Chuyên đề: Các phương pháp tính thể tích khối chóp dành cho học sinh 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHĨP </b>

<b>Tác giả: Nguyễn Minh Thành </b>

<b>1.Cơ sở lí luận: </b>

- Các tính chất của quan hệ vng góc, quan hệ song song trong khơng gian,
các cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác:

- Một số dạng tính thể tích khối chóp:

<i><b>Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào cơng thức V=</b></i>1 .
3<i>B h</i>

<i>( B là diện tích đáy,h là chiều cao) </i>

<i><b>Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với </b></i>

<i><b>các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và cơng thức: </b></i>

' ' ' '. '. '
. .

<i>SA B C</i>

<i>SABC</i>

<i>V</i> <i>SA SB SC</i>

<i>V</i>  <i>SA SB SC</i>

<i>(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC) </i>

<i><b>Dạng 3:Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và cơng thức </b></i>

<i><b>thể tích khối chóp ABCD: V=</b></i>1 , .
3 <i>AB AC AD</i>

  

<b>2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện: </b>

Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn
tập hoặc phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình.
Cung cấp cho học sinh các dạng tốn tính thể tích khối chóp (phương pháp,
ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ơn tập) :

<i><b>Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào cơng thức V=</b></i>1 .

3<i>B h<b> (1) </b></i>

<i>( B là diện tích đáy,h là chiều cao) </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 2
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

a

b

b

S

A

B

C

a

b
c



S

A _B

C

<b>Trƣờng hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đƣờng thẳng vng góc </b>
<b>với mặt phẳng chứa đa giác đáy. </b>

<b>Phƣơng pháp: </b>

<b>- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vng góc với đáy). </b>

<i>- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng cơng thức (1) </i>
để tính thể tích khối chóp.

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vng góc với mặt phẳng </b>

(ABC).SA=a, tam giác ABC vuông tại B và BA=BC= b. Tính thể tích khối chóp
<b>S.ABC. </b>

<b>Lời giải: </b>

Ta có <i>SA</i><i>( ABC</i>) nên SA
là đường cao của hình chóp S.ABC

2
1

.

2 2

<i>ABC</i>

<i>b</i>
<i>S</i>  <i>BA BC</i>

Ta có thể tích khối chóp S.ABC là:V= <i>SA</i>.<i>S</i>_<i>_ABC</i>
3

1

= 2 2

6
1
2

1
.
3
1

<i>ab</i>
<i>b</i>

<i>a</i>  <b> (đvtt) </b>

<b>Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vng góc với mặt phẳng (ABC), </b>

SA=a, tam giác ABC có A= và AB=b, AC=c. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

<b>Lời giải: </b>

Ta có <i>SA</i><i>( ABC</i>) nên SA
là đường cao của hình chóp S.ABC

1 sin

. sin

2 2

<i>ABC</i>

<i>bc</i>

<i>S</i>  <i>AB AC</i>    .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

S

A

B C

D

V= <i>SA</i>.<i>S</i>_<i>_ABC</i>
3

1

=  sin

6
1
sin
2
1
.
3
1

<i>abc</i>
<i>bc</i>

<i>a</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a, SA </b>

vng góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 600

.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

<b>Lời giải: </b>

Vì SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SA là đường cao của hình
chóp S.ABCD.

Mặt khác AC= 2 2

2

<i>AB</i> <i>AC</i> <i>a</i>

AC là hình chiếu vng góc của SC
trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC
và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA.

Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=<i>a</i> 2.tan600=<i>a</i> 6

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB
2

=a2.

Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V=1 1 2 3 6

. 6.

3 <i>ABCD</i> 3 3

<i>a</i>

<i>SA S</i>  <i>a</i> <i>a</i>  (đvtt)

<b>Bài tập áp dụng: </b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vng góc với
mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:

a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a.

b) Cạnh đáy AB=a 3, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300.

<b>Trƣờng hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vng góc với </b>
<b>mặt đáy. </b>

<b>Phƣơng pháp: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 4

<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

S

A

B C

D
(chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vng góc với mặt đáy).
<i>- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng cơng thức (1) </i>
để tính thể tích khối chóp.

