De thi thu THPTQG nam 2018 mon toan THPT chuyen vinh phuc vinh phuc l3

Đề thi thử THPTQG 2018 THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc - Lần 3

Câu 1. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vng góc với ∆ ?
A. 1
B. 3
C. Vơ số
D. 2
Lời giải
Đáp án C
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y = − x 7 + 2 x 5 + 3 x 3 .
A. y = − x 6 + 2 x 4 + 3x 2
B. y = −7 x 6 − 10 x 4 − 6 x 2
C. y = 7 x 6 − 10 x 4 − 6 x 2 .
D. y = −7 x 6 + 10 x 4 + 9 x 2 .
Lời giải
Đáp án D
Ta có: y ′ = −7 x 6 + 10 x 4 + 9 x 2
Câu 3. Tìm I = lim
A. I = 2

8n5 − 2n3 + 1
.
4n5 + 2n 2 + 1

B. I = 8

C. I = 1
Lời giải

D. I = 4

Đáp án A
2 1
+ 5
2
n
n =2
Ta có: I = lim
2 1
4+ 3 + 5
n n
r
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho véctơ v = ( −3;5 ) . Tìm ảnh của điểm A ( 1; 2 ) qua phép tịnh tiến theo
r
vectơ v .
A. A′ ( 4; −3)
B. A′ ( −2;3)
C. A′ ( −4;3)
D. A′ ( −2;7 )
Lời giải
Đáp án D
 x A′ = 1 + ( −3) = −2
⇒ A′ ( −2;7 )
Gọi A′ = Tvr ( A) ⇒ 
 y A′ = 2 + 5 = 7
Câu 5. Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi các đường
8−

y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục Ox .
b

2
A. π ∫ f ( x ) dx

b

B.

a

∫

f 2 ( x ) dx

a

b

C. π ∫ f ( x ) dx
a

b

2
D. 2π ∫ f ( x ) dx
a

Lời giải
Đáp án A
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos3 x là:
1

A. −3sin 3x + C
B. − sin 3 x + C
3

C. − sin 3x + C

D.

1
sin 3 x + C
3

Lời giải
Đáp án D
sin 3 x
+C
3
Câu 7. Hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Lời giải
Đáp án C
3
2
Ta có: y ′ = 4 x − 4 x = 4 x x − 1 = 0 ⇔ x ∈ { 0; −1;1} ⇒ hàm số có 3 điểm cực trị.
Ta có:

∫ f ( x ) dx = ∫ cos3xdx =

(

)

Câu 8. Số nào trong các số sau lớn hơn 1?


A. log 0,5

1
8

B. log 0,2 125

C. log 1 36
6

D. log 0,5

1
2

Lời giải
Đáp án A
Câu 9. Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là:
A. 16
B. 26
C. 8
D. 24

Lời giải
Đáp án B
Hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt.
Câu 10. Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đơi một?
A. 8
B. 6
C. 9
D. 3
Lời giải
Đáp án B
Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 3
Lời giải

Đáp án B
Câu 12. Cho hình chóp tam giác S . ABC với SA, SB, SC đơi một vng góc và SA = SB = SC = a. Tính thể
tích của khối chóp S . ABC .
1 3
1 3
1 3
2 3
A. a
B. a
C. a
D. a

3
2
6
3
Lời giải
Đáp án C
Câu 13. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng 2a . Tính thể tích khối lăng trụ
ABC. A′B′C ′.
a3 3
a3 3
A. a 3 3
B.
C.
D. 2a 3 3
4
2
Lời giải
Đáp án D
1
2
°
2
Thể tích khối lăng trụ là: V = S ABC . AA′ = ( 2a ) sin 60 .2a = 2 3a
2
3
Câu 14. Phương trình cos x = −
có tập nghiệm là
2
 π


 5π

+ k 2π , k ∈ ¢ 
A.  ± + kπ , k ∈ ¢ 
B.  ±
 6

 6

 π

 π

C.  ± + kπ , k ∈ ¢ 
D.  ± + k 2π , k ∈ ¢ 
 3

 3

Lời giải
Đáp án B
5π
PT ⇔ x = ±
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
6
1
+ log 3 ( x − 4 ) là
Câu 15. Tập xác định của hàm số y =
2
x − 4x + 5

B. D = [ −4; +∞ )

A. D = ( −4; +∞ )

C. D = ( 4;5 ) ∪ ( 5; +∞ )

D. D = ( 4; +∞ )
Lời giải

Đáp án D
( x − 2 ) 2 + 1 > 0
 x2 − 4 x + 5 > 0
⇔
⇒ x > 4 ⇔ D = ( −4; +∞ )
Hàm số xác định ⇔ 
x − 4 > 0
 x > 4

 π π
Câu 16. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = s inx trên đoạn  − ;  lần lượt là
 2 3
1
3
3
3
2
3
A. − ; −

B. −
C. −
D. −
; −1
; −2
;−
2
2
2
2
2
2
Lời giải
Đáp án B
π
Ta có y ′ = cos x ⇒ y′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ )
2

3
y=−
 max
2
3
 − π ;π 
 π
 π
⇒   2 3 
Suy ra y  − ÷ = −1, y  − ÷ = −
2
 2

 3
 max y = −1
 − π2 ;π3 


2
x
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số y = x − 2 x + 2 e .

(

)

A. y ′ = x + 2 e
2

(

)

B. y ′ = x 2 e x

x

C. y ′ = ( 2 x − 2 ) e
Lời giải

x

D. y ′ = −2 xe x

Đáp án B
x
2
x
2 x
Ta có y ′ = ( 2 x − 2 ) e + x − 2 x + 2 e = x e .

(

)

r
r
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho véctơ a = ( 1; −2;3) . Tìm tọa độ của véctơ b biết rằng
r
r
r
r
véctơ b ngược hướng với véctơ a và b = 2 a
r
r
r
r
A. b = ( 2; −2;3)
B. b = ( 2; −4;6 )
C. b = ( −2; 4; −6 )
D. b = ( −2; −2;3)
Lời giải
Đáp án C

r
r
Ta có: b = −2a = ( −2; 4; −6 )
Câu 19. Hàm số y =
A. ( 2; 4 )

x 4 10 x 3
−
+ 2 x 2 + 16 x − 15 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
2
3
B. ( 2; +∞ )
C. ( 4; +∞ )
D. ( −∞; −1)
Lời giải

Đáp án C
x > 4
3
2
Ta có: y ′ = 2 x − 10 x + 4 x + 16 = 2 ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 4 ) ⇒ y ′ > 0 ⇔ 
 −1 > x < 2
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1; 2 ) và ( 4; +∞ ) .
π
4

Câu 20. Tính tích phân I = tan 2 xdx .
∫
0

π
A. I = 1 −
4

B. I = 2

C. I = ln 2
Lời giải

D. I =

π
12


Đáp án A
π
4

π
4

Ta có I = tan 2 xdx =  1 − 1÷dx = ( tanx − x )
∫
∫0  cos 2 x 

π
4
0

= 1−

π
4

Câu 21. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d . Hàm số luôn đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi
 a = b = 0, c > 0
A. 
B. a > 0, b 2 − 3ac ≤ 0
2
 a > 0, b − 3ac ≥ 0
 a = b = 0, c > 0
C. 
2
 a > 0, b − 3ac ≤ 0

 a = b = 0, c > 0
D. 
2
 a > 0, b − 4ac ≤ 0
Lời giải

Đáp án
Câu 22. Hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' .

A.

a3
3

B.

a3
2

Đáp án A
1
1
VACB′D′ = VABCD. A′B′C ′D′ = a 3
3
2
Câu 23. Số 6303268125 có bao nhiêu ước số nguyên?
A. 420
B. 630

a3
6
Lời giải
C.

C. 240
Lời giải

D.

a3
4

D. 720

Đáp án D
Ta có 6303268125 = 54.35.73.112.
Suy ra 63032681252 có 2 ( 4 + 1) ( 5 + 1) ( 3 + 1) ( 2 + 1) = 720 ước số nguyên.
1
1
Câu 24. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −1 , công bội q = − . Hỏi 2017 là số hạng thứ mấy của ( un ) ?
10
10
A. Số hạng thứ 2018
B. Số hạng thứ 2017
C. Số hạng thứ 2019
D. Số hạng thứ 2016
Lời giải
Đáp án A
n
n −1
−1)
(
1
1

Gọi un = 2017 = ( −1)  − ÷ = n −1 ⇒ n − 1 = 2017 ⇒ n = 2018
10
10
 10 
7x − 2
Câu 25. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2
là
x −4
A. 2

B. 4
C. 1
D. 3
Lời giải
Đáp án D
Hàm số có TXĐ D = ¡ \ { ±2} .
y = lim = 0 ⇒ Đồ thị hàm số có TCN y = 0
Ta có xlim
→−∞
x →+∞
2
= ∞, lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có 2 TCĐ là x = 2; x = −2
Mặt khác x − 4 = 0 ⇔ x = ±2, lim
x→2
x →( −2 )

Câu 26. Cho cấp số cộng ( un ) có u4 = −12, u14 = 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.


A. S16 = −24

B. S16 = 26

C. S16 = −25
Lời giải

D. S16 = 24

Đáp án D
16 ( −42 + 15.3)

u4 = u1 + 3d = −12 u1 = −21
⇒
⇒ S16 =
= 24.
Ta có 
2
u14 = u1 + 13d = 18 d = 3
Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABCD )
3a
trùng với trung điểm của cạnh AB . Cạnh bên SD = . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
2
1 3
3 3
5 3
2 3
A. a
B.
C.
D.
a
a
a
3
3
3
3
Lời giải
Đáp án A
2

a
a 5
Ta có HD = a +  ÷ =
2
2
2

2

2
 3a   a 5 
SH =  ÷ − 
÷ =a
 2   2 ÷

S
.
ABCD
Thể tích khối chóp
là:
3
1
1
a
V = S ABCD .SH = a 2 .a = .
3
3
3
2
x

( 30 )
Câu 28. Cho hàm số f ( x ) =
. Tìm f ( x ) .
−x +1
−30
( 30 )
A. f ( x ) = −30!( 1 − x )
30
C. f ( ) ( x ) = 30!( 1 − x )

30
B. f ( ) ( x ) = 30!( 1 − x )

D. f (
Lời giải

−30

30 )

−31

( x ) = −30!( 1 − x )

−31

Đáp án B

x2
x 2 − 1 + 1 ( x − 1) ( x + 1) + 1

1
=
=
= −x −1−
−x +1
1− x
− ( x − 1)
x −1
1!
2!
3!
30!
30!
; f ′′ ( x ) =
, f ( 3) =
⇒ f ( 30) = −
=
Có f ′ ( x ) = −1 +
2
3
4
31
31
( x − 1)
( x − 1)
( x − 1)
( x − 1) ( 1 − x )
Ta có f ( x ) =

(

)

3
Câu 29. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đựng nước sạch có dung tích V cm . Hỏi bán kính

R ( cm ) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. R =

3

3V
2π

B. R =

3

V
π

C. R =

3

V
4π

D. R =

Lời giải
Đáp án D
2
Gọi chiều cao của hình trụ là h . Ta có: V = π R h ⇒ h =

V
π R2

Diện tích tồn phần của hình trụ là:
V
2V
V V
V V
S xq = 2π R 2 + 2π R. 2 = 2π R 2 +
= 2π R 2 + + ≥ 3 3 2π R 2 . . = 3 3 2π V 2
πR
R
R R
R R
V
V
Dấu = xảy ra ⇔ 2π R 2 = ⇔ R = 3
R
2π
Câu 30. Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a .

3

V
2π

A. S xq =

π a2 3
3

B. S xq =

π a2
3

C. S xq =

π a2 2
3

D. S xq =

π a2 3
6

Lời giải
Đáp án A
Bán kính đáy của hình nón là: R− =

2a 3 a 3
=
3 2
3

2

a 3
a 6
Chiều cao của hình nón là: h = a − 
 3 ÷
÷ = 3


2

a 3 π a2 3
=
.
3
3
Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cơsin của góc giữa mặt bên và mặt
đáy.
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
3
2
2
3

Lời giải
Đáp án A
Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq = π Rl = π .

a 2
a 2
⇒ SO = SA2 − OA2 =
2
2
1
SO
·
=
= 2 Do đó cosϕ =
Khi đó tanϕ = tan SHO
3
OH
b
Câu 32. Tìm một ngun hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = a x + 2 ( x ≠ 0 ) biết rằng F ( −1) ; F ( 1) = 4; f ( 1) = 0.
x
2
3x
3 7
3x 2 3 7
A. F ( x ) =
B. F ( x ) =
+
+
−
−

