Bài giảng số 3: Hệ thức lượng trong tam giác không vuông

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (347.79 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

I. Lý thuyết cần nhớ

Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác
tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông.

Một số công thức cho tam giác không vuông (Các kí hiệu như trong tam giác vng )

+S = 1

2bc. sin A =
1

2ca. sinB =
1

2ab .sin C (1)

+S = p p( a p b p)(  )( c) (2) Công thức Heron; p là nửa chu vi tam giác

+S = 
4
abc

R (3)

+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường trịn

nội tiếp tam giác

+ Nếu a2

< b2 + c2 thì góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )
+ a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC

+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong AHB có AH = c.sin B. Do đó
diện tích ABC là :

S = 1

2 AH . BC =
1

2 c.sinB . a =
1

2ac. sinB
Hay S = 1

2ac.sinB. Đối với các góc khác thì tương tự

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm.

c

b

c

A

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

a) Chứng minh các góc B và C nhọn ?
b) Tính AB, AC ?

Hướng dẫn:

a) Ta có c > 12 mà c + b = 28

suy ra b <16  b2 < 162 = 256 = 142 +122 < a2 + c2 .Hay b2 < a2 + c2 Do đó góc B nhọn
b) Ta có b2 – c2 = HC2 – HB2





 









 





28(28 2 ) 14(14 2 ) 2 21

b c b c HC HB HC HB

b c b c c HC HB HC HB HB

c HB HB c

     

       

      

Ta cịn có HB2 + AH2 = c2 



2c21



2144c2

Giải phương trình này ta có c1 = 15 , c2 = 13 . Từ đó tính được b.

Ví dụ 2: Chứng minh cơng thức hạ bậc 
Cơng thức dung là 2sina.cosa=sin2a
dựng góc AOH = a

từ O dựng BOH = a (OA=OB)
Kẻ AK_|_OB

tam giác OAK cân tại O => phân giác OH là trung trực
=> AB = 2AH = 2OA.sinAOH = 2OA.sina

OH = OA.cosAOH = OA.cosa
AK = OA.sinAOK = OA.sin2a

14cm

b

c

12cm

A

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3
Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

Trong tam giác OAB co OH.AB = AK.OB (=2 diện tích OAB)
<=> OA.cosa*2OA.sina = OA.sin2a*OA

<=> 2sina.cosa=sin2a

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng 
minh:

a) 1 1 2

AB AC  AD

b) 1 1 2

AB  AC  AE

Hình vẽ trên: Ta có SABC = SABD +SADC





0 0

1 1 1

. . . .sin 45 . . .sin 45

2 2 2

. . .

2 1 1

AB AC AB AD AC AD

AB AC AD AB AC
AB AC

AD AB AC AB AC

  



   

b) Tương tự như câu a nhưng SABC = SAEC – SAEB.

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c (như cách gọi thơng thường ) .Tính 
diện tích tam giác theo a,b,c ?

HD: Vẽ đường cao AH vuông góc BC, gọi BH = x thì HC = a – x. Áp dụng Pytago cho tam
giác AHB và AHC ta có :

2 4

3

1 E

B

D

C

A

a

b

c

x

a-x

A

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4
Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

AH2 = c2 – x2 = b2 – ( a – x )2

Trong AHB có AH2 = AB2 – HB2 2 2 2

AH c x

   (1) và

Trong AHC có AH2 = AC2 – HC2  AH2 b2  



a x



2 (2) . Từ (1) và (2) ta có c2 – x2 =

b2 – a2 + 2ax – x2 suy ra x =

2 2 2

2
c a b

a
 

= k

Từ đó có AH2 = c2 – k2 = c2 –

2
2 2 2

2
c a b

a
   

 

  . Do đó diện tích tam giác ABC là

S= 1 .

2AH BC =

2 2

. .

2 c k a. Thay k vào ta có

S =





2 2 2 2 2

4
1

. .

2 2

a c a b c
a
a

  

Cách 2: Hay ta cũng có S2 = 1.

4 BC

2.AH2 =





2
2 2 2 2 2

a c  a  b c

Tử có thể biến đổi tử thành (2ab)2

– ( a2 + b2 – c2)2 = ( 2ab + a2 + b2 – c2 )( 2ab – a2 – b2 +c2 )=



a b c a



 b c c



 a b c



 a b



2p( 2p – 2c) (2p – 2b )( 2p – 2a)
= 16 p (p – c )( p – b )( p – a )

Vậy S2

= p(p – c)(p – b)(p – a). Trong đó 2p = a+ b + c 
Đây chính là cơng thức Heron

Bài 3: Cho tam giác ABC có C B 900 , AH là đường cao kẻ từ A.
Chứng minh 2

AH HB HC

HD: Ta nhận thấy góc C tù. Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC. Ta có
ACD

 cân tại A nên A1  A2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5
Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

0 0 0

1 90 1 90 & 90

ACB A   ACBA  ACBB 

Suy ra B A1  A2&DoA2 D 900 . Từ đó ta có BAD vng tại A, với AH là đường
cao ứng với cạnh huyền , vậy AH2 = HB . HD = HB . HC

+ cách 2 : ứng dụng tam giác đồng dạng (HS tự nghiên cứu )

Hình vẽ gợi ý

Để ý rằng HAC đồng dạng với HBA

Bài 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 + 3 , 0

B ; 0

60
C  .
a) Tính độ dài đườnh cao AH?

b) Tính Â ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?
c) Từ các kết quả trên, tính cos 750 ?

HD:

2

1 B

A

C

H

D

1 B

A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6
Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

AHB vuông cân , dễ thấy AH = BH = x (do ta đặt ). Trong AHC có

CH = xcotC = x. 3

3 suy ra a = BH + CH = x.

3 3

3


3 3 .3 3

3
x 

   .

Do đó x = 3.

b) Có đường cao rồi thì các em tính dược tất cả .

ĐS: c = 3 2 ; b = 2 3 ; Â = 750 ; SABC = 3. 3





2 

c) Do góc A nhọn . áp dung công thức a2 = b2 + c2 – 2bccos A



    

2 2 2

3 3 2 3 3 2 2.3 2.2 3. os75c

    

Từ đó có cos750 = 18 6 3 3 3

12 6 2 6

  

60

45 C

H

A

</div>

Bài giảng số 3: Hệ thức lượng trong tam giác không vuông

c

b

c

<b>A</b>





 









 









14cm

b

c

<sub>12cm</sub>

<b>A</b>





2 4

3

1

<b>E</b>

<b>B</b>

<b>D</b>

<b>C</b>

<b>A</b>

a

b

c

x

a-x

<b>A</b>























2

1

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>C</b>

<b>H</b>

<b>D</b>

1

<b>B</b>

<b>A</b>







    

60

45

<b>C</b>

<b>H</b>

<b>A</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về