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với </b>

đáy. SA =a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=1200_{. Tính thể tích khối chóp}

S.ABCD.

<b>Lời giải: </b>

Vì (SAB) và (SAD) cùng
vng góc với mặt phẳng (ABCD)
nên SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD) hay SA là đường cao của
hình chópS.ABCD.

Ta có SABCD=2SACD mà

2 2

2

1 1 3 3

. .sin

2 2 2 4

3
2

<i>ABCD</i>

<i>ABCD</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>S</i> <i>DA DC</i> <i>D</i>

<i>a</i>
<i>S</i>

  

 

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD

2 3

1 1 3 3

. .

3 <i>ABCD</i> 3 4 12

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>  <i>SA S</i>  <i>a</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vng cạnh a. Các </b>

mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy
một góc 300<b>_{. Tính thể tích khối chóp}</b>

<b>Lời giải: </b>

Vì (SAB) và (SAD) cùng vng
góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA

D

C
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

N

M
S

A

B

C
vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay

SA là đường cao của hình chóp
Ta có: SABCD=AB

2

=a2,

AC= 2 2

2

<i>AB</i> <i>BC</i> <i>a</i> . SAAC (vì SA(ABCD) ), suy ra AC là hình chiếu
vng góc của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA bằng 300

.

Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA = 0 6
2. tan 30

3

<i>a</i>

<i>a</i> 

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD : 1 1 6 2 3 6

. .

3 <i>ABCD</i> 3 3 9

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>  <i>SA S</i>  <i>a</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B, </b>

AB=BC=2a. Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng(ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với
BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600

. Tính
<b>thể tích khối chóp S.BCMN. </b>

<b>Lời giải: </b>

Vì (SAB) và (SAD) cùng vng
góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vng
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là
đường cao của hình chóp S.BCMN .

Vì ABBC (giả thiết) nên

SBBC (định lí ba đường vng góc)

Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA.
Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 2 3a.

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và

2

3 3 1 3

. .

4 4 2 2

<i>BCMN</i> <i>ABC</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 6
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

600

I

A

D

C

B
S

Thể tích khối chóp S.BCMN: V=1 3

. . 3

3 <i>SA SBCMN</i> <i>a</i> (đvtt)
<b>Bài tập áp dụng: </b>

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a, hai
mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vng góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt đáy
bằng 600_{.Tính thể tích khối chóp.}

<b>Trƣờng hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (khơng chứa </b>
<b>mặt bên) cùng vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. </b>

<b>Phƣơng pháp: </b>

<b>- Xác định đường cao. (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng </b>

cùng vng góc với mặt đáy).

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng cơng thức
<i>(1) để tính thể tích khối chóp. </i>

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A , </b>

AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600_{.Gọi I là trung điểm cạnh}

AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với đáy. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a.

<b>Lời giải: </b>

Vì (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vng
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

600

N
M

A

D C

B
S

Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc

giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI
=600.Theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2

2

<i>IC</i> <i>ID</i> <i>DC</i>  <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> SI=IC .tan SCI= 0

2. tan 60 6

<i>a</i> <i>a</i>

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có

SABCD= 2

( ). (2 )2

3

2 2

<i>ABCD</i>

<i>AB CD AD</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>S</i>      <i>a</i>

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 1 2 3

. . 6.3 6

3<i>SI SABCD</i> 3 <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> (đvtt)

<b>Ví dụ 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a .Gọi M là </b>

trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vng góc với mặt
phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450_{. Tính thể}

tích khối chóp S.ABCD theo a.

<b>Lời giải: </b>

Vì (SBI) và (SCI) cùng vng góc
với mặt phẳng (ABCD) nên SI vng
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là
đường cao của hình chóp S.ABCD .
Gọi N là trung điểm của BC ta có
MN là đường trung bình của hình

vuông ABCD nên MN BC suy ra SN BC và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) là góc SNM= 450.

Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a. SABCD=AB.AD=a
2

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 3
3 <i>ABCD</i> 3

<i>a</i>

<i>SM S</i>  (đvtt)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 8
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

S

O

A B

D C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=1200

.
Gọi O là giao điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) .Góc giữa hai mặt phẳng SA và (ABCD) bằng 600

.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

<b>Lời giải: </b>

Vì (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vng góc
với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

AO là hình chiếu vng góc của SA
xuống mặt phẳng (ABCD) nên

góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD)
là góc SAO = 600. Ta có OAB = 600

nên AO = 0

. os60
2

<i>a</i>
<i>AB c</i>  và

SO=AO.tan SAO= 0 3

tan 60

2 2

<i>a</i> _<i>a</i>

.

SABCD=AB.AD.sinBAD =a
2

.sin1200 =

2
3
2

<i>a</i>
.

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 1. 3. 2 3 3

3 <i>ABCD</i> 3 2 2 4

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SO S</i>   (đvtt)

<b>Bài tập áp dụng: </b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a.Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vng góc với
mặt phẳng (ABCD) và SH=<i>a</i>.Tính thể tích khối chóp S.CDMN

<b>Trƣờng hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vng góc với mặt đáy. </b>

<b>Phƣơng pháp: </b>

<b>- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

H
A

C

B
S

D
K

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng cơng thức
<i>(1) để tính thể tích khối chóp. </i>

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 10:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn là </b>

AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vng góc với nhau,
<b>tam giác SAB đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. </b>

<b>Lời giải: </b>

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH AB suy ra SH (ABCD) hay SH
là đường cao của hình chóp.SH=SA.sin600

=2 . 3 3
2

<i>a</i> <i>a</i> .Gọi K là hình chiếu
vng góc của D trên AB khi đó

KD

2

2 2 2 3

2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>AD</i> <i>AK</i> <i>a</i>  

   _{ } 

  . SABCD=

2

1 3 3

.( )

2 4

<i>a</i>
<i>KD AB</i><i>CD</i> 
Thể tích khối chóp S.ABCD:

V=

2 3

1 1 3 3 3

. . . 3.

3 <i>ABCD</i> 3 4 4

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SH S</i>  <i>a</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 11:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a. </b>

SA=a,SB=<i>a</i> 3 và mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
<b>trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 10
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

N
M

A

C

B
S

D

H

I

A

C

B
S

D

Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH(ABCD) hay SH là đường cao
của hình chóp S.BMDN.

Mặt khác tam giác SAB có
SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)
Nên vuông tại S suy ra

2 2 2

1 1 1 3

2

<i>a</i>
<i>SH</i>

<i>SH</i>  <i>SA</i> <i>SB</i>   .

SBMND= 2

1

. 2

2<i>MN DB</i> <i>a</i>

Thể tích khối chóp S.BMDN:

V=

3
2

1 1 3 3

. . .2

3 <i>BMND</i> 3 2 3

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SH S</i>  <i>a</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 12:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a. SA=SB và </b>

mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 450

. Tính
<b>theo a thể tích khối chóp S.ABCD. </b>

<b>Lời giải: </b>

Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI AB và SI (ABCD)
hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
là góc SCI =450.

Xét tam giác vuông SCI vuông cân tại I

Có SI =IC= 2 2 2 2

2

<i>CB</i> <i>BI</i>  <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> ,
SABCD=AB

2

=4a2

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 4 3 2
3 <i>ABCD</i> 3

<i>a</i>

<i>SI S</i>  <b> (đvtt) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB)
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết

a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều.

b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450.

<b>Trƣờng hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vng góc với hai </b>

<b>đƣờng thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy. </b>

<b>Phƣơng pháp: </b>

<b>- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ). </b>

<i>- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng cơng thức (1) </i>
để tính thể tích khối chóp.

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 13:Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đơi một vng góc, </b>

SA=AB=AC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

<b>Lời giải: </b>

Ta có <i>SA</i> <i>( ABC</i>)

<i>AC</i>
<i>SA</i>

<i>AB</i>
<i>SA</i>











nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

2
1

.

