Tài liệu Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC pdf

Chuyên đề:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info
Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009.
Phương pháp 1:
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

Kỹ thuật 1 : Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=

Chứng minh rằng:

()
()
()()
()
()
333
abc3
(1)
abac bcba cacb 4
++≥
++ ++ ++

Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.

Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()
()()
()
()
()
333
abc
abc
(1)
abac bcba cacb 4
++
⇔++≥
++ ++ ++

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()
33
3
a a abac 3a
3
abac abac 8 88
a
4
bac
8
⎛⎞
⎛⎞
++
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟
⎟
⎟⎜

⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
++
⎝⎠

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()() ()()
()
()
()
()
33
3
33
3
bbcba bbcba3b
3
bcba 8 8 bcba 8 8 4
ccacb ccacb3c
3
cacb 8 8 cacb 8 8 4

⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
++ ++
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎝⎠⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
++ ++
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜

⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
⎝⎠

Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:

()
()
()()
()
()
333
abcabc3
abac bcba cacb 4 4

++
++≥=
++ ++ ++
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
abc1⇔===


Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=

Chứng minh rằng:

()
()()()()
()
333
abc3

1b1c 1c1a 1a1b 4
++ ≥
++ ++ ++

Bài 2:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca abc++=

Chứng minh rằng:

222
abcabc
abc bca cab 4
++
++≥
+++


Bài 2
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=

Chứng minh rằng:

()
()()
333
abc
1 (1)
b2c a c2a b a2b c
++≥
++ +


Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.

+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()()
333
abcabc
(1)
b2c a c2a b a2b c 3
++
⇔++≥
++ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()
()
33
3
aa
33b2ca9a
b2c a b

9
2c a
3a
9
b2c
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
+≥ +=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠
++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
()
()
()
()
()
()
()
()

()
33
3
33
3
99
9
bb
3c 2a b 3 3c 2a b 9b
c2ab c2ab
cc
3a 2b c 3 3a 2b c 9c
a2b c a2b c
9
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
++ +≥ +=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
⎟

++ +≥ +=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

()
()()
()()
()
()()
333
333
abc
96abc9abc
b2c a c2a b a2b c
abcabc
1
b2c a c2a b a2b c 3
⎡⎤
⎢⎥
++ +++≥++
⎢⎥
++ +
⎣⎦

++
⇒++≥=
++ +

Đẳng thức xảy ra
abc1⇔===


Bài 3
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
222
abc1++=

Chứng minh rằng:

333
abc1

b2c c2a a2b 3
++ ≥
++ +


Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
222
abc1++=

để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế

()
333222
abcabc
1
b2c c2a a2b 3
++
⇔++≥
++ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
() ()
33
2
a9a
2.ab2c6a
b2c b
ab 2
9
2
c
c
+≥ +=
++
+

Chứng minh tương tự ta cũng được:

()
() ()
()
()
()
()
33
2
33
2
9
9
b9b
bc 2a 2 .bc 2a 6b
c2a c2a
c9c
ca 2b 2 .ca 2ab 6c
a2b a2b
++≥ +=
++
++≥ + =
++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

()
()
()
()

()
333
222
333
222 222
333222
abc
93abbcca6abc
b2c c2a a2b
abc
96abc3abbcca3abc
b2c c2a a2b
abcabc1
b2c c2a a2b 3 3
⎛⎞
⎟
⎜
++ +++≥++
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
++ +
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
⇒ + + ≥ ++ − ++ ≥ ++
⎟
⎜

⎟
⎟
⎜
++ +
⎝⎠
++
⇒++≥ =
++ +

Đẳng thức xảy ra
3
abc
3
⇔===

Bài tập tương tự
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
222
abc1++=

Chứng minh rằng:

333
abc1

ab bc ca 2
++≥
+++

Bài 4
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca 1++=

Chứng minh rằng:

222
abc3
(1)
2
1a 1b 1c
++≤
+++


Hướng dẫn:

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
ab bc ca 1++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

22

aa aa1aa
.
abac 2abac
1a ab ca bca
⎛⎞
⎟
⎜
==≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + +
++++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2
2
b1b b
2b c b a
1b
c1c c
2c a a b
1c
⎛⎞
⎟
⎜
≤+

⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++
+
⎛⎞
⎟
⎜
≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++
+

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

222
abc1abbcca3
2a b b c c a 2
1a 1b 1c
⎛⎞
+++
⎟
⎜
++≤++=

⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+++
+++

Đẳng thức xảy ra
3
abc
3
⇔===


Bài 5
:

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

ab bc ac
S
2c ab 2a bc 2b ac
=++
+++

Bài giải
:

Ta lần lượt có:
()
()
()
() ()
()
() ()()
()
()
ab ab ab ab 1 1
2c ab 2 c a c b
cabcacb
bc bc bc bc 1 1
2a bc 2 a b a c
aabc bc abac
ca ca ca ca 1 1
2b ac 2 b c b a
babc ca bcba
bc ca bc ab c
S
2a b
b
2c a
ac
⎧
⎪
⎛⎞

⎪
⎟
⎜
⎪
==≤+
⎟
⎜
⎪
⎟
⎜
⎝⎠
+++
⎪
+++
⎪
⎪
⎪
⎛⎞
⎪
⎪
⎟
⎜
==≤+
⎨
⎟
⎜
⎟
⎜
⎪
⎝⎠

+++
++ + + +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎛⎞
⎪
⎟
⎜
==≤+
⎪
⎟
⎜
⎟
⎪
⎜
⎝⎠
+++
++ + + +
⎪
⎪
⎩
++
⇒≤ + +
+
+
+
+
()

aab abc
1
2c b 2
+++
==
+

Đẳng thức xảy ra
⇔
2
abc
3
===

Vậy
Max S1=
.

Bài tập tương tự

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Chứng minh rằng:

ab bc ac 1
cab abc bac 2
++≤
+++

Phương pháp 2:
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ

Dạng 1:
1)
x, y 0∀>
ta luôn có:

()
11
xy 4
xy
⎛⎞
⎟
⎜
++≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

Đẳng thức xảy ra
⇔
xy=

2)

x, y, y 0∀>
ta luôn có:

()
111
xyx 9
xyy
⎛⎞
⎟
⎜
++ + + ≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

Đẳng thức xảy ra
⇔
xyz==


Dạng 2:
1)
x, y 0
∀>
ta luôn có:

11 4

xyxy
+≥
+

Đẳng thức xảy ra
⇔
xy=

2)
x, y, z 0∀>
ta luôn có:

111 9
xyzxyz
++≥
++

Đẳng thức xảy ra
⇔
xyz==



Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
ab2c bc2a ca2b 4
++
++≤
++ ++ ++

Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
ab 1 1 1 1
ab. ab.
ab2c 4ac acbcbc
⎛⎞
⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + ++++

Tương tự ta cũng được:

()
()
()()
bc 1 1 1 1
bc. bc.
bc2a ba ca 4ba ca

ca 1 1 1 1
ca. ca.
ca2b cb ab 4cb ab
⎛⎞
⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + + + + +
⎛⎞
⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + + + + +

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

ab bc ca 1bcca caab abbc abc
a b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4
⎛⎞
++ +++

⎟
⎜
++≤++=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ ++ ++ + + +

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>


Bài 2:
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
a3b2c b3c2a c3a2b 6
++
++≤
++ ++ ++



Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: