Bài giảng số 1: Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong đề thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (272.63 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 01: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) k ( )
k f x g x  f x g  x



2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0
k

k f x g x f x g x

g x

 

  




 2k1 f x( )2k1g x( )  f x( )g x( )

 2k f x( ) 2k g x( )  f x( )g x( )0



; 0

0
A B

A B A B A B

B
 

     




 A B A B (A B)

A B



  



 1 A B (A B)

A B

A B   



 2k f2k( )x  f x( ) ; 2k1 f2k1( )x  f x( )

B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) x3  2 x

b) x2  x 1 2x3

Giải

a) Phương trình

2 2

3 (2 ) 5 1 0

2 0 2 0

x x x x

x x

       

 

   

 

5 21

.
2

2
2

x

 






  

 



Vậy nghiệm của phương trình là: 5 21
2
S   

 

 

b) Phương trình

2 4 0

1 2 3

2 3 0

2
x x

x x x

x x

   

     

  

  

 



1 17

2 .

2
3

2
x

x

 



 



  



 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Vậy nghiệm của phương trình là: 1 17 .

2
S   

 

 

Ví dụ 2: Giải phương trình: x1(3x2 x 1) 3 x32x 1 0 (2)

Giải

Phương trình (2) 2 3

1(3 1) 3 2 1 0

x x x x x

       

2 3

1 3 1 1 1 3 0

x x x x x x x x

          

2 2

1( 1 3 1) ( 1 3 1) 0

x x x x x x

         

( x 1 x)( x 1 3x 1) 0

      

1 0 (1)
1 3 1 0 (2)

x x

   

 

   



Ta có:

2 2

1 1 0

(1) 1

0 0

x x x x

x x

      

     

  

 

(Vơ nghiệm)

Ta có: 21 0

3 0

x

  










(2) vơ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.

Ví dụ 3: Giải phương trình: x2153x 2 x28 (3)

Giải

Ta có: (3) x215 x283x 2

2 2

15 8

3 2

15 8

x x

x

x x

  

  

   2 2

3 2 (*)

15 8

x

x x

  

  

(*)

 có nghiệm thì 3 2 0 2.
3
x  x

Mặt khác: (1) x215 4 3x 3 x2  8 3

2 2

1 1

3( 1)

15 4 8 3

x x

x

x x

 

   

   

2 2

1 1

( 1) 3 0

15 4 8 3

x x

x

x x

   

     

   

 

2 2

1 0

1 1

3 0 (**)

15 4 8 3

x

x x

 




  

   

    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Do 2

x  nên x2 154 x2 8 3 và x  1 0

2 2

1 1

15 4 8 3

x x

 

 

   

(**) 0 (**)
VT

   vơ nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2

3x 1 6x3x 14x 8 0 (1)

Giải

Điều kiện: 1 6,
3 x

   khi đó:

(2)( 3x 1 4) (1  6x) 3 x 14x 5 0

3 1 16 1 6

( 5)(3 1) 0

3 1 4 1 6

x x

   

     

   

3( 5) 5

( 5)(3 1) 0

3 1 4 1 6

x x

 

     

   

3 1

( 5) 3 1 0

3 1 4 1 6

x x

 

      

   

 

3 1

3 1 0 (*)

3 1 4 1 6

5 0
x

x x

x


   



    



 


Theo điều kiện 3x  1 0 VT(*)  (*) vơ nghiệm. 0
Do đó phương trình đã cho có nghiệm: x 5.

Ví dụ 5: Giải phương trình: x x9 1x 4x (5)

Giải

Điều kiện: x 0

(1)x  x 9 2 x x( 9) x   1 x 4 2 (x1)(x4)

2 x x( 9) (x 1)(x 4)

     

4 x 9x 4 x x( 9) (x 1)(x 4)

       

2 2

4 x 9x 4 x x( 9) x 5x 4

       

4 x x( 9) 4x

   

( 9)

x x x

   x0

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x 0.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Ta đặt căn thức hoặc biểu thức trong căn làm một ẩn phụ để đưa phương trình về phương trình, hệ

phương trình đơn giản hơn.

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2 2

2 x 2x2 x 2x5.

Giải

Đặt t  x22x20x22xt22.

Phương trình 2 2 2 5 2 2 3 0 1 (tm).
3 (l)
t

t t t t

t



          

 


Ta có: 1 2 2 2 1 2 2 3 0 1.

3
x

t x x x x

x
 


          



Vậy nghiệm của phương trình là: S  



1;3 .



Ví dụ 7: Giải phương trình: x 3 6x (x3)(6x) 3 (7)

Giải

Đặt

3 6 ( 3)(6 )

2
t
t x  x x x  

Khi đó (1) trở thành:

2 1

9
3

3
2

t
t

t

t
 



   




Với t  1 x 3 6x   1 (vô nghiệm)

Với 3 3 6 3 3

6
x

t x x

x
 


       




Vậy nghiệm của phương trình (7) là: S  



3; 6 .



Ví dụ 8: Giải phương trình: 3

2 3x23 6 5 x  8 0

Giải

Đặt 3 3 3

3 2 3 2 15 5 10

u x  xu   x u 

6 5 5 6

v  x  x v  2

15x 18 3 (v v 0)

   

Ta có hệ phương trình: 2 3 3 28 0 3 3 8 22 (1)

5 3 8 15 (3 ) 24 0 (2)

u v v u

u v u v

    

 



 

    

 

Thế (1) vào (2) ta được phương trình:

3 2

15u (8 2 ) u 24 0

(u 2)(15u 26u 20) 0

    

2 2

3
u

u x 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Vậy nghiệm của phương trình là: x 2.

Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 1x2 x



1 2 1 x2



(1)

Giải

Điều kiện: x  



1;1



Đặt xsin ,t với ; os 0

2 2 2

t
t   c 

 

Ta có phương trình: 1 cos t sin (1 2 cos )t  t

3
2 os os sin

2 2 2

t t t

c c

 

2 3 6

sin 2

2 2

1
2

t

x
t






 

 



   



  




Vậy nghiệm của phương trình là: 1;1 .
2
S  

 

Ví dụ 10: Giải phương trình: (4x1) x2 1 2x2 2x 1 (10)

Giải

Đặt t x21, (t0)x2 t2 1

Phương trình (10) trở thành: 2

(4x1)t2(t 1)2x 1

2t (4x 1)t 2x 1 0 (1)

     

Ta có:  (4x1)28(2x1)16x224x 9 (4x3)2

Phương trình có nghiệm: 4 1 (4 3) 1

4 2

x x

t     hoặc 4 1 (4 3) 2 1

x x

t     x

Với

2
2

1 1 3

2 2 4

t x      

  (Vô nghiệm)

Với 2 2 2

2 1 (2 1) 1 3 4 0 4

3
x

t x x x x x

x




         

 


Vậy nghiệm của phương trình là: 0;4 .
3
S  

 

Dạng 3: Phương pháp đánh giá.

Sử dụng bất đẳng thức hoặc tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với 2 bộ ( x1; 3x) và

 

1;1 , ta có:

2 2

2 2 2 2

( 1.1 3 .1) ( 1 3 )(1 1 )

VT  x  x  x  x 

( 1 3 ).2 8 2 2 (1).

VT x x VT

       

Dấu ‘=’ xảy ra 1 3 1.

1 1

x x

x

 

   

2 2

2( 2 3) 2(( 1) 2) 2 2 (2).

VP x  x  x  

Dấu ‘=’ xảy ra  x1.

Từ (1),(2), ta có phương trình có nghiệm duy nhất x 1.

Ví dụ 12: Giải phương trình: (x3) x 1 (x3) 1x2x0 (1)

Giải

Điều kiện: 1 0 1 1 1

1 0 1

x x

x

x x

     

    

 

   



Ta có: (1)(x1) x   1 x 1 2 x 1 (1x) 1x  1 x 2 1x



 





 



1 1 2 1 1 1 2 1 (*)

x x x x x x

           

Xét hàm số: y f x( )x3x2 2x

Có: f '( )x 3x22x 2 0  x R yx3x22x đồng biến trên R.

Xét u x( ) x1 và v x( ) 1x đều có miền giá trị



0; 



Mà f



x1

 

 x1

 

3 x1



22 x 1 VT(*)



 



1 1 1 2 1 (*)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang









(1) f x 1 f 1 x x 1 1 x

        

1 1 0

1 0 1

x x x

x

x x

   

 

   

  

 

Vậy (1) có nghiệm x 0.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1. x 2x30 ĐS: x 3

2. x4 1x  1 2 x ĐS: x 0

3. 2 1 2 1 3

2
x

x x  x x   ĐS: x1;x 5

3 2 1

3 2

x

x x

x     ĐS: x=1

5. 3 3 3

1 2 2 3

x  x  x ĐS: 1; 2; 3

2
x x x

6. x2 x 1 x2 x 1 2 ĐS: 1;1
2
T   

 

7. 3x4 2x 1 3x ĐS: 1

2
x  

8. ( 3)( 1) 4( 3) 1 3

x

x x x

x


     

 ĐS: x 1 5;x 1 13

9. 3 3

1 2 2 1

x   x ĐS: 1; 1 5

2
x   

10. x2 4x x26x11 ĐS: x 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

1. x2 x5 5 ĐS: 1 21; 1 17

2 2

x   

2. 3 3

34 3 1

x  x  ĐS: x30;x 61

3. 3 x x2  2 x x2 1 ĐS: 1 5
2
x 

4. 2x 3 x 1 3x2 2x25xx16 ĐS: x 3

5. 3 3

1 2 2 1

x   x ĐS: 1; 1 5

2
x x 

6. 2

12 1 36

x  x x  ĐS: x 3

7. 3

5 1

x  x  ĐS: x2 2;x1

8. 3

1 2 1

x  x  ĐS: x2;x10;x 1

9. 4 4

18x x  1 3 ĐS: x2;x17

10. 3



2x



2 3



7x



2 3



2x



7x



3 ĐS: x 6;x 1

11. x x2 1 x x2 1 2 ĐS: x 1
12. x 1 x24x 5 ĐS: Vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1. 2 x2 2 12 4 x 1

x x

 

      

  ĐS: x 1

2. x2  x 1 8 2x2 x 3 x23x 5 8 2x24x9 ĐS: x 2
3. 4 4

17 3

</div>

Bài giảng số 1: Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong đề thi đại học





<sub></sub>

<sub></sub>









 



 





 









 

 





 

 

























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về