sè ❜➡♥❣
3
3✱
♥➳✉ ①â❛ sè t➟♥ ❝ò♥❣ ✈➔ ✤✐➲♥ sè ♥➔② ✈➔♦
❧➛♥ sè ✤➛✉ t✐➯♥❄
✷✶
❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙
✷✷✶✳
▼ët ❞➣② sè ❝â sè ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔
✷✷✷✳
❍➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❜❛ ❝❤ú sè ❝á♥ t❤✐➳✉ tr♦♥❣ sè ❝â
2✱
sè ✤ù♥❣ ❣✐ú❛ ♥❤ä ❤ì♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ❜➯♥ ❝↕♥❤
❝❤♦
3✱
sè t❤ù ❤❛✐ ❧➔
1
❝→❝ sè t✐➳♣ s❛✉ ✤÷đ❝ t↕♦ t❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤✿
✤ì♥ ✈à✳ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛
6
❝❤ú sè
523abc
1110
sè ❜❛♥ ✤➛✉✳
❜✐➳t r➡♥❣ sè ♥➔② ❝❤✐❛ ❤➳t
7, 8, 9✳
✷✷✸✳
✷✷✹✳
✷✷✺✳
❚ê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ❝→❝ sè
1, 2, 3, . . . ., 1000
❍➣② ①→❝ ✤à♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❧➫ ❝â ❜❛ ❝❤ú sè ✈➔ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
5✳
❍➣② ❝❤♦ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ sè ✤â ❝â t❤➸ ✈✐➳t t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❝õ❛ ❜❛ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥
t✐➳♣ ✈➔ ❝ơ♥❣ ✈✐➳t ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛
✷✷✻✳
✷✷✼✳
✷✷✽✳
❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
❈â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❣✐→ trà
16
P❤➙♥ t➼❝❤ sè
11111211111
❚r♦♥❣ ❝→❝ sè
6
❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
7
6
sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣✳
s❛✉ ❦❤✐ ❝ë♥❣ ♠ët sè sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ♥❤❛✉❄
t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥
❝❤ú sè ❝â ❞↕♥❣
ababab
❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦
3
1✳
✈➔ ❝→❝ sè ❝â
6
❝❤ú sè ❝â ❞↕♥❣
cdccdc
❧♦↕✐ ♥➔♦ ❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥❄
✷✷✾✳
❍➣② t➻♠ ❝→❝ ❝❤ú sè
✷✸✵✳
❚ê♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❝â
✷✸✶✳
▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â s→✉ ❤á♠ ❤➔♥❣ ❝â ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣
A, B, C
s❛♦ ❝❤♦✿
AB · AB = BCAC
♥➳✉
A + B = C✳
❚➼❝❤ sè ♥➔② ❝â
❣✐→ trà ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
5
4 ❝❤ú sè ❧➔ 33190✳ ◆➳✉ ✈✐➳t ❝→❝ sè ♥➔②
❧➔ 48400✳ ❍ä✐ ❝→❝ sè ♥➔② ❧➔ ❝→❝ sè ♥➔♦❄
❝❤ú sè ✈➔ ♠ët sè ❝â
❝❤✐➲✉ ♥❣÷đ❝ ❧❛✐✱ t❤➻ tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ sè ♥❤➟♥ ✤÷đ❝
❚r♦♥❣ ♠ët ♥❣➔②✱ ❝û❛ ❤➔♥❣ ✤➣ ❜→♥
5
t❤❡♦
316❦❣✱ 327❦❣✱ 336❦❣✱ 338❦❣✱ 349❦❣✱ 351❦❣✳
4
❤á♠✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❜→♥ ❜✉ê✐ s→♥❣ ❣➜♣ ✤ó♥❣
❧➛♥ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❜→♥ ❜✉ê✐ ❝❤✐➲✉✳ ❍ä✐ ❤á♠ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ ❤á♠ ♥➔♦❄
✺ ❇➔✐ t♦→♥ t➾ ❧➺✱ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉✱ sè ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥
✺✳✶ ✣↕✐ ❧÷đ♥❣ t➾ ❧➺ t❤✉➟♥✱ t➾ ❧➺ ♥❣❤à❝❤✱ t➾ ❧➺ ❦➨♣
✷✸✷✳
❚ê
✷✸✸✳
▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ởt ữủ õ ợ ỹ t ừ tr
1
t r ợ
ữủ
5A õ 11 ồ s trỗ ữủ 55 ọ ợ 5A trỗ ữủ ♥❤✐➯✉
5A ❝â 42 ❤å❝ s✐♥❤ ✈➔ sè ❝➙② ♠é✐ ❤å❝ s trỗ ữủ
ợ
320
õ ữ tỹ t ♠é✐ ♥❣➔② ❝û❛ ❤➔♥❣ ✤â ✤➣ ❜→♥ ✤÷đ❝
❝➙②❄
20 ♥❣➔②✱ ♠é✐ ♥❣➔②
400 ❤➔♥❣ ❤â❛✳ ❍ä✐
✈ỵ✐ sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ✤➣ ♥❤➟♣ ❦❤♦ t ừ ữủ
út ữợ ừ ởt ỗ ữớ t sỷ ử
út ỗ õ tr
9
15 ỡ tr 12 ❣✐í✳ ❍ä✐
❣✐í t❤➻ ❝➛♥ ♣❤↔✐ sû ❞ư♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠→② ❜ì♠❄ ❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t
❝→❝ ♠→② ♥❤÷ ♥❤❛✉✳
✷✸✺✳
✤â ❝â
▼ët tê t❤đ ♠❛② ❝â
18
15
♥❣÷í✐ tr♦♥❣
♥❣÷í✐ ❧➔♠ ✈✐➺❝ tr♦♥❣
8
6
♥❣➔② ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♠❛② ✤÷đ❝
135
❜ë q✉➛♥ →♦✳ ❍ä✐ ♥➳✉ tê
♥❣➔② t❤➻ s➩ ♠❛② ✤÷đ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❜ë q✉➛♥ →♦❄ ❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t
❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ✤➲✉ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳
✷✸✻✳
40 ♥❣÷í✐ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ ♥❤✐➺♠ ✈ư ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ tr♦♥❣ 15 ♥❣➔②✳
t❤➻ 20 ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ✤✐ ♥ì✐ ❦❤→❝✳ ❍ä✐ ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ❤♦➔♥
▼ët ✤ë✐ ❝ỉ♥❣ ♥❤➙♥ ❝â
❙❛✉ ❦❤✐ ❧➔♠ ✤÷đ❝
3
♥❣➔②
t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ tr♦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣➔②❄ ❇✐➳t ♥➠♥❣ s✉➜t ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ♠å✐ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣
♠ët ♥❣➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳
✷✷