4
2x 4
4 2x 4
3x 2 3 7
3x 2 3 1
C. F ( x ) =
D. F ( x ) =
+
−
−
−
2
4x 4
2 4x 2
Lời giải
Đáp án A
Dựng hình như hình vẽ.Ta có: OA =


Ta có: f ( 1) = 0 ⇒ a + b = 0. Do f ( x ) = a x +

b
a x2 b
x
≠
0
⇒
F
x
=

− +C
(
)
( )
x2
2
x

a
a
+ b + C = 1; F ( 1) = 4 ⇒ − b + C = 4
2
2
2
3
3
7
3x
3 7
Suy ra a = ; b = − ; c = ⇒ F ( x ) =
+
+
2
2
4
4
2x 4
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( l ;0; −3) , B ( −3; −2; −5 ) . Biết rằng tập hợp
Do F ( −1) = 1 ⇒

các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức AM 2 + BM 2 = 30 là một mặt cầu ( S ) . Tọa độ
tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) là:
A. I ( −2; −2; −8 ) ; R = 3

B. I ( −1; −1; −4 ) ; R = 6

C. I ( −1; −1; −4 ) ; R = 3

D. I ( −1; −1; −4 ) ; R =

30
2

Lời giải
Đáp án C
2
Gọi I ( −1; −1; −4 ) ; AB = 24 là trung điểm của AB khi đó AM 2 + BM 2 = 30
uuur 2 uuur 2
uuu
r uu
r 2
r uur 2
Suy ra MA + MB = 30 MI + IA + MI + IB = 30
2 MI 2 + IA2 + IB 2

(
) (
)
uuu
r uu

r uur
+ 2 MI ( IA + IB ) = 30 ⇔ 2MI

2

= 30 −

Do đó mặt cầu ( S ) tâm I ( −1; −1; −4 ) ; R = 3 .
Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) =
A.

1
12

2 1+ x − 3 8 − x
f ( x) .
. Tính lim
x →0
x
13
B.
C. +∞
12
Lời giải

Đáp án B
Cách 1: CALC
Cách 2:

= lim

x →0 



AB 2
⇔ MI = 3.
2

2 1+ x − 2 + 2 − 3 8 − x
= lim
x →0
x →0
x →0
x

2
1
÷ = 13
+
1+ x +1 4 + 2 3 8 − x + 3 ( 8 − x) 2 ÷
÷ 12

lim f ( x ) = lim

(

B. 3

x

)

2

+3 x −6

(

)

+ x 2 + 3 x − 6 .8 x

C. 2
Lời giải

Đáp án D

(

)
− x −3) ⇔ ( 8

u

(
− 1) v + ( 8
2

+ 3 x −6

) (

)

− x −3

là:

)

+ x 2 + 3 x − 6 .8 x

 x 2 + 3x − 6 = 0
*
⇔
v
=
0
⇒
TH1. Nếu u = 0 , khi đó ( )
 2
 x − x − 3 = 0
TH2. Nếu v = 0, tương tự TH1.
u
v
TH3. Nếu u > 0, v > 0 khi đó 8 − 1 v + 8 − 1 u > 0 ⇒ ( *) vô nghiệm.

(

2

D. 4

2
2
2
x
Phương trình đã cho ⇔ x + 3 x − 6 + x − x − 3 = x − x − 3 .8
2
2
⇒ u + v = u.8v + v.8u (với u = x + 3 x − 6; v = x

10
11

 ( 1 + x ) − 1
8 − ( 8 − x)
2
+
2
 1 + x + 1 4 + 2 3 8 − x + 3 ( 8 − x )

2
2
x
Câu 35. Số nghiệm của phương trình 2 x + 2 x − 9 = x − x − 3 .8

A. 1

D.

v

)

−1 u = 0

2

− x −3

( *) .