2 2

<i>ABC</i>

<i>a</i>
<i>S</i>  <i>AB AC</i> 

Thể tích khối chóp S.ABC là:

V= <i>SA</i>.<i>S</i>_<i>_ABC</i>
3

1

= 2 3

6
1
2

1
.
3
1

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 14: </b>

a

a

a
S

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 12
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

S

A

B

C

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đơi một vng góc, SA=a,
AB=AC= b. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

<b>Lời giải: </b>

Ta có <i>SA</i> <i>( ABC</i>)

<i>AC</i>
<i>SA</i>

<i>AB</i>
<i>SA</i>












nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

2
.

2

1 <i>b</i>2

<i>AC</i>
<i>AB</i>

<i>S</i>_<i>_ABC</i>  

Thể tích khối chóp S.ABC là:VS.ABC= <i>SA</i>.<i>S</i><i>ABC</i>

3
1

= 2 2

6
1
2

1
.
3
1

<i>ab</i>
<i>b</i>

<i>a</i>  (đvtt)

<b>Bài tập áp dụng: </b>

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đơi một vng góc, SA=a,
AB=b, AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

<b>Trƣờng hợp 6: Khối chóp đa giác đều. </b>

<b>Phƣơng pháp: </b>

<b>- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ). </b>

<i>- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng cơng thức (1) </i>
để tính thể tích khối chóp.

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 15: </b>

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a 2 ,góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy bằng 450_{. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC}

<b>Lời giải: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

M
A

C

B
S

O

M

A

B

C
D

S

O
giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc

SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,
SO=SA.sin SAO=a. Gọi M là trung điểm
của BC ta có :

AM=3 3 , ₀ 3

2 2 sin 60

<i>a</i> <i>AM</i>

<i>AO</i> <i>AB</i> <i>a</i> .

SABC=

2

1 3 3

.

2 4

<i>a</i>
<i>AM BC</i>

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1. . 3 3

3 <i>ABC</i> 4

<i>a</i>

<i>SO S</i>  (đvtt)

<b>Ví dụ 16: </b>

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và
mặt đáy bằng 600_{. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD}

<b>Lời giải: </b>

Gọi O là tâm hình vng ABCD, khi đó SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay
SO là đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của

cạnh BC khi đó OMBC và SMBC, góc giữa mặt phẳng
(SBC) và mặt phẳng (ABCD) là

góc SMO =600.

Xét tam giác SOM vng tại O có

SO=OM.tan600= . 3 3

2 2

<i>a</i> _ <i>a</i>

SABCD=AB
2

=a2.

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 3 3
3 <i>ABCD</i> 6

<i>a</i>

<i>SO S</i>  (đvtt)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 14
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

D'
B'

A

B

C

D

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy bằng 450_{. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.}

<i><b>Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với </b></i>

<i><b>các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và cơng thức: </b></i>

' ' ' '. '. '
. .

<i>SA B C</i>

<i>SABC</i>

<i>V</i> <i>SA SB SC</i>

<i>V</i>  <i>SA SB SC</i>

<i>(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC) </i>

<b>Phƣơng pháp: </b>

<b>- Tính thể tích khối chóp S.ABC </b>

- Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’.

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 17: </b>

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB
và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích hai
phần đó

<b>Lời giải:Ta có </b>

' '

' '

DD ' '

'. . ' 1 1

. . 4 4

1 3

4 4

<i>AB CD</i>

<i>AB CD</i>
<i>ABCD</i>

<i>BC</i> <i>B</i>

<i>V</i> <i>AB AC AD</i>

<i>V</i> <i>V</i>

<i>V</i> <i>AB AC AD</i>

<i>V</i> <i>V</i> <i>V</i> <i>V</i>

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

O

D'
S

A

C

D

B

B'

C'

<b>Ví dụ 18:Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA vng </b>

góc với mặt đáy và SA =2a . Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.
<b>Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ </b>

<b>Lời giải:Ta có AB’</b>SB và AB’CB (CB(SAB) suy ra AB’SC
Tương tự AD’SC suy ra SCAC’

Do tính đối xứng nên ta có
VS.AB’C’D’=2VS.AB’C’.Mặt khác

. ' '

2 2

'. ' . ' . '
.

