CÁC CHỦ đề ôn THI HSG TOÁN 9

Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

CÁC CHỦ ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC
2

Bài 1. Rút gọn biểu thức A 

4  3 4 5  2 4 25  4 125

.

Đ/S: A  4 5  1
Bài 2. Rút gọn biểu thức B  x  y  z  2 xz  yz  x  y  z  2 xz  yz .


2 x  y khi x  y  z
Đ/S: B  
khi x  y  z

2 z
Bài 3. Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng C 

Đ/S: C 

1

 a  b

2



1

b  c 

2



1

c  a 

2

là số hữu tỉ.

1
1
1


.
a b bc c a
1
1

1
1
1

 4 4
.
2
2
x  y  x  y
x
y  x 2  y 2 2

Bài 4. Rút gọn biểu thức D 

Đ/S: D 

2

1 1
1
 2
.
2
x
y  x  y 2

Bài 5. Tính tổng E  1 

1 1
1 1

1
1
 2  1  2  2  ...  1 

2
2
2 3
3 4
2016 2017 2

Gợi ý: Phân tích số hạng tổng quát 1 

Bài 6. Rút gọn biểu thức F 

1
1
1
1

 1 
2
2
k
k k 1
 k  1

1
1
1
1



 ... 
.
4 5
5 6
6 7
99  100

Đ/S: F  8.
Bài 7. Rút gọn biểu thức G 
Đ/S: G  1 

1
1
1

 ... 
.
2 1 1 2 3 2  2 3
2017 2016  2016 2017

1
.
2017

Theo đuổi đam mê để thành công

1|Page

Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

 2x x  x  x x  x 
x 1
x


.
Bài 8. Cho biểu thức H  
 .
x 1  2x  x 1 2 x 1
x x 1

a) Tìm x để H có nghĩa.
b) Rút gọn H .
c) Xác định x để H có giá trị nhỏ nhất.
1
Đ/S: a) x  0, x  1, x  .
4

b) H 

x x
.
x  x 1

c) H min  0.

Bài 9. Cho biểu thức I 

x2  x
2 x  x 2  x  1


x  x 1
x
x 1

a) Rút gọn I .
b) Tìm x để

2 x
là số nguyên.
C

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của I .
Đ/S: a) I  x  x  1.
b) x 

3 5
.
2

3
c) I min  .
4

Bài 10. Cho biểu thức K 

a
a 2  b2



a 2  b2  a a  a 2  b 2
.
với a  b  0.
b
a 2  b2

a) Rút gọn K .
b) Tính K nếu
Đ/S: a) K 

b) K 

a b
a 2  b2

a 3
 .
b 2

.

5
5
nếu b  0 còn K  

nếu b  0.
5
5

Theo đuổi đam mê để thành công

2|Page


Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ ĐỀ THI HSG

 ab  cd  bc  da  ca  bd 

Bài 11. Chứng minh rằng

là số hữu tỉ trong đó a, b, c, d là các số hữu tỉ

thỏa mãn a  b  c  d  0.
(Trích đề thi HSG Tốn 9, quận 9- TP HCM)

1
Bài 12. Chứng minh rằng:

3
2

1



3
1 1
2

3
2

 1.

3
1 1
2
(Đề thi vào 10 chuyên Toán-Tin ĐHSP. HN)

1
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x 2  5x  2  2 x  3  2 x với x   .
2
Bài 14. Giải phương trình

4  3 10  3x  x  2.

(Đề thi chọn HSG cấp quốc gia lớp 12 năm 2001-2002)
Bài 15. Giải phương trình x 2  3x  1   x  3 x 2  1.
(Trích đề thi HSG Tỉnh Bắc Giang)
Bài 16. Giải phương trình

2059  x  2053  x  2154  x  24.