TH4. Nếu u < 0, v < 0 tương tự TH3.
u
v
TH5. Nếu u > 0, v < 0 khi đó 8 − 1 v + 8 − 1 u < 0 ⇒ ( *) vô nghiệm.
TH6. Nếu u < 0, v > 0 tương tự TH5.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .
8u − 1 8v − 1
8u − 1
Hoặc biến đổi ( *) ⇔
+
= 0, dễ thấy
> 0; ∀u ≠ 0 (Table = Mode 7).
u
v
u
Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a , SA vng góc với đáy

SA = a 2. Gọi B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng cắt SC tại C ′ . Thể tích
khối chóp S . AB′C ′D′ là:
2a 3 3
2a 3 2
a3 2
2a 3 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
9
3
9
3
Lời giải
Đáp án C

(

) (

)

Gọi O là tâm hình vng ABCD .
I = SO ∩ B′D′ ⇒ C ′ = AI ′ ∩ SC .
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ AB′
Ta có: 
 BC ⊥ SA
Lại có AB′ ⊥ SB ⇒ AB ⊥′ SC , tương tự AD′ ⊥ SC

Do đó AC ′ ⊥ SC
SB′ SA2 2
Xét tam giác SAB có: SB′.SB = SA2 ⇒
=
=
SB SB 2 3
SC ′ SA2 2
Tương tự
=
=
SC SC 2 4
VS . AB′C ′ 2 2 1
= . = , do tính chất đối xứng nên:
Do đó
VS . ABC 3 4 3
VS . AB′C ′D′ 1
a3 2
a3 2
= ;VS . ABCD =
⇒V =
.
VS . ABCD 3
3
9

Câu 37. Cho cấp số cộng ( un ) biết u5 = 18 và 4 S n = S 2 n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số
cộng.
A. u1 = 2, d = 4
B. u1 = 2, d = 3
C. u1 = 2, d = 2

D. u1 = 3, d = 2
Lời giải
Đáp án A
Giả sử un = u1 + ( n − 1) d ⇒ u5 = u1 + 4d = 18 ( 1) .
n  2u + ( n − 1) d 
2n  2u1 + ( 2n − 1) d 
Ta có: S n =  1
; S2n = 
2
2


Do S 2 n = 4 S n ⇒ 2n  2u1 + ( 2n − 1) d  = 4n  2u1 + ( n − 1) d  ⇔ 2u1 + ( 2n − 1) d = 4u1 + ( 2n − 2 ) d

⇔ 2u1 = d ( 2 ) . Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra u1 = 2, d = 4.
Câu 38. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D ; SD vng góc với mặt đáy
( ABCD ) ; AD = 2a; SD = a 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng ( SAB ) .
A.

2a
3

B.

a
2

C. a 2

D.

a 3
2

Lời giải
Đáp án A

Do AB / / CD do đó d ( CD; ( SAB ) ) = d ( D; ( SAB ) )
2a
3
SD + DA
Câu 39. Trong hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào sai?
A. BB′ ⊥ BD
B. A′C ′ ⊥ BD
C. A′B ⊥ DC ′
D. BC ′ ⊥ A′D
Lời giải
Đáp án A
Dựng DH ⊥ SA ⇒ DH ⊥ ( SAB ) ⇒ d = DH =

SD.DA
2

2

=

Ta có đáy của hình hộp đã cho là hình thoi:
 AC ⊥ BD

⇒ A′C ′ ⊥ BD nên A đúng,
Do đó 
 AC / / A′C ′
tương tự C, D đúng.
 19 
3
2
Câu 40. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) = 2 x − 3x + 5. Từ điểm A  ; 4 ÷ kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
 12 
tới ( C ) .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Đáp án C


(

)

(

)

3
2
2
3

2
PTTT của ( C ) tại điểm M a; 2a − 3a + 5 là: y = 6a − 6a ( x − a ) + 2a − 3a + 5

 19 
 19

2
3
2
Do tiếp tuyến đi qua điểm A  ; 4 ÷nên 4 = 6a − 6a  − a ÷+ 2a − 3a + 5
 12 
 12

1

a = 8

25
19
⇔ 4a 3 − a 2 + a − 1 = 0 ⇔  a = 1
2
2
a = 2


 19 
Vậy từ điểm A  ; 4 ÷kẻ được 3 tiếp tuyến tới ( C ) .
 12 
Câu 41. Trong không gian với hệ tọ độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) ,

(

)

C ( 0;0;1) , D ( 0;0;0 ) . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD ) ,

( CDA) , ( DAB ) ?