.

<i>S AB C</i>

<i>SABC</i>

<i>V</i> <i>SB SC</i> <i>SB SB SC SC</i>

<i>V</i>  <i>SB SC</i>  <i>SB</i> <i>SC</i>

2 2 2 2

2 2 2 2

4 .4 8
.

5 .6 15

<i>SA</i> <i>SA</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SB</i> <i>SC</i> <i>a</i> <i>a</i>

  

Suy ra VS.AB’C’= .
8

15<i>VS ABC</i> mà

VS.ABC=

3
2

1 1 1

. . .2 .

3 <i>ABC</i> 3 2 3

<i>a</i>
<i>SA S</i>  <i>a</i> <i>a</i> 

nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V=2. 8 . 3 16 3
15 3 45

<i>a</i> <i>a</i>

 <b> (đvtt) </b>

<b>Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh </b> 5,
đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=2 2(O là tâm của hình thoi) vng góc với

đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

<i><b>Dạng 3:Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và cơng thức </b></i>

<i><b>thể tích khối chóp ABCD: V=</b></i>1 , .
3 <i>AB AC AD</i>

  

<b> (2) </b>

<b>Phƣơng pháp: - Chọn hệ trục tọa độ Đề các vng góc Oxyz phù hợp </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 16
<b>Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 </b>

G
H

F
A

C
D

B
E

- Áp dụng cơng thức (2) để tính thể tích khối chóp .

<b>Một số ví dụ minh họa . </b>

<b>Ví dụ 19: </b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2,
SA=a và SA vng góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tich khối tứ diện ANIB.

<b>Lời giải: </b>

Dựng hệ trục tọa độ Oxyz
Sao cho O trùng với A,Ox
Trùng với tia AD,Oy trùng
với tia AB,Oz trùng với tia
OS.

Trong hệ trục này ta có
A(0;0;0), D(a 2;0;0),

B(0;a;0), C(a 2;a;0), S(0;0;a). Khi đó M( 2

2

<i>a</i>

;0;0), N( 2; ;
2 2 2

<i>a</i> <i>a a</i>

). Ta có MI=

1 1 3

( ; ; 0)

2 2 2 3

<i>a</i> <i>a</i>

<i>IB</i><i>IM</i>   <i>IB</i><i>I</i> ( 3; ; ), ( 2; ; )

2 2 2 2 2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>NA</i>    <i>NB</i>  

 

2 2

2 2

, ( ; ; ) , ; 0;

2 6 2 2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>NI</i>    _<i>NA NB</i>_{ }  _

 

  

Thể tích khối tứ diện ANIB :

3 3 3

1 1 2 2 2

, .

6 6 12 4 36

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

M

H

P
N

A'

B'

C'

A

B

C
<b>Ví dụ 20: </b>

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B. AB=a,
AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và AC.
Tính thể tich khối tứ diện ABCI.

<b>Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với B, Ox trùng với tia BC, Oy </b>

trùng với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi đó ta có A(0;a;0), B(0;0;0),C(2a;0;0).Do

A’M=1 2AA ' 4

2 3 3

<i>a</i>

<i>AC</i><i>IH</i>   . Kẻ HN//BC và HP//AB khi đó

2 2

1 2 2 2 2 2 4

, ( ; ; )

3 3 3 3 3 3 3

2 4 2 2 4

; ; , ; ; ,

3 3 3 3 3 3

4 2 4 4 2

; ; , , ; 0;

3 3 3 3 3

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>HN</i> <i>BC</i> <i>HP</i> <i>AB</i> <i>I</i>

<i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>IA</i> <i>IB</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>IC</i> <i>IA IB</i>

    

   

 _  _ _   _

   

 

 _ _ _{ } __{ }

 

 _{ } _

   

 

  

Thể tích khối tứ diện ABCI:

3 3 3

1 1 16 8 4

, .

6 6 9 9 9

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>  _<i>IA IB IC</i>  _     (đvtt)

<b>Bài tập áp dụng: </b>

</div>

<!--links-->
Chuyên đề các phương pháp tính tích phân

• 39
• 2
• 9