(Trích đề thi HSG Tốn 9, quận Tân Bình, TP. HCM)
Bài 17. Tính giá trị biểu thức A   3x  8 x  2 
3

2

1998


biết x 

52



3

17 5  38

5  14  6 5

.

Đ/S: A  31998.
Bài 18. Đặt x  3 a 

1
a  1 8a  1 3

a  1 8a  1
. Chứng minh a  thì x là số nguyên dương.
 a
8
3
3
3
3
(Đề thi vào 10 chuyên Toán, Lê Hồng Phong, TP. HCM 1982-1983).



Bài 19. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  x 2  2106
Bài 20. Cho biểu thức P 

Bài 21. Tính

 y 



y 2  2016  2016. Tính A  x  y.

3
3
x xx


. Tìm tất cả các giá trị của x để P  2.
x 3  x

x 3  x
x 1

x
biết x  1, y  0 và
y

Theo đuổi đam mê để thành công

 x  y   x3  y 3 

1 



1 

4x 1



2

4 x  1  x 2 y 2  xy 3  y 4 

 6.

3|Page

Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343


Bài 22. Cho a 

Luyện thi HSG và THPTQG



3  1 3 10  6 3
21  4 5  3

a) Xác định đa thức với hệ số nguyên nhỏ nhất nhận a làm nghiệm.
b) Tính giá trị của biểu thức  a 2  4a  2 

2016

.

Bài 23. Tính giá trị biểu thức A   x  y   3  x  y  xy  1 , biết rằng
3

x  3 2  3  3 2  3; y  3 5  2  3 5  2.
3

Bài 24. Cho x, y thỏa mãn x  2  3 

2017
6 3  10
. Tính A   x 4  x3  x 2  2 x  1 .

3 1

Bài 25. Cho các số thực dương a, b với a  b. Chứng minh đẳng thức



a  b

3

a b



3

 b b  2a a

a a b b



3a  3 ab
 0.
ba

CHỦ ĐỀ 2: PT,BPT, HPT VÔ TỶ
SỬ DỤNG KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP TRONG GIẢI PT, BPT, HPT
Bài 1 (THTT số 485). Giải phương trình:

4 x  1  34 x  3  33x  2  3x  4

Bài 2 (THTT số 485). Giải phương trình:

3x 2  5x  1  x 2  2  3  x 2  x  1  x 2  3x  4

Bài 3 (THTT số 485). Giải phương trình:
Bài 4 (THTT số 485) Giải phương trình:

3

3

x  2  x  1  5.
x  8  x  7  x3  8x 2  8x  14  0.
x2  12  5  3x  x 2  5.

Bài 5 (THTT số 485) Giải phương trình:

Bài 6 (THTT số 485). Giải phương trình: x2  8  4 x  2  22  3x .

x  3  x  8  x 2  3x  9  0.

Bài 7 (THTT số 485). Giải phương trình:
Bài 8 (THTT số 485). Giải phương trình:

3

2 x  2  3 2 x  1  3 2 x 2  3 2 x 2  1.

 x  3  10  y  5
Bài 9. Giải hệ phương trình: 
 y  3  10  x  5.

Theo đuổi đam mê để thành công

4|Page


Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

2 x 2  5  2 y  1  y 2
Bài 10. Giải hệ phương trình: 
2 y 2  5  2 x  1  x 2 .
8 xy
 2
x  y2 
 16

x y

Bài 11. Giải hệ phương trình: 
 x 2  12  5 x  y  3x  x 2  5.


2

x  2  3x  5  2 x  3.

Bài 12. Giải bất phương trình:





Bài 13. Giải bất phương trình: 9  x  1   3x  7  1  3x  4 .
2

2

x  2  3x  5  2 x  3.

Bài 14. Giải bất phương trình:

NÂNG LŨY THỪA

x  3  3x  1  2 x  2 x  2.

Câu 15. Giải phương trình:

Câu 16. 4 x2  7 x  1  2 x  2
Hướng dẫn : Bình phương 2 vế thu được : 16 x4  56 x3  57 x2  10x  7  0
  4 x 2  3x  1 4 x 2  11x  7   0

Cách 2: ẩn phụ khơng hồn tồn t  x  2
Câu 17. Giải phương trình: 2 x2  x  2  2 x 2  4 x  x  2
Hướng dẫn : PT  2 x2  x  2  x  2  2 x 2  4 x , bình phương hai vế ta giải được x  2
Câu 18. Giải phương trình :



Câu 19. Giải phương trình : 2

1  x  1  3x





1  2x  2 1  4x



2 x  4  2 2  x  9 x 2  16

Đáp số : x  0
Đáp số : x 

4 2
3

Câu 20. Giải phương trình : 9 x 2  5x   2  x  3x 2  8 x  3
Hướng dẫn : Bình phương 2 vế biến đổi về dạng  3x 2  x  113x 2  16 x  6   0
Câu 21. Giải phương trình :
Câu 22. Giải phương trình : 2

 3 57  32 
2 x 2  16 x  18  x 2  1  2  x  2  Đáp số : x  1;


7



 2  x  5  x    2  x 10  x   x

Hướng dẫn : Chuyển vế bình phương thu gọn được  x  1  x 2  15x  25   0
Theo đuổi đam mê để thành công

5|Page


Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Câu 23. Giải phương trình :

x3  1
 x  3  x2  x  1  x  1
x3

Đáp số : x  1  3

Câu 24. Giải phương trình :

x3  8
 x  2  x2  2 x  4  2 x  1

2x 1

Đáp số : x  1

Câu 25. Giải phương trình :

8 x3  1
1
4x  2x 1  2x  3 
 2 x  1 Đáp số : x 
2x  3
2
2

DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Câu 26. Giải phương trình :

3

Đáp số : x  9

x 1  x  7  2 x  8

Câu 27. Giải phương trình : 2 x  2 x  1  2  x  1  2 x  3
Câu 28. Giải phương trình:

3

x  2  3 x  1  1  3 x 2  3x  2

Câu 29. Giải phương trình:

4

x  1  x  1  4 x3  x 2

Đáp số : x  5

Dùng đẳng thức mở rộng
Câu 30. Giải phương trình:

x  3  2 x x  1  2 x  x 2  4 x  3.

Câu 31. Giải phương trình:

x3 

4x
 4 x.
x3
ĐẶT MỘT ẨN PHỤ

Câu 32. Giải phương trình: 2 2 x  x 2  4  3





x  2 x .

Câu 33. Giải phương trình: 2 x  6  2 x  x  3  4





x  x3 .

Câu 34. Giải phương trình: 2 x  1  x  3  x  2 x 2  3x .
Câu 35. Giải phương trình: x2  4 x  1  2 x 3x  1  3x  1.
CHIA RỒI ĐẶT ẨN PHỤ
Câu 36. Giải phương trình: x 2  2 x x 

1
 3x  1.
x

Câu 37. Giải phương trình: x 2  3 x 4  x 2  2 x  1.

1
Câu 38. Giải phương trình: 4 x 2  x  4  3x x  .
x
Theo đuổi đam mê để thành công

6|Page


Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

Câu 39. Giải phương trình:

x 2  4 x  3  3x 2  4 x  1  x 2  x .

Câu 40. Giải phương trình:

x2  1  x2  x  2  2 x 2  x  3.

Câu 41. Giải phương trình:

4

x2  x  1  4 x2  x  1  2 4 x .
TUYỂN CHỌN MỘT SỐ ĐỀ THI

Câu 42. Giải phương trình:

x  3x  1  2 x 2  x  x  1.

(Vòng 1, THPT Chuyên ĐHQG HN, 2001-2002)
Câu 43. Giải phương trình:

x  x  1  x  x  2   x  x  3.
(THPT Chuyên ĐHSP HN, 1999-2000)

Câu 44. Giải phương trình: 5 x3  3x 2  3x  2  2  x 2  2 x  3
(HSG Toán 9, TP. Hà Nội, 2010-2011)
Câu 45. Giải phương trình: 2 x 2  2  x  1 x 2  1  6 x  1  0
(HSG Toán 9, TP. Hà Nội, 2003-2004)

Bài 46. Giải phương trình  2 x  1  12 x 2  x  2  1.
2

(Trích đề thi vào 10 PTNK, ĐHQG, TP. HCM 2011-2012)
Bài 47. Giải phương trình:

x  2  3 2x  5  x  2  2x  5  2 2

(Đề thi vào 10 chuyên toán, chuyên Lê Hồng Phong, TP. HCM)
Bài 48. Giải phương trình:

x  x2  x  x2  x  1
(Đề thi chọn HSG TP. HCM 2009-2010)

Bài 49. Giải phương trình:

2 x  1  17  2 x  x4  8x3  17 x2  8x  22.

CHỦ ĐỀ 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CĨ ĐIỀU KIỆN
Bài 1. Cho các số dương x, y thỏa mãn: 7 x2  13xy  2 y 2  0. Tính giá trị của biểu thức A 

2 x  3y
.
7x  4 y

1
Đ/S: A   .
9
Theo đuổi đam mê để thành công

7|Page


Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG

Bài 2. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn:

x 1
2010
2010
và x  2 y  2345. Tính B   .
1 
y 2
x
y

Đ/S: B  2.

5 x  3 y  2,5 z

Bài 3. Cho các số thực khác 0 là x, y, z, t thỏa mãn  t t t 9 Tính giá trị biểu thức
 x  y  z  10 .


C

t2 t2 t2
  .

xy yz zx

7
Đ/S: C  .
5
 x  y  x  y   z 2

Bài 4. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 
2
2

4 y  5  7 z .
Tính giá trị biểu thức D  2 x 2  10 y 2  23z 2 .
Đ/S: D  15.

t

 x  2 y  2 z  1
t
Bài 5. Cho các số thực x, y, z, t thỏa mãn 
. Tính giá trị biểu thức E 
.
x

8
y

9
z
t

1


 z  3x 2
Đ/S: E  1/ 6.

 x2  y 2  9

Bài 6. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn  y 2  z 2  16 . Tính giá trị biểu thức G  y  x  z  .
 y 2  zx

Đ/S: G  12. (chú ý có thể dùng phương pháp hình học)
29

2
x  y  4

Bài 7. Cho các số thực x, y, z, t với y  0 thỏa mãn  y 2  z  2
 2
 y  x 1 2  z .


Tính giá trị biểu thức H  y





x 1  2  z .

Đ/S: H  5. (chú ý có thể dùng phương pháp hình học)

Theo đuổi đam mê để thành công

8|Page


Phạm Như Toàn. ĐT:0988 819 343

Luyện thi HSG và THPTQG


 y 2  z 2  50

y2

Bài 8. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn  x 2  xy 
 169.
2

 2
z2
x

xz

 144


2

Tính giá trị biểu thức K  xy  yz  zx.

1 1 6
x  y  z

Bài 9. Cho các số thực dương x, y, z với x  y và thỏa mãn 
 z  4.
 x  y 3
Tính giá trị biểu thức M 

z
.
x y

Đ/S: M  4.


s
1
x y  z  4

 2s
1
Bài 10. Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn 

 x  2y t 3

s
 1.


 2x  y  z  t
Tính giá trị biểu thức N 

7 x  4z  t
s

Đ/S: N  11.

 2
y2
x

xy

 25

3

 y2
Bài 11. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn   z 2  9
3
 z 2  xz  x 2  16.


Tính giá trị biểu thức P  xy  2 yz  3zx
Đ/S: P  24 3.

Theo đuổi đam mê để thành công

9|Page