Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (302.15 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S. Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page 1

Chuyên đề . BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO 10

Dạng 1. Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

Chứng minh rằng:

1. a) a2 2b2 2abb100,a b, . b) a2 4b2 3c2 142a12b6 .c

2. a) Nếu ab thì 0 ab a



b



a3b3. b) Nếu ab thì 0

3
3 3

2 2

a b ab

  

 

c) Nếu a0,b0 thì a b a b.

b  a   d) Nếu ab0,a0,b thì 0 2 2

1 1

a b

b  a  a b

3. a) a2 b2 c2 d2 e2a b



cd e



,a b c d e, , , , . 
b) Nếu ab  thì c 0 3 3 3

3 .

a b c  abc Hướng dẫn: Chứng tỏ rằng





3 3







 











3 3 .

H  a b c  ab a b  abc a b c   a b  b c  c a 

 

4. a) 12a4 a2 2a3, a. b) a4 b4 a b3 ab3,a b, .

2 2 2

, , , .

3 3

a b c a b c

a b c

     

  

  d) Nếu ab thì c

2 2 2 2 2 2

.
a bb cc aa cb ac b

Dạng 2. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

5. a) Cho 3 số a b c bất kỳ, chứng minh rằng , , a2 b2 c2 abbcca.

b) Cho 3 số a b c thoả mãn , , a2 b2c21. Chứng minh rằng 1 1.

2 ab bc ca

    

Hướng dẫn: Phải chứng minh 1



2 2 2





2 2 2



2 a b c ab bc ca a b c

        

c) Biết a0,b0,c0.Chứng minh rằng

8 8 8
3 3 3

1 1 1

.
a b c

a b c a b c

 

  

6. a) Cho bốn số a b c d tuỳ ý. Chứng minh rằng , , ,



acbd



2 



a2b2



c2d2



b) Chứng minh rằng



ac

 

2 bd



2  a2 b2  c2d2,a b c d, , , .

7. (Đại học – A – 1980) Cho ac b, c c, 0. Chứng minh rằng c a



c



 c b



c



 ab.

Hướng dẫn: Bình phương hai vế để đưa bất đẳng về dạng







</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S. Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page 2

8. a) a b c 2 1 1 1

bc ca ab a b c

 

      

 

với mọi a, b,c dương.

b) Cho a b c thuộc , ,



0; 1



. Chứng minh rằng a2 b2 c2  1 a b2 b c2 c a2 .
Hướng dẫn: Sử dụng 0



1a2



1b2



1c2



9. a) Cho hai số dương x y, thoả mãn xy 1. Chứng minh rằng 1 1 2 .
1x 1 y 1 xy

b) Áp dụng chứng minh rằng nếu 0x1, 0 y1, 0 z 1 thì

2 2 2

1 1 1 3

.
1x 1 y 1z 1xyz

10. a) Cho z yx0. Chứng minh rằng y 1 1 1



x z

 

x z



1 1 .

x z y x z

   

     

   

   

b) Cho a 1, b 1. Chứng minh rằng ab  1ab.

Dạng 3. Sử dụng các bất đẳng thức đã biết

Chứng minh rằng (1 – 6):

11. a) Nếu a b c d  thì , , , 0 4 .

a b c d

abcd

  

 b) Nếu a b c  thì , , 0



a b c



1 1 1 9.
a b c

 

     

 

c) 1 !,

n
n

n



 



 

  với

, 1.

n n d) Nếu a1,b thì 1 a b 1 b a 1 ab.

12. a) Nếu các số a b thoả mãn 3, a4b thì 7 3a2 4b2 7.

b) Nếu các số x y z, , thoả mãn x2  y2 z2  thì 9 2x3y4z 3 29.

c) Cho ab2. Chứng minh rằng a4 b42.

d) Nếu a b c x y z dương và , , , , , a b c 1

x  y  z  thì





2
.
x yz a  b  c

13. a) Nếu a và b là hai số dương thì 4 .
1

ab
a b

ab
 



b) Nếu a a1, 2, ...,a  và thoả mãn n 0 a a1 2...a  thì n 1



1a1



1a2

 

... 1an



2 .n

c) Nếu ab thì 0





3.
a

b a b

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S. Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page 3

d) 3a3 7b3 9ab2,a0,b0.

14. a) Nếu a b c là ba số dương và , , , ab  thì c 1 a 1 1 1 1 1 64.

a b c

     

   

     

     

b) (ĐHBKHN, 1990) Nếu a b c là các số dương thì , , 3 3 3 2 2 2

a b c a bc b ac c ab

15. a) Nếu 2x3y thì 5 2 2

2x 3y 5. b) Nếu x2  y2 thì 1 3x4y 5.

16. a) Nếu x y z p q, , , , là các số dương thì x y z 3 .
pyqz  pzqx pxqy  pq

b) Nếu a b c là ba cạnh của một tam giác thì , , p  pa  pb  pc 3 .p

Dạng 4. Áp dụng bất đẳng thức để tìm min, max

17. a) Tìm max của Ax



12x



với 0 1.
2

x

  Đáp số: max 1 1.

8 4

A  x

b) Tìm min của 3 1 ,



2 .



B x x

x

  

 Đáp số: min

6 2 3 2 .

2
B   x 

c) Với 0x3, 0 y1, tìm max của C



3x



1 y



4x7y



. Đáp số: max 1

C 

17 2

, .

12 21

x y

  

18. a) (Đề 115.II) Cho xy yzzx4. Tìm min của F x4  y4  z4.

b) Cho a3,b4,c2. Tìm max của f ab c 2 bc a 3 ca b 4.
abc

    



19. a) Tìm min của 5 1
3

M x

x

 

 với x 3.

b) Tìm max của N x



1 3 x



với 0 1.
3

x

 

c) Với 0x5, 0 y3, 0 z 1, tìm min của P



5x



3y



1z



x2y5z



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S. Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page 4

21. (Đề 94. II) Cho

2 2
2 2

20.

x y

u v

xu yv

  



 



  



</div>

Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 THCS

<b> </b>

<b>Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10 </b>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>











 





























<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>



















<b> </b>

<b>Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10 </b>















 















 







<b> </b>

<b>Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10 </b>





<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>











<b> </b>

<b>Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10 </b>

Tài liệu liên quan