B. 5

A. 4

C. 1
Lời giải

D. 8

Đáp án D
Gọi I ( a; b; c ) là điểm cách đều bốn mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) .
a + b + c −1
Khi đó, ta có a = b = c =
( *) . Suy ra có 8 cặp ( a; b; c ) thỏa mãn (*).
3
Câu 42. Với một đĩa phẳng hình trịn bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình
quạt của đĩa này và gấp phần cịn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung trịn của hình quạt cịn lại
là x . Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.
2π R 6
2π R 2
2π R 3
πR 6

A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
3
3
3
3
Lời giải
Đáp án A
Gọi r , l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
1 2
1 2 2 2
Thể tích khối nón là V = π r h = π r l − r , với h là chiều cao khối nón.
3
3
2
2
r r
4  r2 r2 2 2  4 6
4
2
2
2
2
l
Ta có r l − r = 4. . . l − r ≤
 + + l − r ÷=
2 2
27  2 2

 27

(

)

(

)

2l 3
2π l 3
r2
3r 2
⇒ V( N ) ≤
. Dấu “$=$” xảy ra ⇔
= l2 − r2 ⇔ l2 =
( 1)
3 3
9 3
2
2
( 2)
Mà x là chu vi đường trịn đáy hình nón ⇒ x = 2π r và đường sinh l = R
2
2
2
Suy ra r l − r ≤

2

3  x 
8π 2 R 2
2π R 6
2
Từ ( 1) , ( 2 ) suy ra R 2 = . 
⇔
x
=
⇒x=
.
÷
2  2π 
3
3
ax + b
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 43. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y =
cx + d


A. bd < 0, ab > 0

B. ad < 0, ab < 0

C. ad > 0, ab < 0
Lời giải

D. bd > 0, ad > 0

Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
 d
− c < 0 cd > 0
d
a
⇒
⇒ ad > 0
+) Đồ thị hàm số có TCĐ và tiệm cận ngang là x = − , y = ⇒ 
c
c
ac > 0
a > 0
 c
b
<0
bd < 0
 b   b   d
⇒
+) Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ  0; ÷,  − ;0 ÷⇒ 
ab < 0
 d  a   b
− >0 
 a
cos x − 2
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên
cos x − m
 π
khoảng  0; ÷.

 2
A. m > 2
B. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2
C. m ≤ 2
D. m ≤ 0
Lời giải
Đáp án B
− sin x ( cos x − m ) + sin x ( cos x − 2 ) sin x ( m − 2 )
=
Ta có y ′ =
2
2
( cos x − m )
( cos x − m )
m < 2
m ≤ 0
 π
 π  m − 2 < 0
⇔
⇒  −1
Hàm số nghịch biến trên  0; ÷ ⇔ y′ < 0, ∀x ∈  0; ÷⇒ 
 2
 2  cos x ≠ m
m ∉ ( 0;1)
cos 1 ≤ m < 2
Câu 45. Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 ( m / s ) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ơ tơ chuyển động

chậm dần đều với v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt
đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 8m

B. 10m
C. 5m
D. 20m
Lời giải
Đáp án B
Ơ tơ dừng hẳn ⇔ v ( t ) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2 ( s )
2

2

 5

Suy ra quãng đường đi được bằng ∫ ( −5t + 10 ) dt =  − t 2 + 10t ÷ = 10 ( m )
 2
0
0
Câu 46. Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng y = m + 1 cắt đồ thị hàm số y = x 4 − 3 x 2 − 2 tại hai
điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O ( O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây là đúng?
7 9
1 3
3 5
5 7
A. m ∈  ; ÷
B. m ∈  ; ÷
C. m ∈  ; ÷
D. m ∈  ; ÷
9 4
2 4
4 4
4 4

Lời giải
Đáp án C


t=x
→ t 2 − 3t − m − 3 = 0 ( 1) .
PT hoành độ giao điểm là m + 1 = x 4 − 3 x 2 − 2 
2

Hai đồ thị có 2 giao điểm ⇔ ( 1) ⇔ có 2 nghiệm trái dấu ⇔ t1t2 < 0 ⇔ − m − 3 < 0 ⇔ m > −3 ( 2 )

