Đề thi olympic toán sinh viên quốc tế năm 2013 môn đại số và giải tích

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (533.14 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

- 2013

1

– Hotline: 0987 708 400/ 04.62 927 623

– Ă 2013

Ngày 1

Bài 1. Cho A và B là các ma trận đối xứng thực có tất cả các giá trị riêng đều lớn hơn 1. Gọi λ là 
một giá trị riêng của ma trận AB. Chứng minh rằng |λ| > 1.

Bài 2. Cho f :  là hàm khả vi cấp hai. Giải sử f(0) 0. Chứng minh rằng tồn tại

( / 2, / 2)

    sao cho f "( )  f( ) (1  2 tan2)

Bài 3. Có 2n sinh viên trong một trường học (n ,n 2). Mỗi tuần n sinh viên đi du lịch.

Sau một số chuyến du lịch, điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi hai sinh viên được đi cùng nhau ít
nhất một chuyến. Số chuyến du lịch tối thiểu để điều này xảy ra là bao nhiêu?

Bài 4. Cho n ≥ 3 và x x1, 2,..., xn là các số thực không âm. Ta định nghĩa

1 1

n n

i i

A x B x

 









và 3

1
n

i
i

C x





. Chứng minh rằng:

2 2 4

(n 1)A B  (n 2)B  A  (2n  2) AC

Bài 5. Tồn tại hay không dãy (an) các số phức sao cho với mọi số nguyên dương p, ta có

1
p
n
i

a







hội tụ nếu và chỉ nếu p không nguyên tố?

Ngày 2

Bài 1. Cho z là số phức thỏa mãn z  1 2. Chứng minh rằng z3  1 1

Bài 2. Cho p và q là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: 
   

    
   




  





k k

pq 1

p q

k 0

0 nÕu pq ch½n,
( 1)

1 nÕu pq lỴ

(Trong đó ⌊x⌋ là phần ngun của x.)

Bài 3. Giải sử v , v ,..., v là các vector đơn vị trong 1 2 d d. Chứng minh rằng toonf tại vector

đơn vị u sao cho: u. vi  1

d với i 1, 2,..., d

(Ở đây ⋅ kí hiệu tích vơ hướng thơng thường trên d

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- 2013

2

– Hotline: 0987 708 400/ 04.62 927 623

Bài 4. Tồn tại hay không tập vô hạn M gồm các số nguyên dương sao cho với mọi a, b ∈ M, và 


a b, tổng a  blà bình phương tự do?

(Một số nguyên dương được gọi là bình phương tự do nếu khơng có số chính phương lớn hơn 1
là ước của nó. Ví dụ, 10 là bình phương tự do nhưng 18 thì khơng vì nó có ước là  2

9 3 .)

Bài 5. Xét một vòng cổ tròn gồm 2013 hạt. Mỗi hạt được sơn màu trắng hoặc màu xanh. Một 
cách sơn vòng cổ được gọi là tốt nếu giữa bất kì 21 hạt liên tiếp nào cũng có ít nhất một hạt màu
xanh. Chứng minh rằng số cách sơn tốt của vòng cổ này là số lẻ.

(Hai cách sơn khác nhau trên một số hạt, nhưng có thể đạt được bằng cách quay hay lật chuỗi
hạt, thì được tính là các cách sơn khác nhau.)

Bản tiếng Anh (International Mathematics Competition for University Students 2013 
Problems)

Day 1, August 8, 2013

Problem 1. Let A and B be real symmetric matrices with all eigenvalues strictly greater than 1. 
Let λ be a real eigenvalues of the matrix AB. Prove that |λ| > 1

Problem 2. Let f :  be a twice differentiable function. Suppose f(0) 0. Prove that

there exists   (  / 2,/ 2) such that: f"( )  f( ) (1  2 tan2).

Problem 3. There are 2n students in a school (n ,n  2). Each week n students go on a trip.

After several trips, the following condition was fulfilled: every two students were together on at

least one trip. What is the minimum number of trips needed for this to happen?

Problem 4. Let n ≥ 3 and let x x1, 2,..., xn be nonnegative real numbers. Define

1 1

n n

i i

A x B x

 









and 3

1
n

i
i

C x





. Prove that:

2 2 4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- 2013

3

– Hotline: 0987 708 400/ 04.62 927 623

Problem 5. Does there exist a sequence (an) of complex numbers such that for every positive

integer p, we have that

1
p
n
i

a







converges if and only if p is not a prime?

Day 2, August 9, 2013

Problem 1. Let z be a complex number with z  1 2. Prove that z3  1 1.

Problem 2. Let p and q be relatively prime positive integers. Prove that

   
    
   




  





k k

pq 1

p q

k 0

0 if pq is even,
( 1)

1 if pq is odd

(Here ⌊x⌋ denotes the integer part of x.)

Problem 3. Suppose that v , v ,..., v1 2 d are unit vectors in d. Prove that there exists a unit

vector u such that

d
v

u. i  1

for i 1,2,...,d

(Here ⋅ denotes the usual scalar product on d

R .)

Problem 4. Does there exists an infinite set M consisting of positive integers such that for any

M
b

a,  , with a b, the sum a b is square-free?

(A positive integer is called square-free if no perfect square greater than 1 divides it.)

Problem 5. Consider a circular necklace with 2013 beads. Each bead can be painted either with 
or green. A painting of the necklace is called good if among any 21 successive beads, there is at
least one green bead. Prove that the number of good paintings of the necklace is odd.

</div>