3 + 21 + 4m
t1 =

 x A = t1
2
⇒
Khi đó 
t = 3 − 21 + 4m
 xB = − t1
 2
2

uuu
r
OA = t1 ; m + 1

Suy ra tọa độ hai điểm A, B là A t1 ; m + 1 , B − t1 ; m + 1 ⇒  uuur
OB = − t1 ; m + 1


uuu
r uuur
3 + 21 + 4m
2
2
Tam giác OAB vuông tại O ⇒ OA.OB = 0 ⇔ −t1 + ( m + 1) = 0 ⇔ −
+ ( m + 1) = 0
2
3 5
Giải PT kết hợp với điều kiện ( 2 ) ⇒ m = 1 ⇒ m ∈  ; ÷
4 4
Câu 47. Từ các chữ số 0,1, 2,3,5,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi một khác nhau
và phải có mặt chữ số 3?
A. 36 số
B. 108 số
C. 228 số
D. 144 số
Lời giải
Đáp án B
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ các số trên có: 3.4.4.3 = 144 số
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ 4 số trên và khơng có mặt chữ số 3 có: 2.3.3.2 = 36 số
Do đó có 144 − 36 = 108 thỏa mãn.
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0; 2; −4 ) , B ( −3;5; 2 ) . Tìm tọa độ điểm M sao
cho biểu thức MA2 + 2MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 3 7

A. M ( −1;3; −2 )
B. M ( −2; 4;0 )
C. M ( −3;7; −2 )
D. M  − ; ; −1÷

 2 2

Lời giải
Đáp án B
uuuu
r
uuuu
r
Gọi M ( a; b; c ) suy ra AM = ( a; b − 2; c + 4 ) , BM = ( a + 3; b − 5; c − 2 )

(

) (

(
(

)

)

)

2
2
2
2
2
2
2

2
Khi đó MA + 2 MB = a + ( b − 2 ) + ( c + 4 ) + 2 ( a + 3) + ( b − 5 ) + ( c − 2 ) 

= 3a 2 + 12a + 3b 2 − 24b + 3c 2 + 96 = 3 ( a + 2 ) + 3 ( b − 4 ) + 3c 2 + 36 ≥ 36
2

{

2
2
Vậy MA + 2 MB

}

min

2

= 36. Dấu “$=$” xảy ra ⇔ ( a; b; c ) = ( −2; 4;0 ) .

Câu 49. Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình 4
nghiệm âm phân biệt.
A. ( 2; 4 )
Đáp án C

(

B. ( 3;5 )

(

) (
x

2 +1 +

C. ( 4;5 )
Lời giải

)

x

2 − 1 − m = 0 có đúng hai
D. ( 5;6 )

)

x
1
2 + 1 → PT ⇔ 4t + − m = 0 ⇔ 4t 2 − m.t + 1 = 0( 1) .
t
PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt ⇔ ( 1) có hai nghiệm t1 , t2 < 1.

Đặt t =

m 2 − 16 > 0
m > 4
∆ ( 1) > 0




4 < m < 8
m
  m < −4
t
+
t
<
2
⇔
<
2
⇔
⇔
⇒4Suy ra  1 2


m
<
5
4
1
m

 t −1 t −1 < 0


( 1 ) ( 2 )

t1t2 − ( t1 + t2 ) + 1 < 0
 4 − 4 + 1 < 0


Câu 50. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 ,
·
·
SAB
= SCB
= 90° và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a 2. Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC theo a .
A. S = 4π a 2
B. S = 8π a 2
C. S = 12π a 2
D. S = 16π a 2
Lời giải
Đáp án C

Dựng hình vuông ABCD ⇒ SD ⊥ mp ( ABCD ) .
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
Kẻ DH ⊥ SC ( H ∈ SC ) mà BC ⊥ ( SCD ) ⇒ DH ⊥ ( SBC ) .
Mặt khác AD / / BC ⇒ D ( A; ( SBC ) ) = d ( D; ( SBC ) ) = DH = a 2

1
1
1
=
+
⇒ SD = a 6
2

2
DH
SD CD 2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là
Tam giác SCD vng tại D , có

2

2

a 6 a 6
SD 2
R = R ABCD +
= 
÷
÷
÷ + 
÷ =a 3
4
 2   4 
2

(

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là S = 4π R 2 = 4π a 3

)

2

= 12π a 2 .